UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD E INGENIERIA CIVIL EAP: INGENIERIA CIVIL
ANALISIS ESTRUCTURAL IIDOCENTE: ING. ANTONIO DOMIGUEZ MAGINO AUTOR: OWNER HABACUC SALVADOR SALAZAR
Obteniendo los desplazamientos encontraremos las fuerzas en las barras
Obteniendo los desplazamientos encontraremos las reacciones
AR=ARS+ARDD
El Mtodo nos propone que el vector ADS incluye : -El efecto de cargas -Temperatura -Deformacin Previa - Desplazamiento de los apoyos
ADS=ADL+ADT+ADP+ADRDel mismo modo Ams y ARS representan acciones en la estructura fija debidas a todas las causas:
AMS=AML+AMT+AMP+AMR ARS=ARL+ART+ARP+ARR
MARCO PLANO
MARCO TRIDIMENSIONAL
Se supone que las fuerzas aplicadas en el marco estn en el plano de la estructura (x-y).
Las cargas pueden ser de cualquier tipo y orientacin (x-y-z)
Se enumeran los nudos y miembros de la estructura
Se enumeran nudos y miembros del mismo modo que en sistemas planos.
Existe la posibilidad de que hayan 03 desplazamientos independientes en cada nudo. Translaciones en las direcciones x-y y giros en el sentido z.
Existe la posibilidad de que hayan 06 desplazamientos independientes en cada nudo; translaciones en x-y-z y las rotaciones en los sentidos x-y-z.
MARCO PLANO El nmero n de grados de libertad se calcula:
MARCO TRIDIMENSIONAL El nmero n de grados de libertad se calcula:
n=3nj-nr
n=6nj-nr
RIGIDECES DE MIEMBROS DE MARCOS EN EL ESPACIOEste es el caso mas general para el anlisis de estructuras. Parte del principio de 6 movimientos (giros y desplazamientos) en cada extremo de las barras que componen la estructura ;para conseguir la rigidez relativa producida debido a dicho movimientos.
Ejemplo de calculo de matriz de rigidez
SM: matriz de rigidez de miembro en la posicinnormal indicada en la figura anterior
SMD: matriz de rigidez de miembro para los ejes de laestructura, es lo mismo que la matriz SM x la matriz de rotacin de ejes R
SMD = SM*RMARCO EN EL ESPACIOk Y j i
i: miembro tpico con cosenos directores positivos J, k: extremos del miembro.X
El calculo de la matriz de rotacin
Z
R depender de la orientacin delos miembros
11 8k
10 7 9 12
5 2 1 4Y j
i
3 6X
11 10 1 4 5 2j i
7k
8 9
Z
12
6Y X Z
3
OBTENCION DE LA MATRIZ RY YM ROTACION DE EJES PARA UN MIEMBRO EN EL ESPACIO
YS Y XM ,Xi j k
: rotacin de XS y zs respecto al eje yS : rotacin de x y y respecto al eje z : rotacin de z y y respecto al eje x
XS X
Z,Z
ZS
YM Y ZM coinciden conZMlos ejes principales de la seccin transversal
OBTENCION DE LA MATRIZ RYS Y
cos
0 sin 1 0 0 cos
R=i j k
0 -sin
XSSon los cosenos directores
Z
X ZS
de los ejes (x, y, z ) con respecto a los ejes (xs, ys, zs )
Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (ix)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz cos =cx/(cx^2+cz^2) sin =cz/(cx^2+cz^2)
OBTENCION DE LA MATRIZ RY Yi j Lo anterior muestra los cosenos directores de los k
XM , X
cos sin 0
R=
-sin cos 0 0 0 1
Z, Z X
ejes (x, y, z ) con respecto a los ejes (x, y, z )
Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (ix)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz y para este caso cos =(cx^2+cy^2) sin =cy
