FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES

ARAGÓN

INGENIERÍA MECÁNICA

VIBRACIONES MECÁNICAS

“Vibraciones torsionales”

Alumno: David Ricardo Fernández Cano Veronico

Grupo: 1753

Fecha de entrega: 04/11/2016

Contenido

Vibración torsional....................................................................................................3

Frecuencia natural en la vibración torsional.............................................................5

Oscilación síncrona y asíncrona..............................................................................6

Eje con varias masas de inercia...............................................................................7

Determinación de autovalores................................................................................11

Régimen transitorio en los sistemas vibratorios.....................................................12

Régimen transitorio en la etapa de arranque.........................................................13

Señales transitorias................................................................................................16

Fuerzas impulsivas.................................................................................................16

Diseño bajo fuerzas impulsivas..............................................................................17

Respuesta transitoria.............................................................................................18

Bibliografía.............................................................................................................19

Vibración torsional

La vibración torsional se presenta con la dirección angular θ alrededor del centro

de un eje. Esta es una función de la posición a lo largo del eje ( x ) y del tiempo ( t ).

La ecuación que describe su movimiento se obtiene al considerar el balanceo de

los momentos presentes en un elemento infinitesimal de largo dx.

La vibración torsional es el movimiento angular oscilatorio en uno o más grados de

libertad angular, alrededor de una posición de equilibrio. Los problemas de

vibración torsional se presentan muy a menudo en problemas del diseño de ejes.

Las vibraciones torsionales se presentan en todos los elementos de máquinas que

están sujetos a rotación, manifestándose en el arranque, paradas, y operación a

velocidades variables. Las vibraciones lineales son fácilmente percibidas en los

elementos de maquinas, debido a que estás producen ruido y además son muy

visibles en los soportes, donde incluso se puede llegar a tener problemas de

movimiento de la maquina si es que esta no se encuentra correctamente anclada

a una base fija. Sin embargo, para la detección de las vibraciones torsionales no

ocurre lo mismo, están son de difícil detección, ya que debido a las estructuras

adyacentes al eje de rotación, generalmente no son notadas hasta que ocurre la

falla del sistema.

Algunas de las consecuencias de la excesiva vibración torsional sobre los

elementos de máquinas son: puede generar torceduras en ejes o árboles de

levas, fallas en los acoplamientos, elevados niveles de ruido en engranajes, falla

en dientes de engranajes, aflojamiento de los embobinados de los motores

eléctricos o aflojamiento y falla de las transmisiones en cadena.

En la siguiente tabla se muestran las diferentes formulas para los momentos de

inercia de las secciones transversales de las vigas sometidas a torsión.

En la siguiente figura se muestran las distintas configuraciones para un eje

sometido a vibración torsional junto con sus frecuencias características y los

modos que generan.

Frecuencia natural en la vibración torsional

La vibración natural se presenta en el caso de la torsión cuando un sistema

torsional no amortiguado está vibrando libremente y no tiene intervención de

ninguna fuerza, torque o momento externo para mantener la vibración; ya que el

torque que produce la vibración es solo instantáneo, entonces se dice que esta

vibrando a una de sus frecuencias naturales torsionales (también tiene

frecuencias naturales por flexión).

Un sistema eje-rotor posee un número de frecuencias naturales discretas de

vibración por torsión y dependiendo de esta frecuencia natural se asocia a cada

una un modo de vibración, el cual a su vez genera una distorsión geométrica del

eje en el instante de máxima deformación durante la vibración.

El método de Holzer es un método de cálculo para determinar las frecuencias

naturales y los fenómenos promedio en los sistemas torsionales, en el cual se

supone una frecuencia natural y se le asigna inicialmente una amplitud unitaria en

un extremo del sistema, después se calcula progresivamente el torque y el

desplazamiento angular en el otro extremo. Las frecuencias que resulten en

torque externo cero o en condiciones de frontera compatibles en el otro extremo,

serán las frecuencias naturales torsionales del sistema. Los desplazamientos

angulares (θ )correspondientes a estas frecuencias naturales son las formas

modales o promedio de las deformaciones torsionales.

Oscilación síncrona y asíncrona

Para el caso de los ejes rotatorios el desbalance es una de las fuentes más

comunes de oscilación, este podrá generar una oscilación síncrona con la

velocidad del eje, sin embargo, no todas las vibraciones son síncronas, también

se producen las vibraciones asíncronas, y estas últimas se involucran en los

problemas de vibraciones más destructivos.

