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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EN EL PRIMER CICLO DE PRIMARIA

ÁMBITOS DE MEJORA

PROPUESTAS

Autores: Moncho Pellicer, Alfred (Coordinador)

Martínez Iniesta, J. Miguel Queralt Llopis, Tomás Villar Torres, Benidel

FEBRERO - 2009

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ÍNDICE PREVIO A LA MAQUETACIÓN

1 – LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Concepto de problema (P. 4)

Aspectos fundamentales a considerar (P. 5)

2 –TIPOS DE PROBLEMAS EN PRIMER CICLO DE PRIMARIA (p. 6)

Problemas aritméticos (aditivo-sustractivos) (P. 7)

• De transformación o cambio (P. 8)

• De combinación o composición de medidas (P. 17)

• De comparación (P. 20)

• De igualación (P. 26)

• Índice de dificultad de los problemas aritméticos(P. 29)

Problemas geométricos (P. 30)

• Problemas con geoplano (P. 30)

• Problemas con puzzles: tangrams, pentaminos y policubos (P. 34)

Problemas lógicos y de estrategia (P. 40)

Problemas de recuento sistemático (P. 44)

Problemas de azar y probabilidad (P. 46)

Problemas topológicos (P. 50)

3 – FASES EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA (52)

Fase 1: Comprender el problema (p. 52)

• Comprensión del enunciado (p. 52)

E.1. Enunciados orales (p. 53 )

E.2. Enunciados gráficos (p. 53 )

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E.3. Enunciados con muy poco texto (p. 55)

E.4. Enunciados con texto (p. 56 )

E.5. Enunciados con texto desordenado (p. 61 )

E.6. Enunciados con información no útil (p. 61)

E.7. Enunciados incompletos (p. 62 )

E.8. Enunciados con varias soluciones (p. 62)

E.9. Enunciados abiertos (p. 63)

E.10. Enunciados con muy pocos datos numéricos (p. 63)

E.11. Enunciados de investigación (p. 63)

• Análisis del enunciado (p. 64)

Fase 2:Elaborar un plan de resolución (p. )

Fase 3: Ejecutar el plan (p. 66)

Fase 4: Comprobar el resultado (p. 66)

• Estimación de la validez del resultado (p. 66 )

• Exactitud del resultado obtenido (p. 67)

Desarrollo de las fases mediante un ejemplo práctico (p. 67)

4 – CONCLUSIONES (p.72)

5 – BIBLIOGRAFÍA (p. 73)

6 – PÁGINAS WEB (76)

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1 – LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Concepto de problema.

Previamente distinguiremos entre ejercicios, problemas e investigaciones matemáticas:

- Ejercicios: en su enunciado aparecen claramente los datos, la condición, las cantidades o los objetos que hay que encontrar, así como la estrategia a seguir en su resolución. Son actividades de aplicación de contenidos o algoritmos aprendidos o memorizados.

- Problemas: su enunciado ya no es tan explícito: la estrategia de resolución debe ser descubierta por la persona que quiere resolverlo. No se resuelven con la aplicación de una regla.

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- Investigaciones matemáticas: actividades abiertas donde no se dan criterios para abordarlas y que dejan mucha libertad a quien las estudia, ya que incluso las incógnitas a resolver pueden depender de las interrogaciones que surjan a lo largo del proceso de la investigación.

Por tanto podemos afirmar que:

“Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o grupo, que requiere solución, y para la que no se

vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma.” (para resaltar al margen)

Las notas características que diferencian a los problemas matemáticos de los ejercicios y las investigaciones nos vendrían dadas en función de si realmente: representan un desafío y un propósito a conseguir; son accesibles para quienes se enfrentan al problema; tiene interés y despierta curiosidad y voluntad para resolverlo a la vez que precisa del conocimiento de algunas técnicas matemáticas sencillas para la resolución.

Como nos afirma Mª Antonia Canals, profesora emérita de la Universitat de Girona, “los buenos problemas plantean situaciones nuevas, próximas a la realidad del alumno, e implican un reto que te hace pensar, imaginar … Se adecuan al nivel evolutivo del alumno y pueden admitir más de una solución”.

Es importante resaltar que en la resolución de problemas: no hay un procedimiento general o regla que los alumnos puedan aprender y aplicar, que no se reduce sencillamente a un algoritmo, que no se puede enseñar paso a paso y que – siguiendo en términos de negación - no están planteados simplemente para hacer cálculos, sino más bien, para hacer pensar.

Por esto, es muy importante que los maestros dispongamos de una buena selección de problemas y que éstos sean de calidad, que nos aprovisionemos de una gran variedad de ellos - para que a la vez -, nos permitan trabajar todos los enfoques posibles. También es requisito absolutamente imprescindible, facilitar como docentes la creación de un ambiente de clase que invite a los alumnos a explorar, arriesgarse, compartir experiencias con sus compañeros, preguntar a unos y a otros (incluido su maestro). En definitiva, fomentar hacia una verdadera participación activa, responsable y creativa.

Aspectos fundamentales a considerar

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En el caso del alumnado adscrito al primer ciclo de Educación Primaria, debemos tener en cuenta la realización de un trabajo previo de introducción a la resolución de problemas.

Por ello, en función de las características propias de su desarrollo madurativo, procuraremos hacer dicha inclusión:

- Planteando situaciones problemáticas orales a través del juego, buscando la participación de todos los alumnos y apoyándonos en materiales concretos tales como ábacos, regletas, bloques lógicos, policubos, …etc.

- Presentando las situaciones problemáticas de forma significativa y variada.

- Planteando problemas abiertos enseñaremos a nuestros alumnos a que una misma situación se puede resolver de diversas formas.

- Trabajando la resolución de problemas de todas las formas posibles.

- Fomentando que los alumnos comenten los enunciados con sus compañeros.

- Ayudando y animando a los alumnos a que expresen el problema con sus propias palabras.

- Enseñando a los alumnos a que se apoyen en dibujos y diagramas antes de resolver el problema.

- Procurando que no todas las situaciones problemáticas se representen por escrito, para no producir rechazo por parte del alumno.

- Incitando a que sea el alumnado quienes alumnos inventen y planteen situaciones problemáticas.

Dibuixar un àbac

2 – TIPOS DE PROBLEMAS EN EL PRIMER CICLO DE PRIMARIA

Todavía en la actualidad – en muchas de nuestras escuelas - es muy frecuente que a los alumnos se les propongan problemas muy parecidos

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en su contenido, además de ser enunciados o presentados en su forma, de manera bastante repetitiva.

Bajo esta perspectiva, el problema propuesto deviene en un ejercicio cuya resolución siempre implica el mismo procedimiento (generalmente incluso una misma operación), circunstancia ésta por la qué el alumnado no interioriza el proceso de resolución sino que “aprende” un procedimiento viciado y relacionado, con la forma preposicional planteada.

En gran cantidad de ocasiones, cuando al alumnado se le inquiere la resolución de un “nuevo problema”, sin pararse a reflexionar demasiado en la información que le proporciona el texto, -a veces incluso cuestiona

en voz alta ¿Maestro, maestra, éste es de sumar o de restar? -, el alumno aplica el “procedimiento operativo relacional aprendido” para dar una

respuesta casi automática. (para resaltar al margen)

Como nos afirma de nuevo la profesora Mª Antonia Canals y en consonancia con el pensamiento expresado anteriormente: “el error, de entrada, es que muchos alumnos, inseguros delante de un problema, intentan adivinar cual es la operación que tienen que realizar, suma, resta, multiplicación, … Y son muchas veces los propios maestros quienes les llevan a este error inicial de actitud con preguntas como ¿qué tienes que hacer, una suma o una resta?. Este es el camino contrario al razonamiento.”

Así y con demasiada frecuencia, cuando le sugerimos que nos explique por qué se ha de utilizar o aplicar una u otra operación, frecuentemente no saben que contestarnos.

También es bastante habitual observar que cuando el alumnado “aprende” una determinada forma de presentación de los datos, ante una misma situación cuya forma se diferencie de la aprendida, no sepa cómo actuar.

Por todas estas y muchas más razones que nuestros compañeros/as docentes también habrán observado e intentado corregir (a través de su quehacer docente y experiencia didáctica con su alumnado), es fundamental que el profesorado explore todas las posibilidades -tanto en situaciones como en la presentación de datos-, que nos permiten las diferentes tipologías de problemas, especialmente al ciclo inicial, en donde todavía el campo de las posibles operaciones a realizar es bastante limitado, pero no así la capacidad de razonamiento, intuición y deducción del alumnado que lo configura.

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Problemas aritméticos (aditivo/sustractivos)

Englobamos en este apartado todos los problemas en los que aparecen datos numéricos y que pueden resolverse mediante una operación aritmética: suma, resta, multiplicación y división.

Es muy importante que el docente sea consciente que para la resolución de estos problemas, los alumnos en un principio, tienen que apoyarse en material manipulativo (fichas de colores, ábaco, regletas, …) simultaneándola con la expresión oral para comunicar lo que realiza y a continuación, proceder a la expresión escrita mediante dibujos, algoritmos, …, de tal forma que aunque estos problemas puedan resolverse mediante una operación aritmética sencilla, es conveniente y desde luego necesario al principio y muy especialmente cuando la edad de los alumnos es menor, que se resuelvan siempre primero de forma manipulativa, (fase del modelado) y posteriormente formulen la operación aritmética ejercitando para ello el algoritmo correspondiente.

De esta manera estaremos trabajando el concepto de la operación que se trate y que siempre será más comprensible mediante la manipulación de materiales que a través del algoritmo estándar de la operación.

El pedagogo catalán impulsor de la escuela activa, Alexandre Gali, transmitía la siguiente reflexión: “los problemas primero hay que pensarlos, hemos de pedir al niño que haga un trabajo mental, que nos explique qué pasa, qué pasará, cómo cree que se resolverá la situación … antes de darle papel y lápiz para que haga operaciones, de lo contrario podríamos caer en el error de pensar que resolver problemas es hacer una operación o aplicar una fórmula adecuada y ya está”

Pongamos un ejemplo:

Luisa tiene 5 caramelos y Antonio 3 caramelos. Para saber cuántos caramelos tienen entre los dos, podemos: (1) colocar 5 palitos a un lado y 3 palitos al otro. Para saber cuantos palitos tenemos en total, los juntamos y los contamos: 8 palitos; (2) hacer la suma 5 + 3 = 8.

Nos parece evidente que la primera opción se aproxima más a la realidad descrita en el problema por lo que la resolución es más comprensible para el alumno. De hecho, la segunda opción es una traducción a lenguaje matemático que presupone una reflexión previa (en abstracto) para decidir qué operación se ha de realizar.

Por tanto esta segunda opción conlleva un nivel de dificultad mucho más alto que la primera. Será un objetivo que tendremos que trabajar y lograr que nuestros alumnos lo alcancen, pero en ningún caso puede ser

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el procedimiento inicial, especialmente cuando estamos hablando de alumnos de los primeros niveles.

Para trabajar los conceptos de suma (adición) y de resta (sustracción) habrá que presentar variadas situaciones con todos los verbos que impliquen o tengan que ver con esa idea.

Así, el concepto de suma tiene que ver con los verbos: juntar, unir, añadir, ganar, recoger, coger…. y el de resta con los verbos: quitar, dar, repartir, perder, tirar,...etc.

El docente utilizará diferentes recursos manipulables (ábacos, regletas, bloques lógicos, policubos,…) para trabajar estos conceptos, de manera que los niños trabajen la descomposición de todos los números de una cifra de todas las maneras posibles. También trabajará el concepto de suma y resta con este material manipulable.

En función de la/s operación/es que se deban realizar, clasificaremos los problemas aritméticos en:

- problemas aditivo/sustractivos (aquellos que se pueden resolver mediante la adición o la sustracción.

- problemas multiplicativos (aquellos que se pueden resolver mediante la multiplicación o la división).

