Nusos, enllaços i trenes
Carles Casacuberta
Xerrades Taller 2010–2011
Universitat de Barcelona, 10 de novembre de 2010
November 10, 2010
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Què és un nus?
Per als matemàtics, un nus és una corba tancada a l’espai que no estalla a ella mateixa en cap punt.
Representem els nusos a la pissarra o a la pantalla de l’ordinador ambdiagrames com aquest, on hi ha diversos encreuaments.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Què és un enllaç?
No només s’estudien els nusos, sinó també els enllaços, que estanformats per més d’un corba.
Per exemple, aquest és un enllaç de dues components:
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Classificació dels nusos
Dos nusos es consideren equivalents si es pot passar d’un a l’altrede manera contínua, sense obrir mai la corba.
Els matemàtics intenten des de fa molts anys classificar els nusos;és a dir, obtenir taules on apareguin tots els nusos possibles.
Una idea millor per classificar nusos: intentar assignar a cada nusalgun objecte matemàtic més senzill (com, potser, una equació) queprengui el mateix valor sobre nusos equivalents i idealment, si fospossible, que prengui valors diferents sobre nusos no equivalents.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Classificació dels nusos
Dos nusos es consideren equivalents si es pot passar d’un a l’altrede manera contínua, sense obrir mai la corba.
Els matemàtics intenten des de fa molts anys classificar els nusos;és a dir, obtenir taules on apareguin tots els nusos possibles.
Una idea millor per classificar nusos: intentar assignar a cada nusalgun objecte matemàtic més senzill (com, potser, una equació) queprengui el mateix valor sobre nusos equivalents i idealment, si fospossible, que prengui valors diferents sobre nusos no equivalents.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Classificació dels nusos
Dos nusos es consideren equivalents si es pot passar d’un a l’altrede manera contínua, sense obrir mai la corba.
Els matemàtics intenten des de fa molts anys classificar els nusos;és a dir, obtenir taules on apareguin tots els nusos possibles.
Una idea millor per classificar nusos: intentar assignar a cada nusalgun objecte matemàtic més senzill (com, potser, una equació) queprengui el mateix valor sobre nusos equivalents
i idealment, si fospossible, que prengui valors diferents sobre nusos no equivalents.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Classificació dels nusos
Dos nusos es consideren equivalents si es pot passar d’un a l’altrede manera contínua, sense obrir mai la corba.
Els matemàtics intenten des de fa molts anys classificar els nusos;és a dir, obtenir taules on apareguin tots els nusos possibles.
Una idea millor per classificar nusos: intentar assignar a cada nusalgun objecte matemàtic més senzill (com, potser, una equació) queprengui el mateix valor sobre nusos equivalents i idealment, si fospossible, que prengui valors diferents sobre nusos no equivalents.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Taula de nusos indescomponibles
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Composició de nusos
Dos nusos es poden compondre o sumar, així:
Un nus s’anomena indescomponible o primer si no es pot obtenir coma composició de dos nusos no trivials.
Horst Schubert va demostrar el 1949 que tot nus es potdescompondre en nusos primers, de manera única llevat del’ordre (igual com passa amb els nombres enters!).
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Nusos primers
El nombre de nusos primers de n encreuaments per a cada n és:
n nusos primers
3 14 15 26 37 78 219 49
10 16511 55212 2.17613 9.98814 46.97215 253.29316 1.388.705
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Taula d’enllaços
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
La teoria de Lord Kelvin
La primera taula de nusos (amb diagrames de fins a 7 encreuaments)la va elaborar un físic escocès anomenat Peter Tait entre 1876 i 1877,motivat per la teoria de William Thomson (Lord Kelvin) que els àtomseren petits remolins de l’èter amb formes de nusos. En aquellaèpoca es creia que l’èter omplia l’univers.
Peter Tait (1831–1901) William Thomson (1824–1907)
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Taula completa de nusos
Entre 1885 i 1899, el matemàtic i enginyer americà Charles Little vaelaborar una taula de nusos de fins a 10 encreuaments. La seva taulaes va considerar correcta fins a 1974, on un advocat anomenatKenneth Perko va descobrir que hi havia una repetició: dos nusosde la taula eren en realitat equivalents.
