x s2 División de Polinomios
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7/17/2019 x s2 División de Polinomios
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1 ÁLGEBRA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I
DIVISIÓN DE POLINOMIOSÁLGEBRA - TEMA 2
I. IDENTIDAD FUNDAMENTALSean los polinomios D(x) y d(x) no constantes.
Efectuar D(x) d(x) consiste en hallar otros dos
polinomios q(x) y R(x) de manera que:
Algoritmo de la división:
D(x) d(x) .q(x) R(x)+
D: dividendo q: cociented: divisor R: residuoEjemplo:
4 3 2
D(x)
5x 15x 7x x 1
+ – – +
2 2
R(x)d(x) q(x)
(x 3x 1) (5x 2) 5x 1
= + – – + –
Observación:grado [D] = 4; grado [d] = 2grado [q] = 2; grado [R] = 1
Teoremas
grado [D] = grado [d] + grado [q]
grado [R] < grado [d]
grado [R]max = grado [d] – 1
Ejemplo:3 2 2x x x 2 (x x 1)(x 2) – – – + + – ;
R(x) 0 es exacta.2 2x 2x 1 (x 1) – + – ;
R(x) 0 es exacta.3 2 29x 6x 2x 4 (3x x 1)(3x 1) 3+ – – + – + – ;
R(x) 0 no es exacta.
II. MÉTODO DE HORNERProblema 1
Efectuar: 5 4 3 2
2
15x x 8x 3x 8
2x 5x 2
– – + –
– + –
Nota:
Si R(x) 0 se dice que D(x) d(x) es exacta;ademásD(x) d(x) .q(x) ; pues el residuo R(x) 0 es nulo.
1. Ordenar y completar al dividendo y divisor:5 4 3 2
2
15x x 8x 3x 0x 8
5x 2x 2
– – + + –
– –
2. Armar el esquema de Horner según:
Nota:D(x) y d(x) deben estar completos y ordenados enforma descendente.
Luego para el ejemplo:
5
2
2 5
6 6
2 20 0
2 2
-6210132 x
15 -1 -8 3 0 -8
=
+
3 +1
4
q(x) = 3x + x + 1 ; R(x) =2x - 63 2
Nota
Procedimiento1. Dividido el primer coeficiente del D(x) entre el
primero de d(x).
2. El resultado se coloca como el primer coeficiente
de q(x) y se multiplica con cada coeficiente de
d(x) a excepción del primero.
3. Los resultados anteriores se colocan debajo delos coeficientes de D(x) corriendo un lugar a la
derecha. Luego sumar y repetir pasos.
DESARROLLO DEL TEMA
7/17/2019 x s2 División de Polinomios
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DIVISIÓN DE POLINOMIOSExigimos más!
2 ÁLGEBRA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I
Nota:Hemos colocado la línea divisora contando 2columnas, pues el grado (d) = 2.
Problema 2a. Efectuar:
5 4 3
26x 6x x x 1
x x 1
– + – +
– +
Respuesta:q(x) = 6x3 – 5x – 5R(x) = –x + 6
b. Completa el esquema:
Luego: q(x) =R(x) =
Además: D(x) =d(x) =
Problema 3
Halle B + C si:4 3 2
2
2x Bx Cx 17x 20
2x 3x 5
+ + – +
– +es exacta.
Resolución:
La división es exacta si R(x) 0 . Luego completamos
el esquema desde el final hacia adelante.
B 31 B 5
2
+= – = –
C 16C 5 34
2 B C 11
= – –=
+ =
III. MÉTODO DE RUFFININos permite efectuar:
P(x)ax b+
Ejemplo 1:
Caso a 1=
Efectuar:3 23x 8x 2x 24
x 3 – + –
–
1. Observe que d(x) = x – 3 en este caso a 1= ; b = –3.
2. Arme el esquema según:
Para nuestro caso:
Procedimiento
1. El primer coeficiente de D(x) pasa al grupo de
los coeficientes de q(x) y multiplica al valor
despejado de "x".
2. El resultado se coloca debajo de los coeficientes
de D(x) corriendo un lugar a la derecha.
3. Se suma y el resultado vuelve a multiplicarse con "x".
4. Cuando a 1 hay un paso adicional que realizar,,
veamos otro ejemplo.
