Zatikiak · 2018. 9. 6. · prozedurak, trebetasunak… Bestalde, ikasleek ohiko akatsak egi-ten...
Transcript of Zatikiak · 2018. 9. 6. · prozedurak, trebetasunak… Bestalde, ikasleek ohiko akatsak egi-ten...
14
Unitatearen aurkezpena
•Aurrekoikasturteetan,ikasleekzenbakieietahaienerabilereietaezaugarrieiburuzkohainbatezagueraikasidituzte:kontzeptuak,prozedurak,trebetasunak…Bestalde,ikasleekohikoakatsakegi-tendituzte;halaber,frustrazioaeta,beharbada,asperduraeresentitukodituzte,betigauzaberaegiteaznekatuta.Unitateho-nenhelburuaezaguerahorietakobatzukindartzeaetasakontzeada,baitaedukiguztienizaerapraktikoalantzeaere.Horrezgain,posiblebalitz,irakasleakkonfiantzaetasegurtasunatransmititubeharkolizkiekeikasleei.
•Zatikiaketahaienesanahiaetaerabileraedukiezagunakdiraikas-leentzat.Halaere,zatikiekineragiketakegitekoorduan,ikasleekjariotasun-faltahandiaizatendute,etahutsetaakatsugariegitendituzte.Halaere,hasteko,zatikiarenkontzeptuaberrikusikodugu;gero,hortikabiatuz,zenbakiarrazionalazerdenlandukodugu.
•Zatikiakeragilegisaduenerabileragogoratukodugu.Ikasleekerraztasunhandizkalkulatzendutekantitatebatenzatikia,bainaarazoak izatendituztealderantzizkoprozesuarekin:kantitateosoakalkulatzea,zatibatezagututasoilik.
•Halaber,zatikibaliokideeietahaienpropietateeidagozkieneza-guerakberrikusikoditugu,etaziurtatukoduguikasleakgaidirelaizendatzailekomunera laburtzeko.Gaihorridagokionez,ho-nakoairadokitzendugu:kasuerrazetanburuzkokalkuluaetakalkuluidatziatartekatzea,zenbakihandiakageridirenean.
•Zatikitikhamartarrerapasatzea,etaalderantziz,berezikihamartarperiodikotikzatikirapasatzea,ikasturtehonetakoohikoedukiada.4.unitatean(progresioak)berrirolandukodugu.
•Teoriarenatalaosatzeko,honakohaueklandukoditugu:zenbakiarrazionalak(zatikigisa,hamartargisa),etazenbakiirrazionalak.
•Osogarrantzitsuadaburuzkokalkulua lantzeaeta indartzea,zenbakihamartarrekinetazatikiarrekin.Horriesker,ikasleekbiz-kortasunmentalaetakonfiantzagaratzekoaukeraizangodute.
•Ikaslerikgehienekkalkulagailuaerabilikozutenaurrekomailetan.Halaere,unehonetatikaurrera,sakonagoerabiltzenikasibe-harkodute.Oinarrizkoerabileretatikhasita,kalkulagailuakzati-kiaketazenbakimistoaklantzekoduenpotentzialhandiaba-lioestenikasikoduteikasleek.
1 Zatikiak
14
Unitatearen eskema
ZENBAKI ARRAZIONALAK
ZenbakiosoekinBATUKETAKKENKETAKBIDERKETAK
eginez,bestezenbakiosobatlortukodugu.
ZenbakiarrazionalekinBATUKETAKKENKETAKBIDERKETAK
ZATIKETAK(0rekinizanezik)eginez,bestezenbaki
arrazionalbatlortukodugu.
zenbakiosoenosagarriizateko,
zenbakiarrazionalenmultzoaosatuz.
izandaitezke:
izandaitezke:
baliodute:
baliodute:
baitaere:
betierehonakohauekbadira:
eragiketetanerabiltzen
dira
honelaadierazdaitezke:
hamartarzehatzakedo
hamartarperiodikoak
OSOAK
ARRUNTAK
ZATIKIARRAK
OSOAKNEGATIBOAK
ZENBATZEKOZENBAKITZEKO
Zenbakiarruntenosagarridira.
unitatearenzatiakadierazteko
Zatikigisa Zenbakihamartargisa
eragiketetanerabiltzen
dira
15
Gutxienekoezaguerak
Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:
•Zatikiakerabiltzenjakitea:eragiketakegitea.
•Zatikietatikhamartarretarapasatzea.Zenbakihamartarrenmotakbereiztea.
•Hamartarzehatzazatikieranadieraztea.
•Problemaaritmetikoakebaztea,honakohauekerabiliz:zatikiakeragilegisa,etaeragiketazatikidunak.
•Kalkulagailuaganorazerabiltzenjakitea(modueraginkorrean).
Osagarrigarrantzitsuak
•Zenbakizatikiarrakzuzenbateanadieraztea.
•Zenbakihamartarperiodikobatzatikibihurtzekoteknika.
•Zenbakiez-arrazionalakantzematea.
Lanakaurreratu
•Zenbakiekineragiketakegitekolehentasunaketaparentesienerabileragogoratzea.
•Adierazpenosoerrazakkonparatzea,parentesienposizioaalda-tuz.
•Hainbatkalkulagailumotaerakustea.
•Zatigarritasunarilotutakokontzeptuaketaoinarrizkoprozedurakgo-goratzea.
•Buruzkokalkuluarenoinarrizkozenbaitteknikaberrikustea.
LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA
14.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*) 18.or.Garapenteorikoa.(*) 12.or.1.ariketa.(*)
21.or.orrialdekoariketak.(*) 18.or.1.ariketa.(*)
19.or.Garapenteorikoa.(*)
19.or.4.ariketa.(*)
20.or.Ariketaebatziak.(*)
DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA
11.or.PDhonetaniradoki-takoariketa.
10.or.PDhonetanira-dokitakoariketa.
10.or.PDhonetaniradokitakoari-keta
Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.
24.or.«Joinformaziobila»ariketa.
18.or.Pentsatuetapraktikatu.(*) 11.or.Ebatzi.(*) 15.or.Pentsatuetapraktikatu.(*)
19.or.Pentsatuetapraktikatu.(*) 18.or.2.ariketa.(*) 22.or.Ebatziproblemak.(*)
23.or.Eginteoriariburuzkogo-goeta.(*) 23.or.Problemakorapilatsuagoak.
24.or.«Irakurri,hausnartuetaate-raondorioak»ariketa. 25.or.Trebatuproblemakebatziz.(*)
Jarraianaurkeztuduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekime-naetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatuditugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditu-gu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagozkionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,Proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.
Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.
16
1110
1 Zatikiak
Ebatzi
1. Adierazi 73 antzinako Egiptoko eskribek bezala.
2. Adierazi era hamartarrean ondoren ageri den zenbakia; zenbaki hori xv. mendeko italiar matematikari batek idatzi zuen:
3;8,29,44Zenbaki esangarria al da hori matematikan? Zer zenbaki da?
3. Nola idatziko zenituzke goiko taulan 780, 3/5 eta 1,6 zenbakiak?
4. Zer zenbaki ikusten dituzu honako taulatxo honetan?
Babiloniarren sistema hirurogeitarra
Antzinako Mesopotamian zenbakiak buztinezko taulatxoetan nola idazten zituzten ulertzeko, erreparatu unitate hirurogeitarrak nola adierazten zituzten erakusten duten honako taula honetako adibideei:
602 60 1 1/60 1/602
→ 3 600 · 1 + 60 · 16 + 24 = 4 584
→ ,6024
52 0 4= =
→ 1 + 6024 = 1,4
→ …? = 1,4125
Sistema horrek bi zeinu bakarrik erabiltzen zituen ( = 10 eta = 1). Zeinu horien bidez, 1etik 59ra arteko zenbakiak idazten zituzten. Eta zenbaki horien balioa 1ekin, 60rekin, 602-rekin… edo 1/60-rekin edo 1/602-rekin… biderkatzen zen (posizioaren araberako sistema).
Zatiki hirurogeitarretatik forma hamartarrera pasatzea
Idazkera hirurogeitarrean adierazitako zenbakia era hamartarrera pasatzeko, nahikoa da dakigun eran eragitea. Hartu kontuan:N = 1;24,45 (forma hirurogeitarra)
N = 16024
6045 1 5
2801
2+ + = + + = 1 + 2 : 5 + 1: 80 = 1,4125 (forma hamartarra)
Zatiki hirurogeitarrak erabiltzeaAntzinako Mesopotamian, zenbakiak sistema hirurogeitarrean idazten zituzten. Eta zatiki hirurogeitarrak erabiltzen zituzten unitatearen zatiak adie-razteko ere: izendatzailea berrekizuna 60 zuen berreturaren parekoa izanik.
Orduan, 25 adierazteko, 24
60 idazten zuten eta 80
1 adierazteko 3 600
45 .
Mendebaldean, zenbaki osoetarako zenbaki-sistema hamartarra viii. men-detik aurrera erabiltzen zen arren, unitatearen zatiak adierazteko, zatiki hirurogeitarrak erabiltzen ziren. Esaterako, 1,4125 idazteko, 1;24,45 jar-
tzen zuten eta 1 + 6024 +
6045
2 zen horren esanahia.
Zatiki unitarioak erabiltzeaEgiptoarrek (xvii. mendea K.a.) zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, hau
da zenbakitzailea unitatea dutenak. Adibidez, 25 adierazteko, 1
31
15+
idazten zuten.
xiii. mendean ere, Fibonaccik (Pisa, gaurko Italia), zatiki arruntak ezagutu eta menderatu arren, unitarioak erabiltzen jarraitu zuen.
