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VECTORES EN EL ESPACIO

Estudio del concepto de vector por medio del uso de un artefacto automatizado

Actividad Tecnológica Escolar para estudiantes de ciclo V

Autores:

RODRIGO GUERRERO

NANCY NOGUERA

JOHN RODRIGUEZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

ESPECIALIZACIÓN EN EDUCACIÓN EN TECNOLOGÍA

PROPUESTA TRABAJO DE GRADO

BOGOTÁ D.C.

2017

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1. PRESENTACIÓN

Material didáctico desarrollado como recurso para apoyar el aprendizaje del

concepto de vector en estudiantes de grado décimo, abordando las áreas de

tecnología, matemáticas y física.

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VECTOR (Robot de Ubicación Vectorial), es un prototipo automatizado

conformado por mecanismos impulsados por motores eléctricos y controlados a

través de una aplicación usada desde un teléfono móvil, con el cual es posible

identificar una posición en tres dimensiones de un vector distancia, visualizando

su recorrido y posibilitando la identificación de sus coordenadas en el espacio

cartesiano.

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El diseño se realizó partiendo de la necesidad de construir un nuevo recurso

desde la tecnología para facilitar la enseñanza del concepto de vector, a partir

de la interacción del estudiante con un artefacto que permitiera una experiencia

distinta a las que tradicionalmente se tiene en un aula de clase.

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¿Qué queremos lograr con esta actividad?

Se tiene como objetivo la utilización de un mecanismo robótico para desarrollar

una actividad tecnológica estudiantil integradora desde las asignaturas de

Matemáticas, Tecnología y Física, para la enseñanza del concepto de vector con

el cual se genere el desarrollo de habilidades basándonos en las competencias, los

estándares de competencias y las operaciones mentales que hacen parte de cada

asignatura.

A continuación se realizará una aclaración de cada una de éstas:

Competencias Asignatura

Matemática Física Tecnología

Solución

De

problemas

Está relacionado con la capacidad para

identificar aspectos relevantes en una

situación para plantear o resolver

problemas no rutinarios; es decir,

problemas en los cuales es necesario

inventarse una nueva forma de

enfrentarse a ellos.

Comprender

Capacidad para reconocer

y diferenciar fenómenos,

representaciones y

preguntas pertinentes

sobre estos fenómenos.

Analizo y valoro

críticamente los

componentes y

evolución de los

sistemas

tecnológicos

Consiste en las diferentes

características y objetivos de la

tecnología, los conceptos

fundamentales básicos que relacionan

los componentes, funcionabilidad y

estructura de mecanismos como

elementos individuales pero a su vez

de un todo.

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Estándares básicos de competencias a trabajar

Física

Acciones concretas del pensamiento:

Utilizo las matemáticas para modelar, analizar y presentar datos y

modelos en forma de ecuaciones, funciones y conversiones.

Conocimiento científico básico: relaciones Físicas

Modelo matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos a partir

de las fuerzas que actúan sobre ellos. (Ministerio de Educación

Nacional. 2006 p.141)

Matemáticas

Pensamiento espacial y Sistemas Geométricos.

Identifico características de localización de objetos geométricos en

sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y

esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas. (Ministerio de

educación Nacional 2006 p.43)

Orientación Curricular Competencia en Tecnología

Analizo y valoro críticamente los componentes y evolución de los

sistemas tecnológicos y las estrategias para su desarrollo. (Ministerio de

educación Nacional.2008,p.24)

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Operaciones mentales

OPERACIÓN DEFINICIÓN

IDENTIFICAR

Es reconocer las características esenciales y transitorias

que definen los objetos.

CODIFICAR

Sustitución de objetos por símbolos convencionales, para

facilitar la manipulación y ahorrar tiempo y esfuerzo en

la elaboración de la información (códigos numéricos).

RAZONAMIENTO

INFERENCIA

Es la actividad mental que nos permite elaborar nueva

información a partir de la información dada.

Información tomada de: http://edocenteprimaria.blogspot.com.co/2013/03/procesos-cognitivos-

para-la-reflexion.html

Indicador de la ATE

Identificar y codificar el pensamiento espacial a través del análisis de un

mecanismo robótico y establecer la relación de su funcionamiento para el

desarrollo del concepto de vector desde el punto de vista Físico y Matemático.

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2. DESARROLLO

¿De qué trata esta actividad?

Consta de los siguientes tres momentos:

Primer Momento (Análisis

Tecnológico):

En esta fase se organizarán los

estudiantes del curso en grupos de

cuatro personas para hacer un

análisis detallado del mecanismo

robótico sin que éste se encuentre

energizado, para poder identificar los

diferentes componentes del

artefacto y su posible funcionalidad.

Materiales por grupo

Un computador con acceso a Internet.

