PLANIFICACIÓN MATEMÁTICA

5°grado - Fracciones

Fundamentación

La propuesta de la escuela para estas semanas de trabajo en el área, fue abordar el trabajo con

números racionales. El interés estaba centrado en usar este campo numérico como herramienta

que permita expresar el resultado de un reparto equitativo y, en consecuencia, su relación con la

división entre números naturales. Además se nos pidió que trabajemos con estos números en

situaciones donde sea necesario determinar una medida y en comunión con esto establecer una

relación con una unidad de medida. Con eso quedó determinado qué tipos de problemas se

deberían abordar.

Para esto hubo que tener en cuenta distintas cuestiones: se realizó una indagación sobre el trabajo

que el grupo había hecho en torno a este tipo de números en cuarto grado. De esta manera se

buscaron puntos de apoyo para abordar la tarea. Una de las cuestiones que nos pareció

importante consultar fue el trabajo que habían hecho en torno a la división, no era de nuestro

interés que la complejidad de la tarea radicara en los números involucrados en aquellos

momentos donde tuvieran que utilizar la división entera. Esta variable fue tomada en cuenta a la

hora de elegir los números involucrados en cada problema. No se podía dejar de lado, al margen

de la situación de este grupo concreto, cuáles son las dificultades que el trabajo con estos

números trae aparejado. Tener presentes el tipo de obstáculos que se pueden presentar permitió

anticipar posibles errores y pensar distintas intervenciones. Con respecto a los números racionales

y su relación con los naturales, los chicos se encuentran con múltiples rupturas, tanto en la forma

de representación como en el uso de estos números. Algunas de las cuestiones a tener en cuenta a

estas rupturas son las siguientes: para representar el número en este caso se utilizan dos números

naturales, la multiplicación, por otro lado, no puede interpretarse siempre como una suma

reiterada (salvo cuando se multiplica una fracción por un numero natural), en muchos casos el

producto de los números es menor que los números involucrados, el resultado de una división

puede ser mayor que el dividendo, los números ya no tienen siguiente. Si bien son cuestiones a

tener en cuenta a la hora de planificar las actividades, no todos estos aspectos fueron tomados

para problematizar en estas clases. Nos pareció importante ofrecerles a los alumnos situaciones

en los que el uso de los números racionales apareciera frente a la insuficiencia de los números

naturales.

Además de estas características generales, se optó por abordar la propuesta de problemas en

comunión con la propuesta del Diseño Curricular. Esta rompe con un modo de trabajo en el que

cada sentido con el que puede usarse un concepto es el protagonista de un grupo de problemas

que se presentan de manera separada de otros conjuntos de problemas que abordan sentidos

distintas. Coincidimos en cuanto a que la simultaneidad de abordaje de distintos sentidos

enriquece la tarea, ya que es importante tener presente que las nociones no se aprenden de una

vez, es necesario un trabajo con estas en distintas situaciones que permitan ir estableciendo

relaciones cada vez más complejas. Es decir que, teniendo en cuenta los ámbitos de

funcionamientos del concepto (reparto, medición, proporcionalidad, se modifia el orden de

presentación,

El trabajo con estos números, además será considerado el marco para abordar algunos quehacer

del trabajo matemático que nos parecen importantes para desarrollar en el aula. Entre estos

incluimos sobre todo dos que nos parecieron fundamentales. El progreso en cuanto a las

estrategias de argumentación y validación. La selección de problemas, las consignas y las

intervenciones planificadas apuntan a ofrecerle a los alumnos situaciones donde tengan que poner

en palabras las distintas maneras en las que fueron pensando los problemas, creemos que es una

tarea con la que es necesario trabajar, no aparece de manera espontánea. Entendemos por

validación el proceso por el cual los chicos pueden acceder, por sus propios medios y usando el

conocimiento matemático a dar cuenta de la validez de los resultados y las resoluciones que

producen, entendiendo que los resultados incluyen los procesos. Nos interesa poder brindar la

posibilidad de elaborar estrategias que le permitan no sólo saber si el resultado es correcto o no

sino de poder argumentar por qué las herramientas utilizadas sirven para resolver el problema. De

esta manera, se espera que el trabajo se aleje de una manera de trabajar en donde es el docente

el que valida el trabajo hecho por los alumnos, creemos que es importante ayudar al alumno a que

se responsabilice del trabajo realizado.

