Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 10
2. MEMORIA DESCRIPTIVA
2.1. EL MODELO LINEAL
En aras de conseguir el objetivo marcado en este trabajo de
investigación, se buscará, de manera razonada, la forma de linealizar las
ecuaciones no lineales que rigen un flujo de cargas de cualquier sistema
eléctrico:
( )
( )∑
∑
=
=
−=
+=
n
jijijijijjii
n
jijijijijjii
BsenGVVQ
senBGVVP
1
1
cos
cos
θθ
θθ
ni ,...,2,1=
2.1.1. Aproximaciones
Para, partiendo de un modelo no lineal de ecuaciones, llegar a
conseguir uno que sí lo sea, se deben introducir ciertas simplificaciones
o aproximaciones, debidamente justificadas, que lo hagan posible.
Más tarde se comprobarán los errores que se cometen al llevar a cabo
dichas aproximaciones.
Escribiendo las ecuaciones tal como,
( )
( )∑
∑
=
=
−=
+=
n
jijjiijijjiiji
n
jijjiijijjiiji
VVBsenVVGQ
senVVBVVGP
1
1
cos
cos
θθ
θθ
ni ,...,2,1=
lo primero en lo que se piensa es en linealizar el término
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ijjiVV θcos
Siendo y i j dos nudos adyacentes conectados por una línea eléctrica
de impedancia Z como se muestra en la figura 2:
i ijZ j
iii VU θ∠= jjj VU θ∠=
UΔ+ −
ijI
Figura 2. Nudos adyacentes
Las correspondientes tensiones en cada uno de los extremos de la
línea, se pueden obtener la ecuación:
jijiji UIZU +=
cuyo diagrama fasorial es:
iθ
jθijθ
ijI
UΔ
iV
jV
Figura 3. Diagrama Fasorial
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Aplicando el teorema del coseno a cierta parte de dicho diagrama, que
se representa en la figura 4, más alguna suposición que ahora se
pondrá de manifiesto, se intuye estar cerca de una posible linealización
de este primer término.
ijθ
UΔ
iV
jV
Figura 4. Diagrama Fasorial
Por el teorema del coseno:
( ) ijjiji VVVVU θcos2222 −+=Δ
donde:
( ) ( )22ji UUU −=Δ
y dado que los sistemas eléctricos están diseñados para proporcionar
energía eléctrica, de manera que la tensión permanezca dentro de unos
límites aceptables, se supondrá que la diferencia entre tensiones de
nudos adyacentes sea pequeña. Así, supuesta una caída de un 10%:
ijji UU θ∠≅− 1.0
que al estar elevado al cuadrado, dentro de la ecuación del teorema del
coseno, hace de la caída de tensión un término despreciable.
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( ) ( )( ) ijijjijiji UUUUUU θθ −∠∠=−−=− 1.0·1.0· *2
Así:
( ) 001.02 ≈≈− ji UU
( ) 02 ≈ΔU
Quedando la ecuación anterior como:
0cos222 =−+ ijjiji VVVV θ
de donde se puede despejar sin ningún tipo de problemas el término
que queríamos linealizar, quedando ya en función del cuadrado de las
tensiones.
22cos
22ji
ijji
VVVV +=θ
El siguiente término que se quiere linealizar es:
ijji senVV θ
para ello se supondrá una diferencia de fases entre nudos adyacentes
menor de 10 grados:
º10<<<−= jiij θθθ
Y como el seno de un ángulo pequeño, es el propio ángulo, se puede
aproximar de la siguiente forma:
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ijjiijji VVsenVV θθ ≈
Desarrollando esta expresión:
( ) jjiijijijiijjiijji VVVVVVVVsenVV θθθθθθ −=−=≈
Introduciendo también aquí las aproximaciones consideradas para la
primera linealización que consistían en despreciar la diferencia de
tensiones entre nudos adyacentes, se pueden considerar dichas
tensiones del mismo orden.
ji VV ≈
De esta manera:
jjiiijji VVsenVV θθθ 22 −≈
Consiguiendo ya una expresión, que queda en función de la tensión al
cuadrado, al igual que la primera expresión que ya se había linealizado,
y del desfase.
En definitiva, las expresiones que se han obtenido a base de
aproximaciones son:
22cos
22ji
ijji
VVVV +=θ
jjiiijji VVsenVV θθθ 22 −≈
Sustituyéndolas en las ecuaciones de flujo de cargas se obtiene:
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( )
( )∑
∑
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
j
jiijjjiiiji
n
jjjiiij
jiiji
VVBVVGQ
VVBVVGP
1
2222
1
2222
22
22
θθ
θθ
ni ,...,2,1=
Observando detenidamente dichas ecuaciones, se deduce como
apropiado el siguiente cambio de variables que se propone, para así
conseguir un conjunto de ecuaciones lineales con variables asociadas a
nudos.
El cambio será de la siguiente forma:
2
2k
kV
=α
kkk V θγ 2=
nk ,...,2,1=
Actualizando las ecuaciones aproximadas de flujo de carga con el
nuevo cambio de variables, resulta:
( ) (( )
( ) (( )∑
∑
=
=
+−−=
−++=
n
jjiijjiiji
n
jjiijjiiji
BGQ
BGP
1
1
ααγγ
γγαα )
)
nj ,...,2,1=
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Obteniendo finalmente de esta forma, unas ecuaciones lineales que
modelan de forma aproximada un problema de flujo de cargas y cuya
resolución es rápida y sencilla.
2.1.2. Forma matricial
Para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales de gran
tamaño, como lo puede llegar a ser el modelo lineal que se ha
obtenido, se aplicarán técnicas matriciales ya que el número de nudos
de un sistema eléctrico puede oscilar desde unos pocos nudos hasta
cientos de ellos, y puesto que por cada nudo se formulan dos
ecuaciones, el tamaño del sistema será en principio de
ecuaciones.
n2
Para ello se expresarán las ecuaciones anteriores en modo matricial de
la siguiente manera:
[ ] [ ][ ] [ ] nnnxn GB
BGQP
2222⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡γα
Donde:
• P y , son las potencias activa y reactiva netas inyectadas
en los nudos.
Q
• y G B , son los elementos reales e imaginarios de la matriz
de admitancias de nudos.
• α y γ , las variables que se quieren calcular para, una vez
desecho el cambio de variables, se conozcan todas las
variables necesarias para definir un problema de flujo de
carga.
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Dependiendo de la naturaleza de cada nudo, , o slack, hay
ecuaciones que se podrán eliminar, ya que habrá variables que se
conozcan, haciéndose de esta forma el sistema más reducido. Así, el
sistema siempre será al menos dos dimensiones menor de lo que se ha
definido ya que, en todo sistema eléctrico, habrá un nudo slack del que
se conoce su tensión compleja, es decir, el módulo de la tensión y su
desfase, que será nulo al ser el nudo de referencia, por lo que se
conocerán las variables
PQ PV
α y γ de dicho nudo.
El conocimiento de las variables α y γ del nudo slack, hace poder
eliminar las columnas de la matriz del sistema que multiplican a dichas
variables para, posteriormente, formar un vector al que se le conocerá
con el nombre de vector de datos. Además, se eliminarán las filas
correspondientes a P y del nudo slack ya que no son conocidos y
no aportan nada en cuanto a la resolución del sistema.
Q
El sistema queda de la siguiente forma:
[ ] [ ][ ] [ ] )1(2)1(2)1(2)1(2)1(2 )(
)(
−−−−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
nnnxnn Qkdatos slacPkdatos slac
GBBG
QP
γα
donde
[ ][ ]sksGPslackdatos α=)(
[ ][ ]sksBQslackdatos α−=)(
El subíndice , se refiere al nudo slack y a todos los nudos
adyacentes al slack.
s k
La forma de actuar en el sistema matricial será:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
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⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣ −−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
n
s
s
nnnnnnnsns
nnnnnnnsns
nnss
nnss
snsnssssss
snsnssssss
n
n
s
s
GBGBBBGBGG
GBGBBBGBGGGBGBBBGBGG
QP
QPQP
γα
γαγα
···
······
························
············
···
2
2
22
22
22222222
22222222
22
22
2
2
⎤⎡⎤⎡
GB
GBGB
···
−
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sns
sns
ss
ss
n
n
nnnnnn
nnnnnn
nn
nn
n
n
BG
BG
GBGBBGBG
GBGBBGBG
QP
QP
αα
αα
γα
γα
···
···
······
·····················
······
···
2
2
2
2
22
22
222222
222222
2
2
Si todos los nudos fueran a excepción, claro está, del slack, la
formulación sería como la indicada hace un momento, ya que los datos
que introduce un nudo son los valores de potencia activa y
reactiva, es decir, los datos del vector a la izquierda de la igualdad.
Como no se aporta nada sobre
PQ
PQ
α y γ , no se puede eliminar ninguna
fila de la matriz.
Si existiera algún nudo , los cuales incorporan los datos de
potencia activa y de tensiones, habría que eliminar la fila
correspondiente a que no es conocido, y engrosar el vector de
datos, donde se encontraban hasta el momento, los términos del slack.
PV
Q
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De esta forma, se disminuye aún más la dimensión del sistema, tanto
como nudos existan. PVEn este caso, la forma de sistema será:
[ ] [ ][ ] [ ] ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡)()( )()(
Qdatos PVQkdatos slacPdatos PVPkdatos slac
GBBG
QP
γα
y
[ ][ ]PVkPVGPPVdatos α=)(
[ ][ ]PVkPVBQPVdatos α−=)(
Donde el subíndice se refiere al nudo y el subíndice a
cualquier nudo adyacente al nudo .
PV PV k
PVEn definitiva, lo que se hace es lo siguiente:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
n
PV
PV
s
s
nnnnnPVnPVnnnsns
nnnnnPVnPVnnnsns
PVnPVnPVPVPVPVPVPVPVsPVs
PVnPVnPVPVPVPVPVPVPVsPVs
nnPVPVss
nnPVPVss
snsnsPVsPVssssss
snsnsPVsPVssssss
n
n
PV
PV
s
s
GBGBGBGBBGBGBGBG
GBGBGBGBBGBGBGBG
GBGBGBGBBGBGBGBGGBGBGBGBBGBGBGBG
QP
QP
QPQP
γα
γα
γαγα
···
···
············
··········································
············
··········································
························
···
···
2
2
22
22
22
22
2222222222
2222222222
22
22
2
2
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
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⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
+
−−+
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−−
−−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
PVnPVsns
PVnPVsns
PVPVPVsPVs
PVPVss
PVPVss
n
n
PV
nnnnnPVn
nnnnnPVn
PVnPVnPVPVPVPV
nnPV
nnPV
n
n
PV
BBGG
GG
BBGG
GBGGBBGBBG
BGBBG
GBGGBBGBBG
QP
P
QP
αααα
αα
αααα
γα
γ
γα
···
···
···
···
············
·································
·······································
············
···
···
22
22
2
2
222
222
22
2222222
2222222
2
2
En general, se puede decir que las filas se relacionan con P y Q , y las
columnas con α y γ , o lo que es lo mismo, con V y θ . Así, quedan
eliminadas aquellas filas de las que no se conocen o , como es el
caso del slack, del que no se conocen ni ni , eliminándose por
tanto, las filas pertenecientes a y . Para el caso de los nudos
, en los no se conocen , se elimina dicha fila eliminada. Por otro
lado, desaparecen las columnas que multiplican a las variables
P Q
P Q
sP sQ
PV Q
α o γ
que sean conocidas, apareciendo posteriormente en el vector ya
conocido como vector de datos. Es por este motivo, que se tachan las
dos columnas pertenecientes al slack, ya que se conocen sα y sγ ,
siendo esta última nula. Por eso, también desaparecen las columnas de
los nudos que multiplican a PV PVα , ya que se conocen las tensiones
de los mismos.
En resumidas cuentas, los pasos a seguir para tratar el sistema de
ecuaciones según los tipos de nudos que se tengan es la siguiente:
I. Eliminar las filas de P y Q correspondientes al slack.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
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II. Eliminar la fila de de todos los nudos que haya en el
sistema.
Q PV
III. Eliminar las columnas que multiplican a α y γ del slack.
IV. Eliminar todas las columnas que multiplican a los α de los nudos
. PVV. Crear el vector de datos, que surge como resultado del producto
entre la columna que multiplica a α del slack y dicha sα .
VI. Engrosar el vector de datos, sumándole los productos entre cada
columna perteneciente a los nudos , que se ha eliminado y
sus correspondientes
PVα .
2.1.3. Resolución del Sistema Una vez planteado el sistema de ecuaciones de forma matricial,
con todas las premisas comentadas en el apartado anterior, se está en
disposición de resolver el problema.
Lo que se ha perseguido con la formulación matricial, es obtener un
sistema de la forma:
BXA =·
Donde:
• A es la matriz del sistema.
• X el vector de incógnitas.
• B un vector de términos independientes.
Pudiendo despejar fácilmente el vector de incógnitas de la ecuación
anterior.
BAX 1−=
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 22
En vista a la formulación actual que se ha conseguido del problema:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
+
−−+
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−−
−−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
PVnPVsns
PVnPVsns
PVPVPVsPVs
PVPVss
PVPVss
n
n
PV
nnnnnPVn
nnnnnPVn
PVnPVnPVPVPVPV
nnPV
nnPV
n
n
PV
BBGG
GG
BBGG
GBGGBBGBBG
BGBBG
GBGGBBGBBG
QP
P
QP
αααα
αα
αααα
γα
γ
γα
···
···
···
···
············
·································
·······································
············
···
···
22
22
2
2
222
222
22
2222222
2222222
2
2
no hay más que pasar el vector de datos restando hacia la izquierda de
la igualdad, obteniendo lo siguiente:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−−
−−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−
−−
++−−
n
n
PV
nnnnnPVn
nnnnnPVn
PVnPVnPVPVPVPV
nnPV
nnPV
PVnPVsnsn
PVnPVsnsn
PVPVPVsPVsPV
PVPVss
PVPVss
GBGGBBGBBG
BGBBG
GBGGBBGBBG
BBQGGP
GGP
BBQGGP
γα
γ
γα
αααα
αα
αααα
···
···
············
·································
·······································
············
···
···
2
2
222
222
22
2222222
2222222
222
222
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 23
Consiguiendo de esta manera, la forma deseada para poder despejar
de forma sencilla el vector de incógnitas.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−
−−
++−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−−
−−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
PVnPVsnsn
PVnPVsnsn
PVPVPVsPVsPV
PVPVss
PVPVss
nnnnnPVn
nnnnnPVn
PVnPVnPVPVPVPV
nnPV
nnPV
n
n
PV
BBQGGP
GGP
BBQGGP
GBGGBBGBBG
BGBBG
GBGGBBGBBG
αααα
αα
αααα
γα
α
γα
···
···
············
·································
·······································
············
···
···
222
2221
222
222
22
2222222
2222222
2
2
Una vez se resuelva el sistema de ecuaciones, se conocerán los α y
γ de cada uno de los nudos de los que se compone una red eléctrica.
Con esto no se concluye la resolución del problema, ya que lo que se
anda buscando son las tensiones complejas de todos los nudos, por lo
que hay que deshacer los cambios que se realizaron en un principio:
kkV α2=
2k
kk V
γθ =
k ,...,2,1 n=
Conociendo así las tensiones complejas en todos los nudos
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 24
2.2. APLICACIÓN MODELO LINEAL SOBRE RED EJEMPLO Con el problema de flujo de cargas linealizado mediante las
ecuaciones:
( ) (( )
( ) (( )∑
∑
=
=
+−−=
−++=
n
jjiijjiiji
n
jjiijjiiji
BGQ
BGP
1
1
ααγγ
γγαα )
)
nj ,...,2,1=
llega el momento de probar, de manera empírica, el grado de eficacia que
dicho método puede proporcionar. Para ello, se van a probar directamente
las ecuaciones lineales sobre una red eléctrica de reducido tamaño, donde
los posibles errores que puedan existir se adviertan más rápidamente y se
solucionan de forma sencilla.
