VI Encuentro departamental de MatemáticasCarmelo (Departamento de Colonia), 22 – 08 – 07

MATEMÁTICA IIORIENTACIÓN CIENTÍFICO – MATEMÁTICA

ESPACIO ESPECÍFICO - Tercer Año EMS PLAN 2003

LICEO DEPARTAMENTAL DE COLONIA Año 2007

“Simplemente una experiencia”Arq. Miguel Ángel Odriozola Guillot

Por favor oscurecer el salónMuchas gracias

ESTRUCTURACIÓN DE LA CHARLA:

BLOQUE 1: OBJETIVOS DEL CURSO Y CONTENIDOS DEL PROGRAMA

BLOQUE 3: ACTIVIDAD DOMICILIARIA EN EQUIPOS (objetivos del trabajo, temas, algunos ejemplos)

BLOQUE 4: PRÓXIMO TEMA A ABORDAR -COMENTARIO

BLOQUE 5: PROBLEMA

BLOQUE 2: EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

BLOQUE 1: OBJETIVOS DEL CURSO Y CONTENIDOS DEL PROGRAMA

OBJETIVOS DEL CURSO

• Se aspira a que el estudiante incorpore conceptos básicos del Análisis, geometría y una introducción al álgebra lineal.

• Desde el punto de vista formativo, se busca lograr en el alumno, la creación de un pensamiento lógico, que sea a la vez propio y reflexivo. Se intenta evitar que el estudiante sea un repetidor de rutinas, apuntes o libros, tratando que, bajo la dirección del docente, elabore sus propios conceptos y los incorpore a sus procedimientos de trabajo.

• Desde el punto de vista informativo, se pretende que el alumnoincorpore herramientas conceptuales y metodológicas. Ellas se constituyen en conocimientos básicos importantes para otros cursos.

Estimación de desarrollo general de los temas a abordar:ANÁLISISAxioma de completitud. Funciones reales de una variable real. Límites. Límite de una función. Límites de operaciones con funciones. Continuidad en un punto y en un intervalo. Continuidad de las operaciones básicas con funciones y de la función compuesta. Principales resultados sobre continuidad en intervalos cerrados; teoremas de Bolzano, Darboux y Weierstrass. Asíntotas.Ideas complementarias sobre la Derivada. Su interpretación geométrica y cinemática. Las aplicaciones de la Derivada: los Teoremas de Rolle y Lagrange. Sus aportes al estudio de una función real y a su representación. Condiciones suficientes para la existencia de extremos. Funciones derivadas de las funciones elementales. Álgebra de las derivadas. Derivada de la función compuesta. Problemas de Optimización. Aportes de la derivada segunda al estudio de la concavidad y puntos de inflexión de una función real.El concepto de Área. El cálculo de áreas encerradas por los gráficos de funciones elementales. Integral Definida; las Sumas Superior e Inferior y la definición de Integral. La Regla de Barrow. La Integral y sus aplicaciones: el cálculo de Áreas, Volúmenes y Longitudes de Curvas. Análisis de Problemas que tienen solución a través de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.SISTEMASSistemas de ecuaciones. Método de Gauss. Sistemas no lineales. Sistemas de inecuaciones lineales.GEOMETRÍAVectores en el Espacio. Suma. Producto por un real. Paralelismo. Angulo de dos vectores. Producto Escalar. Vectores ortogonales. Producto Vectorial. Producto Mixto.Rectas en el Espacio. Ecuaciones Vectorial y Paramétrica. Paralelismo y Perpendicularidad. Ortogonalidad.Recta en el Plano. Ecuaciones Vectorial, General y Explícita. Plano. Ecuaciones Vectorial, Canónica y Cartesiana. Paralelismo y Perpendicularidad. Distancias.Lugares Geométricos. Ecuación de un Lugar Geométrico. Circunferencia. Elipse. Parábola e Hipérbola.

Metodología:

Se aprovechará el contacto con los demás docentes del curso fundamentalmente a través de la coordinación semanal y en otras instancias Se vinculará en todo lo posible la matemática con la orientación científico-matemática. Coordinaremos tareas con el profesor Adjunto y también con el profesor de Matemática III.

Periódicamente se asistirá con el grupo práctico al ERMA para trabajar con programas utilitarios de aplicaciones matemáticas, tales como el “Función”, “Derive” y otros. En particular se utilizará el “Derive” como una herramienta para trabajar, fundamentalmente fuera del horario de clase.

En cada repartido práctico aparece una frase que nos hace meditar y donde se ve la vinculación de matemáticas con otras áreas, experiencia ya realizada en años anteriores y con importantes frutos.

Primer día de clases… Broma, CONTRATO DIDÁCTICO (Brousseau)

ALUMNO (Modelo Incitativo)

DOCENTE SABER (Modelo Normativo)

Modelo Apropiativo

Centrado en la construcción del saber por el alumno a partir de las situaciones que el docente propone y organiza.

