volumen_de_solidos(4)

Aplicaciones de

la Integral (2)

Conceptos Previos

Llamaremos región plana a todo conjuntos R

(conexos ) de puntos del plano limitado por un

número finito de curvas cerradas .

Sea S un sólido y L una recta en el espacio tridimensional.

Llamaremos sección transversal del sólido S respecto de la

recta L a cada región plana R que resulta de la intersección de

S con planos perpendiculares a la recta L.

Diremos que un sólido S es un cilindro recto si puede

generarse desplazando una región plana R sobre una recta o

eje perpendicular a la región

Si un cilindro recto se genera despazando una región plana de

área A a través de un segmento de recta de longitud h,

entonces el volumen, V, del cilindro se define mediante

V A·h

es decir, el volumen es el área de la sección trasversal

multiplicada por la altura.

Volumen de Sólidos

Volumenes por cortes.

Los volumenes de los sólidos que no son cilindros rectos, ni

están compuestos por un número finito de ellos pueden

obtenerse mediante la técnica de cortes transversales respecto

de una recta L.

Sea S un sólido que se extiende sobre el eje ox y está limitado

a izquieda y a derecha por planos perpendiculares al eje ox,

en x a y x b

Puesto que no se supone que S sea un cilindro recto, sus

secciones transversales perpendiculares al eje ox pueden variar

de un punto a otro; denotemos con A(x) el área de la sección

transversal. Para [a,b] consideremos la partición

P: { ,x0 x1, . . . , xn }

en donde xi es uniforme. Es decir;

x1 x0 = x2 x1 = . . . = xn xn 1 = x

Tracemos planos perpendiculares al eje ox por cada uno de

estos puntos.

Como se ilustra en la figura, con estos planos el sólido S se divide en n

cortes

S1, S2, . . . , Sn

Consideremos un corte típico, Sk.

En general, este corte no será un cilindro recto, puesto que su sección

transversal puede variar. Ahora, si el corte tiene un espesor "pequeño" las

secciones transversales de este corte no variaran mucho en el.

En cada subintervalo elijamos un punto

arbitrario ck , y supongamos que A(x) es

constante e igual a A(ck) en [ ],xk 1 xk .

Esto es, supongamos que cada corte Sk es un

cilindro con sección transversal de área A(ck) y

altura xk.

De este modo, el volumen Vk del corte Sk es aproximadamente

Vk ~ A(ck)· x .

y el volumen V del sólido completo es aproximadamente

V ~

k 1

n

( )A ck x

Notar que esta aproximación mejora con refinamientos de la

partición P, y la intuición sugiere que tendera al valor exacto

del volumen V cuando ||P|| tiende a 0, es decir,

V = limn k 1

n

( )A ck x

Puesto que la sumak 1

n

( )A ck x es una suma de Riemann para

A respecto de la partición P, y como A es continua en [a,b],

entonces

da

b

( )A x x = limn k 1

n

( )A ck x

y podemos definir.

Def .-

Sea S un sólido limitado por dos planos paralelos,

perpendiculares al eje ox en x =a y x =b. Si para cualquier x

de [a,b] el área de la sección transversal de S perpendicular al

eje ox es A(x), entonces el volumen V del sólido esta dado por

V = da

b

( )A x x

Ejemplo.

Deducir la fórmula del volumen de una

piramide recta cuya altura es h y cuya base es

un cuadrado con lados de longitud a.

Solución

En cualquier punto z del intervalo [0, h] sobre el

eje Z la sección transversal perpendicular al eje

Z es un cuadrado. Si s denota la longitud de un

lado de este cuadrado, entonces por semejanza

de triángulos

1/2 s

1/2 a =

h z

h ó s

a ( )h z

h

Luego, el área A(y) de la sección transversal en y es

A(z) = s2 =

a ( )h z

h

2

Por tanto, el volumen es:

V = d0

h

( )A z z = d

0

h

a ( )h z

h

2

z = a

2h

3

EjercicioLa base de un sólido es la parte del plano XY limitado por las

rectas

y 1 x, yx

22 , x = 2, y el eje oy .

Cada sección perpendicular al eje ox es un cuadrado. Hallar el

volumen del sólido.

Apoyo Gráfico Volumen de Sólido de Revolución

Si un sólido S se genera por rotación de una

región plana R en torno a una recta L se dice

que S es un sólido de revolución.

A la recta L se denomina eje del sólido.

