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17/04/2006 Jorge Lay Gajardo. [email protected] 64
CAPITULO 2
MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA
2.1 Vectores.
2.1.1 Introducción.
Cuando queremos referirnos al tiempo que
demanda un suceso determinado, nos
basta con una magnitud (se demoró 3
segundos, saltó durante 1 minuto, volverá
el próximo año, etc.). Existen muchas
magnitudes físicas que pueden describirse
perfectamente de esta manera simple, y
que reciben el nombre de escalares.
Son escalares el tiempo, la masa, la
densidad, el volumen, la temperatura y
otras magnitudes que luego definiremos
apropiadamente.
También existen magnitudes como el
desplazamiento, la fuerza, la aceleración y
otras, que para quedar perfectamente
descritas necesitan dirección, además de la
magnitud (¡camine 5 metros!, es una
solicitud muy ambigua que puede conducir
a una posición final distinta para cada
persona que la reciba; en cambio, ¡camine
5 metros por Alameda hacia el Este!
producirá exactamente el efecto requerido).
Estas magnitudes se denominan
vectoriales, y operan según el Álgebra
Vectorial que recordaremos brevemente a
continuación.
2.1.2 Vector.
Lo definiremos como elementos que
poseen tres atributos: magnitud, dirección y sentido
Los vectores son elementos abstractos,
pero pueden representarse en el espacio a
través de segmentos dirigidos (flechas)
cuya longitud es proporcional a la del
vector representado.
origen extremo
A
Fig 2. 1 Representación gráfica de un vector
2.1.3 Vectores equipolentes.
Dos vectores son equipolentes si son
iguales sus respectivas magnitudes
direcciones y sentidos. Esta definición, que
implica que un vector puede estar en
cualquier punto del espacio sin alterar sus
características, define a los vectores libres.
A
D
CB
Fig 2. 2 Vectores equipolentes: A=B=C=D
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2.1.4 Vectores opuestos.
Dos vectores son opuestos cuando sus
magnitudes y sus direcciones son iguales y
sus sentidos son opuestos.
A
B
Fig 2. 3 Vectores opuestos: A=- B
2.1.5 Ponderación de Vectores.
El producto entre un escalar m y un vector
A se conoce como ponderación del vector.
A
B
A
Fig 2. 4 Ponderación de vectores: B=2A
2.1.6 Suma gráfica de vectores.
Gráficamente la suma o RESULTANTE de
vectores se obtiene uniendo sucesivamente
los extremos y orígenes de ellos, como se
muestra en la figura. El vector suma o
resultante se obtiene uniendo el primer
origen con el último extremo.
C
B
AR
Fig 2. 5 Resultante: A + B + C = R
En el caso de dos vectores este
procedimiento produce un triángulo
formado por los vectores y la resultante.
Otra forma gráfica de sumar dos vectores
consiste en unir los orígenes y trazar líneas
auxiliares paralelas a los vectores, que
pasen por el extremo del otro.
La resultante es el vector que une los
orígenes comunes con la intersección de
las paralelas auxiliares (método del
paralelogramo).
A
B
R
Fig 2. 6 Resultante: Método del Paralelogramo
Note que el orden de la suma no afecta el
resultado, mostrando que es conmutativa:
+ = +A B B A
Si sumamos los vectores A, B y C de la
figura anterior a través del método del
paralelogramo, veremos claramente que:
( ) ( )+ + = + +A B C A B C
Mostrando que la suma es asociativa (se
recomienda comprobarlo gráficamente).
Por otra parte, es innecesaria la definición
de resta, pues claramente A-B es la suma
de A y el opuesto de B .
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( )= +A- B A -B
-B
AR`
Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto
Si consideramos el paralelogramo que
resulta de los vectores A y B y las
paralelas auxiliares, observamos que la
suma y la resta de ambos vectores
constituyen gráficamente las diagonales
mayor y menor respectivamente.
A
B
A + B
A - B
Fig 2. 8 Suma y resta gráfica de vectores.
2.1.7 Vector unitario.
Se define como un vector cuya magnitud es
la unidad y cuya dirección y sentido son las
del vector sobre el que está definido.
Si consideramos un vector A cuya
magnitud es A, existe un vector unitario A
en la dirección de A , tal que:
= ˆA AA
Observe que entonces:
= =1 AA AA A
A
AAA =
Fig 2. 9 Vector Unitario en la dirección de A
2.1.8 Vector nulo.
Vector cuya magnitud es cero.
