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Solu
ciona
rio ExamendeadmisinUNI
Matemtica
2016-I
PREGUNTA N.o1
Indique la secuencia correcta despus de determinarsi cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F).I. En un conjunto de 4 nmeros cuyo mximo
comn divisor es igual a 1, entonces dichosnmeros son primos dos a dos.
II. Si a y b son nmeros primos, entonces a+btambin es primo.
III. Si a> 3, siendo aprimo, entonces a es de laforma a=6k+1 o a=6k 1, con kN.
A) VFF B) VFV C) FFF D) FFV E) FVV
Resolucin
Tema: Clasificacin de los nmeros enterospositivos, MCD y MCM
Anlisis y procedimiento
I. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: MCD(4; 5; 6; 7)=1 Entonces 4; 5; 6 y 7 son PESI, pero no son
PESI 2 a 2. Para el contraejemplo, 4; 5; 6 y 7no son PESI 2 a 2.
II. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: 7 y
11 son nmeros primos, pero la suma de ellos(7+11=18) no es un nmero primo.
III. Verdadera Por propiedad tenemos que si aes un nmero
primo y a> 3, entonces
a=6+1 a=6 1 a=6k+1 a=6k 1; kN
Respuesta:FFV
PREGUNTA N.o2
Sean N y M nmeros naturales. Al extraer laraz cbica al nmero 2N+M y al extraer la razcuadrada al nmero NM, tienen como residuocero y ambas races son iguales. Determine lasuma de las cifras del mayorNmenor que cien que
satisface tal propiedad.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9
E) 12
Resolucin
Tema:Potenciacin - Radicacin
Anlisis y procedimiento
Del enunciado
2N+M
2N+M=K3
0
K NM
NM=K2
0
K3
Luego
2N+M = K3
3N = K2(K+1)
NM = K2
+
Se observa que
K=3 y K+1=3
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De ah 3N=K2(K+1) K=2 N=4 K=3 N=12
K=5 N=50 K=6 N=84 (mx. y menor de 100)
\ Suma de cifras=8+4=12
Respuesta:12
PREGUNTA N.o3
Sea Q el conjunto de los nmeros racionales,luego todos los valores racionales posibles dexde
manera quex x2 3+ +
sea racional, son de la forma:
A)3
2 1
2
2
+
q
qq, Q
B)3
2 1
1
2
2
+
{ }qq q, Q \
C)3
2 1
1
2
2+
+
{ }qq q, Q \
D)3
2 1
1
2
2
{ }qq q, Q \
E)3
2 1
1
2
2+
{ }qq q, Q \
Resolucin
Tema:Nmeros racionales
Anlisis y procedimiento
Por dato
x x2 3+ + debe ser racional; adems, consi-
deremos que qes un racional que tambin cumple
la condicin para que sea racional.
Luego
x x x q2
3+ + = +
x x x q2 23+ + = +( )
x x x xq q2 2 2
3 2+ + = + +
3 22 = q xq x
3
2 1
2
=
q
qx, siendo 2q 10
q1
2
\3
2 1
1
2
2
{ }qq q, \ Q
Respuesta:3
2 1
1
2
2
{ }qq q, \Q
PREGUNTA N.o4
Seale la alternativa correcta despus de determinarsi cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F),segn el orden dado.I. Existen nmeros positivos a, b, c, dque forman
una proporcin geomtrica discreta y armnica
discreta a la vez.II. Es posible encontrar dos nmeros que estn enrelacin de 3 a 5 cuya diferencia es 200.
III. Existen nmeros positivos a, b, c, dque formanuna proporcin geomtrica discreta y aritmticadiscreta a la vez.
A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF
ResolucinTema:Razones y proporciones
Anlisis y procedimiento
I. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:
3
3
8
8
1
3
1
3
1
8
1
8= =
proporcingeomtrica
discreta
proporci
;
nn armnica
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II. Verdadera Sean ay blos nmeros; del enunciado, tenemos
a
b=3
5
3( 100) 5( 100)= 2( 100)a b 200=
\ a= 300 b= 500
III. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:
5
5
6
65 5 6 6= =
proporcingeomtrica
discreta
proporcin a
;
rritmticadiscreta
Respuesta:VVV
PREGUNTA N.o5
La probabilidad de que haya un temblor en Chilees 0,8 y la probabilidad de que haya un temblor enPer, dado que hubo uno en Chile es 0,4. Determinela probabilidad de que sucedan ambos eventos.
