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Matemática - Polinomios, Operaciones. - 1 -19
MATEMÁTICA GUÍA �º 14
“POLI�OMIOS, OPERACIO�ES"
En esta guía se tratará sobre:
Polinomios: Definiciones básicas.
Operaciones entre polinomios:
Suma.
Resta.
Multiplicación.
División.
Regla de Ruffini.
Relación entre Dividendo, Divisor, Cociente y Resto.
Teorema del Resto.
Potenciación de Polinomios.
POLI�OMIOS: DEFI�ICIO�ES BÁSICAS.
Un polinomio es una "expresión algebraica entera". Se entiende por esto a
una expresión matemática que involucra letras y números, donde la incógnita (x)
aparece sólo elevada a exponentes naturales (enteros positivos) y multiplicada
por números reales llamados coeficientes. También puede tener un término
constante, llamado término independiente, que correspondería a una potencia de
exponente cero de "x".
P(x) = an xn + an −1 x
n −1 + an −2 x
n −2 +… + a2 x
2 + a1 x + a0
Término
Principal
Término
Cuadrático Término
Lineal
Término
Independiente
an : Coeficiente
Principal
a2 : Coeficiente
Cuadrático
a1 : Coeficiente
Lineal n : Grado
Con n ∈ 0ℕ y [∀ i / i ∈ℕ 0 ∧ (0 ≤ i ≤ n)] : ai ∈ℝ ℕ 0 = ℕ∪{0}
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Con el símbolo 0ℕ se denotan todos los números naturales más el cero.
El polinomio es entonces una sumatoria de términos; compuestos cada uno
de ellos por un coeficiente (número real) y una parte literal (por letras).
Según el número de términos que lo componen, recibe el nombre de
monomio, binomio, trinomio, cuatrinomio, etc. Cuando hay más de un término
se designa genéricamente como polinomio, vocablo que se forma con el prefijo
"poli" (muchos) y "nomio" (de nombre o denominación).
De esta forma un polinomio es una expresión matemática con muchos
"nombres" o denominaciones".
Definiciones:
Grado de un polinomio:"n" Es el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita "x". Por lo tanto es un número natural, o puede ser cero.
Término Principal : Es el término donde la incógnita aparece elevada a su máximo exponente o sea al grado del polinomio.
Coeficiente Principal : Es el coeficiente del término principal, o sea el número real que multiplica a la potencia de mayor grado de "x".
Término Independiente : Es el llamado término de grado cero y es un número real y constante, pues en este término no aparece la variable "x".
Término Lineal : Es el término de primer grado del polinomio. De allí la expresión "lineal" que hace referencia a línea recta.
Coeficiente Lineal : Es el coeficiente del término lineal. Como todos los coeficientes es un número real.
Término Cuadrático : Es el término de segundo grado del polinomio. De allí la expresión "cuadrático" que hace referencia a la parábola.
Coeficiente Cuadrático : Es el coeficiente del término cuadrático. Como todos los coeficientes es un número real.
P(x) = −2 x3
Coeficiente Parte Literal
Monomio
Binomio
Trinomio
Cuatrinomio
Q(x) = 3 x − 2
R(x) = x2 − 2 x + 7
S(x) = 5 x3 + 3 x2 − x + 2
Polinomios
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Polinomio Mónico, o �ormalizado: Es un polinomio cuyo coeficiente principal es igual a uno.
Polinomio Ordenado : En un polinomio ordenado todos los términos se ordenan con las potencias de "x" en forma creciente o decreciente. Lo más
común es el ordenamiento en forma decreciente de los exponentes de "x",
con el término principal en primer lugar.
Polinomio Completo : Un polinomio está completo cuando aparecen en el mismo los términos correspondientes a todas las potencias de "x" desde el
término principal hasta el término independiente. Si un polinomio careciera
de alguna potencia de "x", hay que agregar el término correspondiente a
dicha potencia con un coeficiente igual a cero, para completar al polinomio.