Zatiki arruntak erabiltzeaZatikiak, gaur egun erabiltzen ditugun eran, ez ziren xvii. mendearen amaierara arte edo xviii. mendearen hasierara arte orokortu.
Astarteren atearen erreprodukzioa; antzinako Babiloniako sarreretakoa zen.
Luxorko obeliskoan (Tebas, Egipto), egiptoar zenbakiak adierazita ageri dira.
Mesopotamiako kontula-ritzako oholtxoa; K.a. 2630 urtea aldera egin zen.
Unitatea hasteko• Interesgarriaizandaitekeikasleekezagutzeazenbakizatikiarreketaha-martarrekantzinakozibilizazioetanizandituztenerabilerak;halaber,ohi-tureketatradizioakgarapenaeragoztekoedozailtzekodutenindarrariburuzerehausnardezakegu.Zenbakihamartarrenerabilerahorrenadibideda;izanere,gauregunezinbestekoakbadiraere,xvi.mendea-renamaieraraarteezzirenerabili.
• Irakasleaksistemahirurogeitarrareniraunaldianabarmendudezake.Sistemahorrekangeluaketadenboraneurtzekobaliodu,etababiloniarzibilizazioarengandikjarauntsigenuen,duela3000urtebainogehiago.
Aurrejakintzak identifikatzeko ideiak• 11.orrialdeanproposatutakoariketekin,honakohaulortunahida:ikas-leakzatikiekinjolastea,egiptoarrek,babiloniarrekedoErdiArokomate-matikaribatekegingoluketenbezala.Horrela,garaihorietanmotaho-rretakoeragiketakegiteazeinzailazenikusikodute,etagauregunditugunbaliabideaketaprozedurakbalioetsikodituzte.
IKTak Honakoariketahauiradokitzendugu:
Ikasleeieskatukodiegu,bakarka,orrialdehonetanlandutakoinformazioa(zatikiengarapenhistorikoa)garatzeko,datuetaxehetasungehiagobila-tuz.Gerotaldehandianeztabaidatukodugu,etabilatutakoinformazioaegiaztatukoetaosatukodugu.
Ekimena Honakoariketahauproposatzendugu:
Ikasleekzatikiunitarioekhistorianzeharizandituztenerabilereiburuzkoin-formazioabilatukoetasakondukodute.Halaber,zatikiarruntakzatikiuni-tariobihurtukodituzte,etaalderantziz.
Diziplinartekotasuna
Honakoariketahauiradokitzendugu:
a)Idatziegunerokotasunekohiruegoera,zeinetanzatikiakerabilgarriakdi-ren.
b)Idatzibesteikasgaibatzuetako(geografiako,historiako,fisikako…)hiruegoera,zeinetanzatikiakerabiltzendiren.
«Ebatzi» atalaren soluzioak
1 Erantzunirekia.
Adibidez:
73
41
71
281
31
121
841= + + = + +
2 3,14159...πzenbakiada.
3 602 60 1 1/60 1/602
4 1.errenkada:4395.
2.errenkada:5,5.
3.errenkada:1,005
17
1312
Zenbaki osoak
Ondo dakizunez, 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, … zenbaki arruntak dira. Infinitu dira. Horien guztien multzoari N esaten zaio.
N = {0, 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, …}Zenbaki arruntek multzo bateko elementuak zenbatzeko balio dute. Elementuok ordenan jartzeko ere erabiltzen dira: 1., 2., 3., …Zenbaki osoak arruntak eta arrunten oposatuak dira (oso negatiboak). Zenbaki osoen multzoari Z esaten zaio.
Z = {…, –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Zatikiak eta zenbaki zatikiarrak
Zenbaki osoek elementuak zenbatzeko balio dute, baina ez dira oso egokiak neu-rriak adierazteko. Neurtzeko, unitatea zatikatu egin behar izaten da: erdia, lau heren, zazpi milaren… Neurri horiek zatikien bidez adierazten dira: 1/2, 4/3, 7/1 000.Zatikia bi zenbaki osoren arteko zatidura adierazia da. Zatidura hori osoa
,26 3
312 4– –= =d n edo zatikiarra ,
217 8
21
513 2
53– – –= + =d n izan daiteke.
Zenbakitzailea izendatzailearen multiplo izanez gero, zatikiak zenbaki osoa adie-razten du eta izendatzailearen multiplo izan ezik, zenbaki zatikiarra.
Zenbaki oso guztien eta zenbaki zatikiar guztien multzoari zenbaki arrazio-nalen multzo esaten zaio eta Q zeinua erabiltzen da multzo hori izendatzeko. Zenbaki arrazionalak zatiki eran ipin daitezkeenak dira.
Zenbaki arrazionalak zuzenean adieraz daitezke.
–5 –4 –3 –2 –1 0
1–— 2
5–— 2
23 3— = 4 + — 5 5
10 3— = 1 + — 7 7
1 2 3 4 5 6
Zenbaki arrazionalak (osoak eta zatikiarrak) zuzenean biltzen dira eta horietako biren artean infinitu zenbaki arrazional daude.
Zatikiak sinplifikatzea
Zatikiaren zenbakitzailea eta izendatzailea (1 edo –1 ez den) zenbaki berarekin zatigarri izanez gero, bi horiek zenbaki berarekin zatitzen baldin baditugu, zatikia sinplifikatu edo laburtu egin dugula esaten da.
Adibidez: ; ;1525
35
128
64
32
45003000
32
– ––= = = =
Zatikia gehiago laburtu ezin baldin bada eta izendatzailea positibo izanez gero, laburtezina dela esango dugu.
Zatiki baliokideak
Zenbaki arrazional bakoitza zatiki askoren (infinituren) bidez adieraz daiteke: 3/5 = 6/10 = 9/15 = … Hortik sortzen da bi zenbakik zenbaki arrazional bera noiz adierazten duten jakiteko irizpidea ezarri beharra.
Bi zatiki baliokide direla esaten da, zatikiok sinplifikatuz gero, zatiki labur-tezin bera lortzen baldin bada; zatiki hori dagokion zenbaki arrazionalaren ohiko adierazpen gisa hartzen da.
3018 eta 35
21 baliokideak dira, zeren ::
53018
30 618 6 3== eta :
:5
2135 721 7
53
3 = = .
Zatikiak konparatzea
Zenbakitzaileei erreparatuz, erraz konpara daitezke izendatzaile bera duten bi zatiki. Izendatzaile desberdina duten bi zatiki konparatzeko, «izendatzaile komu-nera laburtuko ditugu», hau da, hurrenez hurren horien baliokide diren eta izen-datzaile bera duten bi zatikiren bila joko dugu.
1 Zenbaki arrazionalak
1. Egia ala gezurra?a) 3 zenbakia arrunta, osoa eta arrazionala da.b) –12 zenbakia osoa da, baina ez da arrunta. Arrazio-
nala ere bada.c)
57 zenbakia arrazionala da, baina ez da osoa.
d) 3
18–
arrazionala da, baina ez da osoa.
2. Idatzi koadernoan honako hau bezalako zuzena eta kokatu bertan, gutxi gorabehera, honako zenbaki hauek:
, , , , ,,17411
520
32
716
521
27
3– – –
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
Pentsatu eta egin3. Egia ala gezurra?
a) 52 > – 7
4 lehenengoa positibo delako eta biga-rrena, negatibo.
b) 73
> 52 lehenengoa 1 baino handiago delako eta
bigarrena, 1 baino txikiago.
c) – 38 > – 7
4 lehenengoa –2 baino handiago delako eta bigarrena, –2 baino txikiago.
4. Konparatu buruz zenbaki bikote bakoitza:
a) 43 eta
34 b)
86 eta 7
8c)
53 eta
106 d) 3 eta
211
5. Ordenatu honako zatiki hauek txikitik handira:
127
64
95
43
1813
Pentsatu eta egin
Ariketa ebatzia
127 ,
85 eta
169 konparatzea. Izendatzaile komun mkt hartuko dugu: (12, 8, 16) = 48.
48 : 12 = 4 → ··7
12 47 4
12 4828= =
48 : 8 = 6 → 6 488
585 6 30
··= =
48 : 16 = 3 → 1 1 4869
6 39 3 27
··= =
Bistan denez:
484827
4828 30< <
Ondorioz:
8169
127 5< <
Zenbaki zatikiarrekin neurtzea
Neurtzea mota bereko bi magnitude erlazionatzea da.Ilargiaren bolumena Lurraren bolu-menaren 1/50 dela esaten dugunean, hartzen dugun unitatea Lurraren bolumena da. Eta grabitatea 1/6 g dela esanez gero, 1 g hartzen dugu unitate; hau da, Lurreko gainazaleko grabitatea.
Buruzko kalkulua
Sinplifikatu:
42
62
105
1510
3020
4030
4530
6040–
––
–
Buruzko kalkulua
Argi dago 32 <
47 dela, honengatik:
32 < 1
47 > 1
Konparatu:
a) 97 eta
211 b)
32 eta –
54
c) 4
17 eta 7
20 d) 235
eta 3
e) 2 eta 118 f ) 2 eta
36
Zergatik izen horiek…
Zergatik erabiltzen dugu Z zenbaki osoen multzoa adierazteko?Alemanez, zenbakia zahl idazten da.Zergatik erabiltzen dugu Q zenbaki arrazionalen multzoa izendatzeko?Ingelesez, quotient «zatidura» da: zenbaki arrazionalak bi zenbaki oso-ren arteko zatidura dira.
• Zenbaki osoak erabiliz egin beharreko eragiketak berrikusteko ariketak.
