Vectores, Propiedades y Caracteristicas
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Estatica 2016
Tema:
Cantidades Vectoriales
Profesor: M.sC Tito Vilchez Vilchez
Competencias a lograr en la clase
1.- Utilizar y relacionar las cantidades
vectoriales
2.- Aplicar las relaciones entre fuerzas y
Momentos sobre cuerpos considerados
como partículas.
3.- Resolver problemas de vectores
4.- Trabajar en equipo
PORQUE AHORA?
UN CAMBIO DE CULTURA?
¿Porque esperar el
Ultimo momento?
¿ ¿ Porque??Actua ahora. Hoy el
Mundo es de los veloces
4
COMPETENCIAS A LOGRAR EN EL CURSO
Es esencial que cualquier producto, maquina o estructura sea seguro y estable
cuando se somete a cargas ejercidas en el, durante cualquier uso predecible. El
análisis y diseño de semejantes dispositivos o estructuras para garantizar la
seguridad es el objetivo primordial de este curso.
La falla de un componente de una estructura puede ocurrir de varias maneras:
1.- El material del componente podría fracturarse por completo.
2.- El material puede deformarse excesivamente bajo carga, de modo que el
componente no es adecuado para ese propósito.
3.- La estructura podría volverse inestable y pandearse, y por lo tanto seria incapaz
de soportar las cargas pretendidas.
PREVENCION DE FALLAS
En la figura se muestra dos varillas que
soportan una pesada pieza fundida.
Como se deben de diseñar esas varillas.
Las varillas deben ser lo suficientemente
fuertes de modo que no se rompan y
dejen caer la pieza fundida, lo que
posiblemente podría provocar danos y
lesiones a las personas.
Usted como diseñador de las varillas, que
información requeriría y que decisiones
de diseño tiene que tomar:
1.- Cual es el tamaño y peso de la pieza
fundida
2.- Donde esta su centro de gravedad.
Esto es importante para decidir donde
colocar los puntos de sujeción de las
varillas a la pieza fundida.
PREVENCION DE FALLAS
3.- Como se unirán las varillas a
la pieza fundida y al sistema de
soporte por la parte superior
4.- De que material se harán las
varillas. Cual es su resistencia?
5.- Cual será la forma y la
sección transversal de las
varillas?
6.- Como se aplicara inicialmente la
carga de la pieza fundida a las varillas:
Lentamente, con choque o impacto, o
con un movimiento de tirón?
7.- Se utilizaran las varillas para
muchos ciclos de carga durante su
vida esperada?
El sistema motriz O2B tiene 2= 5 rad/s, cte. Calcule:
a.- La expresión vectorial de BA.(cm)
b.- El vector unitario del vector CB.
c.- La magnitud del vector CB.(cm)
d.- La magnitud del vector PC.(cm)
e.- La velocidad del bloque C.(m/s)
f.- La aceleración del bloque A.(m/s2)
g.-. La aceleración del bloque C.(m/s2)
P
Objetivos de estudiar Vectores.- Las cantidades vectoriales se utilizan en el diseño
de mecanismos como partes iniciales del calculo.
En el ejemplo mostramos la influencia de la determinación del calculo vectorial en
el calculo de los Mecanismos.