A) 0,12 B) 0,32 C) 0,36 D) 0,40 E) 0,68
Resolucin
Tema:ProbabilidadAnlisis y procedimiento
Considere lo siguiente: P[Ch]: probabilidad de que haya un temblor en
Chile. P
[P
/Ch
]: probabilidad de que haya un tembloren Per, dado que hubo en Chile. P[ChP]: probabilidad de que haya temblor
en Per y Chile.
Del enunciado,P[Ch]=0,8 yP[P/Ch]=0,4.
Sabemos que la probabilidad condicional se define as
P A B P A B
P B/[ ] =
[ ][ ]
(*)
En (*)
P P Ch
P Ch P
P Ch/[ ] =
[ ][ ]
0 4
0 8,
,=
[ ]P Ch P
\ P[ChP]=0,32
Respuesta:0,32
PREGUNTA N.o6
Sea el nmeroN=4a(a+b)b(12). Se afirma
I. Existen valores para a y b tal que la divisinN12 es exacta.
II. Existen valores para a y b tal que la divisinN9 es exacta.
III. Existen valores para a y b tal que la divisinN1000 es exacta.
Cules de las afirmaciones son las correctas?
A) I y II
B) I y III
C) II y III
D) I, II y III
E) solo I
Resolucin
Tema:Divisibilidad
Anlisis y procedimientoRecordemos que
abcde
n e
n de
n cde
n n
n
=
+
( )+( ) +
2
3
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I. Correcta
Demostramos que 4 1212a a b b+( ) =
para algnay b.
Por lo anterior
4 1212a a b b b+( ) = +
12 12
+ =b
=12
b=0 a: 0; 1; 2; ...; 11
II. Correcta
Demostramos que 4 912a a b b+( ) =para algn
ay b.
Por lo anterior
4 912a a b b+( ) =
144 912
+ +( ) =a b b
9 12 13 9
+ +( ) =a b
)
3 4 925
33
a b
+ =
III. Incorrecta Demostramos que
4 100012a a b b+( )
Recordemos que
4000124a(a+b)b12
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PREGUNTA N.o8
Determine el menor nmero natural divisible porlos nmeros primosp, qy r, sabiendo que r q=2p
y rq+p2=676.
A) 2001 B) 2031 C) 2061 D) 2301 E) 2331
Resolucin
Tema:Clasificacin de los Z+
Anlisis y procedimiento
Datos:
r q=2p r=2p+q (I)
rq+p2=676 (II)
Reemplazamos (I) en (II).
(2p+q)q+p2=676
p2+2pq+q2=676
(p+q)2=676
p+q=26 ; r=2p+q
3 23 29 (32329=2001)
7 19 33 (71933=4389)
Luego
N N= = ( )
3
23
29
3 23 29
o
o
o
o
MCM ; ;
= 3 23 29o
= 2001o
\ Nmn=2001
Respuesta:2001
PREGUNTA N.o9
Calcule el valor mnimo de la funcin objetivof(x; y)=3x+6ysujeto a las siguientes restricciones:
2x+3y 12,
2x+5y 16, x 0,
y 0.
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
Resolucin
Tema:Programacin linealAnlisis y procedimiento
Del sistema
2 3 12
2 5 16
x y
x y
+ =
+ =
Obtenemos x=3 y=2
Graficamos la regin factible.
4
16
5 (3; 2)(3; 2)(3; 2)
6 8 X
Y
Como la funcin objetivo f(x; y)=3x+6y tienecoeficientes positivos, entonces el valor mnimo seobtiene en uno de los vrtices: (0; 4), (3; 2) o (8; 0).