Cuando falte el término independiente es importante acordarse de agregar
el "+ 0" para completarlo, de modo de no cometer errores al realizar la división
P(x) = x5 − 5 x2 + 3 x
Polinomio Ordenado pero
Incompleto
P(x) = x5 + 0 x
4 + 0 x
3 − 5 x2 + 3 x + 0
Polinomio Completo
y Ordenado
Muy Importante: Si falta el término independiente también hay que agregar el "+ 0"
P(x) = x3 − 5 x2 + 3 x + 1
Q(x) = − 1 + 2 x2 − 3 x3 + 7 x4
R(x) = x3 + 3 x
2 − 5 x5
Polinomio Ordenado en
forma decreciente
Polinomio Ordenado en
forma creciente
Polinomio desordenado
P(x) = x + 3
Q(x) = x2 − 5 x + 1
R(x) = x6 − 1
S(x) = x3 + 3 x
2 − 5
Polinomios Mónicos,
o Normalizados
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o aplicar la regla de Ruffini, dado que en estas operaciones se debe reservar una
columna para cada potencia de "x".
Polinomio Reducido: Todo polinomio debe expresarse en forma reducida, lo que implica que deben operarse los términos que tengan la misma parte
literal (iguales potencias de "x"), de modo que quede sólo un término por
cada potencia de "x".
En general, trabajaremos con polinomios con una sola incógnita (casi
siempre "x", pero podría haber otra letra). A veces pueden aparecer otras letras
en la parte literal de los términos de un polinomio además de la incógnita. Para
encontrar el grado del polinomio hay que prestar atención a la letra que se
indique como incógnita y no distraerse con otras letras que pudiera haber.
Por todo lo expuesto, en los polinomios o expresiones algebraicas enteras
no se permiten más que potencias naturales de "x", de modo que no son
polinomios expresiones que tengan a la incógnita:
Dividiendo en fracciones (o sea con potencias de exponente negativo).
Como exponentes en potencias (funciones de tipo exponencial).
Como argumento de logaritmos (funciones de tipo logarítmico). Como argumento de funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.).
Para Practicar 1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios:
a) 5 x3 + 2 x2 − 1
b) 3
5x5 + 2 3x − 6 x2 + 3
c) −3 x3 + 7 x2 − sen(π) x + 5
d) − 3 x3 + 2 x2 − sen(x+1) + 2
e) 4
3− x
4 + 2 x
3 − 2x + 1
f) log (3). x2 − 7 x + 5
P(x) = x5 − 5 a b2 x2 + 3 a6 x + 2 Polinomio en "x" de grado n = 5
Q(s) = t5 − 2 s2 x2 − 5 s4 Polinomio en "s" de grado n = 4
Letras que se indican como incógnitas
P(x) = x5 − 5 x2 + 3 x2 + 2 x Polinomio no Reducido
P(x) = x5 − 2 x2 + 2 x Polinomio Reducido
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OPERACIO�ES E�TRE POLI�OMIOS
A) SUMA:
Para sumar polinomios, hay que tener en cuenta que sólo se pueden sumar
los términos que tienen igual parte literal, o sea iguales letras elevadas al mismo
exponente. Se suman entonces los coeficientes de los términos de la misma parte
literal y se repite idéntica la parte literal.
Conviene en estos casos escribir los polinomios de modo tal que los
términos de igual parte literal queden alineados verticalmente, por ejemplo:
B) RESTA:
Para restar polinomios, el polinomio minuendo menos el sustraendo, hay
que sumar el primero con el opuesto del segundo. O sea que la resta de
Sumar P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7 y Q(x) = − 2 x2 − 3 x +1
P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7
Q(x) = − 2 x2 − 3 x + 1 +
P(x) + Q(x) = − 3 x3 + 3 x2 − 3 x − 6
g) 12 x−3 + 2 x
2 − 1 h) x3 + 3 x2 − 4 x +
2
5
x − 1
Respuestas: a) Sí b) No c) Sí d) No e) No f) Sí g) No h) No
2) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla:
Polinomio Incógnita Grado Coeficiente
Principal
Término
Independiente
P(x) = x3 + 3 − x7 + 5 x
Q(s) = s2 x3 + 3 s
5 − x6 s3
R(t) = 3 t2 − t4 + 2 a − 3 b
S(x) = x + 5 x2 2
3− x
3 + 3
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polinomios es un caso particular de suma, sólo que hay que afectar al segundo
polinomio por el signo menos, lo que implica un cambio de signo para todos los
términos de dicho polinomio.
