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Villena - Ecuaciones 2do Orden.pdf
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Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
2.1
Objetivos. Se persigue que el estudiante:
Encuentre soluciones generales y/o particulares de Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Determine Estabilidad dinmica cuantitativa y/o cualitativamente.
2.1 Ecuacin Diferenciales de segundo
orden con coeficientes constantes.
2.2 Ecuaciones diferenciales de orden superior
2.3 Anlisis Cualitativo
2
1
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Una ecuacin diferencial de segundo orden es de la forma:
)()()( xgyxqyxpy =++ Si 0)( =xg se llama Ecuacin homognea caso contrario; es decir, si
0)( xg se llama Ecuacin no homognea. Una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es
de la forma:
)( xgcybyay =++ donde , y a b c IR y 0a
2.1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGNEA
Una ecuacin diferencial de Segundo Orden con coeficientes constantes homognea es de la forma:
0 =++ cybyay La funcin " ", solucin general de la ecuacin diferencial anterior, es de la
forma
yrxkexy =)( (Por qu?). Donde " " es una constante que da la generalidad
de la solucin. k
Entonces el objetivo ahora ser hallar el valor de r .
Bien, de la solucin general tenemos: rx
rx
ekry
krey2=
=
Reemplazando en 0 =++ cybyay tenemos: [ ] 0 02
2
=++=++
cbrarke
ckebkreeakrrx
rxrxrx
Ahora bien, porque si no tuviramos las solucin trivial y como tambin , entonces
0k0rxe 02 =++ cbrar . A esta expresin se la denomina
Ecuacin Auxiliar y es til para hallar r . Observe que la ecuacin auxiliar es una ecuacin cuadrtica cuyas raices se las puede determinar empleando la formula general
2
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
aacbbrr
24,
2
21=
Aqu se presentan tres casos. Caso I
Discriminante positivo [ ]042 > acb . Entonces y son races reales y diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales
1r 2r
xr
xr
ekxy
ekxy2
1
22
11
)(
)(
==
La solucin General estara dada por la combinacin lineal de las soluciones fundamentales
xrxr ekekxy 21 21)( += Caso II
Discriminante cero [ ]042 = acb . Entonces y son races reales e iguales.
1r 2r
En este caso la solucin General sera: rxrx xekekxy 21)( += Caso III
Discriminante negativo [ ]042
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Hallando las races tenemos 26
0)2)(6(===+
rrrr
Por tanto:
xx
x
x
ekekxy
ekxy
ekxy
22
61
222
611
)(
)(
)(
+===
Podemos comprobar que efectivamente esta es la funcin que satisface la ecuacin diferencial dada. Obtengamos la primera y la segunda derivada
xx
xx
ekeky
ekeky2
26
1
22
61
436
26
+==
Luego, reemplazando
00
01212824436 226
12
26
12
26
1=
=++ xxxxxx ekekekekekek
Ejemplo 2
Encuentre la solucin general para 032 =+ yyy , 1)0(1)0( == yy SOLUCIN:
En este caso la ecuacin auxiliar sera 0132 2 =+ rrHallando las races tenemos
211
413
4)1)(2(493
21 ==
=
=
rr
r
r
Por tanto, la solucin general sera: xx ekekxy 21
21)( += Como las condiciones iniciales estn dadas debemos encontrar las constantes y 1k 2k
Como 1)0( =y entonces 21
02
01
21
1)0(
)(21
21
kkekeky
ekekxy xx
+=+=+=
Obteniendo la primera derivada:
xx ekekxy 21
21 21)( +=
4
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Como 1)0( =y entonces
21
02
01
21
211
21)0(
21)(
21
21
kk
ekeky
ekekxy xx
+=
+=
+=
Resolviendo simultneamente
+=+=
21
21
211
1
kk
kk tenemos: 02 =k y 11 =k
Por tanto, la solucin particular es: xexy =)(
Ejemplo 3
Encuentre la solucin general para 044 =++ yyy SOLUCIN:
En este caso la ecuacin auxiliar sera 0442 =++ rr
Hallando las races tenemos 22
0)2)(2(
21 ===++rr
rr
Por tanto, la solucin general sera:xx xekekxy 22