TRIÁNGULO DIDÁCTICO Y MODELOS DE APRENDIZAJE(Yves Chevellard)

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA:Calculus. Tomo 1, ApostolCálculo Diferencial e Integral., Piskunov Tomos 1 y 2ANÁLISIS MATEMÁTICO, Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo. Tomo 1ANÁLISIS MATEMÁTICO, SpivakMATEMÁTICA SEXTO, Balparda, Lois y SbarbaroMATEMÁTICA GENERAL, Trejo. Tomo 1Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático, Demidovich y otros.Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes, Bronshtein y SemendiaevPrincipios de Análisis Matemático, LinésFundamentos de Análisis Moderno, DieudonnéMatemáticas Superiores, SuvorovIntroducción al Análisis Matemático de una Variable, Robert Bartle y DonaldSherbertMatemática I, Cálculo Integral (Teórico y Práctico) CECEA, Fernando PeláezIntroducción al Álgebra Lineal, Howard AntónApuntes de Geometría, Facultad de Arquitectura UDELARDe Guzmán, Miguel. “Matemática Bachillerato, 1, 2 y 3”.

BLOQUE 2: EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Ficha

Personal(1er día de clases)

Observación de alumnos en

clase

Evaluación

escrita(1er día de clases)

Charlas con docentes del año anterior

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Prueba diagnóstica: El 1er día de clases, se les planteó una prueba diagnóstica a los alumnos para ubicar mejor el estado de situación. Dicha prueba fue un elemento a tener en cuenta en el ajuste de la planificación; se elaboró, analizando los conocimientos que deberían tener los alumnos

por los cursos anteriores y enfatizando los contenidos recomendados por la Inspección de Matemáticas para los mismos. Aquí sintetizo algunos puntos:

Se aclara que la mayoría de los alumnos se tomó aproximadamente 70 minutos de tiempo para realizar la prueba, sólo dos de ellos entregaron 5

minutos antes de hora.La prueba diagnóstica arrojó resultados poco alentadores pero que nos

planteamos revertir. Hay que tener en cuenta que la mayor parte del año pasado no tuvieron profesor adjunto.

Se pretendió evaluar contenidos como: número real, valor absoluto, polinomios, probabilidad, aplicación de derivada, Teorema de Pitágoras, Trigonometría, operaciones con fracciones, razonamiento, gráficas de

funciones de 2º grado y logaritmos.

PLANILLA EVALUACIÓN PRUEBA DIAGNÓSTICA

Pregunta Tema No aceptableAlguna

idea Maneja el tema No contesta

1 Nº Real 12 8 7 2

2 Valor absoluto 12 12 1 4

Pregunta Tema Bien Mal No contesta

3 Prod.Bin.Con. 17 11 1

No aceptableAlguna

idea Maneja el tema No contesta

4 Poliniomios 13 8 2 6

Bien Mal No contesta

5 Prob.(sent.co.) 16 8 5

6 Probabil. A 8 19 2

Probabil. B 11 15 3

7 Aplic. Deriv.b. 0 1 28

8 Teo.Pitágoras 17 12 0

Pregunta TemaNo

aceptable Alguna idea Maneja el tema No contesta

9 Trigonometría 11 1 17

Bien Mal No contesta

10 Oper.c.fr.y raz. 6 19 9

11 Gráf.f..2ºG A 2 3 24

Gráf.f..2ºG B 2 3 24

12 Logaritmos 0 1 28

Ficha personal

También el primer día de clase, a continuación de la realización de la prueba diagnóstica se les entregó un cuestionario “Ficha Personal” donde se le pregunta al alumno acerca de expectativas respecto al curso, estudios futuros y muchos datos que ayudan a planificar el curso. Se destacan los siguientes puntos:ingresaron 5 alumnos con 16 años, 19 con 17 años, 2 con 18 años y uno con 21 años (hubo una alumna de 24 años que dejó a la 2ª semana).28 alumnos no trabajan y 1 sí.De la totalidad de los alumnos, 7 tienen previas y de ellos 4 deben matemática de 5º.27 de los alumnos responden que les gusta la matemática y 2 más o menos.27 alumnos piensa realizar estudios universitarios, 1 no y 1 no sabe.24 alumnos tienen computadora en su casa y 5 no.27 alumnos tienen celular y 2 no.

FICHA PERSONAL Nombre Completo ............................................................Correo Electrónico……………………Dirección............................................................................. Tel...............................Localidad................................ Departamento........................................................