• Zenbaki osoak erabiliz egin beharreko eragiketak indartzeko ariketak.
Webgunean Zatikiak nola sinplifikatzen diren berrikusteko ariketak.
Webgunean
Iradokizunak• Hasteko,zenbakiarruntaketaosoakberrikusikoditugu.Halaber,zenbaki-eremuakhistorianzeharizandituenhedapenaetaizendapenagogora-tukoditugu.Horrezgain,etenpuntuaketazenbakizkozuzenakzenbakimultzohoriekadieraztekobaliodutelaaipatukodugu.
• Zatikiabizenbakiosorenzatidura(zenbakiosoaedozatikiarra)delakon-tuanizangodugu,etaneurrijakinbatadieraztekoosoerabilgarriadelagogoratukodugu,unitateazatikatzeabeharrezkoadenean.
• Zatikipositiboeketanegatiboek,baitazatikigisaadierazitakozenbakiosoekere,zenbakiarrazionalenmultzoragaramatzate:Qmultzora,ale-gia.Horrekin,zenbaki-eremuarenhandiagotzeariheldukodiogubestebehinere.
• Interesgarriaizandaitekeikasleekzenbakizatikiarrakzuzenbateanadie-razitaikustea,gutxigorabeherabadaere.Gogoetaegindezakete,eraberean,bizenbakirenartean(batabestetikosohurbilekoakizanikere)bestezenbakizatikiarbatzukbilatzekoaukerariburuz.
• Zatikienbaliokidetasunaegiaztatzerakoan,zatikiaklaburtezinbihurtzekoetaberdintzeaegiaztatzekoprozeduraerabilikodugu.Horrela,ikasleekemaitzazatikilaburtezingisaematekoohiturahartukodute,eskatzenezzaieneanere.
• Zatikiakkonparatzeko,izendatzailekomuneralaburtukodugu;izanere,hainbataplikaziotanosometodoerabilgarriada.
• Gaihauetanguztietan(baliokidetasuna,sinplifikazioa,konparazioa)buruzkokalkuluarenerabilerabultzatukodugu.
Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzenditugu:
•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:
Indartzeko:3.orrialdeko1etik3rakoariketak.6.eta7.orrialdeetako1etik7rakoariketak.8.orrialdeko1etik5erakoariketak.
Sakontzeko:4.eta5.orrialdeetako1etik10erakoariketak.
• INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:
Sakontzeko:Afitxako«Praktika»ataleko1.ariketa.Bfitxako«Praktika»ataleko1.ariketa.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 a)E b)E c)E d)G
2
–5 –4 –3 –2 –1 0
–7—2
2—3
16—7
20—5
17—3
–21—5
–11—4
–3,5 0,67 2,29 4 5,67–4,2 –2,75
1 2 3 4 5 6
3 a)E b)E c)G
4 a)43
34
< b)86
87< c)
53
106
= d)3211<
5 95
127
64
1813
43
< < < <
OHARRAK
18
1514
Zatikiak batzea eta kentzea
Izendatzaile bera duten zatikien arteko batuketak (edo kenketak) egiteko, horien zenbakitzaileak batu (edo kendu) eta izendatzaile bera uzten da.
Izendatzaile desberdina duten zatikien arteko batuketak (edo kenketak) egiteko, lehenengo, eraldatu egiten dira izendatzaile bera izango duten baliokideak lortzeko.
Adibidez: 125 2
6042
6025
60120
6042 25 120
60137
107 – – –+ = + = + =
Zatikiak biderkatzea
Bi zatiki biderkatuz gero, beste zatiki bat lortzen da, eta horren zenbakitzailea zenbakitzaileen arteko biderkadura izango da, eta izendatzailea, izendatzaileen arteko biderkadura:
···
ba
dc
b da c=
Adibidez: ···
038
107
3 108 7
356
1528= = =
Zatikiak zatitzea
ba zatikiaren alderantzizkoa
ab da, honengatik ·
ba
ab =
··
b aa b = 1.
Esaterako, 75 -en alderantzikoa
57 da eta 3ren alderantzizkoa,
31 . 0ak ez du alde-
rantzikorik.
Bi zatikiren arteko zatidura lehenengoa bigarrenaren alderantzizkoarekin biderkatzearen emaitza da:
:ba
dc
ba
cd
b ca d·
··= =
Adibidez: : ·549
7 49
57
2063= = ; : ·3
116
116
31
336
112= = =
Zatikia eragile (kantitate baten zatia)
Kantitate baten, 1 200 euroren kasurako, 53 zenbat den kalkulatzeko, kantitate
hori 5ekin zatitzen da (horrela, badakigu bostena zenbat den) eta emaitza 3rekin
biderkatzen da. Hau da, kantitatea 53 -ekin biderkatzen da:
53 · 1 200 € = 720 €
K kantitate baten ba zatia zenbat den kalkulatzeko,
ba · K egiten da.
Adibideak
•Postariak 4 004 gutunen 3/28 banatu behar du. Zenbat gutun banatu behar ditu?328
· 4 004 = 3 · 28
4 004 = 3,143 = 429 gutun banatu behar ditu.
•Berta enpresa baten 7/20-en jabe da. Aurten, 37 800 € hartu ditu etekinen banaketan. Zenbat irabazi du enpresak guztira?
207 -en irabazia 37 800 € izanez gero,
201 -ena
737 800 = 5 400 € izango da.
Beraz, guztizko irabazia, 2020d n, honako hau izango da: 20 · 5 400 = 108 000 €.
Emaitza hori Bertari dagokion zatia (37 800 €) enpresan duen partearen alde-
rantzizkoarekin, 720 , biderkatuz ere lor zitekeen.
37 800 · 720 =
737800 · 20 = 5 400 · 20 = 108 000 €
Osotasunaren parteek (zatikiek) 1 egiten dute.
K kantitatearen dc -ren
ba zenbat den kalkulatzeko,
ba
dc K· · egiten da.
Adibidea
Albertok 104 000 euroko jaraunspenaren 3/8 hartu du; Bertak, 5/12 eta Klaudiak, gainerakoa. Klaudiak bere zatiaren 2/5 zorrak kitatzeko erabili du. Zenbat diru gelditzen zaio?
1 – 83 –
125 =
2424 9 10– – =
245 da Klaudiaren zatia.
Dagokion kantitatearen 52 gastatu duenez,
53 gelditzen zaio:
53 ·
245 · 104 000 =
81 · 104 000 = 13 000 € gelditzen zaizkio.
2 Eragiketak zatikiekin
Buruzko kalkulua
a) 32
35
34–+ b) 1 –
32
c) 21
41+ d)
57 – 1
e) 517 – 3 f )
317 – 5
Buruzko kalkulua
Kalkulatu totaletik zer zati dagokion zatiki bakoitzari:
a) 520 000 euroren 21 .
b) 1 000 000 pertsonaren 53 .
c) 500 eraikinen 710
.
Buruzko kalkulua
Kasu bakoitzean, adierazi zenbat den kantitate totala:
a) 350 totalaren 21 da.
b) 400 totalaren 32 da.
c) 350 totalaren 107 da.
Buruzko kalkulua
Kasu bakoitzean, adierazi zer zati falta den unitatea osatzeko:
a) ,??
21
41 eta b) ,
??
32
61 eta
c) ,??
41
61 eta d) , ,
??
21
41
81 etaBuruzko kalkulua
a) :55
6 3 b) 56 : 6
c) :56
21 d) :
31
61
Buruzko kalkulua
a) 3 · 97 b) ·
54
815
c) ·21
1312 d) · ·
521
32 3
Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu emaitzak:
1. a) 97 +
1211 b) 6 –
411 c) 3 ·
54
d) 6 : 54 e)
54 : 6 f )
54 :
61
2. a) :43
67
87
1225–+d n b) ·
1513
257
229
3313– –+d dn n
3. a)
43 1
21
43 1– –
+
d n b)
( )
( )
234
56
353
31
– · –
– · –d
d
n
n
4. a) ·
·153
6254
21
43
34 15
2–
–
–
+ d
d
n
n b)
·
·34 1
3
127
65
32
95
4 65– –
– +d
d d
n
n n
Pentsatu eta egin
5. Txirrindulari baten gaurko etapako 216 kilometroen 5/9 egin du. Zenbat kilometro egin ditu?
6. Bankutik, 3 900 € atera ditut; hau da, nire aurrezkien 3/11. Zenbat diru aurreztu dut guztira?
7. 5 250 litro ur duen putzutik, 4/15 Brauliorena da; 2/5, Endikarena, eta gainerakoa, Erramunena. Erramunek bere zatiaren 3/10 tomateak ureztatzeko erabili du eta gainerakoa, fruta-arbolak ureztatzeko. Zenbat ur era-bili du Erramunek fruta-arbolak ureztatzeko?
Pentsatu eta egin
• Zatikien arteko batuketak eta kenketak berrikusteko ariketak.
• Zatikien arteko batuketak eta kenketak indartzeko ariketak.
Webgunean
Zatikiekin egin beharreko eragiketa konbinatuak indartzeko ariketak.Webgunean
Zatikiak eragile eran berrikusteko ariketak.
Webgunean
Iradokizunak• Sarritan,zatikiekineragiketakegitekoorduan,ikasleekakatsakeginohidituzte,berezikizatikiakkonplexuakdireneanetaeragiketakegitekole-hentasunaetaparentesiarenerabileraaplikatubehardirenean.
• Batuketekinetakenketekin,izendatzailekomunetakotxikienaerabiltze-koesangodieguikasleei.