El sistema eléctrico en cuestión, es una red de cinco nudos donde todos
ellos, a excepción del slack, son nudos . Su forma, disposición y
parámetros pueden observarse en la figura 5
PQ
Figura 5. Red cinco nudos
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 25
El sistema está expresado en por unidad, siendo su potencia base
100MVA. Sobre cada línea, se indica la impedancia correspondiente y
junto a cada carga, se muestra la potencia compleja de cada una de ellas.
Puede observarse, como se toma el nudo cinco como nudo slack cuya
tensión se ha fijado a la unidad, siendo su ángulo el origen de fases.
Lo primero que hay que hacer, es el cálculo de la matriz de admitancias de
nudos ya que se trabaja en todo momento con las variables y G B que
son, como se ha comentado con anterioridad, los elementos real e
imaginario de la matriz de admitancias de nudos, . Cabe otra
posibilidad que evita tener que calcular la matriz de admitancia de nudos,
consistente en obtener dichas variables mediante las expresiones
siguientes:
jBGY +=
22ijij
ijij XR
RG
+=
22ijij
ijij XR
XB
+
−=
nji ,...,2,1, =
donde y son los elementos real e imaginario de la impedancia de la
línea que conecta entre sí a los nudos i y .
ijR ijX
j
ijijij jXRZ +=
Dado que, este caso es de reducido tamaño, resulta más intuitivo
presentar su resolución mediante la matriz de admitancias de nudos que a
continuación se presenta:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 26
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−−+−+−+−−+−
+−+−−+−+−−
=
jjjjjjjjj
jjjjjj
Yn
·8885.14 2395.100·9875.4 2494.0·901.9 9901.00·2183.24 0955.4·2308.19 8462.3·9875.4 2494.000·2308.19 8462.3·2183.24 0955.40·9875.4 2494.0
·9875.4 2494.0·9875.4 2494.00·9751.9 4988.00·901.9 9901.00·9875.4 2494.00·8885.14 2395.1
De ella pueden extraerse directamente las admitancias y las
susceptancias
G
B , que se presentan a modo de matriz, por ser más
gráfico.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−−−
=
2395.1002494.09901.000955.48462.32494.0008462.30955.402494.02494.02494.004988.009901.002494.002395.1
G
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
8885.14009875.4901.902183.242308.199875.4002308.192183.2409875.4
9875.49875.409751.90901.909875.408885.14
B
De esta forma. se ha obtenido la información necesaria, para montar el
sistema de ecuaciones en forma matricial, que resolverá de manera rápida,
el problema lineal de flujo de cargas.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 27
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
2395.18885.1400002494.09875.49901.09010.98885.142395.100009875.42494.09010.99901.0000955.42183.248462.32308.192494.09875.400002183.240955.42308.198462.39875.42494.000008462.32308.190955.42183.24002494.09875.4002308.198462.32183.240955.4009875.42494.0
2494.09875.42494.09875.4004988.09751.9009875.42494.09875.42494.0009751.94988.000
9901.09010.9002494.09875.4002395.18885.149010.99901.0009875.42494.0008885.142395.1
??
5.02.01.05.01.05.005.02.0
γαγαγαγαγα
El vector de potencias, que refleja las potencias activas y reactivas netas
inyectadas en cada nudo, es puramente negativo, ya que todas son
consumidas, al existir únicamente cargas y no generadores.
Sobre el nudo cinco, o nudo slack, no se dispone de información acerca de
las potencias, de ahí que se muestre con un signo de interrogación. Esto
no supone ningún problema, ya que, como a continuación se mostrará,
esas dos filas se eliminarán por completo, como bien se argumentaba en
el apartado 2.1.2 del presente documento. Así, teniendo en cuenta las
consideraciones que en dicho punto se razonaban, se procede a la
simplificación del sistema:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
2395.18885.1400002494.09875.49901.09010.98885.142395.100009875.42494.09010.99901.0000955.42183.248462.32308.192494.09875.400002183.240955.42308.198462.39875.42494.000008462.32308.190955.42183.24002494.09875.4002308.198462.32183.240955.4009875.42494.0
2494.09875.42494.09875.4004988.09751.9009875.42494.09875.42494.0009751.94988.000
9901.09010.9002494.09875.4002395.18885.149010.99901.0009875.42494.0008885.142395.1
??
5.02.01.05.01.05.005.02.0
γαγαγαγαγα
Eliminando las filas y columnas oportunas y creando el vector de datos:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 28
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
0000
4938.21297.0
9505.44950.0
0955.42183.248462.32308.192494.09875.4002183.240955.42308.198462.39875.42494.0008462.32308.190955.42183.24002494.09875.42308.198462.32183.240955.4009875.42494.0
2494.09875.4004988.09751.9009875.42494.0009751.94988.000002494.09875.4002395.18885.14009875.42494.0008885.142395.1
5.02.01.05.01.05.005.02.0
4
4
3
3
2
2
1
1
γαγαγαγα
Reordenando:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−
−−−−
00005938.23703.00005.5295.0
0955.42183.248462.32308.192494.09875.4002183.240955.42308.198462.39875.42494.0008462.32308.190955.42183.24002494.09875.42308.198462.32183.240955.4009875.42494.0
2494.09875.4004988.09751.9009875.42494.0009751.94988.000002494.09875.4002395.18885.14009875.42494.0008885.142395.1
4
4
3
3
2
2
1
1
γαγαγαγα
Pudiendo ya despejar el vector de incógnitas.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1724.04520.01717.0
4522.01357.0
4635.00699.0
4777.0
4
4
3
3
2
2
1
1
γαγαγαγα
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 29
Deshaciendo los cambios de variables y teniendo en cuenta que el cálculo
de ángulos hay que hacerlo en radianes:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
9267.109508.08776.10951.03872.8
9628.01917.4
9774.0
4
4
3
3
2
2
1
1
θ
θ
θ
θ
V
V
V
V
donde las tensiones están expresadas en por unidad y los ángulos en
grados. Agrupando cada módulo de tensión con su ángulo
correspondiente, se tienen las tensiones complejas:
º01 º9267.109508.0
º8776.10951.0º3872.89628.0º1917.49774.0
5
4
3
2
1
∠=−∠=
−∠=−∠=−∠=
UUUUU
Conociendo las tensiones complejas de todos los nudos se tiene el
sistema completamente definido, pudiendo calcular otras magnitudes de
interés a partir de estas.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 30
2.2.1. Medida del error. Llega el momento de calcular el grado de error que se está
cometiendo al introducir todas las suposiciones y simplificaciones que
se han creído oportunas, para lograr la linealización de las ecuaciones.
Para ello, se comparará el resultado obtenido por medio del modelo
lineal, con el resultado más exacto que se conoce, esto es, el obtenido
de la resolución de las ecuaciones exactas mediante el algoritmo de
Newton-Raphson. Por otro lado, también se comprobará el error
cometido por el método más simple que se conoce hasta el momento.
Cabe esperar, que los resultados del modelo lineal sean peores que los
obtenidos con el algoritmo de Newton-Raphson, pero será de gran
satisfacción, que dichos resultados mejoren a los del flujo de cargas en
continua. En definitiva, que el error cometido por el modelo lineal, sea
inferior al cometido por el flujo de cargas en continua.
El objetivo será entonces, que el problema de flujo de cargas
linealizado, proporcione mejores resultados que el reparto de cargas en
continua, que siendo más rápido y simple que los demás algoritmos, no
deja de ser uno ellos.
2.2.1.1. Newton Raphson
La aplicación de este algoritmo a cualquier sistema
eléctrico de potencia, se realiza por medio de un programa
informático conocido con el nombre de Power World Simulator.
Dicho programa, no es más que un paquete de simulación de
sistemas de potencia que posee una interfaz gráfica e interactiva
con el usuario y que ha sido diseñado para simular la operación
de sistemas de potencia de alta tensión. Es un programa
altamente eficiente, capaz de solucionar sistemas de hasta
100.000 nudos.
Además, dada la versatilidad de la herramienta, los flujos de
carga pueden resolverse con el algoritmo que se desee. En el
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 31
caso que nos ocupa, será como se ha dicho anteriormente el de
Newton-Raphson. Es por ello que se denotará como exacta a la
solución obtenida por medio de este algoritmo.
La solución exacta es la siguiente:
º01
º6125.1093526.0
º5685.109353.0
º2328.89489.0
º1195.49681.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
exac
exac
exac
exac
exac
U
U
U
U
U
Para comparar las tensiones del modelo lineal con las tensiones
exactas se calculará, por una parte, el error cometido por el
módulo de la tensión en cada nudo y por otro lado, el error en los
ángulos.
Comparamos primero las tensiones. Cuando se hable de
tensiones a partir de este momento, se refiere al módulo de la
tensión compleja:
19508.0951.09628.09774.0
5
4
3
2
1
=====
VVVVV
1
93526.0
9353.0
9489.0
9681.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
exac
exac
exac
exac
exac
V
V
V
V
V
Calculamos el error relativo, en tantos por cientos, que se
comete con el modelo lineal sobre el exacto, de la siguiente
manera:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 32
100exaci
iexac
iVi V
VVE −=
Así que:
0
6616.1
6786.1
4649.1
9606.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
V
V
V
V
V
E
E
E
E
E
Para los ángulos:
09267.108776.10
3872.81917.4
5
4
3
2
1
=−=−=−=−=
θθθθθ
0
6125.10
5685.10
2328.8
1195.4
5
4
3
2
1
=
−=
−=
−=
−=
exac
exac
exac
exac
exac
θ
θ
θ
θ
θ
Se calcula ahora el error absoluto cometido por los ángulos, esto
es la diferencia absoluta entre el valor exacto y el calculado por
el modelo lineal, es decir:
iexaciiE θθθ −=
De este modo:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 33
0
3142.0
3091.0
1544.0
0722.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
E
E
E
E
E
Resumiendo:
0
6616.1
6786.1
4649.1
9606.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
V
V
V
V
V
E
E
E
E
E
0
3142.0
3091.0
1544.0
0722.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
E
E
E
E
E
Se observa en ambos casos que los errores son menores cuanto
más cerca se está del slack, sobretodo, en nudos adyacentes a
éste. Esto era de esperar ya que, dicho nudo es el único cuyo
valor exacto es fijado y dado que, los cálculos se realizan con los
nudos adyacentes a uno mismo, es normal que aquellos nudos
que incluyan en los cálculos al nudo slack obtengan valores más
exactos.
No se sabrá, como de buenos son estos resultados hasta que,
se vea como son los resultados del reparto de cargas en
continua.
2.2.1.2. Flujo de Cargas en Continua Aplicando el reparto de cargas en continua, cuyas
ecuaciones se recuerdan a continuación,
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 34
ij
jiDCLFij X
Pθθ −
=
ij
ijDCLFij X
VVQ
−=
a la red de cinco nudos, que se muestra en la figura 5 y que se
ha tomado como red experimental para la prueba de todas las
suposiciones y modelos que se crean oportunos, se obtienen los
siguientes resultados:
º01
º0077.109627.0
º9695.99630.0
º8686.79713.0
º0871.49843.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
U
U
U
U
U
Se compara, como ya se hizo en el caso de Newton-Raphson,
los módulos de las tensiones por un lado y por otro los desfases.
Primero los módulos:
1
9627.0
9630.0
9713.0
9843.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
V
V
V
V
V
1
93526.0
9353.0
9489.0
9681.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
exac
exac
exac
exac
exac
V
V
V
V
V
Cuyo error, calculado como:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 35
100exaci
DCLFi
exaciV
i VVVE −
=
es el siguiente:
0
9304.2
9616.2
3641.2
6768.1
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
E
E
E
E
E
Y para los ángulos:
0
0077.10
9695.9
8686.8
0871.4
5
4
3
2
1
=
−=
−=
−=
−=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
θ
θ
θ
θ
θ
0
6125.10
5685.10
2328.8
1195.4
5
4
3
2
1
=
−=
−=
−=
−=
exac
exac
exac
exac
exac
θ
θ
θ
θ
θ
Calculando el error como:
DCLFi
exaciiE θθθ −=
se obtiene:
0
6048.0
5990.0
3642.0
0324.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
E
E
E
E
E
θ
θ
θ
θ
θ
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 36
Resumiendo:
0
9304.2
9616.2
3641.2
6768.1
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
E
E
E
E
E
0
6048.0
5990.0
3642.0
0324.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
E
E
E
E
E
θ
θ
θ
θ
θ
Se observa como, los errores resultan ser menores en los nudos
adyacentes al slack.
Es hora entonces, de comparar los errores entre el modelo lineal
que se quiere estudiar, y los obtenidos por el reparto de carga en
continua (DC Load Flow).
0
6616.1
6786.1
4649.1
9606.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
V
V
V
V
V
E
E
E
E
E
0
9304.2
9616.2
3641.2
6768.1
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
E
E
E
E
E
0
3142.0
3091.0
1544.0
0722.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
E
E
E
E
E
0
6048.0
5990.0
3642.0
0324.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
E
E
E
E
E
θ
θ
θ
θ
θ
Como puede observarse, los resultados resultan ser muy
positivos ya que se produce menor error aplicando el modelo
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 37
lineal que ejecutando el reparto de cargas en continua, siendo
éste el objetivo perseguido.
Luego, en principio, parece que el modelo lineal propuesto, para
la resolución del problema de flujo de cargas, de una manera
fácil y sencilla, es satisfactorio.
2.2.2. Modificaciones en la Red Ejemplo Aunque, los resultados que se acaban de obtener son
bastantes esperanzadores, únicamente con ellos no se puede afirmar
de manera contundente, que el modelo lineal propuesto ofrece
resultados correctos y fiables ya que la red experimental de la figura
5, es un sistema eléctrico pequeño, de carga reducida sin
admitancias conectadas a tierra, elementos shunts, sin la presencia
de nudos , etc. Es por ello que se va a probar nuevamente el
modelo introduciendo modificaciones en la red que se ha tomado
como ejemplo.
PV
Antes de empezar a introducir los cambios pertinentes, conviene
aclarar la notación adoptada. El superíndice , se refiere a la
solución obtenida por medio del algoritmo de Newton-Raphson, y que
se calcula, como ya se ha comentado, utilizando Power World. Las
magnitudes que no posean superíndices pertenecen a las soluciones
del modelo lineal que se pretende testar, y por último, si una magnitud
tiene por superíndice es el caso del reparto de cargas en
continua. Una vez aclarado esto, se procede a la modificación de la
red original.
exac
DCLF
2.2.2.1. Aumento de la carga
Lo primero que se hará será aumentar la carga de la red
al doble, por lo que las tensiones disminuirán al estar la red
más cargada que en el caso original.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 38
La carga que soportara en estas condiciones la red, puede
suponerse importante ya que hace bajar las tensiones casi un
20%
Los resultados son:
º01
º85.2481444.0
º74.2481460.0
º69.1884906.0
º77.890579.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
exac
exac
exac
exac
exac
U
U
U
U
U
º01 º4517.248988.0º3266.248993.0º2089.189241.0
º7942.89543.0
5
4
3
2
1
∠=−∠=−∠=−∠=−∠=
UUUUU
º01
º0153.209256.0
º9389.19926.0
º7372.159427.0
º1742.89687.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
U
U
U
U
U
Y sus errores correspondientes:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 39
0
3614.10
4018.10
8370.8
3588.5
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
V
V
V
V
V
E
E
E
E
E
0
6159.13
6754.13
0247.11
9416.6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
DCLFV
E
E
E
E
E
0
3983.0
4134.0
4811.0
0242.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
E
E
E
E
E
0
8347.4
8011.4
9528.2
5958.0
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
E
E
E
E
E
θ
θ
θ
θ
θ
Como cabía esperar, los resultados son peores que los
obtenidos en el caso original pero, sorprendentemente, los
errores del modelo lineal mejoran bastante a los del flujo de
carga en continua, sobretodo en el caso de los ángulos, donde
la diferencia es abismal.