C) MULTIPLICACIÓ�:
Comenzaremos multiplicando dos monomios:
Ahora multiplicaremos un monomio por un polinomio:
Por ejemplo, si: y
P(x) . Q(x) = − 3 x2 . (5 x2 − 7 x + 3) = − 15 x4 + 21 x3 − 9 x2
P(x) = − 3 x2 Q(x) = 5 x2 − 7 x + 3
P(x) . Q(x) = − 15 x4 + 21 x3 − 9 x2
Se aplica la propiedad distributiva
del producto respecto a la suma.
Dados P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7 y Q(x) = − 2 x2 − 3 x + 1 :
P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7
− Q(x) = + 2 x2 + 3 x − 1 +
P(x) − Q(x) = − 3 x3 + 7 x2 + 3 x − 8
Obtener el polinomio: P(x) − Q(x) P(x) − Q(x) = P(x) + [− Q(x)]
Q(x) = − 2 x2 − 3 x +1 ⇒ − Q(x) = − (− 2 x2 − 3 x + 1) = 2 x2 + 3 x − 1
Por ejemplo, si: y
P(x) . Q(x) = − 3 x2 . 25x3 ⇒
6
5− x
5
Q(x) = 2
5x3 P(x) = − 3 x2
Se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales también entre sí,
en este último caso se aplican las propiedades de potencias de igual base.
P(x) . Q(x) = 6
5− x
5
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Si la multiplicación es entre dos polinomios:
Cuando se multiplican dos polinomios, el polinomio producto obtenido
tiene como grado la suma de los grados de los polinomios operados.
Para Practicar
1) Dados los polinomios:
Resultados: a) − x3 + x2 + 5 x + 6
P(x) = 3 x + 1
Q(x) = x2 − 2 x + 5
R(x) = x3 − 4 x
, hallar:
a) P + Q − R
b) 3 Q − ½ P c) P . Q + R
d) P. (Q + R)
b) 3 x2 − 15/2 x + 29/2 c) 4 x3 − 5 x2 + 9 x + 5 d) 3 x4 + 4 x3 − 17 x2 + 9 x + 5
Por ejemplo, si: y
P(x) . Q(x) = (− 3 x2 + 2 x) . (5 x2 − 7 x + 3) =
P(x) = − 3 x2 + 2 x Q(x) = 5 x2 − 7 x + 3
P(x) . Q(x) = − 15 x4 + 21 x3 − 9 x2 + 10 x3 − 14 x2 + 6 x
P(x) . Q(x) = − 15 x4 + 31 x3 − 23 x2 + 6 x
Se aplica la propiedad
distributiva del producto
respecto a la suma.
Otra forma más cómoda de hacer este producto es:
5 x2 − 7 x + 3
− 3 x2 + 2 x
10 x3 − 14 x2 + 6 x
− 15 x4 + 21 x3 − 9 x2
− 15 x4 + 31 x3 − 23 x2 + 6 x
+
Se realiza el producto como si
se tratara de una multiplicación
entre números, y se van
ordenando los términos de
modo que queden alineados
verticalmente los que tienen
igual parte literal, para luego
sumar estos términos.
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D) DIVISIÓ�:
Antes de explicar el proceso a realizar para dividir dos polinomios,
comenzaremos por un repaso del procedimiento que se sigue para realizar la
división entre dos números.
Para dividir polinomios:
El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma
decreciente.
El polinomio divisor sólo debe estar ordenado en forma decreciente.
Se procede de la siguiente manera:
1) Se toma el término principal del polinomio dividendo y se lo divide por el término principal del polinomio divisor.
2) El resultado se anota en el cociente.
3) Luego se multiplica dicho término del cociente por todos los términos del divisor y se van colocando los resultados, con el signo
cambiado, debajo del término con igual parte literal en el polinomio
dividendo.
4) Se realiza la suma del dividendo más el polinomio recientemente formado. Se verifica que se anule el término principal del dividendo,
con lo cual disminuirá en una unidad el grado del mismo.
5) Se "baja" un nuevo término del dividendo para continuar la división.