Método del disco

Sea f es una función continua en [a, b] y 0 ( )f x y sea S el

sólido de revolución que se obtiene por rotación de la región bajo

la curva y ( )f x entre x =a y x = b en torno al eje ox . Para

cada x [a, b] , la sección transversal respecto del eje ox es un

circulo de radio f(x). Luego, el volumen V del sólido S esta

dado por

V d

a

b

( )f x2

x

Ejercicios

Encontrar el volumen del sólido de revolución generado por

rotación de la región bajo la curva y x2

2 x en torno al:

(a) eje X

(b) eje y = -1

(c) eje y = 3

Propiedad

Si f , g son funciones continuas no negativas tal que

g(x) f(x) para a x b

y sea R la región entre la curvas y = f(x) , y = g(x), y las

rectas x = a y x = b. El volumen del sólido que resulta por

rotación en torno al eje X esta dado por

V d

a

b

( )f x2

( )g x2

x

Ejemplo

Encontrar el volumen del sólido que se genara cuando la

región entre las curvas y = 1

2x

2 e y = x en el intervalo [0,

2], se hace rotar en torno del eje X.

Sea f(x) = 1

2x

2 y g(x) = x, entonces:

V d

a

b

( )f x2

( )g x2

x

= d

a

b

1

2x

2

2

x2

x

= 69

10

Ejercicios

1. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado

por rotación de la región bajo la curva yx

21, con x [0,

2], en torno al:

(a) eje X , (b) eje y = -1,(c) eje y = 3

(a) (b)

c2.- Encontrar el volumen del sólido de revolución generado por

rotación de la región entre las curvas la curva y x2

2 x e

yx

21, en torno al:

(a) eje X

(b) eje y = -1

(c) eje y = 3

Ideas graficas

(a)(b)

(c) Notas:

En forma análoga, cuando el sólido es generado por rotación

de una región R en torno al eje Y se verifica:

a) Si R es la región del plano limitado por la curva x = u(y),

el eje Y, y las rectas y = c , y =d, entonces

V d

c

d

( )u y2

y , con ( )u y

Ejemplo.

Encuentre el volumen del sólido de revolución generado por

rotación en torno al eje OY de la región R del plano limitada

por

las rectas: yx

34, y=2, x=0.

b) Sea R la región entre la curvas x = u(y) , x = v(y), y las

rectas y = c y y = d.

El volumen del sólido que resulta por rotación en torno al eje

Y esta dado por

V d

a

b

( )u x2

( )v x2

x

Ejemplo



por

la recta y 2 x 3 y la parábola yx

2

23 .

Ejercicios.



por

a) y x2

, y 0 , x 3 .

b) y x2

1 , y 0 , x 1 , x 3 .

c) y x3

x2

1 , y 0 , x 1 , x 3 .

Metodo de anillos concéntricos

Supongamos que la región R bajo la curva y ( )f x entre a y b

se hace rotar en torno al eje oy , generando un sólido de

revolución S

Para encontrar el volumen de S, dividamos el intervalo [a, b]

en n subintervalos mediante la partición P = { ,x0 x1, , xn }.

Trazando rectas verticales por cada uno de los puntos xk , se

divide la región R en n franjas R1, R2, ... , Rn.

Estas franjas, cuando se hacen rotar en torno del eje Y ,

generan sólidos S1, S2, ... , Sn tal que

( )V S = ( )V S1 + ( )V S2 + ... + ( )V Sn

Consideremos una franja típica Rk. El sólido generado Sk en

general no es un cascarón cilíndrico, y para establecer una

aproximación del volumen de Sk aproximemos la región Rk

mediante la región rectangular de ancho x xi

xi 1

y

altura ( )f ci

, donde ci =

xi

xi 1

2.

El volumen Vi de la región anular S

i generada por rotación en

torno al eje OY de esta región rectangular Ri establece la

siguiente aproximación

Vi ( )f ci ( )xi

2xi 1

2 = 2 ( )f ci

xi xi 1

2( )xi xi 1

= 2 ci ( )f ci xi

Luego, el volumen V del sólido de revolución S se puede

aproximar mediante la sumatoria i 1

n

2 ci ( )f ci xi .

Aproximación que es mejorada a traves de refinamientos de la

partición P , y tal que

V = lim||P|| 0 i 1

n

2 ci ( )f ci xi

Puesto quei 1

n

2 ci ( )f ci xi es suma de Riemann para

2 x ( )f x respecto de la partición P, entonces para f continua

[a, b] se tiene que

V 2 da

b

x ( )f x x

EjerciciosEncuentre el volumen del sólido de revolución generado por


por

a) y x2

, y 0 , x 3 .

b) y x2

, y 0 , x 1 , x 3 . c) y x3

x2

1 , y 0 , x 1 , x 3 .

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