Se representa a continuación, Tabla I, un cuadro resumen en
el que se pueden apreciar los errores cometidos en las dos
situaciones que se están comparando, cuando se mantiene la
carga original y cuando se aumenta al doble.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 40
Carga Original Carga Doble Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 0.9606 0.0722 1.6768 0.5958 5.3588 0.0242 6.9416 0.59582 1.4649 0.1544 2.3641 2.9527 8.837 0.4811 11.0247 2.95283 1.6786 0.3091 2.9616 4.801 10.4018 0.4134 13.6754 4.80114 1.6616 0.3142 2.9304 4.8346 10.3614 0.3983 13.6159 4.83475 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla I. Cuadro resumen del aumento de carga
Como conclusión, únicamente decir que, el modelo lineal se
sigue comportando bien en sistemas eléctricos de potencias de
cargas importantes, aunque, como es normal, se obtienen
menores errores cuanto menor sea la carga del sistema ya que
las aproximaciones son más válidas.
2.2.2.2. Incorporación de un Nudo PV Manteniendo la carga al doble, ya que es más
desfavorable que el problema original, se va a introducir un
nudo en el sistema. Para ello, habrá que transformar uno
de los nudos en .
PV
PQ PV
Se empezará transformando, únicamente, el nudo 4, siendo el
resultado el mostrado a continuación:
º01
º32.2295.0
º04.2293394.0
º3.1792349.0
º57.894849.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
exac
exac
exac
exac
exac
U
U
U
U
U
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 41
º01 º0943.2295.0
º2395.229433.0º3566.179493.0
º6089.89684.0
5
4
3
2
1
∠=−∠=−∠=−∠=−∠=
UUUUU
º01
º02.2095.0
º94.199471.0
º74.15955.0
º17.89757.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
U
U
U
U
U
Y sus errores correspondientes, en forma de tabla resumen, se
muestran a continuación en la Tabla II:
Todo nudos PQ Nudo 4 = Nudo PV Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ 1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 2.0984 0.0389 2.8703 0.4 2 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 2.7983 0.0566 3.412 1.56 3 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 1.0053 0.1995 1.414 2.1 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 0 0.2257 0 2.3 5 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla II. Cuadro resumen nudo 4 como nudo PV
Al parecer, la existencia de nudos hace disminuir los
errores en ángulos y en tensiones, tanto en el modelo lineal
como el DC Load Flow, siguiendo siendo mejor los errores en
el modelo lineal.
PV
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 42
Así que, la aparición de un nudo es beneficioso para
reducir errores en general.
PV
Se quiere ahora corroborar esta teoría, introduciendo otro nudo
más, por ejemplo el nudo 3. PV
º01
º03.2295.0
º92.2195.0
º16.1792397.0
º61.895387.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
exac
exac
exac
exac
exac
U
U
U
U
U
º01 º0663.2295.0º9768.2195.0
º3426.179493.0º5903.89706.0
5
4
3
2
1
∠=−∠=−∠=−∠=−∠=
UUUUU
º01
º02.2095.0
º94.1995.0
º74.15955.0
º17.89767.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
U
U
U
U
U
Abreviando resultados:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 43
Todo nudos PQ Nudo 4+3 = Nudos PV Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 1.7497 0.0197 2.3899 0.4358 2 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 2.7449 0.1826 3.358 1.4227 3 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 0 0.0568 0 1.981 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 0 0.0363 0 2.0146 5 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla III. Cuadro resumen nudo 4 y 3 como nudos PV
Provoca una leve mejoría el hecho de introducir un nudo
más. La mejoría en las tensiones es obvia, ya que al fijar
las tensiones en los nudos , el error que se produce en
dichos nudos es nulo y se disminuye un poco los errores que
se producía en el caso anterior. Además se reduce aún más el
error en los desfases.
PV
PV
En la Tabla IV, se muestran los tres casos que se han
considerado, ningún nudo , un único nudo y dos
nudos y en la que se ha resaltado los mayores errores
que se producen en cada caso.
PV PV
PV
Todo nudos PQ Nudo 4 = Nudo PV Nudo 4+3 = Nudos PV Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 2.0984 0.0389 2.8703 0.4 1.7497 0.0197 2.3899 0.43582 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 2.7983 0.0566 3.412 1.56 2.7449 0.1826 3.358 1.42273 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 1.0053 0.1995 1.414 2.1 0 0.0568 0 1.981 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 0 0.2257 0 2.3 0 0.0363 0 2.01465 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla IV. Cuadro comparación tres casos nudos PV
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 44
La conclusión, que se saca de todo esto es que, cuantos más
nudos contenga el sistema, menores errores
habrá en ángulos y tensiones.
PV
2.2.2.3. Elementos shunts
Puede ocurrir, que existan redes que contengan
elementos shunts, que no son más que impedancias conectadas
a tierra, es decir, son impedancias asociadas a nudos no a líneas
que conectan nudos entre sí.
ijZ
Nudo i
shi
shi jBG +
Figura 8. Elementos Shunts
La existencia de estos elementos, en un sistema eléctrico, modifica la
matriz del sistema de ecuaciones en forma matricial. Dado que son
elementos asociados a nudos, sólo modificará las submatrices
diagonales, como se observa a continuación.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 45
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−−−−−+−+−−
−−+−−−−−−+−+−−−−−+−−−−−+−+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
n
s
s
shnnn
shnnnnnnsns
shnnn
shnnnnnnsns
nnshsh
ss
nnshsh
ss
snsnssshsss
shsss
snsnssshsss
shsss
n
n
s
s
GGBBGBGBBBGGBGBG
GBGGBBGBBGBBGGBGGBGBGGBBBGBGBBGG
QP
QPQP
γα
γαγα
···
······
···························
············
···
2
2
22
22
2222222222
2222222222
22
22
2
2
De todas formas, la simplificación del sistema, según el nudo
slack y la existencia de nudos , se realiza de la misma
manera que en el caso en que no hubiera elementos shunts.
PV
Para ver de qué manera afecta la existencia de estos elementos
a los errores que se cometen con el modelo lineal, se van a
introducir y , de manera aleatoria en distintos nudos de
la red ejemplo pero ya con carga doble.
shiG sh
iB
Comenzamos incorporando en el nudo 3, una susceptancia
conectada a tierra de valor 40 MVAr.
Sólo para este caso, se va a realizar de forma detallada, la
resolución del sistema de ecuaciones, con el fin de esclarecer la
formación de la matriz, ante la presencia de elementos shunts.
Lo primero que cambia, con respecto al caso primero, es la
matriz de admitancias de nudos, que en este caso es:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−−+−+−+−−+−
+−+−−+−+−−
=
jjjjjjjjj
jjjjjj
Yn
8885.142395.1009875.42494.0901.99901.002183.240955.42308.198462.39875.42494.0002308.198462.38183.230955.409875.42494.0
9875.42494.09875.42494.009751.94988.00901.99901.009875.42494.008885.142395.1
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 46
En la que sólo cambia el término imaginario del elemento (3,3)
ya que es el nudo 3 en donde se ha introducido la susceptancia
de 40 MVAr, o lo que es lo mismo, 0.4 en por unidad (p.u).
Se comprueba por tanto, que la cifra -23.8183 es el resultado de
sumarle a la que teníamos en el caso primero, -24.2183, el valor
de la susceptancia.
8183.234.02183.24 −=+−
Por otro lado, la matriz de conductancias , es la misma que
antes ya que al incluir solo una susceptancia, no una
conductancia, ésta queda inalterada.
G
De la misma manera, solo se ve modificada la matriz B ,
nuevamente como es obvio, en el elemento (3,3).
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−−−
=
2395.1002494.09901.000955.48462.32494.0008462.30955.402494.02494.02494.004988.009901.002494.002395.1
G
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
8885.14009875.4901.902183.242308.199875.4002308.198183.2309875.4
9875.49875.409751.90901.909875.408885.14
B
A partir de las dos matrices anteriores, se pueden formar ya la
del sistema en la que se ven alterados los elementos
correspondientes a la submatriz diagonal del nudo 3. Se hace de
la siguiente manera:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 47
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−−+−+
095.44.08183.234.08183.230955.4
3333
3333shsh
shsh
GGBBBBGG
Así:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
2395.18885.1400002494.09875.49901.09010.98885.142395.100009875.42494.09010.99901.0000955.42183.248462.32308.192494.09875.400002183.240955.42308.198462.39875.42494.000008462.32308.190955.44183.23002494.09875.4002308.198462.32183.240955.4009875.42494.0
2494.09875.42494.09875.4004988.09751.9009875.42494.09875.42494.0009751.94988.000
9901.09010.9002494.09875.4002395.18885.149010.99901.0009875.42494.0008885.142395.1
??
5.02.01.05.01.05.005.02.0
γαγαγαγαγα
4183.234.08183.23 =− 2183.244.08183.23 −=+
Ya sólo queda eliminar filas y columnas, como se hizo en casos
anteriores. Crear el vector de datos, reordenar y despejar para
obtener la solución exacta:
º01
º12.238849.0
º08.23892.0
º77.178885.0
º69.89333.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
exac
exac
exac
exac
exac
U
U
U
U
U
Como se puede apreciar en los resultados, la existencia de
susceptancias en nudos conectadas a tierra, hacen que las
tensiones no caigan tanto.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 48
Resolviendo el problema, ahora por el método lineal:
º01 º4528.219638.0
º0971.21972.0º099.179562.0º5123.89778.0
5
4
3
2
1
∠=−∠=−∠=−∠=−∠=
UUUUU
Y por el reparto de cargas en continua:
º01
º0154.209253.0
º939.19926.0
º7373.159427.0
º1742.89687.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
U
U
U
U
U
Se puede comprobar como la solución que ofrece el reparto de
cargas en continua, no se ve alterado por la presencia de un
elemento shunt.
Si se calculan los errores, en base a los resultados anteriores,
se obtiene lo que refleja la Tabla V.
Sin Bshunt Bshunt en Nudo 3 Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 4.7715 0.1777 3.7928 0.5158 2 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 7.6261 0.671 6.099 2.0327 3 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 8.9684 1.9829 3.808 3.141 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 8.9118 1.6672 4.57 3.1046 5 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla V. Cuadro comparación MVArB sh 403 =
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 49
En ella se observa que la presencia de una susceptancia
conectada a tierra, disminuye errores en tensiones del modelo
lineal que se propone, empeorando por el contrario los errores
en ángulos.
Por otro lado, para el DC-LF ocurre exactamente lo mismo, se
reducen errores en tensiones aumentando los de ángulos. Sin
embargo, la reducción en tensiones es mayor en el caso del
modelo lineal, siendo por el contrario el DCLF quien ofrece
menor errores en el caso angular.
Como el resultado no es del todo aclarador, se va a introducir el
elemento en otro nudo distinto, nudo 4, y esta vez de valor
20 MVAr.
shiB
Sin Bshunt Bshunt en Nudo 4 Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 5.1174 0.0349 5.6216 0.5258 2 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 8.3354 0.6685 8.463 2.5427 3 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 9.9296 1.0644 9.472 3.971 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 9.8456 1.3085 8.781 4.0646 5 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla VI. Cuadro comparación MVArB sh 204 =
En este caso, los errores en tensiones también disminuyen, pero
en menor cuantía que el caso anterior, siendo ahora los
resultados muy parecidos a los del DC-LF. Para el caso de los
ángulos, éstos son mejores que los anteriores, pero siguen
siendo mayores que los exactos.
Parece ser que, la existencia de susceptancias conectadas a
tierra mejoran las tensiones, viéndose este efecto agudizado
cuanto mayor sea dicha susceptancia. Por el contrario, esto no
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 50
ejerce ningún efecto positivo en ángulos, no siendo esto del todo
grave ya que, de todas formas, se superan los resultados del
reparto de cargas en continua.
Por curiosidad, se presentan los errores que surgen al colocar
las dos susceptancias anteriores, es decir, una en el nudo 3 de
40 MVAr y otra en el nudo 4 de 20 MVAr.
Sin Bshunt Bshunt en Nudo 3 y 4 Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 4.5054 0.2738 2.1865 0.45582 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 7.0974 0.909 3.194 1.59273 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 8.2511 2.599 0.78 2.301 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 8.2115 2.5236 0.576 2.31465 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla VII. Cuadro comparación y MVArB sh 403 = MVArB sh 204 =
Se ve en la Tabla VII, como los resultados son similares a los
comentados en los dos casos anteriores, corroborando así lo
dicho más arriba.
Probando ahora con las conductancias conectadas a tierra, ,
se empieza colocando una de 10 MW en el nudo 4. Las
tensiones en este caso son:
shiG
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 51
º01
º24.267998.0
º97.257997.0
º37.198389.0
º03.98991.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
exac
exac
exac
exac
exac
U
U
U
U
U
º01 º5831.258977.0º2788.258986.0º7361.189235.0
º0713.9954.0
5
4
3
2
1
∠=−∠=−∠=−∠=
−∠=
UUUUU
º01
º0154.209253.0
º939.19926.0
º7373.159427.0
º1742.89687.0
5
4
3
2
1
∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
U
U
U
U
U
En el caso del DC-LF, se observa que los resultados no se
modifican, se tienen las mismas tensiones cuando no hay ningún
elemento conectado y cuando se conecta a tierra algún
elemento, ya sea conductancia o susceptancia. Esto se debe a
que, el reparto de cargas en continua solo tiene en cuenta las
reactancias entre nudos, no las conectadas a ellos, como lo son
los elementos que se están considerando en este apartado.
Por otro lado, parece ser que, el hecho de conectar algún
hace que, las tensiones caigan respecto al caso en el que no
existen elementos shunts, efecto contrario al que ocurría en el
caso de la conexión de . Además, los desfases entre nudos,
shiG
shiB
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 52
son también un poco mayores, no siendo esto demasiado bueno
para los sistemas eléctricos de potencia
En cuanto a los errores:
Sin Gshunt Gshunt en Nudo 4 Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 6.1068 0.0413 7.7434 0.85582 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 10.0838 0.6339 12.367 3.63273 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 12.3626 0.6912 15.788 6.031 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 12.2386 0.6569 15.698 6.22465 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla VIII. Cuadro comparación MVArG sh 104 =
Resultan ser muy elevados, tanto en tensiones como en
ángulos. De todas formas, se sigue mejorando el reparto de
cargas en continua. Se quiere corroborar estos resultados
incluyendo más conductancias, por ejemplo en el nudo 3, de
valor 20 MVAr.
Sin Gshunt Gshunt en Nudo 4 y 3 Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 7.2433 0.1281 9.0129 1.39582 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 11.8774 0.8021 14.283 4.69273 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 14.9634 0.9402 18.751 8.461 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 14.7794 0.9542 18.506 8.43465 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla IX. Cuadro comparación y MVArG sh 104 = MVArG sh 203 =
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 53
Según la Tabla IX, los resultados anteriores quedan totalmente
corroborados, ya que el efecto es similar aunque en este caso
sean de mayor cuantía.
Así que, las conductancias a tierra no son deseables para los
sistemas eléctricos ya que, se obtienen resultados más lejanos
de los reales, mayores errores en definitiva. Sin embargo, no hay
que olvidar que el modelo lineal sigue siendo mejor que el DC
Load Flow.
