7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
1/14
II.
C.
3A}TATOB
}IYPC
BbICMF,iT
fEoAESVTVT
P.
S.
ZAKATOV
CURSO
DE
GtrODESIA
SUPERIOR
..,:
:{,
i .
-
ll
|'|i
((ll
'tir
)
Iti
ll
tlrl
l*,
lrlitt'
l,,r
ln,r
l*o
l,o
lo
l*r
l,s
l,
lc
lo
Ii
ll:
i
i:
I43AATEJITCTBO
HE,[PA
EDITORIAL
MIR
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
2/14
r
,
esfricas
del
punto
1l1:
AMt:
P,
, F**,
coordena.da
","orruYuJ;;
determinan
exacramenre
ra
orrorn
del
nunto
M
sobre
r"
."Jrri"i"-;i-;;;;d.,
,; son
cdno_
lda
las
coorenarrar
g.oJ.i"i.
rivT't."
otras
que
sean
equivalentes)
dol
ortsen
A
de
las
;J;;i;l;
r".irr"-,
"-.rrr""rlr
as
(p,
q)
tlcne
mucho
en
comn
"oo
.iri*u
ctangurar
de
coordenadas
en
l
plano.
bxlgten
adems.otros
s-istemas
de
co_ordenadas
curvilneas
esfe_
roldales
que depende"
"
ir-"i""
a"i.j;-a;;r;;"ouu,
v
"r
don
de cuenta
de
las
coordenades
,
.
G.-ovwfe6&L(,respL{,na,,,n]a'prcticaesindisperr-
blo
conocer
las
coord."ra"r
r
"tos
de
la
red
geodsica
situa-
do
en
un
sistema
de
coordenadus
crtesianas
para
que
puedan
uti-
hrre
fcilmenre
t".
d;;;r
s.;;:r"il
-ur
llevar
a
iab
diferentes
fpor
de.trabajos
de
provecci",
a.
,.gtr*."tr?i"
li"rogi-".,
a"
thrr,
etc.
Esto
conilero
I,
,".e.]u
a.
i"t"lJ*ii"prJir.".io.r*
de
*
auperficie
del
elipsoia
;;;;'il
;rfffi;"nI';?sto
es,
a
leprolentar
parres
de r
superficie
de
la
rilrra
soi;;;;
Iuperficie
hna
de_acuerdo
a.
una
dterminau
l"y.
Aotualmente
en
la
uRSs
h;
rid;;;"piada
ra
proyeccin
d.e
Gauss-
l,rd,scr
o ststema
d.
;;;;dr;;;;;"r;;;tr
ptnas
reetangutares
en
ta
lii ,::3',\#":'#:'{:-vr:::,#f
'#T,-:',1l","ll:k*ffi
"io;""aT
de
donde
dubz
_-L-
-
.x
az
y'
(4.3).
(4.4')
Comparand.o
las
expresiones
$'2)
V
(4'3) obtenemos
tg
B:#
+
La
ecuacin
$.a)
exiresa
Ia latitud
geodsica en
funcin de
las.
coordenadas
rectangulates
r
e
Y'
P
M
:-"
-=\
Nn
ffMt
E
Pt
Fig.
8
Para
encontrar
Ia
dependenoia
inversa,
es decir,
para
expresar
r
e
A
eD.
funcin de
Ia latitud
geodsica B, recordemos
Ia
ecuacin
(2.7).
Partiendo
de
Ia
expresin
(4)
podemos
escribir
'
tg
B:a#ry
+B
--X
b
1.-ez
Y
(4.5\
z'
)
7
I
)
)
)
I
)
)
)
I
I
*:tr(90"+
B)\
-cts
B.
(4.2)
Expresemos
la
primera
derivada
ff
en
funcin
de ras
coodeiadas
tcotangulares
r
e
y.
Diferenciando'i4.1)
obtenemos
$=ffi:0.
s0
a:x(l-e2)tgB.
(4.6\
Volvamos
a escribir
(4.1),
sustituyendo
y
de acuerdo
con
la
ecua-
cin
(4.6)
obtenemos
2 ,
t2
(L-ez)z
lgz
fi
a
Af
r arT-;T-:
t.
Resolviendo
esta ecuacin con respecto a e,
encontramos:
-2
;U+(.-eztgz
B|
--1,
,
{{r+
@'B)-r,ffi):o,,
a sen-B
*
-
{T=;rfeT5E
'
(4.7)
31
(4.1')
Es sabido
oue
la
tangente
del
ngulo,
formado
por
la
tangente
r
la
curva
"r,
,ro
punto
Ard;
y
;I
"i":.
positivo
de
las
#:t:;::
u
la
primera
derivad
a
fl;
d,"
esta
manera
-
BBr,acro[
s
srsrEuagn
rgcodriica
B
A
b
ewrdnad,as
s
c u
wq.fu
I
.purtto
qw,
*-
;iiififfi
To_
"1.
or
I
a.
e
I
i
p
se
m
e
r
i
rt
i
a n
;;
T;ffi
";
#
iw'
ff
ff.Tffi
;:f
i;
ouacin
de
esta
eirpse
"
-Lu'-
az
t
b2
-L'
Errb*--
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
3/14
Para
encon1.rar
y.reemplazamos
en
.la
ecuacin
onrrado
para
,
""
r.ii.iri";i#;";;
obrenemos
(4.6)
eI
valor
en_
-1,:{.l'l_4l 9la
V
7-ezsenzB
De
la
fig.