1-¿Edad?.......... 2-¿Trabaja?.......... (en caso afirmativo indicar cuantas horas semanales)......3-¿Dónde realizó los cuatro primeros años liceales? ¿Fue a examen de Matemática de 1º a 4º?......................................................................................................................................................4-¿Cuándo y dónde cursó 5° año o 2º año de Educ. Media Superior?..............................................................................................5-¿Qué materias previas tiene?....................................................................................................6-¿Realizó algún curso durante el año pasado aparte del Liceo (inglés, computación, etc.)?..............................................................................................................................................(Especifique tipo de curso y dónde lo realizó)7- Otros estudios ..................................................................................................................................................................................................................................................................................8-¿Por qué optó por esta orientación y opción?.................................................................................................................................................................................................................9-¿Cuáles son sus expectativas respecto a los cursos de Matemáticas de este año?.....................................................................................................................................................................10-¿Le gusta la Matemática?...............12-¿Piensa realizar estudios universitarios? .............. En caso afirmativo especifique................13-¿Piensa realizar algún otro estudio de nivel terciario?..... En caso afirmativo especifique............................................................................................................14- ¿Tiene computadora en su casa?................................................................................................

15- ¿Tiene celular?.................................................................................................................................

BLOQUE 3: ACTIVIDAD DOMICILIARIA EN EQUIPOS (objetivos del trabajo, temas, algunos ejemplos)

PAUTAS:

Equipos de 3 a 5 integrantes.Un tema podrá ser abordado como máximo por dos

equipos.Se evaluará principalmente: Contenidos trabajados,

presentación del tema (oral y escrita), creatividad, manejo de conceptos fundamentales, aplicación de software adecuado al tema (utilitarios para matemática, Derive y otros), aplicaciones a otras ciencias, etc.

Se podrán realizar animaciones y todo lo que el alumno crea pertinente para enriquecer el trabajo.

Indicar claramente las fuentes y la bibliografía utilizada (se recomienda la bibliografía que se entregó el primer día pero se puede usar cualquier texto pertinente).

Proponer ejercicios y/o problemas en relación al tema.Fecha de entrega: 17/07/07.Formato: Digital (CD) y papel A4

OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD

Lograr más trabajo en la casa

Parte de la motivación fue revertir magros resultados de aproximadamente el 50% del grupo en la Eval. Escrita de mayo

Fomentar el trabajo en equipo ampliando el área de desarrollo próximo (real, próxima y potencial)

Que constaten el apoyo fundamental de la computadora

Cubrir temas que por razones de falta de tiempo y jerarquización de otros contenidos no se pudieron abordar en profundidad

En el caso de temas nuevos, enfrentarse a algo que no conocen ycómo encararlo

Vincular la matemática a otras ciencias

TEMAS:

Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales y logarítmicas

Cálculo de límites

Matrices

Funciones trigonométricas inversas

Funciones hiperbólicas

Límites infinitos, órdenes de infinitud, infinitos equivalentes

(¿Por qué no incluí números complejos?)

A CONTINUACIÓN ALGUNOS TRABAJOS PRESENTADOS…

MATRICES

CHAUVIE – CHOCHO – DALMAS - LONG

Prof. Titular: Miguel OdriozolaProf. Adjunto: Mauricio Anselmi

Introducción

Introducción y Definición

Operaciones con Matrices

Sistema de Ecuaciones

Tipos de Matrices

Determinantes

MENU PRINCIPAL

Ejercicios

Igualdad de Matrices

Introducción y Definición de Suma de Matrices

Introducción y Definición de Producto de una Matriz por un Real

Introducción y Definición de Producto de una Matriz por otra Matr

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Operaciones con Matrices

Tutorial para la utilización del Software Derive

Matriz Columna – Matriz Fila

Matriz Rectangular

Matriz Cuadrada

Matriz Nula

Matriz Diagonal

Matriz Escalar

Matriz Unidad

Matriz Inversa

Matriz Ortogonal

Matriz Simétrica

Matriz Antisimétrica

Matriz Traspuesta

Tipos de Matrices

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Bibliografía

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• “Matemática - Notas de Curso” Universidad de la República – Facultad de Ciencias Sociales Cátedra de Matemática Sergio Barreiro

• “Geometría y Algebra Lineal I – Instituto de matemáticas y estadística Prof. Rafael Laguardia” Facultad de Ingeniería – Universidad de la República

• “Matemáticas aplicada para administración, Economía y Ciencias Sociales” (Tercera Edición) Frank S. Budnick – Mc Graw Hill

• “Algebra Lineal” Jorge Moretti (CECEA) - Enhorabuena

• “Geometría Analítica y Algebra” W. Fernandez Val – J. Corradino Castro (Curso Teórico y Práctico)

• Utilización de diversas Páginas Web

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850,introducidas por J.J. SylvesterEl desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribirun sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

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Introducción

En el Colonia Shopping hay tres compañías de celulares: Ancel, CTI y Movistar.En los tres últimos meses se registraron las siguientes ventas:-Ancel vendió 98 celulares en Marzo, 67 en Abril y 66 en Mayo.-CTI vendió 67 celulares en Marzo, 52 en Abril y 68 en Mayo.-Movistar vendió 70 celulares en Marzo, 58 en Abril y 75 en Mayo.Los datos recabados pueden representarse en una tabla de doble entrada de la siguiente forma: Marzo Abril Mayo

Ancel 98 67 66CTI 67 52 68Movistar 70 58 75

Y de forma sintética mediante la matriz:

Donde las filas son las compañías, las columnas son los meses y los elementos de la matriz son los celulares vendidos por cada compañía en un determinado mes.