Tomando en consideración que las presentes orientaciones van dirigidas – de modo preferencial - al profesorado del primer ciclo de educación primaria y dado que tanto la multiplicación como la división son contenidos conceptuales y procedimentales de segundo y tercer ciclo respectivamente, incidiremos de manera más sistemática en los ya mencionados problemas aditivo/sustractivos.

Clasificaremos los problemas aritméticos aditivo/sustractivos (en función de los datos y de la situación que se plantea en el enunciado) en cuatro tipologías: problemas de transformación o cambio, problemas de

combinación o composición de medidas, problemas de comparación y problemas de igualación. (para poner al margen)

A continuación pasamos a ver en detalle cada una de estas modalidades.

• Problemas de transformación o cambio

Son aquellos en los que se produce una transformación de una situación inicial a una situación final y “la incógnita del problema” puede

ser cualquiera de los tres elementos que intervienen: la situación inicial, la transformación o situación final. (para poner al margen)

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En ciclos superiores se utilizan estos tipos de problemas aumentando su dificultad mediante el procedimiento de presentar más de una transformación en el mismo enunciado.

Este tipo de problema vendría definido por el esquema siguiente

en el que conoceríamos dos datos y tendríamos que averiguar el tercero.

Ello significa tres problemas distintos y con índices de dificultad diferente, según tengamos que calcular la situación final, la situación inicial o la transformación producida.

Y como la transformación puede ser creciente (con aumento) o decreciente (con disminución), este tipo de problemas genera 6 modelos de problemas posibles a los que llamamos T1 a T6, como se indica en la tabla adjunta:

Tipo de

transformación Situación

inicial Transformación

Situación final

T1

creciente

Conocida Conocida ¿?

T2 Conocida ¿? Conocida

T3 ¿? Conocida Conocida

T4

decreciente

Conocida Conocida ¿?

T5 Conocida ¿? Conocida

T6 ¿? Conocida Conocida

Veamos con más detalle estos modelos de problemas

Transformación

Situación inicial Situación final

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Tipo T. 1. Transformación creciente. Incógnita: situación final

Ejemplo: Ana tiene 37 cromos de una colección de naturaleza. Su padre le regala 8 cromos más. ¿Cuántos cromos “tiene ahora” Ana?

(para resaltar al margen el dibujo)

Este modelo de problema puede resolverse básicamente de dos formas:

o Añadimos los 8 cromos a los 37 iniciales, de forma manipulativa, utilizando cualquier recurso didáctico para representar dicha cantidad (canicas, lápices, gomas,...) y contar e incluso, cromos reales que tengamos en nuestro “rincón matemático”.

37 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 45

o Podemos resolverlo con material manipulativo como es el ábaco, lo que resulta muy didáctico, pues le obliga al alumno a tener que pasar por la decena neta. Aspecto este muy práctico para el cálculo mental. La representación gráfica de la resolución seria el siguiente: a 37 le añade 8, pero en primer lugar 3 para obtener 40 (decena neta) y a continuación 5, obteniendo 45.

Ana: 37 cromos

+ 8 cromos

Ana: ¿...? cromos

8

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Imatge: ábaco 1

●● ●●●●●●●●

●● ●●●●●●●●

●● ●●●●●●●●

●● ●●●●● ●●●

●● ●●● ●●●●●

o O bien, a los 37 cromos iniciales, les sumamos los 8 cromos regalados mediante la utilización del pensamiento matemático global qué identifica la cantidad de objetos descifrados en el intelecto con la expresión numérica gráfica y simbólica adecuada:

37 + 8 = 45

Tipo T. 2. Transformación creciente. Incógnita: transformación

Ejemplo: Ana tiene 17 cromos y su padre le regala en su cumpleaños varios cromos nuevos. Al juntarlos todos, Ana tiene ahora 29 cromos. ¿Cuántos cromos le regaló su padre?

Este modelo de problema puede resolverse básicamente de cuatro formas:

Ana: 17 cromos

+ ¿? cromos

Ana: 29 cromos

37 + 8 = 37 + 3 + 5 = 40 +

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o Añadimos cromos a 17, de uno en uno, hasta llegar a 29, mediante el procedimiento manipulativo ya expuesto en la primera forma de resolución del ejemplo anterior:

17 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 29

o Con el ábaco: Tenemos 17 cromos y para obtener 29, deberemos añadir en primer lugar 3 (completar decena) para obtener 20 y a continuación 9 y así tendremos los 29. En total hemos añadido 12 cromos.

Imatge ábac 2

●●●●●●●●●●

●●●●●●● ●●●

●● ●●●●●●● ●

o A los 29 cromos finales, vamos quitando de uno en uno, manipulativamente o contando, hasta llegar a 17 y luego contamos cuántos cromos hemos quitado:

29 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 17

o A los 29 cromos finales, vamos quitando de uno en uno, manipulativamente o contando, los 17 cromos iniciales y lo que quedan son los que hemos añadido:

12

12

17 + 3 + 9 = 29

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29 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 - ... - 1 – 1 – 1 – 1 – 1 12

o Si utilizamos el ábaco de nuevo, deberemos colocar la cantidad total de 29 cromos y a continuación, iremos quitando hasta quedarnos con los 17 iniciales. Seguidamente, quitamos en primer lugar los 9 cromos de la tercera fila y a continuación 3 cromos de la segunda, en total hemos quitado 12 cromos.

Imatge ábac 3

●●●●●●●●●●

●●●●●●● ●●●

●●●●●●●●● ●

o A los 29 cromos finales les restamos los 17 cromos iniciales:

29 – 17 = 12

Tipo T. 3. Transformación creciente. Incógnita: situación inicial

Ejemplo: A Ana su padre le ha comprado 8 cromos de una colección de naturaleza. Si ahora tiene 19 cromos, ¿cuántos cromos tenía Ana antes?

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Ana: ¿…? cromos

+ 8 cromos

Ana: 19 cromos

29 - 9 - 3 = 17

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Este modelo de problema puede resolverse básicamente de dos formas:

o Separamos o quitamos, ya sea manipulativamente o contando, del total de 19 cromos los 8 cromos regalados y quedarán los cromos que Ana tenía antes del regalo.

19 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 11 cromos

o Veamos con el ábaco: colocamos los 19 cromos que tiene Ana y a continuación quitamos los 8 cromos que le ha comprado su padre para quedarnos con los cromos que tenía al principio.

Imatge ábac 4

●●●●●●●●●●

● ●●●●●●●●

o A los 19 cromos finales les restamos los 8 que le regalaron:

19 – 8 = 11

Tipo T. 4: Transformación decreciente. Incógnita: situación final

Ejemplo: Luisa tenía 26 galletas y le dio 7 galletas a su amiga Rosa ¿cuántas galletas le quedan a Luisa?

(para resaltar al margen imagen galletas)

8

19 - 8 = 11

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Este modelo de problema puede resolverse básicamente de dos formas:

o Quitamos las 7 galletas a las 26 iniciales, ya sea manipulativamente o contando:

26 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 19

o Con el ábaco, colocamos las 26 galletas y a continuación, para quitar las 7 galletas que da Luisa a su amiga Rosa, quitamos primero 6 galletas (completar decena) y nos quedan 20, seguidamente volvemos a quitar 1, quedando las 19 galletas.

Imatge ábac 5

●●●●●●●●●●

●●●●●●●●● ●

●●●●●● ●●●●

o A las 26 galletas iniciales les restamos las 7 galletas regaladas:

Luisa: 26 galletas Luisa: ¿? galletas

- 7 galletas

7

26 - 6 - 1 = 19

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26 - 7 = 19

Tipo T. 5: Transformación decreciente. Incógnita: transformación

Ejemplo: Luisa tenía 26 galletas y le dio unas cuantas a su amiga Rosa. Si ahora le quedan 21 galletas ¿Cuántas galletas le dio a Rosa?

Este modelo de problema puede resolverse básicamente de tres formas:

o A las 26 galletas iniciales les vamos quitando galletas una a una, ya sea manipulativamente o contando, hasta que queden 21 galletas y luego calculamos las galletas quitadas:

26 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 21

o A las 21 galletas finales les vamos añadiendo galletas una a una, ya sea manipulativamente o contando, hasta llegar a 26 galletas y luego calculamos las galletas añadidas:

21 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 26

o A las 26 galletas iniciales les quitamos las 21 galletas finales y quedarán las galletas que recibió Rosa:

26 - 1 - 1 - 1 - ... - 1 - 1 5

Luisa: 26 galletas

- ¿…? galletas

Luisa: 21 galletas

5

5

21

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o Veamos de nuevo con el ábaco: deberemos colocar las 26 galletas y quitar las galletas necesarias para que nos queden 21. La cantidad quitada, 5 galletas, seria la solución.

Imatge ábac 6

●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

● ●●●●● ●●●●

o A las 26 galletas iniciales les restamos las 21 galletas iniciales:

26 - 21 = 5

Tipo T. 6: Transformación decreciente. Incógnita: situación inicial

Ejemplo: Luisa tenía un paquete con galletas y le dio 7 galletas a su amiga Rosa. Si en el paquete le han quedado 22 galletas. ¿Cuántas galletas tenía al principio?

Este modelo de problema puede resolverse básicamente de dos formas:

Luisa: ¿…? galletas

- 7 galletas

Luisa: 22 galletas

26 - 5 =

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o A las 22 galletas finales les añadimos las 7 galletas entregadas a Rosa ya sea manipulativamente o contando y obtendremos las galletas iniciales:

22 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 29

o Con el ábaco seria: colocaríamos las 22 galletas que le han quedado en el paquete a Luisa y a continuación le añadiríamos las 7 galletas que había dado a Rosa y así obtendremos las galletas que había al principio,o sea, 29 galletas

Imatge ábac 7

●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●● ●●●●●●● ●

o A las 22 galletas finales les sumamos las 7 galletas regaladas:

22 + 7 = 29

• Problemas de combinación o composición de medidas

En este tipo de problemas no intervienen ninguna transformación que suponga un cambio, sino que “dos o más medidas se combinan para obtener una tercera”.

Ello implica la existencia al menos de 3 magnitudes diferentes, las dos iniciales y una tercera que “engloba” semánticamente a las anteriores.

(para sacar al margen)

7

22 + 7 = 29

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En una situación típica de combinación: en una clase hay 10 niños y

12 niñas. En total hay 22 alumnos. las dos primeras cantidades se refieren a dos magnitudes diferentes (niños y niñas) y la tercera cantidad se refiere a una magnitud (alumnos) que engloba a las dos primeras.

Este tipo de problema vendría definido por el siguiente esquema

CP1 CP2

CG

en el que CP1 y CP2 serían las cantidades parciales y CG la cantidad global.

El orden en que se presentan las cantidades parciales es irrelevante y no existe diferencia entre que se ignore la CP1 o la CP2. Por ello sólo hay dos modelos de problemas de combinación, según la incógnita sea la cantidad global o una cantidad parcial, como se recoge en la tabla siguiente:

Modelo Cantidad parcial

1 Cantidad parcial

2 Cantidad global

C1 Conocida Conocida ¿ … ?

C2 Conocida ¿ … ? Conocida

¿ …? Conocida Conocida

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Veamos con más detalle estos modelos:

Tipo C.1. La incógnita es la cantidad global

Ejemplo: En el parque hay una pajarera con 15 canarios y 9 periquitos. ¿Cuántos pájaros hay en total en la pajarera?

(para sacar imagen al margen)

Este tipo de problema puede resolverse básicamente de tres formas:

o Representar manipulativa o gráficamente los 15 canarios y los 9 periquitos. A continuación, los juntamos todos y contamos cuántos pájaros hay en total:

1 + …. + 1 + 1 15 c. 1 + …. + 1 + 1 9 p.