8
se
desprende
que
Ia
abscisa
del punto
.4/
fi
:
eMt:
MC
i'rl.ii
ffi,:Jr'f]h;"u:l
till'"",,"'
que
pasa
a
travs
der punro
1r{
(4.e)
D
"
i;
ii*]l;'gti"
H-#ffi
fi?fs?#uro,i
\
2::'f
bc_&6b
awe
,ld:
iattfud,aod,6s
egsica
B
y
I
e
Ia
exbres.in
a latilud
gcocntr.ca
e.
para_
la
Iatitud
eoc6n.
-
1
,rJt=poniendo
el
cos
La
-,
-
*r,
en
una
.."i.
.
,;r;f
obtenemos:
sen
(B
-
(D)
:
e2
sen
B
lcos
B
+
(B
_
{D)
sen
Bl,
.
sen
(A
._
(D)
:
e2senB
cos
B
+
"r(B
_
@)
senz.B.
El
segundo
trmino
del.
segundo
miembro
en la
expresin
obte.
nida
es
una
pequea
magnirud
de
orden
;'
d;_"rt
iA
_
O),
de
acuerdo
a
Ia
frmuli
(4.r2),
resurta
una
pequea
magnitud.
de
ordet
ez).
por
esto'
si
en
el
segundo
miembro
de ra
ecuac
in
(4.12)
reempra-
zamos
el
cos
(D
por
el
cgs
B,
enronces
;rp;l=i
rminos
de
orden
ea.
Con
este
grado
ae
exactitrra
-'-----*r"
'*
sen
(8-@):#
ez
sen2l.
Descomponiendo,
sen
(B
;
O)
en
una
serie y
limitndola
al
primer
trmino,
obtenemos
la
fOrmula
aproximada
(B-@)
:{p,ezsen2B,
donde
nuevamente
ha
sido
cometido
un
error
do
orden
a.
se
puede
apreciar
fcilmente
que
se
obtiene
,i-"ul-*
1ra*ii"al,
(a
_
6r
u1 -
=_45":,
En
eite
caso
(B-_
),
:
fl,Af-'*"
*"
t
una
rormula ms
exacta
para
(,8
(D)
tiene
la
siguiente
forma:
127,
pg.
24)
(B
-
@)"
:
p,
L*
srr
zB
-
4fu
sen
48
{
+Try
sen
6a-
(4.8)
Fig.
9
geodsicas
y
geocntricas
11,:1..1
funcjn
d" i;;
;;;;;;:
asrectangularesrey.
rs
@:+.
.to)
.,
Jasndonos
en
la
frmula
(4.5)
obtenemos
tE
B: U
'1'
"
(t-ez,
t
por
lo
tanto,
tg@:tgB(l-er).
(4.11)
Fncontremos
la
expresin
oa_
_
ra_
la
d,iferencia
d"
i.
i;;;;;t;,
-
@.
De
la
irmula
&.ltii;;;r,
'Ef 8rJon;*a*a,,Je
Grd-
'
r6idt,f'&9,ffi
Designand
el
radio-victrU
P
M
"{l\
I
X
(4.13)
(4.14)
,
I
I
I
moS
escribir:
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
tgB-rg(D*
eztgB,
sen
(B_
O)
asea;ti
-ettgB,
sen
(.8
-
O)
:
e2
sen.B
cos
(D.
p:lti@.
:pcos
(D;
u:psen(D.
Sustituyendo esta expresin
en
la
elipse-aeridiana
nemos:
P2
cosz
(D
, Os
sens
(D
---;t-:-
a-n7=q:
l.
.
Resolvemos
esta
ecuacin
cqn
espec
o
a,
p:
;,.kcgs2
(D
(1
--ea)
+senz
(D)
:
1,
^2,
a
;il[b.
(1.'.-e2cosz(D):
{,
(4.15)
(4.{)
obte-
(4.12)
ifl
:THlt
i""
"
1"
Hfl
:"':-
i*: I 1:' i]. I:1ia
u,r i
I
y
ar
I
a
e n r
p
r
c
r
i
c
a
lo:gru
el
sen
(B
-
co)
se;;;;;i;rf""
uf,ulzarra
en l
prctica
a
cusa
de
la-pesuea
rlifoan tiq tp *l
{"
B
y,@.
si"
"mrrg,
;i
T",1'r,?.
n#
::
l":
"i
"i::;lp
"
r"
:,t
j
:
j
I
,',
fl
;
ji""
"
*?3Hi;
s
adelante,
no
s
_^-:.",rwrq
tr
_-y/,
ra
cual,-como
veiemos
por
el
cos
B en
"r
J:I:li"
I:^118
' ,podemos
'eu.rurr;
el
cos
@
Lx,.."j,:l'.3;,"":l.l;:Ilt,rj'"r,il3i :*',x#uT':r;8r:"t3
*H#i,"?;i,":1,:",_"^*:rg:11,*;;
jl";:rJ#ilr1i11|"r.f
;"i:i-
a
mos
a
escribir.
I
a
expresi
"
q+.lii
iel;:;s;il#;o#i:i":
de
donde:
ri..1'"
3
-0
14A8
:.r,.)
