http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 1
Теория автоматического управления
2 семестр Тема 6
Частотный критерий Михайлова
Теория
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Данная группа критериев позволяет судить об устойчивости САУ по виду
их частотных характеристик. Они являются графоаналитическими и широко
применяются по следующим причинам:
позволяют оценить устойчивость САУ даже по экспериментальным ча-
стотным характеристикам, когда уравнение динамики САУ неизвестно;
- легко применимы для САУ высоких порядков;
- имеют простую геометрическую интерпретацию;
- имеют большую наглядность.
В основе частотных критериев лежит Принцип аргумента.
Пусть дан некоторый полином n-й степени
F(p)= 01
1
1 ... apapapa n
n
n
n
.
В соответствии с теоремой Безу его можно представить в виде:
F(p)= ))...()(( 21 nn ppppppa , (1)
где iii jp - корни уравнения F(p)=0 – рис. 1, а.
На комплексной плоскости каждый корень рi может быть изображен век-
тором, проведенным из начала координат в произвольную точку на плоскости
(рис. 1, б). Сомножитель (р-р i ) соответственно является геометрической раз-
ностью вышеуказанных векторов (рис. 1, в). А его модуль и агрумент рассчи-
тываются как
arctgPP ii arg;22 При замене р на j конец элемен-
тарного вектора (j-p i ) будет на мнимой оси в точке с координатами (0, j)
(рис.1, г). Соответственно, выражение (1) преобразуется к виду
F(j)= ))...()(( 21 nn pjpjpja . (2)
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 2
Данное выражение - это вектор, равный произведению элементарных век-
торов на действительный множитель n . Модуль этого вектора равен произве-
дению элементарных векторов
F(j) = nn pjpjpja ...21 ,
а фаза соответственно будет равна сумме фаз элементарных векторов:
arg)( )arg(...)arg()( 21 npjpjpj .
1i
ipi
ipargip
а)
p
1
б)
1
p
ipipp
в)
ip
jipj
1
г)
+j +j
+j +j
Рис. 1. К принципу аргумента
Рассмотрим поворот каждого элементарного вектора при изменении от
-до + . Очевидно, что конец элементарного вектора (j-p i ) скользит по
мнимой оси снизу вверх. При этом если p i - левый корень, то вектор (j-p i )
поворачивается на угол +, а если правый, то на угол - (рис. 2, а и б).
Предположим, что полином F(p) имеет m правых корней и (n-m) левых.
Тогда при изменении частоты от -∞ до +∞ изменение аргумента, равное
сумме углов поворотов элементарных векторов, будет равно
)( jArgF (n-m)-m=n-m-m=(n-2m) . (3)
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 3
Отсюда правило: изменение аргумента F(j) при изменении частоты
от -∞ до +∞: равно разности между числом левых и правых корней уравне-
ния F(p)=0, умноженной на .
1
+j
ip
jω1
jω2
jω3
j∙(-∞ )
j∙(+∞ )
jω3-pi
jω2-pi
jω1-pi
j∙(-∞)-pi
j∙(+∞)-pi
1
+j
ip
jω1
jω2
jω3
j∙(-∞ )
j∙(+∞ )
jω3-pi
jω2-pi
jω1-pi
j∙(-∞)-pi
j∙(+∞)-pi
а б
Рис. 2. Поворот элементарного вектора при изменении частоты от -∞ до +∞:
а – для левого корня; б - для правого корня
Очевидно, что при изменении от 0 до + изменение аргумента будет
вдвое меньше:
2)( 0
jArgF (n-m) . (4)
Выражения (3) и (4) и являются основой частотных критериев.
Критерий устойчивости Михайлова
Сформулирован в 1938г. Он является геометрической интерпретацией
принципа аргумента. Данный критерий позволяет судить об устойчивости си-
стемы на основании рассмотрения некоторой кривой, называемой кривой Ми-
хайлова. Она получается следующим образом.
Пусть дано характеристическое уравнение САУ
0... 01
1
1
apapapa n
n
n
n . (5)
Запишем характеристический полином
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 4
М(р)= 01
1
1 ... apapapa n
n
n
n
. (6)
Подставим р=j, получим комплексный полином
М(j)= 01
1
1 )(...)()( ajajaja n
n
n
n
=X()+jY()=B()e )(j , (7)
где X()= ...4
4
2
20 aaa - действительная функция Михайлова,
Y()= ...5
5
3
31 aaa - мнимая функция Михайлова.