• Biderkaduranetazatiduran,honakohauproposatzendugu:izendatzai-leanetazenbakitzaileaneginbeharrekobiderketakadieraztea,etabi-derkaduraeginbainolehenfaktorekomunaksinplifikatzensaiatzea.
• Zatikibatidagokionzatiakalkulatzea,kantitateosoaizendatzailearekinzatituzetazenbakitzailearekinbiderkatuz,alderantzizkoproblemarekinosatzenda(kantitateosoakalkulatzea,zatikibatidagokionzatiaezagu-tzendenean).Halaber,zatikibatenzatikiarenkontzeptuaereaurkeztukodugu,hots,kantitateosoarieragitendionbizatikienzatidura.
• Kontzeptuhoriek,etazatiakbatzea1delakoideiak,zailtasun-mailaas-kotakoproblemakebaztekoaukeraemangodieteikasleei.
Indartu eta sakonduHonakoakgomendatzenditugu:
•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:
Indartzeko:9.orrialdeko1etik5erakoariketak.12.orrialdeko1etik5erakoariketak.
Sakontzeko:9.eta10.orrialdeetako6tik11rakoariketak.13.orrialdeko6tik10erakoariketak.
• INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:
Indartzeko:Afitxako«Praktika»ataleko2,4eta5ariketak.
Sakontzeko:Afitxako«Praktika»ataleko6,7eta8ariketak.Bfitxako«Praktika»ataleko4.ariketa.
Lankidetzan ikasi
Orrialdehauetarako,etaeragiketakegitekotrebeziaindartzerabideratu-takobesteguztietarako,metodologiahonijarraitzeairadokitzendugu:
• Ikasleaktaldetxikitanbanatukodira(bikoedohirukotaldeak).
• Ikasleekadierazpenmultzobatebatzikodute,bakarka.Gero,soluzioaketaprozedurakegiaztatukodituzte.
• Ezadostasunakegonezgero,akatsakazaleratukodituzte.
Zalantzakargitzekogaiezbadira,edoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehartukodu.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 a)61/36 b)13/4
c)12/5 d)15/2
e)2/15 f) 24/5
2 a)1/2
b)2/225
3 a)3/7
b)3
4 a)865/1788
b)–1/72
5 120kmeginditu.
6 14300€aurreztuditutguztira.
7 Erramunek1225litroerabiliditufruta-arbolakureztatzeko.
19
1716
Zenbaki hamartarrak, beste gauza batzuen artean, neurriak adierazteko balio dute, zenbaki hamartarrak erabiliz, bi zenbaki osoren arteko edozein balio adieraz daitekeenez gero.Zenbaki hamartarrak zenbakien zuzenean adierazten dira, horien bidez zuzeneko edozein puntutara asko (nahi dugun adina) hurbiltzeko eran:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
3,43,33,23,13 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4
3,843,833,823,813,8 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,9
Prozesu horri jarraiki, puntu gorria zenbaki hamartar baten bidez adieraz dezakegu, nahi zango dugun adina hurbilduz (3,857…).
Zenbakien adierazpen hamartarraren bidez, zenbakiok balioztatu, konparatu eta era erosoan eta eraginkorrean joka dezakegu.
Zenbaki hamartarren motak
Zer motatako zenbaki hamartarrak dauden ikusiko dugu:• Hamartar zehatza zifra hamartarren kopuru mugatua duena da. Esaterako: 5,4; 0,97; 8; –0,0725• Hamartar periodikoa aldizka errepikatzen diren infinitu zifra hamartar
dituena da.
7,81818181… = ,7 81#
periodoa
0,735735735… = ,0 735&
Horiei periodiko puru esaten zaie, horietan periodoa berehala hasten delako komaren atzean.
, … ,, … ,
18 352222 18 3520 0454545 0 045
==
4!#
Periodiko nahasiak dira, periodoaren aurrean beste zifra hamartar batzuk dituztenez gero.
• Zehatzak ez periodikoak ez diren hamartarrak. Aldizka errepikatzen ez diren infinitu zifra dituzten zenbaki hamartarrak dira.
Adibidez: 2 = 1,4142135… π = 3,14159265…
Zatikitik hamartarrera
Zatiki baten adierazpen hamartarra lortzeko, zenbakitzailea izendatzailearekin zatitzen da. Zatidura izan daiteke:• Zenbaki osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiplo izanez gero.
Adibidez: 972 = 8;
15240– = –16
• Hamartar zehatza, zatiki sinplifikatuaren izendatzaileak 2 eta 5 faktore lehe-nak (edo horietako bat) bakarrik baditu.
Adibidez: 83 = 0,375;
40123 = 3,075;
2542 = 1,68
Hartu kontuan zergatik den horrela:
· ·
· · ,2 5123
2 5123 5
10123 25
10003075 3 075
40123
3 3 32
3= = = = =
2 eta 5 faktoreak bakarrik egonez gero, beti osa dezakegu oinarria 10 izango duen berretura izendatzailean.
• Hamartar periodikoa, zatiki sinplifikatuko izendatzaileak 2 eta 5 ez den faktore lehenen bat izanez gero.
Adibidez: 113
= ,3 6!
; 1186 = ,7 81
#;
6687 =
2229 = ,31 18
#
Zatidura zehatza baldin ez bada, zergatik da, ziur, periodikoa? Adibide baten bidez azalduko dugu: 3 : 7; zatiketa hori bazterrean dago eginda. 7rekin zatituz gero, hondarra 1, 2, 3, 4, 5 edo 6 bakarrik izan daitekeenez, uneren batean errepikatuko da eta, hortik aurrera, sekuentzia osoa errepikatuko da.
Zatiki laburtezin guztiek zenbaki hamartarrerako bidea ematen dute:•Hamartar zehatza, izendatzaileak 2 eta 5 faktoreak bakarrik izanez gero.•Hamartar periodikoa, izendatzaileak 2 eta 5 ez diren faktoreak izanez gero.Ondorioz, bata zein bestea zenbaki arrazionalak dira. Hala ere, infinitu zifra ez-periodiko dituzten hamartarrak ez dira arrazionalak.
3 Zenbaki hamartarrak
Gogoratu
Zenbaki arrazionalak zatiki eran jar daitezkeenak dira.
Gogoratu
Kalkulagailuetan, koma hamartarra-ren ordez, puntua jartzen da.
1 427,54 → {∫∫‘¢“|…∞¢}
Gogoratu
Pantaila deskriptiboa duen kalku-lagailuan, hamartarrekin eragi-nez soluzioa zatiki eran lortuz gero, hamartar bihur dezakezu Ë tekla sakatuz.
Gogoratu
Zenbakian, behin eta berriz erre-pikatzen den zifra hamartarren mul-tzoari periodo esaten zaio. Perio-doari dagozkion zifren gainean arkua jarriz adierazten da:
, ,7 18 35281# !
Adibidea
3,0 720 0,428571
60 40 50 10 3er
repi
katu
egi
ten
da
Hortik aurrera, zatidurak eta hon-darrak errepikatu egiten dira.
1. Adierazi zer motatako zenbaki hamartarra den honako hauetako bakoitza:3,52 ,2 8
! ,1 54
# 3 = 1,7320508…
2,7 3,5222… π – 2 = 1,1415926…
2. Ordenatu txikirik handira honako zenbaki hauek:,2 5!
2,5 ,2 35!
2,505005…
3. Idatzi 2,5 eta ,2 5!
zenbakien arteko hiru zenbaki.
Pentsatu eta egin
4. Egia ala gezurra?
a) 31 = 0,333… = ,0 3
!
33 = 3 · 0,333… = 0,999… = ,0 9
!
33 = 1, denez, ,0 9
! = 1 da.
b) ,45!
= ,5 44#
c) ,3 72#
= 3,7272727… = 3,727#
d) ,0 3!
+ ,0 6!
= 1
5. Zatiketa egin gabe, eta zatiki sinplifikatuko izen-datzailea bakarrik kontuan hartuta, adierazi honako zatiki hauetatik zatiki zehatzak ala hamartar perio-dikoak aterako diren:
a) 15044 b)
15042 c)
1024101 d)
5001001
6. Kalkulatu koadernoan:a) ,7 45#
– ,3 454#
b) 6 – ,3 9!
c) ,3 5!
+ ,2 3!
+ ,1 1!
Pentsatu eta egin
Iradokizunak• Hasteko,zenbakihamartarrakzuzenbateangrafikokinolaadierazibehardirengogoratukodugu.Halaber,zenbakihamartarbatenbitartezho-nakoaazaldukodugu:nolahurbildupuntubateranahidugunadina.Horilortzeko,geroetatartetxikiagoakhartukoditugu;tartehoriek,hamarzatiberdinekinhandituzetazatituz,zifrahamartarberriaadieraztendute.
• Eraberean,hamartarmotadesberdinakgogoratukoditugu,baitahoriekadieraztekoerabiltzendennotazioaere.
• Kalkulagailuaikerketa-tresnaerabilgarriaizandaitekezatikitikhamarta-rrerapasatzeko.Ikasleekkasubatzuenerregulartasunaikusikodute,kalkulagailuarenteklahauekerabiliz:zatiketa,faktorekonstanteazatike-taketazatikiakhamartarbihurtzea.Horietanguztietan,kalkulagailuaknolabiribiltzenduenizanbehardugukontuan,periodoariburuzkoza-lantzakekiditeko.
Honahemenzenbaitadibide:
– Ikasleeieskatulehenhamarzenbakiarruntak3rekinzatitzeko,a/3motako edozein zatikiren periodoa zein den jakin dezaten.Horretarako,a-k3renmultiploekinduenerlazioakontuanhartube-harkodute.