Gráficamente es representado por un
punto.
2.1.9 Componente de un vector.
La proyección ortogonal de un vector sobre
una recta es una cantidad que se denomina
componente (es un escalar).
Esta se determina como la magnitud del
segmento de la recta comprendido entre
dos rectas perpendiculares a ella, y que
pasan por el origen y el extremo del vector
respectivamente.
A
AL
L
Fig 2. 10 Componente de A sobre la recta L
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2.1.10 Vectores en el plano coordenado cartesiano.
Un vector puede definirse en el plano
cartesiano, conformado por dos líneas
perpendiculares denominadas ejes.
Al eje horizontal se le denomina ABSCISA
y se identificará con una letra mayúscula
(usualmente X, aunque en física será una
letra que represente una magnitud física),
mientras que al eje vertical se le
denominará ORDENADA (identificado por
la letra Y, o una magnitud física).
X
Y
X0 X1
Y1
Y0
Fig 2. 11 Vector en el plano coordenado cartesiano
El dibujo anterior muestra el primer
cuadrante de este plano (que contiene los
semiejes positivos de X e Y), dividido en
cuatro partes.
Note que (X1–X0) es la componente del
vector sobre el eje X; y que (Y1–y0) es la
componente del vector sobre el eje Y.
El origen del vector puede indicarse con
propiedad a través de su ubicación en el
plano, pues se encuentra en el punto
(X0,Y0), mientras el extremo se encuentra
en el punto (X1, Y1).
2.1.11 Vectores unitarios en el plano
Resulta útil definir vectores unitarios cuyas
direcciones y sentidos sean las de los
semiejes positivos del plano cartesiano
(versores), direcciones que ocuparemos
como referencia en el futuro.
Al vector unitario en dirección de +X se le
define como i , mientras que al vector
unitario en dirección de +Y se le define
como j .
2.1.12 Vectores en el espacio coordenado cartesiano.
En el espacio un vector tiene tres
componentes, pues a las anteriores debe
agregarse aquella que proyectará en el
tercer eje, denominado eje Z.
El espacio coordenado cartesiano está
conformado por tres rectas
perpendiculares entre sí (trirectangulares),
como se muestra en la figura siguiente. Allí
se muestra el primer octante (las tres
rectas dividen el espacio en 8 partes
iguales), octante denominado positivo,
pues contiene los tres semiejes positivos.
AZ
AX AY
X
Z
A
Fig 2. 12 Proyecciones de un vector en el espacio
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Como se ve en esta figura, un vector que
no se encuentra ubicado en alguno de los
planos cartesianos (XY, XZ o YZ), proyecta
tres componentes, cuyas magnitudes son:
AX=(X1 – X0),
AY = (Y1 – Y0)
AZ = (Z1 – Z0)
Note que aquí el plano XY se encuentra en
el piso.
Finalmente, se puede definir un vector
unitario en dirección y sentido del semieje
positivo de Z, que se define usualmente
como k .
Este versor, junto a los versores ˆ ˆi, j del
plano XY forma un trío de versores
trirectangulares.
X
Z
Yi
k
j
Fig 2. 13 Versores trirectangulares
2.1.13 Componentes cartesianas de un vector.
Ahora estamos en condiciones de
encontrar relaciones analíticas para
trabajar con los vectores, prescindiendo de
las representaciones gráficas, que si bien
es cierto prestan mucha ayuda didáctica,
nos confundirán cuando trabajemos con
magnitudes físicas, pues se tiende a
relacionar la longitud del dibujo de un
vector con su magnitud.
Consideremos un vector libre en el plano
XY, representado con su origen en el
origen del sistema cartesiano de
coordenadas para simplificar el análisis;
representemos gráficamente además, sus
componentes cartesianas y sus versores:
A
X
Y
AY
AX
j
i
Fig 2. 14 Vector en el plano; componentes y versores
En virtud de lo previamente definido, se
puede suponer la existencia de dos
vectores ficticios (que llamaremos vectores
componentes), tales que sumados tengan
al vector A como resultante.
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El vector componente situado en la abscisa
tiene magnitud equivalente a AX y dirección
i , mientras el vector componente situado
en la ordenada tiene magnitud equivalente
a Ay y dirección j .