1 + 1 + …. + 1 + 1 + 1 24 pájaros

CP1 = 15 canarios CP2 = 9 periquitos

CG = ¿…? pájaros

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o A una de las cantidades parciales se le añade, de forma manipulativa, gráficamente o también contando, la otra cantidad parcial y se obtiene la cantidad global:

15 canarios + (1 + 1 + … + 1 + 1) 24 pájaros

o Se suman las cantidades parciales y se obtiene la cantidad global:

15 (canarios) + 9 (periquitos) = 24 (pájaros)

Tipo C.2. La incógnita es una de las partes

Ejemplo: En el parque municipal hay una pajarera con 22 pájaros. Si 15 de ellos son canarios y el resto periquitos ¿Cuántos periquitos hay en la pajarera?

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de dos formas:

o A la cantidad parcial conocida se le añaden uno a uno, de forma manipulativa o contando, hasta llegar a la cantidad global. Basta con calcular lo que hemos añadido:

15 canarios + 1 + 1 + … + 1 + 1 22 pájaros

9 periquitos

CP1 = 15 canarios CP2 = ¿…? periquitos

CG = 22 pájaros

7 periquitos

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o A la cantidad global conocida se le quita, de forma manipulativa o contando, la cantidad parcial conocida, obteniéndose la otra cantidad parcial:

22 pájaros - 1 - 1 – 1 - … - 1 - 1 7 periquitos

• Problemas de comparación

Cuando hablamos de este tipo de problemas establecemos una comparación entre algunas de las cantidades que intervienen en el problema.

A una de las cantidades que se comparan se le denomina “cantidad

de referencia” (CR), y a la otra “cantidad comparada” (CC). La tercera cantidad que interviene es la “diferencia” (D) que hay entre las cantidades

comparadas. (para sacar al margen)

Este tipo de problemas viene definido por el siguiente esquema: D CR CC

En función del tamaño de CR y CC pueden darse dos situaciones:

- Si CR < CC la comparación se denomina creciente

Ejemplo: Luis tiene 7 cromos (CR) y Manuel tiene 12 cromos (CC). Por tanto Manuel tiene 5 cromos más (D) que Luis.

- Si CR > CC la comparación se denomina decreciente

Ejemplo: Luis tiene 13 cromos (CR) y Manuel tiene 9 cromos (CC). Por tanto Manuel tiene 4 cromos menos (D) que Luis.

Como por otra parte la incógnita puede ser cualquiera de las tres cantidades presentes ello, nos conduce irremediablemente a considerar, tres modelos de problema de comparación creciente y otros tres de

15 canarios

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comparación decreciente, es decir 6 modelos diferentes, como se indica en la siguiente tabla de referencia:

Modelos Tipo de

comparación

Cantidad de

Referencia

Cantidad Comparada

Diferencia

Com1

creciente

Conocida Conocida ¿ … ?

Com2 Conocida ¿ … ? Conocida

Com3 ¿ …? Conocida Conocida

Com4

decreciente

Conocida Conocida ¿ … ?

Com5 Conocida ¿ …? Conocida

Com6 ¿ … ? Conocida Conocida

Veamos con más detalle estos modelos y los principales procedimientos de resolución:

Tipo Comp. 1. Comparación creciente. Incógnita: diferencia

Ejemplo: Juan tiene 12 años y Ana tiene 5 años. ¿Cuántos años tiene Juan más que Ana?

D: CC ¿ … ? años > CR

CR 5 años CC 12 años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de cuatro formas:

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o Representamos gráficamente o mediante materiales manipulativos los 12 años de Juan y debajo hacemos lo mismo con los 5 años de Ana. Luego procedemos a contar los años de más que tiene Juan.

CC = Juan 7

CR = Ana

o A los 5 años de Ana les vamos añadiendo años, de forma manipulativa o contando, uno a uno hasta llegar a los 12 de Juan. Luego calculamos los años añadidos para averiguar la diferencia.

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 12 años

o A los 12 años de Juan les vamos quitando años, de forma manipulativa o contando uno a uno, hasta llegar a los 5 de Ana. Luego calculamos los años quitados para averiguar la diferencia.

12 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 5 años

o A los años de Juan les restamos los años de Ana y averiguamos la diferencia entre ambos.

12 - 5 = 7

Tipo Comp. 2. Comparación creciente. Incógnita: cantidad comparada

7 años

7 años

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Ejemplo: Ana tiene 5 años y Juan tiene 7 años más que Ana ¿Cuántos años tiene Juan?

D: CC 7 años > CR

CR 5 años CC ¿ … ? años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de tres formas:

o A los 5 años de Ana les añadimos, de forma manipulativa o contando, los 7 años de más que tiene Juan y luego calculamos el total:

Ana: 5 años Diferencia: 7 años

+

o A los 5 años de Ana les añadimos, de forma manipulativa o contando, los 7 años de más que tiene Juan y luego calculamos el total:

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 12 años

o A los años de Ana les sumamos los años de más que tiene Juan y obtenemos la edad de éste.

5 + 7 = 12

Tipo Comp. 3. Comparación creciente. Incógnita: cantidad de referencia

Juan: 12 años

Diferencia

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Ejemplo: Juan, que ha cumplido 12 años, tiene 7 años más que Ana ¿Cuántos años tiene Ana?

D: CC 7 años > CR

CR ¿ … ? años CC 12 años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de tres formas:

o Representamos gráficamente o mediante materiales manipulativos los 12 años de Juan, separamos los 7 años de menos que tiene Ana y lo que nos queda es la edad de Ana.

Diferencia

Juan: 12 años

Ana

o A los 12 años de Juan les quitamos, de forma manipulativa o contando, los 7 años de más que tiene Juan y luego calculamos el total:

12 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 5 años

o A los años de Juan le restamos los años de más que tiene Juan y obtenemos la edad de éste.

12 - 7 = 5

Tipo Comp. 4. Comparación decreciente. Incógnita: diferencia

5 años

28

Ejemplo: Juan tiene 13 años y Ana tiene 5 años. ¿Cuántos años tiene Ana menos que Juan?

D: CC ¿ … ? años < CR

CR 13 años CC 5 años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de cuatro formas:

o Representamos gráficamente o mediante materiales manipulativos los 13 años de Juan y debajo hacemos lo mismo con los 5 años de Ana. Luego podemos contar los años de menos que tiene Ana.

CR = Juan 8

CC = Ana

o A los 5 años de Ana les vamos añadiendo años, de forma manipulativa o contando, uno a uno hasta llegar a los 12 de Juan. Luego calculamos los años añadidos para averiguar la diferencia.

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 13 años

o A los 13 años de Juan les vamos quitando años, de forma manipulativa o contando, uno a uno hasta llegar a los 5 de Ana. Luego calculamos los años quitados para averiguar la diferencia.

8 años

29

13 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 – 1 5 años

o A los años de Juan les restamos los años de Ana y averiguamos la diferencia entre ambos.

13 - 5 = 8

Tipo Comp. 5. Comparación decreciente. Incógnita: cantidad comparada

Ejemplo: Juan tiene 12 años y Ana tiene 7 años menos que Juan ¿Cuántos años tiene Ana?

D: CC 7 años < CR

CR 12 años CC ¿ … ? años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de tres formas:

o Representamos gráficamente o mediante materiales manipulativos los 12 años de Juan, separamos los 7 años de menos que tiene Ana y lo que nos queda es la edad de Ana.

Diferencia

Juan: 12 años

Ana

8 años

5 años

30

o A los 12 años de Juan les quitamos, manipulativamente o contando, los 7 años de más que tiene Juan y luego contamos el total:

12 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 5 años

o A los años de Juan le restamos los años de más que tiene Juan y obtenemos la edad de éste.

12 - 7 = 5

Tipo Comp. 6. Comparación decreciente. Incógnita: cantidad de referencia

Ejemplo: Ana tiene 5 años y 7 años menos que Juan. ¿Cuántos años tiene Juan?

D: CC 7 años < CR

CR ¿ … ? años CC 5 años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de tres formas:

o A los 5 años de Ana les añadimos, de forma manipulativa o contando, los 7 años de más que tiene Juan y luego calculamos el total:

Ana: 5 años Diferencia: 7 años

+

o A los 5 años de Ana les añadimos, de forma manipulativa o contando, los 7 años de más que tiene Juan y luego calculamos el total:

Juan: 12 años

31

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 12 años

o A los años de Ana les sumamos los años de más que tiene Juan y obtenemos la edad de éste.

5 + 7 = 12

• Problemas de igualación

Los problemas de igualación suelen presentarse como un tipo de problemas aritméticos diferente de los anteriores y así se recoge en mucha de la bibliografía consultada.

Por nuestra parte consideramos que en realidad se trata de problemas de comparación, como los modelos estudiados en el apartado anterior, pero eso sí, con pequeñas diferencias en la formulación del enunciado.

Efectivamente, cuando se analiza un problema de comparación y otro de igualación, comprobamos que la situación que plantean es

exactamente la misma y la solución es la misma. La diferencia más significativa estriba en la “forma” en que se expresa la pregunta. (para

sacar al margen)

Lo veremos más claro con unos ejemplos: Ángel tiene 8 canicas y Paula 5 canicas ¿Cuántas canicas tiene más Ángel que Paula? (problema de comparación). Ángel tiene 8 canicas y Paula 5 canicas ¿Cuántas canicas necesita Paula para tener las mismas que Ángel? (problema de igualación)

En ambos casos, la situación es la misma: hay una comparación entre dos cantidades diferentes y las respectivas preguntas (cuántas tiene más y cuántas necesita para tener lo mismo) tienen idéntica respuesta: la diferencia entre las cantidades, es decir, 3 canicas.

Pese a lo anterior, dado que la diferente forma de plantear la pregunta puede añadir un plus de dificultad, hemos decidido mantener este tipo de problemas, que podrían presentarse de seis formas distintas

Diferencia

32

según se recoge en la tabla siguiente y semejante a la de los modelos de problemas de comparación.

En ella, la igualación puede ser creciente o decreciente según haya que añadir o quitar a la cantidad de referencia para igualar la cantidad comparada

Así pues, sin ánimo de ser reiterativos y a modo de conclusión, podemos afirmar que en este tipo de problemas una de las cantidades (C. referencia) se debe modificar - aumentando o disminuyendo - para igualarse con la otra cantidad (C. comparada). De esta manera se combinarían un problema de cambio y otro de comparación.

Tipo de

igualación

Cantidad de

referencia

Cantidad comparada

Diferencia

I. 1

creciente

Conocida Conocida ¿?

I. 2 Conocida ¿? Conocida

I. 3 ¿? Conocida Conocida

I. 4

decreciente

Conocida Conocida ¿?

I. 5 Conocida ¿? Conocida

I. 6 ¿? Conocida Conocida

A continuación incluimos un ejemplo de cada tipo de problema de igualación y proponemos al lector que, siguiendo las pautas de resolución indicadas en los problemas de comparación, intente aplicarlas a estos modelos, lo que le servirá como ejercicio práctico y le permitirá comprobar por si mismo el acierto o error de nuestra tesis.

Tipo I. 1. Igualación creciente. Incógnita: diferencia

Ejemplo: Ángel tiene 8 canicas y Paula 5 canicas ¿Cuántas canicas necesita Paula para tener las mismas que Ángel?

Tipo I. 2. Igualación creciente. Incógnita: cantidad comparada

33

Ejemplo: Ángel tiene 8 canicas y si a Paula le diesen 3 canicas, entonces tendría las mismas canicas que Ángel ¿Cuántas canicas tiene Paula?

Imatge (para sacar al margen)

Tipo I. 3. Igualación creciente. Incógnita: cantidad de referencia

Ejemplo: Ángel tiene en su bolsita canicas y Paula tiene en la suya 5 canicas, si a Paula le regala su abuelo 3 canicas, tendría las mismas que Ángel ¿Cuántas canicas tiene Ángel?

Tipo I. 4. Igualación decreciente. Incógnita: diferencia

Ejemplo: Julia tiene 12 tebeos de Mortadelo y Filemón y Raúl 17 tebeos ¿Cuántos tebeos tendría que regalar Raúl a su hermano para tener los mismos que Julia?