Toda tabla de doble entrada se puede representar por una matriz. Continuar

Introducción a Definición de Matriz

Llamamos MATRIZ a un conjunto ordenado de números dispuestos en un numero determinado de filas y columnas.Formalmente se define una matriz A de m filas por n columnas (m x n) de elementos aij a un ordenamiento rectangular de números.Cada elemento de una matriz se denota por aij, donde i corresponde a la fila y j corresponde a la columna.

Notación: para expresar una matriz usaremos paréntesis curvos o corchetes, y las representaremos mediante letras latinas mayúsculas; los elementos de la matriz se designan con la misma letra (minúscula) indicando a qué fila pertenece y después a qué columna, (aij) representa el elemento de la matriz A que está en la fila i y en la columna j.

Continuar

Definición de Matriz

Por ejemplo, a la matriz correspondiente a la venta de los celulares en el shopping la llamaremos matriz A, al tener 3 filas y 3 columnas es una matriz de dimensiones 3x3, por lo tanto A(3x3).

Cada elemento de la matriz está representando el número de celulares vendidos por cada empresa en su respectivo mes.Entonces podemos decir que:

A1,1 = 98 Es decir que la empresa 1 (Ancel) vendió 98 celulares en el mes 1 (Marzo)

A1,3 = 66 Es decir que la empresa 1 (Ancel) vendió 66 celulares en el mes 3 (Mayo)

A3,1 = 70 Es decir que la empresa 3 (Movistar) vendió 70 celulares en el mes 1 (Marzo)

A2,2 = 52 Es decir que la empresa 2 (CTI) vendió 52 celulares en el mes 2 (Abril)

Continuar

A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

Filas

Columnas

Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas.

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Inspectores de la DGI quieren saber las ventas del último semestre de las tres compañías de celulares que están en el Colonia Shopping.Para ello no es necesario tomar los datos de los seis meses; sino que con solo tomar los datos de los tres primeros meses del semestre ya es suficiente ya que nosotros contamos con la tabla de los restantes tres meses:

Diciembre Enero FebreroAncel 115 79 65CTI 95 70 58Movistar 91 73 52

Y de forma sintética mediante la matriz:

Pues, mediante la suma de la matriz B (primer trimestre de ventas) con la Matriz A (segundo trimestre de ventas) obtenemos una Matriz C que nos indican los celulares vendidos en los dos trimestres.

Continuar

Introducción a Suma de Matrices

Sumamos Ai,j + Bi,j

Obteniendo la matriz final

Continuar

Sea A = (aij) y B = (bij) dos matrices mxn, definimos la suma +: Mmxn + Mmxn → Mmxn de modo que A+B = C siendo C = (cij), donde cij = aij + bij.

Condición: La suma de matrices solo es posible cuando éstas tienen igual dimensión.

Propiedades:

1) Conmutativa: A + B = B + A para todo A, B ∈ Mmxn

2) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) para todo A, B, C ∈ Mmxn

3) Neutro de la Suma: existe 0 ∈ Mmxn / A + 0 = 0 + A = A para todo A ∈ Mmxn

4) Existencia del Opuesto: para cada A ∈ Mmxn existe B ∈ Mmxn / A + B = 0Notación: B = -A

Suma de Matrices

Volver a Operación con Matrices

Suponemos que Colonia Shopping lanza una nueva promoción donde los comercios que se encuentran en él, suponen que duplicaran sus ventas en los próximos 3 meses.Pues, para hallar las ventas del próximo trimestre no habrá mas que multiplicar la matriz A por el escalar 2:

Multiplicamos 2 por Ai,j

Entonces la matriz D son las ventas esperadas en los próximos 3 meses.Continuar

Introducción a Multiplicación de una Matriz por un Real

Si A es una matriz y c ∈ R, el producto cA es la matriz que resulta de multiplicar cada uno de los elementos de A por c. Simbólicamente cA = (c aij) para cada i, j.

Propiedades:

1) Asociativa del producto: (αβ) A = α (βA) para todo α, β ∈ R y A ∈ Mmxn

2) Neutro del Producto: 1 . A = A para todo A ∈ Mmxn

3) Distributiva: (α + β) A = αA + βA para todo α, β ∈ R y A ∈ Mmxn

4) Distributiva: (A + B) α = Aα + Bα para todo α ∈ R y A, B ∈ Mmxn

Multiplicación de Matrices por un Real

Volver a Operación con Matrices

Un inversionista está interesado en comprar acciones en uno de los comercios de celulares ubicados en el Colonia Shopping, pero como todo inversionista quiere informarse de las ventas en los últimos tres meses, que empresa tuvo mayores beneficios, cuanto aportaron de IVA y cual fue la ganancia neta para así vercual le conviene mas. Suponiendo que los celulares se encuentran todos al mismo precio (un promedio de todos los celulares) el inversionista tendría que multiplicar estas tablas:

