XIII JORNADES D’EDUCACIÓ MATEMÀTICA DE LA …

XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICADELACOMUNITATVALENCIANA

INNOVACIÓITECNOLOGIAENEDUCACIÓMATEMÀTICA

Alacant,19-20d’octubrede2018

Universitatd’Alacant

COMITÉEDITOR-MAQUETACIÓ

JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)

FernandoArenasPlanelles(SEMCV)

ÒscarFornerGumbau(SEMCV)

JuliaMuñozMartínez(SEMCV)

COMITÉORGANITZADOR

FernandoArenasPlanelles(SEMCV)


JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)

FerranVerdúMonllor(UA)

JoséAntonioMoraSánchez(SEMCV)

COMITÉCIENTÍFICFernandoArenasPlanelles(SEMCV)


MaríaGarcíaMonera(SEMCV)

AmparoMonederoMira(SEMCV)

COMITÉTÈCNIC

Dissentdelcartell:JoséFernandoJuanGarcía

Pàginaweb:JuanFernandoLópezVillaescusa

Plataformad’inscripció:JuanManuelCouchoudPérez

REVISIÓDELTEXT

MariaTeresaNavarroMoncho

ISBN:978-84-09-14773-1

Primeraedició:setembrede2019

Editor:InstitutdeCiènciesdel’Educació(ICE)delaUniversitatd’Alacant

Qualsevolformadereproducció,distribució,comunicaciópúblicaotransformaciód’aquestaobranoméspotserrealitzadaambl’autoritzaciódelseustitulats,llevatdelesexcepcionsprevistesperlallei.Adreceu-vosaCEDRO(CentroEspañaoldeDerechosReprográficos,www.cedro.org)sinecessiteufotocopiaroescanejaralgunfragmentd’aquestaobra.

NOTAEDITORIAL:Lesopinionsicontingutsdelstextospublicatsenaquestaobrasónderesponsabilitatexclusivadelsautors.

COL·LABORADORS

XXIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA

1

EDITORIAL 3

CONFERÈNCIES 7

CONFERÈNCIA:L’AVENTURAD’INNOVARENL’ENSEYAMENTDELESMATEMÀTIQUES. 7

TALLERS 21

T-01.LACALCULADORACIENTÍFICAAL’AULADEMATEMÀTIQUES. 21T-02.INVESTIGACIONESENCLASEDEMATEMÁTICASCONGEOGEBRA 41T-03.EDPUZZLE:UNRECURSOPARAELFLIPPEDCLASSROOM 55T-04.CREANDOVÍDEOSPARALAENSEÑANZAYELAPRENDIZAJEDELASMATEMÁTICAS. 63T-05.TEOREMA"DOBLARYCORTAR":UNEJEMPLODEINVESTIGACIÓNMATEMÁTICA. 79T-06.SUPERFICIESSECCIONADAS 89T-07.LACALCULADORACOMARECURSDIDÀCTICAL’EDUCACIÓPRIMÀRIA. 101T-08.LOSCALENDARIOSMAYAS. 113T-09.INNOVACIÓNSINPERDERLOSPAPELES 123T-10.MANIPULANDOZ. 135

COMUNICACIONS 155

C-01.ANÀLISIDELACOMPRENSIÓENESTUDIANTSDEBATXILLERATDELCONCEPTEDELÍMITD’UNAFUNCIÓENUNPUNT. 155C-02.EMMA,ESTÍMULDELTALENTMATEMÀTICCOMARCAL. 173C-03.JUGANTAMBGEOGEBRA. 181C-04.APRENDIZAJEBASADOENPROYECTOSEN2ºPMAR. 189C-05.TAULES,PARÀMETRESIGRÀFICSESTADÍSTICSRÀPIDSAMBGEOGEBRAPERAL'AULAD'ESO. 201C-06.APPRENDIENDOMATEMÁTICASCONJUEGOSMÓVILES. 241C-08.TRASLAPISTA.(A2/0B11). 257C-08.PROBLEMASRICOSENSECUNDARIACOMODETECTORDECAPACIDADMATEMÁTICAALTA. 273C-9ANÀLISID’UNOBSTACLEDIDÀCTIC:CONVEXITATICONCAVITATD’UNAFUNCIÓENUNINTERVAL. 287C-10.LASSIMETRÍASDELPLANOPARA6ºDEE.PRIMARIAENFORMATODEIBOOK. 301C-11.LAVÍDEOCONFERENCIAENTREESTUDIANTESDETALENTOENUNTALLERDEMATEMÁTICAS. 315