A
X
Y
AX
AY
Fig 2. 15 Vectores componentes
Aquí resulta claro que: = +X YA A A
Y si recordamos nuestra definición de
versor tenemos que:
X
X
Ai=
A por lo que X x
ˆA =A i
Y
Y
Aj=
A por lo que Y Y
ˆA =A j
Entonces el vector A puede escribirse
como:
+X Yˆ ˆA = A i A j
( = + +X Y Zˆ ˆ ˆA A i A j A k ; En el espacio)
Esta nos será muy útil para encontrar una
forma más analítica de sumar vectores,
como se verá a continuación.
2.1.14 Suma de Vectores en función de sus componentes.
Supongamos la los vectores A y B en el
plano XY como en la figura siguiente.
Como son vectores libres, los hemos
dibujado de manera tal que el extremo de
A coincida con el origen de B , con lo que
la suma de ambos se puede obtener
gráficamente uniendo el origen de A con
el extremo de B , como ya sabemos. A esta
resultante le denominaremos R .
A
X
Y
AX
AY
BBY
BX
RRY
RX
Fig 2. 16 Suma de vectores y sus componentes
Entonces las componentes de R son la
suma aritmética de las componentes de los
vectores A y B .
= +X X XR A B
= +Y Y YR A B
Por lo que:
= + + +X X Y Yˆ ˆR (A B )i (A B )j
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Si el vector estuviese en el espacio, por
extensión, se encuentra que:
= + + + + +X X Y Y Z Zˆ ˆ ˆR (A B )i (A B )j (A B )k
Esta expresión es válida para la suma de
varios vectores, pues en ese caso a cada
dimensión se le agregarán los términos
correspondientes a las componentes de los
nuevos vectores.
Del mismo modo, la expresión permite
restar vectores, pues como hemos visto, la
resta corresponde a la suma del opuesto.
Ejemplo 2.1
Sean los siguientes vectores:
= + +ˆ ˆ ˆA 3i 4 j 2k ; = +ˆ ˆ ˆB i 3 j - 5k
Encontrar:
a) +A B
b) −A B
c) 2A
Solución:
a) ( ) ( ) ( )+ = + + + +ˆ ˆ ˆA B 3 1 i 4 3 j 2 - 5 k
+ = +ˆ ˆ ˆA B 4i 7 j - 3k
Pues la resultante se obtiene sumando las
componentes respectivas.
b) ( ) ( ) ( )+ = − + − + +ˆ ˆ ˆA (- B) 3 1 i 4 3 j 2 5 k
+ = + +ˆ ˆ ˆA (-B) 2i j 7k
Pues la resta no es más que la suma del
opuesto.
c) = + +ˆ ˆ ˆ2A 6i 8 j 4k
2.1.15 Notación polar.
En muchas ocasiones nos veremos
enfrentados a la necesidad de calcular o
referirnos a los vectores en función de su
magnitud y dirección directamente. Para
ello recurriremos a la notación polar, que
da cuenta de su magnitud a través de su
módulo y a su dirección a través de un
ángulo respecto de una recta de referencia.
Consideremos un vector en el plano
coordenado cartesiano, como se ve en la
figura siguiente:
A
X
Y
AX
AY
θ
Fig 2. 17 Componentes cartesianas y polares
La dirección y sentido del vector pueden
indicarse a través de un ángulo, que
usualmente es el ángulo entre el vector y el
semieje positivo de la abscisa y su
magnitud, a través del módulo del vector;
analíticamente:
A =(A,θ)
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Las componentes cartesianas se pueden
encontrar fácilmente a través de las polares
mediante las expresiones:
AX = A cos θ
AY = A sen θ
Del mismo modo, conocidas las
componentes cartesianas, se pueden
calcular las polares a través de las
expresiones:
A2 = AX2 + AY
2
θ= arctg Y
X
AA
Ejemplo 2.2
Sea A un vector de módulo 5 y dirección
37º respecto de +X situado en el plano XY.
Encontrar sus componentes cartesianas.
Solución: Se tiene que A=5 y θx=37º.
Por tanto:
AX=5cos37º=5(0,8)=4
AY=5sen37º=5(0,6)=3
Si suponemos que el origen está en el
punto (0,0) del sistema de coordenadas,
entonces el extremo del vector estará en el
punto (4,3)
X
Y
4
3
37º
A = 5
Fig 2. 18 Representación gráfica del vector del ej. 2.2
Note que si el origen del vector estuviera
por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el
extremo estaría en el punto (6,4) pues sus
componentes cartesianas son AX=4 y
AY=3.