– 1/9zatiduralortzea,eta,hortikaurrera,adenedozeina/9hamartaradierazpenaidaztea.
Modubereanlaneginez,ikasleekhonakoideiahauekondorioztatube-hardituzte:zerzatikiklortzendituztenhamartarzehatzakedoperio-dikoak,etahorietakoedozeinzenbakiarrazionaladela.
• Orrialdebakoitzarenamaierakoariketakosolaguntzaonadiraikasitakokontzeptuaketaprozedurakfinkatzeko.
Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizenekokoadernotik:
Indartzeko:14.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.
Sakontzeko:6rekinzatitzeanlortzendirenbalizkoperiodoakikertzea.adenedozeina/6-rakoorokortu.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 3,52 Hamartarzehatza.
,2 8! Hamartarperiodikopurua.
,1 54$
Hamartarperiodikopurua.
3 =1,7320508… Hamartarez-zehatzaetaez-periodikoa.
2,7 Hamartarzehatza.
3,5222… Hamartarperiodikonahasia.
π–2=1,1415926… Hamartarez-zehatzaetaez-periodikoa.
2 , , , … ,2 35 52 5 2 505005 2< < <! !
3 Erantzunirekia.
4 a)E b)E c)E d)E
5 a)Periodikoa. b)Zehatza. c)Zehatza. d)Zehatza.
6 a)4 b)2 c)7
OHARRAK
20
1918
Ikusi dugunez, zatiki bateko zenbakitzailea izendatzailearekin zatituz gero, emaitza zenbaki hamartar zehatza edo periodikoa (purua edo nahasia) da. Orain, alderantzizko problema planteatuko dugu: zer zatiki dagokio zenbaki hamartar bati?
Hamartar zehatzetik zatikira
Oso erraza da zenbaki hamartar zehatza zatiki eran adieraztea, izendatzailea berrekizuna 10 duen berreketa denez gero.
Adibidez: 2,5 = 1025 =
25 ; 3,41 =
100341 ; 0,004 =
10004 = 1
250
Hamartar periodiko purutik zatikira
Bi adibiderekin, gauzatu beharko litzatekeen prozesua ikusiko dugu.
• Zifra bakar bateko periodoa: N = ,5 4!
= 5,4444…
,, …
NN
10 54 4445 44410
…==
4 Kenketa eginda, atal hamartarra desagertu egiten da:
10N – N = 54 – 5 → 9N = 49 → N = 9
49
Egiaztatzea: 49 / 9 = {∞…¢¢¢¢¢¢¢¢¢}
• Hainbat zifra dituen periodoa: N = ,6 207&
= 6,207207207…
,, …
NN
1000 6 207 2072076 2072071000
…==
3 Kenketa eginda, atal hamartarra desagertu egiten da:
1 000N – N = 6 207 – 6 → 999N = 6 201 → N = 999
6 201
Egiaztatzea: 6 201 / 999 = {\…“≠|“≠|“≠|}
Zenbaki periodiko purua, N, zatiki eran idazteko:•N berrekizuna 10 duen berreketa batekin biderkatuko dugu atal hamartar
bera duen beste zenbaki bat aurkitzeko.•Bi zenbakien arteko kenketa eginez gero, zenbaki osoa lortuko dugu.•N bakanduta, aurkitu nahi izan dugun zatikia lortuko dugu.
Hamartar periodiko nahasitik zatikira
• Zatiki eran adieraziko dugu N = ,52 63#
:
N = 2,5636363… 10ekin biderkatuko dugu hamartar periodiko purua lortzeko.
10N = 25,636363… Orain, 100ekin biderkatuko dugu atal hamartar bera duen beste bat lortzeko.
1 000N = 2 563,636363… Azken hori besteari kenduz gero, atal hamartarra desagertu egiten da. Hau da, zenbaki osoa lortzen da.
1 000N – 10N = 2 563 – 25 → 990N = 2 538 → N = 990
2538
Egiaztatzea: 2 538 / 990 = {“…∞\«\«\«\«\}• Beste adibide bat: N = ,0 07324
& = 0,07324324324…
100N = 7,324324… Periodiko purua lortzen da. 100 000N = 7 324,324324… Beste bat, zati hamartar berarekin.
100 000N – 100N = 7 324 – 7 → 99 900N = 7 317 → N = 999007 317
Egiaztatzea: 7 317 / 99 900 = {≠…≠|«“¢«“¢«“¢}
Zenbaki periodiko nahasi bat, N, zatiki eran idazteko:•N bi aldiz biderkatuko dugu berrekizuna 10 duten berreketen bidez, periodo
bereko bi zenbaki hamartar periodiko puru lortzeko.•Horien arteko kenketa eginez, zenbaki osoa lortzen da.•N bakanduta, nahi genuen zatikia lortzen da.
Hamartar ez-periodikoak
Periodiko ez diren infinitu zifra hamartar dituzten zenbaki hamartarrak ezin dai-tezke zatiki eran jarri. Beraz, ez dira arrazionalak. Adibidez:•0,121221222122221… Erregulartasuna egon arren, ez dago periodikotasunik.
•π = 3,141592653589…• 2 = 1,414213562373…
π-ren ondoz ondoko zifra hamartarrek ez dute erregulartasunik. Gauza bera gertatzen zaie 2-ri eta gainerako erro zehaztugabeei ere.
4 Hamartarretik zatikira
Hartu kontuan
N bider 10 eginez gero, atal hamartar bera izango duen beste zenbaki bat lortuko da.
Hartu kontuan
N bider 1 000 eginez gero, atal hamartar bera izango duen beste zenbaki bat lortuko da.
1. Adierazi zatiki eran:
a) 6,2 b) 0,63 c) 1,0004
d) ,53!
e) ,0 1!
f ) ,2 7!
g) ,0 23#
h) ,41 041&
i) ,40 028&
j) ,5 9!
k) ,7 009&
l) ,0 99#
2. Hartu kontuan: , , ,0 208 0 791 0 999 1+ = =& & &
.Egiazta ezazu, batugai bakoitza zatiki eran adieraziz eta zatikiak batuz.
3. Egin aurreko orrialdeko 6. ariketako b) eta c) atalak, aurretiaz hamartarrak zatiki bihurtuz eta zatikiokin eraginez.
Pentsatu eta egin
4. Kasu bakoitzean, osatu zenbakiak zatiki eran adierazteko prozesua:
a) ,, …
, …, …
NNN
6 217 1001000
6 21777621 777776 217 7777
===
*!
b) ,,
,,
NNN
1000100000
0 031620 031626231 6262623162 626262
……
…
===
*#
5. Adierazi zatiki eran honako hamartar hauek:a) ,6 25
! b) ,0 001
! c) ,05 18
#
6. Honako zenbaki hauetako zein dira arrazionalak? Adieraz itzazu zatiki eran:a) 3,51 b) 5,202002000… c) ,5 03
#d) 0,3212121… e) π = 3,141592… f ) ,7 4331
&
7. Dagozkien zatikiak lortuz, egiaztatu ,5 48#
= ,5 484#
dela.
Pentsatu eta eginArrazoibiderako laguntza: hamartar periodiko purutik zatikira pasatzea.
Webgunean
Arrazoibiderako laguntza: hamartar periodiko nahasitik zatikira pasatzea.
Webgunean
Zenbaki hamartarrak zatiki eran adierazteko adibideak.
Webgunean
Iradokizunak
• Ikasleekbadakitezenbakiarrazionalakzatikieranjardaitezkeela,etaza-tikihoriekinzenbakiosoedohamartarzehatzedoperiodikoaklordai-tezkeela.Orrialdehauetan,ordea,alderantzizkoarazoariheldukodiogu:zenbakihamartarzehatzedoperiodikobatidagokionzatikiabilatzea,alegia.
• Zenbakihamartarzehatzeidagokienez,zatikibaliokidebatbilatube-harkodugu,izendatzaileaberrekizuna10duenberreketaduena.Gero,sinplifikatukodugu.Prozesuaosoerrazada.Hamartarperiodikoekin,or-dea,ezdagauzaberagertatzen;horidelaeta,hainbatazalpenargigarribilduditugu,ikasleekprozesuaulerdezaten.Hainbataldizaplikatuzge-ro,ikasleekprozedurabarneratukodute.
• Prozeduraikastekohainbatariketaplanteatudaitezke.Adibidez:
– 1tik 9rakodigituak 9rekin zatitzea, etaperiodoari erreparatzea.Horrela,honakoaikusdezakegu:
, , , ,0 898
5 8 598
953
etahorrenbestez= = + =! !
– 10etik100rakozenbakiak99rekinzatitzea,etabizifrarenperiodoarierreparatzea.Horrela,ondoriohauaterakodugu:
, ,5 17 175 0 59917
99512
= + = + =$ $
– Hamartarperiodikonahasietarakoantzekoteknikaerabildezakegu:
8,,
,2 13710
21 3721 37 21
9937
992 116
= = + =$ $ $
,/
2 13710
2 116 999902 116
= =$
• Ideiahaunabarmendukodugu:prozesuhauhamartarfinituedoperio-dikoetarabakarrikaplikadaiteke.Halaber,infinituzifraez-periodikodituz-tenhamartarrakezindirazatikieraneman.
Indartu eta sakondu
Honakohauekgomendatzenditugu:
•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.Koadernotik:
Indartzeko:14.eta15.orrialdeetako4tik8rakoariketak.
• INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofokopia-tzekomaterialetik:
Indartzeko:Afitxako«Praktika»ataleko3.ariketa.
