UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOESCUELA NACIONAL COLEGIO DE

CIENCIAS Y HUMANIDADES

XXXII CONCURSO LOCAL DE MATEMÁTICAS

Septiembre de 2019

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CLUBES DE

MATEMÁTICAS

XXXII Concurso Local de Matemáticas.

Problemas de opción Múltiple.

Aritmética

1. Un conductor comienza su viaje en el punto A, hace 10 km hacia el Norte, luego 10 km hacia el Este, luego 6 km hacia el Sur, luego 2 km hacia el Oeste, luego 8 km hacia el Norte, luego 4 km hacia el Oeste y luego 9 km hacia el Sur, terminando su viaje en el punto B. La mínima distancia entre A y B es igual a A) 0 km. B) 1 km. C) √5 km. D) 10√2 km. E) 5 km.

2. ¿Cuántos divisores tiene N=235−23?A) 190 B) 191 C) 192 D) 193 E) 194

3. Se forma una lista de números y se empieza con el 1, a partir de ahí, para cada número x

en la lista, el siguiente número es: x

x+1. Por ejemplo, el siguiente número de la lista es

12 .

¿Cuál es el número que ocupa la posición 2019 en la lista?

A) 1

2016 B) 1

2017 C) 1

2018 D) 1

2019 E) 1

2020

4. Cuatro primas, Ema, Iva, Rita y Zina, tienen las edades de 3, 8, 12 y 14 años, pero no necesariamente en ese orden. La suma de las edades de Zina y Ema es divisible por 5. La suma de las edades de Zina y Rita también es divisible por 5. ¿Cuántos años tiene Iva?A) 14 B) 12 C) 8 D) 5 E) 3

5. Este año hubo más de 800 corredores participando en una carrera. Exactamente el 35% de los corredores fueron mujeres, y participaron 252 hombres más que mujeres. ¿Cuántos corredores hubo en total?A) 840 B) 824 C) 822 D) 810 E) 802

6. ¿Cuál es el residuo de la división de (320 * 5 30 - 2)/15 ?A) 0 B) 2 C) 5 D) 8 E)13

7. Los enteros positivos x e y no tienen divisores comunes mayores que 1 y se cumple que xy=300. ¿Cuál es el menor valor posible de x+y?A) 30 B) 35 C) 37 D) 56 E)79

Algebra8. Sean x y y enteros. Si 17 x+51 y=85 , ¿a cuánto es igual 13 x+39 y?A) 64 B) 65 C) 66 D) 67 E) 68

9. Si a y b son dos números distintos tales que: a+ 1b=b+ 1

a ¿Cuál es el valor de ab?

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

10. El valor de 16√1+3 (22+1)(24+1)(28+1) es:

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

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XXXII Concurso Local de Matemáticas.

11. ¿Cuál es el valor exacto de la expresión:12−22+32−42+52−62+72−82+92

1+2+3+4+5+6+7+8+9

A) 10 B) 9 C) 1 D) -1 E) 512. La expresión √3+2√2−√3−2√2 sorprendentemente al reducirse es un entero, ¿cuál es el entero? (Considerar únicamente la raíz cuadrada positiva).A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Geometría.13. La figura muestra una pieza formada por un hexágono regular de lado 1 cm. Seis triángulos y seis cuadrados. El perímetro de la pieza es:

A) 6+3√2cm B) 6 (1+√2 ) cm C) 6√2+3cm D) 9 cm E) 12 cm

14. La figura está formada por tres triángulos equiláteros A, B y C de tal forma que el triángulo A tiene 48 cm de perímetro, el perímetro del triángulo B es la mitad del perímetro de A y el doble del perímetro de C. En centímetros el perímetro de la figura es:

A B C

A) 58 cm B) 60 cm C) 62 cm D) 64 cm E) 66 cm

15. Si cada uno de los lados de los cuadrados pequeños de la figura mide 3 cm, ¿cuánto vale el área sombreada?

A) 13.1 cm2 B) 13.2 cm2 C) 13.3 cm2 D) 13.4 cm2 E) 13.5 cm2

16. Cada uno de los cubos de la figura tiene arista de longitud 1. ¿Cuál es la longitud del segmento AB?

A) √17 B) 7 C)√13 D) √7 E) √14

17. Tengo dos tipos de azulejo: uno (blanco) de 3x2cm y el otro (negro) de 1x1cm ¿Cuál es el área del cuadrado más pequeño que se puede armar usando la misma cantidad de ambos azulejos? A) 4 cm2 B) 9 cm2 C)16 cm2 D) 25 cm2 E) 49 cm2

18. El dibujo muestra cuatro corazones, unos dentro de otros. Sus áreas son 1 cm2, 4 cm2, 9 cm2 y 16 cm2. ¿Cuál es el área sombreada?

A) 9 cm2 B) 10 cm2 C)11 cm2 D) 12 cm2 E) 4 cm2

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XXXII Concurso Local de Matemáticas.