(4.16)
80n'
ndonos
en la
fig.
g,
sen
(B
-
O)
=
ez'sen
B
cas.[B
_
(B
_
@)].
;-_
^L
aV
[-cz
'F'-
fr=74;;5'"
r'n,
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
4/14
Bainilonos
en
(4.15)
tenemos
".1/T=Acos
@
(4.17)
rrdemminil;;;;,'ii,?,.;i,r,(n"riiiiti.i,il"l
y
basndonos
en
(4.21)
*
:
a
cos
u,
,H;ffi:'f1#,t,p*;
i,,,i'
i|ffi;*,
_,":',::
,:ffi,r:-lfug
n J^l
--
,.
Y
't-ez
COS2
@
'
,
,f,1?ri3:"ff"liJ*acin
enrre
ra
rarirud
reducida
u
y
tageodsica
(4.22)
,I,?,1,':*Td::li*,1,,:t,r?l1,Tx:Ti;mndorosrr_
rnosq,..;,;;,,JilXi*1?:?,llt*i*?,ii1:[&1ff
:*H,1Lr.,:f,"I
pero
como
obtenemos
que:
:
IWllVIr-1,
lL[rM,
:
ct,
sal
tr
;,
*r :,
.u
y
entre
.
ra.s
tattus
io#::
oi,y
^i.
i""
;;
;tff
?';Ytr;
ll
* ir"-",:6
""",iff"J1,;r
IX
s.'ii*.*
:*g:ri"H 1F'r,t;:*:i1:"*:"""'
dii1,lu, i
x,?iT'11:
Pu"q'
;;;i;i'
#
Fig.
to
eauCidi
z.
,t1n,
$,".,
j;d;il
*H',9ai,,1,7
Il;:,:l*"le
esrabtecemos
ra
os
puntos
abscisa. pri:rl,x-r,,'i,"11:*r':Iru."r",,,1?lx?j,l*,H:ii:""'j:"tjfi:ffs#
'*;:itul7trWo':),;,'
X{.tr:;,,{,:);:HTf:f
,1"#H,xTXt,}{?"11i#
j
xe
-posean-ro,
.1.-"
oer
trien
;1;"
ir,,i:,,.
o..rr",r.
;"
1t4rz
*
(Mrnrry
-:
or.
n
vista
de
que
el
nunrn
n/r
^^_-
(4.Le)
3,::::,f
:,*'f
",
I
*
lltr::
-.",r,,,
jl',',ll
ood
en
a
d
a,
a
"
1i"",
i,1;#:i
tr
:iii:: i%
:
i:
:iii::
AXj
:..H#
vtvt
z)'
,
(t[zMyz
2
-r-
----'---
#+@ff)1_r,
(oMr)z+(jwrtry#:or.
las
expresiones
(4.1g)
y
@20)
se
obtiene
IVITMT:
iwr,M$,
IVIMz:,y
MrMr*,
a:asetu4:bsenu.
,"
J,"r-,'f:;
Ty*'-expresiones
"(nrq;;;.2,3)
o^-
^.
(4'23)
;,l,{,rfif
,}:,?i;i;i:'"+ffi
,df,|;;:;;
*:
*rro:l/T::&w
u,
--'*-5
Pero
basndon^'
^^
:::'-v**
G'24)
ros
en
(4.5)
/
r-
(4.25)
en
consecuencia,
,"
*r;l::;?,:":rnos
(4.26)
de
donde
rinarmente
;ii1"1ffi
H*,0,,,,0u
_
tg
u:llT-Vruu.
*{{f";l*#idhjffi::::#r
l:"
n*
n.s
sern
r;::
Deft.27)escribim9oIlZZ-Hc.in(2.7)y.8.)esuIta
(4.28)
tg2B:L
'l'
*
e2\-
t
t'
;l.,=-:1+
-
s'u
l1-2)
t
nemos
en
rorml-iitirfi,::
(4.20)
p:
"
(t
-f
senza_
-F$
senza-$ro".nB_
_-
')
rB)
Comparando
I
t
b----
de
donde
g(l
"os
'B:-{?l}
tot
,
*rn,
',u,?':iiXXX:i.il(a'gr,
*rrf;m,,.-
-
(4'2s)
. . .
rsmo
escribir
para
eI
,: ...
8a
|:ac5r:''"
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
5/14
la
Deduzcamos
la frmula
aproximada
para
Ia
diferencia
(B
-
u),
cual
resulta
cmoda
para
efectuar
los
clculos
tgB-tgu:tgB-1fGtgA,
Basndonos
en
(4.32),
(4.7)
y
(4.8)
escribimos
acosB r I
Y-:n^r.]
l/
t-ezsenz
B
I
acosB
-
I
Y:ffisenL['
n
a( -e')setB
I
)
1/
L-ez
setz B
(4.34)
(4.35)
(4.36)
z
(4.34)
^
al-bo
oa--
a2
1
x-
az cos
B
cos L
{@;gtrEl'z
B
x+.
a'cos B
ser.
L
'-{@B
o
DtsenB
1/
at
cosz
B{bzsenz
B
si
hacemos
Las
frmulas
(4.35)
se
eesoribirn
o
-
a2cosBcostr
p
1,
atcosBsenL
P
son I
P
f.
