WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College...
Transcript of WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College...
1Challenge the future
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
College 9
10 oktober 2016
2Challenge the future
Samenvatting
โข Een deelruimte van โ๐ is een verzameling ๐ in โ๐ met drie
eigenschappen: 1) ๐ zit in ๐, 2) als ๐ en ๐ in ๐, dan som
๐ + ๐ in ๐, 3) als ๐ in ๐ dan ๐๐ in ๐ met ๐ een constante.
โข De kolomruimte/rijruimte van een matrix ๐ด is de verzameling
col(๐ด)/row(๐ด) van alle lineaire combinaties van de
kolommen/rijen van ๐ด.
โข De nulruimte van een matrix ๐ด is de verzameling null(๐ด) van
alle oplossingen van de homogene vergelijking ๐ด๐ = ๐.
โข Een basis voor een deelruimte ๐ van โ๐ is een lineair
onafhankelijke verzameling in ๐ die ๐ opspant.
3Challenge the future
Rijruimte, kolomruimte & nulruimte
Samenvatting
1. Vind de gereduceerde rij-echelon vorm ๐ van ๐ด.
2. Gebruik de niet-nulrijen van ๐ om een basis voor row(๐ด) te
vormen.
3. Gebruik de kolomvectoren van ๐ด die corresponderen met de
kolommen met een leidende 1 van ๐ om een basis voor
col ๐ด te vormen.
4. Los ๐ ๐ = ๐ op om een basis voor null(๐ด) te vinden.
4Challenge the future
Samenvatting
โข De dimensie van een niet-nul deelruimte ๐, genoteerd als
dim ๐, is het aantal vectoren in een willekeurige basis van ๐.
โข De rang van een matrix ๐ด, genoteerd als rang ๐ด , is de
dimensie van de kolom/rij-ruimte van ๐ด.
โข Voor ๐ ร ๐ matrix ๐ด geldt rang(๐ด) + nulliteit(๐ด) = ๐.
5Challenge the future
Rang van een matrix
Stelling
Voor elke matrix ๐ด geldt rang ๐ด๐ = rang ๐ด.
Bewijs
rang ๐ด๐ = dim col ๐ด๐
= dim row ๐ด
= rang ๐ด
6Challenge the future
Inverteerbare matrices
Stelling (vervolg)
Laat ๐ด een ๐ ร ๐ matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen
equivalent aan de bewering dat ๐ด een inverteerbare matrix is.
e. rang ๐ด = ๐
f. nulliteit ๐ด = 0
g. De kolommen van ๐ด zijn lineair onafhankelijk.
h. De kolommen van ๐ด vormen een opspansel voor โ๐.
i. De kolommen van ๐ด vormen een basis voor โ๐.
j. De rijen van ๐ด zijn lineair onafhankelijk.
k. De rijen van ๐ด vormen een opspansel voor โ๐.
l. De rijen van ๐ด vormen een basis voor โ๐.
7Challenge the future
Inverteerbare matrices
Stelling
Als ๐ด een ๐ ร ๐ matrix is, dan geldt
a. rang ๐ด๐๐ด = rang(๐ด)
b. De ๐ ร ๐ matrix ๐ด๐๐ด is inverteerbaar dan en slechts dan als
rang ๐ด = ๐.
8Challenge the future
Coรถrdinaten systeem
Stelling
Stel dat de verzameling โฌ = ๐1, โฆ , ๐๐ een basis is voor een
deelruimte ๐.
Dan geldt voor elke ๐ in ๐ dat er precies รฉรฉn manier is om ๐ als
een lineaire combinatie van de vectoren in โฌ te schrijven.
9Challenge the future
Coรถrdinaten systeem
Definitie
Stel dat de verzameling โฌ = ๐1, โฆ , ๐๐ een basis is voor een
deelruimte ๐. Voor elke ๐ in ๐ zijn de coรถrdinaten van ๐ ten
opzichte van de basis โฌ gelijk aan de gewichten ๐1, โฆ , ๐๐ zodat
๐ = ๐1๐1 +โฏ+ ๐๐๐๐. De vector
๐ โฌ =
๐1โฎ๐๐
in โ๐ heet de coรถrdinaatvector van ๐ ten opzichte van โฌ.
10Challenge the future
Hoofdstuk 4.1
โข Eigenwaarden
โข Eigenvectoren
โข Eigenruimte
11Challenge the future
Eigenwaarden en eigenvectoren
Definitie
Een constante ๐ is een eigenwaarde van een ๐ ร ๐ matrix ๐ด als
er een niet-nul vector ๐ bestaat, zodat
๐ด๐ = ๐๐.
Vector ๐ is de eigenvector van ๐ด corresponderend met ๐.
12Challenge the future
Eigenwaarden en eigenvectoren
Definitie
Voor een ๐ ร ๐ matrix ๐ด met eigenwaarde ๐ wordt de
eigenruimte ๐ธ๐ van ๐ gegeven door alle eigenvectoren
corresponderend met ๐ en de nulvector ๐.
13Challenge the future
Eigenwaarden en eigenvectoren
Voorbeeld
๐ด =1 00 โ1
๐ด๐ =1 00 โ1
๐ฅ1๐ฅ2
=๐ฅ1โ๐ฅ2
๐๐ = ๐๐ฅ1๐ฅ2
=๐๐ฅ1๐๐ฅ2
๐ธโ1 = span01
, ๐ธ1 = span10
14Challenge the future
Eigenwaarden en eigenvectoren
Voorbeeld kop-staart weergave
15Challenge the future
Eigenwaarden en eigenvectoren
Voorbeeld kop-staart weergave
16Challenge the future
Eigenwaarden en eigenvectoren
Voorbeeld kop-staart weergave