TEMAS SELECTOS DE FISICA I:VECTORES EN R3
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Miercoles, 29 de septiembre de 2010
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TEMAS SELECTOS DE FISICA I: VECTORES EN R3
VECTORES EN R3
Objetivo:
Las presentes notas surgen de la motivacion de proporcionar alestudiante el material indispensable de vectores en tres
dimensiones. Se busca por este medio cubrir la mayor cantidad deconceptos en un menor tiempo. La presentacion se esmero por ser
autocontenida y precisa.Ciertamente, un porcentaje pequeno de las ecuaciones y
representaciones no fueron demostradas en todo su esplendor yesto fue en gran medida para no hacer el camino de la lectura
interminable. El tiempo estimado en el que el alumno debeapropiarse del material es de 2 horas. La memorizacion es un fin
secundario pero sin dejar de ser parte util para el alumno que buscadefender su aprendizaje en un examen.
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VECTORES EN R3 :Contenido:
Contenido:
I.- Ley del paralelogramo en R2,
II.- Notacion vectorial cartesiana en R2,
III.- Vectores cartesianos,
1 Sistema coordenado derecho,2 Componentes rectangulares de un vector,3 Vector unitario,4 Vectores unitarios cartesianos,5 Representacion de un vector cartesiano,6 Magnitud de un vector cartesiano,7 Direccion de un vector cartesiano.
IV.- Suma y resta de vectores cartesianos,
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I.- Ley del paralelogramo R2
I.- Ley del paralelogramo R2
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I.- Ley del paralelogramo R2
Consideremos las fuerzas que ejercen los tractores que tiran de lacamioneta atascada en el lodo.
Cuando dos vectores forman un angulo se puede recurrir a unatecnica geometrica para encontrar la magnitud y direccion de la
fuerza resultante.Mat. Carlos Lupian Para iniciar la presentacion presiona Ctrl+L
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I.- Ley del paralelogramo R2
Se dibujan los vectores que han de sumarse de manera que suspartes posteriores coincidan. Despues, se traza una proyeccion de
cada vector (lıneas azules) desde la punta del otro vector. La figurade cuatro lados que resulta es un paralelogramo. La resultante de
las fuerzas es la diagonal del paralelogramo (lınea roja), que va delpunto en que coinciden los extremos posteriores de los vectores al
punto en que coinciden los extremos de las lıneas punteadas.
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I.- Ley del paralelogramo R2
Podemos ver que la camioneta no se movera en la direccion deninguna de las fuerzas que ejercen los tractores, sino mas bien en
la direccion de su resultante.Es importante que cuando los angulos de un paralelogramo son de
90o , este se convierte en un rectangulo; si los cuatro lados delrectangulo son de la misma longitud, entonces se tiene un
cuadrado cuya resultante esta a 45o .
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II.- Notacion vectorial cartesiana en R2
II.- Notacion vectorialcartesiana en R2
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II.- Notacion vectorial cartesiana en R2
Introduccion:
Cuando tiene que obtenerse la resultante de mas de dos fuerzas, esmas facil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de
los ejes especificados, sumar esas componentes algebraicamente, yluego formar la resultante, en vez de formar la resultante defuerzas por aplicacion sucesiva de la ley del paralelogramo.
Es importante recalcar que usted ya ha se apropiado del procesopara adquirir las componentes Fx y Fy de un vector fuerza ~F dado;
es decir ya esta familiarizado con el proceso analıtico portrigonometrıa de descomposicion de fuerzas tambien llamado
por algunos autores sencillamente como notacion escalar.
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II.- Notacion vectorial cartesiana en R2
EJEMPLO 1:
PROBLEMA 1: Determine las componentes x y y de ~F1 y ~F2 queactuan sobre la barra mostrada utilizando notacion escalar.
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II.- Notacion vectorial cartesiana en R2
EJEMPLO 1:
SOLUCION: (notacion escalar)
~F1 :
F1x = -100 NF1y = 173 N
~F2 :
F2x = 240 NF2y = - 100 N
Nota: Las cuentas se hicieron por separado.