Fig 2. 19 Componentes del vector del ej. 2
Ejemplo 2.3
Sea B un vector cuyas componentes
cartesianas son BX=10 y BY=5 situado en el
plano XY. Encontrar su magnitud y
dirección.
Solución: Se tiene que Bx=10 y BY=5.
Por tanto: B2=102+52; B = 11,2
⎛ ⎞θ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
5rctg 26,6º10
1
4
62
3
4
X
Y
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2.1.16 En el espacio
En el espacio la dirección queda
determinada cuando se conocen los
ángulos respecto de los tres ejes. La figura
siguiente muestra los ángulos directores:
Fig 2. 20 Un vector en el espacio.
Aquí se ve que los ángulos directores θX,
θY, θZ determinan la dirección. La magnitud
corresponde el módulo del vector (A).
El vector se puede representar
analíticamente a través de su módulo A y
de sus ángulos directores θX; θY; θZ
Muy importantes son las siguientes
relaciones extraídas de la figura anterior:
cos θX = XAA
cos θY = YAA
cos θZ = ZAA
Denominados cosenos directores, permiten
calcular las componentes cartesianas a
partir de la magnitud y los ángulos
directores, pues de ellos se tiene:
AX = A cos θX
AY = A cos θY
AZ = A cos θZ
Dadas las componentes cartesianas se
pueden conocer la magnitud y los ángulos
directores a través de las siguientes
relaciones, provenientes también de los
cosenos directores:
θX = arccos XAA
θY = arccos YAA
θZ = arccos ZAA
El módulo se puede calcular a través de la
expresión:
A2=AX2+AY
2+AZ2
Ejemplo 2.4
Consideremos el vector = +ˆ ˆ ˆC 3i - 6 j 2k
ubicado en el espacio coordenado
cartesiano. Encontrar su magnitud y
dirección.
Solución: Se tiene que CX=3, CY=-6 y
CZ=2 . Podemos calcular su magnitud:
C2=32+(-6)2+ 22= 49
Por lo tanto su magnitud es: C=7
Y sus direcciones:
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θx=arcos 37
=64,6º
θy=arcos −6 7
=149 º
θz=arcos 27
=73,4º
2.1.17 Productos entre Vectores.
Existen dos formas de multiplicar vectores,
siendo una denominada producto escalar
(interno o de punto) y la otro producto
vectorial (exterior o de cruz), puesto que
ofrecen como resultado un escalar y un
vector respectivamente.
Producto Escalar.
Dados dos vectores A y B , su producto
escalar se define como el producto de sus
módulos por el coseno del ángulo que
forman.
A •B =ABcosθ (π≥θ≥0)
La definición de producto escalar tiene
aplicaciones muy relevantes, pues permite
expresar magnitudes muy importantes para
la física en forma muy sencilla.
Las propiedades del producto escalar son:
1.- =A • B B • A (Conmutatividad)
2.- ( )+ = +A • B C A • B A • C
(Distributividad respecto de la suma).
3.- ( ) ( ) ( )= =m A • B mA • B A • mB siendo m
un escalar.
Aplicaciones:
1.- = 2A • A A
El producto escalar entre un vector y si
mismo, constituye el cuadrado del vector, y
corresponde al cuadrado de su módulo.
Esto se debe a que si aplicamos la
definición, tenemos:
A • A =AAcos0º=AA(1)=A2
2.- •ˆ ˆi i =1 •ˆ ˆj j =1 •ˆ ˆk k =1
Por las razones expuestas en el punto 1.
3.- Si dos vectores son perpendiculares,
entonces según la definición se tiene:
A •B =ABcos90º=AB(0)= 0
Esta es condición de perpendicularidad.
4.- De acuerdo a lo anterior, entonces:
•ˆ ˆi j =0 j • k =0 i • k =0
pues los vectores unitarios i , j , k forman
un sistema trirectangular.
5.- Ahora estamos en condiciones de
encontrar una expresión que permita
multiplicar escalarmente dos vectores
expresados en coordenadas cartesianas.