TALLERS

XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA 79

T-05. TEOREMA "DOBLAR Y CORTAR": UN EJEMPLO DE INVESTIGACIÓN

MATEMÁTICA.

RobertoSelvaGomis

IESMiguelHerná[email protected]

Modalitat:TalleriTaula

Nivelleducatiu:Primària,Secundària,Batxillerat,Universitat

Paraulesclau:Geometría,Simetría,Rompecabezas,Divulgación

Resum:

El Teorema de Doblar y Cortar (Fold and Cut Theorem) (Eric Demain et al.,

1999)afirmaqueparacualquierconjuntodelineastrazadasenunplanoexiste

unaformadedoblarelplanotalqueconunúnicocortepodríamoscortaresas

líneasynadamás.Eltipodeproblemasdedoblarycortaresmuyvariado,yla

demostraciónproponeunsistemasencilloparaconstruir las lineasdedoblado

quefuncionaenlamayoríadeocasiones,yunsistemamuchomáscomplejopara

las ocasiones difíciles. Trataré de presentar cómo se puede interesar a los

alumnos en la resoluciónde los casos sencillos, y cómo enfocar los casosmás

generales,asícomolosproblemasabiertosasociadosaéste.

TALLERS


Haceunosaños,buscandomaterialparaunaclaseconungrupodealumnosque

sequedabaconmigoparadarunaclaseextra,tropecéconunvídeoenelqueuna

aficionadaalasmatemáticasrecortabalasletrasdelalfabetodoblandounpapel

ycortandoconunúnicocortecadaunadeellas.Recuerdoquealprincipionome

llamóexcesivamentelaatención,ylodejéparamencionarloalfinaldeunaclase

enlaquehablabadematemáticasypapiroflexia.

Sin embargo, con el tiempo, pensé en las implicaciones que podría tener el

doblarycortarconunúnicocorte,ysemeocurrióplantearestasituacióncomo

unretoparamisalumnos,unasfigurasquedebíancortarusandounaúnicavez

lastijeras.

Peroparaconstruirestosretos,debíasabercómofuncionabaelteorema,asíque

de nuevo busqué el vídeo al que hago referencia antes, y a partir de ahí, el

teorema.Encontré lapáginawebdelautororiginaldel teorema,puestoquees

un resultado reciente, y me di cuenta que tenía un vídeo con presentación

incluida que duraba más de una hora. Evidentemente, no tenía tanto tiempo

paradedicarle,asíquelodejécomoactividadparaelverano,entretantasotras

cosas.

Sinembargo,cuandovolvíateneralgodetiempo,laideacontinuabarondando

micabeza,asíquevi losprimerosquinceminutosdelvideoymedicuentade

queconesoyapodíaplantearalgunosdelosretos,yquelacosaseponíamuy

interesante.

Deestamanera,meplanteérealizarunaactividaddoble.Porunlado,ampliarla

intuicióngeométricademialumnadoconlosretos,y,porotrolado,explicarles

cómo crean los matemáticos un resultado nuevo, desde hacer observaciones,

crear conjeturas, establecer un método de construcción, búsqueda de

contraejemplos,creacióndemétodosalternativos,y finalmenteunresumende

la demostración que pueda quedar al alcance de un estudiante de secundaria.

TALLERS


Tambiénsepuedenaportarmétodosdeaplicaciónacasosdiversos,yproblemas

abiertosderivadosdelresultado.