Evaluamos en los vrtices.
f (0; 4)=3(0)+6(4)=24
f (3; 2)=3(3)+6(2)=21
f (8; 0)=3(8)+6(0)=24
\ mnf(x; y)=21
Respuesta:21
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PREGUNTA N.o10
Seaf :A Runa funcin definida por:
f xx( ) = ( )
ln log /1 225
donde A=Dom(f) R. Entonces la cantidad denmeros enteros que posee el conjuntoAes:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolucin
Tema:Funcin logartmicaAnlisis y procedimiento
Nos piden la cantidad de nmeros enteros deA=Dom(f).
Para hallar el dominio def, resolvemos la inecuacin.
log log log12
21
2
21
2
5 0 5 1( ) > ( ) > ( )x x
0 < 5 x2< 1
5 < x2< 4
5 >x2> 4
< < < 1} y
B={n R: n An< 1}
DetermineA B.
A) f B)1
22; C)
1
22;
D) + ; ;
1
22 E) R
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Resolucin
Tema:DesigualdadesAnlisis y procedimiento
Tenemos que
B={n R: n A n < 1} ={n R: n A n < 1}
={n R: n AC n < 1}
Nos pidenA B.
A B n n A n B = { R : }
A B n n A n A nC
n
=
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PREGUNTA N.o15
Seafuna funcin afn y biyectiva tal quef(1)=3 yf*(0)=2. Calculef*(6)[f*: funcin inversa def]
A) 2 B) 1 C) 1
2
D) 0 E) 2
Resolucin
Tema:Funcin inversa
Anlisis y procedimiento
Comofes una funcin afn
f(x)=ax+b
Por dato
f(1)=a+b=3 (I)
Ahora
f x b
ax( )*=
Como
f*(0)=2
=b
a2
Luego
b= 2a (II)
De (I) y (II) tenemos
a= 3 b=6
Luego
f x b
a
xx( )*=
=
6
3 f( )
*6
6 6
30=
=
\ f*(6)=0
Respuesta:0
PREGUNTA N.o16
Del polinomio p(x)=2x3 6x2+ 11x 3, se puede
decir que:
A) Tiene dos races enteras y una racional. B) Tiene una raz entera y dos racionales. C) Tiene tres races enteras. D) Tiene tres races racionales. E) Ninguna raz es racional.
Resolucin
Tema:Factorizacin
Anlisis y procedimiento
Sus posibles races racionales se hallan as:
{ }=
= divisores de 3
divisores de 2
1 3
1 21 3
1
2
1;
;; ; ;
33{ }
Se observa que six
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Resolucin
Tema:Matrices
Anlisis y procedimiento
Determinamos las potencias deB.
B1
0 1
1 1=
B2 1 1
1 0=
B I3 1 0
0 1=
= B4=B3B=I B=B
B5=B3B2= IB2=B2 B6=(B3)2=(I)2=I
Se observa que sus potencias son peridicas, conperiodo 6; adems,B+B2+B3+B4+B5+B6= .De ello se concluye que 6 potencias consecutivasse anulan.
Tenemos
f f
f fB B B B
11 12
21 22
25 24 23 2
24
= + + + +...
sumandos
+ +B I2
= +B+ 2I
f f
f f
11 12
21 22
2 1
1 3
=
\ f11+f12+f21+f22=5
Respuesta:5
PREGUNTA N.
o
18
Dado el sistema de inecuaciones
x2+y2 10x 6y< 30,
yx2+ 10x< 27,
10xx2y< 21.
Seale el grfico ms prximo al conjunto solucindel sistema anterior.
A)
X
Y
3
6
B)
X
Y
3
5
C)
X
Y
3
6
D)
X
Y
3
5
E)
X
Y
3
6
Resolucin
Tema:Relaciones
Anlisis y procedimiento
Completando cuadrados, el sistema es
( ) ( )
( )( )
x y
y x
x y
+
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