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II.- Notacion vectorial cartesiana en R2
Tema central de esta seccion:
Tambien es posible representar las componentes de una fuerza enterminos de vectores unitarios cartesianos. Cuando hacemos esto,
los metodos del algebra vectorial son mas faciles de aplicar, yveremos que esto resulta particularmente conveniente en la
resolucion de problemas tridimensionales.En dos dimensiones, los los vectores unitarios cartesianos i y j se
usan para designar las direcciones de los ejes x y y ,respectivamente. Esos vectores tienen una magnitud adimensional
de la unidad y sus sentidos (o cabeza de flecha) seran descritosanalıticamente por un signo mas o uno menos, dependiendo de si
senalan a lo largo de los ejes x y y positivos o negativos.
o
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II.- Notacion vectorial cartesiana en R2
Tema central de esta seccion:
Por tanto, una vez establecida una notacion para representar lamagnitud y la direccion de cada componente vectorial, podemos
expresar ~F como el vector cartesiano:
~F = Fx i + Fy jo bien
~F = {Fx i + Fy j} unidades del vector
A continuacion ejemplificaremos...
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II.- Notacion vectorial cartesiana en R2
Tema central de esta seccion:
PROBLEMA 2: Determine las componentes x y y de ~F1 y ~F2 queactuan sobre la barra mostrada en el PROBLEMA 1 utilizando
ahora notacion vectorial.
SOLUCION: Utilizando los resultados del problema anterior
~F1 = {-100i + 173j} N
~F2 = {240i - 100j} N
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III.- Vectores cartesianos en R3
III.- Vectores cartesianos R3
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III.- Vectores cartesianos en R3
Introduccion:
Las operaciones del algebra vectorial, al aplicarse a la resolucion deproblemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente
cuando los vectores se representan primero en forma vectorialcartesiana. A continuacion se presentara un metodo general para
hacer esto; luego, aplicaremos este metodo a la resolucion deproblemas que impliquen la suma de fuerzas.
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III.- Vectores cartesianos en R3.1) Sistema coordenado derecho:
Se dice que un sistema rectangular, o sistema coordenadocartesiano, es derecho si el pulgar de la mano derecha senala en ladireccion del eje z positivo cuando los dedos de la mano derecha seenrollan alrededor de este y estan dirigidos del eje x positivo hacia
el eje y positivo.
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III.- Vectores cartesianos en R3.1) Sistema coordenado derecho:
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III.- Vectores cartesianos en R3.2) Componentes rectangulares de un vector:
Un vector ~A puede tener una, dos o tres componentesrectangulares a lo largo de los ejes coordenados x , y , z ,
dependiendo de como este orientado con respecto a los ejes.
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III.- Vectores cartesianos en R3.2) Componentes rectangulares de un vector:
En general, cuando ~A esta dirigido dentro de un octante del marcox , y , z , entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley delparalelogramo, podemos resolver el vector en componentes como
~A = ~A′ + ~Az y luego ~A′ = ~Ax + ~Ay .
Vease la siguiente figura...
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III.- Vectores cartesianos en R3.2) Componentes rectangulares de un vector:
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III.- Vectores cartesianos en R3.2) Componentes rectangulares de un vector:
Combinando estas ecuaciones, ~A es representado por la sumavectorial de sus tres componentes rectangulares:
~A = ~Ax + ~Ay + ~Az
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III.- Vectores cartesianos en R3.3) Vector unitario:
La direccion de ~A puede ser especificada usando un vector unitario.Este vector se llama ası porque tiene una magnitud de 1. Si ~A esun vector con una magnitud |A| 6= 0, entonces el vector unitario
que tenga la misma direccion que ~A se representa mediante
~uA =~A|A|
Como ~A es de un cierto tipo, por ejemplo, un vector fuerza, seacostumbra usar el conjunto apropiado de unidades para su
descripcion. La magnitud |A| tambien tiene este mismo conjuntode unidades; por tanto, el vector unitario no tendra dimensiones ya
que las unidades se cancelaran.
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III.- Vectores cartesianos en R3.3) Vector unitario:
Por otro lado observemos que
~A = |A|~uA
indica, por tanto, que el vector ~A puede ser expresado en terminosde su magnitud y su direccion separadamente; esto es,
|A| (un escalar positivo) define la magnitud de ~A
~uA (un vector sin dimensiones) define direccion y elsentido de ~A.