EntrelosresultadoshistóricosenlosquesefijóErikDemaine,elautororiginal

delteorema,figuranvariospasatiemposenlosqueunafigurasedebecortarcon

un único corte doblando el papel. En particular cita un libro japonés del año

1721,yunaleyenda, ladeBetsyRoss,acercade lacapacidaddeunacosturera

paradoblartelay,conunúnicocorte,conseguirlaestrelladecincopuntasdela

banderaamericana.Por lovisto,unnúmeroderivadodeesta leyenda formaba

partedelespectáculodemagiaqueHoudini representabasobre losescenarios

americanos.

Apartirdeahí,Eriky sus colaboradores seplanteanpreguntasde claroperfil

matemático. ¿Qué tipos de figuras podrán dibujarse para crear problemas

similares? ¿Qué métodos se deben probar ensayar para resolver estos

TALLERS


problemas?¿Decuántasformasdiferentessepuedenresolver?¿Cuáleslaforma

óptimadehacerlo?

Trabajandosobre losmétodosmássencillos, encuentraunmétodoqueparece

funcionar bien. A partir del trabajo con el triángulo, y razonando a través del

conocidométododeaprendercosasdeunahipoteticasoluciónexistente,llegaa

laconclusióndequehayalgunaslíneasclavesatravésdelascualessepuede,si

sehaconseguidolasolución,almenosnoalterarla.Yconcluyequesisedoblaa

lolargodeestaslíneas,elproblemaestaráresuelto.

Las líneas (que podemos apreciar en el dibujo) serían las bisectrices y sus

prolongaciones, y las perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por

incentro, lugar de corte de las bisectrices. El motivo por el que usamos esas

líneasdebesercomprendidoapelandoasuintuicióngeométrica,oimaginando

líneasparalelassobreelpapelyaplegadoaun ladoyotrode la líneadecorte,

queunavezdesplegadoserán figurasde ladosparalelosa laoriginal,bienpor

dentro,bienporfuera.Laslíneasquenospermitendoblarlosenesemomentose

apreciancomolasseñaladas.

Evidentemente, los triángulos en general son sencillos de doblar, pero ¿será

posibleadaptarloaotrasestructuras?

TALLERS


Elcaminoparademostrarquecualquierestructuraabasedelineasrectas(grafo

recto) se puede plegar con las condiciones requeridas se inicia a partir del

métodoquefuncionaparalostriángulos.Sitrazamoslasbisectriceshastaquese

corten con las más próximas, y unimos estos puntos de corte, se forma una

estructuradepolígonosquedivideelplanoqueErikDemainellama«esqueleto

recto»delgraforectoinicial.Encadaunodeesospolígonosquedaráúnicamente

untrazorecto,quesifueseposibleplegarutilizandolosbordesdeeseesqueleto

recto,quedaríanalineadossobreunamismarecta.

Sinembargo,lomásfrecuenteesquenopodamosusarestaslíneasdeplegado.

Los investigadoresusanotro resultado, el llamadoTeoremade laPapiroflexia,

que caracteriza los casos en los que puede ser doblado un grafo. Si trazan

perpendiculares al

graforectoinicialdesde

los vértices del

esqueleto recto, se

consiguen satisfacer los

requisitos para el

plegadosinmodificarla

línea sobre la que se

pliegaelgrafoinicial.

TALLERS


Se elabora entonces una conjetura. Cualquier grafo recto será plegable, en el

sentidoquedeterminaelproblema,sobreunarecta.

En este momento, los investigadores piensan que el camino está a punto de

terminar, pero no consiguen una demostración definitiva, pese a tener un

métodosumamenteeficazenmuchoscasos(todos losqueplantean).¿Porqué

noencuentranunamaneraenlaquecerrarelproblemageneral?Porquedeben

demostrarlafinituddelacantidaddelíneasnecesarias.

Diseños sencillos, sobre planos grandes, ponen demanifiesto que no hay cota

superior al número de pliegues necesarios. A partir de ahí los investigadores

construyenuncontraejemplo.Unafiguraapartirdelacuallasperpendiculares

que atraviesan las zonas del esqueleto recto trazan una espiral infinita, que,

evidentemente,jamásseterminaríadedoblar.

