Universidad de Santiago de Chile

Sistemas de control en rgimen permanente pagina 2

SISTEMAS DE CONTROL EN

RGIMEN PERMANENTE

1. Propsitos:El inters de esta monografa es el comportamiento en rgimen permanente de los sistemas bajo control, lo que en primer lugar depende de la estabilidad del conjunto que forma la planta y el sistema de control y luego de la configuracin que se tenga.

En esta monografa se considera que el sistema bajo control se comporta como un sistema lineal.

Oscar Pez Rivera, Ingeniero Civil Electricista de la Universidad de Chile y Magister en Ingeniera Elctrica de la misma casa de estudios. Profesor Asociado del Departamento de Ingeniera Elctrica de la Universidad de Santiago de Chile y Director de la carrera Ingeniera de Ejecucin en Electricidad Mencin automatizacin Industrial Modalidad Vespertina. Actualmente dicta las asignaturas de Ingeniera Civil en Electricidad: control de sistemas y proyectos en Ingeniera. En la carrera de Ingeniera de Ejecucin dicta: automatizacin industrial y Control Automtico Industrial.

2. Rgimen Permanente y Transitorio.Considrese un sistema lineal asintticamente estable definido por su funcin de transferencia:

A este sistema se le aplica una entrada regular y determinista, es decir, una seal tal que se pueda predecir su valor en un tiempo futuro.

Tal entrada tiene una transformada de Laplace del tipo

Este tipo de funciones incluye las seales estndar de prueba (escaln, rampa, sinusoide) y otras formas posibles tales como parbolas exponenciales, parbolas decrecientes, etc.

La respuesta del sistema ante condiciones iniciales nulas queda dada por:

Por simplicidad, supngase que los polinomios D(s), Q(s) se factorizan de la siguiente manera:

Separando en fracciones parciales y reordenando los trminos, la salida puede escribirse como lo expresa la ecuacin (e6:Si ahora se obtiene la transformada inversa de la ecuacin (e6 se obtiene la expresin de la ecuacin (e7

A la componente yt(t) se le llama la respuesta transitoria del sistema, esta componente yt(t) corresponde a la primera sumatoria de la ecuacin (e6 y que es originada principalmente por los polos de la funcin de transferencia del sistema en estudio ; en esta componente estn contenidas las funciones bases del sistema, y como este sistema es asintticamente estable las funciones fi(t) resultantes se atenan con el tiempo y por ello tambin se anula yt(t) . A la componente yp(t) se le llama la respuesta sostenida del sistema. La componente yp(t) corresponde a la segunda sumatoria de la ecuacin (e6 y que es originada principalmente por los polos de la entrada al sistema en estudio En la segunda sumatoria estn presentes modos generados por la entrada interactuando con el sistema, en la ecuacin (e7 yp(t) corresponde a la sumatoria de las funciones gi(t) las que en general corresponden a respuestas sostenidas en el tiempo ( esto ocurre cuando la entrada se mantiene en el tiempo sin anularse). En resumen, en un sistema asintticamente estable solo persiste la respuesta generada por la entrada ya que la respuesta transitoria del sistema se torna despreciable despus de cierto tiempo tr (que se llamar tiempo de respuesta).

Se llamar rgimen transitorio al intervalo de tiempo (0, tr), en este lapso es significativa la contribucin de la respuesta propia del sistema a la respuesta total.

Se llamar rgimen permanente al intervalo de tiempo que parte en tr. Tiempo de respuesta

Sea un sistema asintticamente estable; cuando se aplica la entrada u(t), en su inicio (en t=0), la forma de la respuesta esta determinada por los modos transientes y los modos permanentes definidos por la ecuacin (e7Como se defini anteriormente, debido a la estabilidad asinttica, las funciones asociadas a la respuesta transitoria se anulan en la medida que transcurre el tiempo ; el tiempo de respuesta define hasta donde es significativa la respuesta propia del sistema cuando se le somete una entrada regular y determinista. Para la determinacin del tiempo de respuesta tr considrese el siguiente procedimiento.

1) En t=0 el sistema se somete a seales estndar de prueba (escaln, rampa o sinusoide). 2) Se determina yp ( la respuesta sostenida del sistema ante la entrada en cuestin).

3) Se construye un tubo F alrededor de la respuesta permanente yp(t) 4) Se determina el tiempo tr, tiempo en que la respuesta total entra a ese tubo y no vuelve a salir, ese instante es el tiempo de respuesta.

Si yp(t) representa la respuesta permanente, entonces el tubo en su alrededor es el siguiente conjunto de puntos en el plano (t,y).