Imatge (p.s.m)

Tipo I. 5. Igualación decreciente. Incógnita: cantidad comparada

34

Ejemplo: Remigio tiene 12 tebeos de Mortadelo y Filemón y si Raúl regalase a su hermano 5 tebeos de Mortadelo y Filemón, tendría los mismos que Remigio ¿Cuántos tebeos tiene Raúl?

Tipo I. 6. Igualación decreciente. Incógnita: cantidad de referencia

Ejemplo: Julia tiene tebeos de Mortadelo y Filemón en su habitación y Raúl tiene 17 tebeos de la misma colección en la suya. Si Raúl diese 5 tebeos a su hermano, tendría los mismos tebeos que Julia ¿Cuántos tebeos tiene Julia?

Imatge (p.s.m)

• Índice de dificultad de los problemas aditivo/sustractivos

El cuadro adjunto hace referencia a los niveles de dificultades referidos a los porcentajes de éxito en la resolución de los diferentes tipos de problemas aditivos de una sola etapa.

Tipo de problema Incógnita Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4

Transformación creciente

Cantidad final X

Transformación decreciente

Cantidad final X

Transformación creciente

Cantidad de transformación

X

Transformación decreciente

Cantidad de transformación

X*

Transformación creciente

Cantidad inicial X

Transformación decreciente

Cantidad inicial X

35

Tipo de problema Incógnita Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4

Combinación Todo X

Combinación Parte X

Comparación creciente

Diferencia X*

Comparación decreciente

Diferencia X*

Comparación creciente

Cantidad Comparada

X

Comparación decreciente

Cantidad Comparada

X

Comparación creciente

Cantidad de referencia

X*

Comparación decreciente

Cantidad de referencia

X*

Problemas geométricos

En este tipo de problemas se trabajan fundamentalmente conceptos geométricos – topológicos – mediante la relación de formas, tamaños, posiciones..... etc.

De esta forma y teniendo en cuenta el nivel educativo en que estamos trabajando (primer ciclo de educación primaria), los posibles componentes aritméticos como arista, vértice, ángulos,.... que aparezcan en ellos, pasarían a un segundo plano. Ahora, eso sí, la manipulación con materiales concretos ha de ser el referente y eje fundamental metodológico utilizado para su resolución.

• Problemas con geoplanos

El geoplano permite la resolución de situaciones problemáticas a través de la manipulación, lo que ayuda al alumno a enfrentarse con cercanía y facilidad a estas situaciones.

36

El geoplano fue inventado por el matemático pedagogo egipcio Galeb Gattegno (1911-1988) para enseñar geometría a niños pequeños. Consiste en una superficie plana en la que se dispone, de manera regular, una serie de puntos.

Imatge (p.s.m)

Dependiendo de cómo estén colocados estos puntos se distinguen varios tipos de geoplanos, aunque los que más se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado o cuadrangular y el circular.

Triangular Cuadrangular Circular

Todas las actividades propuestas se realizarán sobre un geoplano cuadrado (3x3, 4x4, 5x5,...) y que podemos suplir físicamente con una plantilla cuadriculada, en la que iremos anotando (DIBUJANDO) los resultados de las actividades.

En la actualidad disponemos de “geoplanos virtuales” en multitud de páginas Web referenciadas para poder trabajar a través de la red de forma que arrastrando con el ratón y/o con un simple “clic”, obtenemos el resultado deseado.

37

38

39

Ejemplo: Realiza en el geoplano y contesta, ¿cuántos puntos necesitas para formar un triángulo? ¿y para un cuadrado? ¿y para un rectángulo?

Ejemplo: En un geoplano 4 X 4, forma todos los cuadrados que se puedan, escribe la solución y coméntala con tus compañeros del grupo.

Ejemplo: Haz en tu geoplano una figura como la de la muestra

40

Ejemplo: A continuación te proponemos la siguiente actividad que debes plasmar en la plantilla cuadriculada: En un geoplano 2 x 2 (geoplano de 4 puntos) se puede trazar un polígono de tres lados y otro de cuatro lados. ¿De cuántos lados se pueden trazar polígonos en un geoplano 3 x 3, 4 x 4?

Ejemplo: ¿Cuántos cuadrados puedes hacer en un geoplano 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 y 5 x 5? Calcula el lado, y el perímetro y de cada cuadrado.

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• Problemas con Puzles: Tangrams , Pentaminós y Policubos

Tangrams

El más conocido es el Tangram chino, en el que el puzzle está compuesto de 7 piezas de diferentes formas geométricas (5 triángulos, 1 cuadrado y 1 romboide).

Cuando las piezas se juntan adecuadamente, forman un cuadrado, tal como se puede ver en el dibujo situado al margen.

Imatge (p.s.m) A partir de estas piezas y adaptándonos a la edad de los alumnos,

podemos proponerles diferentes tipos de problemas. Si bien, en principio y con el objetivo de que el alumnado vaya familiarizándose con el referido recurso, deberíamos sugerirles - como si de un juego se tratara -, la construcción de figuras conocidas y “divertidas” – ejemplificadas más abajo - , a la vez de otras que a bien seguro serán capaces de imaginar y construir.

42

Seguidamente habrá que proponerles la construcción de figuras más

difíciles, respetando siempre dos reglas fundamentales: (1) Utilizar la totalidad de las piezas del tangram en cada una de las construcciones y, (2) no superponer ninguna de las piezas.

Veamos unos ejemplos:

Pentaminós

Con relación a los pentaminós, debemos señalar en primer lugar, su propio significado. Es por ello que cuando hablamos de pentaminós, nos estamos refiriendo a todas las figuras posibles (en total 12) que se

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pueden componer con cinco cuadrados unidos entre si por uno de sus lados. Para su manipulación y fácil manejo, son fabricados generalmente en PVC.

Este material está aconsejado para ayudar a construir o consolidar

el conocimiento matemático sobre el principio de conservación de cantidad y no de forma.

Para utilizar diferentes unidades de superficie y encontrar figuras con idéntica superficie y diferente forma o de igual forma y superficie “el doble”, “la mitad”,... etc. También para construir figuras con igual superficie y observar la del perímetro máximo.

Previamente deberemos explicar a nuestros alumnos el significado de conceptos semejantes (como se indica a continuación) y que facilitaran el posterior reconocimiento y comprensión de los mismos.

Dos cuadrados unidos por los lados forman un dominó.

Tres cuadrados forman triminós.

Cuatro cuadrados tetraminós.

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Veamos, a modo de ejemplo, el planteamiento de una sencilla situación problemática: Intenta buscar los doce pentaminós que existen. Contrúyelos con cartulina. ¿Cuantos de estos pentaminós formarían una caja sin tapa?

La tarea propuesta pretende la búsqueda sistemàtica de los doce diferentes pentaminós:

Para ello, utilizar alguna estrategia heurística, como partir de los tetraminós he ir añadiendo cuadrados a cada cara, e ir descartando aquellos que se repiten, puede ser adecuada. A partir de ahí se le puede pedir al alumnos que construya cuadrados o rectángulos con las diferentes piezas.

El rectángulo de 6X10 resultará el más interesante de obtener, pues existen 2339 soluciones posibles.

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Policubos

Un policubo es una agregación de cubos idénticos de forma que cada cubo tiene como mínimo en común una cara con otro cubo. Los cubos son interesantes generadores de figuras espaciales.

El colorido y versatilidad de este material lo hace especialmente atractivo a los niños, que de manera inmediata lo cogen y construyen

figuras a su antojo. (p.s.m)

Tras un primer contacto, la tarea propuesta pretende que los alumnos trabajen la composición y descomposición del 10 en dos sumandos, como una tarea que colabora con la automatización del cálculo mental. Para ello, hay que pedirles orden en la identificación de las soluciones para determinarlas todas sin repeticiones. Se trata de ir conduciendo la tarea hacia la completa sistematización.

Como actividad previa y sugeridora podemos pedirles que utilizando piezas de dos colores construya un tren de longitud 10. ¿De cuantas formas distintas puede hacerse? Ahora utiliza cubitos de tres colores. ¿Qué combinaciones distintas puedes realizar para conseguir trenes de longitud 10?

Veamos aquí y ahora el planteamiento de alguna de las posibles tareas problemáticas que se le pueden sugerir al alumnado

Utiliza los cubos para resolver estos problemas.

Ejemplo: Estructuras de cuatro. Coge cuatro cubos y construye esta estructura. Ahora coge otros cuatro y has otra estructura diferente. ¿Cuantas estructuras distintas se pueden hacer con cuatro cubos?

Ejemplo: Construir escaleras. Utiliza los cubos para construir estas escaleras.

46

Anota aquí cuantos cubos te han hecho falta.

Número de escalones 1 2 3 4 5 6 7 8

Número de cubos 1 3

Ejemplo: Escaleras dobles. Utiliza ahora los cubos para construir estas escaleras.

Anota aquí cuántos cubos te han hecho falta.

47

Número de escalones 1 2 3 4 5 6

Número de cubos 1 4

Se pretende trabajar con los conceptos de rotación, simetría, similitud y diferencia, desde el punto de vista geométrico, conservación del volumen, progresiones. Hay que animar a los niños a crear la mayor cantidad posible de estructuras, y que luego las clasifiquen según la forma. El maestro debe discutir la relación entre el número de escalones y el número de cubos ¿Son capaces de deducir cuántos cubos serán necesarios en cada escalera antes de construirla?

Problemas lógicos y de estrategia.

Este tipo de problemas ayudan al alumnado a desarrollar la lógica y la estrategia, aspectos de importancia significativa para enfrentarse a

multitud de situaciones en la vida real y que en general no están siendo trabajados desde el inicio de la escolarización y que sin embargo

posteriormente son muy valorados. (p.s.m)

Veamos algunas propuestas (con tareas y situaciones problemáticas concretas ) de entre la gran variedad y diversidad de ejemplos que podemos encontrar.

Ejemplo de juego de estrategia: Coger fichas. Colocamos en la mesa diez fichas. Juegan dos jugadores y cada jugador puede coger una o dos fichas cada vez que le toque a él. El jugador que coja la última ficha pierde la partida.

Buscar la forma de actuar para ganar siempre la partida

Un nuevo ejemplo: Juego del 31. Juegan por turnos dos jugadores. El primero dice un número del 1 al 5. El segundo jugador le suma al número

48

que dijo el primer jugador, un número del 1 al 5 y dice el resultado. Así van jugando alternativamente. Gana el primero que diga 31.

Después de jugar varias partidas, comenzando en primer lugar uno cada vez; averiguar si tiene ventaja alguno de los jugadores.

Averiguar -si tiene- la forma de jugar (estrategia) para ganar siempre.

• 2 + 4 = 6

• + 3 = 9

• 9 + __

•

• = 31

Dentro de éstos problemas lógicos y de estrategia, también podemos considerar los cuadrados mágicos.

Se conocen como cuadrados mágicos aquellos que al sumar el valor de los mismos en horizontal, vertical o diagonal, obtenemos siempre un resultado numérico

coincidente. (p.r.m.)

Veamos un primer ejemplo sencillo: coloca en un cuadro de 3x3 los números del ’1 al 9 de manera que todas las líneas (horizontales, verticales y diagonales) sumen 15. “

8 3 4

1 5 9

6 7 2

49

El cuadrado más antiguo que se conoce es el que se expresa como solución a la cuestión planteada con anterioridad y que, según se dice, fue inventado por un matemático hindú 1.000 años antes de Jesucristo.

Ahora completa los datos que faltan en este cuadrado con datos numéricos, para que sea un cuadrado mágico (las filas, las columnas y las diagonales tienen que sumar lo mismo).

6 4

8

12

A continuación, veamos si eres capaz de completar también los cuadrados mágicos que te presentamos a continuación y que también sumarán 15. Ánimo, seguro que lo consigues.