19.El diagrama muestra un paralelogramo ABCD con área 1. El punto de intersección de las diagonales del paralelogramo es O. El punto M esta´ sobre DC. El punto de intersección de AM y BD es E, y el punto de intersección de BM y AC es F. La suma de las áreas de los triángulos AED y BFC es 1/3. ¿Cuál es el área del cuadrilátero EOFM?

A) 16 B)

18 C)

110 D)

112 E)

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Varios20. La Liebre de Marzo (personaje de Alicia en el País de las Maravillas) siempre miente de lunes a miércoles y dice la verdad el resto de la semana. ¿Qué día puede haber dicho: ''Mentí ayer y mentiré mañana''?A) Lunes B) Martes C) Esta situación es imposible D) Jueves E) Domingo

21. Dado un cuadrado unidad, ¿cuántos puntos del plano están a la misma distancia de dos vértices consecutivos y además a distancia 1 de un tercer vértice?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 8 E) más de 8

22. Se tiene un tetraedro regular y se trazan todas las medianas de las caras. ¿Cuántos puntos hay donde coincidan o se intersecten dos de las doce medianas?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

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XXXII Concurso Local de Matemáticas.

Problemas a desarrollar.

Aritmética.1. Encuentra tres números enteros positivos diferentes x,y, z tales que: x2+ y2+z2 sea un cuadrado perfecto.2. Un señor compró 88 vasijas idénticas. El precio de cada vasija es el mismo y es un número entero de pesos. Si el señor pagó a1211b pesos por las vasijas, donde a y b son dígitos, ¿cuánto costó cada una?

3. Calcula la suma: θ=9+99+999+9999+…+9999 …9⏟99

. ¿Cuál es la suma de todos

los dígitos de θ?4. Tengo un número abcd de cuatro dígitos. Invierto el orden de los dígitos y obtengo el número dcba. Al mayor le resto el menor y obtengo un número de cuatro dígitos donde tres de ellos son 1, 7 y 9. ¿Cuál es el dígito que falta?

Algebra

5. ¿Cuál es el valor más grande que puede tomar la cantidad (m + n)/n, si sabes que m y nson números enteros positivos tales que n > 99 y m < 101?

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6. Si x=√6+√6+√6+…y z=√6−√6−√6−…,¿cuál es el valor de x – z?

7. ¿Para cuántos valores del número b la ecuación x2−bx+80=0, tiene dos soluciones pares distintas?

8. El número –1 es solución de la ecuación de segundo grado 3 x2+bx+c=0. Si los coeficientes b y cson primos positivos, ¿cuál es el valor de 3 c−b?

9. Encontrar todos los enteros positivos x que satisfacen la ecuación x2−3x−11+144=0.

Geometría.

10. Una hormiga va del punto A al punto B, por la superficie del cilindro. Si r=1 y h=6, ¿cuál es la longitud del camino más corto?

11. Si los ángulos exteriores x,y,z de un triángulo están en razón 4:5:6, entonces los ángulos interiores a,b,c están en razón:

a

b c

x

yz

12. En la siguiente figura obtenga el área del triángulo Δ ABC. Si el área del hexágono regular es H.

C

B

A

13. Sea una esfera de radio 3 metros y centro O. F un foco que ilumina a la esfera. Si la distancia de F a O son 5 metros. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia que limita la superficie iluminada?

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14. Dos círculos de radios 9 cm y 17 cm están dentro de un rectángulo con un lado igual a 50 cm, como se muestra en la siguiente figura. Encuentra el área del rectángulo.

17

9

50cm

Varios

14. De cuántas maneras se pueden poner tres flechas que tengan algunas de las cuatro direcciones:↑ ,↓ ,← ,→en el siguiente tablero, una en cada cuadrito, de manera que ninguna flecha apunte a otra y que todas apunten a distintas lados?

15. Distribuye los números del 1 al 17 de tal manera que la suma de los números ubicados en línea recta sea igual a 51.

16. Para la siguiente figura, Obtenga el número de caminos que hay del punto A al punto B si sólo se permite caminar hacia arriba y hacia la derecha.

B

A

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XXXII Concurso Local de Matemáticas.

17. Coloca en los círculos los números del 1 al 9, tal que cada línea sume 27.

18. Usamos segmentos para construir este conjunto. Si hay 61 octágonos, ¿cuántos segmentos hemos utilizado?

Eliminatoria individual. Viernes 27 de septiembre de 2019, de 12 a 15 horas.

Final individual. Sábado 5 de octubre de 2019, de 10:00-14:30 horas.

Etapa por equipos. Sábado 12 de octubre de 2019, de 10 a 14:30 horas.

Mayor información en el club de tu plantel.

Elaboraron:Álvarez García Carlos Alberto, Cruz Reséndiz Felipe, García Sánchez Héctor, García Sánchez Javier, Landa Orozco Eliseo, Martínez Gallardo Víctor Manuel, Mejía Olvera Fermín y Rodríguez Hernández Alfredo.

Otoño de 2019

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