9 2
1 4
9 2
8 4
1
9 2
8 4
1
+
Dividendo Divisor
Resto Cociente
O lo que es igual, sumar el
dividendo con el producto cociente
por divisor cambiado de signo
Hallar el resto implica restar
el dividendo con el producto
cociente por divisor
Un proceso parecido a éste seguiremos para dividir polinomios
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6) Se repite el procedimiento con el polinomio que va quedando a la izquierda (volviendo al paso 1), hasta que el polinomio que quede
sea estrictamente de menor grado que el polinomio divisor.
7) Una vez llegado a este punto, el polinomio que queda a la izquierda es el resto y se ha obtenido ya completo el polinomio cociente,
quedando finalizada la división.
Cuando se dividen dos polinomios, el grado del polinomio cociente es
igual a la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor. En este
ejemplo el dividendo es de cuarto grado y como el divisor es de primer grado el
polinomio cociente será de tercer grado.
A su vez, el polinomio resto "siempre" tiene un grado menor al del divisor,
de lo contrario la división no está concluida y debe seguir operándose. En este
ejemplo, donde el divisor es de primer grado el resto será de grado cero, o sea un
número constante.
REGLA DE RUFFI�I
Para resolver divisiones como la precedente, donde el divisor es un
polinomio mónico o normalizado de primer grado, existe una regla práctica: "la
Regla de Ruffini", que permite obtener todos los coeficientes del polinomio
cociente completo y ordenado, y el resto de la división (que en estos casos
siempre es un número constante o sea un polinomio de grado cero).
Por ejemplo, realizar la división: (2 x4 − 3 x2 + 5 x) : (x − 2)
Comenzamos completando y ordenando el dividendo:
D(x) = 2 x4 + 0 x
3 − 3 x2 + 5 x + 0
2 x4 + 0 x
3 − 3 x2 + 5 x + 0 x − 2
432x
2xx
=
− 2 x4 + 4 x3
+ 4 x3 − 3 x2
324x
4xx
=
− 4 x3 + 8 x2
+ 5 x2 + 5 x
25x5x
x=
− 5 x2 + 10 x
+ 15 x + 0
15x15
x=
− 15 x + 30
+
+
+
+
R(x) = 30
2 x3 + 4 x2 + 5 x + 15 = C(x)
Cálculos Auxiliares
En este caso
el Resto es un
polinomio de
grado cero
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Para aplicar la Regla de Ruffini, se procede de la siguiente manera:
1) Se colocan en una misma fila todos los coeficientes del polinomio dividendo completo y ordenado.
2) Trazamos debajo un par de líneas, una horizontal y otra vertical, como muestra el dibujo.
3) En el ángulo de la izquierda se coloca el término independiente del polinomio denominador cambiado de signo, que también equivale a
la raíz o cero del mismo polinomio. Le llamaremos "a".
4) El primer número (el coeficiente principal del dividendo) se baja directamente a la última fila.
5) Se multiplica "cruzadamente" el valor de "a" por el coeficiente principal recientemente "bajado" y el resultado se anota en la
segunda columna y en una segunda fila, debajo de los coeficientes
del dividendo.
6) Se suma algebraicamente en forma vertical, anotándose el resultado en la última fila y se continúa multiplicando en forma cruzada hasta
terminar de operar el último coeficiente del dividendo.
7) Una vez terminado este proceso, el último número de la fila de resultados es el resto del polinomio, que siempre en estos casos
2 0 − 3 5 0
4 8 10 30
2 4 5 15
2
Coeficientes del polinomio
Dividendo completo y ordenado
×
+ + + +
C(x) = 2 x
3 + 4 x2 + 5 x + 15
30 = R(x)
Término
independiente
del Polinomio
divisor
cambiado de
signo "a"
Regla de Ruffini
Resto
Cociente
4 22 x 3 x + 5 x
x 2
−−
= 4 3 22 x 0 x 3 x + 5 x + 0
x 2
+ −−
Condición necesaria para aplicar la Regla de Ruffini:
El divisor debe ser de la forma: x − a
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(cuando el divisor es de la forma: x − a) es un número constante o sea un polinomio de grado cero.
8) Los restantes números de la última fila son los coeficientes del polinomio cociente completo y ordenado.