Incluimos, dentro de esta tipológía, también los sudokus. ¿Sabes lo que es un sudoku? El Sudoku es un rompecabezas matemático de

6 2

1 9

8 3

2 9

7 3

1 8

50

colocación que se popularizó en Japón en 1986 y se dio a conocer en el ámbito internacional en 2005.

El objetivo es rellenar una cuadrícula 4X4, dividido en subcuadrículas de 2X2 donde debes poner las cifras del 1 al 4 sin repetir ninguna cifra en

una misma fila, columna o subcuadrícula. (p.r.m.)

El juego original consta de 9×9 celdas dividida en subcuadrículas de 3×3 con las cifras del 1 al 9 partiendo de algunos números ya dispuestos en algunas de las celdas. No se debe repetir ninguna cifra en una misma fila, columna o subcuadrícula.

Ejemplo de Balanzas: hemos de representar balanzas en las que aparecen distintos objetos, algunos de ellos con el peso marcado y el alumnado tiene que deducir el peso de algún objeto que figure en la balanza.

Veamos un caso concreto: fíjate bien en los objetos que hay en estas dos balanzas e intenta averiguar cuánto pesa el radiocasete. Después ordena los objetos según su peo.

4

4 1 3 2

2 3

3

2

2 3

3 2

2 4

51

> >

Los enigmas son ejercicios que hacen trabajar a la mente y desarrollan el pensamiento lógico, así como el método de trabajo para resolverlos, pasando por los tres estadios básicos en este ciclo: la manipulación, la comunicación oral y la representación escrita.

Es muy importante que los alumnos “discutan” sus resoluciones con sus compañeros, por parejas o en pequeños grupos para afianzar sus razonamientos.

Tres exploradores van por la selva y tienen que atravesar un río muy peligroso y es imposible hacerlo a nado. En la otra orilla hay dos

400 gr 400 gr

3

A

12

52

niños con una canoa y les piden que les ayuden a cruzar el río. Los niños aceptan pero les comentan que la canoa es muy frágil y que sólo admite en cada viaje el peso de los dos niños o el de un adulto. Intenta ayudarles a resolver esta situación.

Por último y dentro del presente apartado, consideraremos el trabajo con proposiciones

Las proposiciones sirven para estimular el razonamiento, la comprensión oral, la argumentación y el debate ente los alumnos.

(p.r.m)

Veamos un caso concreto: escribe al lado de cada frase, si es verdadero ( V ) o falso ( F ) lo que nos dice

- Si llueve, las calles estarán mojadas .........................................

- Si estoy en 2º de primaria, entonces tengo más de 5 años……….……….

- Si sumo dos números menores que 10, la suma es menor que 10….

- Si el suelo esta mojado, entonces es que ha llovido …………………………..

- Si tengo carné de conducir, entonces tengo coche …………………………...

- Si a una cantidad le quito otra, el resultado será menor que

la primera cantidad ……………………………………………………………………………....

- Si tengo un número par de cromos, entonces puedo hacer

un número exacto de parejas………………………………………………………………..

- Si mido más de 2 m., entonces juego a baloncesto ……………………….…..

Problemas de recuento sistemático

53

En este apartado entrarían aquellas situaciones problemáticas que tienen varias soluciones y que es necesario realizar recuentos para obtenerlas.

Con este tipo de problemas lo que intentamos desarrollar en los alumnos es su capacidad para actuar de forma sistemática, ya que es la

única forma de estar seguro de haber hallado todas las soluciones. (p.r.m.)

Veamos un ejemplo: Halla todas las formas posibles de pagar 50

céntimos de euro utilizando monedas de 10 y 20 céntimos de euro.

Para resolver este tipo de problema el alumno debe aprender a ejecutar dos pasos fundamentales: (1) delimitar para cada variable el número máximo de ocurrencias; (2) elaborar una tabla que permita recoger todas las combinaciones posibles de las variables que manejemos.

Así, en el ejemplo anterior el número máximo de monedas de 10 c.

que se pueden usar es 5 ya que 6 o más darían un resultado superior a los 50 céntimos buscados. Por la misma razón el número máximo de monedas de 20 céntimos es 2 ya que 3 daría un resultado superior a 50 céntimos.

Una vez delimitado el campo de ocurrencias posibles sabemos que

sólo podemos usar hasta 5 monedas de 10 c. y hasta 2 monedas de 20 c. y no perdemos el tiempo con combinaciones que de antemano sabemos que no cumplirán las condiciones del enunciado.

Concretado el primer paso, iniciaremos la elaboración de la tabla con la intencionalidad expresa de recoger las combinaciones que nos sugieren el número mayor de ocurrencias halladas en el paso primero.

En nuestro ejemplo debemos contemplar todas las combinaciones posibles de las monedas de 10 c. ( 0, 1, 2, 3, 4 y 5) con las monedas de 20 c. ( 0, 1 y 2). Ya sólo falta emparejar cada valor del primer grupo con todos los del segundo y calcular los resultados. (dibujar monedas de 1, 2, 5 10, 20 50 céntimos de euro y de euro)

54

Otro posible ejemplo: escribe el número de cuadrados que ves en el siguiente dibujo.

Monedas de 10 c.

Monedas de 20 c.

Total

0 0 0 céntimos 0 1 20 céntimos 0 2 40 céntimos 1 0 10 céntimos 1 1 30 céntimos 1 2 50 céntimos 2 0 20 céntimos 2 1 40 céntimos 2 2 60 céntimos 3 0 30 céntimos 3 1 50 céntimos 3 2 70 céntimos 4 0 40 céntimos 4 1 60 céntimos 4 2 80 céntimos 5 0 50 céntimos 5 1 70 céntimos 5 2 90 céntimos

55

Problemas de azar y probabilidad.

Tradicionalmente se pensaba que los conceptos que giran alrededor de la idea de azar y probabilidad no estaban al alcance de los niños antes de llegar a la etapa de las operaciones formales. Esta idea ha sido superada en tanto en cuanto se ha demostrado que si bien los niños no son capaces de medir y asignar una probabilidad a un suceso aleatorio, si que tienen capacidad para distinguir entre fenómenos aleatorios y deterministas, así como para comprender cuándo un suceso tiene más facilidad de ocurrencia que otro, y por tanto, asumir la idea de azar.

Veamos algunas sugerencias a modo de propuesta.

Ejemplo : Plon Chiribicú. Hay una cancioncilla usada para hacer sorteos que se le llama plon chiribicú, y dice así según los niños y las niñas de Alicante: plon chiribicú chiribicá chiribicuri curifa chiribicuri curifero ¿Cuántos hijos tiene el….. ?

Un grupo de niños inician la canción, entonando la misma y asociando cada expresión a uno de los participantes. Al finalizar la misma, el niño o niña cuyo orden coincide con la última expresión, dice (canta) un número del 1 al 20 y se vuelve a contar hasta que se llega a ese número.

Ejemplo : en una clase de primero han jugado 20 veces y le ha tocado 15 veces al mismo niño. ¿Crees que han jugado bien? ¿Por qué crees que habrá sido?

Jugar a sortear algo bastantes veces a ver si ocurre algo parecido.

En esta actividad los alumnos se percatan que si se empieza siempre por una determinada persona, la canción se acaba siempre en el mismo, por lo que si este repite el número el sorteo lo gana la misma

56

persona. La aleatoriedad se puede ver sesgada por esta actuación, por lo que el maestro intentará acercarse a provocar este comportamiento.

Ejemplo : la carrera de caballos.

Se necesita un tablero (cuadrícula con los números del 1 al 12 en la primera fila), dos dados de seis caras, numerados del uno al seis y fichas de varios colores. Puedes jugar con tus amigos, pero con la condición de que a cada jugador le corresponda una ficha de un color diferente.

a)Cada jugador coloca su ficha en la salida de cualquiera de las pistas. Lo mejor es elegir las pistas por turnos, para que cada uno pueda jugar en todas las pistas a lo largo de las distintas partidas. Recuerda que en la salida de cada pista solo debe haber una ficha. Ahora, podéis empezar a jugar. Tirad el dado por turnos y sumad los dos números que salgan. Si el número resultado de la suma, su valor coincide con el de tu pista, entonces mueve tu ficha a una casilla hacia delante. El que gana es el primero que cruza la meta.

b)Cuando termine la partida, discute el resultado con tus amigos. ¿Creéis que es justo el juego?

C)Jugad otra vez, pero ahora piensa con cuidado qué pista vas a elegir. Cuando hayáis terminado la segunda partida, comentad entre vosotros todo aquello que habéis descubierto.

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Aquí se pretende trabajar las ideas básicas de la probabilidad, el énfasis del conjunto de dos números y la importancia del tamaño de la

muestra. (p.r.m.)

Para ayudar a los niños en sus deducciones se pueden hacer preguntas del estilo: ¿Por qué no se ha movido la ficha de la pista 1? ¿Cuáles son las mejores pistas? ¿Dónde es preferible no colocar las fichas? ¿Observas alguna forma especial en la posición final de las fichas? ¿Hay alguna pista que no se ajuste a este esquema?

58

4

Ejemplo : dados raros.

En muchos juegos se utilizan los dados para hacer sorteos. Vamos a sortear entre los cuatro componentes de vuestro equipo un premio. Para ello pegaremos en cada cara de un dado de madera unas pegatinas en las que pondremos los números del 1 al 4. Como el cubo tiene seis caras, pondremos el número 4 en tres de las caras, para que no quede ninguna cara libre.

(p.r.m.)

●

● ●

● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

M E T A

59

Ahora, cada uno elige un número. Vais a tirar el dado muchas veces y contad quien gana cada vez que se tira el dado. ¿Hay alguien que gana más veces que el resto?

A continuación, construiremos otro dado diferente. Vamos a coger dos cubos de madera y los vamos a pegar por una cara. Después les ponemos una pegatina en cada una de las seis caras y tenemos “un cubo un poco alargado”.

Con este dado alargado queremos hacer un sorteo entre los miembros del grupo. ¿Cómo lo hacemos? Hacedlo y después lo contáis.

Problemas topológicos.

Son propuestas para afianzar conceptos topológicos como: arriba, abajo, encima, debajo, derecha, izquierda, delante, detrás, …

Ejemplo: colócate en la casilla de salida y realiza el siguiente recorrido: dos casillas hacia abajo, una a la izquierda, una hacia abajo, tres a la derecha y dos hacia abajo ¿Has alcanzado el trofeo? Escribe dos recorridos distintos que alcancen el trofeo.

S

60

Ejemplo: sitúate en la cuadrícula y partiendo de la casilla donde esta la bicicleta, escribe un recorrido de al menos 4 movimientos indicando hacia dónde se realizan (arriba, abajo, derecha, izquierda), hasta alcanzar el trofeo.

61

3 - FASES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMA

Revisando la abundante literatura sobre resolución de problemas encontramos, en casi todos los casos, que los autores coinciden en describir el proceso de la resolución de un problema como una serie de pasos, etapas o fases - como las denominaremos nosotros -, que se presentan con un orden que ha ser seguido por el alumno para alcanzar la meta deseada, o sea, la resolución del problema.

Estas coincidencias desaparecen cuando se trata de fijar cuántas son esas fases y cómo denominarlas.

Por nuestra parte, pese a que consideramos muy valiosa la propuesta de los profesores Luis Puig y Fernando Cerdán (1988) en su libro Problemas aritméticos escolares, nos hemos decantado por una propuesta más simple, basada en los planteamientos de G. Polya (1987) en Cómo resolver y plantear problemas.

Estas fases serían las siguientes: (1) comprender el problema, (2) buscar estrategias de resolución, (3) aplicar la estrategia elegida y (4)

comprobar la validez de la solución hallada. (p.r.m.)

Seguidamente analizaremos cada una de estas fases.