Pnsfq*
T
EH UI{
(4.371
fig.
11
tenemos
X:xcosL
Y: r.S1n
L
A
continuacin, basndonos
et
(4.32), (4.22)
X:aCO'SCOSZ
Y
:aCOs
Sen
i
Z:bsenq:ay l-ez
senu
l
(
I
I
(
(
I
I
?e
:isBlt-1:--e\ttzl.
Descomponiendo
en
serie
(L
oos
B
(admitiendo,
por tanto
un
X,Y,
Z
y
otre
srrrrti,
Enlafig.
ll
PRrPtResna
elipse
foeiitliana
en
cuyo
plano
se
halla'el
punto G,
a
partir
del
cual
se cuentan
las
longitudes
yr
por
lo
talto
en
este
plano
se ubica
ql
eje-de-coordenadas
Oy; PETPiE
es una
elipse
meridiana en
Ia
cual se
hallan ubicados
el
punto
M
y los
ejes coordenado
s
Or
y
Oy.
El
ngulo
entre
Io
dangs
de-estas elipses
meridianas
es
igual a
Ia longitud
geodsica
.L.
En la
-
ez)uz
y
reemplazando
cos
u
por
error
de
un
infinitsimo del
orden
en),
obtonemos
Ia expresi6n
final
para (B
-
z)
(B
-u)'
=
$
p'ez
sen2B.
(4.30)
Una
frmula
ms
precisa
pa-
ra
(B
-
u)
tiene
la
siguiente
forma
R
(B-u)":P'lusen2B-
-
f
t""
4^B
+
$sen
68-
-$'."8^a+...],
(4.3I)
donde
a-b le
B-ls.
u
:-
"-
a+b
tgBftgu'
courihnndac
5.
Rebin
anc
cl
Mru
de
,
rdnadns
coilafriil";
b
y&ry,
(4.32)
y
(4,23)
obtenemos:
-
r,,
,
(4:33)
Si
sustituimos
en
obtenemos
Por
Ia
normal
a
Ia
superficie del
elipsoide se
pede
trazar
un
conjunto
innumerable
de
planos.
Los
mismos,
perpendiculares aI
piano
tangente
a
la
superficie
del
elipsoide
en
un
p_unto
dado,
se
-denomina
planos normles.
Las
curvas,
formadas
por laintersecoin
de los
plans
normales,
trazados en
el
punto
dado, con
Ia
superfioie
det
elipsoide,
se
denomnan secciows
normnles.
Fn
cada
punto
sxisten-
dos
seciones
normales
recprocamente
perpendiculares,
la
curvatd
"
de
las
cuales
posee
valores mximo
y
mnimo;
estas
secciones nor-
males
se
llaman
secciones
normales
principales
VFEWB:p.
Fig.
lt
st
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
6/14
I
Como
se
sabe
de la
geometra
diferencial,
en
algn
punto
M
dela
superficie
del
elipsolde
de
revolucin
las princip"ales'secciones
Diferenciando
la Itima
frmula,
encontramos
'
d,r:a
{
--
sen
B
(L
.
e?'sen'z
Bl-'l'
+
*
e2
sen
B coszb
(L
-
r' se
B)-.312t-
d'8,
$
:
osen
B
(t
-
ez
se,z B)-
etz
{
-
(t
-
ez
senz
B)
+
e'cosz
B},
#:
sen
B
(l- ez
senz
B'-srz
(
-e').
Por
lo
tanto,
dzA
(,1,-ez
se
B)3tz
-lF:
-;ET=4-
Reemplazando
las
expresiones
obtenid.as
puru
fll
ffiet
$'1),
hallamos
que:
nn
(t*ctg
B)slz asensB(l-a2)
,rr:@.
P
0
n
P,
Fig. t2
norriiales
son:
*f)
seccin
meridiana. Ia
cual
pasa'por
el-puntolki='M
y
am-
bos polos
del
eiipsoide
P
y
P1
(en
la
fig.
12
la
seccin
meri-
diala
del
punto
M es
la
elipse
_
PMEQTE):
t,*
.F- 2J
@de
laSrimeraver-
"tql, lac@o
M
perpendicularmente
a
I
sec-
cin
meridiana
del
punto
M.
La
seccin
de la primera
vertical est
representada
en
la
fig.
12
por
la
curva
WME,
{Iue
tambin
es
una elipse.
Designamos
por
M
y
N
alos
radios
de
curvatura
del meridiano
y
de-Ia
prifera
vertical,
respectivamente.
Hallemos
la
expresin
para los
radios de curvatura
de
las
principales
secciones
norm-ales
en
funcin
de
Ia
latitud geodsica
B. Ei
radio
de curvatura
de
la
curva
pla4-a gxpresada
mediante
Ia
ecuacin
del
tipo
A
:
f
(r),
se define
por
la
frmula
{'*
(#)'}'''
Utilizando
esta
frmula
para Ia
elipse
meridiana
obtenemos
i,,
{'*
(#\'}'''
,,,__-.=#-.