En cuanto a la progresión del trabajo, primero se trabajará recuperando lo que ellos ya tienen

construido sobre el concepto de fracción a través de problemas de reparto. No pensamos que por

el solo hecho de resolver estos problemas los alumnos podrán establecer de manera inmediata las

relaciones entre división y fracciones. Esto será el resultado de un trabajo más largo, que excede el

tiempo abordado en esta planificación. Sin embargo, en estas seis clases, propondremos distintos

problemas para poder trabajar estas nociones y la realización de distintas instancias de trabajo de

puesta en común. Otros problemas, tendrán como el eje el trabajo en torno a las equivalencias y

no tan centrado en los repartos. Los repartos hechos con anterioridad ofrecerán la posibilidad de

que aparezcan estas relaciones. En definitiva, el problema dejará de ser el reparto para pasar a ser

la equivalencia. Los procedimientos de tipo empírico deberán ir sustituyéndose por la construcción

de argumentos y la elaboración de criterios que permitan estar seguros de que el resultado es

correcto. En otros problemas el “objeto” del trabajo será el análisis de repartos ya hechos.; esto

complejiza la tarea y ofrece la posibilidad de ampliar las relaciones inicialmente establecidas. En

otros casos, a diferencia de las actividades presentadas hasta el momento, en donde se proponía

determinar el valor de cada parte en relación con el entero, en estos casos los valores están fijos y

debe componerse una cierta cantidad, junto con esta propuesta se propondrá explorar la relación

entre forma y medida, para arribar a su separación. Se espera que en un principio surjan por parte

de los alumnos conclusiones muy contextualizadas.

A lo largo de todas las clases se tomaron decisiones independientemente de la actividad propuesta

en cada una. En primer lugar, los momentos de puesta en común tendrá un rol fundamental en la

tarea, la docente pasará por los bancos observando procedimientos, se propondrán problemas

que admitan más de un tipo de resolución, clase a clase se irá construyendo la sistematización de

lo trabajado.

Clase 1

Propósito:

Trabajar las fracciones en el contexto del reparto con fracciones del tipo 1/n. Definir a las fracciones.

Inicio:

La docente entregará una copia del problema a cada alumno:

La actividad se realizará con el compañero de banco. Para esto se destinará 10’, en los cuales las docentes irán pasando por los bancos con múltiples objetivos: por un lado, proponerle a aquellas parejas que no estuviesen pudiendo avanzar con la resolución probar con otros recursos (por ejemplo, apelar al dibujo) y por otro, para ir revisando los procedimientos que están realizando los alumnos, los cuales servirán de insumo para la puesta en común.

Posibles procedimientos: en líneas generales es esperable que los chicos realicen dibujos para explicar cómo hacer los repartos; o que usen la cuenta de dividir para resolver cuántos chocolates enteros corresponden a cada uno y que usen dibujos para repartir el que sobra.

Como en esta clase apuntamos a arribar a una definición del tipo ¼ es una cantidad tal que repetida 4 veces forma un entero o una parte es ¼ si para formar el entero necesito 4 de esas partes, no se incluyen problemas que admitan una gran variedad de procedimientos. Para el primer problema se espera que el reparto se realice de las siguientes maneras: 1 chocolate para cada uno y el que sobra se divide en cuatro (se reparte 1 entre 4) o se reparten los 5 chocolates en 4 y se entregan en total 5/4 a cada uno: la idea es que aparezca la fracción ¼.

Desarrollo

Durante la puesta en común, la docente preguntará qué pareja quiere contar cómo lo resolvieron, si no aparecen los dos tipos de procedimientos antes explicados estará a cargo del docente introducir el/los que no aparezcan. Estos se irán registrando en el pizarrón. En este primer momento se espera poder identificar que esa partecita que le tocó a cada uno luego de repartir el chocolate que sobraba se llama un cuarto, y que es así porque si juntamos cada una de esas 4 partes formamos de vuelta el chocolate completo. Los chicos registrarán en el cuaderno lo siguiente:

1. Se desea repartir 5 chocolates entre 4 niños, de modo tal que cada uno reciba la misma cantidad y no sobre nada. ¿Cómo se puede hacer este reparto?

Luego se les entregará a los alumnos, nuevamente una copia a cada uno pero para que trabajen en parejas, el siguiente conjunto de problemas, se dispondrá de 15 minutos para realizarlo.

Este nuevo grupo de problemas permite trabajar el mismo concepto de fracción pero al incluir diferentes números se va a poder extender la idea a otras fracciones: en estos problemas se trabaja la noción de quintos, tercios, octavos, medios y sextos respectivamente. Esto nos va a permitir definir en términos generales que una fracción se denomina 1/n cuando n partes como estas forman un entero.