Un teléfono celular con cámara

Hojas blancas

Un cuaderno de notas

Esfero

Lápiz

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Planificación

a) Cada grupo de trabajo deberá tener en sus integrantes una persona hábil en

el dibujo, una persona que se le facilite la exposición de los resultados, y

dos personas que sean hábiles en la manipulación de artefactos tecnológicos.

b) Cada grupo elegirá a uno de los dos estudiantes que tienen la habilidad en

la manipulación de aparatos tecnológicos, para que en dos minutos con

ayuda de uno de los celulares pueda tomar fotos del artefacto (figura 1)

desde diferentes vistas.

c) Cada grupo tendrá que desarrollar los siguientes puntos:

1. Realizará una lista de los diferentes elementos que conforman el

mecanismo robótico, verificando y analizando las diferentes fotografías

tomadas

2. Con apoyo de internet realizará una búsqueda de las diferentes

funciones de cada uno de los elementos y sus evoluciones según la

historia (sistemas de transmisión de movimiento, poleas, engranajes,

sistemas de control)

3. Realizará un documento digital haciendo uso de google drive, donde

evidencie el desarrollo histórico de los diferentes elementos. Según con

la información del funcionamiento de cada elemento que conforma el

mecanismo robótico, plantear dos posibles aplicaciones de dicho

mecanismo al finalizar el documento.

4. Se realizará la socialización de las diferentes hipótesis de cada uno de

los grupos junto con la votación de la aplicación más pertinente.

5. Se finalizará con la demostración del mecanismo robótico energizado y

se llevará a cabo el paralelo con la hipótesis ganadora.

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Segundo Momento (artefacto como

herramienta didáctica):

En esta fase se utilizará el

mecanismo robótico como

herramienta didáctica para la

explicación y apropiación del concepto

de vector en los estudiantes de

décimo grado.

En éste momento el docente

manipula exclusivamente el dispositivo

donde abordará los siguientes temas

y dará la explicación de los

componentes en R1, R2, y R3 y

características de los vectores y las diferentes operaciones que se pueden

realizar con los vectores tanto gráficos como analíticos. Se iniciará con lo más

básico, esto es la representación gráfica del vector:

Elementos que conforman un vector:

Punto de aplicación - origen

Se representa con un punto e indica el inicio del vector o el lugar de

aplicación según corresponda

Línea de acción - cuerpo

Se representa con una semirrecta que une el origen con la cabeza del

vector.

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Final del vector - Cabeza

Se representa con una cabeza de flecha que indica la finalización del vector.

Al reunir estos tres elementos tendremos la

representación gráfica de un vector (dando

como resultado el dibujo de una flecha).

Características del vector:

Magnitud

Hace referencia a la intensidad del vector, es decir, al valor numérico de

dicho vector en términos técnico de la parte escalar (20 m, 50 N, 100

km/h)

Dirección

Hace referencia a la orientación del vector (x, y, z o el ángulo (Ɵ) con

relación a un eje determinado).

Sentido

Es la característica que dice si el vector es positivo o negativo (+, - )

En la figura se pueden evidenciar las

características de los diferentes vectores

que podemos encontrar (los recuadros de

colores representan las tres

características explicadas anteriormente)

El ejemplo gráfico muestra vectores sobre

los ejes.

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Este otro esquema

muestra un ejemplo de

vectores fuera de los

ejes, con sus

respectivas

características.

Operaciones vectoriales:

Como observamos en la figura anterior, hay recuadros vacíos representando

información faltante. Para poder obtener dichos valores se deben realizar las

siguientes operaciones analíticas.

Suma

Se puede realizar de dos maneras una gráfica y la otra analítica empezaremos

por la más sencilla que es la gráfica:

Suma gráfica A + B:

Las letras en negrilla

representan dos vectores

diferentes. Para sumar los dos

vectores tomamos el vector B

y colocamos su cola o el

punto de aplicación sobre la

cabeza del vector A y

trazamos un nuevo vector que inicie en la cola del vector A y finalice en

la cabeza del vector B, y esto se puede repetir si tenemos más de dos

vectores.

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Suma analítica:

Se resuelve teniendo en cuenta las magnitudes de los vectores y las

direcciones, para sumar los términos que están en las mismas direcciones

es decir x con x y lo de y con y. Veamos el ejemplo:

El vector

A solo

está en x,

el vector

B está en

y, pero el

vector C

está fuera

de los ejes por esto tiene dos partes la de x y la de y, al sumar se

organiza con relación a las direcciones como lo vemos en la parte izquierda

de la figura.

El mecanismo robótico se utilizará en esta

parte para que los estudiantes puedan

observar las características de los vectores

ubicando en el espacio de referencia las

coordenadas planteadas, en un primer caso

para R2 y luego se hará la aclaración de lo

que sucede con el vector en R3.

