Vibraciones Mecánicas - Introducción a la teoría de las...

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Vibraciones MecanicasIntroduccion a la teorıa de las vibraciones mecanicas

Profesor

Dr. Ing. Martın Sanchez

Jefe de Trabajos Practicos

Ing. Gustavo Rosenthal

Universidad Tecnologica Nacional - Facultad Regional La Plata

Departamento de Ingenierıa Mecanica

10 de Abril 2013


1 Sistemas de un grado de libertad (SDoF)Definicion: 1gdlEcuacion de movimientoEcuacion de movimiento para un sistema torsionalRelaciones en la ecuacion de movimientoClasificacion de los sistemas

2 Respuesta libre de los sistemas de 1gdlSolucion de la ecuacion diferencial

3 Respuesta forzada de los sistemas de 1gdlSolucion de la ecuacion diferencialFenomeno de resonancia


Definicion: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)

¿Que son las vibraciones?Todo movimiento que se

repite despues de un intervalo

de tiempo.

¿Que son los GdL?Mınimo de coordenadas

independientes para

determinar las posiciones de

todas las partes.


Ecuacion de movimiento: Newton

La ecuacion diferencial ordinaria de 2◦ orden sera:

mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)

con condiciones inciales:

x(t=0) = X0

x(t=0) = V0


Ecuacion de movimiento: Lagrange

Las ecuaciones de Lagrange, en terminos de coordenadasgeneralizadas, tienen la forma:

Qx =∂

∂t

(∂T

∂x

)− ∂T

∂x+∂V

∂x+∂D

∂x

Funcion Disipacion

D = 12cx

2

Fuerza Generlizada

Qx = f (t)

Energıa Cinetica

T = 12mx2

Energıa Potencial

V = −mg(δ+x) + 12k(δ+x)2


Sistema torsional

Torque:

Mt = GI0l θ

donde:

I0 = πd4

32

Rigidez torsional:

kt = Mtθ = GI0

l = πGd4

32l

Ecuacion de movimiento:

J0θ(t) + ct θ(t) + ktθ(t) = Mt


Relaciones en la ecuacion de movimiento

Teniendo en cuenta distintas relaciones se puede expresar laecuacion de movimiento del sistema:

mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)

Definiciones:

Frecuencia natural: ω0 =√

km

Relacion de amortiguamiento: ζ = c2mω0

x(t) + 2ζω0x(t) + ω20x(t) =

f (t)

m


Clasificacion en base a la excitacion

Estudiaremos la respuesta dinamica (los cambios dependientes deltiempo) de un sistema mecanico vibratorio debido a dos tipos deconsideraciones:

Respuesta libre: Movimiento debido a condiciones inicialesespecificadas (perturbaciones del equilibrio).

Respuesta forzada: Movimiento resultante de excitacionesexternas especificas.

Excitaciones deterministas

Periodicas: Armonicas simples y complejas.No Periodicas: Transitorias e impulsivas.

Excitaciones aleatorias

Estacionarias: Senales estadısticas, no dependientes deltiempo.No Estacionarias: Senales estadısticas, dependientes deltiempo.


Respuesta libre sin amortiguamiento (i)

La respuesta libre se basa en:

mx(t) + kx(t) = 0 (1)

cuya solucion es de la forma:

x(t) = Cest (2)

Introduciendo 2 en 1 ⇒ Ecuacion Caracteristica

ms2 + k = 0

con:

s = ±(− k

m

)1/2

= ±iω0


Respuesta libre sin amortiguamiento (ii)

La solucion sera

x(t) = C1eiω0t + C2e

−iω0t (3)

x(t) debe ser real =⇒ C1 es el conjugado de C2 y:

x(t) = Acos (ω0t − φ) (4)


Respuesta forzada sin amortiguamiento

mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)

Al estudiar al sistema sin amortiguamiento y para excitacionarmonica:

mx(t) + kx(t) = F0cos(ωt) (5)

la solucion sera de la forma:

x(t) = x(t)h + x(t)p

asumiendo la solucion particular del tipo:

x(t)p = Xcos(ωt) (6)

Introduciendo la 6 en 5 se obtiene:

X =F0

k −mω2=

δs

1−(ωω0

)2(7)


Respuesta forzada sin amortiguamiento

Respuesta en frecuencia Respuesta en tiempo ω0 = ω


Fenomeno de resonancia (i)


Fenomeno de resonancia (ii)

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