Se llevará a cabo una segunda puesta en común donde se charlarán los procedimientos utilizados para cada uno de los cuatro problemas, llegando, en esta instancia de manera oral, a conclusiones del tipo: “en este caso dividimos al chocolate en 6 partes iguales, por lo tanto cada una de estas partes las podemos llamar sextos. Ocurre lo mismo que en el primer problema, donde teníamos 4 partes iguales que juntas formaban el chocolate entero. En este caso decimos que cada una de estas partes es un 1/6 porque si juntamos 6 de estas partes formamos el entero”.

Cierre:

El momento final de la clase consistirá en sistematizar lo visto hasta el momento; para eso se le entregará a los chicos la siguiente fotocopia para que completen de manera individual. Se leerá en conjunto el primer ejemplo, y se explicará que en los siguientes podrá faltar o la parte que corresponde pintar o en cuantas partes se lo dividió o cómo lo llamamos o se escribe.

De manera similar que en el problema anterior:

a) Repartir 21 chocolates entre 5 niñosb) Repartir 10 chocolates entre 3 niñosc) Repartir 1 chocolate entre 8 niñosd) Repartir 23 chocolates entre 2 niños

El chocolate que sobró lo dividimos en cuatro partes iguales y dimos una a cada chico. Cada una de estas partes es un cuarto, que también podemos escribir como ¼.

Por otro lado la docente armará un afiche con las mismas conclusiones (completas) y lo llevará para comenzar leyéndolo al comienzo de la segunda clase.

Clase 2

Propósitos:

Avanzar sobre las fracciones m/n. Equivalencias en el contexto del reparto.

Inicio:

La clase comenzará leyendo el cartel con las conclusiones construidas la clase anterior que no llegamos a mostrar. Junto con esto terminaremos de poner en común el ejercicio de sistematización que ellos tenían que hacer. El afiche quedará pegado toda la clase, para que ellos acudan a él todas las veces que lo necesiten y esté a la vista. Se recordará luego que también pueden revisar lo que hicimos la otra clase al momento de resolver los problemas que vamos a presentar a continuación. Nos parece importante en esta primer parte de la clase retomar el concepto de fracción que trabajamos en la última clase: por ejemplo, una parte es ¼ si para formar un entero necesito 4 de esas partes.

Luego se propondrá el siguiente conjunto de problemas con el propósito de trabajar las fracciones m/n, lo que funcionará de puntapié para comenzar a trabajar con la noción de equivalencia.

1. María y Analía compraron una pizza y querían partirla en cuatro partes iguales y repartirla toda de manera tal que no sobrara nada y cada una recibiera la misma cantidad.

A. ¿Cuánto recibió cada una?____________________________________________

2. El fin de semana siguiente María y Analía cortaron una pizza del mismo tamaño en 2 partes iguales y comieron lo mismo las dos.

A. ¿cuánto comió cada una? _________________________________________________________ B. ¿Cuándo comió más cada una: ese fin de semana o el anterior? _________________________________________________________

Acordate de que podés hacer dibujos para

resolverlo y revisar lo que vimos en la clase anterior

Luego de destinar 10’ para que los alumnos resuelvan de manera individual cada uno de los problemas se realizará una primera puesta en común.

A medida que empiecen a aparecer las primeras posibilidades de equivalencia se retomará la equivalencia encontrada en la primer clase (5/4 es lo mismo que 1 y ¼, en esta clase también se menciono que ese “1” era 4/4, esto también será recuperado).

El primer problema implica volver a trabajar con cuartos pero esta vez para analizar, junto con el problema 2, qué relación hay entre cuartos y medios. En el problema 1 se apunta a trabajar que ¼ + ¼ también se puede escribir como 2/4 y que esto es lo mismo que ½, ya que forman la mitad de la pizza, y con 2 de esos cuartos podemos formar una parte tal (un medio) que repetida dos veces forma el entero.

Para este momento de la clase se propondrá que los alumnos copien en sus carpetas la siguiente conclusión: acompañar con dibujo

Se podría complementar esta conclusión con un dibujo que mostrará 2 pizzas del mismo tamaño, una repartida en 4 partes iguales y otra repartida en 2 partes iguales para que los alumnos puedan ver, al menos en esta instancia, la constatación gráfica de la equivalencia entre 2/4 y ½. La idea es ir construyendo relaciones, que permitan ir reconociendo que si bien los dibujos muestran las equivalencias podemos reconocerlas sin necesidad de realizarlos.

Desarrollo:

Una misma fracción la podés escribir de distintas maneras. Por ejemplo, ¼ + ¼ también puede escribirse como 2/4 y 2/4 es lo mismo que ½.

Se le entregará a cada alumno una copia de los siguientes problemas, pero los resolverán en parejas. Para esta etapa de la clase se destinarán 15’.

La puesta en común para este conjunto de problemas se realizará sobre los 3 problemas ya que nos parece pertinente poder volver a ver la equivalencia entre cuartos y medios, y tomar la equivalencia entre tercios y sextos que se introducen. Pero se les propondrá a los chicos que resuelvan primero los dos primeros y luego de la puesta en común resuelvan el número 3. Mientras las parejas resuelven los problemas, el docente pasará por los bancos, esta vez sí, con el objetivo de recoger la diversidad de procedimientos que estuvieran circulando, para saber sobre cuáles trabajar y cuáles no aparecieron para poder introducirlos luego en la puesta en común.

En el primer problema se espera que aparezcan los siguientes procedimientos, en ambos es esperable que primero se divida la parte entera (es decir, que pueda darles 6 chocolates a cada uno, y que me sobren 3 para repartir entre 4). Hay que resaltar que en estos casos lo que sobra y hay que repartir ya no es más un entero, como en la primer clase, sino más de uno. Esta es una diferencia que puede trabajarse con los chicos.

El reparto podría hacerse:

- cortando cada chocolate en cuartos y darle un pedazo de cada chocolate a cada niño (1/4+1/4+1/4)

- o partiendo dos chocolates al medio y el tercero en cuartos (1/2+1/4).

Trabajar con este problema permitirá poner la atención en la relación de equivalencia que hay entre 1/2+1/4 y 3/4; para esto nos apoyaremos en la equivalencia trabajada en el primer conjunto de problemas (2/4=1/2). A su vez, se podrá seguir trabajando sobre el tipo de fracción m/n, pero ahora trabajaremos que 3 de ¼ se puede escribir ¾.

Podrán ir quedando en un costado del pizarrón las equivalencias encontradas hasta el momento:

¼ + ¼ = 2/4

2/4 = ½

1. Se quieren repartir 27 chocolates entre 4 chicos, ¿cómo podemos hacer el reparto para que todos coman lo mismo y no sobre nada?

2. Ahora intenta repartir 14 chocolates entre 6 chicos, no puede sobrar nada y todos tienen que recibir lo mismo.

3. ¿Y si los chocolates fueran 4 y los chicos 6?

¼+ ¼ + ¼ =¾ (esto lo ponemos como equivalencia o hacemos un registro aparte con las expresiones del tipo 2 de ¼ son 2/4. 2 de ¼ son ¾?)

½ + ¼ = ¾

Comentarios de la asesora (C.A): Solo para que tengan en cuenta que parece una relación fácil esto de que una misma cantidad puede expresarse de diferentes modos, pero que es complejo pues rompe con las cuestiones construidas para los naturales. . Si surge, puede ser bueno confrontar el funcionamiento de los naturales con las fracciones. Intervenciones del estilo: Con las fracciones pasan cosas diferentes con los naturales- números que ustedes conocían hasta ahora-, a veces les puede resultar raro, etc.

En el segundo problema se apuntará a ver la relación entre tercios y sextos. Podrían surgir las siguientes posibilidades:

- Darle 2 enteros a cada uno y que queden 2 para repartir entre 6 y darle 1/3 a cada uno- Darle 2 enteros a cada uno y los 2 que sobran partirlos en 6 partes cada uno y darle 2/6 a

cada uno.

La equivalencia que se puede establecer es

1/3 = 2/6

C.A: Piensen si no surge si ustedes van a ponerlo en juego o no.

En el tercer problema la variedad crece: en este caso hay que repartir 6 chocolates entre 4 chicos. Las opciones que pueden, y que es interesante que aparezcan, son las siguientes:

- Dar un chocolate entero a cada niño y cortar los otros dos en cuatro: 1 + ¼+1/4 - Dar un chocolate entero a cada niño y luego cortar los otros dos en mitades: 1+1/2 - Cortar todos los chocolates en cuatro y dar seis partes a cada uno: ¼+ ¼ +1/4+ ¼ + ¼ +1/4=

6/4.- Cortar cuatro chocolates al medio y los otros dos en cuatro: ½+½+1/4+1/4

Cierre:

Para cerrar la clase proponemos la siguiente actividad de sistematización, la misma podrá resolverse en parejas y una vez terminada se leerá entre todos. Además quedarán en el aula carteles con las distintas equivalencias.

Dudas: ¿Los hacemos con los chicos, los llevamos hechos y los pegamos esa clase, o los hacemos y los llevamos para pegar al principio de la próxima clase y así retomar lo visto en la clase anterior?

C.A. Yo creo que esa va a ser la mejor opción porque no estoy segura que les dé el tiempo para discutir también este problema si quieren discutir los tres anteriores.

Clase 3

Propósito: Continuar trabajando con equivalencias, pero ya no repartiendo sino analizando otros repartos ya hechos.

En esta clase continuaremos explorando equivalencias. Habiendo visto distintas relaciones entre medios, cuartos, tercios y sextos, se incluirá el trabajo con octavos y doceavos.

Además la naturaleza del trabajo se complejizará. Ya no serán los alumnos los que realizarán los repartos sino que analizarán repartos ya hechos. Se espera poder trabajar distintas maneras de argumentar y justificar equivalencias, avanzando con el uso de representaciones numéricas para hacerlo, tratando de abandonar de a poco la representación gráfica.

Inicio:

La clase comenzará releyendo entre todos los carteles elaborados la clase anterior con las distintas equivalencias. Se les recordará a los chicos que esto queda a su disposición para que puedan recurrir a ellos en caso de necesitarlo. La resolución de este primer problema se realizará en parejas, disponiendo de 10’ para realizarlo y luego haremos una puesta en común.

Completá:

¿Cuántas partes de ½ necesito para formar un entero? _________

¿Cuántas partes de 1/4 necesito para formar un entero? _________

¿Cuántas partes de 1/3 necesito para formar un entero? _________

¿Cuántas partes de ¼ necesito para formar 1/2? _________

¿Cuántas partes de 1/4 necesito para formar 6/4? _________

¿Cuántas partes de ½ necesito para formar 6/4? _________

En ambas opciones se dan 4 alfajores enteros a cada chico, quedando por repartir entre 4 chicos, 3 alfajores. En el primer caso le corresponde a cada uno ½ y ¼ . En el segundo caso, les corresponden ¾ a cada uno ( ¼ + ¼ + ¼ ) . Se buscará llegar a la conclusión de que ½ + ¼ = ¾ ya que 2/4 es lo mismo que ½. En la carpeta quedará registrado de esta manera:

A continuación se les entregará a los chicos el siguiente problema, que también podrán resolver en parejas.

1. ¿Cuánto recibieron en cada caso? 2. ¿En los dos casos recibieron todos la misma cantidad? 3. ¿Por qué?

Explicalo en tu carpeta usando las equivalencias vista hasta ahora.

Resolvemos:

Matías tenía 3 chocolates para repartir entre 5 chicos. ¿Son equivalentes las siguientes formas de reparto?

A. Parte cada chocolate en 5 partes iguales y le da una parte de cada chocolate a cada chico.

B. Parte por la mitad cada uno de los 3 chocolates y da una mitad a cada chico, y parte en 5 la última mitad.

¿Por qué? ¿Cómo lo explicarías? Escribilo en tu carpeta

¼ + ¼ + ¼ = ¾

Como ½ = 2/4

½ + ¼ = ¾

Antes de realizar la puesta en común la docente tendrá presente cuales fueron las argumentaciones y maneras de construirlas que realizaron los chicos. La idea es que ellos puedan explicar cuál fue su respuesta y que encuentren una manera de justificar la equivalencia o no. Muchas de las preguntas que el docente hará dependerán de lo que vayan explicando los chicos o no. Se podrán hacer dibujos y, por supuesto, usar las equivalencias disponibles en los carteles y trabajadas en las clases anteriores.

La primera opción (3 de 1/5 para chico) nos permitirá enriquecer las expresiones del estilo ¼ + ¼ +1/4 que venimos trabajando. Quedará escrito en el pizarrón. 1/5 + 1/5 +1/5 = 3/5. También se volverá sobre la idea de cuántas partes de esas necesito para formar el entero, en este caso, 5, para esto se podrá releer una de las conclusiones de la clase 1. La segunda opción en cambio, propone el siguiente reparto: parte al medio cada uno de los 3 chocolates quedándole para repartir 6 de ½, de las cuales les da 1 a cada chico. El problema se presenta para repartir el medio que sobra. Este podrá partirse en 5 partes iguales y entregarle una de esas partes a cada chico. Por ahora cada chico tiene un medio y ese pedacito que le tocó del último medio partido. La puesta en común tendrá como dirección identificar qué es esa parte con respecto al entero, cómo se llama. Para eso la docente apelará a la concepción de fracción que se viene trabajando: Por ejemplo, un sexto es una parte tal que para tener un entero necesito 6 de esas partes. Se harán preguntas del tipo: “¿Cuántas de estas partecitas necesito para formar el entero?”. Se buscará advertir primero, cuántas necesito para formar un medio y se utilizará la equivalencia 2 de ½ es un entero. La idea es llegar a la conclusión de que necesito 10 de esas partes para formar un entero, por lo tanto a ese pedacito lo llamamos 1/10.

Podrán quedar expresadas las siguientes expresiones:

- Necesito 10 partes de 1/10 para formar el entero- Necesito 5 de 1/10 para formar ½: 5/10 = ½

El último problema, también será realizado de a dos y es el siguiente

Con esta situación problemática se busca problematizar la relación entre cuartos, octavos y doceavos.

La puesta en común se llevará a cabo después del punto b), al finalizar entregaremos la consigna del punto c). Decidimos hacerlo así para evitar que los que terminan avancen con el problema.

La idea de la primera consigna es poder identificar, qué parte del entero son 3 de esos pedazos. Como es la primera vez que, al menos en estas clases trabajamos con doceavos y octavos comenzaremos recuperando este y volviendo a identificar que, en el caso de los doceavos necesito 12 de cada uno para formar el entero.

La relación que se puede establecer es la siguiente: si para juntar toda la pizza necesito 12 pedazos, para tener la mitad necesito 6 pedazos, y para juntar ¼ necesito 3 ya que ¼ es la mitad de ½.

En el punto b) la idea es poder identificar cuántas porciones de jamón forman un cuarto de la pizza. Si para juntar el entero necesito 8 pedazos, para tener la mitad voy a necesitar la mitad de porciones, y para conseguir la mitad de eso, que sería un cuarto, se necesitarán 2 porciones. Esto permitirá volver a presentar la idea de que ¼ es la mitad de ½, retomando lo trabajado en otras clases: para tener ½ necesito 2 de ¼.

La consigna c) volverá sobre la idea de que con 2 de ¼ junto un medio. Los chicos tendrán que ver cuánto tienen en total, y para poder compararlo con un medio, deberán apelar a esta relación. Si junto las 3 de cebolla ya tengo un cuarto, que si lo junto con la porción de jamón, que también es un cuarto, ya junto la mitad de la pizza, pero como además tengo uno de los pedazos de la pizza que está repartida en 8, además de ½ tengo 1/8, por lo tanto tengo más.

(Comentario de las practicantes: los siguientes ejercicios no llegaron a hacerse por una cuestión de tiempo. Fueron tomadas algunas equivalencias que surgieron de los problemas y se decidió que quedaran registradas para retomarlas en la clase siguiente)

Para sistematizar lo trabajado los chicos podrán indicar:

Luego de discutir entre todos les entregaremos otro grupo de afirmaciones:

Las conclusiones que en el caso de esta clase quedarán registradas en un afiche serán:

Clase 4

¿Cuál o cuáles de estas afirmaciones son correctas?

Con 2 de ¼ formo ½

Con 4 de 1/8 formo ½

Con 4 de 1/12 formo ½

¿Y de estas?

Con dos de ¼ formo 1/8

Con dos de 1/8 formo ¼

Con una de ¼ y 2 de 1/8 formo el entero

Ya sabíamos que para formar un entero necesitábamos: 2 de ½, 4 de ¼, 3 de 1/3, 6 de 1/6.

Pero también podemos formar un entero con: 8 de 1/8 y 12 de 1/12.

Para formar ½ podemos usar: 2 de ¼, 4 de 1/8 o 6 de 1/12

Para formar ¼ podemos usar: 2 de 1/8 o 3 de 1/12

Propósito:

Trabajar las fracciones en el contexto de la medida. Indagar sobre las distintas formas que representan la misma fracción.

Inicio:

La docente comenzará la clase entregando los siguientes problemas. Le dará una copia a cada uno pero les dirá que lo realicen con su compañero de banco:

Se les dará unos 10’ para que lo conversen con su compañero (en realidad el tiempo se acomodará en la medida que veamos quiénes lo van realizando, quiénes lo están pensando, charlando, etc. pero creemos que no será más que ’10). La idea es entonces poner las respuestas en común, fomentando la argumentación respecto de por qué escribieron lo que escribieron. Consideramos que al estar las figuras de Marcela y Martín divididas en el ¼ del primer triángulo, este será un punto en el que muchos se apoyarán para resolverlo.

Se buscará llegar a una primera idea respecto de que los enteros y las fracciones pueden tener distintas formas entre sí, para luego pasar a resolver (nuevamente de a dos) los siguientes problemas:

Este triángulo es 1/3 del entero. Dibujá el entero completo.

Para esto se destinará unos 15’ pues creemos que tiene una mayor complejidad que el anterior, ya que ahora es momento de producir y con formas distintas (rectángulos, triángulos). Se irá pasando por los bancos viendo los distintos procedimientos que puedan ocurrir.

Finalmente se llegará a la puesta en común con el objetivo de ver las distintas formas que dibujaron los chicos. Para esto, pasaran chicos por cada problema a dibujarlo en el pizarrón (si es que hubiese 3 resoluciones distintas para mostrar, sino podrá la docente proponer una tercera).

Se buscará seguir reformulando la idea, ahora con los chicos produciéndolo que, 1/4, 1/3 y cualquier fracción pueden tomar formas distintas porque lo que importa es su relación con el entero y no si son más chicos o más grandes, de una forma o de otra.

Se pasará luego a la resolución de los últimos ejercicios, los cuales pensarán primero solos y después la docente les dirá que consulten con el compañero:

1) ¿En qué casos el entero se ha dividido en cuartos?

2) Indicá qué fracción representa en cada caso la parte sombreada:

Si bien los primeros del primer punto no creemos que adviertan mucha complejidad, creemos que quizás el último sea para conversar entre todos, no sólo que lo que queda no es un cuarto sino que en realidad si seguimos dividiendo son todos sextos. Creemos que realizar el dibujo de dicho punto en el pizarrón y conversarlo entre todos será fructífero.

Respecto del punto 2, se trata aquí de complejizar la resolución pues era tendrán que formular ellos qué parte es aquella que está sombrada. Esto podrá llevar a respuestas de lo más variadas y a distintas resoluciones

Problema extra por si alguno termina antes las resoluciones:

1) Indicá qué fracción representa en cada caso la parte sombreada:

2) Indicá, en cada caso, si la parte sombreada corresponde a la fracción dada. Explicá tu respuesta

Clase 5

Propósito:

Trabajar la idea de fracción como parte de un todo, la comparación de partes entre sí y el hallazgo de equivalencias. Fomentar la argumentación y la elaboración de estrategias, en el contexto del juego.

Inicio: Presentación de la Escoba del 1

La docente iniciará la clase contándoles a los alumnos que ha traído un juego para compartir con ellos (los chicos son 11, con lo cual, al estar pensado un juego por cada 4 personas, se tratará de 3 cajas opacas que dentro tendrán 35 piezas recortadas a partir de círculos: medios, tercios, cuartos, sextos, octavos y doceavos).

Antes de comenzar a jugar, la docente tomará una de las cajas y se explorará de manera colectiva qué piezas hay allí, comprobando que aquellas piezas del mismo color son ‘iguales’ e indagando cuántas creen que se necesitarán de dichas piezas para formar un círculo. Este intercambio llevará unos 5’.

Desarrollo:

La docente ubicará a los alumnos en grupos de 4 (en caso que estén los 11 hará dos de 4 y uno de 3),les entregará una caja cerrada a cada grupo junto con el siguiente instructivo para cada uno, el cual se leerá en voz alta:

Si hubiese alguna duda se responderá pero, de todas formas, las docentes irán pasando por los grupos para ir viendo que el instructivo haya quedado claro. Sin embargo, se tratará de correr a la docente del rol ‘evaluativo’ con respecto a las decisiones tomadas por los alumnos en el juego, promoviendo que sean ellos mismos quienes controlen cuándo están o no de acuerdo, pero validando sus posturas con fundamentos matemáticos y/o prácticos (sí intervendrá en caso que no se logre llegar a una conciliación).

Consideramos que la práctica del juego colaborará con una comparación de fracciones (en tanto su área, por ejemplo, la pieza de ½ será similar a 2 piezas de ¼) que puede sustentarse en la practicidad de las piezas y encontrar una argumentación sólida, en tanto ensayo y error, tanto desde las piezas en sí como desde lo numérico (posibilidad de comenzar a anticipar qué piezas convendrán y por qué).

La clase 5 se abocará a jugar a dicho juego pues consideramos que es con la práctica persistente en el juego que los alumnos irán elaborando estrategias cada vez más sólidas, que podrán anticipar y por lo tanto controlar con mayor fineza qué pieza tomar y por qué, lo que será de insumo para la puesta en común y la progresiva descontextualización a realizarse en la clase N°6. Lo que sí podrán ir evaluando las docentes en el momento es si será fructífero o no ir alternando los grupos de juego.

Para finalizar, se hará una puesta en común sobre las distintas formas de formar el entero. Esto servirá de insumo para la próxima clase.

Clase 6

Propósito:

Profundizar el trabajo con la idea de fracción como parte de un todo, la comparación de partes entre sí y el hallazgo de equivalencias.

Inicio:

La clase comenzará con la docente dividiendo nuevamente a los alumnos en grupos de 4, para retomar el juego de la Escoba del 1. Se buscará realizar el juego durante unos 10’ para volver a refrescar la lógica, las estrategias, etc. y así pasar a una incipiente descontextualización. Es importante aclarar que en la clase 5 se llevó a cabo una puesta en común pero que sólo unos pocos lograron seguir realmente; dentro de dicha clase, fue difícil salirse de lo empírico, quizá porque no lo vieron necesario, por lo cual en esta primera clase se buscará decir algunas restricciones del tipo ‘traten de decir qué ficha es antes de probarla con las otras fichas’, etc. (¿hay alguna más que pueda haber? Más específica quizás)

Desarrollo

Pasados los 10’, la docente le entregará a cada alumno las siguientes preguntas:

Estas primeras se podrán realizar en los grupos en los que se encuentran y con las fichas como soporte.

A continuación, se pondrán en común las respuestas de los grupos, pudiendo apoyar sus respuestas en las piezas del juego (también podrán reformularse algunas consignas, por ejemplo en la segunda pregunta repreguntar ¿Y con dos de ¼ cuánto formo?). La docente pasará a entregarles el siguiente papel, contándoles que ayudará a comprender un poco más cómo es la relación entre las fracciones:

El texto se leerá en voz alta, y si costase comprenderlo se podrá hacer también la comparación con las piezas o en el pizarrón (de todas formas, creemos que con lo trabajado no hará falta). Nos parece pertinente introducir el uso del término ‘equivalente’ pues si bien no será un objetivo de nuestra planificación el aprendizaje de nomenclaturas, creemos que será más sencillo conocer cómo se les llama a estas fracciones similares entre sí y no seguir diciendo siempre ‘estas fracciones que representan la misma cantidad’.

A continuación, se les entregará una serie de problemas que comenzarán a trabajar solos y que luego de unos 10’ o 15’ podrán consultar y comparar con el compañero de banco:

Creemos que la resolución de estos problemas requerirá dedicar un poco más de tiempo; priorizamos que primero lean las consignas y lo comiencen a pensar solos, para después ir a charlarlo con el compañero con algo leído y pensado (por ser, sobretodo, la actividad final). Las docentes irán pasando por los bancos a ver los procedimientos que estén saliendo y recordando que pueden apoyarse en dibujos (¿y en las piezas del juego?). Se seleccionaron estas actividades porque la primera creemos que consistirá más en una sistematización de lo trabajado durante esta clase (con lo cual será más sencillo y capaz algunos grupos logren no apoyarse en las fichas sino

Las expresiones diferentes que representan la misma cantidad se llaman equivalentes.

Por ejemplo, sabemos que dos fichas de 1/6 forman una ficha de 1/3, y lo podemos

escribir así: 1/6+1/6=1/3. También sabemos que 1/6 + 1/6 = 2/6. Por eso podemos

decir que 1/3 y 2/6 son equivalentes.

que recuerden qué y por qué); la segunda creemos que sí tendrá cierta complejidad y es importante dejarles un tiempo de experimentación y discusión en los grupos.

Finalmente se realizará una puesta en común en la que se tratará de corregir todos los problemas, haciendo –de todas formas- hincapié en el 3 y el 5 por encontrarles una complejidad mayor (el punto 5 ya son literalmente operaciones descontextualizadas, en las que podrán apoyarse de todas formas).