Al igual que antes, se presentan, en la Tabla X, los errores que
surgen como resultado de combinar los dos elementos shunts
distintos que pueden existir. En ella, se puede apreciar que, los
errores son ligeramente mayores que en el caso original pero no
tanto, como en el caso en que sólo se incluye algún . De
este modo, combinando los dos elementos shunts, se
compensan los dos efectos, siendo los errores mejores o peores,
según los valores de y .
shiG
shiG sh
iB
Sin Bshunt y Gshunt Gshunt y Bshunt en Nudo 4 Modelo Lineal DC-LF Modelo Lineal DC-LF
Nudo Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ Error V Error θ1 5.3588 0.0242 6.9416 0.5958 5.6143 0.0106 6.168 0.7958 2 8.837 0.4811 11.0247 2.9528 9.1695 0.7385 9.373 3.1627 3 10.4018 0.4134 13.6754 4.8011 11.019 1.2089 10.656 5.081 4 10.3614 0.3983 13.6159 4.8347 10.9265 1.4356 10.004 5.3246 5 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla X. Cuadro comparación y MVArG sh 104 = MVArB sh 204 =
A continuación, se han expresado algunos de los posibles efectos que
ciertos elementos, cargas o tipologías pueden ejercer sobre una red
eléctrica:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 54
I. Cuanto mayor sea la carga demandada al sistema eléctrico en
cuestión, mayores son los errores en tensiones y ángulos,
aumentando mucho más en tensiones que en ángulos.
II. La existencia de nudos , que no son más que nudos en los
que se conocen la potencia activa neta inyectada, y en los que
se fija el módulo de la tensión, beneficia enormemente a los
sistemas eléctricos de potencia en general y a nuestro modelo
lineal en particular porque implican una inyección en que
mantiene la tensión al valor fijado. Se mejoran tensiones y
ángulos. Por ello, cuantos más nudos contenga una red
eléctrica, más exacto será el modelo lineal propuesto.
PV
Q
PV
III. La presencia de , hace disminuir los errores en tensiones,
pero empeora los de ángulos, viéndose este efecto agudizado
cuanto mayor sea la susceptancia.
shiB
IV. No resulta beneficioso la conexión de elementos ya que
empeora tanto tensiones como ángulos.
shiG
Sin embargo, hay que destacar el hecho de que, en todos los casos, el
modelo lineal proporciona resultados más exactos y mejores que el
reparto de carga en continua. Además, el modelo lineal ofrece
resultados en tensiones, superando en este sentido al DCLF quien no
ofrece estimaciones en tensiones al considerarlas todas idénticas a la
unidad.
Por todo esto, a priori, el modelo lineal resulta ser más ventajoso que el
reparto de cargas en continua.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 55
2.3. OTRAS REDES ELÉCTRICAS Una vez probado el modelo lineal en la red a la que se le ha
llamado “red ejemplo”, se va aplicar en otras redes distintas y diversas,
entre las cuales cabe destacar las pertenecientes a la norma IEEE ya que
serán redes estándares y sobre las que tendrá bastante peso los
resultados que se obtengan ya que son redes de referencia mundial.
A parte de éstas, se dispondrán de otros sistemas eléctricos, algunos de
ellos reales y otros teóricos.
Para empezar a familiarizarnos con los sistemas con los que se va a
trabajar, se definirán los nombres con los que comúnmente se les
conocen:
IEEE14
IEEE30
IEEE57
BROWN13
RENATO29
ADN
RED69nudos
RED690nudos
Como es lógico pensar, el número que suele acompañar al nombre del
sistema eléctrico, coincide con el número de nudos de los que consta la
red eléctrica, así podemos ver redes de 13,14, 29, 30, 57, 69, 127 y 690
nudos. Es decir, se dispone de redes de muy diversos tamaños.
Todas estas redes, son bastante más complejas que la que se ha tomado
como ejemplo, ya que tienen nudos , elementos shunts,
transformadores,… Más tarde se describirán más a fondo cada una de
ellas.
PV
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 56
Lo deseable, es que el comportamiento de todas estas redes, sea igual al
que se ha estudiado en la red ejemplo, cosa que, a priori, no se puede
asegurar dada la complejidad de alguna de la redes.
2.3.1. Red IEEE14 En primer lugar, se va a realizar el estudio más detallado de la
red IEEE14 ya que, aunque no es una red tan pequeña como la del
ejemplo, si tiene tamaño aceptable para poder manejar sus
resultados sin resultar una tarea tediosa. Siendo además ésta una de
las redes estándares cuyos resultados serán muy importantes.
La forma del sistema IEEE14, es la representada en la figura 9. Es
una red mallada, en la que se puede apreciar la existencia de un
en el nudo 9 además de dos transformadores entre los nudos 5-6
y 4-9, destacando la presencia de un transformador de tres
devanados, entre los nudos 8-9.
shiB
Figura 9. Esquema IEEE14
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 57
Se toma como nudo slack el nudo 1, quedando fijada su tensión a
1.06 por unidad y su correspondiente desfase de referencia.
º006.11 ∠==sU
Cuatro de los nudos restantes, 2, 3, 6 y 8, serán nudos , cuyas
tensiones en por unidad serán:
PV
09.107.101.1045.1
8
6
3
2
====
VVVV
Siendo su potencia base 100MVA.
El resultado exacto de dicha red, calculado por el algoritmo de
Newton-Raphson mediante Power World viene a ser:
º04.16036.1
º16.1505.1
º08.15055.1
º79.14057.1
º10.15051.1
º94.14056.1
º36.1309.1
º37.13062.1
º22.1407.1
º78.802.1
º33.10019.1
º72.1201.1
º98.4045.1
º006.1
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
∠=
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
exac
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 58
Las tensiones, al parecer, son bastantes buenas ya que no caen
demasiado. Vamos a ver que ocurre cuando se aplica el modelo lineal y el
reparto de cargas en continua a esta misma red.
º8351.150387.1
º5855.140514.1
º3788.140558.1
º024.140588.1
º449.140544.1
º1402.1406.1
º8823.1109.1
º4418.120652.1
º1604.1307.1
º8117.80248.1
º376.100213.1
º9499.1201.1
º7768.4045.1
º006.1
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
∠=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
º1883.170389.1
º1397.160577.1
º9671.150613.1
º6189.150524.1
º9742.150388.1
º6947.150387.1
º9071.1309.1
º9071.130536.1
º8521.1407.1
º0939.90465.1
º5837.100407.1
º9536.1201.1
º012.5045.1
º006.1
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
−∠=
∠=
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
DCLF
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
Se observa que, los módulos de las tensiones que se obtienen con el
modelo lineal y con el DC Load Flow son muy parecidos a los que se
obtienen en el reparto exacto, no caen demasiado, por el contrario
suben en alguno de los nudos de la red.
Para una mayor claridad en los resultados, se presentan en la tabla
siguiente, por un lado los módulos de las tensiones de cada nudo y
por otro los desfases.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 59
TENSIONES ÁNGULOS
Nudo Exacto Mod.Lin DCLF Exacto Mod.Lin DCLF 1 1.06 1.06 1.06 0 0 0 2 1.045 1.045 1.045 -4.98 -4.7768 -5.012 3 1.01 1.01 1.01 -12.72 -12.9499 -12.9536 4 1.019 1.0213 1.0407 -10.33 -10.376 -10.5837 5 1.02 1.0248 1.0465 -8.78 -8.8117 -9.0939 6 1.07 1.07 1.07 -14.22 -13.1604 -14.8521 7 1.062 1.0652 1.0536 -13.37 -12.4418 -13.9071 8 1.09 1.09 1.09 -13.36 -11.8823 -13.9071 9 1.056 1.06 1.0378 -14.94 -14.1402 -15.6947 10 1.051 1.0544 1.0388 -15.1 -14.449 -15.9742 11 1.057 1.0588 1.0524 -14.79 -14.024 -15.6189 12 1.055 1.0558 1.0613 -18.07 -14.3788 -15.9671 13 1.05 1.0514 1.0577 -15.16 -14.5855 -16.1397 14 1.036 1.0387 1.0389 -16.04 -15.8351 -17.1883
Tabla XI. Resultado IEEE14.
Debido a que, de esta manera no se puede determinar cual de los
dos métodos es más exacto, entendiéndose por exacto al que menor
error cometa respecto a la solución exacta, a continuación se
presentan dichos errores para cada uno de los métodos de resolución
estudiados.
ERRORES Tensiones Ángulos
Nudo Mod.Lin DCLF Mod.Lin DCLF 1 0 0 0 0 2 0 0 0.2032 0.032 3 0 0 0.2299 0.2336 4 0.2293 2.1296 0.046 0.2537 5 0.4683 2.5935 0.0317 0.3139 6 0 0 1.0596 0.6321 7 0.3021 0.793 0.9282 0.5371 8 0 0 1.4777 0.5471 9 0.3823 1.7274 0.7998 0.7547 10 0.3278 1.1587 0.651 0.8742
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 60
11 0.166 0.4371 0.766 0.8289 12 0.0778 0.5986 0.7012 0.8871 13 0.1339 0.736 0.5745 0.9797 14 0.2591 0.2782 0.2049 1.1483
MAX 0,4683 2,5935 3,6912 2,1029
MEDIA 0,1676 0,7466 0,7617 0,6599
Tabla XII. Errores IEEE14.
Según los datos, que se reflejan en la tabla anterior, se puede ver
como en el caso del modelo lineal, los módulos de las tensiones
presentan muy buenas aproximaciones en la totalidad de los nudos
del sistema eléctrico. Se observa como en el DCLF el mayor error
cometido es mucho mayor que en el caso lineal. Por el contrario, no
se puede realizar una conclusión tan rotunda en el caso de los
ángulos, ya que ninguno de los dos métodos es claramente mejor que
el otro. Según el ángulo en que nos fijemos para comparar es mejor
un método o el otro. Es por ello que, la conclusión definitiva vendrá de
la mano del mayor error de todos los nudos pero, sobretodo, de los
errores medios para evitar que, valor extremo que se encuentre
aislado y que no sea representativo del conjunto de errores que se
están produciendo normalmente en el sistema, condicione el juicio
sobre la red . Los mayores errores, se resaltan en la tabla anterior en
forma de sombreado. De este modo, en el terreno de los ángulos,
para la red IEEE14, el reparto de cargas en continua supera al
modelo lineal.
Este resultado, es muy distinto al que se obtuvo con la red ejemplo,
en el que el modelo lineal superaba al DCLF, tanto en ángulos como
en los módulos de las tensiones, y donde los errores de ángulos eran
mejores que en las tensiones.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 61
La complejidad del caso a estudiar aumenta en esta red, ya no sólo
por la existencia de más nudos sino principalmente por la existencia
de elementos . Todo parece indicar que se repite el
comportamiento del modelo propuesto cuando existían en la red
de 5 nudos. Es decir, mejores tensiones y peores ángulos. Es por
esto que, se piensa probar el modelo lineal sin tener en cuenta los
, para ver si se produce alguna mejora en los ángulos a costa de
sacrificar la notable mejoría que se tiene en los módulos de tensión.
De la misma manera, si existieran se podría probar la
eliminación de éstos en el modelo ya que, como ya se vio, dichos
elementos empeora tanto los errores en ángulos como en módulos de
las tensiones en los nudos de un sistema eléctrico.
shiB
shiB
shiB
shiG
Si eliminamos entonces, los del modelo lineal por completo, se
obtienen los siguientes resultados:
shiB
ERRORES Tensiones Ángulos
Nudo Mod.Lin DCLF Mod.Lin DCLF 1 0 0 0 0 2 0 0 0.104 0.032 3 0 0 0.799 0.2336 4 0.3631 2.1296 0.7223 0.2537 5 0.8627 2.5935 0.6382 0.3139 6 0 0 0.6788 0.6321 7 0.6308 0.793 0.6509 0.5371 8 0 0 0.218 0.5471 9 1.1174 1.7274 1.2107 0.7547 10 0.9134 1.1587 1.3366 0.8742 11 0.4635 0.4371 1.0947 0.8289 12 0.0379 0.5986 1.1127 0.8871 13 0.0857 0.736 1.2557 0.9797 14 0.7142 0.2782 1.8233 1.1483
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 62
MAX 1,1174 2,5935 1,8233 1,1483 MEDIA 0,3706 0,7466 0,8318 0,5730
Tabla XIII. Errores IEEE14 sin shiB
Se puede observar que ha ocurrido lo que se predijo con anterioridad,
los errores en módulos han aumentado considerablemente ya que, de
un error máximo de 0.4683 se ha pasado a tener 1.1174, ocurriendo
lo mismo en el caso de valores medios. De todas las maneras, lo
importante es que en todos los casos se es mejor que el DCLF. Sin
embargo, en ángulos se ha reducido bastante el error que se tenia,
en un principio, en el nudo 8, que era donde se producía el mayor
error. La mayor diferencia angular que existía en el caso de
considerar los elementos shunts era de 1.4777 y la que se obtiene sin
tenerlos en cuenta en dicho nudo es de 0.218. Sin embargo, no
ocurre esto mismo en todos los nudos; de hecho, en el nudo 14
aumenta tanto el desfase, que llega a ser mayor que el máximo que
había en el caso de tener en cuenta los shunts. Todo esto, puede
observarse de manera más clara en la siguiente tabla en la que se
comparan los errores que se obtienen con el modelo lineal teniendo
en cuenta los elementos shunts, sin tenerlos en cuenta y los errores
del reparto de cargas en continua, que no se ven afectados por la
existencia o no de dichos elementos.
ERRORES Tensiones Ángulos
Nudo Mod.Lin Lin sin sh DCLF Mod.Lin Lin sin sh DCLF 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0.2032 0.104 0.032 3 0 0 0 0.2299 0.799 0.2336 4 0.2293 0.3631 2.1296 0.046 0.7223 0.2537 5 0.4683 0.8627 2.5935 0.0317 0.6382 0.3139 6 0 0 0 1.0596 0.6788 0.6321 7 0.3021 0.6309 0.793 0.9282 0.6509 0.5371 8 0 0 0 1.4777 0.218 0.5471
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 63
9 0.3823 1.1174 1.7274 0.7998 1.2107 0.7547 10 0.3278 0.9134 1.1587 0.651 1.3366 0.8742 11 0.166 0.4636 0.4371 0.766 1.0947 0.8289 12 0.0778 0.0379 0.5986 0.7012 1.1127 0.8871 13 0.1339 0.0857 0.736 0.5745 1.2557 0.9797 14 0.2591 0.7143 0.2782 0.2049 1.8233 1.1483
MAX 0,4683 1,1174 2,5935 1,4777 1,8233 1,1483
MEDIA 0,1676 0,3706 0,7466 0,5481 0,8318 0,5730
Tabla XIV. Resumen errores IEEE14.
Se piensa en jugar con el efecto de los elementos shunts ya que es lo
único que se puede modificar en el modelo lineal para mejorar los
resultados. Así, por ejemplo, se prueba considerando sólo la mitad de
eliminando su influencia de la ecuación de shiB P , que sólo haya
influencia en la ecuación de y también considerando la mitad de
ella.
Q
Los resultados de cada hipótesis se muestran a continuación:
a) 2
shiB
en ambas ecuaciones
En la tabla XV se puede observar como,
consecuentemente, al considerar únicamente la mitad del efecto
shunt los errores en los módulos de tensión no son tan buenos
como cuando se tenía el efecto completo, siendo mejores que
cuando no se tiene en cuenta el efecto shunt. Por lo tanto, en
principio esta alternativa parece no ser demasiado mala, siempre
y cuando se encuentre alguna mejoría en ángulos que es lo que
principalmente se persigue en dicho estudio.
Se puede observar, al contrario de lo esperado que, el error en
ángulos disminuye. Es mejor que en los dos casos anteriores,
cosa que en principio no se le encuentra explicación ya que el
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 64
comportamiento esperado, era como el que se ha encontrado en
los módulos, una situación intermedia a los casos con y sin
influencia shunt. De este modo, cabía esperar, que los errores
fueran un poco peores que en el caso original, encontrándose,
por el contrario, con unos errores mucho mejores que los dos
casos anteriores, superando por fin a los ángulos del reparto de
cargas en continua.