Sakontzeko:Bfitxako«Praktika»ataleko2.eta3.ariketak.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 a)31/5 b)63/100 c)10004/10000 d)32/9
e)1/9 f) 25/9 g)23/99 h)41000/999
i) 39988/999 j) 54/9 k)7002/999 l) 99/99=1
2 999208
999791
999999+ = =1
3 b)2 c)7
4 a)5526/900=1399/225 b)3131/99000
5 a)563/90 b)1/900 c)4968/990=276/55
6 a)351/100 b)Ezdaarrazionala. c)498/99=166/33
d)318/990=53/165 e)Ezdaarrazionala. f) 74257/9990
7 8 8
8 8
,
,, ,
N N N
M M M
5 48 100 54399543
5 484 1000 10 5 4309905 430
99543
5 48 5 484–
–
= =
= = ==
_
`
a
bbb
bb
$$
$ $
21
Ariketak eta problemak
21
Ariketa eta problema ebatziak
20
Egin
Zatikiak eta hamartarrak
1. Sinplifikatu honako zatiki hauek:
6024
72114
6851
3926
50125
400225
2. Taldekatu zatiki baliokideak.
4921
3624
54
2114
1510
3515
73
3. Atal bakoitzean, laburtu izendatzaile komunera eta ordenatu txikitik handira:
a) 65 ,
53 ,
32 ,
107 ,
158
b) – 21 , – 5
8, –
127 , –
43
c) 2411 , –
47 ,
83 , –
61 , 5
12, – 5
3
4. Adierazi zenbaki osoaren eta zatikiaren arteko batuketa eran, adibidean bezala:
• 38 =
36 2+ =
36 +
32 = 2 +
32
a) 58 b) 15
8 c)
716 d) –
23 e) –
37
5. Adierazi zenbaki hamartar eran honako zatiki hauek:
13259
913
623
20017
75
990233
22
6. Zatiketa egin gabe, adierazi zein diren hamartar zehatzak eta zein diren hamartar periodikoak.
23
54
913
··
3 57 11
2 ·2 5
192
·· ·5 7
3 7 232
7. Sailkatu honako zenbaki arrazional hauek zatiki zehatz edo periodikotan (saiatu zatiketa egin baino lehen erantzuten):
34
52
501
1113
6017
25081
8. Idatzi hamartar bikote bakoitzaren arteko hiru zenbaki:a) 1,6 eta 1,8 b) 0,98 eta 1 c) 0,28 eta 0,29d) 0,345 eta 0,346 e) ,2 3
! eta 2,4 f ) – 4,5 eta – 4,4
9. Ordenatu txikitik handira atal bakoitzean:a) 3,56; ,53 6
!; ,3 5!
; ,3 56#
b) –1,32; – ,31 2!
; – ,1 32#
; – ,1 3!
10. Adierazi zatiki eran.a) 3,7 b) 0,002 c) –1,03d) ,52!
e) ,0 21#
f ) ,14 3!
11. Adierazi zatiki eran.a) ,30 2
! b) ,01 3
! c) ,00 12
#d) – ,3 15
# e) , 55 34
! f ) ,09 9
!
Eragiketak zatikiekin
12. Kalkulatu eta sinplifikatu buruz honako adieraz-pen hauek:
a) 2 + 31 b)
21 +
41 c)
21 –
51
d) 2 · 54
e) 32 : 2 f )
53 ·
31
g) 32 ·
49 h)
712 : 3 i)
37 · 21
13. Kalkulatu buruz zenbat den:
a) 60ren 32 b) 100en
43 c) 500en
5003
d) 32 -en erdia.
e) 712 -en herena.
f ) – 6ren bostenaren erdia.
14. Kalkulatu buruz zer zenbaki eskatzen den bakoi-tzean:a) Zenbaki baten bi heren 22 da. Zer zenbaki da
hori?b) Zenbaki baten bost laurden 35 da. Zer zenbaki da
hori?c) Kantitate baten zazpi hamarren 210 da. Zer kanti-
tate da hori?
15. Laburtu zatiki batera.
a) 3 +
72321
– b)
–
65
127
41
32
– c)
·
51
21
87
53
–
1. Eragiketak zatikiekin
Kalkulatzea eta sinplifikatzea.
21 2
34 1
2
23 4
35
37
2
– – –
– –
d
d
dn
n
n
Eragiketak pausoz pauso egingo ditugu, kontuan hartuz parentesiak eta eragiketen arteko lehentasuna. Pauso bakoitzean, emaitza partzialak sinplifikatuko ditugu.
–
23
34
23 4
3
2
23
1
67
1
6734
65
61
5–
–
– ––=
+= =
+d
d
n
n
2. Hamartar periodikoak
, 94 12!
eta 4,13 zenbakiak zatiki beraren bidez adierazten direla egiaztatzea.
Zeuk egin. Zer hamartar zeha-tzekin identifika ditzakegu ,5 9
!;
,8 39!
eta , 90 00!
zenbakiak?
, 94 12!
zatiki eran adieraziko dugu:
N = , 94 12!
→ , …, …
NN
1000 4129 999100 412 999
==
* Atalez atal kenduko dugu:
1 000N – 100N = 4 129,999… – 412,999… → 900N = 4 129 – 412 = 3 717
N bakanduko dugu → N = 900
3717 = 100413 = 4,13
3. Zatikiekin banatzea
Hiru neska-lagunek, saria ira-bazi eta gero, honela banatu dute: Mireni totalaren 2/5 dagokio; Monikari, Mirenek hartu duenaren 2/3 eta Pau-leri, gainerakoa. Bakoitzak elkarte bati eman dio seirena. Monikak, bere zatia eman eta gero 36 € lortu ditu. Totalaren zer zati hartu du bakoitzak? Zer kantitate hartu du bakoi-tzak?
Mirenek sariaren 2/5 hartu du.
Monikak, ·32
52
154= , eta Paulek, gainerakoa, hau da: 1 5
2154
31– + =c m
1/6 eman eta gero, bakoitzak dagokionaren 5/6 hartuko du.
Monikak 36 € hartu ditu; hau da, totalaren · 15 92
65 4
9020= = ; ondorioz,
banatuko den saria da:
36 · 29 = 162 €
Mirenek hartuko duen zatia totalaren ·52
31
65 = da; Monikarena, 9
2 ; eta Pau-lerena, 3
165
185· = .
Mireni 162 · 31 = 54 € emango dizkiote; Monikari, 36 €, eta Pauleri,
162 · 185 = 45 €.
4. Txorrotak eta zatikiak
A txorrotak 2 orduan betetzen du depositua eta B txorrotak, 3 orduan. Deposituaren hus-tubideak 6 orduan husten du, txorrotak itxita daudela. Bi txorrotak eta hustubidea irekiz gero, zenbat denbora beharko da depositua betetzeko?
A txorrotak depositua 2 orduan betez gero, ordubetean horren 1/2 beteko du.B txorrotak, ordubetean, deposituaren 1/3 betetzen du.Hustubideak ordubetean deposituaren 1/6 husten du.Hirurak batera irekiz gero, ordubetean beteko da:
1/2 + 1/3 – 1/6 = deposituaren 2/3
Beraz, denbora hau beharko da: 1 : 32 = 2
3 h = 1,5 h = 1 h 30 min.
Iradokizunak• «Ariketaetaproblemaebatziak»izenekoorrialdean,ikasleekhainbates-trategia,iradokizun,jarraibideetapistaaurkitukodituzte;horiekguztiakosoerabilgarriakizangozaizkieunitatearenamaierakoorrialdeotakopro-blemakebazteko.
• Atalarenhelburuahonakohauda:ikasleek,egoeraproblematikobate-kintopoegitendutenean,problemakebaztekoprozedurakerabiltzekogaiizatea.
«Zeuk egin» atalaren soluzioak
2 6;8,4eta0,01hamartarzehatzekinidentifikaditzakegu,hurrenezhurren.
«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak
1 ; ; ; ; ;6024
52
72114
1219
6851
43
3926
32
50125
25
400225
169= = = = = =
2 4921
3515
73
= = 3624
2114
1510
= = 54
3 a) 8, , , ,3025
3018
3020
3021
3016
158
53
32
107
65
< < < <
b) 8, , ,2412
2415
2414
2418
43
85
127
21– – – – – – ––< < <
c) 8, , , , ,2411
2442
249
244
2410
2440
47
35
61
83
125
2411– – –
– – –< < < < <
4 a)153
+ b) 187+ c) 2
72+ d) 1
21– – e) 2
31– –
5 , ; , ; , ; ,259 0 36
913
1 4 3623
3 820017 0 085= = = =
! !
, ; , ; ,75
0 714285 35 590990233
0 22213
0= = => ?;;;; > ?;;$
6 Hamartarzehatzak→ , ,·
,·
· ·23
54
2 519
5 73 7 23
2
2
Hamartarperiodikoak→ ,··
913
3 57 11
2
7 Hamartarzehatzak→ , ,505
2 125081
Hamartarperiodikoak→ , ,6017
34
1113
8 Erantzunirekia.
9 a) , , , ,3 5 56 63 56 3 3 5< < <! $ !
b) , , , ,1 3 32 21 1 3 1 32– – – –< < <! $ !