21)(
+=
Ejemplo 4
Encuentre la solucin general para 0136 =++ yyy ; 1)0(;1)0( == yySOLUCIN: En este caso la ecuacin auxiliar sera
Hallando las races tenemos:
irir
irr
rr
irr
rr
23232
46,
21166,
12
166,
2)13)(1(4366
,
21
21
21
21
21
=+=
=
=
==
=
En este caso 3= y 2= , por tanto la solucin general sera: [ ])2cos()2sen()( 213 xkxkexy x += Como 1)0( =y entonces
[ ][ ]
21)1(2)0(1)1(1
))0(2cos(2))0(2sen(1)0(3)0(
kkk
kkey
=+=
+=
5
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Como 1)0( =y entonces[ ] [[ ] [
23121)0cos(2)0sen(1
)0(33)0sen(22)0cos(12)0(3)0(
)2cos(2)2sen(133)2sen(22)2cos(12
3)(
kkkkekkey
xkxkxexkxkxexy
=+=+= ]
]
Resolviendo simultneamente
21
1)1(23
21
1223
21
==+
=+
k
k
kk
Por tanto, la solucin general sera [ ])2cos()2sen(2)( 3 xxexy x +=
Ejercicios propuestos 2.1 Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. 04 =+ yy ; 1)0(,1)0( == yy 2. 02 =+ yyy 3. 09 =+ yy 4. 044 =++ yyy ; 1)0(,1)0( == yy 5. 0= yy 6. 0= yy ; 1)0(,1)0( == yy
7. 0=+ yy ; 1)0(,1)0( == yy 8. 0=+ yy 9. 02
21 =+ yy
10. 096 =+ yyy
2.1.1.1 ANLISIS DE ESTABILIDAD DINMICA En el captulo anterior se mencion que la estabilidad dinmica de una
trayectoria se la determina con )(ty )(lm tyt .
Podemos ir analizando por casos.
Caso I, trtr ekekty 2121
)( += Si las races son reales y diferentes, estas tienen que ser negativas para que la trayectoria sea dinmicamente estable.
Caso II, rtrt tekekty21
)( += . Si las races son reales e iguales entonces r tiene que ser negativa ( ) para que la trayectoria sea dinmicamente estable 0
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Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
2.1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTE CONSTANTE NO HOMOGNEAS
Una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientse constante y trmino variable es de la forma: )(xg
)(xgcyybya =++ La Solucin General es una combinacin lineal de dos tipos de soluciones,
una solucin complementaria y una solucin particular . Cy Py
321321PARTSOL
p
COMPLSOL
c xyxyxy )()()( +=
La Solucin complementaria satisface la ecuacin homognea Cy
0=++ ccc cybyay Por tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionado anteriormente.
La Solucin particular satisface la ecuacin no homognea Py
)(xgcybyay ppp =++ Esta solucin, si es de forma polinmica o exponencial o trigonomtrica de senos y cosenos, se la puede determinar empleando el llamado Mtodo de los coeficientes indeterminados.
En estos casos, de acuerdo a la forma de , la solucin particular es deducible. Observe el siguiente cuadro.
)(xg )(xy p
Si 0111)( axaxaxaxg nnnn ++++= K entonces [ ]0111)( AxAxAxAxxy nnnnsp ++++= K Si xaexg =)( entonces [ ]xsp Aexxy =)( Si xaxaxg += cossen)( 21 entonces [ ]xBxAxxy sp += cossen)(
Note que la solucin particular aparece multiplicada por sx , esto es para el caso de que existan soluciones particulares que no sean linealmente independientes de las soluciones complementarias. Es decir, a necesidad se puede utilizar 2,1,0=s
7
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Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Ejemplo 1
Sea Hallar la solucin General xxyyy 39'4" 2 +=++SOLUCIN:
La solucin general es de la forma Pc yyty +=)( Primero hallemos . cy
La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea . 09'4" =++ ccc yyyLa ecuacin auxiliar es . Hallando las races tenemos 0942 =++ rr
( )
irir
irir
irr
rr
rr
rr
rr
5222524
2
5212524
1
2524
2,1
214.54
2,1
21204
2,1
2204
2,1
2)9(4164
2,1
==
+=+=
=
=
=
=
=
Por tanto [ ])5cos()5sen()( 212 xkxkexy xc +=
Segundo, hallemos Py
Como xxxg 3)( 2 += (polinomio de grado 2) entonces la solucin particular es de la forma CBxAxxy p ++= 2)( (polinomio generalizado de grado 2). Luego debemos