Marzo Abril MayoAncel 98 67 66CTI 67 52 68Movistar 70 58 75

Total IVA BeneficioMarzo 122 22 100Abril 109,8 19,8 90Mayo 122 22 100

X

La tabla en la derecha simboliza:- La columna de Total son los precios de los celulares en dólares, con el respectivo cambio de precio en cada mes.- La columna del IVA está simbolizando el dinero en dólares que le corresponde a la impositiva (impuestos).- El Beneficio es la ganancia que obtiene luego de pagar los impuestos. Continuar

Introducción a Multiplicación de una Matriz por otra Matriz

Pues la tabla resultante quedaría dispuesta de esta manera:

Total IVA BeneficioAncel ? ? ?CTI ? ? ?Movistar ? ? ?

Para llegar a los resultados de esta tabla lo mas conveniente es hacerlo por medio de la multiplicación de matrices:

X

Podemos ver como en la matriz A las filas representan las empresas y las columnas los meses, y en la matriz D las filas representan los meses y las columnas los precios.Es por eso que la cantidad de columnas en la primer matriz siempre debe ser igual a la cantidad de filas de la segunda matriz.En este caso la matriz resultante tiene sus filas representando las empresas y sus columnas representando los precios, entonces su dimensión será de 3X3. Continuar

X

?

Llamaremos R a la matriz resultante:

Para hallar el elemento R1,1, debemos operar con la fila 1 de la matriz A y la columna 1 de la matriz D de la siguiente forma:

Se multiplica el primer elemento de la fila de A (98) con el primer elemento de la columna de D (122); y se suma con el producto del segundo elemento de la fila (67) con el segundo de la columna (109,8) y con el producto de el tercer elemento de la fila (66) con el tercer elemento de la columna (122):R1,1= 98x122 + 67x109,8 + 66x122Y de esta misma forma con el resto de los elementos; por ejemplo para el elemento R2,1 se tomarían la fila 2 de A y la columna 1 de D

Continuar

X

Continuar

Si cuenta con acceso a Internet, haz click aquí para obtener una herramienta de multiplicación de matrices.

En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizarse, se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz. Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:

Multiplicación de Matrices por Matrices

donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz B.

Volver a Operación con Matrices

Matriz Rectangular

Es aquella en el que el número de filas no coincide con el número de columnas.

Notación

A m x n

Ejemplo

1 3 5

0 4 1

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Cuadrada

Son matrices con igual número de filas que de columnas. La matriz del ejemplo, es una matriz cuadrada de orden 2.

NotaciónA n

Ejemplo

0 4

7 6

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Fila y Matriz Columna

La matriz fila, tiene únicamente una fila, y cualquier número de columnas:F 1 x n = (a11, a12, … a 1n), mientras que la matriz columna tiene sólo una columna y

cualquier número de filas:

a11

a21...

am1

Cm x 1 =

También pueden recibir el nombre de vector fila, o vector columna

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Nula

Es aquella cuyos elementos son todos nulos.

Ejemplo

0 0 00 0 00 0 0

Matriz escalar

Es una matriz diagonal cuyos elementos no nulos son todos iguales.

Ejemplo

5 0 00 5 00 0 5

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Diagonal

Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada, a todos lo elementos que se encuentran, en línea que va del vértice superior izquierdo, al inferior derecho. Sus elementos

se caracterizan, porque sus subíndices son iguales.

a11 … … …… a22 … …

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . an n

Se llama matriz diagonal, a una matriz cuadrada cuyos elementos son todos nulos, a excepción de los de la diagonal principal

Ejemplo

2 0 00 3 00 0 1

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Unidad

Es la matriz escalar cuyos elementos no nulos son todos iguales a 1.

Notación

I n

Ejemplo

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Traspuesta

Sea la matriz Am x n = (ai j), llamaremos matriz traspuesta de A, a la matriz que anotaremos Atn x

m = (ati j), tal que sus elementos son : (at

i j) = (aj i).Obsérvese que para obtener la matriz traspuesta de, se deben intercambiar filas por

columnas. Veamos a continuación algunos ejemplos.

1 5 8

3 0 4At =

1 3

5 0

8 4

B = 0 2 Bt =0

26C = Ct = 6

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Simétrica

Decimos que la matriz cuadrada A es simétrica si At = A

A = 1 0

0 1

B =X Y

Y XC =

1 5 6

5 2 3

6 3 4

Existe una simetría respecto de la diagonal principal en toda la matriz simétrica.

Ejemplo

Volver a Tipos de Matrices

At = 0 -2

2 0

. -A =0 -2

2 0

-A = At

Matriz Antisimétrica

Se dice que una matriz cuadrada A es simétrica, cuando la matriz opuesta coincide con la traspuesta, o sea, -A = At o también A + At = O

Ejemplo

A =0 2

-2 0

Volver a Tipos de Matrices

Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada es ortogonal, cuando el producto de ésta, por su traspuesta es igual a la matriz unidad.