El factor ( define el porcentaje de ancho del tubo (salvo una definicin explicita se asume que ( es 0.05 (5%) )

Como se ver ms adelante, en los sistemas asintticamente estables la respuesta permanente ante un escaln de entrada es otro escaln. En tal caso el tubo entorno de la respuesta permanente es una franja de ancho constante tal como muestra la Figura 1.

Cuando se aplica una entrada en rampa la respuesta permanente es otra rampa. En tal caso el tubo entorno de la respuesta permanente es un cono de ancho creciente tal como lo muestra la Figura 2

Algunas respuestas sostenidas de sistemas asintticamente estables

Sea H(s) la funcin de transferencia de un sistema asintticamente estable, interesa ver que respuesta presenta ante las seales estndar de entrada: escaln y rampa.

Entrada en escaln: Considrese una entrada en escaln cuya expresin en Laplace es:

La salida resulta ser:

N(s) es un nuevo polinomio que se genera al separar en fracciones parciales. El coeficiente A resulta ser:

La cantidad (b0/a0 ) se acostumbra a llamar ganancia esttica de posicin, y se designa por el smbolo KpPuesto que se trata de un sistema asintticamente estable, el polinomio D(s) genera funciones que se atenan en el tiempo, de modo que:

La respuesta sostenida de un sistema asintticamente estable ante un escaln de entrada de monto M0, es otro escaln de monto (Kp) M0, siendo Kp la ganancia esttica de posicin del sistema.

Este resultado es muy importante y se emplea para el diseo esttico de los sistemas de control y tambin sirve para generar una definicin restringida de estabilidadDefinicin restringida de estabilidad

Sea un sistema llamado AA que est sometido a una entrada constante de valor U0 y presenta una respuesta tambin constante Y0. Si ahora, la entrada cambia a un nuevo valor constante U1 y la respuesta se estabiliza en un valor constante Y1, entonces el par (U0,Y0) es un punto estable de operacin para el sistema AAEntrada en rampa: Considrese ahora la entrada en rampa con pendiente P0

La salida queda dada por Y(s):

Los valores de A y B quedan dados por

Finalmente

El trmino N(s)/D(s) genera funciones que se atenan con el tiempo debido a la estabilidad asinttica del sistema, por lo tanto, debido a la accin de la entrada se produce como respuesta permanente una rampa superpuesta a un escaln de altura B. En la Figura 3 se muestra esta situacin.El punto de operacin y variables incrementales

Los sistemas de control se disean para operar alrededor de ciertos valores de produccin en sus variables relevantes, se llama punto de operacin al vector cuyas componentes son estos valores de operacin.

Por definicin un punto de operacin es un punto de equilibrio, es decir, para cada variable V involucrada en la operacin se cumple

Notacin: considrese una variable equis entonces se usar la siguiente notacin:

X valor absoluto de la variable equis

X0 valor de operacin de la variable equis

x Valor incremental de la variable X en torno del operacin.

3. Introduccin al diseo de sistemas de controlComportamiento de los sistemas de control de lazo cerrado Lo que se espera de los sistemas de control es obediencia, se desea que el valor YA de la salida (valor actual) bajo control siga al valor YD(valor deseado) ; valor que corresponde a la evolucin deseada para la variable bajo control; la clase de sistemas que se presta para esto es la de los sistemas asintticamente estables, as la ley de diseo es: Un buen sistema de control es por lo menos asintticamente estable

Considrese la Figura 3 que presenta una descripcin funcional de un sistema de control industrial que est empleando la estrategia de lazo cerrado de control, en esta descripcin se muestran los bloques que representan a los elementos fsicos involucrados, ellos son los siguientes: Sistema bajo control

Este bloque representa al proceso que ocurre en planta bajo control Con trazo grueso se representan a las variables de fuerza que estn en juego en el sistema bajo control y que corresponden a X variable de actuacin, L variable de carga (o perturbacin) y a la variable bajo control Y.Sistema de actuacin El Sistema de actuacin es el gran amplificador que transforma los mili watts de la variable manipulada por el controlador (M) en la variable de actuacin X que puede aportar una gran potencia al proceso (hasta mega watts).