determinar los coeficientes A , y C . BLa solucin particular debe satisfacer la ecuacin no homognea; es decir,
xxyyy ppp 39'4"2 +=++
Hallemos la primera y la segunda derivada para CBxAxxy p ++= 2)(
Ay
bAxy
p
p
2"
2'
=+=
Reemplazando y agrupando
03)942()98(9
3948222
22
++=++++++=+++++
xxcbAxbAAx
xxcbxAxbAxA
Si dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales
8
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Entonces
=++=+
=
0942398
19
CBABA
A
Resolviendo el sistema simultneo tenemos:
91=A ,
8119=B y
72994=c
Por, tanto 72994
8119
91)( 2 += xxxy p
Finalmente la solucin general sera:
[ ]72994
8119
91)5cos()5sen()( 221
2 +++= xxxkxkexy x
Ejemplo 2 Sea Hallar la solucin General xyy 3sen64" =+SOLUCIN:
Primero hallemos . cy
La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea . 04" =+ cc yyLa ecuacin auxiliar es . Hallando las races tenemos: 042 =+r
irir
r
r
r
2020
14
4
4
2
1
2
=+=
===
Por tanto
[ ])2cos()2sen()(
)2cos()2sen()(
21
210
xkxkxyxkxkexy
c
c+=
+=
Segundo, hallemos Py
Como xxg 3sen6)( = entonces la solucin particular es de la forma xBxAxy p 3cos3sen)( += . Luego debemos determinar los coeficientes A y . B
La solucin particular debe satisfacer la ecuacin no homognea; es decir xyy PP 3sen64" =+
Hallemos la primera y la segunda derivada
xBxAy
xBxAy
p
p
3cos93sen9"
3sen33cos3'
==
Reemplazando y agrupando
9
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Igualando coeficientes, tenemos:
( ) ( ) xxxBxAxxxBxAxBxA
xyy pp
3cos03sen63cos53sen53cos03sen6)3cos3sen(4)3cos93sen9(
3sen64"
+=++=++
=+
==
0565
BA
Resolviendo el sistema simultneo tenemos:
56=A y 0=B
Por, tanto xxxy p 3cos03sen56)( +=
Finalmente la solucin general sera:
xxkxkxy 3sen562cos2sen)( 21 +=
Ejemplo 3
Hallar la solucin para . 2)0(',0)0(;34" 2 ==+=+ yyexyy xSOLUCIN:
Primero hallemos . cy
La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea . 04" =+ cc yyLa ecuacin auxiliar es . Hallando las races tenemos: 042 =+r
irir
r
r
r
2020
14
4
4
2
1
2
=+=
===
Por tanto
[ ])2cos()2sen()(
)2cos()2sen()(
21
210
xkxkxyxkxkexy
c
c+=
+=
Segundo, hallemos Py
Como xexxg 3)( 2 += (combinacin lineal de polinomio con exponencial) entonces la solucin particular es de la forma xp DeCBxAxxy +++= 2)( . Luego debemos determinar los coeficientes A , , C y B D .
La solucin particular debe satisfacer la ecuacin no homognea; es decir xpp exyy 34" 2 +=+
10
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Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Hallemos la primera y la segunda derivada
x
p
xp
DeAy
DeBAxy
+=++=
2"
2'
Reemplazando y agrupando
xx
xxx
exxDeCABxAx
exDeCBxAxDeA
3005)42(44
34444222
22
+++=+++++=+++++
Igualando coeficientes, tenemos:
==+
==
35042
0414
DCA
BA
Resolviendo el sistema simultneo tenemos:
53
81
041
=
===
D
C
B
A
Por, tanto xp exxy 53
81
41)( 2 +=
Finalmente la solucin general sera:
xexxkxkxy53
81
412cos2sen)( 221 +++=
Con tenemos 0)0( =y4019
2 =k
Con tenemos 2)0(' =y107
1 =k
Finalmente xexxxxy53
81
412cos
40192sen
107)( 2 ++=
Note que no es dinmicamente estable. Por qu?
Ejercicios propuestos 2.2 Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. 18322 23 ++= xxxyyy2. xexyyy +=+ 2963. xxyyy 2sen32cos2 =++ 4. xyy 2=+5. xx eexyyy +=+ 82
11
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
6. xeyyy x 2sen54 =++ 7. 1sen13352 3 += xexyyy8. ( ) ( )
510
2070;2sencos2 === yyxxyyy
9. ( ) ( ) 3010;112 2 ==+=+ yyeeyyy xx10. ( ) ( ) 1010;sen 2 === yyexyy x11. ( ) ( ) 3030;4107 2 ==+=+ yyexyyy x
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales de
coeficientes constantes, podemos pensar en procedimientos anlogos.