Ejemplo 2:
Caso a 1
Efectuar: 3 22x 3x 11x 62x 1
+ + ++
1. Observe que d(x) = 2x + 1
En este caso a 2= ; b = 1
2. Esquema:
3. Observe que cuando a 1 tenemos que dividir
entre "a" antes de hallar los coeficientes de q(x).
Nota:
El residuo en este método siempre es una constante.
Los polinomios también deben estar completos yordenados.
7/17/2019 x s2 División de Polinomios
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Exigimos más!DIVISIÓN DE POLINOMIOS
3 ARITMÉ ÁLGEBRATICA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I
Problema 4
a. Efectuar:3 25x x 15x 8
5x 1 – – +
–Respuesta
q(x) = x2 – 3
R(x) = 5
b. Complete el esquema:
3x - 2 = 0
x =
a =
15 -7 -11 11
q(x) =R(x) =
III. TEOREMA DEL RESTOSu aplicación permite obtener residuos sin efectuar la
división.
Nota:
Sea el polinomio P(x) no constante. El resto de dividir
P(x) entre ax + b es R = P( –b/a).
Ejemplo 1:
P(x) = (ax + b) q(x) + R
Si x = –b/a
0
b bP a b q(x) R
a a
– = – + +
Luego:
bR Pa
= –
Ejemplo 2:Halle el residuo de:
22x 9x 22x 1+ +
–Resolución:
Como el divisor d(x) = ax + b = 2x – 1.
b 1x
a 2= – =
P(x) = 2x2 + 9x + 2
21 1 1
P 2 9 2 72 2 2
= + + =
R 7=
IV. REGLA PRÁCTICA
Para hallar el residuo en:P(x)
ax b+
1. Iguale ax + b = 0.
Despeje bx
a= – que es un valor conveniente.
2. Evalúe P(x) en bx
a= – .
Luego el residuo es:
bR P
a
= –
Problema 5Halle el residuo en:
30 10 5
2
x x x 3
x 1
– + –
+
Resolución:
1. 2 2x 1 0 x 1+ = = – un valor conveniente.
2 . P(x) = x30 – x10 + x5 – 3P(x) = (x2)15 – (x2)5 + (x2)2 x – 3
x2 = –1R = ( –1)15 – ( –1)5 + ( –1)2x – 3
R = x – 3
Problema 1
Al dividi r un polinomio P(x) en tre
x2 – 1 se obt iene –2x + 4 de
residuo y al dividirlo entre: x2 – x – 2
se tiene 8x + 14 de residuo.
Determinar el residuo que se obtendría
al dividir P(x) entre x3 – 2x2 – x + 2.
San Ma rco s 2008 - I
Nivel di f íc i l
A) 10x2 – 2x – 6
B) 10x2 + 2x + 6
C) –10x2
– 2x + 6D) –10x2 +6x –2
E) 10x2 + 6x – 2
Resolución:Por el algoritmo de la división:
D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
Tenemos:
I. P(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) – 2x + 4
II. P(x) = (x2 – x – 2).q(x) + 8x + 14
III. P(x)=(x –1)(x2 –x –2)q(x)+ax2 + bx + c
En (I):
x = –1
P(–1) = 6x = 1
P(1) = 2
En (II):x = 2
P(2) = 30
En (III):x = 1 a + b + c = 2x = –1 a – b + c = 6x = 2 4a + 2b + c = 30Resolviendo:
a = 10; b = –2; c = –6Entonces:
R(x) = 10x2 – 2x – 6
Respuesta: A) 10x2 – 2x – 6
Problema 2Hallar el valor de "m + n" sabiendo que
al dividir mx2 + nx – 1 entre "x + 1" elresiduo es "0" y al dividirlo entre
"2x + 1" el residuo es " –1".
PROBLEMAS RESUELTOS
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DIVISIÓN DE POLINOMIOSExigimos más!
4 ÁLGEBRA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I
NIVEL I
1. Halle la suma de los términos
independientes del cociente y el
resto en:
4 3 5
3
4x 9x 6x 1
x 2x 1
+ + –
+ –
A) 2 B) 3
C) 6 D) 5
E) 7
2. Halle la suma de coeficientes del
resto en la siguiente división:4
2
3x 75x 92
x 2x 4
+ –
+ – A) 4 B) 3
C) 7 D) 8
E) 1
3. Efectue la siguiente división
6 5 2 4 3
3
4x 8x 5x 2x 7x 1
1 2x 4x
+ – + + –
– + +
dar como respuesta el cociente
A) 24x 2x 1+ –
B) 23x 2x – –
C) 3 2x 2x 1+ +
D) 3x 1+
E) 3 22x 3x x 1+ + –
4. Efectue:3 22x 4x 1
x 1+ +
+halle la suma de coeficientes delcociente.