Fase 1: Comprender el problema

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El problema suele presentarse al alumno mediante un texto que recibe el nombre de “enunciado”. El enunciado suele estar formado por una serie de frases habitualmente escritas, aunque en muchos casos, y sobre todo en los primeros cursos, el enunciado puede presentarse de forma oral o incluso de forma gráfica.

• Comprensión del enunciado

La comprensión del problema significa, en primer lugar, la comprensión del enunciado y por tanto está íntimamente ligada a la capacidad de comprensión oral, escrita o gráfica del alumno.

Esta es una circunstancia que el profesor debe tener muy en cuenta y adecuar el grado de dificultad formal del enunciado al nivel alcanzado en cada momento por el alumno en su proceso de aprendizaje lecto-escritor.

La comprensión del problema, es decir “la comprensión del enunciado de un problema, es básica para la resolución del mismo”. Ello

requiere un trabajo específico para distinguir y comprender los datos que se dan en el enunciado del problema y la pregunta o preguntas que se

espera que contestemos, sea cual sea el tipo de problema que se presente. (p.r.m.)

Consideramos que es fundamental que se trabajen los diferentes tipos de enunciados y las múltiples variaciones que cada uno de esos tipos ofrecen a los docentes. Con ello no solo potenciaremos la comprensión de los enunciados sino que además evitaremos el aburrimiento de los alumnos y la transformación de los problemas - como consecuencia de la repetición de los enunciados -, en meros ejercicios cuya resolución el alumno memoriza e intenta aplicar, sin ninguna reflexión, a cualquier problema que se le presente.

Con el ánimo de ayudar a los docentes en su esfuerzo por ser creativos a la hora de formular los enunciados de los problemas y sin pretensión alguna de exhaustividad, indicamos algunas de las muchas variaciones que puede adoptar el enunciado de un problema, para posteriormente ver con detalle cada una de esas variaciones y algunas propuestas para ser trabajadas en el aula.

E.1. Enunciados orales Utilizando las variadas situaciones problemáticas que se dan en la vida diaria de la escuela, se plantearán y se resolverán oralmente a través de la intervención del grupo clase o bien, en primer lugar, por grupos y a continuación, su puesta en común. Ejemplos de posibles situaciones problemáticas:

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Ejemplo: José y Amparo están jugando en el recreo con canicas.

Amparo tiene 7 canicas y José 4 canicas ¿Cuántas canicas le faltan a José para tener las mismas que Amparo?

Ejemplo: Toni tiene que pintar 6 dibujos en una ficha, si ya ha pintado 2 dibujos. ¿Cuántos le faltan por pintar? E.2. Enunciados gráficos Debido a que los alumnos se encuentran en un periodo inicial en lecto-escritura y no poseen un dominio de ella, es conveniente resolver problemas que les sean presentados en forma gráfica, donde el alumno a la vista de un dibujo o fotografía, verbaliza una situación problemática o varias y las resuelve. (cal refer el dibuixos pels editors - qüestions de drets d’autor -)

Ejemplo de posibles respuestas de los alumnos: - Mi madre compró 6 huevos y se le rompieron 2 huevos. ¿Cuántos huevos le quedan para hacer la cena? - Al abrir el frigorífico me he encontrado 4 huevos enteros y 2 huevos rotos. ¿Cuántos huevos había en el frigorífico?

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- …. (cal refer el dibuixos pels editors - qüestions de drets d’autor -)

Ejemplos de posibles respuestas de los alumnos: - En una partida de bolos lancé la bola y tire al suelo 4 bolos, si en total había 12 bolos ¿Cuántos bolos no cayeron al suelo? - En una partida de bolos mi amigo José lanzó la bola y tiro 4 bolos y quedaron en pie 8 bolos: ¿Cuántos bolos hay en la partida? - …

E.3. Enunciados con muy poco texto: Los alumnos, o el maestro, apoyándose en el dibujo y la información que se les da, inventan situaciones problemáticas. (cal refer el dibuixos pels editors - qüestions de drets d’autor -)

Ejemplos de posibles situaciones problemáticas: - ¿Quién es el niño mayor? - ¿Quién es el menor?

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- ¿Cuántos años tienen entre los tres niños?. - Si juntamos los años que tienen Beatriz y Samuel. ¿Cuántos le faltan para tener los de Víctor?

(cal refer el dibuixos pels editors - qüestions de drets d’autor -)

- Rosa va al supermercado a comprar con su madre, si compran 1 pollo, 1 docena de huevos, 1 bolsa de pan de molde. ¿Cuánto se han gastado? - Si compramos todos los productos que hay en el cartel ¿Cuánto nos gastaríamos? … - ¿Cuántos productos podríamos comprar con 10 €? Haz un listado de todas las posibilidades

E.4. Enunciados con texto:

Centrándonos en los problemas de texto, proponemos distintas formas de trabajarlos para facilitar con ello su comprensión y solución. Trabajar frases que significan lo mismo pero dichas de otra forma.

Ejemplo: -Pablo es más bajo que Isabel -Isabel es ________________ -Isabel tiene más años que Pablo -Pablo tiene _______________

-Pablo tiene más hermanos que Isabel -Isabel tiene_______________

-Pablo es más gordo que Isabel -Isabel es ___________________ Comprender la situación propuesta

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Ejemplo: Juan es más bajo que Pedro, pero más alto que Ana. Ordénalos por altura. Ejemplo: Paula, Jorge y Marta comieron alimentos diferentes en el desayuno. Uno-a comió magdalenas, otro-a galletas y el otro-a tostadas. Paula no comió magdalenas ni tostadas. Jorge no comió magdalenas. ¿Qué desayunó cada uno? Identificar datos y pregunta

Una vez planteado oralmente el problema o posteriormente leído por parte del alumno, se le pide que identifique los datos del problema y la pregunta.

Ejemplo: José tiene 19 globos rojos, María 12 globos amarillos. ¿Cuántos globos tienen entre los dos?

Datos: ¿Cuántos globos tiene José? ____ ¿Cuántos globos tiene María? ____ ¿Qué pregunta el problema? _____ lo que nos preguntan

Identificar la información necesaria.

Ejemplo: Rosa esta mirando un catalogo de material escolar. Quiere comprar un estuche, una regla y una agenda. Para saber cuanto le costará lo que quiere comprar, necesita (marca con una X) Las páginas que tiene el catalogo………………….□ La dirección de la papelería …………………….…….□ El precio de la regla………………………………………..□ El nombre del dueño de la papelería ………….…□ El precio de la agenda …………………………………..□ La cantidad de dinero que tiene en la hucha .□ El precio del estuche ………………………………….… □

Traducir con sus propias palabras la situación problemática.

Lo que sabemos

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Ejemplo: en el parque hay 48 palomas y 14 pavos reales ¿Cuántos pavos reales harían falta para que hubiesen los mismos que palomas?

Relacionar el concepto operacional con el verbo que expresa la acción (de una lista dada) necesaria para resolver el problema

Ejemplo: la madre de Rosa compra 12 m. de tela para hacer un

disfraz y le sobran 3 m. de tela ¿Cuántos metros de tela ha utilizado para hacer el disfraz a Rosa ?

El alumno lee el enunciado y se ledice que elija de las siguientes

acciones -juntar, repartir, quitar- la que cree que debe realizar para resolverlo

Dramatizar o representar la situación problemática mediante un dibujo o gráfico.

Ejemplo: Juan hace una colección de cromos de coches de carreras.

Tiene 16 cromos y la colección es de 30 coches ¿Cuántos cromos le faltan?

Juan tiene le faltan

Ejemplo: los alumnos de 2º de primaria de nuestro colegio se han

ido de excursión en un autobús de dos pisos, si en el 2º piso iban 29 alumnos y en el 1er. piso iban 14 alumnos más que en el segundo ¿Cuántos alumnos de 2º de primaria se fueron de excursión?

Pues, que hay 14 pavos y quiero que haya los mismos que palomas es decir 48 ¿Cuántos pavos faltan?

29

14 + 29

Total:

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Sustituir los datos dados por otros más sencillos que le permitan simplificar el problema y resolverlo con más facilidad

Ejemplo: en un invernadero hay 764 rosas rojas, cuando van a recogerlas se encuentran con 149 rosas marchitas ¿Cuántas rosas quedarán en buen estado?

Ejemplo: en un invernadero hay 5 rosas rojas, cuando van a recogerlas se encuentran con 2 rosas marchitas ¿Cuántas rosas quedarán en buen estado? Inventar preguntas que tengan sentido en relación con un conjunto de informaciones dadas para el problema.

Ejemplo: Paula cumple 8 años y en su fiesta del cumpleaños hay

12 globos blancos, 15 amarillos y 9 rojos ¿Cuántos globos hay en total?. ¿Cuántos globos hay más amarillos que rojos?. Si juntamos los globos rojos y blancos ¿Cuántos hay más que amarillos?

Ficar dibuix globus al marge

Inventar problemas que tengan las mismas estructuras que otros ya resueltos.

Ejemplo: la madre de Elisa tiene 35 años y es 28 años mayor que su hija.¿Cuántos años tiene Elisa?

Elegir la expresión que resuelve el problema correctamente entre varias dadas.

El padre de mi amigo Manuel tiene 29 años y es 21 años mayor que su hijo. ¿Cuántos años tiene Manuel?

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Ejemplo: para llenar una garrafa de aceite he echado 9 litros en primer lugar y después 7 litros. ¿Cuántos litros caben en la garrafa?. Elige la operación que nos da la respuesta correcta marcando con una cruz en el cuadrado.

9 – 7 litros 9 + 7 litros

Ejemplo: Francesc tiene 11 años y su madre 49 años ¿Cuántos años le lleva la madre a Francesc? 49 + 11 49 - 11 Ante una situación problemática de transformación, estimar si el resultado final aumenta o disminuye.

Ejemplo: en casa de Irene hay un frutero con 16 frutas, si en la merienda con sus amigas se comen 7 frutas. ¿Cuántas frutas quedarán en el frutero? ¿Creéis que al final en el frutero habrá más frutas o menos? Dibujar frutero p.s.m.

Ejemplo: José tiene 17 cromos y su hermano le regala 5 cromos ¿Cuántos cromos tendrá ahora José? ¿José, tendrá más o menos cromos al final? Inventar problemas a partir de esquemas de resolución dada la situación problemática.

Ejemplo: escribe el enunciado de un problema que se resuelva con la siguiente operación ( presentadas de distintas formas):

16 + 8 =

1 6 + 8

70

S.I. S.F.

8 16 +

Buscar posibles problemas a partir de la solución E.5. Enunciados con el texto desordenado Que ordene un problema que se presenta desordenado para que tenga sentido y pueda resolverse.

Ejemplo: [¿Cuántos tomates quedan en la caja?] [24 tomates,] [tiramos 6 porque se han podrido] [Una caja tiene]

La respuesta es: 18 años

Maria tiene 8 años más que su hermano David, si este tiene 10 años ¿Cuántos años tiene Maria?

Marta, Luís y Rosa tienen 6 años cada uno ¿Cuántos años tienen entre los tres?

S.I. S.F.

16 8

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Ejemplo - Respuesta: una caja de tomates tiene 24 tomates, tiramos

6 porque se han podrido ¿Cuántos tomates quedan en la caja? E.6. Enunciados con información no útil

Que sepa descubrir datos que no son útiles para la resolución del problema:

Ejemplo: en un tren que viaja a 90 Km./h van 86 pasajeros, si bajan 32 pasajeros ¿Cuántos pasajeros quedan en el tren?

(Dibuixar tren i ficar al marge)

Ejemplo: un jugador de baloncesto de 2 m de altura, realiza en la primera hora del entrenamiento 35 tiros a canasta y en la segunda hora 41 tiros a canasta ¿Cuántos tiros a canasta ha realizado en las 2 horas de entrenamiento?

E.7. Enunciados incompletos Los alumnos han de leer atentamente el enunciado y analizarlo críticamente, comentando que les parecen y si es posible obtener una solución.

