Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x -...
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Ver Respuestas
1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41
2) x - 3 = 25 7)
3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x
4) 9) 6 = 5x - 4
5) 5x - 6 = 48 10)
1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41
2) x - 3 = 25 7)
3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x
4) 9) 6 = 5x - 4
5) 5x - 6 = 48 10)
Pre-pruebaPre-prueba
486
x
204
5 x
843
2x
![Page 3: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/3.jpg)
1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =
2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60
3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =
4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2
5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18
1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =
2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60
3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =
4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2
5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18
Preprueba - RespuestasPreprueba - Respuestas
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7
37
3
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Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con adiferente de cero.
Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con adiferente de cero.
DefiniciónDefinición
2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5
3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0
8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1
2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5
3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0
8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1
Ejemplo 1: Ecuaciones linealesEjemplo 1: Ecuaciones lineales
Definición de una ecuación lineal
![Page 5: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/5.jpg)
5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado
6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado
5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado
6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado
Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones linealesContraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales
Definición de una ecuación lineal
También podemos decir que ax + b = ces una ecuación de primer grado en x.También podemos decir que ax + b = ces una ecuación de primer grado en x.
NotaNota
![Page 6: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/6.jpg)
Decimos que la solución o raíz de una ecuación es elvalor que satisface a la ecuación, es decir, la convierteen una proposición cierta.
Decimos que la solución o raíz de una ecuación es elvalor que satisface a la ecuación, es decir, la convierteen una proposición cierta.
Solución o raíz de una ecuaciónSolución o raíz de una ecuación
Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7obtenemos:
2(7) + 5 = 19 14 + 5 = 19 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación2x + 5 = 19
Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7obtenemos:
2(7) + 5 = 19 14 + 5 = 19 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación2x + 5 = 19
Ejemplo 2Ejemplo 2
Raíz o solución de una ecuación
![Page 7: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/7.jpg)
Si en la ecuación 7x - 5 = 16 sustituimos x por 3obtenemos:
7(3) - 5 = 16 21 - 5 = 16 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación7x - 5 = 16
Si en la ecuación 7x - 5 = 16 sustituimos x por 3obtenemos:
7(3) - 5 = 16 21 - 5 = 16 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación7x - 5 = 16
Ejemplo 3Ejemplo 3
Raíz o solución de una ecuación
![Page 8: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/8.jpg)
Si en la ecuación 4x - 9 = 31 sustituimos x por 8obtenemos:
4(8) - 9 = 31 32 - 9 = 31 Proposición Falsa
Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31
Si en la ecuación 4x - 9 = 31 sustituimos x por 8obtenemos:
4(8) - 9 = 31 32 - 9 = 31 Proposición Falsa
Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31
Contraejemplo 2Contraejemplo 2
Raíz o solución de una ecuación
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Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes sitienen las mismas soluciones o raíces.Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes sitienen las mismas soluciones o raíces.
Ecuaciones equivalentesEcuaciones equivalentes
Ecuaciones equivalentes
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Ecuaciones equivalentes
Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentesporque las dos tienen la misma solución, x = 4.Veamos:
6(4) - 4 = 20 24 + 4 = 20 6(4) = 24
20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto
Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.
Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentesporque las dos tienen la misma solución, x = 4.Veamos:
6(4) - 4 = 20 24 + 4 = 20 6(4) = 24
20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto
Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.
Ejemplo 4Ejemplo 4
![Page 11: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/11.jpg)
Resolver una ecuación significa encontrar la solución através de la obtención de ecuaciones equivalentesutilizando las reglas básicas de las igualdades queestudiaremos a continuación.
Resolver una ecuación significa encontrar la solución através de la obtención de ecuaciones equivalentesutilizando las reglas básicas de las igualdades queestudiaremos a continuación.
Resolver una ecuaciónResolver una ecuación
Solución de una ecuación
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Reglas Básicas de las igualdades
Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:
A + C = B + C A - C = B - C
Podemos sumar o restar una misma cantidad a amboslados de una misma ecuación obteniendo una ecuaciónequivalente a la ecuación original.
Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:
A + C = B + C A - C = B - C
Podemos sumar o restar una misma cantidad a amboslados de una misma ecuación obteniendo una ecuaciónequivalente a la ecuación original.
Regla 1Regla 1
![Page 13: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/13.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva x + 5 = 18
x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados
x = 13 Solución
Resuelva x + 5 = 18
x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados
x = 13 Solución
Ejemplo 5Ejemplo 5
![Page 14: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/14.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva x - 6 = 19
x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados
x = 25 Solución
Resuelva x - 6 = 19
x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados
x = 25 Solución
Ejemplo 6Ejemplo 6
![Page 15: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/15.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 7 = -3 + x
7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados
10 = x Solución
Resuelva 7 = -3 + x
7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados
10 = x Solución
Ejemplo 7Ejemplo 7
![Page 16: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/16.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:
A · C = B · C
Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad(diferente de cero) a ambos lados de una mismaecuación obteniendo una ecuación equivalente a laecuación original.
Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:
A · C = B · C
Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad(diferente de cero) a ambos lados de una mismaecuación obteniendo una ecuación equivalente a laecuación original.
Regla 2Regla 2
C
B
C
A
![Page 17: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/17.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 7x = 56
Dividimos por 7 a ambos lados
x = 8 Solución
Resuelva 7x = 56
Dividimos por 7 a ambos lados
x = 8 Solución
Ejemplo 8Ejemplo 8
7
56
7
7x
![Page 18: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/18.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva
Multiplicamos por 6 a ambos lados
x = 180 Solución
Resuelva
Multiplicamos por 6 a ambos lados
x = 180 Solución
Ejemplo 9Ejemplo 9
)30(66
6
x
306
x
![Page 19: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/19.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva -4x = -28
Dividimos por 4 a ambos lados
x = 7 Solución
Resuelva -4x = -28
Dividimos por 4 a ambos lados
x = 7 Solución
Ejemplo 10Ejemplo 10
4
28
4
4
x
Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dosreglas para resolver la misma ecuación.Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dosreglas para resolver la misma ecuación.
NotaNota
![Page 20: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/20.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 3x + 5 = 8Resuelva 3x + 5 = 8
Ejemplo 11Ejemplo 11
13
3
3
3
33
58553
x
x
x
x Restamos 5 a ambos lados
Simplificamos
Dividimos por 3 a ambos lados
Solución
![Page 21: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/21.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva
Prueba:
Resuelva
Prueba:
Ejemplo 12Ejemplo 12
54
)18(33
3
183
61266
x
x
x
x Sumamos 6 a ambos lados
Simplificamos
Multiplicamos por 3 a ambos lados
Solución
1263
x
12618
1263
54
Cierto
![Page 22: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/22.jpg)
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 120 – 80x = 50
Prueba:
Resuelva 120 – 80x = 50
Prueba:
Ejemplo 13Ejemplo 13
8
780
70
80
80
7080
1205080120120
x
x
x Restamos 120 a ambos lados
Simplificamos
Dividimos por -80 a ambos lados
Solución (Simplificada)
5070120
508
780120
Cierto
![Page 23: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/23.jpg)
Ver Respuestas
1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41
2) x - 3 = 25 7)
3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x
4) 9) 6 = 5x - 4
5) 5x - 6 = 48 10)
1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41
2) x - 3 = 25 7)
3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x
4) 9) 6 = 5x - 4
5) 5x - 6 = 48 10)
Post-pruebaPost-prueba
486
x
204
5 x
843
2x
![Page 24: Ver Respuestas 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41 2) x - 3 = 257) 3) 5x = 1108) 3 = 8 + 3x 4) 9) 6 = 5x - 4 5) 5x - 6 = 48 10) 1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062315/5665b42c1a28abb57c8fc4fc/html5/thumbnails/24.jpg)
1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =
2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60
3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =
4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2
5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18
1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =
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3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =
4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2
5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18
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