En la siguiente imagen se puede apreciar una vista de un rotor (eje y disco)

oscilando y describe la diferencia esencial entre los dos tipos de movimiento; el

elemento sombreado en color negro representa la una pequeña masa

desbalanceada. Para el caso del esquema de la derecha se presenta la vibración

síncrona y el caso representado por la figura de la izquierda es el de la vibración

asíncrona.

Si la velocidad de oscilación es la razón de cambio del ángulo φ respecto al

tiempo ( d φdt =φ̇), entonces el ángulo β permanece constante y la velocidad de

oscilación y la del eje son iguales. De esta manera se presenta la oscilación

síncrona. Según se muestra en esta imagen el desbalance U del rotor está

adelantado respecto al vector de oscilación V por un ángulo constante β.

Para la imagen de la oscilación asíncrona la razón de cambio del ángulo β

respecto al tiempo ( d βdt

= β̇ ) es la velocidad de rotación del rotor con respecto al

vector de oscilación V; de esta forma la velocidad del eje se presentaría como la

suma: φ̇+ β̇. En este caso la velocidad de oscilación y la del eje no son iguales

(oscilación asíncrona).

Eje con varias masas de inercia

A diferencia de la vibración lineal o lateral que se desarrolla en un plano

transversal al eje de rotación, la vibración torsional se presenta en planos que

rotan respecto a los ejes de giro de las máquinas rotativas; los elementos que

intervienen en su análisis se presentan según el diagrama de cuerpo libre que se

presenta a continuación:

En este diagrama se consideran las inercias polares de los discos y la rigidez

torsional cada una de las secciones de eje según sea el caso. Cabe mencionar

que para el análisis en máquinas rotativas la función que desempeñan los apoyos

no influye en la vibración torsional, pues la acción que éstas puedan generar se

presentan en planos transversales, por lo que la función de los apoyos solo se

considera para el caso de análisis de los sistemas con vibraciones en flexión.

La inercia de cada sección del eje es usualmente dividida en partes iguales y

concentradas dentro de los discos a cada extremo de la sección. La rigidez

torsional en cada sección de un eje está dada por:

k n=G I pn

ln

Donde:

I pn=π dn

2

32: Momento de inercia polar para el caso de un eje macizo en la sección n

G: Módulo de corte

ln: Longitud del eje en la sección n

dn: Diámetro del eje en la sección n

El concepto de sección es introducido para representar a un elemento de inercia

con su respectivo elemento flexible; esto quiere decir que una estación se

compone de un disco con su respectivo momento polar de inercia (que puede

representar un engrane o una rueda) y el eje elástico contiguo (elemento eje).

Usualmente las porciones con forma de discos de grandes diámetros son

representadas en un modelo por un elemento masa y las porciones con más

delgadas representan porciones del eje; pero para poder obtener resultados

mejores un eje de longitud apreciable puede ser dividido en un número adecuado

de secciones para poder obtener mejores resultados. En la siguiente imagen

anterior muestra la n−¿ésima estación que consiste en una masa inercial

conectada a la rigidez del eje.

En el análisis de vibración torsional el número de estaciones N debe ser como

mínimo uno más que el número de frecuencias naturales a calcular.

Para representar la disipación de la energía vibratoria, se incorporan en los

sistemas vibratorios amortiguadores viscosos, las características viscosas

producen torques opuestos y linealmente proporcional a la velocidad angular del

amortiguador.

Los amortiguadores son denotados por Cn y representan la energía disipada en el

movimiento torsional relativo a los ejes y acoplamientos; los amortiguadores

denotados por Bn y representan la energía disipada por los soportes. El propósito

de agrupar los parámetros en secciones o estaciones discretas es describir

matemáticamente la dinámica de cada inercia por una ecuación diferencial

ordinaria, evitando las ecuaciones en derivadas parciales más complejas

requeridas para el modelo de masas distribuidas, que deberían ocuparse si se

considera el eje como un modelo completo de estudio con las distintas masas de

inercia añadidas.

Si θn es el desplazamiento angular de la n−¿ésima masa de inercia, el sistema

tiene N grados de libertad, es decir tiene N coordenadas generalizadas (1≤n≤ N );

de esta forma el movimiento del eje en rotación es entonces modelado por N

ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes

constantes.

Esta ecuación diferencial puede ser deducida de las leyes de Newton, o por medio

de las ecuaciones de Lagrange. Generalmente son estas últimas las que se

ocupan para el análisis de ejes rotativos.