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III.- Vectores cartesianos en R3.4) Vectores unitarios cartesianos:
En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos,i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x , y , z ,
respectivamente.
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III.- Vectores cartesianos en R3.5) Representacion de un vector cartesiano:
Podemos escribir ~A en forma vectorial cartesiana como
~A = Ax i + Ay j + Azk
Existe una clara ventaja en escribir los vectores de esta manera.Advierta que la magnitud y la direccion de cada componente
vectorial estan separadas, y como resultado esto simplificara lasoperaciones del algebra vectorial, particularmente en tres
dimensiones.
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III.- Vectores cartesianos en R3.6) Magnitud de un vector cartesiano:
Siempre es posible obtener la magnitud de ~A si esta expresado enforma vectorial cartesiana.
|A| =√
(Ax )2 + (Ay )2 + (Az )2
Por consiguiente, la magnitud de ~A es igual a la raız cuadradapositiva de la suma de los cuadrados de sus componentes.
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III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:
La orientacion de ~A es definida por los angulos coordenados dedireccion α, β y γ, medidos entre la cola de ~A y los ejes x , y , z
positivos localizados en la cola de ~A.
Advierta que independientemente de hacia donde este dirigido ~A,cada uno de esos angulos estara entre 0o y 180o .
A continuacion un esquema representativo...
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III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:
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III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:
Para determinar α, β y γ, considere la proyeccion de ~A sobre losejes x , y , z
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III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:
Con referencia a los triangulos rectos coloreados en azul,mostrados en cada figura de la diapositiva anterior, tenemos
cosα =Ax
|A|cosβ =
Ay
|A|cosγ =
Ax
|A|
Estos numeros se conocen como cosenos directores de ~A.Una vez obtenidos, los angulos directores coordenados α, β y γ,pueden ser determinados entres mediante los cosenos inversos.
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III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:
Una manera facil de obtener los cosenos directores de ~A es formarun vector unitario en la direccion de ~A como sigue:
~uA =~A
|A|=
Ax
|A|i +
Ay
|A|j +
Az
|A|k
Por comparacion, se aprecia que las componentes i, j, k de ~uA
representan los cosenos directores de ~A, esto es,
~uA = cosα i + cosβ j + cos γ k
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III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:
Una importante relacion entre los cosenos directores es:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Si el vector ~A se encuentra en un octante conocido, esta ecuacionpuede usarse para determinar uno de los angulos coordenados de
direccion si los otros dos son conocidos.
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III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:
Finalmente, si la magnitud y los angulos coordenados de direccionde ~A son dados, entonces ~A puede ser expresado en la forma
vectorial cartesiana como:
~A = |A|~uA~A = |A|cosα i + |A|cosβ j + |A|cos γ k~A = Ax i + Ay j + Azk
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IV.- Suma y resta de vectores cartesianos
IV.- Suma y resta de vectorescartesianos
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IV.- Suma y resta de vectores cartesianosOperaciones
Las operaciones vectoriales de suma y resta de dos o mas vectoresse simplifican considerablemente si los vectores son expresados en
terminos de sus componentes cartesianas. Sean
~A = Ax i + Ay j + Azk
~B = Bx i + By j + Bzk
entonces el vector resultante es
~R = ~A + ~B = (Ax + Bx )i + (Ay + By )j + (Az + Bz )k
del mismo modo, la resta de dos vectores es la resta respectiva desus componentes
~R ′ = ~A− ~B = (Ax − Bx )i + (Ay − By )j + (Az − Bz )k
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IV.- Suma y resta de vectores cartesianosSistema de fuerzas concurrentes
Para encontrar la fuerza resultante de un sistema concurrente defuerzas, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y sume las
componentes i, j, k de todas las fuerzas del sistema.
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IV.- Suma y resta de vectores cartesianosEjemplo:
Exprese la fuerza ~F mostrada en la figura 2-29 como un vectorcartesiano.
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Comentario final:
El lunes resolveremosproblemas adicionales. Saludos.
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