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1. Un sistema que controla una planta de temperatura dentro de un procesoindustrial tiene la siguiente estructura:
Modelar el sistema en lazo abierto (sin realimentacin), donde se involucrensolamente el regulador y la planta. Se sugiere el uso de Matlab, scilab u otro software que est a su alcance. Una vez realizado esto, se debe variar la
ganancia del regulador de forma sistemtica y observar la respuesta del sistemaCuando la entrada C(s) es un escaln y cuando es un impulso.
Se deben tomar pantallazos de las diferentes respuestas, y completar la siguienteTabla con los valores de K indicados.
Valorde K
ENTRADA IMAGEN DE LA RESPUESTA (PANTALLAZO)
2 IMPULSO Entrada Valor de k=2 impulsonum=[0 0 2 14];
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den=[1 2 3 1];impulse(num,den)grid
2 ESCALON Entrada Valor de k= 2 escaln
num=[0 0 2 14];den=[1 2 3 1];
step(num,den)grid
4 IMPULSO Entrada Valor de k=4 impulso
num=[0 0 4 28];den=[1 2 3 1];impulse(num,den)grid
4 ESCALON Entrada Valor de k= 4 escalnnum=[0 0 4 28];den=[1 2 3 1];step(num,den)grid
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6 IMPULSO Entrada Valor de k=6 impulso
num=[0 0 6 42];den=[1 2 3 1];impulse(num,den)grid
6 ESCALON Entrada Valor de k= 6 escaln
num=[0 0 6 42];den=[1 2 3 1];step(num,den)grid
8 IMPULSO Entrada Valor de k=8 impulsonum=[0 0 8 56];den=[1 2 3 1];impulse(num,den)grid
8 ESCALON Entrada Valor de k= 8 escaln
num=[0 0 8 56];
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den=[1 2 3 1];step(num,den)grid
Tabla 1. Respuesta del Sistema en Lazo Abierto
Posteriormente, se debe modelar el sistema realimentado (lazo cerrado) donde se
Involucren el regulador, la planta y el sensor como originalmente se encuentra. DeIgual forma, realizar la variacin de la ganancia del regulador con entradasimpulso y escaln y completar la siguiente tabla.
Valor
de K
ENTRADA IMAGEN DE LA RESPUESTA (PANTALLAZO)
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6 IMPULSO
6 ESCALON
8 IMPULSO
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8 ESCALON
Tabla 2. Respuesta del Sistema en Lazo Cerrado
Responder las siguientes preguntas:
Qu efectos produce en la salida la variacin de la ganancia del reguladoren lazo abierto ante una entrada escaln?
Ante entrada escaln a medida que la ganancia del regulador aumenta en
lazo abierto, la salida tiende a estabilizarse en valores ms altos, lo que
incrementa el error en estado estacionario.
Qu efectos produce en la salida la variacin de la ganancia del reguladoren lazo abierto ante una entrada impulso?Ante entrada impulso a medida que la ganancia del regulador aumenta en
lazo abierto, la salida tiende a tener picos ms altos ms altos, lo que demora
ms la respuesta en ir a cero.
De qu manera influye la ganancia K en la estabilidad del sistema?
Un sistema estable es aqul que permanece en reposo a no ser que se excite por
una fuente externa, en cuyo caso alcanzar de nuevo el reposo una vez que
desaparezcan todas las excitaciones. Para que un sistema sea estable, las racesde la ecuacin caracterstica o polos deben estar situadas en el lado izquierdo del
semiplano complejo de Laplace:
De qu manera influye la ganancia K en el tiempo de asentamiento de larespuesta del sistema?
A mayor k la respuesta tiende a ser ms oscilatoria y tiende a estabilizarse.
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Cul es la influencia de la realimentacin en la estabilidad del sistema?
El efectuar realimentacin permite que la ganancia global del sistema
disminuya, disminuyendo el error en estado estacionario y haciendo que la
respuesta asiente ms rpido. Ms rpido se alcanza el setpoint.
2. Utilizando el criterio de Routh-Hurwitz, especificar el rango de K para el cual elsiguiente sistema es estable
Se debe especificar todo el procedimiento empleado, incluyendo la forma deCalcular el arreglo de Routh-Hurwitz
Routh- Hurwitz funcin de transferencia en lazo cerrado
3. Disear un controlador PID para una planta con la siguiente funcin deTransferencia (utilizar realimentacin unitaria en el lazo de control):
El diseo se debe elaborar de tal forma que el sistema ya realimentado obtengauna respuesta con las siguientes caractersticas:
Tiempo de establecimiento menor a 2 segundosSobre impulso menor al 5%
Utilizar el mtodo deseado para el diseo. Se debe especificar todo elprocedimiento empleado en el clculo de las constantes del controlador y su
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respectiva sintonizacin. Modelar en Matlab, scilab u otros cuando sea
necesario y finalmente, el controlador diseado debe aplicarse a la plantamodelando el lazo de control en el software y mostrando su respectiva respuesta.
Para realizar el diseo de este controlador procederemos a verificar la respuesta de la planta en
lazo abierto a la respuesta de un escalon unitario, la cual graficaremos con Simulink de Matlab
para saber si podemos aplicar el Primer mtodo de ZieglerNichols:
Respuesta a la funcin de transferencia
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A la cual encontramos como respuesta una curva en forma de S lo cual determina que podemos
aplicar el primer mtodo de ZieglerNichols, el cual se basa en encontrar un punto de inflexin en la
grafica la cual podremos encontrar los parmetros de retardo (L) y constante de tiempo (T)
dibujando una recta tangente al punto de inflexin de la grfica conocida como la la curva de
reaccin del proceso, como lo expone el mtodo de ZieglerNichols.
Para ello utilizaremos los siguientes comandos en MATLAB para determinar los valores de L y T
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%Calculo grafico de Tau, L de la planta
num=[2];
den=[1 3 7];
Gp=tf(num,den);%Funcin de Transferencia de la Planta
pp=pole(Gp);%Polos de la planta
dt=0.05;
t=0:dt:8;
y=step(Gp,t)';%Respuesta del sistema de un Escalon
dy=diff(y)/dt;
[m,p]=max(dy);
d2y=diff(dy)/dt;
yi=y(p);
ti=t(p);
L=ti-yi/m;
T=(y(end)-yi)/m+ti-L;
figure(1)
plot(t,y,'b',[0 L L+T t(end)],[0 0 y(end) y(end)],'k')
title('Respuesta al escalon')
ylabel('Amplitud')
xlabel('Tiempo')
legend('Exacta','Aproximacion Lineal')
grid
De lo cual obtendremos
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Los valores obtenidos son L=0.1362 y T=0.7374
Con estos valores obtenidos obtendremos los valores de Kp, Ki y Kd utilizando la tabla del mtodo
de ZieglerNichols
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Controlador Kp Ti Td
P 0
PI 0
PID
Primero remplazaremos los valores L y T obtenidos para hallar en el controlador PID los valores de
Kp, Ti y Td con los cuales se hallara Ki y Kd
Controlador PID
Hallados estos valores podemos expresar la funcin del controlador PID en trminos de S:
Ya tenemos la funcin del controlador PID ahora obtendremos la funcin de transferencia de lazo
cerrado que involucra el controlador y la funcin de la planta con retroalimentacin de donde
obtendremos:
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la cual tambin se puede obtener empleando el siguiente cdigo en Matlab
%PRIMER METODO DE ZIEGLER NICHOLS
%Calculo de las constante kp, ki y kd del PID)
kp=1.2*(T/L);%Constante proporcional
Ti=2*L;%Tiempo integral
Td=0.5*L;%Tiempo derivativo
ki=kp/Ti;%Constante Integral
kd=kp*Td;%Constante derivativa
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disp('Funcin de Transferencia del Controlador Z-N')
Gc=tf([kdkpki],[1 0])
disp('Constantes del controlador PID Z-N')
disp('Kp = ')
disp(kp)
disp('Ki = ')
disp(ki)
disp('Kd = ')
disp(kd)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%LAZO CERRADO
Glc=feedback(Gc*Gp,1);
figure(2)
step(Glc)
legend('PID Z-N')
figure(3)
pzmap(Glc)
grid
Ya hemos obtenido la funcin del controlador y su Funcin en lazo cerrado procederemos a ver la
grfica de la funcin en lazo cerrado para analizar dicha respuesta
Como podemos observar tenemos en la respuesta un sobre impulso de 43.2% y su tiempo de
establecimiento es de 6.32 Segundos
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Segn lo que nos pide el diseo del Controlador PID en sus especificaciones es que el sobre
impulso sea menor del 5% y su tiempo de establecimiento sea menor de 2 Segundos
para este diseo procederemos a emplear el mtodo de refinamiento de constantes. Por lo tanto
tenemos que hacer un refinamiento al sistema PID modificando Kp, Kd y Ki a ensayo y error hasta
obtener las condiciones deseadas.
Para esto debemos entender los conceptos de las constantes para saber cuales aumentar y cuales
disminuir. En este caso disminuiremos la Ki ya que no tenemos la
necesidad de corregir algun error en estado estacionario, ya que este controlador PI ayuda a
corregir los errores en estado estacionario. Se aumentara la Kd por que tendremos una mayoramortiguacion en el transitorio y aumentarmos la Kp para aumentar su ganancia proporcional.
Entonces aumentaremos Kd en un 400% y Kp la dejomos igual y disminuiremos Ki en un 30% su
valor, para obtener el refinamiento de las constantes que se necesita para el diseo que se
propuso en esta actividad.
para esto llamaremos a las constantes refinadas como Kp1, Kd1 y Ki1 de las cuales obtendremos
sus valores de la siguiente manera:
Con estos valores podemos obtener la funcion de transferencia en terminos de S en el controlador
PID a la cual llamaremos Gc1 y la funcion en lazo cerrado final para el diseo solicitado, el cual
llamaremos Glc1 que nos quedaran de la siguiente forma:
Funcion de transferencia lazo cerrado Refinado.
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Halladas las funciones de transferencia Glc y Glc1 en lazo cerrado compuestas por controlador PID
la funcin de la planta y su realimentacin a la respuesta de un escaln unitario graficaremos las 2
en una misma grfica y obtener una comparacin, observando que la grfica del PID refinado
cumple con el diseo propuesto para esta actividad. Para las grficas utilice los siguientes
comandos en MATLAB obteniendo tambin la grfica de los polos y ceros.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%REFINAMIENTO DE LAS CONSTANTES
kp1=3*kp;
kd1=3*kd;
ki1=0.4*ki;
disp('Funcin de Transferencia del Controlador Z-N Refinado')
Gc1=tf([kd1 kp1 ki1],[1 0])
Glc1=feedback(Gc1*Gp,1);
disp('Constantes del controlador PID Z-N Refinado')
disp('Kp1 = ')
disp(kp1)
disp('Ki1 = ')
disp(ki1)
disp('Kd1= ')
disp(kd1)
figure(4)
step(Glc,Glc1)
legend('PID Z-N','PID Refinado')
figure(5)
pzmap(Glc1)
grid
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Observada las grficas obtenemos un sobre impulso del 3.79% y un tiempo de establecimiento
de 1.23 Segundos en la grfica de la funcin de transferencia de lazo cerrado Glc1 refinado,
cumpliendo con las especificaciones para el diseo obteniendo con una ms rpida estabilidad
del tiempo.
Anexare las grficas de los polos y ceros para cada una de las funciones de lazo cerrado,
comenzando por la de la Glc y luego la de Glc1.
Glc1
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Para su anlisis de estabilidad.
Para verificacin de los resultados se pueden obtener cada uno de ellos en su aproximacin con
todos los comandos anexados para correr en MATLAB
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