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ECUACIONESTRIGONOMÉTRICAS
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
• En una ecuación trigonométrica la
incógnita aparece como argumento en
una o varias razones trigonométricas.
• Resolver la ecuación es hallar el
argumento.
TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Existen tres tipos de ecuaciones:• Tipo 1: Nos dan una razón trigonométrica y
hallamos el argumento.
Ejemplos:sen α = 1 cos α = - 1
TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Tipo 2: Nos dan una misma razón trigonométrica con distintos argumentos, las cuales hay que relacionar.
Ejemplos:
3 cos α = sec αtg α = tg 2.α
TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Tipo 3: Nos dan dos o más razones trigonométrica con distintos argumentos, en cuyo caso hay que expresar todas en función de una de ellas para resolver la ecuación.
Ejemplo:• cos α = 2.sen α• sen2 α = cos α + 0,25
razón IC IIC IIIC IVCsen
cos
tancot
Al ángulo marcado como 180 – α le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:
,
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL SEGUNDO CUADRANTE
Al ángulo marcado como 180 + α que está ubicado en el III cuadrante le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL TERCER CUADRANTE
Al ángulo marcado como 360 - α que está ubicado en el IV cuadrante le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL CUARTO CUADRANTE
EJEMPLOS TIPO 1
• sen α = 1 α = arcsen 1 = π/2 +
2kπ
• cos α = - 1 α = arcos (-1) = π + 2kπ
• tg α = 1 α = arctg 1 = π/4 + kπ
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EJEMPLOS TIPO 2• 3 cos α = sec α
3 cos α = 1 / cos α cos2 α = 1/3 cos α = ±√3 / 3α = arcos √3 / 3 = 54’73º y - 54’73ºα = arcos (-√3 / 3) = 125’26º y 234’73º
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EJEMPLOS TIPO 2
tg α = tg 2.α tg α = 2.tg α / (1 – tg2 α) tg α – tg3 α = 2.tg α 0 = tg3 α – tg α0 = tg α.(tg2 α – 1) = tg α. (tg α + 1) (tg α – 1) g α = 0 α = arctg 0 = 0 + k.π radg α = 1 α = arctg 1 = π/4 + k.π radtg α = -1 α = arctg (-1) = 3π/4 + k.π rad
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EJEMPLOS TIPO 2• 4 sen α = cosec α 4 sen α = 1 / sen α sen2 α = 1/4 sen α = ± ½ α = arcsen ½ = π/6 + 2kπ rad y 7π/6 + 2kπ rad α = arcsen (- ½) = - π/6 +2kπ rad y 3π/2 + 2kπ rad
• EJEMPLOS TIPO 3
cos α = 2.sen α
½ = sen α / cos α
½ = tg α
α = arctg ½ = 26’56º + 180º.k
• EJEMPLOS TIPO 3
• sen2 α = cos α + 0,25 1 - cos2 α) = cos2 α + 0,5.cos α + 0,0620 = 2.cos2 α + 0,5.cos α – 0’9375Ecuación 2º grado x=cos αcos α = (- 0’5 ± √ [ 0,25 – 4.2.(– 0’9375) ] ) / 4 cos α = (- 0’5 ± 2,7838) / 4 cos α = 0,4460 α = arcos 0’4460 = ± 63’51º .kcos α = - 0,8210 α = arcos -0’8210 = 145’18º y 214’82º + 360º.k
• EJEMPLOS TIPO 3
sen α – 2.cos α = 0 sen α – 2.(±√(1 - sen2 α)) = 0sen α = ± 2.√(1 - sen2 α) Elevando todo al cuadradosen2 α = 4.(1 - sen2 α)sen2 α = 4 – 4.sen2 α 5.sen2 α = 4 sen2 α = 4/5sen α = ± 2/√5 = ± 2.√5 / 5 = ± 0’4.√5 α = arcsen 0’4.√5 = ± 63’43º + 180º.k
Ejercicio 1
Halla el conjunto solución de la siguiente ecuación:
4 + 5sen x = 2cos2 x
4 + 5sen x = 2(1–sen2x)
4 + 5senx = 2(1–sen2x) 4 + 5senx = 2 – 2sen2x
2sen2x + 5senx + 4 – 2 = 0 2sen2x + 5 senx + 2 = 0
(2senx+1)
2senx + 1=0 ó senx + 2=0
(senx+2)=0
2senx+1=0 ó senx+2=0
senx = 12
senx= –2imposible
III C
IV C 360o –
180o + sen= 1
2 =30o
180o+30o =210o
360o–30o =330o
S=210o + k360o
330o + k360okZó
Ejercicio 2Ejercicio 2
Resuelve la ecuación:Resuelve la ecuación:
3 tan + cot = 3 tan + cot = 55sensen
( 0 < < )( 0 < < )
3 tan + cot = 5
sen
3 sencos sen
cos+ sen
5= · sen cos· sen cos
3 sen2 + cos2 = 5 cos
3(1 – cos2) + cos2 = 5 cos
3 – 3 cos2 + cos2 = 5 cos
3 – 2 cos2 = 5 cos
2 cos2 + 5 cos – 3 = 0
2 cos2 + 5 cos – 3 = 0
(2 cos – 1)(cos + 3) = 0
cos = 12
ó cos = – 3
ImposibleImposible = 3
( 0 < < )( 0 < < )
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