(el
signo
menos
se
toma
porq
"u
#
t'
La
expresin
para .R
puede-ser
dada
en funcin
de
ias
magnitudes
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
10/14
f-
I
*
pt
radio medio'de
cuvatura
se
emplea
aI
representar
partes
de
lh
U r"p"rficiL
d=el
etipsoide'Sobr.eT'lofa;
iI
oalcular
los exeesos
esf-
l, rios'ile'
Ios
trinsu-Ios
y
en'
o'tibi
{s6s.*
H*';i;""il;ffi'"iffi"ir;t-p^*
a llir'soiae
de
K-rasovskv
por
eI'
-
fSlCrti
V
C*t"grrta
y
el"Departam-ento
Central
de
cIculo,.,se
*o
uo
los
intervaio
a"
ttitod
d
un
minuto
los logaritmos
de
({),
f2)*).
,R
v
tambin
el
valor
de
la
funcit
V'
t-
i.|.
Li."*.*L.udir
"de
.xnqn*,
{e
:
B-. Esi6n; '-6Bet
e
-niiil-p"d"#
"-pf"*i,
r*"t-eut
rs fe ul&
1O.t.
Al
rea-
i;;-i";
tf"t*
prati"o.. utilizando
transformaciones
senoillas,
o
d':aJffi6="$*'{2-aa'
La
lougitud
tlel
arco
de
meridiano
entre
los
puntos
que
poseen
htit"d^r;'
i
B,
i'
Ia
siguiente:
s:\o#ffidn:a$_.")T,#
(''t)'
Bt
rco
de
meridiano
so
reduce'
,,
*iil,,:J
;i'ix'i"hll,Tf,"lt*
$t't1'
Tnerrqrarru
D'i
J
=;*'"aztm-
)
w"
Ia
cual,
eomo-es
sabido'
no-se.Pyede-tr"'olver
mediante
funciones
elementales'
Para-
tii"i^-
"f"
integral
sealada
descompongamos
[i]ftTi*Hx1?"hftii.i-.+l*t"'***'ttw'"nunaseriede
-L-:ft-ez
sel*
B)-'tz
:
|
++ezsenz
B
++
eLsena
B
*
ws
i*eosenoB*
ffie'senaBf
W
"osenroB+'"
(7'2>
con
el
fin
de simplificar
ros
futuros
cmputos
limitaremos
la
serie
hasta
to.
*iu#|"*';; -;t'
Los
senos
cn
exponentes
pares'
qne se
incluyen
*t
o.r"o*poner
Ia
t"l::ui
fr.'"
""",*1'^"1
los
reem-
plazamos
por
los
oosenos
"
"""o'
mItiples'e
acerdo
con
las
igual-
dades:
senzB:+-lcos2B,
llzar
Io
uaruuruD
PrqvvrvvD'
'---a
.'
A}].uji"["s
se
$ueden
representar
ms
fcilmente
de
otro
modo'
Rz:MN:+:#.
JV
PA-
l+Iscoss
t
(6.5)
(6.6)
o
ea
'donde.
rl:
Gco,B'
,*"T;;'"erLrli
*"noE
sxastosr
gq...9lror'os
e4
los
t'6rnoines
4e
t'
Ia frmula
(6.1)
Puede
ser
tranffi
'
resfecto
a
Ia
superficie
del
elip-
\
soide
de
referenoia.
*SFGrfgP
DE
LA
II)I{GIflI-q
.
lE
;.ur,_r"acp,DB
IEHD}ffT
Sea
.4
un
punto
de
la eliPse
meridiana
con
latitud
B
(lg.
fl
Tomemos,
a
una distancia
inli-
nitamente
pequea ds
d.el
Punto
A,
el
punto
./.1,
que
Posee
una
latituil
B
*
d,B; de
ta1
manera'
Ia diferencia
de
las
longitudes
de
A
y
Ar,
correspondiente
al'
arco;
de
meridiano
ds
ser
dB. Considerando
eI
rco
elemental
ds como
eI
arco
de
una
circunferencia
de
radio
M,
obtenemos
ds:
Md'B
D
'1
Fig.
14
sena
B:'+-f
oo,
28++cos48'
Ahora
la
frmula
(7'2)
adquiere
el
siguiente
aspecto
#:t
++*(+-4
*(*-*coslB)++
"
\+-i
-*
(*-
|cos2B*
1
+$"o'
4BI+
.
",
#
:
t++r'-t"
e,
cos2&
+
#
5 ,.
L'
ar
e'-al
9 eL
cos2B *
I
3
+#eacos48*
.
'
'
+r:+(r+{"+A
rrr+ff"&+
...)-
(+
*"'+#
to+...)cos2Blr
*l
N.
d,et
?.
Las expresiones-(1)
v-(2)
souutilizaSas
en
Ia frmula
(5.13)'
la cudl
le resuelve
con
a'yuda
de
ls
tblas
mencionadas
46
(7.3)
4T
p
.:
R
(t
-*
cosz
B
cos
2)
(6.7)
f,,
fOr-"fulL7)
se
utiliza,
por ejemplo,
al
calcula;-la
correaia
---
-;-E-***
..
i#;lit'Jlul"'i3"i:"il,t","'i
+
(**+..')
cos48
"
'
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
11/14
-o""*'""''
::_,.-i::E:..
\
(?4,
*,*$:{i;gfr#$};*t;"I,$j[ffi
i
"",-l--"."r;fiil::',";::3;
*",,"
(?5)',******;****t***,,**"":t***
'
lj#iir'*"""t"*7lf;?i
"0,",u*.*,
oon
ra
eiacitu.