a
b
c
ˆ ˆ ˆ ˆ200 110( 30 30 ) 170j Cos i Sen j c i
ˆ ˆ ˆ ˆ200 110(0,866 0,5 ) 170j i j c i
ˆ ˆ74,74 255c i j
ˆ ˆ74,74 255 ˆ ˆˆ 0,2812 0,9596265,7274
C
i ji j
Del Polígono OO2BA:
O
Del Polígono O2PCB:
P
ˆ ˆ ˆ250 110( 30 30 )j a b Cos i Sen j
ˆ ˆ95,26 195a b i j
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0,866 0,5 0,2812 0,9596 95,26 195ai aj bi bj i j
ˆ ˆ ˆ ˆˆ( 30 30 ) 95,26 195Ca Cos i Sen j b i j
0,866 0,2812 95,26a b
0,5 0,9596 195a b
52,9791
175,6048
a cm
b cm
ˆC
/ˆ ˆ1, 2412 4, 2351 ( )A CR i j m /
ˆ ˆ0, 4938 1,6851 ( )B CR i j m
VECTORES
A
B
B A B A
A
B
A
C
B
C
A
C
B
CAB
A
C
B
CBA
A
B
BAC
A
B
BAC
Suma de vectores
B A
A
B
A B C
C
B
A
C
D
A
B
C
D
R
DCBAR
A
B
C
D
R
DACBR
A
B
BX
BY
j
i
)cos(2
)(
22
22
ABBAR
BBAR YX
BAC
jBiBB
jAiAA
yx
yx
A
C
B
BXAX
AY
BY
j
i
B
B
C
B
A
)sen(
C
)sen(
B
)sen(
A
,0CBA:si
A
C
C
B
A
Producto de vectores
A
x x y y z z
A B ABcos( )
A B A B A B A B
Escalar
A B C
A B ABsen( )
Vectorial
Sistema de Referencia: Cuerpos que se
toman como referencia para describir el
movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del movimiento mecánico
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador
• Sistema de Coordenadas
y
x
z
• Reloj
En el Movimiento plano
Se utilizan las Coordenadas Cartesianas
y (m)
x (m)O
origenabcisa
(x,y)
Q (-2,2)
P (8,3)
También las Coordenadas Polares
O
origen
(r,)
Movimiento plano
Relacion entre (x,y) y (r,)
y (m)
x (m)O
origenabcisa
(x,y)
r
θcosrx
θrseny θtan
x
y22 yxr
i
j
Y
X
VECTOR
SENTIDO
Todo vector tiene las siguientes características:
En el caso de las fuerzas, también tienen un punto de aplicación.
Vectores en el espacio y en el
plano
Notación A
Módulo o valor ó Norma
A
Dirección θ,
x
y
z
θ
Ap
x
y
0 AA
Propiedades de Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a
si mismo
A
B
C
CBA
Suma de Vectores
BA
R
BA C
C
Ley del polígono
Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen
del segundo vector y así sucesivamente los vectores que siguen.
El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer
vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.
El vector resultante es
aquel que va desde el
origen del primer vector
hasta el extremo del
ultimo
A
B
C
D
Entonces si se tiene los
siguientes vectores
El vector resultante
de la suma de
todos ellos será:
A B
C
D
DCBAR
R
Propiedades de Vectores
A
Opuesto o
negativo
-A
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario A
A
μ
AA
Propiedades de la suma de
Vectores
Ley
Conmutativa
ABBAR
Ley Asociativa
C)BA()CB(AR
Vector
Diferencia
B-AR
)B (-AR
A
B A
-BR
Ley conmutativa
Los vectores A y B pueden ser desplazados
paralelamente para encontrar el vector
suma
B
A
B
(Método paralelogramo)
B
A
Analíticamente se cumple:
BCosABAR
BCosABAR
.2
.2
22
222
Método del triangulo
B
A
B
A
Se cumplen dos leyes:
A B R
Sen Sen Sen
Ley de senos
Ley de Cosenos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .
2 .
2
R A B A BCos
A R B R BCos
B R A RACos
R A B B A
Multiplicación de un vector por un
escalar
Dado dos vectores ByA
Se dicen que los vectores A y B son: BA
BAsi
0
BAsi
0
BAsi
1
A y B son proporcionales y en el mismo
sentido. Paralelos.
A y B son proporcionales y en sentido
contrario. Antiparalelos.
A y B son iguales.
Ndonde
A
B
AB
2
1
A
B
AB
4
1
Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A B
C
A B
C
2R C CA C CB
C
VECTORES UNITARIOS
X ZYA = i + j + kA A A
22 2
Y
y
X
ZX
ZA A
Ai j kAu u
A
A
A
AA
a
A
x
y
z
A
i
k
j
z
x
y
Vectores unitarios: i, j, k
• Vector cuya magnitud o módulo es 1, se utiliza para definir la
orientación de las cantidades físicas vectoriales.