A) 1 B) 2C) 3 D) 4
E) 5
5. Dividir:43x 5x 2x 2 – +
+
indique el término cuadrático del
cociente
A) 212x B) 25x
C) 26x – D) 25x –
E) 26x
NIVEL II
6. Halle la suma de coeficientes del
cociente en:
4 227x 6x x 153x 1
– + + –
A) 11 B) 33
C) 12 D) 13
E) 34
7. Halle el resto en:
3 24x 5x 3x 1x 2
– + –+
A) 58 B) –58
C) 67 D) –59
E) 60
8. Halle el resto en:
5 4 2
2
x x 3x 1
x 1
– + +
+
A) 3x B) x – 3
C) x + 1 D) x – 1
E) x + 3
9. Halle el resto en:
33x x 1 5x 3
x x 1 4
+ – +
+ –
A) 5x – 67B) 5x + 67
C) –5x + 67
D) 5x
E) 67
10. En la siguiente división,
412x nx 5x 1+ + –
determine el resto
para que la suma de sus coeficientes
del cociente sea 93.
A) 17 B) 16
C) 19 D) 18
E) 15
11. Un polinomio P(x) de tercer
grado se divide separadamente
entre (x – 1); (x – 2) y (x + 3).
Dando como resto común 5.
Además al dividirlo entre (x + 1)
da un resto igual a 29. Calcular el
termino independiente de P(x).
A) 17 B) 16
C) 15 D) 14
E) 13
12. Un polinomio P(x) mónico y de
segundo grado al ser dividido
entre x + 3 da como resultado
cierto cociente Q(x) y un resto
12. Si se divide P(x) entre el
mismo cociente aumentado en 4,
la división resulta exacta. Hallar el
resto de dividir P(x) entre x – 5.
A) 16 B) 17
C) 18 D) 19
E) 20
San Ma rco s 2005 - I I
N ive l intermedio
A) 3 B) 1 C) 0
D) –1 E) 2
Resolución: Aplicando el teorema del resto:
x = –1:m( –1)2 + n( –1) – 1 = 0
m – n = 1 ... (1)x = –1/2:m( –1/2)2 + n( –1/2) – 1 = –1 m = 2n ... (2)
De (1) y (2): n = 1; m = 2.
Entonces: m + n = 2 + 1 = 3.
Respuesta: A) 3
Problema 3¿Cuál es el número que se le deberestar al siguiente polinomio:
P(x) = 2x5 – x3 – 2x2 + 1para que sea divisible por (x – 2)Dar como respuesta la suma de cifrasde dicho número.
San Ma rco s 2006 - I
Nivel fác i l
A) 10 B) 19 C) 13
D) 16 E) 9
Resolución:
Sea "n" el número que debemos restarle;
entonces:2x5 – x3 – 2x2 + 1 – n = (x – 2).q(x)
Si: x = 2:
2.25 – 23 – 2.22 + 1 – n = 0
n = 49
Se pide: 4 + 9 = 13
Respuesta: C) 13
probl emas de cl ase
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Exigimos más!DIVISIÓN DE POLINOMIOS
5 ARITMÉ ÁLGEBRATICA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I
NIVEL III
13. Al divid ir e l po l inomio P(x)
po r 2x 1 – se obtiene comoresiduo 2x y al dividirlo por
3x 2 – da como residuo 3x.Hallar el residuo de dividir P(x) por(x – 1)(x – 2).
A) 4x – 2 B) 4x + 2
C) –4x + 2 D) –4x – 2
E) 4x
14. Si el resto de la división:
11 3x 3 x 4
x 3 x 4
– + –
– –
tiene la forma x + , calcule:
A) –20
B) –7
C) 14
D) –14
E) 7
15. Cuando dividimos P(x) entre
3x 2+ el residuo es 2x 1 –
x 3+ + 2x, ¿cuál es el resto de
P(x) entre x + 2?
A) 2
B) –21
C) –9
D) 4
E) –2