OBTENCION DE LA MATRIZ RYM Yp ZLo anterior muestra los cosenos directores de los ejes finales (xM, yM, zM ) con respecto a los ejes
Y Yp
1
0
0
R=
0 0
cos sin -sin cos
zM
yROTACION DE UN MIEMBRO DE UN MARCO EN EL ESPACIO RESPECTO AL EJE XM
Luego R = R* R* R, remplazando los datosrespectivamente y operando se obtiene la siguiente matriz
-cx
Cy
Cz
R=
(cx*cy cos-czsin)/ (cx^2+cz^2)cos (-cz*cycos+cxsin)/ (cx^2+cz^2) (cx^2+cz^2)
(cx*cy sin-czcos)/ (cx^2+cz^2)sin (cz*cysin+cxcos)/ (cx^2+cz^2) (cx^2+cz^2)
Los cosenos directores de la anterior matriz cx, cy, cz se obtienen fcilmente dependiendo de las caractersticas espaciales de los marcos y siempre debe ser dato del problema. Luego la matriz de rotacin transformada ser:
R
0 R 0 0
0 0 R 0
0 0 0 R
RT=
0 0 0
FINALMENTE:
SMD = RT*SM*RT
Siendo P un punto arbitrario e el plano XM - YM XPS=XP-Xj YPS=YP-Yj ZPS=ZP-ZjLuego:
YM
YS
P (XP, YP, ZP) XM
i j
k
YPS XS
(Xj, Yj, Zj) ZPS XPS ZS ZM
XPY YPY ZPY
= RY*R*
XPS YPS ZPS
LUEGO RELACIONANDO ESTOS DATOS GEOMETRICAMENTE Sin= zpy/(ypy^2+zpy^2) cos= ypy/(ypy^2+zpy^2)
0
Cy 0 0 0 sin cos
RVERT =
-cy*cos -cy*sin
Sin= zps/(xps^2+zps^2) cos= -zps/(xps^2+zps^2)
a.-ingresamos las coordenadas de los nudos
a.-ingresamos otros datos adicionales
c.-Designaciones de miembro, propiedades y orientaciones
d.-Restricciones de nudo
b.-acciones aplicadas a los nudos a.- datos de carga
NUDO 1
NUDO 1
PARA LAS CARACTERISTICAS DEL EJERCICIO
DESPLAZAMINIENTOS DE NUDOS DESCONOCIDOS
Por lo que nos resta calcular ADL (acciones de extremo en la estructura fija correspondiente a los desplazamientos desconocidos y debido a todas las Cargas, excepto aquellos que corresponden a los desplazamientos desconocidos )
a.- hallamos la matriz de rotacin transformada Rt (barra 1)
Donde R=matriz de rotacin
luego
b.- hallamos la matriz de rotacin transformada Rt (barra 2)
Donde R=matriz de rotacin
luego
C.- hallamos la matriz de rotacin transformada Rt (barra 3)
Donde R=matriz de rotacin
luego
NUDO 1
SMD1=NUDO 2
NUDO 3
SMD2=NUDO 1
NUDO 3
SMD3=NUDO 1
AD=ADS+SD (AD-ADS)=SD (S^-1)(AD-ADS)=D
Donde: D{d,1} AD{d,1}
= =
Matriz de Desplazamientos Desconocidos. Matriz de Cargas en la estructura Original asociado a los Di. Matriz de Cargas en la Estructura Fija asociado a los Di. Acciones en la estructura Fija correspondientes a los desplazamientos y valores unitarios de los desplazamientos (COEFICIENTES DE RIGIDEZ) Acciones de extremo de los miembros de la estructura real. m: nmero de acciones de extremo Acciones de extremo de miembro en la estructura fija debida a las cargas menos a los correspondientes a los desplazamientos Di. Acciones de extremos debidas a los valores unitarios de los desplazamientos
ADL{d,1} = S{d,d} = debidos a AM{m,1} =
AML{m,1}=
AMD{m,d}= de nudo. AR{r,1} =
Reacciones en los apoyos de la estructura real. Reacciones en la estructura fija debidas a todas las cargas menos a los a los desplazamientos Di. Reacciones de apoyo debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de
ARL{r,1} = correspondientes ARD{r,d} = nudo D.