Sean los vectores:
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= + +x y zˆ ˆ ˆA A i A j A k ; = + +x y z
ˆ ˆ ˆB B i B j B k
Si queremos multiplicarlos escalarmente,
tenemos, recordando la propiedad de
distributividad del producto escalar
respecto de la suma de vectores:
( ) ( )= + + + +x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA • B A i A j A k • B i B j B k
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
= + + +
+ + + +
+ + +
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA • B A B i • i A B i • j A B i • k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B j • i A B j • j A B j • k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B k • i A B k • j A B k • k
Por tanto:
= + +x x y y z zA • B A B A B A B
Ejemplo 2.5
Sean los vectores: = + +ˆ ˆ ˆA 3i 4 j 2k ;
= +ˆ ˆ ˆB i 3 j - 5k . Encontrar su producto
escalar.
Solución: De acuerdo a la definición, se
tiene:
A • B =(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5
Ejemplo 2.6
Dados los vectores del ejercicio anterior,
calcular el ángulo entre ellos.
Solución: De acuerdo a la definición de
producto escalar, se tiene que:
A • B =ABcos θ
Donde θ es el ángulo entre los vectores
que nos solicitan. Por lo tanto:
θ=arcos •A BAB
note que aquí AB es el producto entre las
magnitudes de los vectores A y B
respectivamente. Entonces:
A2=32+42+22 A=5,4
B2=12+32+(-5)2 B=5,9
A • B =5 según el ejercicio 2.5.
Así que:
θ=arcos( )( )
55,4 5,9
=arcos0,16=81º
Producto Vectorial
Sean los vectores A y B ; entonces su
producto vectorial se define como:
A XB = (ABsenθ) u (π≥θ≥0)
Donde A y B son las magnitudes de los
vectores A y B respectivamente; θ es el
ángulo que forman ambos vectores y u es
un vector unitario cuya dirección es
perpendicular al plano que forman A y B .
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θ
B
u
A
A X B
Fig 2. 21 Producto vectorial
Entonces el vector ×A B es un vector libre,
perpendicular al plano AB, cuya magnitud
es (A B sen θ) .
Los vectores A , B y ×A B forman un
trío a derechas (un sistema dextrosum), lo
que quiere decir que la dirección ×A B es
la que indica el dedo pulgar de la mano
derecha cuando esta se cierra desde el
vector A hacia el vector B , en el plano AB.
B
A
A X B
Fig 2. 22 Regla de la mano derecha.
Las propiedades del producto vectorial son:
1.- ×A B = − ×B A Anticonmutatividad
2.- × + = × + ×A (B C) A B A C
Distributividad respecto de la suma).
3.- m( ×A B )=(m A )xB = A x(mB ) siendo m
un escalar
Aplicaciones:
1.- Si los vectores A y B son paralelos,
entonces, por definición:
×A B =(ABsenθ) u = 0
Esta es condición de paralelismo.
2.- i X i = 0 ; j X j = 0 ; k X k = 0
Según la aplicación anterior.
3.- También se tiene aplicando la definición
que:
i X j ={(1)(1)(sen90º)} k = k
j X k ={(1)(1)(sen90º)} i = i
k X i ={(1)(1)(sen90º)} j = j
Y según la propiedad de
anticonmutatividad:
j X i =- k
k X j =- i
i X k =- j
El gráfico siguiente resume lo encontrado,
proporcionando además una buena forma
de recordarlo en el futuro.
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Fig 2. 23 Producto vectorial entre versores.
Note que el producto vectorial entre 2
versores es el tercer versor, y es positivo
cuando el producto sigue la dirección de las
flechas en el gráfico, es decir, cuando el
sentido es contrario al movimiento de las
manecillas de un reloj (sentido antihorario).
4.- Ahora estamos en condiciones de
encontrar una expresión que permita
encontrar el producto vectorial para
vectores que están expresados en función
de sus componentes rectangulares
(cartesianas) y sus respectivos versores.
Sean los vectores:
A =AX i +AY j +AZ k y B =BX i +BY j +BZ k .
Si queremos multiplicarlos vectorialmente,
tenemos, recordando la propiedad de
distributividad del producto vectorial
respecto de la suma de vectores:
×A B =(AX i +AY j +AZ k )X(BX i +BY j +BZ k )
=AXBX( i X i )+AXBY( i X j )+AXBZ( i X k )+
+AYBX( j X i )+AYBY( j X j )+AYBZ( j X k )+
+AZBX( k X i )+AZBY( k X j )+AZBZ( k X k )
reemplazando los productos vectoriales
entre paréntesis, se tiene:
×A B =AXBY k +AXBZ(- j )+AYBX(- k )+
+AYBZ i +AZBX j +AZBY(- i )
×A B =(AYBZ–AZBY) i +(AZBX–AXBZ) j +
+(AXBY-AYBX) k
Que equivale al desarrollo del determinante
siguiente:
= x y z
x y z
ˆ ˆ ˆi j kAxB A A A
B B B
5.- La magnitud del producto vectorial es
numéricamente igual que el área del
paralelógramo formado por los vectores
multiplicados y las paralelas que pasan por
sus extremos.