10 a)1037
b)10002
5001= c)–
100103
d)923
e)9921
337= f)
9129
343
=
11 a)9029 b)
9093
3031
= c)1652
99012 =
d)33104
99312
= e)9004 811
f)90819
12 a)7/3 b) 3/4 c) 3/10 d) 5/2 e) 1/3
f) 1/5 g)3/2 h)4/7 i) 49
13 a)40 b)75 c)3 d)1/3 e)4/7 f) –3/5
14 a)33 b)28 c)300
15 a)7/11 b)–5/3 c)–7/4
22
22 23
Ariketak eta problemak16. Egin ariketak eta, faktoretan deskonposatuz, sin-
plifikatu adibidean bezala:
• 2115
257
21 2515 7
3 7 5 53 5 7
51·
··
· · ·· ·= = =
a) ·53
2120 b)
256
185· c)
712
3635·
d) 169
2720· e) 13
12 6584· f )
3590
3614·
17. Laburtu honako adierazpen hauek zatiki bakar batera:
a) ·1 1 121
4 8 16– –
b) 53
41 2
43
52 1– – –+ +d dn n
c) ·131 1 1 1
43
2 3 4– –+ +d d dn n n
d) 331 1
43
21
32
203
5– – – –+ +d dn n> H
18. Kalkulatu pausoz pauso eta, gero, kalkulagailuan zatikiaren eta parentesiaren teklak erabiliz, egiaztatu emaitzak.
a) · :31
21
32
34
21
43– –+ +d n
b) ( )3 141 2
32
83– – –
2+d n
c) · :65
31
35
25 2
41 2
21– –+ +d dn n> H
19. Kalkulatu eta egiaztatu kalkulagailuarekin.
a) : :542 1 3
21
41– –+d dn n
b) 32
41 132 6
165
3– ––
2 2d dn n
c) 83 3
53
2017 1
31 3– – – – · –d dn n> H
d) :3 3
2 1291 13
32– ––
2+d d dn n n> H
20. Kalkulatu, aurretiaz zatiki bihurtuz.a) 3,5 + ,2 3
! b) ,10 2
! – 0,2
c) ,1 6!
– ,01 2!
d) ,3 42#
+ ,7 6!
e) ,2 3!
+ ,4 6!
f ) ,6 17#
+ ,3 82#
Erabili ikasi duzuna21. 288 orrialdeko liburuaren 3/8 irakurri dut.
Zenbat orrialde falta dira liburua amaitzeko?
22. Jonek 1,60 m-ko altuera du, aitaren altueraren 5/6. Zer altuera du Jonen aitak?
23. Ikasgela bateko 28 ikasleetatik, 4/7-ek dena gain-ditu dute; azken horietatik, 1/8-ek bikain atera dute batez beste. Zenbat ikaslek atera dute bikain? Zenba-tek ez dute gainditu gairen bat?
24. Julenek bere diruaren 1/3 liburutan eralgi du eta 2/5, diskotan. 36 € ditu sobera. Zenbat diru zuen?
25. 600 g zerealen nahastean, 7/15 garia da; 9/25, oloa eta gainerakoa, arroza.a) Zer zati dagokio arrozari?b) Zereal bakoitzaren zer kantitate dago?
26. Liburutegi bateko 300 liburuetatik, 1/6 olerki-liburuak dira; 180, eleberriak eta gainerakoak, histo-riari buruzkoak. Zer zati dira historiari buruzkoak?
27. Bidoi bat oliotik, lehenengo, erdia atera da eta, gero, gelditzen zenaren bostena. Hiru litro gelditzen dira bidoian oraindik. Zer edukiera du bidoi horrek?
28. Fruta-denda batean, eguneko salmenten 5/6 frutei dagokie eta gainerakoa, barazkiei. Fru-tak salduz sartu den diruaren 3/8 laranjei dago-kie eta egun horretan 90 € sartu dira. Zenbat diru bildu da guztira? Zer zati dagokie barazkiei?
Ebatzi problemak 29. Bankuko kontutik, lehenengo, 3/8 atera dugu
eta, gero, geratzen zenaren 7/10. Orain, 1 893 euroko balantza dago. Zenbat diru zegoen hasieran?
30. Olio-depositu baten erdia hustu da; gero, geldi-tzen zenaren erdia; gero, gainerakoaren 11/15. Orain, 26 l daude. Zenbat litro zeuden hasieran?
31. Epeka, 540 euroko bizikleta erosiko dut. Lehe-nengo hilean, 2/9 ordaindu dut; bigarrenean, ordaintzeko gelditu denaren 7/15 eta, gero, 124 €.a) Zenbat ordaindu dut bakoitzean?b) Prezioaren zer zati gelditzen zait ordaintzeko?
32. 10 kg aran erosi dira marmelada egiteko. Hezu-rrak kenduta, pisua 1/5 txikiagotu da. Gelditzen dena azukre kantitate berarekin egosi da eta, egoske-ran, pisuaren 1/4 galdu da. Zenbat kilo marmelada lortu dira?
33. 120 m luze den zelai angeluzuzen baten metro karratua 50 euroan jarri da salgai, bi sail bereizita. Lehenengo saila zelaiaren 7/12 da eta 140 000 euroan saldu nahi da. Zer zabalera du zelai horrek?
34. Bi nekazarik, aita-semeak dira, bi orduan egin dute lan lursail bat goldatzeko. Aitak, bakarrik lan eginez gero, 6 ordu beharko ditu. Zenbat denbora beharko du semeak berak bakarrik lan hori egiteko?
35. Iturri batek 9 orduan betetzen du depositu bat. Txorrota ez ezik hustubidea ere irekiz gero, 36 ordu beharko dira. Zenbat denbora beharko du hustubi-deak depositua husteko, txorrota itxita egonez gero?
Problema korapilatsuagoak 36. Lagun talde batekoak pizzeriara joan dira bazkal-
tzera eta hiru motatako pizzak eskatu dituzte: A, B eta C. Bakoitzak A pizzaren 1/2, B pizzaren 1/3 eta C pizzaren 1/4 hartu du; guztira, 17 pizza eskatu dituzte eta, normala denez, ez da pizza osorik sobera gelditu.a) Pizza bat baino gehiago ala gutxiago hartu du
bakoitzak? Zenbat lagun dira?b) Mota bakoitzeko zenbat pizza eskatu dituzte? Egon
al da zatirik sobera?c) Erantzun galdera berei, 20 eskatu dituztela jota.
37. Honako hau irakur daiteke piku-marmelada egi-teko errezeta batean: «gehitu 400 g azukre eta, piku-kilo bakoitzeko, 100 g ur». Merkatuan postua duten A, B eta C lagunek honako kantitate hauek prestatu dituzte:A → 5/8 kg-ko 2 ontzi eta 9/25 kg-ko 4 ontzi.B → 1/5 kg-ko 3 ontzi eta 5/8 kg-ko 3 ontzi.C → 9/25 kg-ko 5 ontzi eta 1/5 kg-ko 2 ontzi.a) Hiruretako zeinek prestatu du kantitaterik han-
diena?b) Pertsona batek 3/4 kg eskatuz gero, zein da kanti-
taterik hurbilena emateko modua?c) Egostean, ura lurrundu egiten da; zer azukre-
proportzio du marmeladak?
Egin teoriari buruzko gogoeta 38. Honako zenbaki hauetako zein ez dira arraziona-
lak? Idatzi zenbakiok zatiki eran, posible izanez gero:a) 0,018 b) 2 c) 1,212112111…d) 2π e) 7,03232… f ) ,0 23
#
39. a) Adierazi hamartar eran honako hauen balioa:
…107
1007
10007+ + +
b) Idatzi emaitza zatiki eran.
40. Bilatu 1/3 eta 1/2 zatikien arteko lau zenbaki zatikiar. Zenbat daude?
41. Zatitu 3rekin 10etik beherako hainbat zenbaki eta erreparatu emaitzei. Zer gerta daiteke 3rekin zatitzen dugunean?Aurresan ditzakezu 30 : 3; 31 : 3 eta 32 : 3 zatiketen zatidurako zifra hamartarrak?a : 3 zatiketaren zatidurako atal hamartarra 6666… da. Zenbat izan daiteke (a + 1) : 3-ren eta (a + 2) : 3-ren atal hamartarra?
42. Egia ala gezurra? Azaldu eta eman adibideak.a) Arrazionalak ez diren zenbaki hamartarrak daude.b) Bi zenbaki hamartar zehatzen zatidura beti da
hamartar zehatza.c) Bi zenbaki hamartar periodiko puru batuz gero,
hamartar periodiko purua lortzen da beti.d) Zenbaki oso guztiak adieraz daitezke zatiki eran.
43. Honako zatiki hauetako zein da a /b -ren balio-kide ?
ba
11
++
ba
32
bab
2 ba
22
44. Jakinik a > b > c > 0 dela, konparatu honako zatiki bikote hauek eta adierazi zein den txikiena kasu bakoitzean:
a) ba
caeta b) c
acbeta c) a
bcbeta
45. Zatitu 11rekin 1etik 10erako zenbakiak eta idatzi emaitzak.a) Zenbat hamartar desberdin atera daitezke?b) Ba al du erlaziorik horrek 11rekin zatitzearekin?c) Aurresan dezakezu zenbat den 23 : 11 eta 40 : 11
zatiketen emaitza?
35 12hbeharkoditu.
36 a)13/12pizza,pizzabatbainogehiago.15lagundira.
b)Amotako8,Bmotako5,etaCmotako4.Apizzaren1/2egondasobera,etaCpizzaren1/4.
c)Bakoitzakpizzaren13/12hartudu,pizzabatbainogehiago.18la-gundira.
37 a)Alaguna.b)1/5ekopotobateta9/25ekobat.c)2/7→%28,6
38 a)18/1000 b)Ezdaarrazionala. c)Ezdaarrazionala.
d)Ezdaarrazionala. e)6962/990 f) 23/99
39 a)0,777...=0,7! b)7/9
40 Erantzunirekia.Infinitudaude.
41 3rekinzatitzendugunean,3koedo6koperiodoaduenzenbakihamar-tarperiodikopurubatedozenbakizehatzbatlordezakegu.