RELACIÓ� E�TRE DIVIDE�DO, DIVISOR, COCIE�TE Y RESTO
Veremos ahora la relación que existe en toda división entre el Dividendo, el
divisor, el cociente y el resto.
9 2
1 4
Dividendo: D divisor: d
Resto: R Cociente: C
9 = 4 × 2 + 1 ⇒ D = C × d + R
Si se trata de polinomios, se cumplirá: D(x) = C(x) × d(x) + R(x)
Siempre que se haga una división
entre polinomios puede verificarse el
resultado aplicando esta fórmula.
Sólo si una división es exacta
(tiene resto cero) puede
decirse que su resultado es
igual al cociente
Para Practicar 1) Realizar las siguientes divisiones, efectuando la operación completa, y cuando sea posible aplicar la
regla de Ruffini para verificar los resultados obtenidos.
a) 5 3D(x) 3x 2x 6x
d(x) x 2
+ −=+
b) 3 5 6
2
D(x) 2x 3x 5x x 1
d(x) x x 3
− + − + +=+ −
c) 4 2 7 5D(x) 5x 2x 6x x 2
d(x) x 1
− − + +=+
d) 3 4 5
2
D(x) 6x 5x x x 1
d(x) x 1
− − + + +=−
C(x) = 3 x4 − 6 x3 + 14 x2 − 28 x + 50 R(x) = − 100
C(x) = − 5 x4 + 8 x3 − 23 x2 + 45 x − 114 R(x) = 250 x − 341
C(x) = −6 x6 + 6 x5 −5 x4 + 10 x3 −10 x2 + 8 x −8 R(x) = 10
C(x) = x3 + x2 − 5 x + 1 R(x) = − 10 x + 2
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TEOREMA DEL RESTO
El Teorema del Resto se emplea para obtener el resto de una división sin
realizar la misma y aún sin aplicar la Regla de Ruffini. Tiene la misma validez
que la Regla de Ruffini: se aplica sólo para divisiones por un polinomio divisor
de la forma: x − a, o sea para divisores mónicos o normalizados de primer grado. Como veremos más adelante, cuando se intenta factorear un polinomio es
importante conocer el resto de la división de dicho polinomio por otro de la
forma: x − a, incluso antes de realizar la división, porque se busca que el resto sea cero, con lo cual la división será exacta y dicha división se podrá igualar al
cociente obtenido. Cuando ello no ocurre y el resto es distinto de cero se busca
otro polinomio divisor de la forma "x − a" hasta hallar uno para el cual el resto sea cero y por lo tanto la división sea exacta.
En estos casos es útil el Teorema del Resto, donde se buscará obtener en
forma rápida el resto de una división sin siquiera intentar realizarla.
Para Practicar 1) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas anteriormente, mediante la fórmula que
relaciona: Dividendo, divisor, cociente y resto.
Al dividir polinomios, se cumple:
D(x) = C(x) × d(x) + R(x)
D(x) = C(x) × (x − a) + R
Si se toma: x = a , la igualdad también se satisfará:
D(a) = C(a) × (a − a) + R
En este caso el resto
siempre será un número
constante y no una
función de "x"
Si el polinomio divisor es de la forma: x − a
Se obtiene una identidad, o sea una
expresión donde ambos miembros son
iguales para todo valor de "x"
D(a) = R
El Resto de una división de un polinomio D(x)
por otro de la forma: x − a , es igual al valor que toma el polinomio D(x) cuando "x" es igual a "a"
Teorema del Resto
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Si al dividir dos polinomios: D(x)
d(x) el resto es cero, se dice que:
D(x) es divisible por d(x).
La división es exacta.
Si d(x) = x − a, entonces "a" es una raíz o cero de D(x), puesto que D(a) = R = 0 d(x) es un factor de D(x):
POTE�CIACIÓ� DE POLI�OMIOS
Estudiaremos las fórmulas que permiten realizar la potencia cuadrática y
cúbica de un binomio.
(a + b)2 = a
2 + 2 a b + b
2 Cuadrado de
un binomio
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a
2 + a b + a b + b
2
Trinomio
Cuadrado
Perfecto
Cuadrado de un Binomio
Para Practicar 1) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por medio de la aplicación del Teorema del Resto en los
casos que corresponda.
