Colegio Santo Ángel de la Guarda
Matemáticas, 2º ESO. Curso 2010-2011
a)
b)
c)
d)
GEOMETRÍA PLANA. Ejercicios resueltos.
1. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas.
Solución:
Hallamos la longitud del lado c, que es el desconocido:
2 2 2 2 2 2 2c a b c 5 2 c 25 4= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ c 29 cm⇒ =
El perímetro, P será:
a 5 cm=
b 2 cm= c
c 7 cm=
a
b 3 cm=
10 cm
8 cm
5 cm
P 5 2 29 12, 4 cm= + + =
Solución:
Hallamos la longitud de a: 2 2 2 2 2 2c a b 7 a 3= + ⇒ = + ⇒
249 a 9⇒ = + ⇒ 2a 49 9 a 40 cm⇒ = − ⇒ =
El perímetro, P será: P 7 3 40 13,3 cm= + + =
Solución:
Hallamos la longitud del lado pequeño del rectángulo, que llamaremos x:
2 2 2 210 8 x 100 64 x= + ⇒ = + ⇒ x 36 6 cm⇒ = =
El perímetro, P será: P 2 8 2 6 28 cm= ⋅ + ⋅ =
Solución:
Hallamos la longitud del lado del cuadrado que llamaremos x:
2 2 2 25 x x 25 2x= + ⇒ = ⇒ 25 5
x cm2 2
⇒ = =
El perímetro, P será: 5 20
P 4 14,1 cm2 2
= ⋅ = =
Ejercicios resueltos de geometría plana Matemáticas 2º ESO
2. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas:
El perímetro: 100
P 3 cm 17, 3 cm3
= ⋅ =
El área: 2ap l n ap perímetro 5,77 17, 3
A 49,9 cm2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = =
ap 5 cm= 7,26 cm
ap x=
4x
10 cm
Solución:
Perímetro: P 5 2,7 13,8 cm= ⋅ = Área:
2ap l n 5 7,26 5A 90,75 cm
2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
Solución:
Calculamos previamente x, aplicando Pitágoras al triángulo indicado:
( )22 2 2 2
2
10 2x x 100 2x x
100100 3x x 5,77 cm
3
= + ⇒ = + ⇒
⇒ = ⇒ = =
2x
x 10 cm
5,77 cm
ap 6 cm=
Solución:
Perímetro: P l n 7 5,77 40,39 cm= ⋅ = ⋅ = Área:
2ap l n 6 5,77 7A 121,17 cm
2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
a)
b)
c)
Matemáticas 2º ESO Ejercicios resueltos de geometría plana
Perímetro: P 3 11,6 cm 34,8 cm= ⋅ =
Área: 2base altura 11,6 13
A 150,8 cm2 2⋅ ⋅
= = =
3. Halla el radio de la circunferencia y el área del círculo asociado, sabiendo
que su longitud es de 12π cm.
Solución:
Radio L 12
L 2 R R 6 cm2 2
π= ⋅π⋅ ⇒ = = =
⋅π ⋅π
Área:
2 2 2A R 3,14 6 113,04 cm=π⋅ = ⋅ =
4. Halla la longitud de arco de las dos circunferencia siguientes y también el
área asociada a esos arcos
30ºθ =R=3 cm
altura 13 cm=
Solución:
Calculamos x, aplicando Pitágoras:
x
x2
13 cm
Solución:
arco
2 R 2 3,14 3 30L 1,57 cm
360 360⋅π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
2 22
sector
R 3,14 3 30A 2,36 cm
360 360π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅
= = =
22 2 x
13 x2 = + ⇒
22 x
169 x4
= + ⇒
25x169
4⇒ = ⇒
169 4x
511,6 cm
⋅⇒ = =
=
d)
a)
