Vectores

• Un vector es un ente matemático que posee dirección sentido y magnitud.

• La dirección se refiere a la posición del vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc.

• El sentido señala la orientación: De arriba hacia abajo, de Norte a Sur etc.

• La magnitud es tamaño del vector, es el valor numérico del mismo.

Representación gráfica de vectores

• Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.

Suma gráfica de vectores

Con más de dos vectores

Componentes de un vector

• Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.

• Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.

Escrito matemáticamente

• Sea el ángulo que forma con el eje horizontal

• Sea ax y ay las proyecciones en los ejes x e y respectivamente

Usando trigonometría, recordemos:

Hipotenusa

opuestocatsen

.

Cat. Opuestoal ángulo

Cat. adyacenteal ángulo

Hipotenusa

adyacentecat.cos

costan

sen

Luego:

a

asen y

a

axcos

x

y

a

asen

costan

Sea por lo tanto cada componente escrita de la siguiente forma

Donde:

a

Representa el módulo del vector “a”

kji ˆ;ˆ;ˆ Representan vectores unitarios para los ejes x,y,z respectivamente

Operaciones con vectores

• Suma de vectores:

• Un vector que posee diferentes componentes se sumara a otro respetando estas componentes, es decir se sumaran los términos que correspondan al mismo grupo de pares ordenados.

Sumando dos vectores y sus proyecciones

Producto punto

• El producto o multiplicación de vectores se puede realizar de la misma forma en que se resuelven los polinomios, pero respetando un par de reglas para los vectores unitarios.

1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

ikki

jkkj

ijji

Ejemplo:

• Sean los siguientes vectores:

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

BAC

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiibaC

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

0 0

00

0 0

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkbajjbaiibaC zzyyxx 1 1 1

zzyyxx bababaC

El resultado es un escalar (NO VECTOR)

Módulo de un vector

AAA

Matemáticamente se escribe:

si

kajaiaA yyxˆˆˆ

El modulo representa el tamaño del vectorY es un escalar.

222zyx aaaA

Además se define el vector unitario del vector A

A

AA

ˆ

Producto Cruz

• El producto cruz (X) es otro tipo de producto entre vectores, a diferencia del producto usual o punto su resultado es un vector.

• Al igual que en el caso anterior existen reglas que se deben respetar.

0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

jik

jki

ijk

ikj

kij

kji

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

No es conmutativo

Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz

i

jk

X

=

( + )

Producto en sentido Horario es positivo

i

jk

X

=

( - )

Producto en sentido anti-horario es negativo

Ejemplo:

• Sean nuevamente los siguientes vectores:

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

BAC

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiibaC

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

0

0

0

)ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ(

jkbaikba

kjbaijba

kibajibaC

yzxz

zyxy

zxyx

i

j

k j

k

i

)ˆ()ˆ()ˆ(

)ˆ()ˆ()ˆ(

ibajbaiba

kbajbakbaC

yzxzzy

xyzxyx

)ˆ()(

)ˆ()()ˆ()(

jbaba

ibabakbabaC

zxxz

yzzyxyyx

)ˆ()(

)ˆ()()ˆ()(

kbaba

jbabaibabaC

xyyx

zxxzyzzy

Reordenando

Ejemplo numérico

kjiB

kjiA

ˆ4ˆ2ˆ1

ˆ3ˆ1ˆ2

BAC

)ˆˆ(6)ˆˆ(3

)ˆˆ(4)ˆˆ(1)ˆˆ(8)ˆˆ(4

)ˆ4ˆ2ˆ1()ˆ3ˆ1ˆ2(

jkik

kjijkijiC

kjikjiBAC

)ˆ(6ˆ3ˆ4)ˆ(1)ˆ(8ˆ4 ijikjkC

iC ˆ2

j5 k3