A. At = I

El lector podrá comprobar que las siguientes matrices son ortogonales.

A = B = sen x - cos x

cos x sen x

Volver a Tipos de Matrices

√ 3/3 √(2/3)

√(2/3) - √ 3/3

Matriz Inversa

Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique:A . B = B . A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se

representa por A-1.Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es inversible o regular. En caso

contrario, se dice que la matriz A es singular.

¿Cuándo tiene inversa una matriz? Una matriz A de orden n (n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es n, es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con

su orden.¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos

para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes:1º Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones

correspondientes. Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a 2.2º Por el método de Gauss.3º Por determinantes y adjuntos (Ver menú principal).

Continuar

1º) Aplicando la Definición

Ejemplo:

Continuar

2º) Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz (A|I) mediante operaciones elementales por filas en la matriz ( I |A-1)

Operaciones elementales por filas en una matriz

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi Fj

2. Multiplicar la fila i por el numero k≠0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi k . Fi

3. Multiplicar la fila i por el numero t≠0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fj t . Fj

4. Sumar las filas i y j, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j. Lo designamos por Fi o Fj k . Fi + t . Fj Volver a Tipos de Matrices

A continuación se mostrarán los pasos para la utilización del Software Derive 6 ® para la operación con Matrices.

Si cuenta con una versión anterior a la utilizada puede seguir los pasos ya que no hay variaciones.

Una vez que ya haya terminado de leer la diapositiva, haga Click en cualquier punto de la pantalla para acceder a la siguiente diapositiva.

Aplicaciones al Derive 6 ®

Comenzar con Tutorial

Hacemos Click en IntroducirLuego Click en Matriz

Se selecciona el número de filas y de columnasLuego Click en Si

Se seleccionan los elementos de la matrizLuego Click en Si

Se introduce una nueva matriz de la misma forma que se explicó anteriormente

En la barra ubicada en la parte inferior del software se seleccionan las matrices de la siguiente forma:

-Ctrl + (número de matriz)-Se selecciona la operación-Nuevamente Ctrl + (número de matriz a operar)

Luego se oprime Enter

Para el resultado de la operación se oprime el botón de Simplificar (=)

Volver a Operación con Matrices

EL TRABAJO CONTINÚA (vale la pena aclarar que es interactivo, lo simplifiqué por un tema de espacio)

SIGUIENTE TRABAJO…

INTEGRANTES:

*Ackermann, Pamela

*Daiqui, Antonella

* Negrín, Florencia

*Villagrán, Débora

6º Científico Matemático

Prof. Miguel A.Odriozola

Definición:

F: ℜ→ℜ+ /ƒ(x)=ax a > 0 , a ≠ 1

Dado el número real a > 0 y distinto de 1, se llama función exponencial a toda función de la forma y = ax. Las características de las gráficas de estas funciones dependen de que a sea mayor o menor que 1.

Funciones crecientes:Características de las funciones

exponenciales crecientes:• 1) El dominio es el conjunto de los

números reales.• 2) El recorrido es el conjunto de los

números reales positivos.• 3) El valor de y se acerca a cero

pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos (sus gráficos tienen como asíntota al eje OX en su parte negativa.

• 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

• 5) Son funciones continuas.• 6) El límite de y = ax cuando x

disminuye indefinidamente se aproxima a cero.

Cuando a >1.

y=5x y=4x y=3x y=2x y=1.2x

Funciones decrecientesAlgunas características de las

funciones exponenciales decrecientes:

• 1) El dominio es el conjunto de los números reales.

• 2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

• 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos (sus gráficos tienen como asíntota al eje OX en su parte positiva).

• 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

• 5) Son funciones continuas.• 6) El límite de y = a-x cuando x

aumenta indefinidamente se aproxima a cero.y=0,8x y= 0,6x y=0,4x y=0,2x

Cuando 0<a<1

FunciFuncióón exponencial naturaln exponencial natural

Se usa como base un número irracional denotado por e.

donde e = 2.718281828... La notación e para este número fue

dada por Leonhard Euler(1727).

La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función

exponencial natural. Como e > 1, la función f(x) = ex es

una función creciente. El D(f) =ℜ y el R(f)=ℜ+ .

Siendo e un número entre 2 y 3, esto es, 2<e<3 entonces la gráfica de f(x) = ex está entre

f(x) = 2x y f(x) = 3x.

ECUACIONES EXPONENCIALESECUACIONES EXPONENCIALES

2x-1 + 2x + 2x+1 = 7

ex - 5e-x + 4e-3x =0.

Son ecuaciones en las que en algún miembro aparece una expresión exponencial (potencia de base constante (número) y exponente variable (x, y, etc).

Para resolverlas, hay que tener presente algunos resultados y propiedades.

