141
CAPTULO 10
FUNCIONES IMPLCITAS
10.1 FUNCIONES IMPLCITAS (reas 1, 2 y 3)
En el curso de Preclculo del 4 semestre se vieron diferentes clasificaciones de las fun-ciones, entre ellas las funciones explcitas y las funciones implcitas. Recordando: Una funcinest escrita en forma explcita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) est despe-jada. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explcita:
23 11 9y x x= ( )2 3 22y x tan x=
( )26 2xy e tan x cos x= 6 9ln xy
x x=
Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no est despejada, sedice que est escrita en forma implcita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funcionesescritas en forma implcita:
Funciones implcitas
142
3 3 8x y xy = ( ) 44 3tan x y x y = +
2 25 7 9 22 6 0x xy x y y + + =4 2y arc sen x y=
Una funcin escrita en forma implcita puede estar as por dos razones: una, porque la va-riable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuandoaparece como parte de algn argumento al mismo tiempo que no parte de algn argumento. Por
ejemplo, en la variable dependiente y aparece como parte del argumento( )24 2y sen x y= del seno y adems como no argumento en 4y. La otra razn es simplemente porque as convinoescribirla, como en (se podra despejar la y )
2 3 5 0x y+ + =
Para obtener la derivada de una funcin implcita se emplean las mismas frmulasdydx
y las mismas reglas de derivacin estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente elcuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra for-ma, la variable dependiente y ocupar el lugar de la u en las frmulas.
Por ejemplo, para derivar debe utilizarse la frmula (6) de la potencia vista en la p-3ygina 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:
NNN
N3 1
3 3d dy y ydx dx
=
n - 1
n u dudx
Funciones implcitas
143
Por lo tanto3 23d dyy y
dx dx=
Para derivar, por ejemplo, debe emplearse la frmula (7) del producto uv vista en6 3x y
la pgina 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:
N N6 3 6 3 3 6d d dx y x y y x
dx dx dx= +
u + v dvdx
dudx
Para derivar debe seguirse el procedimiento visto en la pgina anterior. Por lo tanto,3y
6 2 3 53 6dx y y y xdx
= +
6 3 6 2 5 33 6d dyx y x y x ydx dx
= +
En general, para obtener la derivada de cualquier funcin implcita deben derivarsedydx
ambos miembros de la igualdad aplicando las frmulas ya estudiadas y luego despejar , lodydx
Funciones implcitas
144
Para derivar funciones implcitas:
1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismasfrmulas antes vistas.
2) Despejar , para lo cual:dydx
a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los trminosque contengan a la derivada y del lado derecho todos los trmi-nos que no la contengan.
b) Factorizar en el lado izquierdo .dydx
c) Despejar , dividiendo en el lado derecho el factor que ledydx
multiplica.
cual puede detallarse en la siguiente regla:
Ejemplo 1: Obtener si dydx
7 35 9 4xy y x y = +
Solucin: Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad
( ) ( )7 35 9 4d dxy y x ydx dx = +
Funciones implcitas
145
7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx
= +
( ) N N7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx = +
son de la forma: uv un cdudx
N N NN N3 17 75 5 3 9 4d d d dyx y y x y y
dx dx dx dx+ = +
n-1
u + v n udvdx
dudx
dudx
[ ]6 7 25 7 5 3 9 4dy dy dyx y y ydx dx dx
+ = + 6 7 235 5 3 9 4dy dy dyxy y y
dx dx dx+ = +
Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los trminos que contengan a la derivada ydel lado derecho los que no lo contengan:
6 2 735 3 4 9 5dy dy dyxy y ydx dx dx
=
Funciones implcitas
146
Paso 2b: Factorizando dydx
( )6 2 635 3 4 9 5dy xy y ydx =
Paso 2c: Despejando dydx
7
6 2
9 535 3 4
dy ydx xy y
=
Ejemplo 2: Calcular la derivada si dydx
3y x ln y sen x= +Solucin: Debe tenerse cuidado con casos como ste. Aparentemente la variable y est despejado por
aparecer del lado izquierdo como nico trmino, pero realmente no est despejada por el he-cho de volver a aparecer en el lado derecho. Por lo tanto, es una funcin implcita.
Paso 1: Derivando en ambos lados de la igualdad
( )3d dy x ln y sen xdx dx
= +
N 3dy d dx ln y sen xdx dx dx
= +
son de la forma uv sen u
Funciones implcitas
147
N NN N3 3dy d d dx ln y ln y x cos x x
dx dx dx dx= + +
u + v cos udvdx
dudx
dudx
[ ] [ ]1 3 3d ydy dxx ln y cos x
dx y
= + +
3 3
dydy dxx ln y cos xdx y
= + +
3 3dy x dy ln y cos xdx y dx
= + +
Escribiendo en el lado izquierdo los trminos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen
3 3dy x dy ln y cos xdx y dx
= +
factorizando la derivada:
1 3 3dy x ln y cos xdx y
= +
Funciones implcitas
148
y finalmente despejando la derivada:
3 3
1
dy ln y cos xxdxy
+=
Por las reglas de escritura, como no debe dejarse el resultado como una fraccin compleja, esdecir, fraccin sobre fraccin, entonces para quitar el denominador parcial y basta multipli-car numerador y denominador por y:
( )3 31
y ln y cos xdydx xy
y
+=
3 3dy y ln y y cos xdx y x
+=
Ejemplo 3: Hallar si dydx
2 33 5 4 3 0x y x y+ + =Solucin: Derivando en ambos lados:
2 33 5 4 3 0d d d d d dx y x ydx dx dx dx dx dx
+ + =
26 15 4 0dy dyx ydx dx
+ =
Escribiendo en el lado izquierdo los trminos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen:
Funciones implcitas
149
215 4 6dy dyy xdx dx
=
Factorizando la derivada:
( )215 1 4 6dy y xdx = y finalmente despejando la derivada:
2
4 615 1
dy xdx y
=
Funciones implcitas
150
EJERCICIO 16 (reas 1, 2 y 3)
Obtener la derivada de las siguientes funciones implcitas:dydx
1) 2)8 24 5 7xy x y= 2 36 3 9 4y x x y+ = 3) 4)2 2y y x x = 6 611 11 3 12x y xy x = 5) 6)3 52 7 6 8xy x y y x + = 3 4 6 24x y x y =7) 8)3 62 7y x y= + 4 4y y x=
9) 10)x yy e e= + 723
xy xy
=
11) 12)ln y ln x y x+ = ln xy xy=13) 14)sen xy xy= ( )2 3 2 3cos x y x y = 15) 16)( )2 23 3tan x y x y = + 22 0x yy x =17) 18)x y xy = 0y ln x x ln y+ =
Top Related