Sensor El sensor es el elemento que captura el valor de la variable bajo control (YA) y la transforma linealmente en una seal C (ver figura 5b)Controlador El controlador esta construido para funcionar como lo muestra la figura 4, en ella las magnitudes tienen el siguiente significado R referencia del controlador; C salida del sensor; M0 o Bias del controlador

HMI Funcionalmente hablando, la HMI es una interfase entre el operador y el controlador, esta HMI puede ser un simple potencimetro en la cara del controlador o bien un equipo complejo sustentado por un computador y con una pantalla que muestra mucha informacin del sistema de control . El operador selecciona el valor YD que desea para la variable bajo control y la HMI la transforma en la seal R de la misma naturaleza que la seal C (ya sea en modo remoto o modo local)Controlador El controlador dispone de un par de switchs que permiten seleccionar la forma de funcionamiento del controlador

Remoto / local

Con el switch local/ remoto se puede seleccionar la proveniencia de la referencia; al seleccionar remoto la seal debe provenir de otro instrumento, al seleccionar local la referencia debe ser seleccionada por un operador en el propio controlador

Automtico / manual Con el switch Automtico / manual se puede seleccionar el modo de funcionamiento del controlador. Con el switch en manual, el controlador queda en lazo abierto y la variable de salida M del controlador es manejada directamente por el operador mediante el bias M0. Con el switch en automtico, el controlador queda en lazo cerrado y la variable de salida M del controlador es manejada por el algoritmo de control del filtro.

La referencia R debe ser de la misma naturaleza que la seal C que proviene del sensor. La filosofa de control de lazo cerrado empleada busca que R=C y con ello busca que el valor deseado YD =a se transforme en un valor actual YA del mismo valor numrico de la amplitud deseada YD. Esta filosofa de control se basa en lograr error cero en el controlador y con ello iguala la salida del sensor a la referencia, de all en adelante es cosa de elegir bien al sensor.

Considere las curvas de la figura 5, en la figura 5 a se muestra que el rango de control deseado dado por (YDmn, YDmx) se aplica en el rango de referencia (Rmn, Rmx), tambin en la figura 5b muestra que el rango de control obtenido dado por (YAmn, YAmx) se aplica en el rango de salida del sensor (Cmn, Cmx). Se observa que si Rmn=Cmn y si Rmx=Cmx y si el error E=R-C es nulo entonces el sistemas de control de lazo cerrado es capaz de obtener exactamente como salida YA el valor deseado YDEn la Figura 4 a se muestra como funciona el lazo cerrado de control, el lazo puede funcionar abierto (funcionamiento en manual) o puede funcionar cerrado (funcionamiento en automtico). En el funcionamiento en manual, mediante el valor constante M0 (BIAS) se inyecta un valor constante pero ajustable a la salida M del controlador con ello es posible ajustar que, en el valor de operacin de la variable bajo control alcance el valor C0 deseado, una facilidad del controlador llamada autotraking permite que el valor de La referencia R siga al valor de C de modo se tenga C0=R0 al momento de cerrar el switch auto_man y se opere en automtico. Cuando se opera en automtico el valor YA de la variable bajo control sigue al valor de YD. Lo que es interesante es preguntarse: que valor asume la variable bajo control cuando aparece un incremento r en la referencia? Esta pregunta se responde estudiando la exactitud de los sistemas de control en rgimen permanente

Mirado como un bloque equivalente, el sistema bajo control admite tres entradas (YD;M0;L) y da una salida YA (variable bajo control actual ). El parmetro dada por M0 no es relevante desde el punto de vista del cambio de la salida bajo control ya que es una seal de configuracin en modo manual y que una vez definida permanece inalterada. La variable de fuerza L si puede alterar a YA, pero todo el sistema de control se ha diseado para anular sus efectos.

En verdad el sistema de control se ha construido para que la amplitud de la variable bajo control que se designa por YA siga al dato YD que es el valor suministrado a la HMI y es el valor deseado para esta variable bajo control automtico por el operadorCon frecuencia se considera para el anlisis una versin simplificada del sistema bajo control que se muestra en la Figura 6 Exactitud a entrada constante

Considrese el sistema de control de la Figura 6a que acepta a la referencia R como entrada y que genera la variable C como salida. La primera cosa a resolver es la estabilidad asinttica del conjunto. Esto se relaciona con la naturaleza del sistema bajo control y la adecuada eleccin del controlador y la adecuada seleccin de sus parmetros (sintona del controlador). Supngase que este problema esencial est resuelto y que el conjunto es asintticamente estable, entonces si existe un aumento r entorno de R0, existir un aumento c entorno de C0Considrese ahora la situacin de la Figura 6 y sea R= r +R0 y sea C= c+ C0 puesto que el sistema es lineal la respuesta ante la entrada R es la suma de las respuestas ante R0 y r. Ya se sabe que la respuesta a R0 es C0 sea c la respuesta ante r. Es decir si R0 es un valor de operacin c es la respuesta incremental ante el incremento en R.Se ha visto que la respuesta sostenida ante un escaln rs=M0 en la entrada es otro escaln de monto cs=Kp(M0) en la salida, se define el ndice epp llamado error permanente de posicin como la diferencia sostenida en tanto por uno que presenta el sistema en rgimen permanente.

