PRÁCTICA NO. 1Funciones y Gráficas

Objetivo:

Ingresar y graficar una función en la ventana de comandos, además de encontrar sus raíces.

Teoría:

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Se dice que y es función de la variable x cuando a todo valor de x (tomado en un determinado conjunto de valores) corresponde un valor de y.

Se escribe así, y = f(x). En matemáticas, se estudian particularmente las funciones en las que la relación que liga a la variable con la función es precisamente una relación matemática.

Al conjunto de valores de x se le llama dominio de R, el conjunto de valores de y es el codominio de R y al conjunto de elementos de y, que son segundas componentes de alguna pareja ordenada de R, se le llama imagen de R.

Tipos de Funciones

Función suprayectiva.

Definición. Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva.

f

f : A B suprayectiva

Función inyectiva.

Definición: A una función f en la que a cualquier par de elementos diferentes del dominio les corresponden imágenes diferentes, se les llama función inyectiva.

Es decir, f: A B es inyectiva si para todo a1, a2 A, y a1 a2, f(a1) f(a2); o lo que es lo mismo:

si f(a1) = f(a2) entonces a1 = a2

f

f : A B inyectiva

Definición: Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama función biyectiva.

La función biyectiva admite inversa.

La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos x por y, (y viceversa), despejamos  y. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de potencia) sobre y ó f(x) -1.

Ejemplo: Sea f ( x )=5 x+2 , para hallar la inversa cambiamos x por f(x)-1, y viceversa:

x=5 f ( x )−1+2 , despejamos f ( x )−1=1

5( x−2 )

es la inversa.

Una función se denomina explícita cuando la y está despejada en un miembro (por ejemplo y = 3x – 1).

Se denominan implícitas aquellas funciones que están ligadas a su variable x por una ecuación no resuelta: 3x2 + 2xy + y2 – 4 = 0, define una función implícita. Las funciones se llaman algebraicas cuando para calcular el valor de y la variable x ha de someterse sólo a operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación). Por ejemplo, y = 4x2 – 5x2 + 12.

Una función que no es algebraica es una función trascendente. Por ejemplo y = log x, y = ax, y = cos x.

Solución a las ecuaciones f(x) = 0.

Se puede conocer los valores de x para los cuales se cumple f(x) = 0, que serán las raíces de la ecuación, por medio de una tabulación de valores o por alguna fórmula en caso de conocerla o por algún método heurístico, o por medio gráfico a través de un zoom en donde están las intersecciones en el eje x de modo que se pueda localizar (aproximadamente) la solución de la ecuación cuando f(x) = 0.

Software a Utilizar: MATLAB

Comandos a Utilizar: plot % Crea un dibujo de vectores o columnas de matrices syms % El atajo por construir los objetos simbólicos. ezplot % Grafica la función f = f(x). grid on % Agrega las líneas de la reja. solve % Solución simbólica de ecuaciones algebraicas.

Ejemplo 1: Gráfica de una función.

x=-5:0.1:4;y=(x).^3;plot(x,y);grid on

La siguiente ecuación cuadrática

Para graficar ésta función en MATLAB, se ejecutan las siguientes instrucciones

x=-4:.1:4;y=x.^2-2*x-5;>> plot(x,y)

o

Comandos Acciones>> syms x;>> f = x^2 - 2*x - 5;>> ezplot(f);>> grid on

Declaramos la variable xDeclaramos la funciónGraficamos la funciónCuadriculamos la gráfica

Éste código genera la siguiente gráfica.

Que tiene valores entre 0 y -2 y 2 y 4 una posible raíz.

Una tabulación de los valores de x e y son:

x=-4:4;>> y=x.^2-2*x-5;x, y

x =

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y =

19 10 3 -2 -5 -6 -5 -2 3

Se observa el cambio de signo entre -2 y -1 y entre 3 y 4.

Ahora para encontrar las soluciones de la ecuación usaremos las siguientes instrucciones.

Comando Acción>> [x,y] = solve('x^2 - 2*x -y = 5','y = 0') Encuentra la solución al sistema entre la función y el eje

x.

Estas instrucciones generan la siguiente respuesta:

x = 1+6^(1/2) 1-6^(1/2) y = 0

Lo cuál es equivalente a que las soluciones de la ecuación son:

Ejemplo 2:

Agranda tantas veces como sea posible la gráfica de la parábola y = x2 – 2, para aproximar sus raíces (21/2) hasta con 4 decimales.

Primero definamos la función y después la graficaremos utilizando el siguiente código.

>> f=x^2 - 2;>> ezplot(f);>> grid on;

El cual genera la siguiente gráfica:

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

x

x2-2

Ahora para hacerle un zoom a la gráfica la volveremos a graficar, pero ahora bajo el siguiente código

Comandos Acciones>> ezplot(f, [1.4135,1.4145]);>> grid on

>> figure;

>> ezplot(f, [-1.4145,-1.4135]);>> grid on

Graficamos la función en el intervalo (1.4135, 1.4145) en el cual está incluida la raíz positiva de la ecuación.FIGURE se utiliza para hacer otra gráfica sin borrar la anterior.De la misma manera graficamos la función en el intervalo de la solución negativa.