2) Halla el valor de “k” para que: 5 x2 – k x + 3 sea divisible por x + 2. (k = − 23/2)
3) Encuentra el valor de “k” de modo que –1 sea raíz del polinomio: P(x) = x
4 – 3 x
2 + k x + 2 (k = 0)
4) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = x2 + 2 a x + b tenga como raíces a “−5” y “0”. (a = 5/2; b = 0)
5) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = 4 x2 + a x + b deje resto 21 al dividirse por x − 2 y tenga a “−1” como raíz.
(a = 3; b = − 1)
Si R = 0 ⇒ D(x)
= C(x)d(x)
⇒ D(x) = C(x) . d(x)
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Para Practicar 1) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios:
a) (− 5 x3 + 2 x5)2 (25 x6 − 20 x8 + 4 x10)
b) (2 x4 − 11 x3)3 (8 x12 − 132 x11 + 726 x10 − 1 331 x9)
c) (− 7 x2 − 5 x3)2 (49 x
4 + 70 x
5 + 25 x
6)
d) (− 2 x6 − 4 x)3 (− 8 x18 − 48 x13 − 96 x8 − 64 x3)
(a + b)3 = a
3 + 3 a
2 b + 3 a b
2 + b
3
(a + b)3 = (a + b)
2. (a + b) = (a
2 + 2 a b + b
2) . (a + b)
Cubo de un Binomio
a2 + 2 a b + b
2
× (a + b)
a2 b + 2 a b
2 + b
3
a3 + 2 a
2 b + a b
2
a3 + 3 a
2 b + 3 a b
2 + b
3
Cuatrinomio
Cubo Perfecto
Cubo de un
binomio
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Trabajo Práctico �º 14 : "Polinomios, Operaciones"
14.4) Realizar las siguientes divisiones, efectuando la operación completa, y cuando sea posible aplicar la regla de Ruffini para verificar los resultados
obtenidos.
P(x) = x3 – 5 x – 3 x
2 + 15
Q(x) = 4 x3 – 2 x + 5
R(x) = 2 x2 – 3
Hallar:
a) ½ .Q(x) – [R(x) – P(x)]
b) [R(x)]2 – 2 P(x) Q(x)
c) 3 P(x) − 2 Q(x) − [R(x)]3
d) ½ R(x) P(x) − ¼ Q(x)
14.3) Dados los polinomios:
14.2) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla:
Polinomio Incógnita Grado Coeficiente
Principal
Término
Independiente
P(r) = r3 + 3 b
7 − r5 + a
Q(t) = s2 t3 − 5 s5 − t6 s3
R(x) = 3 t5 − x + x4 − 3 x3
S(w) = x3 + 5 x
2 w
3
5+ w
2
14.1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios:
a) 5 x3 + 2x − 5
b) 3
5x5 + π x3 − 6 x2 + ln 3
c) 5 x3 − 7 x2 − sen(πx)
d) − 4 x3 + 2 x2 − 3 x − 1 + 5x
e) e2 x3 − 2 x2 − tg(π) x + 1
f) x2 − 7 x + log x (5)
h) x5 − 7 x−2 + x
3 − 1
g) x3 + 3 x2 − cos(π/4) x − 1
a) 4 2D(x) x 3x 5x
d(x) x 3
− +=−
b)
5 2D(x) 4x + 2x 3x
d(x) x 3
−=+
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14.12) Dado P(x) = 2 x3 − 12 x2 − 2 x + 60; Q1(x) = x − 3 y Q2(x) = x + 5,
entonces:
Ninguna
Respuesta
Anterior es
Correcta
Q1(x) es
factor de
P(x) y Q2(x)
no lo es
Ni Q1(x) ni
Q2(x) son
factores de
P(x)
Q1(x) y Q2(x)
son factores
ambos de
P(x)
Q2(x) es
factor de
P(x) y Q1(x)
no lo es
a) b) c) d) e)
a) (3 x3 − 2 x2)2
b) (− 6 x3 − 7 x5)3
c) (− x4 + 4 x3)2
d) (5 x4 − 2 x2)3
14.11) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios:
14.7) Halla el valor de “k” para que: 3 k x2 – 5 x + 1 sea divisible por x − 3.
