Vectores a Modo de Compatibilidad
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FÍSICA IFÍSICA I
PROFESOR:
JOSÉ ABELARDO MIRANDA BUENO
VECTORES
ESCALARES
VECTORES: REPRESENTACION
SUMA DE VECTORES: COMPONENTES DE UN VECTOR
VECTOR UNITARIO
VECTOR UNITARIO ASOCIADO A SISTEMAS DE COORDENADAS
PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO VECTORIAL
ESCALARES:
EL AREA DE UN TERRENO:
SON CANTIDADES FISICAS QUE EXPRESADAS POR UNNUMERO O VALOR Y SU RESPECTIVA UNIDAD QUEDANCOMPLETAMENTE DETERMINADAS
EJEMPLO:
LA MASA DE UN AUTOMOVIL :
LA FRECUENCIA DE UNA EMISORA:
(800 Kg.)
(1200 Hz)
(25 m2 )
VECTORES
Son cantidades físicas que para estar completamente determinadas son necesarias un valor numérico, llamada magnitud y una dirección
EJEMPLO:
La velocidad de un automóvil
El campo Magnético
El Campo Eléctrico
REPRESENTACION DE VECTORESREPRESENTACION DE VECTORES
LOS VECTORES SE REPRESENTAN MEDIANTE RECTAS
ORIENTADAS, CUYA LONGUITUD ES PROPORCIONAL A
LA MAGNITUD O VALOR DEL VECTOR Y LA FLECHA
INDICA LA DIRECCION Y EL SENTIDO DEL VECTOR
RESPECTO A UN PUNTO DE REFERENCIA. EJEMPLO:
A BLAS PARTES DE UN VECTOR SON:
Origen
Magnitud
SentidoDirección
DENOTACION DE VECTORES:
DENOTAREMOS LOS VECTORES MEDIANTE LETRAS MAYUSCULAS Y QUE TENGAN UNA FLECHA ENCIMA DE LA LETRA. EJEMPLO:
A
TAMBIEN DENOTAREMOS POR LETRAS RESALTADAS EN NEGRITAS. EJEMPLO:
B C
A , B , C ETC
; ;
OPERACIONES OPERACIONES CON VECTORESCON VECTORES
SUMA DE VECTORES
DADOS DOS VECTORES A Y B , LA SUMA DE LOS
VECTORES A MAS B ES OTRO VECTOR C,
OBTENIDO TRASLADANDO EL ORIGEN DEL VECTOR B
AL EXTREMO DEL VECTOR A Y UNIENDO EL ORIGEN
DEL VECTOR A CON EL EXTREMO DEL VECTOR B
EJEMPLO:
A B
A
BC
C = A + B
MAGNITUD:
ABCOSBAC 222
SUMA DESUMA DE VECTORESVECTORESPara sumar dos vectores, hay dos métodos más comunes: Se coloca el origen del vector que se desea sumar ( B ) a la cabeza del vector al que se suma ( A ), y luego se traza una línea que une el origen del vector A con la cabeza del vector B , tal como se ve en la figura.
B
AB
C = A + B
C
A
Otro método es construir un paralelogramo conambos vectores y dibujar su diagonal - Se trasladan paralelamente los dos vectores de
manera que ambos tengan sus orígenes en común. - Se construye el paralelogramo con los vectores. - La diagonal que parte de los orígenes, es el origen
del vector suma
A
BB
AC
C = A + B
Para sumar tres o más vectores se usa el primer método, como se observa en la figura.
A
B
C
R = A + B + C
R
A
B
C
RESTA DE VECTORESRESTA DE VECTORESPara restar vectores se multiplica el vector quese resta por -1 (es decir, se le cambia sudirección) y luego se suman comúnmente.
A
B -B
A -B
C = A - B
C
COMPONENTES DE UN VECTORCOMPONENTES DE UN VECTOR
Se denominan componentes de un vector atodos aquellos vectores que sumados , dan como resultado un determinado vector resultante
A
R A + B + C + D = R
A, B, C y D son componentes del vector R
BC
D
COMPONENTES RECTANGULARESCOMPONENTES RECTANGULARES
Son aquellos vectores componentes de un vectorque forman entre sí un ángulo 90º.En dos dimensiones:
A
Ax
Ay
Ahora:
A = Ax + Ay
Ax = A cos
x
y
Ay = A sen
PRODUCTO DE UN VECTOR POR PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALARUN ESCALAR
Cuando un vector se multiplica por un escalar,resulta otro vector en la misma dirección y demódulo igual a tantas veces el escalar por el módulodel vector dado.
2 unidades4 unidades
A (1 2) A
VECTOR UNITARIOVECTOR UNITARIO
X
Y
o
u
A
A = A u
De donde:
AAu
Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también versor.