A
Au =
A AA = A u
PROPIEDAD DEL VECTOR UNITARIO
1º A y B son paralelos y colineales.
2º- A y C son paralelos y colineales
3º- B y C son paralelos y colineales
• OBSERVACIONES• 1º- El vector unitario del vector A = (uA) es colineal al mismo sentido del vector A
• 2º-El vector unitario del vector B = (uB) es colineal al mismo sentido del vector B
• 3º- El vector unitario del vector C = (uC) es colineal al mismo sentido del vector C
• CONCLUSIÓN : Si 2 vectores son colineales o paralelos y del mismo sentido, entonces sus vectores sus vectores unitarios son iguales
A
C
uB
uAuC
Caracteristica fundamental: El tamano del vector unitario es uno o la unidad
ˆ ˆ ˆA B Cu u u
C
C
B
B
A
A
1 uuuu CBA
u
Vectores unitarios en el plano
x
y
i Vector unitario en la dirección del eje x+
j Vector unitario en la dirección del eje y+
i
j
Vectores unitarios en el espacio
xy
z
i
j
k
Representación de un vector
x
y
z
θ
222
zyx AAAAA
kAjAiAA zyx
A
ASen
X ASenA Cos
Y ASenA Sen
ZA ACos
ZA
XA YA
Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en
cualquier sistema coordenado
Determine la resultante de los siguientes vectores
A
4u 3u
B
BAR
7u
Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen
del segundo vector y así sucesivamente.
El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer
vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.
+
A
B
8u 4u =
BAR
4u
Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección
podemos determinar fácilmente su
magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en la
misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud?
A
B
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos
tratar de buscar otra forma de determinarla. Analiticamente se cumple:
BAR
sen
R
sen
B
sen
A
Ley de Senos
Ley de Cosenos
BCosABAR .2222
BCosRBRA .2222
RCosARAB .2222
A
B
yA
xA
xB
yB
4u
3u
6ui j
yA
xA
xB
yB
4u
3u
6u
yx AAA
yx BBB
jiR ˆ5ˆ10 Vectorialmente:
jiA ˆ3ˆ4
jiB ˆ8ˆ6
yy BA
xx BA
10u
5u
yyxx BABAR
Por pitagoras podemos ahora determinar
la magnitud del vector resultante
uR 55510 22
yA
xA
xB
yB
xCy
C
xD
yD
yyyyyDCBAR
xxxxxDCBAR
xR
yR
15 u
5 u
yxRRR
105R
En la armadura mostrada, determine:
a.- El vector LH.(m)
b.- El vector CG.(m)
c.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable pequeño que actúa sobre
la estructura.(kN)
d.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable grande que actúa sobre
la estructura.(kN)
EJEMPLO
xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)A
Dados los puntos indicados,
el vector que los une esta
representado por:
VECTOR GEOMETRICOEs aquel vector que se construye en funcion de sus coordenadas
k)z(zj)y(yi)x(xA121212ˆˆˆ
a.- Hallar el vector EB.
b) Hallar el vector BC
xy
z (x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
Representado por sus
componentes:
VECTOR FISICOEs aquella cantidad vectorial que se determina en funcion a su magnitud y a su vector unitario.