Para mostrar esto, consideraremos la figura
siguiente, que muestra dos vectores unidos
por el origen y las paralelas a ellos.
θB
AAB sen θ
A sen θ
B
Fig 2. 24 Área del paralelogramo formado por 2 vectores.
i
k
j
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El área de este paralelógramo se calcula
multiplicando la base (B) por la altura
(Asenθ):
Area=BAsenθ
Que es igual a la magnitud del producto
vectorial entre los vectores A y B .
Note que el área del triángulo formado por
los vectores y alguna de sus diagonales es
justamente la mitad del área calculada.
Ejemplo 2.7
Encontrar el producto vectorial entre los
vectores:
= + +ˆ ˆ ˆA 3i 4 j 2k ; = +ˆ ˆ ˆB i 3 j - 5k .
Solución: de acuerdo a la definición se
tiene:
× =−
ˆ ˆ ˆi j kA B 3 4 2
1 3 5
( ) ( ) ( )= − − − + −ˆ ˆ ˆAXB -20 - 6 i 15 2 j 9 4 k
= + +ˆ ˆAXB -26i 17j 5k
Ejemplo 2.8
Encontrar un vector unitario perpendicular
al plano formado por los vectores del
ejemplo 7.
Solución: Según la definición de producto
vectorial se tiene que:
= ˆAXB AXB u
De donde:
×=
×
A BuA B
= + +
+ +
ˆ ˆ ˆ-26i 17 j 5k 676 289 25
+ += = − + +
ˆ ˆ ˆ-26i 17 j 5 k ˆ ˆ ˆu 0,83i 0,54 j 0,16k31,5
Que es el vector solicitado, cuya magnitud
es 1 y dirección es la del vector ×A B .
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2.1.18 Ejercicios resueltos.
Ejercicio 2.1.- Dos vectores A y B
de 3 y 5 unidades de magnitud
respectivamente, forman un ángulo de 37º.
Determine analíticamente la magnitud de la
resultante y de la diferencia entre ambos
vectores.
Solución:
La resultante ( = +R A B ) así como la
diferencia o la suma del opuesto
( =D A - B ) se puede ver en forma gráfica
en la figura siguiente:
A
37º
A
B
B
R= A + B
37º
A
B
D= A - B
37º
180º - 37º
Entonces aplicando el teorema del coseno
R2=A2+B2–2ABcos(180º-37º)
R2=9+25–2(3)(5)(- 0,8)
R=7,6
y la diferencia es:
D2=A2+B2–2ABcos(37º)
D2=9+25–2(3)(5)(0,8)
D=3,2
Ejercicio 2.2.- Hallar el vector
resultante entre los vectores A y B de 4 y
3 unidades de magnitud respectivamente,
que forman un ángulo de 60º entre ellos.
Solución:
En la siguiente figura se observan los
vectores y sus ángulos:
θ
B
A120º
R = A + B
La magnitud de la resultante se puede
calcular con el teorema del coseno:
R2=A2+B2–2ABcos120º
R2=14+9–2(4)(3)cos 120º
R=6,1
El ángulo entre la resultante y el vector A
se puede calcular con el teorema del seno:
θ=
sen sen120ºB R
θ=
sen 0,873 6,1
θ=arcsen0,43=25,5º
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Ejercicio 2.3.- Un avión se mueve hacia el
norte con una rapidez de 30 Kmh
, cuando
es sometido a la acción del viento que
sopla con rapidez de 40 Kmh
en dirección
este. Encontrar el movimiento resultante
del avión.
Solución:
En este problema se trabaja con la
magnitud vectorial denominada velocidad.
Para nosotros sin embargo, solo será un
vector en este momento, y por tanto, la
velocidad resultante no será más que la
suma de los vectores velocidad
correspondiente al movimiento del avión
propiamente tal, y la velocidad del viento.
