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DEPARTAMENTO DE VICHADA

MUNICIPIO DE PUETO CARREÑO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARIA INMACULADA

AREA: MatemáticasGRADO: ONCE

PERIODO: PrimeroFecha: 21 de abril de 2020Nombre de Docente: Luis Gabriel León Flórez

Cargo: Docente

I.E.M.IEstrategia de formación flexible




OBJETIVO DE LA GUÍA:

Reconocer, claramente el concepto de función y relación con situaciones de la vida real.

ESTÁNDAR BÁSICO DE COMPETENCIA:

Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

Analizo, en representaciones graficas cartesianas, los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales,

exponenciales y logarítmicas.

Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y limites en situaciones de medición

Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas.

Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación.

Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.




DERECHO BÁSICO DE COMPETENCIA:

Modela objetos geométricos en diversos sistemas de coordenadas (cartesiano, polar, esférico) y realiza comparaciones y toma decisiones con respecto a los modelos.

MATRIZ DE REFERENCIA:

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

Representar funciones gráficamente, en diagramas sagitales y tablas de valores.Realizar operaciones algebraicas entre funciones.

Resolver problemas de aplicación de funciones.

Reconocer, claramente, el concepto de función y relacionarlo con situaciones de la vida real.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ESTUDIANTE EN CASA:

Resolver problemas en situaciones de variación con funciones polinómicas y exponenciales en contextosaritméticos y geométricos.




TEMA:

FUNCIONES

ACTIVIDADES DE INICIO O EXPLORACIÓN:

En la siguiente tabla se encuentra registrado el precio del café colombiano, en centavosde dólar por libra, durante el año 2009.• Completen la tabla considerando el aumento del mes de enero como un incrementoestable para el resto de meses del año 2010.

1.. ¿Cuál es la diferencia del precio del café al comenzar cada ano? 2.. ¿En qué mes del año 2010 se registra el precio más alto? 3.. Que tanto aumento o disminuyo el precio desde el comienzo hasta el final del año 2009? 4.. ¿Cuál es el promedio del precio del café durante el año 2009? 5.. ¿Y durante el año 2010?




Una función es un conjunto de parejas ordenadas en las que ningunaprimera coordenada se repite.

La relación que se establece en esta función es, “ser el triple de”, puesto que a cada elementoque tomamos de x se le relaciona con su imagen en y, de la siguiente manera:f(x) = 3x f (2) = 3(2) = 6Es decir, solo debemos tomar el valor que pertenece al Dominio y reemplazarlo teniendoen cuenta la expresión algebraica, y de esta forma obtenemos la imagen correspondiente.Las funciones que trabajaremos en este módulo tendrán como dominio a, lo cualnos permitirá graficarlas, observemos como se obtendría la representación gráfica enel plano cartesiano de la función anterior.Analicemos otra función que se representa como diagrama sagital.




Estos son diagramas sagitales que muestran relaciones entre conjuntos.

• Caso 1: Cuando un elemento del dominio tiene dos imágenes a la vez ya no es función.

No es función porque el 2 tiene dos imágenes.• Caso 2: Cuando uno de los elementos del dominio no tiene imagen, ya no es función.




No es función porque el 3 no tiene imagen.ACTIVIDADES DE DESARROLLO Y ESTRUCTURACIÓN:

Concepto de funciónUna función es una regla o correspondencia entre dos conjuntos Ay B, que asigna acada elemento de A uno y solo un elemento de B.

El conjunto A es el conjunto de partida y el conjunto B es el conjunto de llegada, por tal razón una función que va del conjunto A al conjunto B se caracteriza por dos condiciones fundamentales:

• Cada uno de los elementos del conjunto A está relacionado con algún elemento del conjunto B.• Un elemento de A solo debe estar relacionado con uno y solo un elemento de B, esto significa que los elementos de A no pueden estar relacionados con dos elementos de B.

En las siguientes figuras se observan los diagramas sagitales de tres posibles funciones, la representación de f corresponde a una función ya que cada uno de los elementos del conjunto de partida están relacionados con un único elemento del conjunto de llegada. En el caso de g, no se cumple la primera condición ya que 3 no está relacionado con ningún elemento. Por último, para h la segunda condición no es válida puesto que 1 está relacionado con dos elementos del conjunto de llegada, razón por la cual g y h no son funciones.




Notación de funciónGeneralmente, para nombrar una función se usan letras minúsculas como f, g, h y seescribe f: A —> B para indicar que la función se ha definido del conjunto A conjunto departida, en el conjunto B, conjunto de llegada.Si x ∈ A, y ∈ B y yEscriba aquí laecuación . = f(x), entonces se dice que x está relacionado con y mediante la funciónf y se lee "y es igual a f de x". Ay se le denomina "la imagen de x" mediante f. La representación de una función f se puede realizar mediante un diagrama sagital.