14.8) Encuentra el valor de “k” de modo que – 5 sea raíz del polinomio:
P(x) = x4 − 5 x2 − 2 k x + 20
14.9) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = x2 + ¼ a x − 3 b
tenga como raíces a “−3” y “2”. 14.10) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = − 3 a x2 + b x − 2
deje resto −7 al dividirse por x + 1 y tenga a “2” como raíz.
14.6) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por medio de la aplicación del Teorema del Resto en los casos que corresponda.
14.5) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas en el ejercicio anterior, mediante la fórmula que relaciona: Dividendo,
divisor, cociente y resto.
c) 3 2 5
2
D(x) 3x 5x x x 2
d(x) x 2x 3
− + − +=+ −
d) 4 2 3 5
2
D(x) 6x 5x x x 5
d(x) x 3
+ + − −=+
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a3 = − 3; a2 = 2 ; a1 = − 2; a0 = − 1
a3 = 3 ; a2 = − 2; a1 = 2 ; a0 = 1
a3 = 2 ; a2 = − 1; a1 = 2 ; a0 = 0
a3 = 3 ; a2 = − 3; a1 = 2 ; a0 = 2
a)
b)
c)
d)
e)
14.14) Si P1(x) = 2 x3 + 4 x
2 − 5 x + 4; P2(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0;
Q(x) = − x3 + 6 x2 − 7 x + 3 y además Q(x) = P1(x) − P2(x) entonces los coeficientes de P2(x) valen:
Ninguna Respuesta Anterior es Correcta
Ninguna Respuesta Anterior es Correcta
a3 = 0 ; a2 = 2 ; a1 = 2 ; a0 = 1
14.13) Si P1(x) = x3 − 1/27; P2(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 y
Q(x) = P1(x) + P2(x) y además es un Cuatrinomio Cubo Perfecto,
entonces los coeficientes de P2(x) valen:
a3 = 1 ; a2 = − 1 ; a1 = 3 ; a0 = 1
a3 = 0 ; a2 = − 1 ; a1 = 1/3 ; a0 = 0
a3 = 1 ; a2 = − 2 ; a1 = 1/3 ; a0 = 3
a)
b)
c)
d)
e)
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Respuestas del trabajo Práctico �º 14: "Polinomios, Operaciones"
14.2)
14.3)
a) 3 x3 − 5 x2 − 6 x + 41/2
b) − 8 x6 + 24 x5 + 48 x4 − 142 x3 − 2 x2 + 110 x − 141
c) − 8 x6 + 36 x4 − 5 x3 − 63 x2 − 11 x + 62
d) x5 − 3 x4 − 15/2 x3 + 39/2 x2 + 8 x − 95/4
Polinomio Incógnita Grado Coeficiente
Principal
Término
Independiente
P(r) = r3 + 3 b
7 − r5 + a r 5 − 1 3 b
7 + a
Q(t) = s2 t3 − 5 s5 − t6 s3 t 6 − s3 − 5 s5
R(x) = 3 t5 − x + x4 − 3 x3 x 4 1 3 t
5
S(w) = x3 + 5 x
2 w
3
5+ w
2 w 2
3
5 x
3
a) C(x) = x3 + 3 x2 + 6 x + 23 R(x) = 69
b) C(x) = 2 x4 − 6 x3 + 18 x2 − 57 x + 175
R(x) = − 525 c) C(x) = x3 − 2 x2 + 10 x − 31
R(x) = 91 x − 91 d) C(x) = − x3 + 6 x2 + 4 x − 13
R(x) = − 12 x + 34
14.4)
14.5) Verificar el ejercicio anterior 14.6) Verificar el resto en a) y b) del 14.4) .. 14.7) k = 14/27 14.8) k = − 52
14.1) a) No b) Sí c) No d) No e) Sí f) No g) Sí h) No
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a) 9 x6 − 12 x5 + 4 x4
b) −−−− 216 x9 − 756 x11 − 882 x13 − 343 x15
c) x8 − 8 x7 + 16 x6
d) 125 x12 − 150 x10 + 60 x8 − 8 x6
14.9) a = 4 ; b = 2
14.10) a = 4/9 ; b = 11/3
14.11)
14.13) Opción c)
14.12) Opción a)
14.14) Opción b)
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