Si es paralelo a un vector geometrico, los dos tienen en comun el mismo vector unitario.
kFjFiFF ZYX
F
F
F
A
Au
ˆ
222F ZYX FFF
Donde: ˆF Fu
Producto escalar de dos
vectores
A B ABcosθ
BA A osθC
Componente de A sobre B
AB B osθC
Componente de B sobre A
Primera Propiedad
A BCos
A.B
ˆ ˆ 1i i
ˆ ˆ 1j j
ˆ ˆ 0i j
ˆˆ 0j k
ˆˆ 0i k
xAiA ˆ
ˆ ˆ 1k k
yAjA ˆ
zAkA ˆ
ZZYYXX BABABABA
Segunda Propiedad
Producto vectorial de dos
vectores
BAC
θABC senBxA
ˆˆ ˆj i k
jik ˆˆˆ
Primera propiedad
Segunda propiedad
0ii
ˆ ˆj 0j
0kk
kji ˆˆˆ
ikj ˆˆˆ ˆ ˆ ˆk j i
ˆˆ ˆi k j
El modulo del producto vectorial de dos vectores
representa el area del paralelogramo.
Por lo cual, el area del triangulo sera la mitad de
la que corresponde al paralelogramo
2
θ.
2ATrian g u lo
senbabxa
Producto Vectorial: AxB
ZYX
ZYX
BBB
AAA
kji
BxA
x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC A B (A i A j A k) (B i B j B k)
X Y Z Z YC A B A B
y z x x zC A B A B
z x y y xC A B A B
Demostrar:
ANGULOS DIRECTORES , y
X ZYA = i + j + kA A A
22 2
Y
y
X
ZX
ZA A
Ai j kAu u
A
A
A
AA
a
A
x
y
z
A
Sea (alfa) el angulo que forma el eje X positivo con el vector A
Son aquellos que definen la direccion de un vector en el espacio
Sea (beta) el angulo que forma el eje Y positivo con el vector ASea (gamma) el angulo que forma el eje Z positivo con el vector A
Propiedad 1:
Sea:
A
A
A
ACos XX
A
A
A
ACos YY
A
A
A
ACos ZZ
Propiedad 2:
1222 CosCosCosPropiedad 3:
kCosjCosiCoskA
Aj
A
Ai
A
A ZYXA
...
Siendo:
222 )()()( ZYX AAAAA
XAYA
ZA
Vector unitario
Determinese la suma de los siguientes vectores:
Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ
kji-5B ˆ3ˆ2ˆ
kji4C ˆ2ˆ7ˆ
ˆ ˆR 2i+3j
Ejemplo 2:
8m
10m
5m
A
B
C
Determine la suma de los
vectores indicados
x
y
z ˆ ˆR 8i+10j-10k
Ejemplo
Dados los vectores:
ˆˆ ˆ3 3 5
ˆˆ ˆ4 5 3
A i j k
B i j k
Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b) El producto vectorial entre ambos
c) El ángulo que forman entre sí.
d) El vector unitario de A.
e) El vector unitario de
2A B 42m
ˆ ˆA B 16i-11j+3k
24,91
ˆ ˆ ˆˆ 0, 458i+0,458j-0,763kA
A B
xy
z
A
B
BACosuCompP
B
A
B
A
B
..
Vector Proyeccion de A sobre B
B
Bu
θA
BP
BA
BACos
.
BB
BA
B
B
B
BAu
B
BAu
BA
BAAuCompP
BBB
A
B
A
B
).
2().(.)
.(.
..
A
B
A B A BComp ACos A
A B B
ˆ ˆ( ).A
B BBP A u u
1. Determine la Componente de A sobre B
2. El vector Proyección de B sobre C
Ejemplo:
k5j8i3A ˆˆˆ kji-5B ˆ3ˆ2ˆ
kji4C ˆ2ˆ7ˆ
2,271A
BComp
ˆˆ ˆ1,6231 2,8495 0,8116B
CP i j k
.. , . . . , . . .
. 2 3 ... .. 2 3 .
. . . : . (2 ) 6.
Calcule X si se sabe que es perpendicular los
vectores F i j k y G i j k
y satisface la condicion X i j k
La fuerza F = 500 N actua en A,
tal como se muestra en la
figura. Calcule las
componentes de esta fuerza a
lo largo de los ejes AB y AC.
Sustente su respuesta.
THE END!
Higher Education:
Let’s make it all that it can be and needs to be!Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!
Profesor: M.Sc Tito Vilchez