En la siguiente figura se ilustra el ejemplo:
V
VV
VA
θE
N
VA = velocidad del avión
VV = velocidad del viento
Entonces el vector velocidad del viento
será el vector: =vKm ˆV 40 ih
mientras que
la velocidad del avión será: =AKm ˆV 30 jh
si consideramos que el plano geográfico es
el plano cartesiano XY.
De esta manera, la resultante debe ser:
( )= +Kmˆ ˆV 40i 30 jh
Cuya magnitud es
V2=(40 Kmh
)2+ (30 Kmh
) 2
V=50 Kmh
.
Que es la rapidez resultante con que se
moverá realmente el avión.
La dirección de la velocidad resultante
será:
θ=arctg A
V
VV
=arctg 30 kph40 kph
=36,9º
Es decir, la velocidad resultante tiene una
dirección de 36,9º medidos desde el este
hacia el norte (E36,9ºN).
Ejercicio 2.4.- Otra magnitud física
vectorial interesante es el denominado
desplazamiento.
Por desplazamiento se entiende el vector
de posición que une los puntos inicial y final
de un movimiento, sin importar la forma del
camino recorrido entre ambos.
Supongamos que dos personas caminan
perdidas por un desierto plano y hostil de
manera tal que finalizado cada día anotan
en su diario de viaje lo siguiente:
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• Día 1: caminamos 30 kilómetros en
línea recta hacia el norte; no
encontramos agua.
• Día 2: hoy solo hemos logrado caminar
20 kilómetros en línea recta, en
dirección norte 37º hacia el este
(N37ºE); nos encontramos extenuados.
No encontramos agua.
• Día 3: Por fin hemos encontrado agua.
El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00
horas, luego de caminar en línea recta
durante 20 kilómetros hacia el sur. Nos
encontramos a salvo.
El relato anterior puede traducirse en
términos de los desplazamientos diarios y
del desplazamiento final en forma analítica:
53º
D1
D2
D3
R
N (Y)
E (X)
Entonces los desplazamientos diarios son:
1D =30Km j
2D =20Km cos53º i +20Km sen53º j
2D =12Km i +16Km j
3D =20Km(- j )
Por tanto, el desplazamiento resultante es
= + +1 2 3R D D D
= +ˆ ˆR 12Kmi 26Kmj ´
Cuya magnitud es:
R2=(12Km)2+(26Km)2
R=28,6Km
y cuya dirección es:
θ=arctg 26 Km12 Km
=arctg2,17=65,3º
En otras palabras, si nuestros viajeros
hubiesen sabido la ubicación del pozo de
agua, habrían caminado solo 28,6Km en
línea recta, en dirección E65,3ºN.
Ejercicio 2.5.- Encontrar el valor de
a, de forma que A y B sean
perpendiculares.
= + +ˆ ˆ ˆA 2i aj k ; = ˆ ˆ ˆB 4i - 2 j - 2k
Solución:
La condición de perpendicularidad es que
el producto escalar entre ambos debe ser
cero:
A •B =8–2a–2=0
De donde se obtiene a = 3
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Ejercicio 2.6.- Hallar la proyección
del vector = +ˆ ˆ ˆA i - 2 j k sobre el vector
= +ˆ ˆ ˆB 4i - 4 j 7k
Solución:
En la figura se observa la proyección
pedida
θ B
A
AB = A cos θ
De la definición de producto escalar se
tiene que:
= θA • B ABcos
Que se puede escribir como:
= BA • B A B
Ya que AB=Acosθcomo se observa en la
figura anterior.
En consecuencia:
+ += =B
A • B 4 8 7AB 9
=2,1
Ejercicio 2.7.- Dados los vectores
= ˆ ˆA 2i - j ; = +ˆ ˆB i k y = +ˆ ˆC j k ,
determinar:
a) Un vector unitario en la dirección del
vector +A B - 3C .
b) Un vector perpendicular al plano
formado por los vectores B y C .
c) Área del paralelogramo formado por A
y B .
Solución:
a)
+= = =
+ ++
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B - 3 C 3i - 4 j - 2k 3i - 4 j - 2ku5,399 16 4A B - 3C
u =0,56 i –0,74 j –0,37 k
b) = = = +
ˆ ˆ ˆi j kˆ ˆ ˆP BxC 1 0 1 -i - j k
0 1 1
c) El Área es el módulo del producto
vectorial entre A y B , por tanto:
× = = +
ˆ ˆ ˆi j kˆ ˆ ˆA B 2 -1 0 -i - 2 j k
1 0 1
=AXB 2,4
Ejercicio 2.8.- Dados los siguientes
vectores: = + +ˆ ˆ ˆA 3i 2 j 2k ; = +ˆ ˆ ˆB i - 3 j 4k y
= +ˆ ˆ ˆC 2i 3 j - k .
a) Determine analíticamente si A y B son
o no perpendiculares.