Todo esto se recoge en la siguiente tabla:
ERRORES Tensiones Ángulos
Nudo M.Lin sh/2 DCLF M.Lin sh/2 DCLF 1 0 0 0 0 2 0 0 0.0593 0.032 3 0 0 0.4971 0.2336 4 0.2944 2.1296 0.3624 0.2537 5 0.6667 2.5935 0.3163 0.3139 6 0 0 0.2375 0.6321 7 0.1695 0.793 0.1852 0.5371 8 0.0000 0 0.8864 0.5471 9 0.3788 1.7274 0.1454 0.7547 10 0.3045 1.1587 0.2845 0.8742 11 0.1514 0.4371 0.1116 0.8289 12 0.0190 0.5986 0.1567 0.8871 13 0.0190 0.736 0.2902 0.9797 14 0.2317 0.2782 0.7515 1.1483
MAX 0,6667 2,5935 0,8864 1,1483
MEDIA 0,1596 0,7466 0,3060 0,5730
Tabla XV. Errores IEEE14 con 2
shiB .
b) sh sólo en la ecuación de iB Q
En este caso sólo se va a estudiar el efecto que tiene
en la ecuación reactiva. Ya que, cuando las ecuaciones están
shiB
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 65
desacopladas, existe una relación directa entre , y dado
que los resultados logrados hasta el momento hacen pensar
que elementos shunts benefician enormemente a los módulos
de tensión, empeorando por el contrario, a los desfases, se
pretende obtener una mejoría en cuanto al modelo original.
VQ −
La mejoría en tensiones es clarísima, como se aprecia en la
correspondiente tabla de resultados XVI. Por otro lado, la
mejoría en ángulos es casi inapreciable, es un poco mejor que
cuando se consideraba el efecto en ambas ecuaciones y
cuando se eliminaba por completo dicho efecto, pero no se
produce una reducción grande como para superar al DCLF.
Parece ser, por tanto, que el método anterior, en lo que a
ángulos se refieren, es mejor a la presente opción.
ERRORES Tensiones Ángulos
Nudo M.Lin sh Q DCLF M.Lin sh Q DCLF 1 0 0 0 0 2 0 0 0.1091 0.032 3 0 0 0.815 0.2336 4 0.0981 2.1296 0.7466 0.2537 5 0.3627 2.5935 0.6399 0.3139 6 0 0 0.4924 0.6321 7 0.2448 0.793 0.4279 0.5371 8 0.0000 0 0.1969 0.5471 9 0.3314 1.7274 0.7993 0.7547 10 0.2854 1.1587 0.962 0.8742 11 0.1419 0.4371 0.8263 0.8289 12 0.0758 0.5986 0.8949 0.8871 13 0.1238 0.736 1.0357 0.9797 14 0.2220 0.2782 1.4553 1.1483
MAX 0,3627 2,5935 1,4553 1,1483
MEDIA 0,1347 0,7466 0,6715 0,5730
Tabla XVI. Errores IEEE14 con en shiB Q
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 66
c) 2
shiB
sólo en la ecuación de Q
Esta opción es como la anterior, pero tomando la mitad de
la influencia del elemento shunt. En ella se observa un
empeoramiento en los resultados, rechazando de inmediato
esta opción.
ERRORES Tensiones Ángulos
Nudo M.Lin sh/2 Q DCLF M.Lin sh/2 Q DCLF 1 0 0 0 0 2 0 0 0,1065 0,032 3 0 0 0,807 0,2336 4 0,2257 2,1296 0,7345 0,2537 5 0,6078 2,5935 0,6391 0,3139 6 0 0 0,586 0,6321 7 0,1977 0,793 0,5393 0,5371 8 0,0000 0 0,2085 0,5471 9 0,4072 1,7274 1,0043 0,7547 10 0,3235 1,1587 1,1491 0,8742 11 0,1608 0,4371 0,9608 0,8289 12 0,0190 0,5986 1,0043 0,8871 13 0,0190 0,736 1,1461 0,9797 14 0,2510 0,2782 1,6394 1,1483
MAX 0,6078 2,5935 1,6394 1,1483
MEDIA 0,1580 0,7466 0,7518 0,5730
Tabla XVII. Errores IEEE14 con 2
shiB en Q
d) sólo en la ecuación de shiB P
Como no se obtuvo el efecto deseado al considerar ,
en la ecuación reactiva, se va a probar esta vez dejando el
elemento shunt, sólo en la ecuación de activa.
shiB
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 67
Los resultados en general, son peores en que los casos
anteriores, rechazando también esta opción. De todas
maneras, en valores medios se sigue siendo mejor que el
reparto de cargas en continua.
ERRORES Tensiones Ángulos
Nudo M.Lin sh P DCLF M.Lin sh P DCLF1 0 0 0 0 2 0 0 0.209 0.032 3 0 0 0.2131 0.23364 0.4879 2.1296 0.0241 0.25375 0.9626 2.5935 0.0346 0.31396 0 0 0.8821 0.63217 0.579 0.793 0.7309 0.53718 0 0 1.5005 0.54719 1.0644 1.7274 0.4375 0.754710 0.8744 1.1587 0.3189 0.874211 0.4398 0.4371 0.523 0.828912 0.0308 0.5986 0.4954 0.887113 0.0756 0.736 0.3694 0.979714 0.6819 0.2782 0.1268 1.1483
MAX 1,0644 2,5935 1,5005 1,1483
MEDIA 0,3712 0,7466 0,4190 0,5730
Tabla XVIII. Errores IEEE14 con en shiB P
Se puede resumir todos los resultados anteriores en las siguientes
tablas:
Tensiones Nudo Mod.Lin Lin sin sh M.Lin sh/2 M.Lin sh Q M.Lin sh/2 Q M.Lin sh P DCLF
1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0.2293 0.3631 0.2944 0.0981 0.2257 0.4879 2.12965 0.4683 0.8627 0.6667 0.3627 0.6078 0.9626 2.59356 0 0 0 0 0 0 0
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 68
7 0.3021 0.6309 0.1695 0.2448 0.1977 0.579 0.793 8 0 0 0 0 0 0 0 9 0.3823 1.1174 0.3788 0.3314 0.4072 1.0644 1.7274
10 0.3278 0.9134 0.3045 0.2854 0.3235 0.8744 1.158711 0.166 0.4636 0.1514 0.1419 0.1608 0.4398 0.437112 0.0778 0.0379 0.0190 0.0758 0.0190 0.0308 0.598613 0.1339 0.0857 0.0190 0.1238 0.0190 0.0756 0.736 14 0.2591 0.7143 0.2317 0.2220 0.2510 0.6819 0.2782
MAX 0,4683 1,1174 0,6667 0,3627 0,6078 1,0644 2,5935MED 0,1676 0,3706 0,1596 0,1347 0,1580 0,3712 0,7466
Tabla XIX. Resumen errores en tensiones IEEE14 según shiB
Ángulos Nudo Mod.Lin Lin sin sh M.Lin sh/2 M.Lin sh Q M.Lin sh/2 Q M.Lin sh P DCLF
1 0 0 0 0 0 0 0 2 0.2032 0.104 0.0593 0.1091 0.1065 0.209 0.032 3 0.2299 0.799 0.4971 0.815 0.807 0.2131 0.23364 0.046 0.7223 0.3624 0.7466 0.7345 0.0241 0.25375 0.0317 0.6382 0.3163 0.6399 0.6391 0.0346 0.31396 1.0596 0.6788 0.2375 0.4924 0.586 0.8821 0.63217 0.9282 0.6509 0.1852 0.4279 0.5393 0.7309 0.53718 1.4777 0.218 0.8864 0.1969 0.2085 1.5005 0.54719 0.7998 1.2107 0.1454 0.7993 1.0043 0.4375 0.7547
10 0.651 1.3366 0.2845 0.962 1.1491 0.3189 0.874211 0.766 1.0947 0.1116 0.8263 0.9608 0.523 0.828912 0.7012 1.1127 0.1567 0.8949 1.0043 0.4954 0.887113 0.5745 1.2557 0.2902 1.0357 1.1461 0.3694 0.979714 0.2049 1.8233 0.7515 1.4553 1.6394 0.1268 1.1483
MAX 1,4777 1,8233 0,8864 1,4553 1,6394 1,5005 1,1483MED 0,5481 0,8318 0,3060 0,6715 0,7518 0,4190 0,5730
Tabla XX. Resumen errores en ángulos IEEE14 según shiB
Así, a la vista de los resultados, parece ser que la mejor opción,
buscando un compromiso entre errores de tensiones y ángulos, es la
de considerar la mitad del efecto shunt en ambas ecuaciones. Sin
embargo, al no ser una opción justificada, no se considerará como la
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 69
mejor opción hasta no ser probada en otras redes ya que estos
resultados pueden ser fruto de la casualidad, no produciéndose tales
resultados en las demás redes. Luego, por el momento se seguirá
con el modelo lineal normal, en el que se mete la influencia shunt de
manera completa y en las dos ecuaciones, hasta que corroboremos lo
que ya se ha comentado.
2.3.2. Otros Resultados Se va a probar el método propuesto en el resto de sistemas
eléctricos enumerados anteriormente. Para ello, se irá describiendo
cada una de las redes con sus características más relevantes,
mostrando seguidamente sus resultados.
Al final del apartado se proporcionará un resumen de todas las redes
a fin de buscar un comportamiento común del modelo lineal en todas
las redes eléctricas.
2.3.2.1. IEEE30
El sistema eléctrico IEEE30 tiene la forma que se presenta
en la figura 10.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 70
Los resultados que se obtienen son los siguientes:
Aunque no se aprecia demasiado bien en la figura 10, el sistema
eléctrico está dotado de tres transformadores, entre los nudos 4-
12, 28-27 y 6-10, siendo este último de tres devanados.
La potencia base es la siguiente:
Figura 10. Esquema IEEE30
Dicho esquema, el cual resulta ser mallado como puede
observarse a simple vista, consta de 30 nudos eléctricos de los
cuales cinco de ellos son nudos , con las siguientes tensiones
fijadas en por unidad:
PV
071.1082.101.101.1043.1
13
11
8
5
2
====
=
VVVVV
º006.
Es el nudo 1 el nudo que se toma como referencia angular,
estando su tensión fijada a 1.06 en por unidad, es decir:
MVASbase 100
11 ∠==sU
=
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
IEEE30
Tensiones Ángulos Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF
1 1,06 1,06 1,06 0 0 0 0 0 0 0 2 1,043 1,045 1,045 0,1918 0,1918 -5,48 -1,2649 -1,5163 4,2151 3,9637 3 1,021 1,028 1,0346 0,6837 1,3301 -7,96 -5,2355 -5,6124 2,7245 2,3476 4 1,012 1,0186 1,0292 0,6548 1,6999 -9,62 -6,4887 -6,8478 3,1313 2,7722 5 1,01 1,01 1,01 0 0 -14,37 -10,6041 -10,7947 3,7659 3,5753 6 1,01 1,0146 1,0197 0,4593 0,965 -11,34 -7,9812 -8,3014 3,3588 3,0386 7 1,002 1,0053 1,0105 0,3278 0,8457 -13,12 -9,7205 -9,9616 3,3995 3,1584 8 1,01 1,01 1,01 0 0 -12,1 -8,729 -9,0128 3,371 3,0872 9 1,051 1,0562 1,0316 0,4934 1,8462 -14,38 -10,2983 -11,564 4,0817 2,816
10 1,045 1,0518 1,0113 0,6528 3,2203 -15,97 -11,9829 -13,3282 3,9871 2,6418 11 1,082 1,082 1,082 0 0 -14,39 -9,8127 -11,564 4,5773 2,826 12 1,057 1,063 1,032 0,5712 2,3676 -15,24 -11,078 -12,5328 4,162 2,7072 13 1,071 1,071 1,071 0 0 -15,24 -10,9138 -12,5328 4,3262 2,7072 14 1,042 1,049 1,0233 0,6704 1,7954 -16,13 -12,2377 -13,6201 3,8923 2,5099 15 1,038 1,0451 1,0197 0,6818 1,762 -16,22 -12,4002 -13,7591 3,8198 2,4609 16 1,045 1,0509 1,0192 0,5606 2,4665 -15,83 -11,8842 -13,2792 3,9458 2,5508 17 1,04 1,0466 1,0103 0,6307 2,8511 -16,14 -12,2795 -13,616 3,8605 2,524 18 1,028 1,0356 1,0117 0,7379 1,5855 -16,82 -13,2273 -14,4884 3,5927 2,3316 19 1,026 1,033 1,0081 0,6837 1,7419 -17 -13,4575 -14,6827 3,5425 2,3173 20 1,03 1,037 1,0086 0,6801 2,0816 -16,8 -13,1576 -14,4149 3,6424 2,3851 21 1,033 1,0443 1,0067 1,0896 2,5456 -16,42 -12,4244 -13,736 3,9956 2,684 22 1,033 1,0463 1,0079 1,2854 2,4314 -16,41 -12,3101 -13,6279 4,0999 2,7821 23 1,027 1,0364 1,0095 0,9184 1,6995 -16,61 -12,9027 -14,1763 3,7073 2,4337 24 1,021 1,0331 1,0003 1,1893 2,0295 -16,78 -13,0317 -14,2389 3,7483 2,5411
Mª Angeles Macias Nebreda 71
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
72
25 1,017 1,0287 0,9971 1,1481 1,9614 -16,35 -12,6524 -13,7981 3,6976 2,5519 26 1 1,0114 0,9883 1,1379 1,1687 -16,77 -13,5061 -14,5602 3,2639 2,2098 27 1,023 1,0341 0,9998 1,0835 2,2671 -15,82 -11,9675 -13,1001 3,8525 2,7199 28 1,007 1,0113 1,0156 0,4289 0,8541 -11,97 -8,6538 -8,9629 3,3162 3,0071 29 1,003 1,0153 0,9939 1,2269 0,908 -17,06 -13,6395 -14,5432 3,4205 2,5168 30 0,992 1,0042 0,9915 1,2347 0,0487 -17,94 -14,813 -15,495 3,127 2,445
MAX 1,285 3,220 4,577 3,964 MEDIA 0,647 1,422 3,588 2,620
Tabla XXI. Resultados IEEE30
Mª Angeles Macias Nebreda
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 73
2.3.2.2. IEEE57 Al sistema IEEE57, le corresponde el siguiente
esquema:
Figura 11. Esquema IEEE57
Al igual que las anteriores redes de la norma IEEE, éste es un
sistema mallado que está formado por 57 nudos. Para formar
el sistema en por unidad se toma la siguiente magnitud base:
MVASbase 100=
El nudo slack resulta ser, nuevamente, el primer nudo,
º004.11 ∠==sU
Existiendo seis nudos , con los siguientes valores: PV
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 74
Los resultados que se obtienen son los siguientes:
Debido a la baja calidad de la figura 11, no es apreciable la
cantidad de transformadores que existen en el sistema
eléctrico en cuestión, casi todos ellos con toma diferente a la
unidad. Cabe destacar, la presencia de transformadores en
paralelo entre los nodos 4-18, de diferente impedancia de
cortocircuito y toma.