30:3→Ezdaukazifrahamartarrik.
31:3→3koperiodoaduenperiodikopurua.
32:3→6koperiodoaduenperiodikopurua.
(a+1):3→Ezdaukazatihamartarrik.
(a+2):3→3koperiodoaduenperiodikopurua.
42 a)E b)G c)E d)E
43 .:bab
ba
ba
eta honako honenbaliokideak dira2 2
2
44 a)ba
ca
< b) cb
ca
< c) ab
cb
<
45 a)10hamartardesberdinateradaitezke.
b)Bai. c) , ; ,1123
2 091140
3 63= =$ $
«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak
16 a)4/7 b)1/15 c)5/3 d)5/12 e)7/5 f) 1
17 a)13/32 b)1 c)59/48 d)–1/3
18 a)–1 b)15/8 c)11/4
19 a)–26/3 b)0 c)–3/4 d)–3
20 a)35/6 b)–13/165 c)29/45 d)122/11 e)7 f) 10
21 180orrialdefaltadiraliburuaamaitzeko.
22 Jonenaitak1,92metrokoaltueradu.
23 Bikain:2ikaslek.12kezdutegairenbatgainditu.
24 135eurozituen.
25 a)13/75b)280ggari,216goloeta104garroz.
26 7/30dirahistoriariburuzkoliburuak.
27 Bidoiak7,5litrokoedukieradu.
28 288eurobildudiraguztira,eta48eurodagozkiebarazkiei.
29 Hasieran10096eurozeuden.
30 Hasieran540litrozeuden.
31 a)120€,196€eta124€. b)Prezioaren5/27
32 12kgmarmeladalortudira.
33 Zelaihorrek400metrokozabaleradu.
34 Semeak3hbeharkoditu.
23
24 25
Matematika-lantegia
Jo informazio bilaGauss izeneko mutikoa
Duela bi mende luze, bere ikasgelan bakea eta trankiltasuna lortu nahi zuen Alemaniako maisu batek 1etik 100era arteko zenbakien batura kalku-latzeko eskatu zien.Carl Friedrich Gauss-i honako hau bururatu zitzaion:
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101Argi zegoenez, batura 50 · 101 = 5 050 zen.Maisu gaixoari gutxi iraun zion bakeak.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Newton eta Arkimedesekin batera, matematikaren historiako hirukoterik gorena osatzen du. Gaussen lanak era-gin iraunkorra izan du matematikaren garapenean.
24
Matematika-lantegia
1. Egin eragiketa eta sinplifikatu emaitza.
:21 3 5
2 1 95 4 3
2 2– – – –c cm m> H2. Kalkulatu zenbat den honako batuketa honen
emaitza, aurretiaz hamartar bakoitza zatiki bihurtuz:
, , ,1 89 028 0 720– + +! # #
3. Kasu bakoitzean, idatzi ageri diren bi zenbakien arteko hiru zenbaki:
a) 203 eta 25
4 b) , ,2 7 2 8eta! !
4. Zatiketa egin gabe, adierazi hamartar zehatzak ala periodikoak diren honako zenbaki hauek.
5089
12113
3223
718
5. Bi kaxa sagar salgai jarri dira 2,50 euroan kiloa.
Lehenengoa totalaren 5/12 da eta 50 euroan saldu da.
Zenbat kilo sagar zeuden kaxa bakoitzean?
6. Kiroldegi bateko erabiltzaileen artean, bostena 60 urtetik gorakoa da eta hirutik bi 25 eta 60 urte bitar-tekoak dira.
a) Erabiltzaileen zer zati da 25 urtekoa edo gaztea-goa?
b) Erabiltzaileak 525 dira. Adin talde bakoitzeko zenbat daude?
7. Gustatzen zaidan bizikleta erosiz gero, hiru epe-tan ordaindu beharko dut. Lehenengoan, totalaren 3/10 ordaindu beharko dut; bigarrenean, ordain-tzeko geldituko denaren 4/5, eta hirugarrenean, 21 euro bakarrik. Zenbat balio du bizikletak?
8. Egia ala gezurra?
a) Zatiki guztiak zenbaki arrazionalak dira.
b) Zenbaki arrazional guztiak zatikiarrak dira.
c) Zenbaki osoak zatiki eran adieraz daitezke.
d) Zatikia beti da zenbaki hamartar periodiko baten baliokide.
e) Zenbaki hamartar periodikoa zenbaki arrazionala da.
Autoebaluazioa
Jokatu zuhurKoma-kontuaToki egokian koma idatziz gero, honako adierazpen hau egia izango da:
«bost bider lau hogei gehi bat, hogeita bi»Argitu al dezakezu?
Trebatu problemak ebatziz •Bitxi-saltzaile batek 140 euroko deskontua lortu zuen
16 paparreko orratz erostean; bitxi bakoitzaren prezioa, katalogoaren arabera, 87,5 eurokoa zen.Zer preziotan saldu beharko du paparreko bakoitza, guztira 500 euroko irabazia lortu nahi izanez gero?
•Martak hiru opil erosi ditu eta Batirtzek, bi. Askal-tzekotan zeudela, haien adiskidea, Beronika, batu zaie eta ez du opilik ekarri. Gastuak partekatzeko orduan, Beronikak 5 € ipini behar ditu.
Nola banatuko dituzte 5 euro horiek Martak eta Batirtzek?
•Lagun talde bat kafetegian sartu da. Denek eskatu dute kafea eta bostenak, gainera, opila. Kafearen prezioa 0,85 € da eta opilarena, 1,10 €.Ordaintzeko, 11 € eman dizkiote mutilari.Utzi al dute eskupekorik? Erantzuna baiezkoa izanez gero, zenbatekoa izan da?
•Gizon batek zerbitzaria hartu zuen lanerako eta, urtean, urrezko hamaika txanpon eta zaldi batekin ordainduko ziola agindu zion. Lau hilabete igarota, zerbitzariak lana utzi eta zaldia eta txanpon bat hartu zuen.
Zenbat balio zuen zaldiak?
Irakurri, hausnartu eta atera ondorioakNahastea beste batuketa batekinMatematika logika hutsa eta zehatza da beti. Hala ere, batzuetan, kontraesanak ageri direla dirudi. Esate baterako, erreparatu infinitu batugaiko honako batuketa honi:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …Bi eratan interpreta daiteke:
( ) ( ) ( )( ) ( )
SS
1 1 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 0 1
– – – … …– – … …
= + + + = + + + == + + + + + = + + + =
4 hau ustekabea!
Eta nahastea txikia dela iritziz gero, nahaste handiagoa sortu daiteke:1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = S
Hau da 1 – S = S. Beraz, S = 21 ustekabe itzela!
•Non dago trikimailua? Infinitu batugai hartuz gero, logikaren bidea galtzen al da? Zer uste duzu?
Ariketa hauek ebaztea.Webgunean
eta ikasiizan ekimena
Jo informazio bila
Gauss izeneko mutikoa
• AtalhonetanGaussenbatuketarenpasadizoariburuzkotestulaburbatirakurrikodugu.Horrekaukeraemangodiguikasleeieskatzekohistoriakomatematikaririkgarrantzitsuenetakobatiburuzkoinformazioabilatzeko.
• Biografietan,historia-liburuetanetaentziklopedietan,pasadizohorriburuzko100bertsiotikgoradago.Kontatzekomoduabatetikbesteraaldatzenbadaere,denekdutejatorribera:W.Sartoriusek,Götingen-ekounibertaitatekoirakaslebatek,Gausshilondorengourteanargitaratutakobiografiabat.Izanere,Gaussekunibertsitatehorretangaratuzuenberejardunmatematikoa.
Irakurri, hausnartu eta atera ondorioak
Nahastea beste batuketa batekin
• Infinitubatugaienartekobatuketakerronkalogikobatplanteatzendu:S = 1 – 1 + 1 –1+…HorriGrandirenserieadeitzenzaio,etahonakohauegiaztatzeangertatzenda:seriearekinegitenditugunaldaketekba-tuketazeindenesatenezdigutenean.Parentesiaklekuzaldatutasoilik,aurkakobiondorioaterakoditugu.Horrekargiadieraztenduserieinfini-tuetanedozergertadaitekeela.
• Egokiadelapentsatuzgero,irakasleakikasleeieskatukodiebatuketapartzialakkalkulatzeko(bilehengaienartekobatuketa,lehenhirugaienartekobatuketa,etab.).Gero,ikasleekbegiratukodutebatuketapartzialhoriekzenbakifinkobateranzkojoeradutenalaez(zenbakifinkohoriserieosoarenbatuketaizangolitzateke).Kontrakokasuan,serieakezdubatuketarik.
Jokatu zuhur
Koma-kontua
Soluzioak
• 5×4,20+1=22
Trebatu problemak ebatziz Soluzioak
• Paparrekobakoitza110€-ansaldubeharkodu.
• 4€Martarentzateta1€Batirtzerentzat.
• 30zentimokoeskupekoautzidute.
• Zaldiak4txanponbaliozuen.
Autoebaluazioaren soluzioak
1 26/45
2 –1,14!
3 Erantzunirekia.
4 Zehatzak:89/50eta23/32.Periodikoa:113/12eta18/7
5 Lehenkaxan20kgzeuden,etabigarrenean,28kg.
6 a)2/15
b)60urtetikgorakoak:105.25eta60urteartean:350.25urtetikbehe-rakoak:70.
7 Bizikletak150eurobalioditu.
8 a)E b)G c) E d)G e) E
OHARRAK