Al existir un contraejemplo, los investigadores se centran en, por lo menos,

caracterizarloscasosenlosquesísepuedanconseguir,algodesanimadosporel

hechodequeunmétodoenelquehabíandepositadosuconfianza,noresultara

de aplicación a todos los casos. Y dejan aparcada una solución más general,

temporalmente.

TALLERS


Porque la solución llega, al final. Regresando a la solución para triángulos,

empiezan a mirar el diseño de otra forma. Al fin y al cabo, las bisectrices se

puedenconsiderarradiosdeunsectorcircular,yesposibledibujarunaseriede

circunferenciastangentesentresíquedeterminenlaslíneasdedoblado.

De esta forma, se generaliza esta situación para crear un método nuevo de

encontrarlaslíneasporlasquedoblar.Seconsideraunempaquetadoabasede

discos de las regiones que determina el grafo recto inicial. Este empaquetado

debecumplirdoscondiciones.Laprimeraesqueelgrafoinicialdebeserradios

dealgunosde losdiscos.La segundaesdejarelespacio fuerade losdiscosen

contactoconúnicamentecuatrootresdiscos.

Evidentemente,laprimeracondiciónesmuysencilladecumplir.Lasegundase

puede demostrar (por inducción) que es possible cumplirla con el suficiente

número de discos. La idea es que si una zona está rodeada por cinco o más

discos,entoncessebuscalostresmáspróximosysesitúauncírculotangentea

tresdeellos.Evidentemente,elpeordeloscasossedivideenzonasquetienenal

menosuncírculomenos rodeándolas.Poco poco llegaremosa tener todas las

zonasconcuatrootresdiscosrodeándolas.

Yporúltimo,esposiblecrearungrafo,usandoradiosdeestoscírculos,quesea

plegableyquedejeenlamismalínealosradiosqueformanelgrafoinicial.

TALLERS


Sin embargo, el método es mucho más complejo que el que se describió

anteriormente, de forma que el primero es el que uso para crear los

rompecabezasquepongodeejemplos.

Aúnnomehetropezadoaccidentalmenteningúngrafoenelqueseanecesarioel

uso del método alternativo, y tengo pendiente un intento de creación de un

plegadoporesemétodo.

La creación del teorema tuvo, por tanto, un final feliz, y fue aceptada la

publicación,yelautorademásescribióunlibroenelquedetallatodoelproceso

y las aplicaciones, que tienen usos industriales (es de aplicación al cálculo de

movimientosdebrazosarticulados,alcortedepiezasyavarioscamposmás).

En cuanto a los nuevos problemas a los que abre la puerta este resultado,

algunos sonevidentes y (según la informacióndequedispongo) aúnno están

resueltos.

Uno sería encontrar cotas al número de plegados según las aristas del grafo

inicial,asícomolasoluciónóptima,quesóloestáclaraencasosmuyconcretos.

Otro, extender el resultado a tres dimensiones, para conseguir encontrar las

líneasdeplegadoparatransformarfiguraspoliédricasenplanos, loquepodría

sermuyútilparadiseñarformasdeplegadoderecipientesinnovadoras.

Este es, por tanto, el trabajo que se expuso en las jornadas. No tiene tal vez

mucho de aplicación de nuevas tecnologías en el aula, pero sí es una

introducción de resultados nuevos y poco conocidos, y su uso paramotivar a

nuestros alumnos a comprender mejor los métodos y el trabajo de los

matemáticos.

Referenciasbibliográficas

Demaine, E., O'Rourke, J. (2007). Geometric Folding Algorithms: Linkages,Origami,Polyhedra.EstadosUnidos:CambridgeUniversityPress.

TALLERS


Demaine,E.(2016).TheFold-and-CutProblem.http://erikdemaine.org/foldcut/Consultado1/08/2018

Steckles, K. (2015). Fold and Cut Theorem – Numberphile.https://www.youtube.com/watch?v=ZREp1mAPKTM&t=506s Consultado1/04/2016

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