015.198.0005.198.0985.001.1
12
9
8
6
3
2
=====
VVVVVV =
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
IEEE57 Tensiones Ángulos Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF
1 1.04 1.040 1.0400 0 0 0 0 0 0 0 2 1.01 1.010 1.0100 0 0 -1.19 -1.1292 -1.5706 0.0608 0.3806 3 0.985 0.985 0.9850 0 0 -5.99 -5.9086 -6.1923 0.0814 0.2023 4 0.9808 0.982 0.9805 0.1286 0.0327 -7.34 -7.2664 -7.4178 0.0736 0.0778 5 0.9765 0.977 0.9784 0.0507 0.1971 -8.55 -8.4698 -8.4686 0.0802 0.0814 6 0.98 0.980 0.9800 0 0 -8.67 -8.5043 -8.5015 0.1657 0.1685 7 0.9842 0.989 0.9868 0.4968 0.2657 -7.6 -7.2901 -7.4491 0.3099 0.1509 8 1.005 1.005 1.0050 0 0 -4.48 -3.9573 -4.2078 0.5227 0.2722 9 0.98 0.980 0.9800 0 0 -9.58 -9.4578 -9.3357 0.1222 0.2443 10 0.9862 0.994 0.9888 0.8025 0.2551 -11.45 -11.2405 -11.0444 0.2095 0.4056 11 0.974 0.980 0.9815 0.652 0.7726 -10.19 -10.2283 -10.0546 0.0383 0.1354 12 1.015 1.015 1.0150 0 0 -10.47 -9.8827 -9.8812 0.5873 0.5888 13 0.9789 0.987 0.9905 0.8565 1.1892 -9.8 -9.8006 -9.6693 0.0006 0.1307 14 0.9702 0.984 0.9865 1.3826 1.6851 -9.35 -9.495 -9.3398 0.145 0.0102 15 0.988 0.997 0.9937 0.94 0.5746 -7.19 -7.1171 -7.2692 0.0729 0.0792 16 1.0134 1.017 1.0203 0.3854 0.6864 -8.86 -8.4488 -8.5212 0.4112 0.3388 17 1.0175 1.022 1.0252 0.4464 0.7621 -5.4 -5.1871 -5.3393 0.2129 0.0607 18 1.0007 1.008 0.9555 0.708 4.5091 -11.73 -11.1322 -11.7146 0.5978 0.0154 19 0.9702 0.983 0.9504 1.3443 2.0397 -13.23 -13.4148 -13.5054 0.1848 0.2754 20 0.9638 0.980 0.9497 1.6841 1.4618 -13.44 -13.8485 -13.8195 0.4085 0.3795 21 1.0085 1.030 0.9566 2.1373 5.1511 -12.93 -12.0843 -13.3381 0.8457 0.4081 22 1.0097 1.032 0.9575 2.1767 5.1696 -12.87 -12.0127 -13.2686 0.8573 0.3986 23 1.0083 1.031 0.9569 2.2154 5.0999 -12.94 -12.1047 -13.3416 0.8353 0.4016 24 0.9992 1.027 0.9516 2.8071 4.7655 -13.29 -12.6022 -13.6463 0.6878 0.3563 25 0.9825 1.017 0.9111 3.5125 7.2665 -18.17 -17.3881 -18.3369 0.7819 0.1669
Mª Angeles Macias Nebreda 75
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
26 0.9588 0.985 0.9539 2.7175 0.5126 -12.98 -13.3951 -13.3211 0.4151 0.3411 27 0.9815 0.998 0.9657 1.6742 1.6125 -11.51 -11.2784 -11.6469 0.2316 0.1369 28 0.9967 1.009 0.9706 1.2375 2.6142 -10.48 -9.9009 -10.5097 0.5791 0.0297 29 1.0102 1.020 0.9750 0.9395 3.4867 -9.77 -8.9134 -9.6553 0.8566 0.1147 30 0.9627 0.998 0.9040 3.6719 6.0914 -18.72 -18.5423 -19.1796 0.1777 0.4596 31 0.9359 0.972 0.8955 3.809 4.321 -19.38 -20.1115 -20.2279 0.7315 0.8479 32 0.9499 0.983 0.9044 3.506 4.7848 -18.51 -18.7072 -19.3115 0.1972 0.8015 33 0.9476 0.981 0.9037 3.5226 4.6268 -18.55 -18.8289 -19.3899 0.2789 0.8399 34 0.9592 0.985 0.9405 2.6661 1.9492 -14.15 -14.512 -15.3088 0.362 1.1588 35 0.9662 0.991 0.9435 2.5523 2.3471 -13.91 -14.0731 -14.9728 0.1631 1.0628 36 0.9758 1.000 0.9472 2.4431 2.931 -13.63 -13.5448 -14.5568 0.0852 0.9268 37 0.9849 1.008 0.9501 2.3646 3.536 -13.45 -13.1324 -14.2215 0.3176 0.7715 38 1.0128 1.034 0.9590 2.1104 5.3111 -12.73 -11.8175 -13.1095 0.9125 0.3795 39 0.9828 1.006 0.9496 2.3694 3.3763 -13.49 -13.2254 -14.2919 0.2646 0.8019 40 0.9728 0.997 0.9468 2.4386 2.6711 -13.66 -13.6401 -14.6229 0.0199 0.9629 41 0.9962 1.011 0.9505 1.4928 4.5867 -14.08 -13.3291 -14.0995 0.7509 0.0195 42 0.9665 0.984 0.9360 1.8278 3.1606 -15.53 -15.615 -15.8871 0.085 0.3571 43 1.0096 1.020 0.9723 0.9825 3.6927 -11.35 -10.5352 -11.2399 0.8148 0.1101 44 1.0168 1.037 0.9654 1.9612 5.0576 -11.86 -10.9371 -12.2177 0.9229 0.3577 45 1.036 1.051 0.9811 1.4755 5.2988 -9.27 -8.2103 -9.4704 1.0597 0.2004 46 1.0598 1.081 0.9753 1.9595 7.9778 -11.12 -9.3813 -10.9438 1.7387 0.1762 47 1.0333 1.054 0.9637 2.04 6.7352 -12.51 -11.1877 -12.5927 1.3223 0.0827 48 1.0274 1.048 0.9624 2.0387 6.3231 -12.61 -11.39 -12.7612 1.22 0.1512 49 1.0362 1.055 0.9644 1.7841 6.9352 -12.94 -11.4687 -12.7617 1.4713 0.1783 50 1.0233 1.040 0.9615 1.6447 6.0387 -13.41 -12.2233 -13.5062 1.1867 0.0962 51 1.0523 1.065 0.9798 1.1874 6.8897 -12.53 -10.7717 -12.1388 1.7583 0.3912 52 0.9804 0.990 0.9585 0.9938 2.2287 -11.5 -11.208 -11.6958 0.292 0.1958 53 0.9709 0.980 0.9520 0.9481 1.9501 -12.25 -12.1905 -12.4933 0.0595 0.2433 54 0.9963 1.003 0.9599 0.6598 3.6577 -11.71 -11.1203 -11.715 0.5897 0.005 55 1.0308 1.034 0.9707 0.2998 5.8271 -10.8 -9.5934 -10.4231 1.2066 0.3769 56 0.9684 0.988 0.9369 1.9797 3.2466 -16.07 -16.1217 -16.2448 0.0517 0.1748 57 0.9648 0.985 0.9347 2.1033 3.1267 -16.58 -16.7562 -16.7597 0.1762 0.1797
Mª Angeles Macias Nebreda 76
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
77
MAX 3,809 7,978 1,758 1,159 MEDIA 1,511 3,066 0,502 0,327
Tabla XXII. Resultados IEEE57
Mª Angeles Macias Nebreda
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 78
2.3.2.3. RENATO29 La red RENATO29, es un sistema eléctrico teórico, no
es real pero se hace uso de ella para realizar pruebas teóricas
sobre la misma, es por eso que se incluye para el presente
estudio.
Aunque es lógico pensar que, el número de nudos que
comprende el sistema eléctrico en cuestión es 29, en esta
ocasión el número que acompaña al nombre de la red, no se
refiere al número total de nodos eléctricos, ya que en este caso
son treinta.
A diferencia de las redes anteriores, esta ya no es una red
mallada sino radial, por lo que es bastante más sencilla que las
de más arriba, esperando por tanto, unos errores en los
resultados de menor cuantía.
No existen nudos , lo que no es beneficioso para los
resultados ya que se ha comprobado que la presencia de este
tipo de nudos ayuda a mejorarlos. De todas formas, a primera
vista esto no debe ser del todo preocupante debido, como ya
se ha comentado, a la sencillez del sistema eléctrico de
potencia.
PV
05.11
Se toma por slack el nudo 1, así tendremos en por unidad:
Probando ya el modelo lineal en la red teórica, se obtiene lo
siguiente:
Potencias base:
º0∠==sU
MVASbase 100=
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
RENATO29
Tensiones Ángulos Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF
1 1,05 1,05 1,05 0 0 0 0 0 0 0 2 0,9077 0,9204 0,9978 1,3898 9,921 -1,33 -1,4674 -4,272 0,1374 2,942 3 0,9062 0,9188 0,9974 1,3965 10,062 -1,33 -1,4701 -4,3086 0,1401 2,9786 4 0,9052 0,9179 0,9973 1,3988 10,1719 -1,3 -1,4508 -4,3132 0,1508 3,0132 5 0,905 0,9177 0,9973 1,4002 10,1966 -1,3 -1,4465 -4,3141 0,1465 3,0141 6 0,8995 0,9123 0,9965 1,422 10,7828 -1,27 -1,4362 -4,4095 0,1662 3,1395 7 0,8989 0,9117 0,9965 1,4237 10,8491 -1,26 -1,4247 -4,4122 0,1647 3,1522 8 0,8989 0,9117 0,9965 1,4237 10,8491 -1,26 -1,4247 -4,4122 0,1647 3,1522 9 0,898 0,9108 0,9964 1,4258 10,957 -1,23 -1,406 -4,4168 0,176 3,1868
10 0,8974 0,9102 0,996 1,4288 10,9946 -1,28 -1,4545 -4,4608 0,1745 3,1808 11 0,8968 0,9096 0,996 1,4313 11,0686 -1,27 -1,4414 -4,4636 0,1714 3,1936 12 0,8964 0,9093 0,996 1,4322 11,1065 -1,26 -1,4352 -4,4654 0,1752 3,2054 13 0,8969 0,9097 0,996 1,4306 11,055 -1,27 -1,4444 -4,4636 0,1744 3,1936 14 0,8966 0,9095 0,9959 1,4313 11,0696 -1,29 -1,4613 -4,4791 0,1713 3,1891 15 0,8962 0,909 0,9958 1,4324 11,1252 -1,28 -1,4522 -4,4819 0,1722 3,2019 16 0,8961 0,909 0,9958 1,4327 11,1276 -1,28 -1,4517 -4,4819 0,1717 3,2019 17 0,8954 0,9082 0,9958 1,4348 11,2147 -1,26 -1,4368 -4,4856 0,1768 3,2256 18 0,8959 0,9087 0,9958 1,434 11,1615 -1,27 -1,4454 -4,4828 0,1754 3,2128 19 0,9035 0,9162 0,9965 1,4061 10,2918 -1,28 -1,435 -4,36 0,155 3,08 20 0,9033 0,916 0,9964 1,4065 10,3156 -1,27 -1,4247 -4,3609 0,1547 3,0909 21 0,9023 0,915 0,9964 1,4101 10,4266 -1,22 -1,3784 -4,3655 0,1584 3,1455 22 0,9013 0,9141 0,9957 1,413 10,4672 -1,26 -1,4152 -4,404 0,1552 3,144 23 0,9012 0,9139 0,9956 1,4141 10,4864 -1,25 -1,4103 -4,4067 0,1603 3,1567
Mª Angeles Macias Nebreda 79
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
24 0,9007 0,9134 0,9956 1,4154 10,5428 -1,22 -1,3831 -4,4067 0,1631 3,1867 25 0,9003 0,9131 0,9954 1,4167 10,5543 -1,24 -1,4006 -4,4223 0,1606 3,1823 26 0,8998 0,9125 0,9953 1,4178 10,6203 -1,21 -1,3727 -4,4251 0,1627 3,2151 27 0,8997 0,9125 0,9953 1,4184 10,6252 -1,2 -1,3706 -4,4251 0,1706 3,2251 28 0,8998 0,9126 0,9952 1,418 10,5981 -1,23 -1,3956 -4,4333 0,1656 3,2033 29 0,8986 0,9114 0,9951 1,4215 10,7321 -1,17 -1,3408 -4,4397 0,1708 3,2697 30 0,8995 0,9123 0,9952 1,419 10,6339 -1,21 -1,3812 -4,4351 0,1712 3,2251
MAX 1,4348 11,2147 0,1768 3,2697 MED 1,3715 10,3336 0,1586 3,0503
Tabla XXIII. Resultados RENATO29.
Mª Angeles Macias Nebreda 80
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
RENATO29 Carga Doble Tensiones Ángulos
Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF 1 1,05 1,05 1,05 0 0 0 0 0 0 0 2 0,6107 0,7692 0,9456 25,9457 54,8337 -4,24 -4,202 -8,5439 0,038 4,3039 3 0,6059 0,7655 0,9447 26,3419 55,9176 -4,23 -4,2361 -8,6173 0,0061 4,3873 4 0,6031 0,7633 0,9446 26,5655 56,6386 -4,13 -4,1965 -8,6264 0,0665 4,4964 5 0,6025 0,7628 0,9446 26,6157 56,7971 -4,1 -4,1876 -8,6283 0,0876 4,5283 6 0,5851 0,7497 0,943 28,1261 61,1595 -3,97 -4,2539 -8,819 0,2839 4,849 7 0,5834 0,7483 0,9429 28,2754 61,6292 -3,9 -4,2299 -8,8245 0,3299 4,9245 8 0,5834 0,7483 0,9429 28,2754 61,6292 -3,9 -4,2299 -8,8245 0,3299 4,9245 9 0,5805 0,7461 0,9428 28,5252 62,4089 -3,8 -4,1907 -8,8336 0,3907 5,0336
10 0,5785 0,7446 0,9421 28,7113 62,8488 -4,03 -4,347 -8,9216 0,317 4,8916 11 0,5766 0,7431 0,942 28,8825 63,3828 -3,95 -4,3196 -8,9271 0,3696 4,9771 12 0,5756 0,7423 0,942 28,9716 63,6611 -3,92 -4,307 -8,9308 0,387 5,0108 13 0,5769 0,7434 0,942 28,8535 63,2893 -3,97 -4,3266 -8,9271 0,3566 4,9571 14 0,5761 0,7428 0,9417 28,9226 63,4575 -4,05 -4,3815 -8,9583 0,3315 4,9083 15 0,5747 0,7416 0,9417 29,0536 63,8673 -4 -4,3634 -8,9638 0,3634 4,9638 16 0,5746 0,7416 0,9417 29,0595 63,8844 -3,99 -4,3622 -8,9638 0,3722 4,9738 17 0,5723 0,7398 0,9416 29,2687 64,5318 -3,91 -4,3312 -8,9711 0,4212 5,0611 18 0,5737 0,7409 0,9417 29,1386 64,1301 -3,96 -4,3484 -8,9656 0,3884 5,0056 19 0,5976 0,7591 0,9429 27,0247 57,7779 -4,03 -4,1804 -8,7199 0,1504 4,6899 20 0,597 0,7586 0,9429 27,0762 57,9417 -3,98 -4,1541 -8,7218 0,1741 4,7418 21 0,594 0,7563 0,9427 27,3204 58,7044 -3,74 -4,0354 -8,7309 0,2954 4,9909
Mª Angeles Macias Nebreda 81
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
82
22 0,5911 0,7541 0,9414 27,5737 59,2665 -3,9 -4,1594 -8,808 0,2594 4,908 23 0,5905 0,7536 0,9413 27,6221 59,4093 -3,88 -4,1484 -8,8135 0,2684 4,9335 24 0,5891 0,7525 0,9413 27,7422 59,7936 -3,74 -4,0764 -8,8135 0,3364 5,0735 25 0,588 0,7517 0,9408 27,8328 59,9864 -3,82 -4,1339 -8,8446 0,3139 5,0246 26 0,5862 0,7503 0,9407 27,9876 60,464 -3,68 -4,0614 -8,8501 0,3814 5,1701 27 0,5861 0,7502 0,9407 27,9971 60,4941 -3,67 -4,0558 -8,8501 0,3858 5,1801 28 0,5864 0,7504 0,9404 27,9745 60,3711 -3,79 -4,1284 -8,8666 0,3384 5,0766 29 0,5827 0,7475 0,9401 28,2937 61,3483 -3,5 -3,9862 -8,8795 0,4862 5,3795 30 0,5854 0,7496 0,9403 28,0576 60,6287 -3,71 -4,0912 -8,8703 0,3812 5,1603
5,3795 MAX 29,2687 64,5318 0,4862 4,7509 MED 27,0678 58,6751 0,2870
Tabla XXIV. Resultados RENATO29 Carga Doble
Mª Angeles Macias Nebreda
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 83
2.3.2.4. RED69nudos
A continuación se presenta, una red de 69 nudos y que
es muy similar a la anterior ya que carece de nudos y no
tiene transformadores, resultando ser una red sencilla pero de
mayor tamaño que la anterior.