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Resta

Se realiza el mismo proceso descrito en la

suma, lo que cambia es que al menos uno

de los vectores es negativo y se procede a

colocar cabeza - cola los vectores

involucrados en la operación teniendo

presente cuál de los vectores tiene el

signo menos A – B

Si tenemos más de dos vectores debemos

tener presente los signos de cada uno

como se presenta en este ejemplo, A – B

+ C el único que cambia de sentido es el

vector B

En la siguiente ejemplo mostraremos cómo se realiza la resta analíticamente (es

similar a la suma pero en la dirección y hay un signo negativo por esta razón se

restan los valores)

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Suma de vectores en R3

Relación matemática

Teorema de Pitágoras

Señala que siempre podemos encontrar una igualdad en los

triángulos rectángulos si relacionamos sus lados de la

siguiente manera: si elevamos la hipotenusa al cuadrado y

lo igualamos a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Esta ecuación se utilizará para encontrar la magnitud de

los vectores.

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Razones Trigonométricas

Se pueden definen como la razón (división) entre dos de los lados de un

triángulo rectángulo con relación a sus ángulos.

Se Utilizaran estas

razones para encontrar

los componentes de un

vector

Imagen tomada de: https://matesnoaburridas.wordpress.com/2015/01/26/trigonometria-

medida-de-angulos-y-razones-trigonometricas/

Componentes trigonométricos de un vector

Coordenadas Polares

Un sistema (llamado de "coordenadas polares")

usa la longitud r de la línea desde el origen hasta

la cabeza del vector y el ángulo que forma esa

línea con el eje x.

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Las dos representaciones anteriores están muy relacionadas. De las definiciones

de seno y coseno se tiene:

x = r cos Ɵ

y = r sin Ɵ

En el espacio tridimensional, la designación

cartesiana (x, y, z) es exactamente

simétrica, pero algunas veces es conveniente

seguir el sistema de coordenadas polares y

designar la distancia y la dirección por

separado.

r2 = x2 + y2 + z2

Tercer Momento

(manipulación del

artefacto):

En esta fase los

estudiantes tendrán

la posibilidad de

manipular el

mecanismo robótico

para realizar la

ubicación de vectores en el espacio, sus componentes y las relaciones

matemáticas.

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Laboratorio

Objetivo

Identificar y verificar la característica y relaciones matemáticas en la

representación de vectores en el espacio con ayuda de un mecanismo

robótico.

Materiales

Tablet o teléfono móvil con el software de control del robot

Calculadora

3 Hojas milimetradas

Lápiz

2 hojas blancas

Regla

Procedimiento

1) Verifique que la aplicación vector para la manipulación del artefacto

funcione correctamente en la Tablet o en su teléfono móvil.

2) Tome las guías de posición (barras de madera) y ubique cada una de

ellas en las coordenadas establecidas en la siguiente tabla:

Tabla 1

Coordenadas Plano

(x,y)

Plano

(y,z)

Plano

(x,z)

Punto A (2, 3) (3, 4) (2, 4)

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Punto B (4, 4) (4, 5) (4, 5)

Punto C (-2, 3) (3, 4) (-2, 4)

Punto D (-4, 4) (4, 5) (-4, 5)

Punto E (3, 6) (6, 6) (3, 6)

3) Al ubicar las guías de posición en las coordenadas para el punto A,

realice los movimientos necesarios en el mecanismo para que el

deslizador se dirija al punto de intersección de las tres barras.

4) Con ayuda del transportador encuentre el ángulo del vector resultante

con relación al plano xy y consígnelo en la tabla 2.

5) Repita los puntos del 1 al 4 cuatro veces más utilizando las

coordenadas para los puntos B, C, D, y E.

6) Utilizando las hojas milimetradas, realice el gráfico de los vectores, que

se pueden proyectar en los tres planos xy, yz ,xz y encuentre el

valor del vector resultante y su dirección con ayuda del trasportador

y consigne los datos en la tabla 2.

7) Con las componentes de la tabla 2, encuentre matemáticamente la

magnitud y dirección de A,B,C,D,E y consígnelos en la tabla 3.

Verifique los datos obtenidos con las columnas 4 Y 5 de la tabla 2

¿Qué puedes concluir?

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Tabla 2

vector Componente x Componente y Componente z Magnitud Angulo

R1

R2

R3

R4

Tabla 3

Plano R1 R2 R3 R4

xy

xz

yz

Tabla 4

Vector Magnitud Angulo

R1

R2

R3

R4

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Tabla 5

vector Componente x Componente

y

Componente

z Magnitud

Angulo

A

B

C

D

E

Tabla 6

VECTOR ANGULO

√

√ (

√ ) √√

A

B

C

D

E

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Conclusiones

Situación Problema

Si nuestro artefacto fuera una sonda espacial que quiere acoplarse

completamente con la estación espacial internacional y en ese mismo

momento se produce una tormenta solar que permitirá una oportunidad de

comunicación con la base que está ubicada en la tierra, ¿Qué información

tendrías que solicitar para que el acople sea perfecto?, Tenga presente qué

movimientos puede realizar el artefacto y con base en esto genere el listado

para contestar la pregunta anterior.

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Realice la evaluación de la actividad en el siguiente formato

DEBILIDADES

FORTALEZAS

OPORTUNIDADES DE MEJORA

AMENAZAS