El dos nusos del “parell de Perko” són equivalents
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El parell de Perko
Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Moviments de Reidemeister
Kurt Reidemeister va demostrar el 1930 que, si dos diagramesrepresenten nusos equivalents, llavors hi ha una successió finita demoviments dels tipus següents que passa d’un diagrama a l’altre:
Kurt Reidemeister (1893–1971)
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Un nus que es pot desfer
Per exemple, el nus següent és equivalent al nus trivial, i podemdemostrar-ho amb moviments de Reidemeister:
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Un nus que es pot desfer
Per exemple, el nus següent és equivalent al nus trivial, i podemdemostrar-ho amb moviments de Reidemeister:
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Un nus que es pot desfer
Per exemple, el nus següent és equivalent al nus trivial, i podemdemostrar-ho amb moviments de Reidemeister:
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Un nus que es pot desfer
Per exemple, el nus següent és equivalent al nus trivial, i podemdemostrar-ho amb moviments de Reidemeister:
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Tricoloracions
Una manera de demostrar que un nus no és trivial és trobar unatricoloració d’un diagrama seu: assignar un color a cada tram deldiagrama, fent servir exactament tres colors, de manera que en cadaencreuament es trobin tres colors diferents o bé un sol color.
Tricolorable Tricolorable No tricolorable
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Tricoloracions
El fet clau és que els moviments de Reidemeister conserven lapropietat d’admetre una tricoloració:
Per tant, els diagrames tricolorables representen nusos no trivials.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Polinomis de nusos
Un procediment semblant al mètode de tricoloració, però molt méspotent, és l’assignació d’un polinomi a cada nus (i a cada enllaç).
El polinomi es calcula a partir d’un diagrama qualsevol del nus o del’enllaç i es demostra que no varia per moviments de Reidemeister.
Els més coneguts són el polinomi d’Alexander (1928), el polinomi deJones (1984) i el polinomi HOMFLY (Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd,Lickorish, Yetter, 1985).
James Alexander Vaughan Jones
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Polinomis de nusos
Un procediment semblant al mètode de tricoloració, però molt méspotent, és l’assignació d’un polinomi a cada nus (i a cada enllaç).El polinomi es calcula a partir d’un diagrama qualsevol del nus o del’enllaç i es demostra que no varia per moviments de Reidemeister.
Els més coneguts són el polinomi d’Alexander (1928), el polinomi deJones (1984) i el polinomi HOMFLY (Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd,Lickorish, Yetter, 1985).
James Alexander Vaughan Jones
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Polinomis de nusos
Un procediment semblant al mètode de tricoloració, però molt méspotent, és l’assignació d’un polinomi a cada nus (i a cada enllaç).El polinomi es calcula a partir d’un diagrama qualsevol del nus o del’enllaç i es demostra que no varia per moviments de Reidemeister.
Els més coneguts són el polinomi d’Alexander (1928), el polinomi deJones (1984) i el polinomi HOMFLY (Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd,Lickorish, Yetter, 1985).
James Alexander Vaughan Jones
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Exemple
Trèvol esquerrà: p(t) = t + t3 − t4
Trèvol dretà: p(t) = −t−4 + t−3 + t−1
El canvi de t per t−1 converteix el polinomi de Jones d’un nus enel polinomi de la seva imatge especular.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Nus vuit
Polinomi del nus vuit: p(t) = t−2 − t−1 + 1 − t + t2
El canvi de t per t−1 no altera aquest polinomi, perquè el nus vuit ésamfiquiral: és equivalent a la seva imatge especular.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El polinomi de Jones és molt interessant
S’ha conjecturat que, si el polinomi de Jones d’un nus és igual a 1,llavors el nus és trivial. Però això, per ara, no s’ha pogut demostrar.
Els polinomis van molt bé per saber si un nus és indescomponible.Si un nus és compost, llavors el seu polinomi de Jones ésproducte dels polinomis dels nusos components. Per exemple,
t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 = (t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El polinomi de Jones és molt interessant
S’ha conjecturat que, si el polinomi de Jones d’un nus és igual a 1,llavors el nus és trivial. Però això, per ara, no s’ha pogut demostrar.
Els polinomis van molt bé per saber si un nus és indescomponible.Si un nus és compost, llavors el seu polinomi de Jones ésproducte dels polinomis dels nusos components.
Per exemple,
t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 = (t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El polinomi de Jones és molt interessant
S’ha conjecturat que, si el polinomi de Jones d’un nus és igual a 1,llavors el nus és trivial. Però això, per ara, no s’ha pogut demostrar.
Els polinomis van molt bé per saber si un nus és indescomponible.Si un nus és compost, llavors el seu polinomi de Jones ésproducte dels polinomis dels nusos components. Per exemple,
t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 =
(t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El polinomi de Jones és molt interessant
S’ha conjecturat que, si el polinomi de Jones d’un nus és igual a 1,llavors el nus és trivial. Però això, per ara, no s’ha pogut demostrar.