A x se le denomina variable independiente y a y variable dependiente ya que el valorque toma depende del valor de x.




Dominio y rango de una función

Dada la función f: A →B, el conjunto A se denomina el dominio de la función f y se simboliza Dom f¿A. Los elementos del conjunto B, asociados con los elementos en A forman otro conjunto denominado el rango de la función f y se simboliza como Ran f.

El rango de una función es un subconjunto del conjunto de llegada, esto es Ran f⊆B Además, si f\x) es una función real, es posible mediante su gráfica en el plano cartesiano,

identificar el dominio y el rango de la función, ya que el eje horizontal representa la variable independiente, dominio de la función, y el eje vertical la variable dependiente, que es el rango de la función.

Para encontrar el dominio de una función se despeja la variable y, y se buscan las restricciones que tiene x. Del mismo modo, para hallar el rango sé despeja la variable x, y se buscan las restricciones de y.

Ejemplos

Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones.a. f (x) = —4x + 3.

La función polinómica es de grado 1, en este caso es una función lineal cuya gráfica es una línea recta con pendiente -4, que pasa por el punto (0,3).

El dominio de la función es el conjunto de los números reales. Es decir, Dom f = R.Para hallar el rango, se despeja x.Como y = f (x) - 4x + 3, entonces al despejar x se tiene:

x = 14y + 3

Al analizar la nueva expresión, se observa que corresponde a un polinomio de grado uno respecto a la variable y. Por tanto, Ran f = R, como se muestra en la figura.




Determinar el dominio de las siguientes funciones.

a. f(x) = √4−2 XComo en las funciones con radicales con índice par las cantidades subradicales deben ser positivas o cero, entonces, se tiene:

4 – 2X≥0 Se plantea la desigualdad.

4−2X−4 ≥O−4 Restando 4 a ambos lados de la desigualdad

−2−2 x ≤−4

−2Se divide entre (-2).

X ≤2 Se simplifica.

De donde se concluye que Domf = (—∝,2],

b. g ( x )= 4 x+5x2−5 x+4

Como el denominador de la expresión racional debe ser diferente de cero, entonces se hallan los valores para los cuales el denominador es cero, así:




x2 - 5x + 4 = 0 Se iguala el denominador a cero.

(x - 1) (x - 4) = 0 Se factoriza. x = 1 y x = 4 Se hallan las soluciones.

Por tanto, Dom g = Ŗ - {1,4}

c. h(x) =log2(2 X2+7 X+6)

Como los logaritmos están definidos para valores positivos, se realiza:

2X2 + 7x + 6 > 0 Se plantea la desigualdad.

(2x + 3) (x + 2) > o Se factoriza.

Luego, se resuelve la desigualdad en forma gráfica.

Se iguala el factor a cero.

Se despeja x.

x + 2 = o Se ¡guala el otro factor a cero.

x = −¿2 Se despeja x.

2x + 3 = 0 Se iguala el factor a cero

x= −32 Se despeja x.

Ahora, se utiliza la forma gráfica para solucionar desigualdades.




Como (2x + 3) (x + 2) > 0, entonces, la solución de la

desigualdad es: S = (-∝,-2) U ( −32,∝¿ .

Por tanto, Dom f = (-∝,−2)∪¿,∝)

propiedades de las funciones.Función inyectiva.

Una función f: A —> B es una función inyectiva o uno a uno si se cumple que para cada f (x1 ) = f (x2 ) entonces x1=x2 o de forma equivalente si x1≠ x2 entonces f (x1 )≠ f (x2 ).

En los siguientes diagramas sagitales se muestra a la función í{x) que es una función inyectiva.

En el caso de la función g(x) se tiene que no es una función inyectiva, ya que 1≠2y sin embargo, g(l) = g(2) con lo cual, no se verifica la definición de ser función inyectiva.




Función sobreyectiva.

Una función f: A —> B es una función sobreyectiva si para todo elemento y del conjunto de llegada, existe un elemento del dominio de la función tal que y = f(x).Es decir, si Ran f = B.

La definición de la función sobreyectiva indica que todos los elementos del conjunto de llegada deben tener por lo menos una preimagen, si existe por lo menos un elemento que no sea imagen de algún elemento del dominio entonces se dirá que la función no es sobreyectiva.

Por ejemplo, para verificar si la función de variable real h ( x )=−x2+3es sobreyectiva, se identifica el conjunto de llegada y el rango de la función así: en este caso, el conjunto de llegada de la función es el conjunto de los números reales.

Ahora, se halla el rango como sigue:

y = h{x) = −x2+3 Función dada.




x2 = 3 - y Se despeja x2

x = ±√3− y Se extrae raíz cuadrada.Como 3 - y >0, entonces, y ≤−3Luego, el rango de f está determinado por el intervalo [3, -∝).Finalmente, como el conjunto de llegada de la función es R y el rango es [3, —∝), se concluye que la función no es sobreyectiva, como se muestra en la figura.