Prop de potencia:

a0= 1 a5. a 3= a8 a5/ a 3= a2 (a5)3 = a15

a- 5= 1 / a5

EJEMPLOS:

FUNCIONES INVERSAS:El hecho de ser la función exponencial estrictamente creciente o

decreciente, significa que la función exponencial es biyectiva en su dominio. Este hecho es la condición que se exige para garantizar la existencia de la función inversa. Aquí encontramos a las funciones

logarítmicas.

Estas funciones al ser inversas entre sí tienen un eje de simetría el cuál es la recta que está determinada por la función y = x , siendo esta la bisectriz de los cuadrantes I y

III en R 2.

y=x

f : ℜ+ → ℜ/ f (x)= logbx con b>0 b≠1 y a > 1

Definición:

El logaritmo de un número y es el exponente al cualhay que elevar la base b para obtener y. Esto es, sib > 0 y b es diferente de uno, entonces logby = x si

y sólo si y = bx.

Función logarítmica creciente

Y=logaX (a>1)Dominio(0,oo )Recorridos (-oo,oo)Puntos(1,0) y (a,1)Siempre creciente

* Continua

Y=logaX (0<a<1)Dominio(0,oo )Recorridos (-oo,oo)Puntos(1,0) y (a,1)Siempre decrecienteContinua

Función logarítmica decreciente

Los logaritmos fueron introducidos en la Los logaritmos fueron introducidos en la matemmatemáática con el proptica con el propóósito de facilitar, sito de facilitar,

simplificar o incluso hacer posible simplificar o incluso hacer posible complicados ccomplicados cáálculos numlculos numééricos.ricos.

Utilizando logaritmos podemos convertir: Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, productos en sumas, cocientes en restas,

potencias en productos y rapotencias en productos y raííces en ces en cocientescocientes.

PROPIEDADES: logb b = 1

logak a = 1/k

logb 1 = 0

logb(a.c) = logb a + logb

logb(a:c) = logba - logbc

logbak = k.logba con k∈ℜ

logbm√an = n/m .logba con n∈Z, m∈N* cuando k= n/m..

logb1/an = -n.logba con n∈N, en este caso k = -n

logba = logca/logcb

log1/ba = - logba

blogb

a=a

Log bN = logbM → N=M

logbn a = 1/n.logba

PROPIEDADES:

PROPIEDADES: PROPIEDADES:

PROPIEDADES:

LOGARITMO NEPERIANO O NATURAL

Como Como encontramosencontramos la la funcifuncióónn exponencialexponencialnatural natural yaya habladahablada anteriormenteanteriormente, , tambitambiéénnencontramosencontramos en el en el casocaso de de loslos logaritmoslogaritmos, , el el logaritmologaritmo natural. natural. ÉÉsteste tipotipo de de logaritmologaritmotienetiene comocomo base base ℮℮. .

Se representan por el sSe representan por el síímbolo mbolo lnln. .

De manera que si y = De manera que si y = ℮℮xx →→ x = logx = logeey = lny = ln

LOGARITMOS DE BASE 10

Los logaritmos que tienen base 10 se Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, llaman logaritmos decimales,

logaritmos vulgares o logaritmos de logaritmos vulgares o logaritmos de BriggsBriggs, y para representarlos se , y para representarlos se

escribe sencillamente escribe sencillamente loglog sin sin necesidad de especificar la base necesidad de especificar la base

loglog1010 X = X = loglog X X

ANTILOGARITMO

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

Loga x = y Antilogay=x ay=x

Es decir, consiste en elevar la base al número resultado:

Ejemplo: log 49 = 1,6901; Antilog 1,6901 = 49 101,6901=49

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.

Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de loslogaritmos.

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la

ecuación.

Cabe resaltar la necesidad de realizar el estudio previo de la existencia o verificación de los números hallados en la ecuación, para decidir si

pertenecen o no al conjunto solución.

EJEMPLO:

log5(X-1) + log5 (X+3)2=2

APLICACIONES:APLICACIONES:

Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser

utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de

la vida real. Algunas de estas situaciones son: el

crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la

población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto

para llegar a cierta temperatura, intensidad de un sismo,

brillo y magnitud de un cuerpo celeste, el p.H de una

solución, en la matemática financiera, etc...

I

N

T

E

G

R

A

N

T

E

S

LOGROS:

Trabajó todo el grupo, se entregaron 6 trabajos en versión digital y papel.

Se defendieron los temas y corrigieron errores.

Se potenciaron actitudes como entusiasmo y trabajo responsable

Buen uso de la computadora

Aproximación conceptual a temas desconocidos y fortalecimiento de otros

Trabajo en equipo

Vinculación a otras áreas del conocimiento (física, biología, ingeniería, arquitectura. etc.)