:
"-,n-rr'J,,
-'Bao62l+cco48-"')dB'
(7'6)
ffi
rntsgrando
trmitro
a
r6.itro,
hanasos
ida
e
:c1l-a
{(ll+
}'a'l
,'-i1-
I
,
-oti-
ul
{otur-e1-$
1*"za'-sen2at:)+
-{
e'sen
(B-B)
oos
(B'
+'J}'
I
+f
{""o
air-""oatr-
.,
.\, lt.tl
}raseos
s6s
(8,_BJ:(a_BJ_
(s._r,F
:
fi*ffimffi,tffiffil,=-lffi:"
E 6sa
mu.r
@u",."- a(7-e'\(n'-u{t
+
i*-}e'cos'28-
c:a1t-e1{a1-$sea21+|sea4t-"'},
{r'a) -'-':
.,,-
r" r.rihrd B
nuealo [-"'1Br-
nr'oos
2e*\
'
(7'9)
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
12/14
S.Demosunafrmu}amssenci}Iaycmodaparalos.clculos
a"
i.lriurgulaciones
cuando
ios
lados
son
de
poca
importancia
y
rara
vez
trf.ruo
los
40
50
km,
para esto
designamos
o
En
oonsecuencia,
para.las
tonsllu{Trde
un
arco
menor de
45 km'
i1^,emos
oonsrderar
dI
mirmo
como
e-sfrico'
con
un ngulo eritial
#l;fl;il-ditr.ncia
de
latitdes
de
los nuntos
extremos'
v
con nn
dio
a,
]a
seccin
meridiana
que
correspnde
a
la
latitud
media dei
o'?,0,
coeficientes
A,
B,
C'
obtenidos
antes
durante
la
deduccin
,ie
ia
frmula
para;i;'-e
+eridiano'
tienen
et
siguiente valor
pl"'JrtiPsoie
de
KrasovskY:r
'
D
:0,000
00002081'
En
Ia
tabla
2,
Para
su
con'119'
se
dau
a.
il.tiir";-;;tf
elipsoide
d^e.Krasovskv
con
una
exactitud
de
hasta
de
u'l
m' '
B-=
B' B'
y
M*:
ln
2
Introduzcamos
el
valor
auxiliar
0
-
r
5sz
B*Itz
'
ID D\2, 4
sr
:
ru
*
%n-
:
a
(L
-
r')
(B,7il1
h,
el
oue.
es
evidente,
representa
Ia longitud
del
arco
de
circunferencia
;;"=;h
ie"ur-
ui';,udo
de curva
ull-de
mgridiano en
un punto
coo
tatitud
p"ia,
Basndonos
en
(7.5)
'escribimos
r,.,l-r:o
(7-e')-+#-(A-BcoslB*lC
cos4B*)'
Sustituimoslosva}orestleloscoeficientes'o:u,,
tt:
a
(7
-
si
@a:Bt)'
{
(,
*
*
r:'+
#
'n)
-
-
(*
,r+
+*
eo) cos
za*
fi';i
"o,
+a,,)
.
(7.''2'l
Comparando
(7.' 2)-:pp:,.
(7,1Q
gbtenem.o
.
:.,i
s.=q.
+*ffi
e2cos2,B*(B,
.:Br)'r.
Suponiendo
que
en
eI
,trTr\inoxgrregido
de
la ltimt
f:11"'*
a.(l
-
ez)
:
M^,o
seadespreciandolstrminosdeloden
{rel
(Aa;-
las
lonsitudes
de
acos
frra
,igunas
latitudes
,,
:
..
.
Tabla
2
-
Br)'s,
obtene:qoP
t'_...,
s
:
4
^-t8';P'I-+
$
r'
gou
za*
ffiff
i.
La
frmula'firr"I
pai^
el
'alcuto
de
las
trihngtaciones
tiene
la,
pllll'-
.'
t::
:*
il"'.:
siguiente
forqA.
.
,.,.
,:u*9ff1t
+
'
togr:togl&G)# *k(Br-Br)'2cos2B*,
donde
,,
log
ft1rog$$
e2,73,9315-ro'
;sff"""2i^f.'
(z.ra)
_
"',,i,u
fr-ota
(7.18) es
ti1
para
distacias
del
orden
de
400
km
(para
s
:
4OOkm
admitiendo
un
error
mxim9
d9l
orden
9a
ft*@,
-
-
nr)rs
se
obtiene'un
erioi
de
prximamnt
igual-d
I
mm
en
el
valpr
de
s);
'*-b-rr,
s'k
45.:
km
-el
vJor"dl
miebro
.de
-correcin
t"^t"
*:T9I
L
T-
(7.{5}
d-e
i;;;"",F
l,*
9";nt".I'e1.q"
|es
qieqb11:*.I'
[T.jJLPI?'"
"
I
-..
pi.
eto
las correcci-Qnes'
de
los
miembros
en
(7'f 3)
pueden
dbsucliais';y.ls
dlculo 'n's'c'dndcen
a
.lg.
siguiente
trnrula
_ ,.
,
En
base
a
Ia
frmula
ti-.t+l
se
pq9d9 resolver
el
probleqa:":ti;;
artl*i,
1a
diferencia'de'longiiud
de
los
puntos
extremo
,r.r,
"iante
la
lopgitud
del--
arc,3
v
su
latifud
media
.:,
..,....