Función biyectiva.

Una función f: A —> B es una función biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Es decir, una función es biyectiva si cada uno de los elementos del conjunto de llegada esimagen de uno y solo un elemento del conjunto de partida.

Ejemplos.

Verificar, si la función f ( x )=x3−4 x es una función biyectiva.Primero, se comprueba que la función es inyectiva, a partir de su definición, así:Sean a y b dos elementos del dominio de f tales quef (a )=f (b ), entonces se tiene:




f(a) = a3 + 4a Se encuentra f(a).F(b) = b3 +4b Se encuentra f(b).a3 + 4a = b3 + 4b Se igualaf (a ) con f (b )a3 + 4a —b3- 4b = 0 Se iguala a cero y se organiza(a - b) (a2 + ab + b2 + 4) = 0 Se factoriza por agrupación de términos .a - b = 0 Se iguala cada factor a cero.b2 + ab + a2 + 4 = 0Ahora, como a2 + ab + b2 + 4 ≠ 0, ya que si a y b tienen el mismo signo la expresión es positiva.Entonces, se cumple que: a - b = 0, luego a = b. Por tanto, la función es inyectiva.

Luego, se determina si la función es sobreyectiva; como esta es una función polinómica de gradoimpar entonces su rango es el conjunto de los números reales, por tanto, se concluye que lafunción es sobreyectiva.

Finalmente, como la función es inyectiva y sobreyectiva entonces la función es biyectiva, como se muestra en la figura ..

ACTIVIDADES DE PRACTICA:




https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb

https://www.youtube.com/watch?v=-9sJnBLJxKI&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=H40lcwlgPMk&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb&index=4

https://www.youtube.com/watch?v=A7OrJ8IlIeE&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb&index=3

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE/TRASFERENCIA:

Identifica cuáles de las siguientes relaciones son funciones. Explica tu respuesta.

1. A = {1,2,3,4}, B= {2,4,6} y f A—>B, y f(x) = 2x

2.

f es la relación "es amigo de ‘que relaciona el conjunto de los habitantes de Suramérica con el conjunto de los habitantes de Colombia.3. Con base en la gráfica de la función. Determina la imagen para el valor de x dado.

https://www.youtube.com/watch?v=A7OrJ8IlIeE&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb&index=3

https://www.youtube.com/watch?v=H40lcwlgPMk&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb&index=4

https://www.youtube.com/watch?v=-9sJnBLJxKI&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE&list=PLeySRPnY35dGfEuNGbQmymhiQF4oTUIMb




5. f (23) 7. f (22) 9. f (21)6. f (0) 8. f (1) 10. f (3,5)

Identifica la variable dependiente y la variable independiente para cada una de las funciones descritas verbalmente.

11. Un número más tres veces su cuadrado.13. El volumen de un cilindro con radio de tres centímetros y altura h.14. Los ingresos por la venta de cierto número de productos si se venden a $1.300 cada uno .

Determina si cada afirmación es falsa o verdadera. Justifica tu respuesta.

15. El dominio de la función definida por f(x) = log( 3 xx+2 ) es Dom f=R — {-2,0}.

17. El rango de la función h{x) = 4x2

es Ran f= [0, ∝¿.

18. Todas las funciones polinómicas con grado n par, tienen como rango un subconjunto propio del conjunto de los números reales.




Determina el dominio y el rango de la función dada.

19. f(x) = 3√ x+220. f(x) =

4 x+1x−2

21. h{x) = -3x + 222. g(x) =x2 + 4x- 123. f(x) = 2 — 3x — x2

Determina si la afirmación es verdadera o falsa. Explica tu respuesta.

24. Toda función inyectiva es biyectiva.25. Una función es biyectiva, si x1=x2, entonces f (x1 )≠ f (x2 )26. La función f. A —> B es inyectiva si se cumple que Ran f = B.27. Toda función sobreyectiva es inyectiva.28. La función g: A —>B, con A = [0, ∝) y B = [0, ∝)definida como g[x) = x2 es biyectiva.

VALORACIÓN O EVALUACIÓN FORMATIVA:

Generalidades de las Guías de trabajo:

Las guías de trabajo deben guardar coherencia de acuerdo a lo expuesto en el plan de estudios y en el proyecto educativo Institucional o Comunitario.

Se sugiere realizar las guías de trabajo para 15 días, especificando de que fecha a que fecha va la guía de trabajo.




Es importante aplicar acciones pertinentes que ayuden a continuar con los procesos de enseñanza y aprendizaje en cada uno de nuestros niños, niñas, jóvenes y adolescentes de los EE.

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