Для них найдем дополнительные функции:
B()= )()( 22 YX -
модуль комплексного полинома;
)(
)()(
X
Yarctg -
аргумент комплексного полинома.
При изменении частоты от 0 до + вектор D(j) будет своим концом
описывать на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую годо-
графом Михайлова.
Годограф Михайлова – это геометрическое место конца вектора, соответ-
ствующего комплексному полиному, полученному из характеристического
уравнения при изменении частоты от 0 до + .
В соответствии с принципом аргумента (4) угол поворота вектора D(j)
при =0 до + равен
2)( 0
jArgF (n-2m).
Отсюда найдем число правых корней m полинома М(р):
2)(
jArgМ n-m;
m=
)(2
jArgMn
. (9)
Очевидно, что m=0 только тогда, когда
2)(
jArgМ n . (10)
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 5
Иными словами, у характеристического уравнения не будет правых кор-
ней при выполнении этого условия.
Чтобы среди оставшихся корней не было корней, лежащих на мнимой
оси, нужно чтобы D(j) 0 при =0…+ .
Проанализируем выражение (8). Для устойчивых САУ все коэффициенты
характеристического уравнения положительны ( 00 а , 01 а ,…, 0nа ) и
начальная точка годографа Михайлова D(0)= a0 >0 лежит на вещественной по-
ложительной полуоси.
По мере роста каждому пересечению мнимой оси будет соответствовать
корень полинома
X()=0. (11)
Каждому пересечению действительной оси – корень полинома
Y()=0. (12)
Чтобы годограф Михайлова прошел n квадрантов, т.е. выполнилось
условие (10), нужно, чтобы:
- корни полиномов X() и Y() чередовались по величине и были вещественны-
ми числами (т.е. «не перескакивали» на следующую по очереди полуось, что и
происходит при умножении на j);
- при этом сумма корней полинома (11) и (12) равняется, естественно, порядку
характеристического уравнения n;
- при =+ годограф Михайлова должен уходить в бесконечность в n-м квад-
ранте (это следует из выражения (8)).
Для системы первого порядка (n=1)
Для n=1 М(р)= 01 apa ; M(jω)= 01 aja .
X(ω)= 0a - не зависит от w; Y(ω)=a1∙ω - линейная функция (рис. 3).
Для устойчивой САУ параметры a1>0 и a0>0. Поэтому графики X(ω) и
Y(ω) располагаются в первом квадранте и идут снизу вверх (рис. 3, а). Годо-
граф пойдет параллельно мнимой оси на расстоянии 0a от нее (рис. 3, б).
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 6
X, YY(ω)
X(ω)
a1>0
a0>0
ω
jY(ω)
X(ω)
a0
а б
Рис. 3. Критерий Михайлова для устойчивой системы 1-го порядка:
а – действительная и мнимая функции Михайлова,
б – годограф Михайлова
Для неустойчивой САУ возможны следующие варианты:
При a1<0 и a0>0 (рис. 4) годограф Михайлова пойдет по часовой стрелке
(т. е. в отрицательном направлении).
X, Y
Y(ω)
X(ω)
a1<0
a0>0
ω
jY(ω)
X(ω)a0
Рис. 4. Критерий Михайлова для неустойчивой системы 1-го порядка
При a1<0 и a0<0 (рис. 5) годограф Михайлова начинается на отрицательной
полуоси, идет в отрицательном направлении.
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 7
X, Y
Y(ω)
X(ω)a1<0
a0<0
ω
jY(ω)
X(ω)a0<0
Рис. 5. Критерий Михайлова для неустойчивой системы 1-го порядка
При a1>0 и a0<0 (рис. 6) годограф начинается на отрицательной полуоси,
идет в положительном направлении.
X, Y
Y(ω)
X(ω)a1<0
a0>0
ω
jY(ω)
X(ω)
a0>0
Рис. 6. Критерий Михайлова для неустойчивой системы 1-го порядка
Для системы второго порядка (n=2)
Характеристический многочлен
01
2
2)( apapapM ,
кривая Михайлова 01
2
2)( ajaajM . Мнимая функция 1)( aY - как в
случае n=1. Действительная функция 0
2
2)( aaX изменяется по сравнению
с системой первого порядка. Найдем, при какой частоте вещественная функ-
ция равна нулю, т. е. где годограф пересекает мнимую ось. Для искомой ча-
стоты 0)( X . Данное условие выполняется, если 00
2
2 aa , следователь-
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 8
но, 2
20 aa . Отсюда 2
0
a
a . Поскольку построение осуществляется только
при положительных частотах, оставляем только одно решение 2
0
a
a (рис. 7).
Будем рассматривать только случай, когда выполняется необходимое
условие устойчивости - все параметры системы положительны: 02 a , 01 a ,
00 a .
X, Y
Y(ω)
X(ω)
a0
ω
jY(ω)
X(ω)a02
0
a
a
2
0
a
a
1
21
2
Р
ис. 7. Кривые Михайлова устойчивой САУ 2-го порядка
Действительная функция )(X пересекает ось частот на значении 2
0
a
a ,
при этом 2
011
2
0 )(a
aaa
a
aY . Таким образом, точка 2 имеет координаты
);0(2
01
a
aa .
Таким образом, годограф Михайлова при n=2 пересекает оси в двух точ-
ках: 1 и 2 и соответственно )(X и )(Y имеют на отрезке 0 два кор-
ня.
Для системы третьего порядка (n=3)
Полином Михайлова в этом случае выглядит как
01
2
2
3
3)( apapapapM .
Функция Михайлова
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 9
01
2
2
3
3)( ajaajajM .
Здесь действительная функция 2
30)( aaX - как в случае n=2; мнимая
функция Михайлова 0)( 1
3
3 aaY . Если 01 , получается точка 1 и
2
31 aa , следовательно,3
1
a
a . Оставляем только положительный корень
(рис. 8)3
1
a
a.
Вновь рассмотрим случай, когда все коэффициенты характеристического
уравнения положительны: 03 a , 02 a , 01 a , 00 a , а 0 .
При этом 02)( aX - точка 1 на рис. 53.
3
120
3
12)(
a
aaa
a
aXX
- точка 2 на рис. 8.
Очевидно, что функция )(Y должна иметь максимум на участке
3
1;0a
a.
03 1
2
3 aad
dY
, когда
3
1
3
1
3
1 58,03
1
3 a
a
a
a
a
a .
Таким образом, частота, при которой )(Y имеет максимум, зависит от
соотношения коэффициентов 1a и 3a , может располагаться и левее, и правее
относительно частоты 2
0
a
a , когда 0)( X . Схема и результаты моделиро-
вания для примера системы 3 порядка представлены на рис. 8.
3
11
3
3
13
3
1max
3
1
3
1
a
aa
a
aa
a
aY
.
Очевидно, что корни )(X и )(Y чередуются: 1 и 3 – корни мнимой кри-
вой, 2 – корень вещественной.
Поскольку годограф Михайлова устойчивой САУ движется против часо-
вой стрелки при )(X =0 и )(Y ≠0.
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 10
Рис. 8. Кривые Михайлова устойчивой САУ 3-го порядка
При этом соблюдаются условия:
возрастаетXетd
dXеслиY
убываетXетd
dXеслиY
i
i
i
i
)(..,0
)(,0)(
)(..,0
)(,0)(
Здесь 0)( iX .
Так, для n=4 вид кривых Михайлова для устойчивой САУ: количество пе-
ресечений с осями равно 4 и корни мнимой и вещественной функций череду-
ются. Схема и результаты моделирования для примера системы 4-го порядка
приведены на рис. 9, годограф в более крупном масштабе – на рис. 10.
Формулировка критерия: для того, чтобы САУ была устойчива, необ-
ходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении
частоты ω от 0 до , начинаясь при ω=0 на вещественной положи-
тельной полуоси, обходила только против часовой стрелки последова-
тельно n квадрантов координатной плоскости, нигде не проходя через
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 11
начало координат. Здесь n – порядок характеристического уравнения си-
стемы.
Рис. 9. Кривые Михайлова устойчивой САУ 4-го порядка
Рис. 10. Годограф Михайлова устойчивой САУ 4-го порядка
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 12
Таким образом, для устойчивых САУ годограф Михайлова всегда имеет
плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в
том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени харак-
теристического уравнения (при n=5 это, естественно, будет 1-й квадрант – так,
как показано на рис. 11).
Рис. 11. Годограф Михайлова устойчивой САУ 5-го порядка
На рисунке 12 приведен годограф неустойчивой системы – начинается на
отрицательной полуоси и не соблюдается порядок обхода квадрантов.
Рис. 57. Годограф Михайлова для неустойчивой САУ 5-го порядка
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 13
Пример по критерию Михайлова
Анализ устойчивости можно проводить только по анализу корней веще-
ственной и мнимой функций Михайлова. Например, для САР, представленной
на рис. 13, нужно определить, устойчива ли она при параметрах k1=1, k2=2,
k3=3, T1=0,1, T2=0,2.
Рис. 13. Функциональная схема САУ для примера
Найдем передаточную функцию замкнутой САУ:
32121
321
21
321
3
2
2
1
1
)1)(1(
)1)(1(1
11)(
kkkppTpT
kkk
ppTpT
kkk
p
k
pT
k
pT
k
pW
.
Соответственно, характеристическое уравнение имеет вид
;
.063,002,0
0
;0)1)(1(
23
321
2
1
2
2
3
21
32121
ppp
kkkppTpTpTT
kkkppTpT
(13)
Действительная характеристика Михайлова: 23,06)( X ;
.0..5,4
;5,43,0
6
;03,06
2,1
2
кт
Мнимая характеристика Михайлова 302,0)( Y . Найдем пересечение
с осью
Y(ω)=0, когда ω-0,02ω3=0;
;01
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 14
.7
;7
;5002,0
1;002,01
2
3,2
2
2
Расположим корни X(ω) и Y(ω) в таблице
1 2 3
Корни Y(ω) 0 7
Корни X(ω) 4,5
Корни чередуются, следовательно, САУ с таким характеристическим
уравнением устойчива.
Контрольное задание
Исследовать систему на устойчивость по критерию Михайлова для ПОС
и ООС. Смоделировать годограф Михайлова в VisSim. Варианты функцио-
нальной схемы САУ приведены в прил. 2.
Пример решения
Схема исследования приведена на рис. 43 в задании по критерию Гурви-
ца (стр. 49). Там же приведен вывод характеристического уравнения.
Для отрицательной обратной связи
Характеристическое уравнение:
8p3 + 14p
2 + 7p + 9 = 0.
Многочлен Михайлова:
M(p)= 8p3 + 14p
2 + 7p + 9;
M(jω)= 8 (jω) 3
+ 14 (jω) 2
+ 7(jω) + 9 = -8jω
3 - 14ω
2 + 7jω
+ 9 ;
X(ω) = 9 - 14 ω
2 - действительная характеристика Михайлова;
Y(ω) = -8ω
3 +7ω
- мнимая характеристика Михайлова;
6422322 648420381)87()149()( B ;
2
3
149
87)(
arctg .
Найдем корни действительной характеристики –
9 - 14 ω 2
=0;
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 15
9 = 14 ω 2
;
8,014
92,1 ;
ω=0,8, так как ω=0 … +∞.
Мнимая характеристика Михайлова: . Ее корни
ω1=0;
7 - 8ω2 = 0, отсюда
94,08
73,2 .
Следовательно, ω=0,94, так как ω=0 … +∞.
Расположим корни и в таблице
1 2 3
Корни 0 0,94
Корни 0,8
Вывод: корни чередуются; годограф Михайлова начинается на веще-
ственной положительной полуоси и пересекает все 3 квадранта против часовой
стрелки, уходя в бесконечность именно в 3-м квадранте, также он не пересека-
ет начало координат – следовательно, система устойчива (рис. 14).
Рис. 14. Годограф Михайлова для системы с ООС
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 16
Для положительной обратной связи
Характеристическое уравнение:
8p3 + 14p
2 + 7p - 7 = 0.
Многочлен Михайлова:
M(p)= 8p3 + 14p
2 + 7p - 7;
M(jω)= 8 (jω) 3
+ 14 (jω) 2
+ 7(jω) + 9 = -8jω
3 - 14ω
2 + 7jω
- 7;
X(ω) = -7 - 14 ω
2 - действительная характеристика Михайлова;
Y(ω) = -8ω
3 +7ω
- мнимая характеристика Михайлова;
6422322 648424549)87()147()( B ;
2
3
147
87)(
arctg .
Найдем корни действительной характеристики –
-7 - 14 ω 2
=0;
- 7 = 14 ω 2
;
j71,014
72,1 .
Мнимая характеристика Михайлова: . Ее корни
ω1=0;
7 - 8ω2 = 0, отсюда
94,08
73,2 .
Следовательно, ω=0,94, так как ω=0 … +∞.
Расположим корни и в таблице
1 2 3
Корни 0 0,94
Корни 0,71j
Вывод: среди корней есть мнимые; годограф Михайлова начинается на
вещественной отрицательной полуоси и пересекает 2 квадранта – следователь-
но, система не устойчива (рис. 15).
http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/
© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 17
Рис. 15. Годограф Михайлова системы с ПОС
Таким образом, вопрос об устойчивости системы решается на основе кри-
терия Михайлова, без решения дифференциальных уравнений, описывающих
динамику САУ.
Top Related