Manejo de bibliografía y confección de citas

Otros

BLOQUE 4: PRÓXIMO TEMA A ABORDAR -COMENTARIO

APROXIMACIÓN AL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: El alumno será capaz de reconocer la estrecha relación entre la derivación y la integración (habiendo aprendido

en el curso los conceptos de Cotas y extremos en los conjuntos de Reales, límite funcional, continuidad y derivabilidad), fuertemente ayudado por el

apoyo informático; lograr comprender el concepto de Integral definida y sus aplicaciones más elementales. Si bien en la clase se manejará un lenguaje

preciso, se apostará a la imagen geométrica y en todo lo posible a la visualización.

MÉTODOS Y TÉCNICAS: Método deductivo en la parte teórico-práctica.MATERIAL DIDÁCTICO: Computadora, cañón proyector sobre una

superficie plana blanca, pizarrón, material impreso, otros.FORMA DE EVALUACIÓN: A través de ejercicios y situaciones

problemáticas sencillas (pero generalizables a otras más complejas), proporcionadas en material impreso.

Desarrollo tentativo (03/09/07 al 27/09/07):CLASE 1-2 – INTEGRALES. Motivación. Comentario de su aparición histórica. Área bajo una curva. Consideraciones previas. Sobre la definición de integral. Particiones. Observaciones. Sumas inferiores y superiores. CLASE 3-4 – Conjunto de sumas inferiores y conjunto de sumas superiores. Teorema de Acotación. Teorema previo a la definición de integral Definición de integral. Observaciones. Aditividad. CLASE 5-6 – Sumas de Riemann. Propiedades de la integral definida (Linealidad), notaciones. Teorema del Valor Medio. CLASE 7-8 – Generalización del concepto de integral. Función Integral asociada a f. Teorema Fundamental del Cálculo Integral. CLASE 9-10 – Observación sobre T.Fund.: G(x) es continua en . Generalización del T.Fundamental (límites de integración funciones derivables en un intervalo cerrado ). Regla de Barrow.CLASE 11-12 – Métodos de Integración (sólo nociones). Integración por partes. Integración por Sustitución. Otros. Se orientará en la utilización del Derive para el cálculo de primitivas que les resulte dificultoso.CLASE 13-14-15 – Aplicaciones de la Integral Simple. Áreas y rectificación de curvas planas. Volúmenes por secciones conocidas. Cálculo del volumen de un elipsoide. Volúmenes de cuerpos de Revolución. (discos y tubos). Aplicación nuevamente del Derive.

OTRAS CONSIDERACIONES:1 – Se trabajará con funciones continuas en un intervalo cerrado, si bien se hará referencia a la integral de Riemann.

[ ]ba,

propongo 3 problemas para arrancar con integrales, sería una viga con carga continua, aplic cinemática y economía…planteo problemas…explico nociones previas…luego formalizamos…

BLOQUE 5: PROBLEMA

y = f(x) expresa cuantitativamente determinado fenómeno, sin embargo nos es imposible establecer directamente el carácter de la dependencia entre y y x, pero puedo establecer una dependencia entre las magnitudes x, y, y las derivadas de y respecto a x: y´, y”, ..., y(n)

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA…

(Polya, Miguel De Guzmán, Charnay)Cumple con: Aceptación, Bloqueo y Exploración…(tomado de Alicia Buquet). Para que un alumno sea buen resolutor de problemas, debe intentar resolver no sólo muchos problemas, sino una gran variedad…

Dado un hilo flexible homogéneo, suspendido por sus dos extremos, hallar la ecuación de la curva cuya forma va a tomar el hilo bajo su propio peso. (Tomado de Piskunov – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Tomo II)

Dato: es el peso específico lineal del hilo

(Aclaración: ya hemos trabajado con vectores, conocen perfectamente funciones exponenciales y sumas y deferencias de ellas, uno de los equipos trabajó funciones hiperbólicas, en el Práctico 8 se verificaron varias ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, va a estar dado rectificación de curvas planas)

γ

La catenaria es la curva que describe un cable suspendido por sus extremos que se encuentra sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra catenaria deriva de la palabra latina catenarĭus que significa propio de la cadena. Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron equivocadamente que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no era una parábola, pero no encontró la ecuación. En la siguiente imagen se puede apreciar la diferencia entre las dos curvas, que están desplazadas al origen de coordenadas.La ecuación fue obtenida por Leibniz, Huygens, y Johann Bernoulli en 1691 en respuesta al desafio planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibnizen 1690, y David Gregory escribió un tratado sobre la catenaria en 1690.La ecuación de la catenaria es:

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Curvas_catenaria_parabola.png

Poniendo aquí x=0

Algunas cuentas más…

¿PLAN 2006 6º?

¡¡¡OJO CON LO QUE SE BAJA DE INTERNET!!!

SÓLO UN EJEMPLO: Catenaria

De ConstrupediaSaltar a navegación, búsquedacat: catenària f; eng: catenary

f Curva de forma parabólica que adopta una cadena, cuerda, etc. perfectamente flexible,

suspendida entre sus extremos y sometida a una carga vertical uniformemente repartida.

Obtenido de "http://www.construmatica.com/construpedia/Catenaria"Categoría: Diccionario de Construcción