Este ndice puede ser positivo o negativo, salvo otra indicacin especfica se considera como aceptable que epp asuma hasta el valor de ( 0.05 (5% de error permanente de operacin). Debe quedar claro que el usuario final esta interesado realmente en el error absoluto denominado ea. ea=YD- YA (e18aEjemplo

Para ilustrar lo anterior supngase que se desea controlar la temperatura de un horno en el rango de 40 a 200 C . Se emplea instrumentacin electrnica, por lo que las seales (R y C) se mueven en el rango de 4 a 20mA. Entonces para la HMI lo que se desea es que se cumpla la siguiente tabla de valores entre YD y R

Tabla1.1 de valores para la HMI

YDR

404

12012

20020

Con ello La ecuacin que relaciona a R con YD es ( ecuacin de la HMI)

Entonces para el sensor_ transmisor de temperatura lo que se desea es que se cumpla la siguiente tabla de valores entre YA y CTabla1.2 de valores para la HMI

YAC

404

12012

20020

la ecuacin del sensor que relaciona YA con C es

Si se cumple la tabla 1.1 cuando YD=120 C R es 12mA y cuando el valor real de la temperatura sea 120C entonces se cumple C= 12mA (ver Figura 5)

Para este ejemplo se sabe que el sistema de control empleado permite operar en forma asintticamente estable y que permite tener un epp=0.1.. Cuando el operador selecciona YA=120C cuanto se obtiene en la variable bajo control? Cual es el error absoluto desde el punto de vista del usuario?Respuesta: De la ecuacin que relaciona YD con R se tiene que cuando YA=120 R=12; de la ecuacin (e18 se concluye que C=10.8 mA y de la ecuacin que relaciona YA con C se tiene que YA=108; entonces el error absoluto es 12 grados celciusExactitud ante rampa de entrada La respuesta es un sistema asintticamente estable ante una rampa en la entrada resulta ser otra rampa superpuesta a un escaln, en tal caso tiene sentido comparar las pendientes.

Se define epv error permanente de velocidad como el error en tanto por uno de las pendientes de entrada y salida (Pe, Ps)

En el caso muy particular en que la salida presenta la misma pendiente que en la entrada, entonces tiene sentido definir un error en paralaje ep*, dado simplemente por la diferencia entre las dos seales en rgimen permanente.Una clasificacin de los sistemas para el anlisis de exactitud.

Lo que se pretende es desarrollar es una clasificacin de los subsistemas que intervienen en los sistemas de control, basada en la forma de la funcin de transferencia.

Uno de los subsistemas ms importante en la exactitud es el integrador cuya funcin de transferencia es:

La respuesta del integrador a una entrada tipo escaln es una rampa; en otras palabras, si la entrada pasa de ser nula a una posicin constante M0, entonces, la salida cambia con la velocidad constante dada por KvM0. Por tal razn la constante Kv se llama ganancia esttica de velocidad.

4.51 Sistemas tipo ceroTambin son importantes los sistemas dados por la ecuacin (e21 Estos sistemas se llaman sistemas tipo cero y se caracterizan porque no tienen polos en el origen, es decir a0 es distinto de cero.

Los sistemas tipo cero (ecuacin (e21 estn en correspondencia con la ecuacin diferencial de (e22 y las variables sealadas en la Figura 7 Desde el punto de vista de la estabilidad, los sistemas tipo cero pueden ser asintticamente estables o no. Independientemente de la estabilidad, cuando se aplica una entrada constante de monto Me [u(t)= Me ], entonces la funcin y(t) de valor constante [y(t)=Ms; Ms=( Me )(b0)/(a0) ] satisface la ecuacin diferencial (e22. En particular, como se vio anteriormente, cuando H0(s) es asintticamente estable la respuesta en rgimen permanente a un escaln de monto Me en la entrada es otro escaln de monto Ms

La posicin de entrada es transformada en otra posicin con una ganancia igual a Kp, por tal razn, en el rgimen permanente, lo nico interesante de un sistema asintticamente estable es lo que se llama su ganancia esttica de posicin Kp.En resumen un sistema tipo cero es aquel que se representa por

Sistemas tipo uno

Se define como sistema tipo uno a uno que sea la conexin en cascada de un sistema tipo cero y un integrador; el sistema tipo uno se representa por

Sistemas tipo N

Se define como sistema tipo N a uno que sea la conexin en cascada de un sistema tipo cero y N integradores; el sistema tipo N se representa por

Tratamiento en rgimen permanente de sistemas oscilatorios o inestables.

En este prrafo interesa considerar que ocurre en rgimen permanente con sistemas de control que incluye subsistemas oscilatorios o claramente inestables en su estructura como el sistema de la figura 8En tal caso G(s) representa un sistema inestable que satisface la siguiente ecuacin diferencial.

Como se comporta el sistema total? Esa es una pregunta interesante ya que al menos una de las partes es inestable por si sola (en lazo abierto)La respuesta viene en el sentido de que ahora debido a la realimentacin se ha estructurado un nuevo sistema cuya funcin de transferencia es:

Este nuevo sistema es asintticamente estable si kc>a, supngase que se cumple esta condicin.

Cuando la referencia toma un valor constante, entonces, en el rgimen permanente la salida tambin debe ser constante, la seal de error y la salida del amplificador tambin lo son, luego se encuentra que en el sistema inestable debe darse que tanto su entrada como su salida son fijas; que ha ocurrido entonces con la dinmica del sistema inestable?

En la ecuacin diferencial (e27, se tiene la siguiente respuesta cuando su entrada es constante y de monto m0.

El modo inestable se anula si m0 = - c(0)a .Se establece el siguiente principio que incluye componentes inestables u oscilatorios en los sistemas de control.

Si todo el conjunto es asintticamente estable, entonces un subsistema H(S)del conjunto que no contenga integraciones se comporta como un amplificador de ganancia H(0) cuando la entrada es un escaln. Este comportamiento es vlido en el rgimen permanente ya asegurado por la condicin de estabilidad asinttica del conjunto.

Exactitud de los sistemas de control en lazo abierto.Sea H(s) la funcin de transferencia de un sistema de control en lazo abierto. La nica posibilidad aceptable para H(s) es que sea asintticamente estable; en consecuencia presenta una ganancia esttica de posicin kp, luego los ndices epp, epv valen

Aparentemente basta hacer kp=1 para tener la mejor exactitud posible, pero esto no siempre es simple de lograr y mantener;

El valor de kp es en general un producto de las ganancias de todos los componentes del sistema (programador, actuador, planta, sensor), por una parte hay un problema de calibracin y por otra las mltiples posibilidades de variacin de ganancias ( en cada bloque ) debido al uso del sistema O variaciones de las fuentes de suministro al sistema bajo control .El problema de calibracin se hace patente cuando es necesario ajustar kp=1 ya sea moviendo un potencimetro o una perilla de ajuste, es muy difcil ajustar un valor determinado.

Exactitud de los sistemas de control realimentados.

Sea el sistema AA dado por un proceso, el sistema de actuacin y el sensor necesario, supngase que adems se incluye un controlador y sea KcH(s) la funcin de transferencia del conjunto de elementos recin sealado.Para el anlisis considrese la figura 9En el controlador existe una ganancia ajustable que se designa por Kc, este parmetro es suficientemente importante como para declararlo explcitamente.

La funcin de transferencia del conjunto de la Figura 9 es:

F(s) representa a un nuevo sistema creado a partir de H(s) mediante la realimentacin, sea NV este nuevo sistema La estabilidad del sistema NV depende de la ubicacin de los polos de F(s), especficamente la estabilidad depende de la ubicacin de las races de la ecuacin algebraica.

Y puesto que kc es ajustable, su valor juega un papel muy importante en la estabilidad del sistema.

Cuando el sistema ha sido bien diseado existe por lo menos un rango de valores para kc que asegura la estabilidad asinttica del conjunto, por esto se efecta la siguiente suposicin para todos los desarrollos que siguen.

Suposicin esencial: Kc es tal que el sistema NV realimentado es asintticamente estable La exactitud del sistema NV dado por F(s) en la ecuacin (Ec15 depende tambin de la naturaleza de H(s), por ello considera los casos cuando H(s) es de tipo cero, tipo uno y de mejor orden.

H(s) tipo cero

En tal caso funcin de transferencia H(s) puede escribirse:

En esta definicin un sistema tipo cero puede ser asintticamente estable o no serlo, pero lo que es fcil de probar que todo sistema que sea asintticamente estable es tambin un sistema tipo cero. Como kc esta dentro del rango que asegura la estabilidad asinttica entonces F(s) es tambin de tipo cero.

Al aplicar un escaln r0 en la referencia, en el rgimen permanente la salida se estabiliza tambin en un valor constante c0. El error e0 resultante de la comparacin es amplificado kckp veces para dar la salida c0, luego es inmediato que:

Por otra parte, cuando a este tipo de sistemas se aplica una rampa de pendiente Pe en la entrada, por la estabilidad asinttica del conjunto, en rgimen permanente tambin aparece una rampa de pendiente Ps. La seal de error es otra rampa; como H(s) es de tipo cero, la pendiente de la rampa en el error es amplificada KpKc veces luego es inmediato que:

H(s) de tipo uno

Esto supone la presencia de un integrador en el lazo directo, la funcin de transferencia H(s) puede escribirse

Recordando que todo el conjunto definido por la ecuacin (e315 se comporta como un sistema tipo cero, luego cuando la referencia es de valor constante ro, en el rgimen permanente la salida tambin es constante, supngase que es de valor C0. Se tiene por tanto un error constante de valor:

Si el error e0 es distinto de cero, entonces el integrador presente en el lazo genera una rampa, esto contradice el hecho de que el conjunto se comporta como un sistema tipo cero, luego se tiene el importante resultado

Siguiendo un razonamiento anlogo se puede concluir que:

En este ltimo caso:

Siendo Pe la pendiente de la rampa de entrada

H(s) tipo n, para n ( 2

En tal situacin el problema mas difcil es lograr la estabilidad asintticamente ya que los ndices de error epp, epv, ep* son todos nulos.

Sensibilidad en los sistemas de control

Parmetro de un sistema es un atributo de l que permanece sin cambios apreciables en el tiempo, lo que se llama invariancia. Un parmetro puede cambiar en el tiempo segn una ley propia que no tiene relacin con el funcionamiento del sistema (por ejemplo el envejecimiento).

En ingeniera el concepto de parmetro se enriquece con la nocin de condicin de diseo, as en los sistemas de control, los parmetros son magnitudes cuyo valor es ajustable por el operador pero que una vez que se han definido permanecen constantes durante la operacin del sistema.

La invariacin en el tiempo es una condicin deseada pero que no se puede asegurar en un cien por cien, todos los equipos son susceptibles de fallas. Estas fallas se traducen en cambios en los parmetros que se definen.

Un concepto til para estudiar el efecto de cambios en los parmetros es el de sensibilidad. A continuacin se define una notacinEl valor de una variable se denota con una letra mayscula; por ejemplo sea una variable equis entonces se denota por X. El valor de operacin de la variable se denota por X0. Una variacin entorno de este valor se denota por (X; El valor de un parmetro se denota con una letra mayscula; por ejemplo sea un parmetro ka entonces se denota por K. El valor de operacin del parmetro se denota por K0. Una variacin entorno de este valor se denota por (k;

Sea T una variable de un sistema y sean {A1, A2,...,An} el conjunto de parmetros que tienen incidencia sobre T. Sea el valor T0 el valor de T antes del cambio en el parmetro a1 y sea { A10, A20,..., An0} el conjunto de valores que presentan los parmetros antes del cambio.

Supngase que el parmetro Ai se incremente en (Ai, y que como consecuencia de ello la variable T presenta una variacin (T; se define la sensibilidad de T respecto de Ai alrededor del punto de trabajo 0 como el siguiente lmite.

La ecuacin (e39 puede ser rescrita en la forma de la ecuacin (e40 ;

En esta ecuacin la sensibilidad puede entenderse al lmite que tiende el cambio porcentual en la variable T cuando ocurre un pequeo cambio porcentual en el parmetro Este anlisis de sensibilidad busca inferir el efecto que tendr en la variable T un pequeo cambio en el parmetro ai, para ello se usa la siguiente aproximacin.

Esta expresin es semejante a la utilizada en la linealizacin de funciones.

La validez de la aproximacin depende naturalmente de la suavidad de la curva, la sensibilidad al igual que la derivada tiene una validez local.

Si el valor de la sensibilidad resulta prximo a cero, entonces, en ese punto de trabajo, la variable es insensible al parmetro.

Si el valor de la sensibilidad (su magnitud) es del orden de la unidad o superior, entonces, la variable resulta sensibles al parmetro.

El anlisis de sensibilidad es importante para la evaluacin de diseo y dispositivo de la ingeniera. En general los diseos consideran condiciones ideales de funcionamiento. Un estudio de su sensibilidad puede arrojar luz acerca de los componentes que requieren un mayor control en su calidad.

Por otra parte cuando se requiere influir sobre la variable, se busca una gran sensibilidad. Tal es la situacin en la calibracin de equipos.

Aplicaciones al control automtico.

a) Sea

Entonces

Si se considera un sistema de control en lazo abierto, entonces la salida Y0 en rgimen permanente para una entrada fija R0 es.

As la sensibilidad de la salida respecto a cualquiera de las ganancias toma el valor unitario. Cualquier variacin de una ganancia rebota en el mismo porcentaje de la salida.

b) Sea Y0 la salida de un sistema realimentado con entrada constante R0; sea K1 la ganancia total del lazo directo y sea K2 la ganancia del sensor en el lazo de realimentacin entonces para un entrada constante R0 la expresin de salida es:

Esta expresin valida en el rgimen permanente no contiene al tiempo de modo que la sensibilidad puede calcularse a travs de la derivada parcial de respecto de K1 o o respecto de K2 segn sea el caso Se pueden encontrar los siguientes resultados.

El primer resultado dice que la sensibilidad de la salida respecto de una ganancia cualquiera del lazo directo es igual al error permanente de posicin del sistema (epp). Si el sistema tiene un buen desempeo entonces epp es pequeo y por lo tanto las pequeas variaciones de alguna de las ganancias en lazo directo no rebotan apreciablemente en la salida.

El segundo resultado dice que la sensibilidad de la salida Y0 respecto a la ganancia es igual a -(C0/R0). Si el sistema tiene buen desempeo en su exactitud entonces (C0/R0) tiende al valor uno.

Los sistemas de control, explcitamente las salidas de ellos son extraordinariamente sensibles respecto de la ganancia del sensor. Los controladores creen ciegamente en la salida del sensor, por ello es importante seleccionar cuidadosamente estos dispositivos en un proyecto de instrumentacin.

Regulacin de los sistemas de Control

El problema que interesa ahora se refiere al efecto que puede tener en una variable Y del sistema la aparicin de otra variable (X que se suma a una variable X.

En la Figura 11 se representa la situacin de un sistema asintticamente estable que ha alcanzado una condicin estacionaria ante una entrada constante R0

La salida Y ha alcanzado un valor constante Y0 y al interior del sistema la variable X ha alcanzado el valor constante X0.

En la Figura 12 se representa la nueva condicin estacionaria despus que a la variable X se le ha adicionado una perturbacin (X como resultado de ello la salida se ha estabilizado en el nuevo valor Y0+(Y.Se define la regulacin de Y frente a (x de la siguiente manera.

En esta expresin X0 es el valor de la variable x antes de ser perturbada; Y0 es el valor de la variable de inters antes de la perturbacin.

El valor (X es el monto de la perturbacin. El valor (Y representa el cambio sostenido en la variable Y debido a la perturbacin Claramente, las situaciones de antes y despus suponen la existencia de rgimen permanente.

La definicin de regulacin es muy semejante a la dada para la sensibilidad, tambin mide una razn entre cambios. Estos cambios tambin se expresan en tanto por unidad referidos a los valores anteriores al efecto de la perturbacin. Hay una diferencia notable en ambos casos: los incrementos (x no requieren ser diferenciales y no es necesario llevar a un lmite la relacin de cambios. La causa de estos reside en que una perturbacin aditiva no cambia la estructura del sistema en si misma.

Una situacin que es conveniente de considerar es la de la existencia de saturaciones en las variables del sistema; en tal caso, es posible perder la condicin de linealidad y los clculos deben realizarse en base a los valores de saturacin que se hayan alcanzado.

A continuacin se presenta la aplicacin de este concepto a un sistema de control en lazo abierto y luego a uno en lazo cerrado.

La situacin antes de la perturbacin se caracteriza por

Despus que ocurre el cambios se tiene que

Efectuando el cuociente entre ambas igualdades se concluye que

En este resultado puede ser considerado como malo, en efecto, si se calcula el porcentaje de cambio en la salida debido a la perturbacin segn la expresin

Se concluye que la salida sigue a la perturbacin en el mismo porcentaje.

Considrese ahora el caso de un sistema realimentado (Figura 14)

Considrese ahora la situacin de antes y despus de ocurrida la perturbacin en un sistema de control de lazo cerrado.En este caso, la situacin de antes se caracteriza por

La situacin de despus se caracteriza por

As:

El trmino entre parntesis es por una parte la regulacin de Y respeto a (x, pero tambin es el error permanente de posicin del sistema. Se puede concluir que el sistema realimentado presenta una buena regulacin de la salida frente a las perturbaciones en el lazo directo.

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

Departamento de Ingeniera Elctrica

Automatizacin industrial

Oscar Pez Rivera

Profesor Asociado

Departamento de Ingeniera Elctrica

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Ingeniera de automatizacin

MCAI 40 02 V00

CONTROL EN RGIMEN PERMANENTE

Actualizado al 18/09/2011

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EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Oscar Pez Rivera Profesor Asociado del Departamento de Ingeniera Elctrica

_1275114275.unknown

_1275118535.unknown

_1275129365.unknown

_1317017354.unknown

_1317103755.unknown

_1317135539.vsd

_1377942651.vsdYD

YA

C

C

mn

mx

YA

YA

mx

mn

C

5a CURVA DE LA HMI

mx

mn

R

R

R

mn

YD

mx

YD

5b CURVA DEL SENSOR

Figura 5 Curvas de diseo

R0=C0

YA=a

YD=a

C0

R0

_1377851592.vsdBanda proporcional

Y(t)

Yp(t)

Y(t)

Figura 1 respuesta de un sistema asintticamente estable ante un escaln en la entrada

Tiempo de respuesta

t=0

_1317103781.unknown

_1317017511.unknown

_1317050322.vsdH(s)

r

c

Figura 6b respuesta incremental del sistema bajo control

sistema bajo control

R

C

Figura 6a sistema bajo control

L

_1316798144.vsdKc

Figura 8 CONTROL PROPORCIONAL EN LAZO CERRADO DE UN SISTEMA INESTABLE

+

-

S

c

c

r

m

e

_1316956654.vsdS

M

R

C

E

Figura 4 diagrama de bloques del controlador

0

FILTRO

S

Mc

M

AUTO

MAN

_1316978660.vsdY

Figura 11 sistema estacionario ANTES de Una perturbacin aditiva

Figura 12 sistema estacionario DESPUES de Una perturbacin aditiva

X

0

0

R

0

X

0

D

X

Y +

0

R

0

D

Y

_1316978661.vsdR

0

_1316977674.vsdK1

Figura 10 LAZO CERRADO DE CONTROL

+

-

S

Y

C

R

e

K2

0

0

0

_1316947651.vsdCONTROLADOR

YD

YA

SISTEMA BAJO CONTROL

SENSOR

HMI

R

C

Figura 3 diagrama de bloques de un sistema bajo control

X

L

M0

SISTEMA DE ACTUACIN

M

_1275131125.unknown

_1275131759.unknown

_1275131849.unknown

_1275131101.unknown

_1275127721.unknown

_1275129073.unknown

_1275129209.unknown

_1275128880.unknown

_1275119527.vsdG2

G1

Gn

Gi

Y

R

0

0

_1275119686.unknown

_1275127519.unknown

_1275119904.unknown

_1275119654.unknown

_1275119285.unknown

_1275119342.unknown

_1275119483.unknown

_1275118635.unknown

_1275115089.unknown

_1275116861.unknown

_1275116956.unknown

_1275117109.unknown

_1275118275.unknown

_1275118494.unknown

_1275118109.unknown

_1275117012.unknown

_1275116902.unknown

_1275116122.unknown

_1275116268.unknown

_1275115412.vsdBanda proporcional

Y(t)

Yp(t)

U(t)

tr

t

Figura 2 respuesta a una rampa de un sistema asintticamente estable

Yp(t)

B

_1275114388.unknown

_1275114542.unknown

_1275114571.unknown

_1275114347.unknown

_1274969613.unknown

_1274970544.unknown

_1274973770.unknown

_1274988980.unknown

_1275114158.unknown

_1274989384.unknown

_1274988956.unknown

_1274971118.unknown

_1274970907.unknown

_1274970358.unknown

_1274970514.unknown

_1274970314.unknown

_1274968206.unknown

_1274968436.unknown

_1274968571.unknown

_1274968724.unknown

_1274968530.unknown

_1274968485.unknown

_1274968271.unknown

_1240392955.unknown

_1240395717.vsdH0(s)

u

y

Figura 7 sistema cero

_1271599359.unknown

_1271749169.vsdKcH(s)

Figura 9 CONTROL EN LAZO CERRADO

+

-

S

c

c

r

e

_1271440590.vsdSISTEMA AA

U0

Y0

_1240393251.unknown

_991727174.unknown

_991727622.unknown

_1240212677.unknown

_991727197.unknown

_991727112.unknown