Se ha probado también cuando se aumenta la carga de la red
al doble, ya que los resultados que se obtienen con carga
original son bastante buenos. Así, los resultados que se
obtienen son mayores a los anteriores, lo cual era de esperar,
pero se sigue siendo bastante mejor en el modelo lineal que en
el reparto de cargas en continua.
PV
º000.169
Por otro lado, esta red es real, mientras que la anterior
resultaba ser un sistema teórico.
En esta ocasión, el nudo slack, no es el primero de los nudos
como en la mayoría de las ocasiones sino que es el último de
ellos, así que:
∠==sU
MVASbase 1.0
Además, la potencia base tampoco resulta ser la habitual,
siendo en este caso:
=
Los resultados se pueden revisar en la tabla siguiente.
Debido a los fantásticos errores que se obtienen, se prueba
seguidamente con la misma red pero el doble de cargada.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 84
RED69nudos Tensiones Ángulos
Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF 1 0,9999 0,9999 0,9999 0 0,001 -0,01 -0,0059 -0,0064 0,0041 0,0036 2 0,9998 0,9998 0,9998 0,0009 0,003 -0,01 -0,0118 -0,0127 0,0018 0,0027 3 0,9997 0,9997 0,9997 0,0004 0,004 -0,02 -0,0155 -0,0176 0,0045 0,0024 4 0,9994 0,9994 0,9995 0,0019 0,0154 -0,03 -0,0249 -0,0344 0,0051 0,0044 5 0,9953 0,9955 0,9981 0,0183 0,2762 -0,04 -0,0421 -0,1409 0,0021 0,1009 6 0,9912 0,9915 0,9966 0,0323 0,5485 -0,06 -0,0603 -0,2518 0,0003 0,1918 7 0,9902 0,9905 0,9962 0,0349 0,6124 -0,07 -0,0652 -0,2781 0,0048 0,2081 8 0,9897 0,9901 0,9961 0,0351 0,6425 -0,07 -0,0686 -0,2914 0,0014 0,2214 9 0,9866 0,9869 0,9953 0,0353 0,8865 -0,07 -0,0762 -0,3526 0,0062 0,2826
10 0,9859 0,9863 0,9952 0,0359 0,9394 -0,07 -0,0793 -0,3659 0,0093 0,2959 11 0,9831 0,9835 0,9946 0,0415 1,1703 -0,04 -0,0517 -0,4154 0,0117 0,3754 12 0,9805 0,9811 0,994 0,055 1,3701 -0,03 -0,0419 -0,4615 0,0119 0,4315 13 0,981 0,9816 0,9939 0,0552 1,3101 -0,06 -0,0788 -0,4675 0,0188 0,4075 14 0,9816 0,9821 0,9938 0,0479 1,2418 -0,1 -0,1162 -0,4736 0,0162 0,3736 15 0,9811 0,9815 0,9937 0,047 1,2896 -0,09 -0,1077 -0,4828 0,0177 0,3928 16 0,9801 0,9806 0,9935 0,0483 1,3692 -0,08 -0,0929 -0,4977 0,0129 0,4177 17 0,9801 0,9806 0,9935 0,0479 1,3695 -0,08 -0,0931 -0,4982 0,0131 0,4182 18 0,9795 0,98 0,9934 0,0531 1,4173 -0,07 -0,0825 -0,5065 0,0125 0,4365 19 0,9792 0,9797 0,9933 0,0561 1,4478 -0,06 -0,0757 -0,5119 0,0157 0,4519 20 0,9786 0,9792 0,9932 0,06 1,4963 -0,05 -0,0647 -0,5206 0,0147 0,4706 21 0,9785 0,9791 0,9932 0,061 1,5014 -0,05 -0,064 -0,5214 0,014 0,4714 22 0,9779 0,9786 0,9931 0,0637 1,5505 -0,04 -0,0546 -0,5294 0,0146 0,4894 23 0,9767 0,9773 0,9929 0,0712 1,6594 -0,02 -0,0342 -0,5468 0,0142 0,5268
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 85
24 0,9741 0,9749 0,9924 0,0883 1,882 0,02 0,0046 -0,5818 0,0154 0,6018 25 0,973 0,9739 0,9922 0,0954 1,9743 0,04 0,0208 -0,5962 0,0192 0,6362 26 0,9724 0,9734 0,9921 0,0973 2,0241 0,05 0,0298 -0,6043 0,0202 0,6543 27 0,9998 0,9998 0,9998 0,0003 0,0026 -0,01 -0,012 -0,0131 0,002 0,0031 28 0,9997 0,9997 0,9998 0,0019 0,0067 -0,01 -0,0147 -0,0164 0,0047 0,0064 29 0,9996 0,9997 0,9998 0,0065 0,0187 -0,01 -0,0161 -0,0178 0,0061 0,0078 30 0,9996 0,9997 0,9998 0,0072 0,0207 -0,01 -0,0164 -0,0181 0,0064 0,0081 31 0,9995 0,9996 0,9998 0,0116 0,0317 -0,01 -0,0176 -0,0193 0,0076 0,0093 32 0,9992 0,9994 0,9998 0,0209 0,0567 -0,01 -0,0206 -0,0223 0,0106 0,0123 33 0,9989 0,9991 0,9998 0,0219 0,0898 0 -0,0267 -0,0284 0,0267 0,0284 34 0,9988 0,9991 0,9998 0,0289 0,0968 0 -0,0267 -0,0284 0,0267 0,0284 35 0,9996 0,9996 0,9997 0,0014 0,0094 -0,02 -0,0172 -0,0206 0,0028 0,0006 36 0,9973 0,9974 0,9986 0,0072 0,1261 -0,06 -0,059 -0,0935 0,001 0,0335 37 0,9899 0,9901 0,995 0,0266 0,5137 -0,18 -0,1869 -0,3189 0,0069 0,1389 38 0,9882 0,9885 0,9943 0,0313 0,6195 -0,22 -0,2252 -0,3764 0,0052 0,1564 39 0,9997 0,9997 0,9998 0,0006 0,0064 -0,01 -0,0135 -0,0153 0,0035 0,0053 40 0,9901 0,9905 0,9962 0,0353 0,6145 -0,07 -0,0647 -0,2786 0,0053 0,2086 41 0,9901 0,9905 0,9962 0,0363 0,6155 -0,07 -0,0647 -0,2786 0,0053 0,2086 42 0,9888 0,9891 0,9957 0,0368 0,7006 -0,08 -0,0739 -0,3172 0,0061 0,2372 43 0,9877 0,9881 0,9953 0,0371 0,7669 -0,08 -0,08 -0,3473 0 0,2673 44 0,9863 0,9867 0,9947 0,0398 0,8568 -0,1 -0,0901 -0,3879 0,0099 0,2879 45 0,9849 0,9853 0,9942 0,0447 0,9431 -0,11 -0,1018 -0,4266 0,0082 0,3166 46 0,9776 0,9782 0,9922 0,0647 1,4964 -0,1 -0,1031 -0,5707 0,0031 0,4707 47 0,974 0,9747 0,9912 0,074 1,7734 -0,1 -0,1037 -0,6418 0,0037 0,5418 48 0,9726 0,9733 0,9909 0,0769 1,8815 -0,1 -0,1036 -0,6689 0,0036 0,5689 49 0,969 0,9698 0,9903 0,0818 2,1895 -0,02 -0,033 -0,7177 0,013 0,6977 50 0,9639 0,9647 0,989 0,0876 2,6044 0,02 0,0157 -0,8253 0,0043 0,8453
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 86
51 0,9639 0,9648 0,989 0,0881 2,5998 0,02 0,0148 -0,8242 0,0052 0,8442 52 0,9641 0,9649 0,989 0,0885 2,5896 0,02 0,0127 -0,8216 0,0073 0,8416 53 0,9648 0,9657 0,9893 0,0899 2,5392 0,02 0,0026 -0,8093 0,0174 0,8293 54 0,968 0,9689 0,9902 0,0966 2,2971 0 -0,0231 -0,7457 0,0231 0,7457 55 0,9859 0,9862 0,9952 0,0342 0,9456 -0,07 -0,0806 -0,3672 0,0106 0,2972 56 0,9859 0,9862 0,9952 0,0342 0,9456 -0,07 -0,0807 -0,3673 0,0107 0,2973 57 0,9827 0,9831 0,9945 0,037 1,1949 -0,03 -0,0407 -0,4207 0,0107 0,3907 58 0,9827 0,9831 0,9945 0,0368 1,1948 -0,03 -0,0407 -0,4207 0,0107 0,3907 59 0,9987 0,9987 0,9993 0,0001 0,0594 -0,04 -0,0377 -0,0507 0,0023 0,0107 60 0,9873 0,9877 0,9955 0,0369 0,8309 -0,08 -0,0835 -0,3322 0,0035 0,2522 61 0,9867 0,9871 0,9953 0,0389 0,8739 -0,08 -0,0885 -0,3492 0,0085 0,2692 62 0,9867 0,987 0,9953 0,0393 0,8751 -0,08 -0,0892 -0,3498 0,0092 0,2698 63 0,9977 0,9977 0,9989 0,0014 0,1264 -0,04 -0,0418 -0,0772 0,0018 0,0372 64 0,9974 0,9974 0,9988 0,002 0,146 -0,04 -0,043 -0,0849 0,003 0,0449 65 0,9973 0,9974 0,9988 0,0019 0,1475 -0,04 -0,0438 -0,086 0,0038 0,046 66 0,9906 0,9909 0,9966 0,0264 0,6047 -0,07 -0,0702 -0,2511 0,0002 0,1811 67 0,9878 0,9881 0,9957 0,0359 0,8016 -0,08 -0,0816 -0,3215 0,0016 0,2415 68 0,9874 0,9878 0,9956 0,0364 0,8269 -0,08 -0,0831 -0,3307 0,0031 0,2507 69 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
MAX 0,0973 2,6044 0,0267 0,8453
Tabla XXV. Resultados RED69nudos.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 87
RED69nudos Carga Doble Tensiones Ángulos
Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF 1 0,9998 0,9998 0,9998 0,0009 0,003 -0,01 -0,0118 -0,0127 0,0018 0,0027 2 0,9996 0,9996 0,9996 0,0018 0,006 -0,02 -0,0235 -0,0254 0,0035 0,0054 3 0,9994 0,9994 0,9995 0,0028 0,01 -0,03 -0,031 -0,0353 0,001 0,0053 4 0,9987 0,9988 0,999 0,0078 0,0348 -0,05 -0,0499 -0,0689 0,0001 0,0189 5 0,9904 0,991 0,9962 0,0611 0,5815 -0,09 -0,085 -0,2818 0,005 0,1918 6 0,9818 0,9829 0,9932 0,1086 1,1583 -0,13 -0,1226 -0,5035 0,0074 0,3735 7 0,9798 0,981 0,9925 0,1184 1,2948 -0,14 -0,133 -0,5562 0,007 0,4162 8 0,9788 0,98 0,9921 0,122 1,3606 -0,15 -0,1401 -0,5827 0,0099 0,4327 9 0,9724 0,9737 0,9907 0,133 1,8779 -0,14 -0,1565 -0,7051 0,0165 0,5651
10 0,9711 0,9724 0,9904 0,1354 1,99 -0,15 -0,1631 -0,7318 0,0131 0,5818 11 0,9651 0,9667 0,9891 0,1569 2,4855 -0,08 -0,107 -0,8308 0,027 0,7508 12 0,9599 0,9618 0,9879 0,1956 2,9211 -0,06 -0,0872 -0,923 0,0272 0,863 13 0,961 0,9628 0,9878 0,1938 2,7926 -0,13 -0,1639 -0,9351 0,0339 0,8051 14 0,9622 0,9639 0,9877 0,1777 2,6482 -0,21 -0,2412 -0,9473 0,0312 0,7373 15 0,961 0,9627 0,9874 0,1768 2,7506 -0,19 -0,2239 -0,9657 0,0339 0,7757 16 0,959 0,9608 0,9871 0,1821 2,9225 -0,16 -0,1936 -0,9953 0,0336 0,8353 17 0,959 0,9608 0,9871 0,1822 2,9243 -0,16 -0,194 -0,9964 0,034 0,8364 18 0,9578 0,9597 0,9868 0,1948 3,0284 -0,14 -0,1722 -1,013 0,0322 0,873 19 0,9571 0,959 0,9867 0,2017 3,0942 -0,12 -0,1581 -1,0237 0,0381 0,9037 20 0,9558 0,9579 0,9864 0,2136 3,2019 -0,1 -0,1352 -1,0411 0,0352 0,9411 21 0,9557 0,9578 0,9864 0,2154 3,2126 -0,1 -0,1338 -1,0427 0,0338 0,9427 22 0,9545 0,9566 0,9862 0,2248 3,3217 -0,08 -0,1144 -1,0587 0,0344 0,9787 23 0,9518 0,9542 0,9857 0,2451 3,5608 -0,04 -0,0718 -1,0936 0,0318 1,0536
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 88
24 0,9464 0,9492 0,9848 0,2926 4,0546 0,05 0,0097 -1,1636 0,0403 1,2136 25 0,9442 0,9471 0,9844 0,3113 4,2598 0,09 0,0439 -1,1924 0,0461 1,2824 26 0,943 0,946 0,9842 0,3174 4,3708 0,11 0,0631 -1,2086 0,0469 1,3186 27 0,9996 0,9996 0,9996 0,0015 0,0062 -0,03 -0,024 -0,0261 0,006 0,0039 28 0,9994 0,9995 0,9996 0,0059 0,0153 -0,03 -0,0294 -0,0328 0,0006 0,0028 29 0,9992 0,9993 0,9996 0,015 0,0394 -0,03 -0,0322 -0,0357 0,0022 0,0057 30 0,9991 0,9993 0,9996 0,0164 0,0434 -0,03 -0,0327 -0,0362 0,0027 0,0062 31 0,9989 0,9992 0,9996 0,0242 0,0644 -0,02 -0,0352 -0,0387 0,0152 0,0187 32 0,9984 0,9989 0,9996 0,0428 0,1145 -0,01 -0,0413 -0,0447 0,0313 0,0347 33 0,9978 0,9982 0,9996 0,0458 0,1817 0 -0,0535 -0,0568 0,0535 0,0568 34 0,9976 0,9982 0,9996 0,0589 0,1948 0 -0,0535 -0,0568 0,0535 0,0568 35 0,9992 0,9992 0,9994 0,0038 0,0198 -0,04 -0,0344 -0,0412 0,0056 0,0012 36 0,9945 0,9948 0,9971 0,0278 0,267 -0,12 -0,1186 -0,187 0,0014 0,067 37 0,9792 0,9802 0,9899 0,0997 1,0947 -0,38 -0,3815 -0,6378 0,0015 0,2578 38 0,9757 0,9768 0,9886 0,1161 1,3215 -0,46 -0,4613 -0,7527 0,0013 0,2927 39 0,9994 0,9995 0,9996 0,0021 0,0138 -0,03 -0,027 -0,0306 0,003 0,0006 40 0,9797 0,9809 0,9925 0,1201 1,3003 -0,14 -0,132 -0,5572 0,008 0,4172 41 0,9797 0,9809 0,9925 0,1222 1,3023 -0,14 -0,132 -0,5572 0,008 0,4172 42 0,9769 0,9782 0,9914 0,1297 1,4857 -0,16 -0,1511 -0,6344 0,0089 0,4744 43 0,9747 0,976 0,9906 0,1373 1,6313 -0,18 -0,164 -0,6947 0,016 0,5147 44 0,9717 0,9731 0,9894 0,1504 1,8279 -0,2 -0,1853 -0,7759 0,0147 0,5759 45 0,9688 0,9705 0,9884 0,1672 2,0166 -0,22 -0,2098 -0,8533 0,0102 0,6333 46 0,9536 0,9559 0,9844 0,2422 3,2294 -0,21 -0,2159 -1,1415 0,0059 0,9315 47 0,9461 0,9487 0,9825 0,2722 3,8425 -0,21 -0,219 -1,2835 0,009 1,0735 48 0,9432 0,9459 0,9817 0,2824 4,0837 -0,21 -0,2195 -1,3378 0,0095 1,1278 49 0,9359 0,9387 0,9805 0,3031 4,7714 -0,05 -0,0704 -1,4354 0,0204 1,3854 50 0,9251 0,9281 0,9779 0,323 5,7124 0,05 0,0338 -1,6506 0,0162 1,7006
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
89
51 0,9252 0,9282 0,978 0,3236 5,7014 0,05 0,032 -1,6483 0,018 1,6983 52 0,9255 0,9285 0,9781 0,3235 5,6769 0,05 0,0275 -1,6433 0,0225 1,6933 53 0,9271 0,9301 0,9786 0,3237 5,5579 0,05 0,0057 -1,6186 0,0443 1,6686 54 0,9337 0,9368 0,9804 0,3298 5,0026 0 -0,0494 -1,4914 0,0494 1,4914 55 0,9709 0,9722 0,9904 0,1318 2,0026 -0,14 -0,166 -0,7344 0,026 0,5944 56 0,9709 0,9722 0,9904 0,1317 2,0026 -0,14 -0,1661 -0,7345 0,0261 0,5945 57 0,9645 0,9659 0,9889 0,1464 2,5367 -0,07 -0,0844 -0,8413 0,0144 0,7713 58 0,9645 0,9659 0,9889 0,146 2,5365 -0,07 -0,0844 -0,8414 0,0144 0,7714 59 0,9973 0,9974 0,9986 0,007 0,126 -0,08 -0,0755 -0,1014 0,0045 0,0214 60 0,974 0,9753 0,9911 0,1328 1,7585 -0,16 -0,1713 -0,6644 0,0113 0,5044 61 0,9726 0,9739 0,9906 0,1404 1,8524 -0,17 -0,1817 -0,6984 0,0117 0,5284 62 0,9725 0,9739 0,9906 0,1403 1,8537 -0,17 -0,1832 -0,6997 0,0132 0,5297 63 0,9952 0,9954 0,9979 0,0153 0,2664 -0,09 -0,084 -0,1544 0,006 0,0644 64 0,9946 0,9948 0,9977 0,0174 0,3069 -0,09 -0,0864 -0,1697 0,0036 0,0797 65 0,9945 0,9947 0,9976 0,0173 0,3099 -0,09 -0,0881 -0,1719 0,0019 0,0819 66 0,9807 0,9817 0,9932 0,0998 1,2768 -0,14 -0,143 -0,5023 0,003 0,3623 67 0,9748 0,9761 0,9914 0,1288 1,6952 -0,16 -0,1673 -0,6429 0,0073 0,4829 68 0,9741 0,9754 0,9911 0,1319 1,7504 -0,16 -0,1704 -0,6615 0,0104 0,5015 69 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
MAX 0,3298 5,7124 0,0535 1,7006 MED 0,13871 1,98058 0,58262 0,01764
Tabla XXVI. Resultados RED69nudos Carga Doble.