En el análisis de las ecuaciones de Lagrange se tiene que a cada coordenada le

corresponde un movimiento θn (t ) que satisface las ecuaciones de Lagrange,

escritas en función de θ̇n y θn:

ddt [ ∂ L∂θ̇n ]− ∂ L

∂θn=Qn

Donde

L=E−U : Función de Lagrange

E: Energía cinética del sistema

U : Energía potencial del sistema

Qn: Torque no conservativo de la n−¿esima coordenada

La energía cinética E se considera como la suma alrededor de todas las masas de

inercia I pn×θ̇n2

2, por lo que queda expresada como:

E=∑n=1

N I pn× θ̇n2

2

Mientras la energía potencial U se calcula sumando todas las energías de los

elementos elásticos torsionales

U=∑n=1

N−1 k n (θn−θn+1 )2

2

Si en el sistema de transmisión se presentan engranes reductores o

multiplicadores de velocidad, se calcula

I pn=r t2 I ' pn

k n=rt2 k 'n

Donde

rt: Relación de transición

I ' pn: Inercia resultante de la sección n

I pn: Inercia efectiva

k ' n: Rigidez resultante en la sección n

k n: Rigidez efectiva

Determinación de autovalores

Los autovalores en términos matemáticos corresponden con las frecuencias

naturales, y con frecuencia estas son el objetivo más importante dentro del

análisis de los sistemas torsionales. De la misma manera la determinación de los

autovectores corresponde en un sistema de vibración torsional con los modos de

la vibración torsional.

Las ecuaciones diferenciales son linealizadas tomando el torque inicial como una

constante, y los valores de θn. Las ecuaciones resultantes son lineales y también

pueden caracterizarse como ecuaciones diferenciales homogéneas, de segundo

orden y con coeficientes constantes. Con este método se tienen la solución para

estas ecuaciones de la forma

θn ( t )=‖a‖cos (ωn t )

Donde

‖a‖: es la amplitud de la n−¿ésima sección

Régimen transitorio en los sistemas vibratorios

Se sabe que la energía total de un sistema, cualquiera que éste sea: mecánico,

eléctrico, electromecánico, etc., no puede variar bruscamente, no es posible pasar

de una forma de energía a otra forma de energía instantáneamente.

Este principio en el caso de los sistemas vibratorios implica que la energía no es

posible pasar de un estado de régimen permanente a otro estado de régimen no

permanente de una manera instantánea o discontinua de forma que se tiene

presente el llamado régimen transitorio. Este régimen transitorio puede ser

oscilante o aperiódico.

El régimen transitorio se presenta aperiódico cuando los parámetros que definen

el estado de un sistema están sujetos a variaciones unidireccionales. Y es

oscilante cuando tales variaciones son periódicas, en ambos casos las variaciones

se superponen al régimen final.

Por lo general tanto en los regímenes permanentes o transitorios si la causa que

dio origen a estos, cesa o se estabiliza, las variaciones terminan por amortiguarse,

quedando al final únicamente un nuevo régimen permanente.

Se acepta que el tiempo de duración de un régimen transitorio ha terminado

cuando las variaciones en el tiempo de los parámetros afectados no son ya

medibles, pues generalmente este no queda bien delimitado, ya que los cálculos

en teoría lo suponen infinito.

Si se considera un sistema electromecánico, los regímenes transitorios eléctricos

están asociados con circuitos eléctricos conteniendo inductancias y capacitancias,

de forma análoga en el caso de los regímenes transitorios mecánicos con

elementos mecánicos estos están dotados de inercia y rigidez.

La presencia de los regímenes transitorios se observa en los sistemas

electromecánicos cuando ocurre cualquier variación brusca en los parámetros

como el incremento de la corriente, del voltaje o la autoinducción, son causa de

perturbaciones eléctricas o mecánicas. Estos casos se presentan por ejemplo

cuando se realiza el cierre o apertura de un circuito, la etapa de arranque de un

motor o el cambio de carga del mismo,

Régimen transitorio en la etapa de arranque

Durante la etapa de arranque de un motor síncrono se producen vibraciones

torsionales muy importantes a analizar, a continuación se presenta una

descripción de esta etapa.

Los motores síncronos de polos salientes son puestos en marcha por medio de

inducción, con el campo cortocircuitado a través de un resistor, lo que genera un

esfuerzo de torsión pulsante durante el arranque, con una frecuencia de excitación

igual al doble de la frecuencia de deslizamiento del motor.

Si consideramos que la frecuencia de la línea de alimentación es de 60 Hz, la

excitación comienza a 120 Hz, la cual decrece linealmente hasta cero cuando el

motor alcanza la velocidad de sincronismo (como se muestra en las figura 1).

