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Resolución 3

Según el gráfco:

v1=cos (90−∅

1 )+cos (∅1 )+cos ( θ1 )   v

2=cos (90−∅

2 )+cos (∅2 )+cos ( θ2 )

Pidenv

2−v

1

¿sen (∅2)−sen (∅1 )+cos (∅2 )−cos (∅1 )+cos (θ2 )−cos (θ1 )

¿2cos(∅2+∅

1

2   )sen( ∅2−∅

1

2   )−2 sen( ∅2+∅

1

2   )sen (∅2−∅

1

2   )−2 sen (θ2+θ

1

2   )sen( θ2−θ

1

2   )

(∅2+∅1

2   )−¿ sen

(∅2+∅1

2   )cos¿¿

¿2 sen (∅2−∅

1

2   )¿

Resolución 6

El triángulo tiene, por defnición, la siguiente coordenada:

( a+b+c

3;

a ' +b' +c ' 

3)

Resolución 7

Siendouθ y u p unitarios

Al moverse el punto por el plano, las coordenadas polares camian con el

tiempo

 ρ= ρ (t ) y θ=θ(t )  siendo r= ρu p

Para otener la velocidad derivamos la posición respecto al tiempo !vectores",

sin emargo los vectores unitariosuθ y u p  tami#n var$an:

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v=d  r

dt  =

d ( ρu p )dt 

¿ dρ

dt  . u p+

d u p

dt   . ρ   ¿ ρ ' u p+u p ' ρ A%ora %allamosu p '   donde

los vectores i , j  no var$an, esto es:

i' = j' =0

&sando la regla de la cadena

d u p

dt  =

d u p

dθ  .

 dθ

dt  =θ ' (−senθi+cosθ   j)

Además (−senθi+cosθ j)=uθ

'a velocidad será:

v= ρ ' u p+uθ ρθ' 

Siendo el primer sumando, en la dirección radial, ( el segundo en la dirección

perpendicular a la radial)

Resolución *

 A=10 (cos3 πt i+ (2+sen3 πt )   j)  B=10(cosπti+senπt j)

Piden la posición de A con respecto de +

r    A /B=r  A−r B

En otras palaras  A−B

uedando:

−20 ( sen2πtsenπt ) i+20(1+cos2 πtsenπt ) j

Resolución -

.e la pregunta número 7, las componentes de la velocidad eran:

v= ρ ' u p+uθ ρθ' 

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Según el prolema, reempla/amos  ρ  por r , 0uedando:

v=r ' u p+uθ rθ ' 

En otras palaras:

v=dr

dt  +(r .

duθ

dt   )

.espu#s:   v=dr

dt  +(r .

 d (−senθ i+cosθ   j)dt 

  )

Resolución 12

A   ρ (cos60,cos30,cos45)=( ρ2

, ρ√ 32

, ρ√ 22  )   B=(2,−3,1 )

 A−B ! ρ

2−2;

 ρ

2 √ 3+3 ;

 ρ

2 √ 2−1¿

B∨¿¿ A−¿ √(

 ρ

2−2)

2

+( ρ

2 √ 3+3)

2

+( ρ

2 √ 2−1)

2

4perando:

¿1

2 √ 6 p

2−8 p+12 p√ 3−12 p √ 2+56

¿ A∨¿B∨¿=( ρ

2, ρ √ 3

2, ρ √ 2

2 ) (2,−3,1 )

(√ ρ2

4+

 ρ32

4+2 ρ

2

4 ) (14 )

=( 2−3√ 3+√ 2

2√ 21   )

cosθ=

 A .

B¿

θ=arccos  (2−3√ 3+√ 2

2√ 21)   θ=101.20 °