Ejemplo: un edificio tiene 12 pisos y en cada piso hay 5 viviendas ¿Cuántas personas viven en el edificio?

Ejemplo: en la fiesta de cumpleaños de Ana hay 6 compañeros y 7 compañeras de clase ¿Cuántos años cumple Ana?

Ejemplo: en la pescadería un kilo de salmón costaba hoy 5 €, ayer costaba 6 € ¿Cuánto costará mañana?

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Ejemplo: en un estanque hay 14 patos y 8 cisnes. Si se van 9 patos y algunos cisnes ¿Cuántos cisnes quedan? E.8. Enunciados con varias soluciones

El alumno tiene que escribir todas las soluciones que encuentre para resolver el problema.

Ejemplo: en una bolsa de tela negra hay varias canicas de color rojo y varias de color azul. Si meto la mano sin mirar y saco dos canicas ¿De cuántas colores posibles saldrán las canicas?

Ejemplo: llevo en el bolsillo del pantalón varias monedas de 2 €, 1 € y 50 céntimos. Si meto la mano sin mirar y saco tres monedas ¿Cuánto dinero puedo sacar?

Ejemplo: en la heladería venden unos cucuruchos con tres bolas de helado. Se pueden elegir 2 sabores: chocolate y fresa; también 3 sabores: chocolate, fresa y vainilla. ¿Cuántos cucuruchos distintos se pueden formar?. Si la bola de chocolate cuesta 50 céntimos y la de fresa 75 céntimos, escribe al lado de cada helado lo que cuesta. ¿Cuánto dinero obtendrá la heladería si vende todos los helados que hemos formado? Rehacer dibujo p.s.m E.9. Enunciados abiertos

Este tipo de problema permite al alumnado libertad absoluta para su resolución y puesto que hay distintas maneras para resolverlos, es el alumno el que debe tomar las decisiones que considere son las más apropiadas.

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Además, este tipo de problemas al tener varias soluciones, son asequibles a “todo” el alumnado, permitiendo así desarrollar su propia iniciativa.

Ejemplo: si el perímetro de una figura es 12 ¿Cuál es la figura?

Ejemplo: tres pastelitos de nata y tres pastelitos de hojaldre nos han costado 15 euros. ¿Cuánto vale cada uno? E.10. Enunciados sin casi datos numéricos

Ejemplo: “Tres amigos quieren disputar un pequeño torneo de tenis y tienen que jugar un partido entre cada uno de ellos ¿Cuántos partidos tendrán que jugar?. Si son 4 amigos ¿Cuántos partidos jugarían? E.11. Enunciados de investigación

Ejemplo: “En un cuadrado de 3 X 3, pon una ficha en cada cuadricula e investiga cuantas fichas puedes poner sin que haya tres en raya (formando una línea). Averigua lo mismo con un cuadrado de 4 X 4

• Análisis del enunciado

● ● ●

●

●

● ● ●

●

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Una vez que el alumno ha comprendido la situación que se le plantea, debe realizar un análisis pormenorizado de la información que ofrece el enunciado y obtener respuesta a una serie de interrogantes,

tales como: ¿Qué datos aparecen?, ¿Qué es lo que se nos pide?, ¿Todos los datos que se nos ofrecen son relevantes?, ¿Algún dato es innecesario?,

¿Tenemos todos los datos necesarios?, ¿Cómo será la solución?, ¿Podemos hacer una estimación del resultado?(p.s.m)

Es conveniente que los alumnos se acostumbren a plantearse estas cuestiones ante cualquier problema, a modo de protocolo, dejando constancia escrita de los resultados del análisis pormenorizado.

También es muy importante que se apoyen en algún dibujo, esquema o gráfico para representar el enunciado y de esta forma identificar más fácilmente los datos y comprender mejor el problema.

Incluso, sobre todo en el caso de los alumnos de menor edad, es aconsejable que el alumno “dramatice” o exprese con sus propias palabras el enunciado o lo comente con algún compañero ya que ello le obligará a reflexionar sobre la situación y a entenderla mejor.

Fase 2: Elaborar un plan de resolución

Una vez identificados los datos, comprendida la situación y puesto en claro qué es lo que hay que averiguar, el alumno debe plantearse qué acciones debe realizar. Es decir, debe elaborar un plan de actuación, una estrategia que le permita llegar, desde los datos conocidos a la solución requerida.

En esta fase, como en las restantes, es muy importante que sepamos combinar el trabajo individual de cada alumno con el trabajo en

grupo. Esta fase de elaboración del plan se presta especialmente al intercambio de ideas, al debate y, en definitiva, al trabajo cooperativo.

(p.s.m.)

Y debemos dejar muy claro a nuestros alumnos que suele haber múltiples estrategias o formas de resolver un problema.

De hecho, una de las prácticas más interesantes cuando estamos resolviendo un problema colectivamente, consiste en no conformarnos con obtener la solución de una determinada forma e insistir a los alumnos en que piensen en resolver el problema utilizando estrategias diferentes.

Esta práctica dotará a nuestros alumnos de un rico bagaje de estrategias usadas previamente de las que podrán hacer uso ante un problema nuevo.

75

Podría parecer que éste recurso a las experiencias previas contradice nuestras propias palabras cuando preveníamos contra la costumbre de repetir modelos de problemas que terminaban en ser aprendidos de memoria y convertidos en meros ejercicios. Lo que proponemos no es que los alumnos aprendan “modelos” de problemas y su resolución, sino que aprendan estrategias de resolución, que comprueben que problemas diferentes pueden ser resueltos con una misma estrategia y que todo problema es susceptible de ser resuelto con estrategias diferentes.

Y cuando hablamos de estrategias de resolución nos referimos, por ejemplo, a:

- Modelización. Crear representaciones plásticas del enunciado y los datos del problema, al principio mediante objetos manipulables y sucesivamente avanzar en el proceso de simbolización, pasando por dibujos, gráficos y esquemas de relaciones entre los datos. Estas estrategias de modelización están especialmente indicadas en los primeros cursos. También puede pedirse a los alumnos de cursos posteriores que resuelvan el problema con más de una estrategia y que, en ese caso, la primera sería la modelización.

- Técnicas de ensayo y error. Suponer el problema resuelto con cantidades elegidas en el rango (conjunto de valores) marcado por una previa estimación de la solución. Aplicando sucesivamente las soluciones estimadas al problema, comprobaremos qué cantidades se acercan más a cumplir las condiciones del problema hasta encontrar una cantidad que las cumpla exactamente. Esa será la solución.

- Operación aritmética: Si hemos identificado en el enunciado alguna operación aritmética (suma, resta, multiplicación o división) aplicaremos a los datos los algoritmos correspondientes para obtener la solución.

Fase 3: Ejecutar el plan

Consiste en poner en práctica la estrategia prevista, pero no de forma irreflexiva. Hay que valorar en todo momento cómo se está llevando a cabo el proceso y si cada paso se adecua al objetivo marcado.

76

También es muy importante que el alumno se acostumbre a dejar constancia escrita de los pasos, deducciones y operaciones realizados.

Esta precaución facilita la explicación posterior de cómo se ha resuelto el problema y sirve de hilo conductor para repasar lo realizado a la búsqueda

de un posible error. (p.s.m.)

Al mismo tiempo hay que estar atentos a toda nueva información que pueda descubrirse o deducirse de los pasos ya realizados. Si la nueva información aparece, hay que ver cómo encaja con los datos previos y si debemos o no replantearnos la estrategia.

Hay que ser perseverante y aplicar la estrategia elegida hasta alcanzar la solución. Y si llegásemos a la conclusión de que la estrategia elegida no es adecuada, no hay que desanimarse ni abandonar; tan sólo es cuestión de replantearnos la estrategia.

Esta es una idea que debemos conseguir que cale en los alumnos: la buena noticia es que casi todos los problemas matemáticos que se les presenten tienen solución; sólo hay que encontrarla.

Fase 4: Comprobar el resultado Los alumnos deben habituarse a no dar por bueno cualquier resultado obtenido, sino que siempre hay que comprobar si ese resultado constituye la solución buscada del problema. Consideramos que es conveniente que dicha comprobación incluya dos pasos sucesivos: la estimación de la validez del resultado y la comprobación de la exactitud del resultado.

• Estimación de la validez del resultado.

Estimar la validez del resultado consiste en comprobar si éste

pertenece al rango de valores “posibles”. Cuando en la primera fase hablábamos del análisis del enunciado,

citábamos, entre otros interrogantes, el de ¿podríamos hacer una estimación del resultado? Lo que nos planteábamos era que debemos acostumbrar al alumno a que reflexione y, a partir de los datos del enunciado, establezca un rango de resultados “posibles”.

Una vez hecho esto, si el resultado obtenido no está incluido en el

rango de la estimación previa, debemos sospechar que algo no está bien hecho: o hemos cometido un error en la aplicación de la estrategia o en los cálculos realizados (y hemos de acostumbrar a los alumnos a que repasen lo realizado) o tal vez el error existió al establecer la estimación del resultado.

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• Exactitud del resultado obtenido.

De cualquier forma, nunca estaremos totalmente seguros de haber hallado la solución si no damos un paso más y comprobamos la exactitud del resultado.

El primer paso consiste en repetir los cálculos utilizando un

procedimiento diferente. En algunos casos es útil sustituir el dato ignorado por el resultado obtenido y comprobar si las relaciones entre los datos se mantienen y las condiciones del problema se cumplen.

Y por último, hallada la solución, estimulemos a los alumnos para que busquen otra forma de resolver el problema, para que apliquen una estrategia diferente.

Desarrollo de las fases mediante un ejemplo práctico

Desarrollamos seguidamente una propuesta didáctico-metodológica concreta para trabajar con el alumnado las cuatro fases de resolución expuestas con anterioridad, explicitando cada una de las secuencias que llevaremos a cabo y con la intencionalidad expresa de conseguir, con éxito, resolver un problema aritmético típico. Problema: los alumnos de 3º curso de primaria de nuestro colegio se han ido de excursión en un autobús de dos pisos. Si en el primer piso iban 29 alumnos y en el segundo piso iban 14 alumnos más que en el primero, ¿cuántos alumnos de 3º de primaria se fueron de excursión?

Dibujar un autobús de dos pisos (p.s.m) Fase 1: Comprender el problema a) Comprender el enunciado.

“Un grupo de alumnos van de excursión en un autobús y queremos saber cuántos alumnos son.”

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b) Analizar el enunciado.

¿Qué datos aparecen en el enunciado?

- “Son alumnos de 3º de primaria” - “El autobús tiene 2 pisos”

- “En el primer piso van 29 alumnos” - “En el segundo piso van 14 alumnos más que en el primer piso”

(p.s.m)

¿Qué es lo que se nos pide?: “Hay que saber cuántos alumnos van en el autobús”

¿Hay algún dato innecesario?: “No importa de qué curso sean los alumnos, por tanto es innecesario el dato: Son alumnos de 3º de primaria”

¿Qué hace falta para saber cuántos niños van en una autobús de 2 pisos?: “Saber cuántos alumnos hay en cada piso del autobús”

¿Sabemos cuántos alumnos van en el piso primero?: “Si, en el primer piso hay 29 alumnos”

¿Sabemos cuántos alumnos hay en el segundo piso?: “No sabemos exactamente cuántos son”

¿Y necesitamos el dato de cuántos alumnos van en el segundo piso?: “Si”

Por tanto, la pregunta del problema era:“Saber cuántos alumnos van en el autobús”

Pero nos falta un dato: “Saber cuántos alumnos van en el segundo piso”

Y para conseguir resolver el problema, ¿qué habrá que averiguar primero?: “El dato que falta” c) Hacer estimaciones sobre posibles resultados

¿Es posible que en el segundo piso vayan 25 alumnos?: “no, porque los datos dicen que hay más que en el primer piso, y si en el primer piso hay 29, en el segundo piso tiene que haber 30 o más alumnos”

79

¿Es posible que en el segundo piso vayan 75 alumnos?: en primer lugar, “redondeamos las cantidades a la decena superior”, para pasar seguidamente a razonar del siguiente modo: “en el primer piso hay 29, es decir unos 30, alumnos”; “en el segundo piso hay 14, o sea, unos 20 alumnos más que en el primer piso, o el que es lo mismo, unos 20 alumnos más que los 30 alumnos del primer piso.” Por tanto “como 20 alumnos más que 30 son 50, nos encontramos con que en el segundo piso tiene que haber - como máximo -, 50 alumnos.”