Las frecuencias naturales que se presentan dentro de rango son excitadas

durante la etapa de arranque (lo cual se muestra en la figura 2).

Figura 1: frecuencia de la máquina síncrona en función de la velocidad del rotor

Figura 2: frecuencias excitadas durante la etapa de arranque

Las tensiones que se presentan durante la etapa transitoria deben de ser

calculadas, debido a que el esfuerzo de torsión pulsante puede ser lo bastante

alto como para exceder el límite de resistencia torsional del eje, por lo que

también deben de ser posteriormente comparadas con límite de resistencia

torsional del eje. No es necesario que las tensiones transitorias sean menores que

la tensión del límite de resistencia; sin embargo, las tensiones deben ser

suficientemente bajas como para permitir un número aceptable de arranques.

Un caso particular de estos problemas se presenta en los programas de diseño de

helicópteros para mantener la estabilidad torsional del motor y del tren motriz

mientras se proporciona una respuesta suficientemente rápida a las demandas

para los cambios de velocidad. El esquema a continuación representa el tren

motor de un helicóptero:

En el esquema se aprecian los principales elementos de su funcionamiento

generador de gas (que produce un torque), el tren motriz y el controlador de

velocidad. El tren motriz es un sistema torsional de tres inercias (turbina, caja de

engranajes, hélice) y tiene dos frecuencias naturales diferentes de cero. La rigidez

torsional del eje 2 de la hélice es reducida grandemente por el cociente del

cuadrado de la relación de transmisión, lo cual produce bajas frecuencias

naturales.

Señales transitorias

Las señales transitorias aparecen cuando el sistema es sometido a la acción de

fuerzas excitadoras que actúan por un breve período de tiempo, estas fuerzas

provocan vibraciones que tienden a desaparecer un tiempo después que cesa su

acción. Entre esas fuerzas excitadoras se encuentran las de tipo impulsivo.

Fuerzas impulsivas

Cuando se aplica una fuerza de corta duración, usualmente de un período menor

que el período natural de un sistema, se denomina fuerza impulsiva.

Los sistemas de vibración electromecánica pueden estar sometidos a fuerzas

excitadoras que provoque un cierto comportamiento dentro del mismo. En la

siguiente figura se muestra el comportamiento de una fuerza impulsiva con

respecto al tiempo.

Las fuerzas impulsivas tienen como característica que tienen un tiempo de

duración muy pequeño, pero son de elevada magnitud por lo que le imprimen al

sistema una velocidad inicial que será proporcional a su masa (inercia) y a su

amortiguamiento.

La fuerza impulsiva se representa mediante la segunda ley de Newton y a partir

de esta se puede obtener el impulso provocado por la fuerza como

i= ∫t

t+∆t

F (t )dt

Si ∆ t →0, entonces la fuerza impulsiva es comparativamente grande y se

considera que el impulso i adquiere el valor de la unidad. Esto quiere decir que la

fuerza impulsiva será unitaria cuando ∆ t →0 y tomara las características de una

función δ (t−τ ).

Diseño bajo fuerzas impulsivas

Esta fuerza impulsiva causa un incremento significativo de los desplazamientos,

velocidades, aceleraciones o también de los esfuerzos de un sistema mecánico.

Por lo general la fatiga es una de las mayores causas de falla bajo excitaciones

armónicas, sin embargo este fenómeno no es importante cuando el sistema es

sometido a cargas impulsivas.

El impulso puede ser descrito mediante un impacto, velocidad de impacto o

mediante el espectro de respuesta impulsiva. Los pulsos de impacto son

introducidos como la aplicación súbita de fuerzas o desplazamientos en la forma

de funciones de tipo rectangular, medio seno, triangular o funciones similares

como las mostradas en la figura 3. Un impulso de velocidades es causada por un

cambio súbito de la velocidad, como consecuencia de dejar caer algún cuerpo de

una altura determinada. En el espectro de respuesta impulsiva se describe la

forma como una máquina o estructura, responde a un impacto específico.

Diferentes tipos de pulsos impulsivos son usados en productos comerciales,

industriales o militares.

Figura 3

Respuesta transitoria

En los sistemas mecánicos la respuesta transitoria de un sistema se presenta en

ocasiones en las que sucede por ejemplo un choque. El choque representa una

aplicación súbita de una fuerza u otra forma de perturbación. El valor máximo de

la respuesta es una buena medida de la severidad del choque y depende de las

características del sistema.

Bibliografía

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