Vectores

Elementos

Vectores referidos al origen de coordenadas

Adición y sustracción de vectores

Producto de un escalar por un vector

Módulo de un vector

Producto escalar de dos vectores

ElementosUn vector es un segmento orientado que tiene un origen y un extremo.

Todo vector esta caracterizado por su dirección, sentido y módulo.A)Dirección: la dirección esta dada por la recta que

lo incluye también llamada recta sostén.

B) Sentido: el sentido de un vector esta indicado por la orientación de las flechas

C) Módulo: el módulo de un vector es la longitud o medida del vector. 

Continuar.

Dos vectores se dice que tiene la misma dirección cuando se encuentran sobre una misma recta sostén o en rectas paralelas.Dos vectores son colineales si se encuentran sobre la misma recta sostén

Vectores equivalentes o equipolentes:Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo modulo.

Continuar.

mp // rs // td

m

p

r

s

t

d

Anterior

Vectores opuestos:Son aquellos que tienen el mismo modulo, la misma dirección pero sentido contrario.

Vectores paralelos:Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección.

t m a

t

am

m mt y ma

a

bc

d

e

f

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Vectores referidos al origen de coordenadasRepresentante canónico:Dado un vector ab y se representa un vector equipolente al ab, de forma tal que el origen de este nuevo vector coincide con el origen de coordenadas, de esta manera se obtiene un representante canónico.

Continuar.

y

x

V a

b

Si se conoce el origen y el extremo de un vector se puede calcular el representante canónico o también llamado vector referido al origen de coordenadas, aplicando la siguiente formula.

a= (Xa ; Ya) b=(Xb ; Yb)

V= (Xb-Xa ; Yb-Ya)

Ejemplo:

a=(3;1) b=(7;-6)

V= (7-3 ; -6-1)

V= (4; -7) Vector nulo:Es aquel vector en el que coinciden el origen y el extremo, es decir se representan mediante un punto.

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ADICION Y SUSTRACCIÓN DE VECTORESLos componentes del vector suma son iguales a la suma de las componentes de los vectores sumandos.V=(Vx ; Vy)W=(Wx ; Wy)V+W=(Vx+Wx ; Vy+Wy)

Ejemplo:

V=(1 ; 3)W=(5; 1)V+W=(1+5 ; 3+1)V+W= (6;4)

Continuar.

12

1

34

1 2 3 4 5 6

v+w

La resta de dos vectores es igual a la suma del opuesto del vector del sustraendo

V=(Vx ; Vy)W=(Wx ; Wy)V+W=(Vx-Wx ; Vy-Wy)

Ejemplo:

V=(1 ; 3)W=(5; 1)V+W=(1-5 ; 3-1)V+W= (-4;2)

12

-1

34

1 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6-1

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W=(5;1)W= (-5;-1)

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PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOREl producto de un escalar alfa por un vector V es otro vector W que cumple con las siguientes condiciones: tiene la misma dirección que V, el sentido es el mismo que el de V si alfa es mayor que 0 y será opuesto si alfa es menor que 0 y su módulo es igual al módulo de alfa.

Vectores linealmente dependientes:Se dice que son linealmente dependientes cuando un vector W puede expresarse como el producto entre un escalar distinto de 0 y un vector V

W= α . V

≠ 0

Continuar.

Paralelismo entre vectores:Dos vectores V y W son paralelos si tienen igual dirección, por lo tanto son linealmente dependientes. Dos vectores son paralelos si y solo si sus componentes homologas son proporcionales.

V= (Vx ; Vy) V // W Vx = VyW= (Wx ; Wy) Wx Wy

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MÓDULO DE UN VECTOREl modulo de un vector se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras, y como el módulo es la longitud de un segmento, entonces resulta siempre que va a ser ≥ 0 .

V

|+3| = +3|-3 | = +3

Si le aplicamos el teorema de pitagoras al triangulo rectangulo

V

Vy

Vx

|V|² = Vx² + Vy²|V|= Vx² + Vy²

Continuar.

Para calcular el módulo de un vector dado su origen y su extremo se deberá aplicar la siguiente fórmula.

|ab|= (Xb-Xa) ² + (Yb-Ya) ²

Si el módulo de un vector es igual a 1 se dice que es un vector unitario o versor|V| = 1 V

√

El vector del modulo 1 en la dirección del eje X y con sentido positivo se llama i (versor i) y al vector del modulo 1 en la dirección del eje Y y con sentido positivo se llama j (versor j).

√

√

√

√

1

1

j

i

y

x Continuar.Anterior

Todo vector puede expresarse utilizando los versores

U= Ux .i + Uy . j√ √

Ejemplo:

U= (-3 ; 5)

U= -3i ; 5 j√ √

Para expresar un versor en la dirección de un vector dado se deberá dividir las componentes del vector por su módulo.

U = Ux ; Uy |U| |U|

√

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PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORESEl producto escalar de dos vectores da por resultado un numero real y se define en función de sus componentes.

V=(Vx;VY) W=(Wx;Wy) V .W= Vx.Wx + Vy.Wyˆ

Si se quiere calcular el ángulo formado por dos vectores:

V . W = arc.cos V . W |V|.|W|

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es igual a 0.

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