Els polinomis van molt bé per saber si un nus és indescomponible.Si un nus és compost, llavors el seu polinomi de Jones ésproducte dels polinomis dels nusos components. Per exemple,
t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 = (t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El polinomi de Jones és molt interessant
S’ha conjecturat que, si el polinomi de Jones d’un nus és igual a 1,llavors el nus és trivial. Però això, per ara, no s’ha pogut demostrar.
Els polinomis van molt bé per saber si un nus és indescomponible.Si un nus és compost, llavors el seu polinomi de Jones ésproducte dels polinomis dels nusos components. Per exemple,
t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 = (t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Trenes
Una trena matemàtica de quatre fils i una trena de veritat de cinc fils:
En tancar una trena (unint la part superior amb la part inferior),s’obté un nus o un enllaç:
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Composició de trenes
Les trenes també es poden compondre:
+ =
Tota trena es pot escriure com una composició dels generadorsσ1, σ2, . . . , σn, . . . següents i els seus inversos:
. . . . . .σ1 σ2 . . . σn . . .
Per tant, tota trena admet una trena inversa.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El grup de trenes d’Artin
El conjunt de totes les trenes de n fils forma un grup Bn,anomenat grup de trenes de n fils, que va ser estudiat perEmil Artin (1898–1962).
L’estructura i les propietats d’aquests grups de trenes Bn es coneixenmolt bé des de fa dècades.
James Alexander va demostrar el 1923 que qualsevol nus es potobtenir tancant alguna trena.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El grup de trenes d’Artin
El conjunt de totes les trenes de n fils forma un grup Bn,anomenat grup de trenes de n fils, que va ser estudiat perEmil Artin (1898–1962).
L’estructura i les propietats d’aquests grups de trenes Bn es coneixenmolt bé des de fa dècades.
James Alexander va demostrar el 1923 que qualsevol nus es potobtenir tancant alguna trena.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El grup de trenes d’Artin
El conjunt de totes les trenes de n fils forma un grup Bn,anomenat grup de trenes de n fils, que va ser estudiat perEmil Artin (1898–1962).
L’estructura i les propietats d’aquests grups de trenes Bn es coneixenmolt bé des de fa dècades.
James Alexander va demostrar el 1923 que qualsevol nus es potobtenir tancant alguna trena.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Teorema de Markov
Andrei Markov va demostrar el 1936 que en tancar dues trenes s’obtéel mateix nus si i només si es pot passar de l’una a l’altra amb unasuccessió finita de moviments del tipus següent:
Per tant, el Teorema de Markov dóna un mètode algebraic perclassificar els nusos.
Andrei Markov (1903–1979)
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Criptografia amb trenes
La dificultat d’esbrinar, fins i tot amb un ordinador, quan dues trenesmolt grans donen lloc al mateix nus ha donat lloc a mètodesd’encriptació de clau pública:
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Electroforesi en gel d’ADN cíclic
Les molècules d’ADN cíclic en els nuclis de les cèl·lules tenen formade nus:
L’electroforesi de gel s’utilitza en bioquímica per separar molèculesaprofitant les seves característiques físiques, com la grandària o laforma. Serveix com a tècnica analítica.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Electroforesi en gel d’ADN cíclic
Les molècules d’ADN cíclic en els nuclis de les cèl·lules tenen formade nus:
L’electroforesi de gel s’utilitza en bioquímica per separar molèculesaprofitant les seves característiques físiques, com la grandària o laforma. Serveix com a tècnica analítica.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Electroforesi en gel d’ADN cíclic
En el cas de les molècules d’ADN cíclic, la seva velocitat demoviment cap a un dels electrodes depèn del tipus de nus queformen: com més complicat és el nus, més de pressa es desplacenles molècules pel gel.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Topoisomerases
Les topoisomerases són enzims que despleguen i tornen a embolicarles hèlixs d’ADN per tal de controlar la síntesi de proteïnes.
Les molècules d’ADN desplegades i les embolicades són isòmers:tenen la mateixa composició química però difereixen en la sevatopologia, que és modificada per les topoisomerases.
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Teoria de cordes
La teoria de cordes de la física actual postula que les partículeselementals més petites que es coneixen són anells que vibren.
Model teòric d’una col·lisió de partícules
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Teoria de cordes
La teoria de cordes de la física actual postula que les partículeselementals més petites que es coneixen són anells que vibren.
Model teòric d’una col·lisió de partícules
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
El nusos són molt útils!
Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011
Top Related