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b) Calcular ( )A • BXC
Solución:
a) Para ser perpendiculares deben cumplir
con la condición A • B =0
A • B =3–6+8=5
Luego no son perpendiculares.
b) La única interpretación posible de este
producto, denominado producto triple (y
que geométricamente representa el
volumen del paralelogramo cuyas aristas
son los vectores A , B y C ) es la
operación ( )A • BXC ) pues se tiene el
producto escalar entre los vectores A y
( )BXC .
En cambio la operación ( )A • BXC no
está definida pues es la multiplicación
vectorial entre un escalar ( A • B ) y un
vector ( C ). Recordemos que el producto
vectorial está definido entre vectores.
Por tanto:
− = − + +−
ˆ ˆ ˆi j kˆ ˆ ˆBxC= 1 3 4 9i 9 j 9k
2 3 1
( ) ( )= + + − + +ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA • BXC 3i 2j 2k • 9i 9 j 9k
= + + =A • BXC -27 18 18 9
Ejercicio 2.9.- Hallar los productos
siguientes:
a) ˆ ˆ2 jX3k
b) ( )ˆ ˆ3iX -2k
c) ( )ˆ ˆ ˆ2 jXi - 3k
Solución:
a) =ˆ ˆ ˆ2 jX3k 6i
b) ( ) ( )( )= =ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3iX -2k 3 -2 iXk 6k
c) ( ) ( )= − = −ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 jXi - 3k 2 -k 3k 5k
Ejercicio 2.10.- Demostrar que los
vectores: = +ˆ ˆ ˆA 2i j - 4k ; = +ˆ ˆ ˆB i - 3 j 5k y
= +ˆ ˆ ˆC 3i - 2 j k forman un triángulo
rectángulo.
Solución:
En primer lugar hay que demostrar que
forman un triángulo, para lo que se
necesita que la resultante de dos de ellos
sea el tercero o que la resultante de los tres
sea el vector nulo, como se ve en la figura
siguiente.
C
A
BC
A
B
A + B = C A + B + C = 0
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En segundo lugar, para que sea rectángulo,
el producto escalar entre dos de ellos debe
ser nulo.
En nuestro ejemplo, + =A B C por lo que
son un triángulo y A • C =6–2–4= 0 por lo
que A ⊥ C .
Ejercicio 2.11.- Deducir el teorema
del seno.
Solución:
Suponer un triángulo formado por los
vectores de la figura.
C
A
B
θAB
θCA
θBC
α
β γ
Entonces + + =A B C 0
Multiplicando vectorialmente por A :
+ + =AxA AXB AXC AX0
+ =AXB AXC 0 ( i )
Si la multiplicamos vectorialmente por B :
+ + =BXA BXB BXC BX0
+ =BXA BXC 0 ( ii )
si la multiplicamos vectorialmente por C :
+ + =CXA CXB CXC 0
+ =CXA CXB 0 ( iii )
De (i): =AXB CXA
De (ii): BXA=CXB
De (iii): =CXA BXC
Pues el producto vectorial es
anticonmutativo.
De donde se tiene:
= =AXB CXA BXC
Es decir:
AB senθAB u =CA senθCA u =BC senθBC u
por igualdad de vectores, se tiene:
AB sen θAB = CA sen θCA = BC sen θBC
y debido a que sen (180-θ)=senθ:
AB senγ=CA senβ=BC senα
Dividiendo por ABC:
γ β α= =
sen sen senC B A
Conocido con el nombre de teorema del
seno.
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Ejercicio 2.12.- Deducir el teorema
del coseno.
Solución:
Suponer que se tiene un triángulo formado
por los vectores de la figura.
C
A
B
β
Entonces: =C A - B
Elevando al cuadrado la expresión:
( ) ( )=C • C A - B • A - B
( ) ( ) ( ) ( )= +C • C A • A - A • B - B • A B • B
( ) ( ) ( )= +C • C A • A - 2 A • B B • B
C2=A2+B2–Bcosβ
Conocido como teorema del coseno.