EN DOS DIMENSIONES:
x
y
i
j
Al eje x se le asocia el vector unitario iAl eje y se le asocia el vector unitario jLuego un vector se puede escribir en la forma :
Ax
Ay A
VECTORES UNITARIOS ASOCIADOS A UN SISTEMA DE COOORDENADAS RECTANGULARES
A = Ax i + Ay j
EN TRES DIMENSIONES:
x
y
z
Al eje x se le asocia el vector unitario i
Al eje y se le asocia el vector unitario j
Al eje z se le asocia el vector unitario k
i
kj
LUEGO UN VECTOR EN TRES DIMENSIONES PODEMOS
ESCRIBIR DE LA FORMA SIGUIENTE:
j
k
Ax
Ay
Az
i
A = Ax i + Ay j + Azk
A
VECTOR POSICIÓNVECTOR POSICIÓN
Z
X
Y
P ( x,y,z)P P = x i + y j + z k
Es aquel vector que va de un origen de coordenadas escogido a un punto determinado; representaremos por el vector “P” y en términos de las coordenadas x, y, z del punto y de los vectores unitarios “ i, j, k ” .
VECTOR POSICION RELATIVO A DOS PUNTOS
YX
Z P(x1,y1,z1),
Q(x2,y2,z2)
Sean los puntos P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2)
Modulo :
R1 R2
Los vectores posición de estos puntos son: R1= x1 i + y1 j +z1 k ,R2=x2 i + y2 j + z2 k
Aplicando la suma de vectores : R1+ PQ= R2
De donde se tiene; PQ = R2 - R1 = (x2-x1) i + (y2-y1) j+(z2-z1) k-
212
212
212 )zz()yy()xx(PQ
ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR
Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos , ; que forma el vector con los ejes coordenados x, y , z respectivamente (Fig)
x
y
z
A
Cosenos Directores:
Son los cosenos respectivos a cada ángulo:
AxAy
Az
; ;Propiedades de los cosenos directores:
Cos2 + cos2 + cos2 = 1
PRODUCTO ESCALARPRODUCTO ESCALAR
)
A
B
A . B = AB cos
De donde podemos escribir:
Si los vectores están dadas por sus componentes :
A.B = AxBx + AYBy+ AzBz
B = Bx i+By j+BzkA = Ax i+Ay j+Az k ;
El producto escalar de dos vectores es igual alproducto de los módulos por el coseno del ángulo queforman:
ABB.Acos
PRODUCTOPRODUCTO VECTORIALVECTORIAL
)
AxB
BxA A
B
A = AX i + AY j + AZ k
B = BX i + BY j + BZ k
AxB = AB sen u
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
AxB = = i ( Ay Bz– AzBy ) - j ( AxBz – AzBx )
+ k ( AxBy – AyBx )
EJERCICIOS EJERCICIOS PROPUESTOSPROPUESTOS
1) Hallar los componentes del vector mostrado en la figura.Sabiendo que el módulo del vector es A=5u y que hace un ángulo = 37º con la horizontal
Aa)
x
y
2)En la Fig. mostrada encuentre: a) El vector A
b) El vector unitario de Az
x
y5
43
A
4) Dado el paralelogramo mostrado en la figura. Halle: a) Los vectores FB ,EB ,AE ,OG b) La suma S=FB +EB +AE +OG
A
EG
D
BC
F
5
3
4
3) Dados los vectores A = 3 i– 4 j+ 4 k ; B = 2 i + 3 j –7 k Efectuar:a) A–3B, b) A. B, c) A x B
5) Para la figura mostrada encuentre: a) Los vectores A y C, b) El vector R = A +B +C + D+ E , sabiendo que A = 20 u, = 37y C = 10 u E
C
D
B
A
6) En la fig. mostrada A= 10 u , F = 20 u ; = 37 . Hallea) Los vectores A y F b) El vector R = A + B + C + D
B C
D
FAθ
A
34
5
B
7) La figura muestra dos vectores A y B, de módulos A= 15 u y B = 250 u. Halle: a) Los vectores A y B, b) La suma 3A + 2 Bc) El producto escalar A . B
8) Dados un vector A de modulo A = 20 u, que tiene como ángulodirector respecto al eje x es α = 45° y que su coseno directorrespecto al eje y (cosβ) es el doble del coseno director respectoal eje z (cos ) y otro vector B de modulo B = 15 u, cuyos cosenosdirectores son respectivamente; Cosα = -1/3 ; cos β = 2/3 ycos= 2/3. Encuentre: a) Las expresiones cartesianas de losvectores, b) El ángulo que forman los vectores
9) Dados dos vectores A = 2 i – j + k y B = i + 2 j -2 k. Encontrar dosvectores C y D que satisfagan las siguientes condiciones: C es paralelo aB, D es perpendicular a B y A = C + D
10) Los vectores A y B forman un ángulo = 45 y el modulo del vector A es A = 3 u. Encuentre el modulo del vector B, para que A - B sea perpendicular al vector A