Ejercicios resueltos de geometría plana Matemáticas 2º ESO
5. Halla la longitud y el área de la siguiente figura.
( ) ( )
3 31 2 4 1 2 4total
1 2 3 4
L 2 RL L L 2 R 2 R 2 RL
2 2 2 2 2 2 2 2R R R R 3,14 5 3 4 0,5 39, 25 m
⋅π⋅⋅π⋅ ⋅π⋅ ⋅π⋅= + + + = + + + =
=π + + + = + + + =
Área. Es la suma de las áreas de cada uno de los semicírculos que aparecen:
( ) ( )
22 2 23 31 2 4 1 2 4
total
2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4
A RA A A R R RA
2 2 2 2 2 2 2 23,14
R R R R 5 3 4 0, 5 78,89 m2 2
π⋅π⋅ π⋅ π⋅= + + + = + + + =
π= + + + = + + + =
6. Halla el área de la zona comprendida entre el cuadrado y el círculo
2 2 2cuadrado círculoA A A 6 3 36 28,26 7,74 m= − = −π⋅ = − =
120ºθ = R=12 cm
R=3m
Solución:
arco
2 R 2 3,14 12 120L 25,12 cm
360 360⋅π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
2 22
sector
R 3,14 12 120A 150,72 cm
360 360π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅
= = =
b)
Solución:
Longitud. Es la suma de la longitud correspondiente a las semicircunferencias de radio 5, 3, 4 y 0,5 cm:
Solución:
2 2cuadrado círculoA A A l R= − = −π⋅
El radio es 3 m y el lado del cuadrado es el doble de 3 m Entonces, sustituyendo datos:
Matemáticas 2º ESO Ejercicios resueltos de geometría plana
7. Halla el área comprendida entre el círculo y el cuadrado
Ahora sólo nos queda sustituir datos en la expresión del área:
2 2 2círculo cuadradoA A A 6,36 9 46,01 m= − =π⋅ − =
8. Calcula el área de la zona sombreada, sabiendo que la diagonal del
cuadrado es de 1 cm.
Área del círculo: 2
2 2círculo
12A R 3,14 2 3,14 0,39 cm
2 8
=π⋅ = ⋅ = ⋅ =
Entonces:
( )
( )
cuadrado círculocírculo cuadradocuadrado círculo
2
3 A AA AA A A
2 23 0,5 0,39
0,165 cm2
−−= − − = =
−= =
l=9 m
Solución:
2 2círculo cuadradoA A A R l= − =π⋅ −
El lado del cuadrado es 9 m, pero para obtener el radio Hay que hacer unos cálculos previos. Hallamos x. El radio será la mitad de esta distancia:
2 2 2 2x 9 9 x 162 x 162 12,73 m= + ⇒ = ⇒ = = ,
por lo que, como hemos dicho, 12,73
R 6,36 m2
= =
9 m
9 m x
Solución:
círculo cuadradocuadrado círculo
A AA A A
2−
= − −
Área del cuadrado:
2 2 2 2 1 1 21 x x x x cm
2 2 2= + ⇒ = ⇒ = =
2 2cuadrado
1A x cm
2= =
Ejercicios resueltos de geometría plana Matemáticas 2º ESO
9. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que el lado del
triángulo equilátero es de 7 m.
Cálculo del área del triángulo equilátero:
2triángulo
217base altura 7 3 7 7 32A m
2 2 4 4
⋅⋅ ⋅ ⋅
= = = =
Cálculo de la apotema del triángulo:
triángulo 2triángulo
7 322Aap l n 1 74A ap m
2 l n 2 33 7
⋅⋅ ⋅
= ⇒ = = =⋅ ⋅
Cálculo del radio del triángulo:
2 2
2
2 2
2
7 1 7R
2 2 3
7 1 7 7R m
2 2 3 3
= + ⇒
⇒ = + =
Después de todos estos pasos, tan solo nos queda sustituir el radio de la circunferencia y la altura del triángulo en nuestra expresión del área buscada:
2
2 2
217base altura 7 28 21 32A R 4, 3 m
2 3 2 4
⋅ ⋅ π− = π⋅ − =π⋅ − = =
l= 7 m
Solución:
2círculo triángulo
base alturaA A A R
2⋅
= − =π⋅ −
Cálculo de la altura del triángulo:
( )2
2 277 altura
2
7 21altura 7 m
4 2
= + ⇒
⇒ = − =
7 m
7 m
2
altura
ap R
7
2
Matemáticas 2º ESO Ejercicios resueltos de geometría plana
10. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que la diagonal del
cuadrado es de 2 m.
Por otro lado, el radio de la circunferencia (las cuatro esquinas) es la mitad del lado del cuadrado. El área buscada es:
22 2 21
A x R 1 3,14 0, 2 m2 = −π⋅ = − ⋅ =
Solución:
2 2cuadrado círculoA A A x R= − = −π⋅
Cálculo del lado del cuadrado:
( )2 2 2
2
2 x x
2 2x x 1 m
= + ⇒
⇒ = ⇒ =
D
x
x 2 mD =