:
(Br-Brl."*fr0':s(1)-:
'
,
,,(''16)
En
ia
pnctica
con
frecu'encia
se
resuelv
el
siguinte
pioblemat
1.";a;,i.i,
f,
f"eit
"
"
primer,punto-_Ai,
rlrdistancia
, l;ffip;
ili;;;
;;iidi^h"
s,
hasta
un''sesundo-plnt
iler
ineri-
[rir,'3."
;;;;;;
t"".i",rr
{a'lqtitud
de
uir segundo
punto
B''
i)r:-\
68
.:.,M
l,
t,i(-;
5
Longitud,del
arco
de
nerldli|n9
en:m
1{0
576,3
1.70854,4
lLl4'1.4,7
111695,8
Despus de
transf
ormaciones
elemntales
r-a t1mqia'
g:'?[Jlt*
, r."
"iiioo
losuritlco.
El
qmero
retenid-o
ds
mi'ep'bros'Qug.garan:
iizan
eI
biculo-de
n
arco
hasta
400
kmS
de
longitud
es
'",
,
,:
:
,;,..
L.
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
13/14
Paradeterminar(Br-Br)empleamoslafrTula(7'16);.sin
".urgo
[a-difereniia'
buscad
-
(9-- 81)
no
puede so,r:
.calculada
directamente
por esta
frmula
ddbido
u
-qU.
es
desconocida
Ia
lati-
ii;;;;i"i.
ia
cual
debe ser
calculdo
eI radio
M*
o
tomdda
i;;"-"iih"d
iijr
.
las
tablas.
Consideremos
la solucin
de este
pro-
bt.*;
;Idalo
eI
mtodo
de
aproximaciones
sucesivas.
-
E;
la'primera
"pt*i.*l.ipn.se.oaloula
(8,
-Br),
utilizanrlo
o""r-1"
cletrminacin
de
(1)
la
latitutl
del primer punto,
y
se
obtiene
f
*l;t
aproximado
cte
(8,
-
Br),
es decir,
Aoliqumosle
a
la expresin
(7.17)
la
frmula
de
simpson
(for-
-"i;";h
p"*elotr,
divldiendo
on
esto el
intervalo
de integracin
en
dos
partes;
entonces
se
puede
escrrbrr
que:
,:+
gvlt+4Mn*Mr).
(7,f
e)
'En
la frmula
(Z.lS)
el
radio
de
curvatura
IVI
se
determina
el
tr"Jp:""["r;"1;il
,t;
-reridiano
buscado,,
en
el
comieoiglla
-tl'.d
i*"i'
-n
areslo
a
laq-latilr1tts.
B-1,
Brt
.B*.:
12.(B]
*
B,)'
.
i,.h",.iinitiva-
ial exfresin
(7.18)'
adquiere
la
siguiente
forma
donde
r:#:8080
2pl.ls-nn
2:
Mr*4M^*
M,
L,B,:(Br_Bt),.
Para
las
distancias
s
de
hasta
1000 km la
frmula
(7.19) garantiza
el
clculo
de la longitud del
arco
de meridiano
con
un
error
del orden
dela2cm.
Para
controlar
los
cicuios
dei
arco de meridiano
s,
ste se
debe
obtener
como diferencia
entre las
longitudes de los
arcos
de
meri-
diano
X,
y
X,
desde el
ecuador
hasta
los
puntos
con
latitudes
82
Bt,
es
decir,
s:
Xz-
Xr
Los
valores de
las
cantidades
Xr
l
X,
se
toman de las
Tablas
oara
el
clculo
de
las coordenadas
planas
conformadas
de Gauss,
hentro
de
]os
imites de
latitudes
desde
30" hasta
80o.
Ejernplo.
El
clculo
de
las
longitudes de
los
arcos de meridiano
mediant
la
frmula
(7.19)
entre
los
puntos
cuyas
latitudes
son
B,
:
:49o29'
58,938"
Y
Bt:
45"30'17,221",
resulta
B,
4dozg'
58,938'
B,
45
30
17
,221.
B;
47
30
08,080
t',
ZurZ,
o{u',3{n
M;
6
372
5ll,4$
;
i\i
3 33
333:?31"
38 221
727,817
r.)
'
30,884
0275
fr
,.4
38r,717
s
t*44
165,M3
m
Control
mediante
la tabla:
paral
latitud.
Bz
.
. .
X2:5485298,588
m
paratra
latitud
B;
.
.
.
X:5041
[fi,243
m
s:444165,345
m
|'
S.
G{,LC[}O.
,PE,,L4+
.-ITONSIIUD
'
DE UN
ARCO
DE
PARAI.BI
EI
paralelo en un
elipsoide
de
rev-oiucin
es
una
circunferencia,
por
est
eI
clculo
de
un arco
de
paralelo
se
reduce a
la
de-terminacin
de un
arco
de
circulferencia
en
base
=a
su
ngulo'central,
el
cual es
igual
a
la diferencia
de
longitudes
de
los
puntos
extremos del
arco.
53
Bz-
Bt*
(Br-
Br).