De ésta manera se obtienen las siguientes gráficas

-1.4145-1.4144-1.4143-1.4142-1.4141 -1.414 -1.4139-1.4138-1.4137-1.4136-1.4135

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

x

x2-2

x2 = -1.4142

1.4135 1.4136 1.4137 1.4138 1.4139 1.414 1.4141 1.4142 1.4143 1.4144 1.4145

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

x

x2-2

x1 = 1.4142

De las gráficas se puede observar las soluciones de la ecuación, las cuales son aproximadas a .

syms x y;

f = x^2 + y^2 -16;g1 = -x/(16-x^2)^0.5;g2 = x/(16-x^2)^0.5;

ezplot (f);hold on;axis([-9 9 -9 9]);grid on;

pause;ezplot(g1);hold on;ezplot(g2);axis([-9 9 -9 9]);

syms x y;

f = 2*x^2+y^2-6;g = y^2-4*x;

ezplot(f);grid on;hold on;

pause;ezplot(g);

Problemas:

1. Represente las siguientes funciones en los intervalos y con las opciones que se indican, primero por separado y después en un mismo dibujo.

a)y=esenx

en [0,8], como una línea continua verde que une los puntos representados por *.

x = 0:8;

plot(x,exp(sin(x)),´-g*´,…

´LineWidth´, 2,…

´MarkerEdgeColor´, ´r´,…

´MarkerSize´,12

b)y= ln x

en [2,6], como una línea punteada blanca que une los puntos representados por estrellas.

x = 2, 6;

plot(x,log(x),´-wp´,…

´LineWidth´, 2, …

´MarkerEdgeColor´, ´b´b,…

´MarkerSize´, 7)

c)

y=( x4 )

2

en [-1,5], como una línea discontinua azul que une los puntos representados por círculos.

x= -1:5;

plot(x,(x/4).ˆ2,´-bo´,…

´LineWidth´,2,…

´MarkerEdgeColor´, ´k´,…

´MarkerSize´, 12)

2. Dibuje con un solo color la gráfica de la función a trozos de la sección anterior.

x = 0: 8;

plot(x,exp(sin(x)),´-g*´,…

´LineWidt´, 2,…

´MarkerEdgeColor´, ´r´r,…

.MarkerSize´, 12)

hold on;

x=2:6;

plot(x,log(x),´-wp´,…

´LineWidth´, 2,…

´MarkerEdgeColor´, ´b´,…

´MarkerSize´, 7)

hold on;

x=-1:5;

plot(x,(x/4).ˆ2,´-bo´,…

´LineWidth´, 2,…

´MarkerEdgeColor´, ´k´,…

´MarkerSize´, 12)

grid on;

hold off;

3. Encuentre las raíces de la siguiente ecuación:

x3+3 x2−x−3=0

Tanto gráficamente como analíticamente.

syms x;

f=xˆ3+3*xˆ2-x-3;

ezplot(f);

gris on

[x,y] = solve(´xˆ3+3*xˆ2-x-3´,ý=0´);

4. Suponga que necesita encontrar la raíz cuadrada de 2, utilizando solo operaciones

arimeticas. Considere un número x tal que x2 = 2, así x2 - 2 = 0. Esto es, x=√2

es una solución a la ecuación

f ( x )=x2−2=0

Tabule los valores de x multiplicando por x, y entonces reste 2.

Encuentre √17 , 3√25 , 5√100

5. Para el problema de arriba, considere la intersección de la parábola y=x2−2

y el eje-x

positivo, que es lo mismo que resolver x2−2=0

. Magnifique sucesivamente la gráfica de y=x2−2

y aproxime √2

con cuatro decimales. Similarmente, encuentre la aproximación a las

raices de √17 , 3√25 , 5√100

.

6. La figura adjunta muestra un rectángulo de 50x100 cms. Usted planea envolverlo con una cinta de un ancho x que cuesta $25 cm2. Si usted tiene $250, determine el valor de x con una precisión de 0.01 cms. (Esto es determine, el valor más grande de x tal que el costo no exceda de $250).

Primero exprese el área de la cinta como la diferencia de áreas del rectángulo exterior e interior. Esto muestra que

(2 x+100 ) (2 x+50 )−5000=1000

Finalmente, aproxime x por una tabulación repetida.

Asimismo reemplace la caja por forma de L, un triángulo isoceles o equílatero, o un triángulo de lado 3, 4, 5; un hexágono regular, un rectángulo con un semicírculo arriba.

Compare resultados considerando un mismo perímetro de 300 cms

Problema.

Elaborar un programa que grafique la curva, la región en caso que sea una desigualdad y considere también el valor absoluto de la desigualdad, para cualquier función dada.

Conclusión:

PRÁCTICA 2SOLUCIONES GRÁFICAS

Objetivo:

En esta práctica se investigará la ecuación

2x=x10

Encontraremos sus soluciones por medio del método gráfico.