Ejemplo
Hallar la solucin para 248'16"146 =++++ yyyyy IVSOLUCIN:
Primero, encontramos la solucin complementaria que satisface la ecuacin homognea
.
cy08'16"146 =++++ ccccIVc yyyyy
La ecuacin auxiliar sera . 0816146 234 =++++ rrrrEncontramos las races por divisin sinttica
irir
rr
rr
rr
r
rrr
r
=+=
=
==++
=
=+++
=
112
42,
2)2(442
,
022
202214420
246410464
204641812820
28161461
43
43
43
2
2
23
1
Por tanto
[ ]xkkexekekxy xxxc cossen)( 432221 +++= Segundo, la solucin particular es de la forma py Ayp = porque 24)( =xg .
12
-
Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Entonces
0
0
0"
0'
====
IVp
p
p
p
y
y
y
y
Reemplazando y calculando 3
248)0(16)0(14)0(60
248'16"146
==++++=++++
AA
yyyyy pppppIV
Por tanto [ ] 3cossen)( 432221 ++++= xkxkexekekxy xxx Observe que es dinmicamente estable, es decir que converge al nivel de equilibrio)(ty 3=y
Ejercicios propuestos 2.3 Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales
1. 09`15``7``` =+++ yyyy 2. 42```2``` =+ yyyy 3. 88`10``6``` =+++ yyyy
2.3 ANLISIS CUALITATIVO
Para ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficentes constantes, podemos utilizar el siguiente anlisis si se trata de determinar la estabilidad
2.3.1 Teorema de Routh
Sea la ecuacin polinmica de grado n 013322110 =++++++ nnnnnn ararararara KLa parte real de todas las races son negativas si y slo s los " " primeros determinantes de la siguiente nsucesin:
1a ; 20
31
aaaa ;
31
420
531
0 aaaaaaaa
;
420
531
6420
7531
00
aaaaaaaaaaaaaa
;...
Son todos positivos Nota: Si 0=ma nm >
13
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Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
Ya usted ha tenido la oportunidad de observar que para que una trayectoria , solucin de una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes y
trmino constante, sea dinmicamente estable se requiere que las races de la ecuacin auxiliar o la parte real (en el caso de las races complejas) sean todas negativas. Entonces para determinar lo anterior basta con emplear el Teorema de Routh.
)(ty
Ejemplo 1
Determine cualitativamente la estabilidad dinmica para
08'16"146 =++++ yyyyy IVSOLUCIN:
Empleando el Teorema de Routh. La ecuacin auxiliar es 0816146 234 =++++ rrrr
En este caso y adems 4=n
8161461
4
3
2
1
0
=====
aaaaa
Los cuatros determinantes seran:
61 =a ; 681684141166
20
31 ===aaaa
;
800166081410166
0 31420
531==
aaaaaaaa
6400
81410016600814100166
=
Como todos los determinantes son positivos entonces todas las races son negativas; por tanto la solucin es dinmicamente estable
Ejemplo 2
Determine cualitativamente la estabilidad dinmica para 318'27"10 =+ yyyy SOLUCIN:
Empleando el Teorema de Routh. La ecuacin auxiliar es 0182710 23 =+ rrr
En este caso y adems 3=n18
2710
1
3
2
1
0
===
=
aaaa
Los cuatros determinantes seran:
101 =a ; 2522711810
20
31 ==aaaa
;
14
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Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden
518418100027101810
0 31420
531=
=
aaaaaaaa
Como los determinantes no todos son positivos entonces no todas las races son negativas; por tanto la solucin es NO dinmicamente estable.
Ejercicios propuestos 2.4 Determine si las soluciones de las ecuaciones diferenciales son trayectorias temporales convergentes o no. Emplee el teorema de Routh
1. 318`27``10``` =+ yyyy 2. 524`34``11``` =+++ yyyy 3. 22`5``4``` =++ yyyy
Miscelneos
1. Hallar la serie de Taylor alrededor de la 00 =x de la funcin xxxf cos)( = 2. Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales e indique si la solucin
complementaria converge o no. a) ( ) xexyyy x 10144 2 ++=++ b) xxyyyy sen32433 ++=+ c) tetyyy 2" +=++d) 1)0(,1)0(;1296" 3 ==++=++ yyxeyyy x
3. Un estudio de explotacin de un recurso natural, utiliza la ecuacin diferencial:
311
2 22
2=+
xa
dtdxa
dtdx
a) Probar que y atetx =)(1 = 12 )(at
etx donde 1,0 a son soluciones de la ecuacin homognea.
b) Si y 5=a 9= encuentre la solucin general e indique si la solucin converge a largo plazo.
15