(Br-BJr:(1)r;
(Br)r:
Bt*(Br-BJr'
uego
Con
este
valorde
la
latitutl
delsegundo
punto
se
caloula
la
latitud
meia
aproximada
(B-)r:
ry;
utilizando
Ia
latitutl
media
anroximada
gue
hemos
hallado
(B-)r'
hallamos
la
diferencia
de
iffiiffir iB,--
Br),
y
la latitud
mdia
(B^)r-en
la
segunda
apro-
.i*i6".'Aialogarminte
se calculan
la
trcera,
la
cuarta,
etc.,
apro-
*i-uio".r,
hasia
tanto
dos
aproximaciones
contiguas
no
resulten
infr;i;;it" l"
Ios
imites
de
ia
exactitucl
dada;
stas sern
adems
lis
aproximaciones
definitivas'
Anteriormente
se
dio
la
solucin
universalmente
admitida
para
d"d";;il11r*"t"
ile
la longitutt
de un
arco
cle
meridian-o,
basada
;-;;".fori.iO,
en seri
con
arreglo.
aI
binomjo
de
Newton
de
iifi-6i
i7i
i)
qo"
se halla
bajo
la integral,
y
su
posterior
integracin
miembro
a
miembro.
-*D;;;
l"mtio
de
manera
diferente
Y,
Por
supuesto,
aproxi'
mala,-otra
solucin
de
la integral
inicial
B2
r:\uaa.
'Bi
(7.t7)
(7.18)
iil
tfi
Itl
B
li
t,-
'52
;t
i,i,
:sr
kLB',
7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov
14/14
El
radio
del paralelo
r
se determina
mediante
la
frmula
(4.g), quo
losee
Ia
siguiente
forma:
,
q
r:
y'f
cos.B-
-
a
cos
B
-
acos
B
-frffi-:_-W--
(8.1)
l,
:
(2)
s,.
sec
B
(8,3)
Esquema
de
resolucin:
La
longitud
del arco
de
paralelo
s,,_que
posee
latitud
B
y
dife-
::il'll
"il
l"#if
fr"'#tre
sus'
;
;;
"
i
at'
o'"
-
7
;
; ;;
; ;;
e v
d
e nte,
s':
lY
cos
B
*f-:
{tr
(8.2)
De
esta
oxnresin
obtenemos
fcirmente
ra
diferencia
de
ras
ron-
f;
i:l#,.,9,*
p""to"
-a"
-i"
p*ril"
-
i,iit"l
l-;ir;ff
".
a
una
I
'B
N
cos B
..lil
''
UP'
iNcosB
l"
/p"
.,p
0"/+5'
46.882'
54032'lg',354
66o392'453,954'
0.5801
5280
32746,882
484,8L37.L0-L
3
708
600,002
0,0133
1726
49 388,390
m
Control en
base
a
las
tablas:
para
B:54"32'19,354'
b'
:179
798,002
lsp:
bt.lo
:
17
,979
8002.2
746,882
scont.
-
49
888,889
ml
Divergenoi,
s$"1.-scont.-
{1
mm.
En
la
tabla
3 se"pued.en
observar
las_longitudes
de
los
arcos
de
3#3i"r,:
para
latitu"
.'"-;
illr#
z;-.""""i
"riiloiii
"
x,"-
t-
EJempto,
Calcular.
la
longitud
del
rco
je
pa"ateto
entre
los
untos,
situados
en
dicho
pr"-rt.lo,
sila.citaaa
difd;;;
ie
rongi-
udes
entre
esos
punroi
y
ta
i^tit"a
;I-;i;"_T
oo,
:
:
g:4sj6,88?"
y
a
:lt.e,
$lli[]."'
vorrrrcar
la
solucin
mediante
la
frmula
ge
control
so
:
bll,,
tilizando
las
Tabras
p"r,
.r
o?trr
;"
ros
pranos
de
cooidenadas
fi#1-rars
de
Gauss, p;
J
i""i,"ir-ae
latltudes
desde
30.
hasta
Llngitud
de
"r"o
d
piit.lo
en
E
30
40
50
60
70
96
4t)9,
I
85
395,3
71
696.9
55
800;e
33 t97,2
4
$r,tr.cro
DE
teB*&tm
IOS
TRApECTO
DnoriNtftlfifrtf
m6ii
'slco
-ElcIculo
del
rea
del trapeoio
de
un
levanta.misnto
o de
la
super-
ficje
del
qap?
se
hace
det_erminando
partes
de
la
superficie
del eiip-
soide,
liaitadas por
las
lneas
de
los
meridianos y
de
los
paralelos.
Tomemos
en
ol elipsoide
D
(fig.
f5)
un
trapecio
infinitampn-
te
pequeio
ABCD.
Los lados
del
mism.o
son elementos
de
arcos de
merldias
y paralelo,
y
sern
iguales
a:
AB:CD:MdB,
AD:BC:NcosBdt.
El
rea
del
trapeoio
elemen-
.--
tal
ABCD
designaa
por
df,
se
expresa por
la
frmula
d.T
:
MN
cos
B dB
dt.'
(9.I)
.:.d,2
-
Zn
MN
cos
B dB
:
2nR2
cos
B
d,B;
o:
d,z:2nbzffi.
tiene,
si
en
la
frmula
de
d,T,
el
valor,dl
se
sstitut
por
2o::o
se
.
(s.2)
55
Top Related