Teoría.

En cierto tipo de ecuaciones no hay forma explícita de obtener estos valores propios. Puede haber una infinidad de valores reales, dibujando las curvas y = 2x e y = x10. Los valores son las coordenada x, y de los puntos de intersección.

Software a Utilizar: MATLAB

Comandos a Utilizar:

o syms % El atajo por construir los objetos simbólicos.o ezplot % Grafica la función f = f(x).o gris on % Agrega las líneas de la reja.o hold on % Mantiene la gráfica anterior

Ejemplos:

1.- Las gráficas y=2x y y=x10

nos dicen que la ecuación 1 tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Use MATLAB para encontrar estas dos soluciones por el método de zoom.

Primero obtendremos las gráficas para hacer un bosquejo de éstas, esto se obtiene de la siguiente manera

>> ezplot(x^10, [-3,3]);>> hold on;>> ezplot(2^x, [-3,3]);>> grid on

La gráfica obtenida nos da una idea de los intervalos donde podemos encontrar las soluciones del sistema. Para observarlo de una manera más clara se hará una gráfica con zoom para cada una de las soluciones, para esto se utilizan los siguientes comandos

>> ezplot(x^10, [-0.945,-0.93]);>> hold on;>> ezplot(2^x, [-0.945,-0.93]);>> grid on

>> ezplot(x^10, [0.975,1.125]);>> hold on;>> ezplot(2^x, [0.975,1.125]);>> grid on

De las gráficas se encuentra que las soluciones aproximadas son

2.- La figura parece indicar que x10 se aleja de 2x siempre y cuando .

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0

1

2

3

4

5

6

7

x 105

x

y = 2x

y = x10

Problemas:

1. Demuestre por el mismo método que la ecuación de ejercicio 1 tiene las mismas soluciones que:

Primero empezaremos graficando las dos funciones, utilizando los siguientes comandos. >> ezplot(log(x)/x, [-5,70]);>> hold on;>> ezplot(log(2)/10, [-5,70]);>> grid on

De la gráfica se puede ver que la ecuación tiene dos soluciones positivas, utilizaremos el método de zoom para determinar estas soluciones, esto lo haremos con los siguientes comandos

>> ezplot(log(x)/x, [0.975,1.125]);>> hold on;>> ezplot(log(2)/10, [0.975,1.125]);>> grid on

>> ezplot(log(x)/x, [58,59.5]);>> hold on;>> ezplot(log(2)/10, [58,59.5]);

>> grid on

De las gráficas se obtiene que las soluciones aproximadas sean

Y de estas sólo la primera es igual a la segunda obtenida en el problema 1.

2.- Describa la curva descrita por la ecuación:

Para ver cómo se comporta la función la graficaremos, así podremos tener una mejor idea de ésta. A continuación se escribe el comando necesario y la gráfica generada por éste.

>> ezplot(639.86-(68.767*cosh(3*x/299)));>> grid on

Podemos decir que la gráfica describe una parábola cóncava hacia abajo.

3. La figura adjunta muestra una escalera de 12 fts que descansa en una barda de 5 fts y toca a una pared localizada a 3 fts. Deseamos encontrar la distancia x desde la base de la escalera a la barda.

Por el teorema de Pitagoras

( x+3 )2+( y+5 )2=144 (a)

La ecuación de un círculo con centro en (-3, -5) y radio 12. Por triángulos semejantes

y3=5

x (b)

tal que y = 15/x.

Demuestre que el círculo (a) y la curva (b) se interceptan en 4 puntos, dos en el primer cuadrante y dos en el tercer cuadrante. Los dos primeros son una posible solución física al problema. Aplique aproximaciones sucesivas y encuentre los valores de x e y con cuatro decimales. ¿Porqué los del tercer cuadrante no da una solución física al problema?

4. Suponga que una población se describe por una función exponencial de la forma P( t )=P0 2t

.

(a) Si la población se dobla dentro de 6 meses, ¿cuánto tiempo le llevará triplicarse?

(b) Si la población se triplica en 6 meses, ¿cuánto tiempo le lleva en doblarse?

5. Encuentre las soluciones reales de la ecuación(muestre las gráficas respectivas):

(a) x = cos x

(b) x2 = cos x

(c) 1 - x = 3 cos x

(d) 2x=3 cos x

(e) 2x=3 cos 4 x

6. (a) Suponga que usted invierte $5000 en una cuenta que paga interés compuesto continuamente, a una tasa de 7.696%, tal que la cantidad que la cantidad depositada en el tiempo t (en años) esta dada por

A( t )=(5000 )(1 . 08t )

Determine gráficamente, ¿cuánto le tomará -hasta el día más cercano- doblar su inversión inicial. Si la tasa fuese del 9.531%, entonces la cantidad que usted deposite despues de t años será

A( t )=(5000 )(1 . 10t )

Encuentre gráficamente cuánto le tomará triplicar su inversión.

Conclusión: