LICEO TÉCNICO BICENTENARIO JUANITA FERNANDEZ SOLARDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

GUÍA DE APRENDIZAJE – PRIMERO MEDIO 2020 – ETAPA 5INSTRUCCIONES GENERALESEstimada estudiante, en la plataforma de Aula Virtual del establecimiento encontrarás una guía de aprendizaje y guía evaluada, las que debes desarrollar para alcanzar los aprendizajes esperados para esta etapa. Comienza estudiando la guía de aprendizaje, ya que, esta es la base para lograr responder correctamente la guía evaluada. INSTRUCCIONES PARA EL PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓNEn la plataforma de Aula Virtual del establecimiento encontrarás una Guía Evaluada, la que deberás desarrollar para poder demostrar los aprendizajes adquiridos en esta QUINTA ronda de trabajo.Esta guía evaluada la puedes imprimir, pero si no tienes acceso a impresora la puedes escribir en tu cuaderno de matemática. En ningún caso puedes sobreescribir el documento Word, ya que, no se observa el desarrollo de cada ejercicio que demuestra tu aprendizaje, por ende este no será revisado.Debes escribir con lápiz pasta azul o negro. Escribe con letra clara y legible el desarrollo y respuesta final para cada ejercicio o problema. En esta guía evaluada se detallan los puntajes e instrucciones específicas para cada ítem.CORREOS ELECTRÓNICOS PARA RECEPCIÓN DEL MATERIAL DE ESTUDIO

Patricio Undurragapatricioundurraga@liceotecnicolosangeles.cl Valeria Artigasvaleriaartigas@liceotecnicolosangeles.clErick Ferreiraerickferreira@liceotecnicolosangeles.cl César Tapiacesartapia@liceotecnicolosangeles.cl

FORMAS DE ENVÍOSólo debes sacar fotos con tu celular de la guía evaluada (o escanear el documento), recuerda escribir claro y legible, para que en la foto esté nítida la información, ya que, esto podría afectar la corrección de tu trabajo. Recuerda anotar tu nombre y curso en los espacios correspondientes.Las fotos capturadas de la guía las debes enviar al correo del profesor de matemática de tu curso. En el asunto debes escribir Evaluación 5 y en la descripción del mensaje debes agregar tu nombre y curso.

FECHA DE ENTREGA16 de Octubre de 2020

PÁGINAS DEL TEXTO ESCOLAR A UTILIZARPáginas del texto escolar para apoyar el trabajo con el material de estudio enviado: 102 - 116

VIDEOS DE APOYOhttps://www.facebook.com/groups/592601018323885

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITASObjetivo: Comprender el concepto de ecuación de primer grado con dos incógnitas

EJEMPLOS:1) Ecuación: x+ y=3Las soluciones de la ecuación x+ y=3, son todos los pares de números que suman 3. Así, los pares (1 ,2 ) , (−12 ,15 ) , (−1 ,4 ) ,(4 ,−1), etc., son soluciones de la ecuación.La gráfica que representa esta ecuación corresponde a la recta que se presenta. (Cada uno de los puntos que conforman la recta son soluciones de la ecuación, por lo que esta tiene infinitas soluciones)

2) En una construcción se utilizará un trozo de mármol que tiene forma rectangular, como se muestra a continuación. Sabiendo que tienen como condición que el perímetro sea igual a 270 cm, ¿qué posibles medidas puede tener cada uno de sus lados?Para dar solución a este problema podemos plantear diversas medidas que cumplen con la condición, como: - Ancho 10 cm y largo 125 cm- Ancho 60 cm y largo 75 cm- Ancho 50 cm y largo 85 cmY así, podríamos seguir buscando infinitas medidas que cumplan con la condición expuesta en el problema. Por lo anterior, es posible determinar una expresión que represente el perímetro del trozo de mármol, utilizando una ecuación de primer grado con dos incógnitas, correspondiente a 2 x+2 y=270Además, la gráfica que representa esta ecuación corresponde a la recta que se presenta:2

Recordar que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de las medidas de todos sus lados.

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una ecuación de grado 1 que tiene dos incógnitas. Toda ecuación de este tipo con incógnitas e se puede representar de la forma: , donde son coeficientes racionales.Toda ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Las soluciones de esta ecuación se representan como pares ordenados: .La gráfica que representa una ecuación de primer grado con dos incógnitas corresponde a una recta.

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

Al descargar esta aplicación en tu celular, te encontrarás con lo siguiente:

Al presionar en entrada, se desplegará automáticamente el teclado para ingresar la expresión

Luego, debes digitar la ecuación que quieres graficar y esta aparecerá automáticamente:

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Botón que despliega el teclado para el ingreso de las expresiones a graficar. En este caso, se graficó la ecuación

Muestra las herramientas básicas, como agregar un punto, marcar una intersección, seleccionar objetos, desplazar vista gráfica, etc.

Recta que representa la grafica de la ecuación ingresada.Puedes modificar la vista gráfica, como mostrar los ejes, cambiar el tipo de cuadricula, etc.

Opciones para guardar, compartir la gráfica creada, borrar todo, etc.

Para facilitar la gráfica de estas ecuaciones utilizaremos un software matemático, llamado GEOGEBRA, por lo que es necesaria la descarga de esta aplicación en tu celular. Para ello debes ingresar a google play store y descargar “GEOGEBRA”. De esta forma facilitamos la construcción de gráficas, para no realizarlo de forma manual, sino que utilizando este software.

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Ejercicios: Resuelve las siguientes actividades de los contenidos y procedimientos estudiados, para ello guíate por el ejemplo resuelto.1.- Marca con un si x=−1 e y=8 es una solución de las siguientes ecuaciones y con una si no lo es:a.- 7 x− y=11

b.- 2 x+ y=6c.- x− y=7d.- x+ y=7e.- −4 x−2 y=6 2.- Plantea una ecuación para cada situación y encuentra, por tanteo, dos posibles soluciones en cada caso:a.- La suma de dos números es 50. ¿Cuáles son los números?

b.- Un número más el doble de otro es 8. ¿Cuáles son los números?c.- Un número excede a otro en 15 unidades. ¿Cuáles son los números?d.- El perímetro de u rectángulo es de 60 m. ¿Cuánto miden sus lados?e.- Una madre reparte entre sus dos hijos $5000. ¿Cuánto le da a cada uno?f.- 8 litros de aceite y 10 litros de vinagre cuestan $10500. ¿Cuál es el precio de cada litro de aceite y de vinagre?RECORDAR!!

3.-

Grafica utilizando GEOGEBRA las siguientes rectas, y completa la tabla.4

Estamos buscando dos números (x,y)que cumplan con la condición de que al sumarlos resulte 50. Comprendiendo el problema, ya podemos plantear una ecuación que represente la situación:Dos soluciones de esta ecuación son: (20,30) ; (40,10)

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x+3 y=−3 4 x−5 y=6 2 x+3 y=1 −x3

+ 24y=8

¿En qué punto la recta corta al eje X? (-3,0)¿En qué punto la recta corta al eje Y? (0,-1)¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? InfinitasDetermina al menos 2 pares ordenados de puntos que pertenezcan a la recta.

(3,-2)(-6,1)4.- La balanza se encuentra equilibrada y en ella se han puesto peras de igual masa (x) y sandías de igual masa (y)

a.- ¿Qué ecuación representa la situación anterior?b.- Suponiendo que la masa de 1 pera es de 125 g, ¿cuál es la masa de una sandía?

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO (2x2)Objetivo: Comprender sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Utilizar los métodos de resolución gráfico y Cramer para resolver problemas asociados a sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.5

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EJEMPLOS:Los siguientes son sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. x+ y=32 x− y=12 −3 x−4 y=−17−x+ y=−1

MÉTODO DE RESOLUCIÓN: GRÁFICOCada ecuación de un sistema se puede representar gráficamente por una recta. Por lo tanto, resolver gráficamente un sistema de primer grado con dos incógnitas consiste en encontrar un punto P(x , y) que representa la intersección de las rectas. En un sistema se pueden dar los siguientes casos:ÚNICA SOLUCIÓN INFINITAS SOLUCIONES NO HAY SOLUCIÓNLas rectas se intersectan en un punto, es decir, las rectas son secantes. En este caso, se dice que el sistema es compatible determinado. Además, se cumple que: ad ≠ be

Las rectas se intersectan en infinitos puntos, es decir, las rectas son coincidentes. En este caso, se dice que el sistema es compatible indeterminado.Además, se cumple que: ad=be= cf

Las rectas no se intersectan, es decir, las rectas son paralelas. En este caso, se dice que el sistema es incompatible.Además, se cumple que: ad=be≠ cf

EJEMPLOS RESUELTOS: Determina la solución de los siguientes sistemas utilizando el método gráfico, para ello utiliza GEOGEBRA.x+ y=2 x+2 y=2 2 x−4 y=34 x−8 y=6 2 x− y=4−4 x+2 y=5

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Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado, en las cuales aparecen dos incógnitas. Su representación algebraica es la siguiente:Una solución al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al reemplazarlas en las ecuaciones se satisfacen ambas igualdades.

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ÚNICA SOLUCIÓN INFINITAS SOLUCIONES NO HAY SOLUCIÓNLa solución de este sistema es el punto (2,0) Como las rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones Como las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.Ejercicios: Resuelve las siguientes actividades de los contenidos y procedimientos estudiados, para ello guíate por los ejemplos resueltos anteriormente.1.- Escribe el punto de intersección de cada par de rectas que se presentan:

2.- Determina la solución de los siguientes sistemas utilizando el método gráfico, para ello utiliza GEOGEBRA.SISTEMA

CLASIFICACIÓNSOLUCIÓN3.- En un monedero hay un total de $8 500, distribuidos en 33 monedas. Algunas son de $100 y el resto son de $500. De acuerdo a estos datos, Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes.Pilar Mariox+ y=33100 x+500 y=8500 x+ y=8500 x

500+ y100

=33

a.- ¿Qué representa x e y en cada caso, en el contexto de la situación inicial?b.- ¿Cuántas monedas de cada valor hay? (Utiliza GEOGEBRA para encontrar la solución)MÉTODO DE RESOLUCIÓN: CRAMERLa regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones primer grado con igual número de ecuaciones y de incógnitas.Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma:7

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ax+by=cdx+ey=f , donde a ,b , c , d , e , f sonnúmerosracionales , xe y son incógnitas .Utilizando el método de Cramer se calcula el determinante (△) del sistema y el que se relaciona con cada incógnita. Luego se calcula la solución del sistema.Determinante del sistema△=|abd e|=a ∙ e−b ∙d

Determinante de la incógnita x△x=|cb f e|=c ∙ e−b ∙ f

Determinante de la incógnita y△ y=|acd f|=a∙ f−c ∙d

La solución del problema se obtiene calculando: x=△ x

△ y=△ y

△Para obtener el valor de las incógnitas x e y es necesario que △≠0EJEMPLO RESUELTO: Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Cramer.x−5 y=24 2x+3 y=9 En primera instancia, se debe recordar que resolver un sistema de ecuaciones corresponde a encontrar un valor para x e y , de tal forma que al reemplazarlos en las ecuaciones, estos satisfagan las igualdades propuestas.

1ºReconocer los coeficientes en las ecuaciones que componen el sistema:2º Calcular el determinante del sistema:

3ºCalcular el determinante de la incógnita x:4ºCalcular el determinante de la incógnita y :

a=1 b=−5 c=24 d=2 e=3 f=9

△=|abd e|=a ∙ e−b ∙d ¿|1−523|=1∙3−(−5) ∙2 ¿3−(−10) ¿3+10 ¿13

△x=|cb f e|=c ∙ e−b ∙ f

¿|24−593|=24 ∙3−(−5)∙9

¿72−(−45) ¿72+45 ¿117

△ y=|acd f|=a∙ f−c ∙ d ¿|12429|=1∙9−24 ∙2 ¿9−48 ¿−39

Finalmente, se calcula el valor de x e y: x=△ x

△ =11713

=9 ; y=△ y

△ =−3913

=−3

Por lo tanto, la solución del sistema planteado es: (9,-3)Se puede comprobar la solución de forma algebraica o con el método gráfico, utilizando geogebra.

Ejercicios: Resuelve las siguientes actividades de los contenidos y procedimientos estudiados, para ello guíate por el ejemplo resuelto.1.- Utilizando el método de Cramer, resuelve los siguientes sistemas:a.- 21 x+6 y=1535x+10 y=33 c.- 3 x−2 y=54 x+ y=14

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b.- 11 x−13 y=23−x+3 y=−13 d.- 2 x−7 y=2( y+4)2 ( y−4 x )=3(x+5) 2.- Las balanzas se encuentran formadas por cubos de igual masa, cilindros de igual masa y esferas de igual masa. Si cada esfera tiene una masa de 1 kg, ¿cuánto es la masa de cada cubo y cilindro?

3.- Resuelve los siguientes problemas, asociados a sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.a.- Para ingresar al parque se puede adquirir entradas para adultos a $4500 y para niños a $2000. Paula adquirió 6 entradas y pagó $17000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños conforman la familia de Paula?

b.- En una granja crían gallinas y conejos. Si contamos 83 cabezas y 216 patas, ¿cuántos animales de cada especie hay?c.- Con 5 billetes iguales y 18 monedas iguales tengo $19000, mientras que con 7 billetes y 16 monedas tengo $22000. ¿Cuál es el valor de cada moneda y cada billete?d.- La diferencia de dos números es 126 y uno de ellos es 14 unidades menos que el triple del otro. ¿Cuáles son los números?e.- Para la obra de teatro asistieron 90 personas. La entrada para adultos se pagó a $8000 y para niños a $5000. Ese día se recaudaron $570000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños entraron a la obra?

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