En definitiva, ¿cuántos alumnos esperamos en el segundo piso?: “entre 30 y 50 alumnos”

Ahora bien, si en el segundo piso suponemos que habrán entre 30 y 50 alumnos, ¿cuántos podemos esperar que vayan en todo el autobús?: siguiendo con el redondeo a la decena superior, “en el primer piso hay unos 30 alumnos”; “en el segundo piso hay entre 30 y 50 alumnos”; “en el autobús habrá entre 60 alumnos (30 del primer piso más 30 del segundo piso) y 80 alumnos (30 del primer piso y 50 del segundo piso)”

En definitiva, ¿qué resultados del problema podrían ser válidos?: “cualquier resultado entre 60 y 80 alumnos” Fase 2: Elaborar un plan de resolución Al analizar el problema hemos encontrado que tenemos que dar respuesta a la pregunta: “¿Cuántos alumnos viajan en el autobús?” Sin embargo para llegar a dar la respuesta adecuada, disponemos ya de un dato conocido y que nos lo proporciona el propio enunciado del problema cuando nos dice que en el primer piso van 29 alumnos.

Pero, necesitamos otro dato: “saber cuántos alumnos hay exactamente en el segundo piso”.

Ahora bien, llegados a este punto en la fase de elaboración del plan de resolución y antes de continuar en la búsqueda de la respuesta que no de la solución adecuada - tras haber ido analizando cada uno de los interrogantes planteados -, tal vez sería conveniente hacer un pequeño gráfico (mediante el dibujo del autobús de 2 pisos) para facilitar la representación y expresión en él de los datos conocidos hasta el momento presente. Segundo piso: 14 alumnos más que en el primer piso

Añadir 14 alumnos a los 29 alumnos del primer piso

80

Dibujo i cuadro resumen (p.s.m)

Seguimos adelante con nuevos interrogantes, ¿cómo podemos saber cuántos alumnos hay en el segundo piso?: “si hay 14 alumnos más que en el primer piso, bastaría añadir esos 14 alumnos a los 29 del primer piso y con ello, respuesta dada.

Pero, ¿cuándo calculemos cuántos alumnos hay en los dos pisos,

cómo sabremos el total de alumnos que viajan en el autobús?: “sólo habría que juntar los alumnos de cada piso para obtener el total”.

Por tanto nuestro plan consiste en:

- “Calcular primero cuántos alumnos viajan en el segundo piso” y para conseguirlo: “añadiremos 14 alumnos a los 29 alumnos del primer piso.”

- “Luego intentaremos dar respuesta a la pregunta del problema”, es

decir, el total de alumnos que viajan en el autobús, y para conseguirlo: “sumaremos los alumnos del primer piso y los del segundo piso.”(p.s.m.)

Fase 3: Ejecutar el plan a) Para calcular los alumnos del segundo piso hay que añadir 14 alumnos

a los 29 del primer piso. Podemos hacerlo sumando 14 a los 29:

29 alumnos + 14 alumnos = 43 alumnos hay en el 2º piso b) Para calcular los alumnos que viajan en el autobús hay que sumar a los

que van en el primer piso (dato facilitado en el enunciado) aquellos situados en el segundo piso (en el primer piso viajan 29 alumnos y en el segundo, 43 alumnos).

En total: 29 alumnos + 43 alumnos = 72 alumnos hay en el autobús

Fase 4: Comprobar el resultado a) Revisar las estimaciones previas

Primer piso : 29 alumnos

81

El primer resultado, el de los alumnos del segundo piso, debía estar

entre 30 y 50. El resultado obtenido, 43 alumnos, “es un resultado posible”.

El resultado final, el número de alumnos que viajan en el autobús debía

estar entre 60 y 80. El resultado obtenido, 72 alumnos, “es un resultado posible”. b) Comprobar la exactitud de los resultados.

Como hemos utilizado algoritmos de suma para realizar los cálculos,

deberíamos repetirlos utilizando un procedimiento diferente, por ejemplo, utilizando una calculadora o un ábaco.

Por todo ello, tan solo cuando hayamos verificado la exactitud de los

cálculos realizados y comprobado, que los datos obtenidos son coherentes con la situación descrita en el enunciado, estaremos razonablemente

seguros de haber resuelto correctamente el problema.(p.s.m) 4 – CONCLUSIONES En toda la etapa educativa obligatoria y aún más, durante el desarrollo del primer ciclo de la Educación Primaria, el profesorado debe

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acompañar de manera sistemática a todos y cada uno de sus alumnos hacia el logro de una estructuración de la mente que facilite, de una manera constante, el análisis de situaciones problemáticas, su planificación, resolución y estudio de la viabilidad de todas y cada una de las soluciones obtenidas. Hemos de ser conscientes, como docentes, de que la resolución de problemas favorece una serie de capacidades que de ningún modo son exclusivas del mundo matemático y que a la vez, la comprensión y consolidación de las destrezas adecuadas para el logro de dicho fin - con cierta garantía de éxito -, es un proceso lento y progresivo. Considerar también que el buen hacer del profesorado, trabajando la resolución de problemas de forma planificada y bien estructurada, junto al conocimiento y experimentación de los diferentes problemas desarrollados a través de las distintas propuestas expuestas en las páginas precedentes, unido a un clima de clase favorecedor de la investigación y cooperación, son elementos clave de un aprendizaje de las matemáticas con garantías de equidad y calidad.

5 – BIBLIOGRAFIA

83

AEBLI, H. (1985): Doce formas básicas de enseñar. Una didáctica basada

en la psicología, Narcea, Madrid.

ALSINA, A. (2004): Desarrollo de competencias matemáticas con recursos

lúdico-manipulativos, Nancea, Madrid.

BARUK, S. (1985): L’age du capitaine, Seuil, París.

BAROODY, A. (1988): El pensamiento matemático de los niños, Visor,

Madrid.

BINIES, P. (2008): Conversaciones matemáticas con Mª Antonia Canals: o

como hacer de las matemáticas un aprendizaje apasionante, Graó,

Barcelona.

BLANCO, L. (1993): Consideraciones elementales sobre la resolución de

problemas, Universita Editorial, Badajoz.

BRANSFORD, J.D. y STEIN, B.S. (1986): Solución IDEAL de problemas,

Labor, Barcelona.

CALLEJO, Mª L. (1990): La resolución de problemas en un club matemático.

Narcea, Madrid.

CASTRO, E. (2001): Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria,

Síntesis, Madrid.

CERDAN, F. y PUIG, L. (1988): Problemas aritméticos escolares, Síntesis,

Madrid.

CHAMORRO, M.C. y BELMONTE, J.M. (1989): El problema de la medida,

Síntesis, Madrid.

COCKROFT, V.H. (1985): Las matemáticas si cuentan, MEC, Madrid.

D’ AMORE, B. (1997): Problemas. Pedagogía y psicología de las

matemáticas en la actividad de resolución de problemas, Síntesis, Madrid.

DECRETO 111/2007, de 20 de julio del Consell, por el que se establece el

currículo de la Educación Primaria en la Comunitat Valenciana. DOCV núm.

5562 de 24 de julio de 2007.

DIENES, Z. y Golding, E.W. (1987): Los primeros pasos en matemáticas,

Teide, Barcelona.

ENZENSBERGER, H.M. (1997): El diablo de los números, Siruela, Madrid.

84

FERNÁNDEZ, J. y RODRÍGUEZ, I. (1989): Juegos y pasatiempos para la

enseñanza de la matemática elemental, Síntesis, Madrid.

FISHER, R. y Vince, A. (1990): Investigando las matemáticas, Akal, Madrid.

GARCÍA JIMENEZ, J.E. (2005): “Resolución de problemas”, Aula de

innovación educativa, Num.142, 81-96.

GUZMÁN, M. (1984): Cuentos con cuentas, Labor, Barcelona.

GUZMÁN, M. (1984): Para pensar mejor, Labor, Barcelona.

GUZMÁN, M. (1995): Aventuras matemáticas, Ediciones Pirámide, Madrid.

HIEBERT, J. et al. (1997): Making sense. Teaching and learning

mathematics with understanding. L. Peake (editor) Heissemann.

Portsmouth, NH.

Llinares, S. (2003): "Matemáticas escolares y competencia matemática".

CHAMORRO (Coord.) Didáctica de las Matemáticas para Primaria, Madrid:

Pearson-Prentice Hall.

Mason, J., Burton, L. y Stacey, K. (1988): Pensar matemáticamente, MEC-

Labor, Barcelona.

NTCM, (1993): Estándares curriculares y de evaluación para la educación

matemática, SAEM Thales, Sevilla.

POLYA, G. (1987): Cómo resolver y plantear problemas, Trillas, Méjico.

Puig, L y Cerdán, F. (1988): Problemas aritméticos escolares, Síntesis,

Madrid.

Resnick, L.B. y FORD, W.W. (1987): La enseñanza de las matemáticas y

sus fundamentos psicológicos, Paidós, Barcelona.

TUNING EDUCATIONAL STRUCTURES IN EUROPE. (1999): Programa Socrates.

Tempus de la Dirección General de Educación y Cultura de la Unión

Europea.

VERGNAUD, G. (1993): El niño, la matemática y la realidad, Trillas, Méjico.

Vila, A. y CALLEJO, Mª. L. (2004): Matemáticas para aprender a pensar,

Narcea, Madrid.

WERTHEIMER, M. (1991): El pensamiento productivo, Paidós Ibérica,

Barcelona.

85

6 – PÁGINAS WEB Ábaco virtual: http://www.cut-the-knot.com/Curriculum/Arithmetic/Abacus.html Balanzas numéricas: http://illuminations.nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=26 Bloques multibases: http://www.arcytech.org/java/b10blocks/b10blocks.html Calculadora rota: http://www.cut-theknot.com/Curriculum/Arithmetic/BrokenCalculator.html Configuraciones puntuales: http://www.cut-the-knot.com/Curriculum/Algebra/GaussSummation.html Conteo y agrupamiento de unidades: http://www.cut-the knot.com/Curriculum/Arithmetic/CountigAndGrouping.html Cuadrados mágicos: http://www.geocities.com/cuadradosmagicos/ Descomposiciones numéricas: http://illuminations.nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=26 Enigmas: http://www.psicoactiva.com/enigmas.htm Geoplanos:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centrostic/29010870/archivos/repositorio/html/549/Geoplano/paginas/actividades.html

Operaciones: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames/asid_192_g_1_t_1.html Operaciones aritméticas: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames/asid_154_g_2_t_1.html http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames/asid_155_g_2_t_1.html Pentaminós: http://alanro0.tripod.com/solucione.htm Policubos: http://www.upc.es/ea-smi/personal/claudi/web3d/espanyol/policubs.htm

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Principio de agrupamiento: http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_209_g_1_t_1.html http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames/asid_209_g_2_t_1.html?open=activities Reconocimiento de patrones numéricos: http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.5/index.htm Regletas Cuisenaire: http://arcytech.org/java/integers/practice.html Representaciones gráficas: http://www.cut-the-knot.com/Curriculum/Algebra/GaussSummation.html Resolución de problemas: http://www.cuadernalia.net/spip.php?article451 http://www.buscoacertijos.com/matematicas http://www.olemiss.edu/mathed/contest http://www.matematicas.net/ Sudokus: http://www.sudoku-online.org/ Tangrams: http://www.apples4theteacher.com/tangrams.html