Mª Angeles Macias Nebreda
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 90
Como ya se comentaba, los resultados son realmente buenos
dada la precisión que se obtiene con el método lineal al
resolver el problema de flujo de cargas, es por ello que se
prueba aumentando la carga de la red al doble de su valor
inicial. Se observa como los errores son superiores a los
anteriores, como era de esperar, además siguen siendo
superiores a los resultados del reparto de cargas en continua,
en mayor medida, si cabe, que con la carga original, ya que el
DCLF aumenta en mayor medida que el modelo lineal cuando
se aumenta la caga del sistema.
2.3.2.5. RED690NUDOS Ésta es una red real, básicamente igual a la anterior, ya
que no posee nudos , ni transformadores. Es una red
radial, las magnitudes bases son las mismas y se toma por
slack el último de los nudos. Son redes exactamente iguales,
salvo por el número de nudos que las comprenden ya que este
último sistema tiene diez veces más nudos que la anterior.
Esto ayudará a sacar conclusiones sobre los resultados
anteriores y comprobar la validez del modelo en este tipo de
redes, para cualquier tamaño por muy grande que sea.
PV
Se fija la tensión del slack a º0008.1 ∠
La potencia base, es la misma que la que tenía en el caso
anterior:
MVASbase 1.0=
Debido a la gran extensión de las tablas de resultados, las
cuales imposibilitan el estudio de las mismas, no se van a
incluir en este documento. Para la consulta de las mismas, se
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 91
puede recurrir al anexo donde, además de éstas, se pueden
encontrar todas las que aquí se están presentando.
Sin embargo, aunque no se muestren los resultados para cada
uno de los nudos, si se indicará los errores máximos que se
obtienen.
Al igual que antes, se toman datos con carga original y con
carga doble, así los resultados que se obtienen son los
siguientes:
Carga original:
RED690nudos Tensiones Ángulos
MAX MEDIA MAX MEDIA MOD.LIN 1.4783 1.0178 0.3933 0.154
DCLF 5.9647 3.762 1.1868 0.6684
Tabla XXVII. Resultados RED690nudos.
Carga Doble:
RED690NUDOS Carga Doble Tensiones Ángulos
MAX MEDIA MAX MEDIA MOD.LIN 7.1744 5.2269 2.0409 0.788
DCLF 19.7307 12.4435 1.3136 0.3787
Tabla XXVIII. Resultados Tensiones RED690NUDOS Carga Doble.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 92
El comportamiento de la RED690NUDOS, es similar al de la
RED69nudos, pero con errores mayores a los anteriores.
Parece ser que, el modelo lineal funciona bien en redes
radiales, aumentando sus errores con la dimensión del sistema
eléctrico.
De cualquier forma, se supera con creces al reparto de cargas
en continua.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 93
2.3.2.6. BROWN13 El sistema eléctrico que se presenta a continuación,
vuelve a ser una red de pequeño tamaño, real, ligeramente
mallada y con la presencia de nudos cuyas tensiones se
fija a los siguientes valores en por unidad:
Los resultados que se obtienen son los siguientes:
PV
1.1943.01.1037.100.1
10
9
8
6
5
====
=
VVVVV
º000.11000
1 ∠=
La potencia base y nudo slack son:
=
=s
base
UMVAS
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
BROWN13 Tensiones Ángulos Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0,9706 0,9733 1,006 0,2774 3,6475 1,7 1,8451 1,67 0,1451 0,03 3 0,9839 0,9879 1,0239 0,4089 4,0661 2,81 2,8697 2,77 0,0597 0,04 4 0,9507 0,9532 1,0101 0,2649 6,2452 2,92 3,2107 2,79 0,2907 0,13 5 1 1 1 0 0 3,03 3,0269 3,01 0,0031 0,02 6 1,037 1,037 1,037 0 0 10,19 9,9638 10,9 0,2262 0,71 7 1,0633 1,0639 1,0634 0,0581 0,0105 9,44 8,8065 10,29 0,6335 0,85 8 1,1 1,1 1,1 0 0 8,62 7,5395 9,43 1,0805 0,81 9 0,943 0,943 0,943 0 0 14,85 17,3064 15,14 2,4564 0,29
10 1,1 1,1 1,1 0 0 8,83 7,5286 9,35 1,3014 0,52 11 1,0177 1,022 1,1551 0,4181 13,4999 12,6 12,8362 13,65 0,2362 1,05 12 1,0672 1,0687 1,0989 0,1449 2,9762 8,59 7,843 9,35 0,747 0,76 13 1,0442 1,0384 1,0542 0,5542 0,9536 5,72 5,2721 6 0,4479 0,28
MAX 0,5542 13,4999 2,4564 1,0500 MED 0,1636 2,4153 0,5867 0,4223
Tabla XXIX. Resultados Tensiones BROWN13.
Mª Angeles Macias Nebreda 94
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
95
BROWN13 Carga Doble Tensiones Ángulos
Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0,9624 0,9718 1,006 0,9729 4,530340815 3,3 3,6206 3,34 0,3206 0,04 3 0,9773 0,9876 1,0239 1,0509 4,768239026 5,63 5,7264 5,54 0,0964 0,09 4 0,9479 0,953 1,0101 0,5321 6,561873615 5,75 6,2955 5,58 0,5455 0,17 5 1 1 1 0 0 6,08 6,0466 6,01 0,0334 0,07 6 1,037 1,037 1,037 0 0 20,76 20,1575 21,8 0,6025 1,04 7 1,0624 1,0634 1,0634 0,0907 0,094126506 19,36 17,9589 20,57 1,4011 1,21 8 1,1 1,1 1,1 0 0 17,7 15,3732 18,87 2,3268 1,17 9 0,943 0,943 0,943 0 0 29,76 34,489 30,27 4,729 0,51
10 1,1 1,1 1,1 0 0 18,13 15,361 18,7 2,769 0,57 11 1,0068 1,0157 1,2102 0,8877 20,20262217 25,78 26,3475 27,29 0,5675 1,51 12 1,0696 1,0709 1,0979 0,1208 2,645848915 17,76 16,0449 18,71 1,7151 0,95 13 1,0735 1,0526 1,0084 1,944 6,064275734 12,08 10,5827 11,99 1,4973 0,09
MAX 1,9440 20,2026 4,7290 1,5100 MED 0,4307 3,4513 0,5708 1,2772
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Tabla XXX. Resultados Tensiones BROWN13 Carga Doble.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 96
Al no ser ésta una red radial, como las anteriores, los
resultados no son tan buenos como los otros, en tensiones si,
pero en ángulos se obtienen resultados mucho peores que
los hallados con redes radiales.
2.3.2.7. ADN El ADN, es un sistema eléctrico real, se trata de una red
andaluza, que tiene 127 nudos de los cuales 18 son nudos
y cuyos valores se reflejan a continuación. PV
01.101.1043.1071.1082.101.101.1043.1071.1082.101.101.1043.1
071.1082.101.101.1043.1
68
58
56
51
50
49
48
47
46
45
44
43
12
8
7
6
5
3
==================
VVVVVVVVVVVVVVVVVV
siendo el nudo 44, el nudo que se toma como referencia
angular, estando su tensión fijada a 1.06 en por unidad, es
decir:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
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Los resultados que se obtienen, se muestran más abajo. En
este caso, no se prueba con carga doble porque el sistema no
converge.
Aunque no se aprecia demasiado bien en la figura 10, el
sistema eléctrico está dotado de tres transformadores entre los
nudos 4-12, 28-27 y 6-10, siendo este último de tres
devanados.
º09701.04 ∠==sU
MVASbase 100
Las tensiones y potencias bases son las siguientes:
=
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
ADN Tensiones Ángulos
Nudo Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF Exacto Lineal DCLF Error_lin Error_DCLF 1 1,0397 1,044 0,9977 0,4083 4,0396 -5,49 -1,7467 -4,24 3,7433 1,25 2 0,9423 0,9636 0,9145 2,2576 2,9502 -7,11 -1,3379 -5,07 5,7721 2,04 3 1,0306 1,0306 1,0306 0 0 4,03 10,2527 6,86 6,2227 2,83 4 0,9701 0,9701 0,9701 0 0 0 0 0 0 0 5 0,9767 0,9767 0,9767 0 0 -8,74 -4,6448 -7,41 4,0952 1,33 6 0,9767 0,9767 0,9767 0 0 -8,76 -4,67 -7,44 4,09 1,32 7 0,9438 0,9438 0,9438 0 0 -13,26 -10,6599 -11,41 2,6001 1,85 8 0,9861 0,9861 0,9861 0 0 4,9 11,3065 6,97 6,4065 2,07 9 1,0061 1,0267 0,9145 2,052 9,1045 -7,11 -1,183 -5,07 5,927 2,04
10 1,0157 1,0337 0,9336 1,7641 8,0831 -16,16 -10,2168 -15,04 5,9432 1,12 11 1,0471 1,0698 0,9330 2,1607 10,8968 -15,23 -8,7901 -13,67 6,4399 1,56 12 1,0392 1,0392 1,0392 0 0,0000 -15,65 -9,4757 -14,23 6,1743 1,42 13 1,027 1,0298 1,0006 0,2733 2,5706 -16,8 -10,8443 -15,55 5,9557 1,25 14 1,027 1,0397 0,9722 1,2312 5,3359 -14,33 -8,8306 -13,05 5,4994 1,28 15 0,9938 1,0072 0,9453 1,3496 4,8803 -17,46 -12,4515 -16,56 5,0085 0,9 16 1,0456 1,0675 0,9366 2,0901 10,4246 -15,25 -8,8296 -13,7 6,4204 1,55 17 1,0426 1,049 0,9864 0,6223 5,3904 -15,5 -9,1677 -14 6,3323 1,5 18 1,0484 1,0717 0,9317 2,2188 11,1312 -15,59 -9,1195 -14,03 6,4705 1,56 19 1,0449 1,0662 0,9392 2,0401 10,1158 -15,16 -8,755 -13,61 6,405 1,55 20 1,0381 1,0595 0,9467 2,0615 8,8045 -15,14 -8,8504 -13,66 6,2896 1,48 21 1,0309 1,0359 0,9780 0,485 5,1314 -17,1 -11,0428 -15,79 6,0572 1,31 22 1,0464 1,0528 0,9870 0,6101 5,6766 -15,29 -8,9197 -13,74 6,3703 1,55 23 1,0468 1,0579 0,9784 1,0658 6,5342 -11,05 -5,6261 -9,74 5,4239 1,31 24 1,0425 1,0486 0,9627 0,5829 7,6547 -16,34 -10,1232 -14,89 6,2168 1,45
Mª Angeles Macias Nebreda 98
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
25 1,0227 1,0283 0,9728 0,555 4,8792 -17,41 -11,5023 -16,21 5,9077 1,2 26 1,0264 1,0276 1,0196 0,1148 0,6625 -16,45 -10,5151 -15,21 5,9349 1,24 27 1,0238 1,0492 0,9340 2,4797 8,7712 -13,83 -7,6576 -12,04 6,1724 1,79 28 1,0244 1,0337 0,9577 0,9069 6,5111 -17,63 -11,8012 -16,34 5,8288 1,29 29 1,0268 1,0277 1,0240 0,0819 0,2727 -16,48 -10,5375 -15,24 5,9425 1,24 30 1,0086 1,0201 0,9533 1,1352 5,4828 -18,32 -12,8776 -17,17 5,4424 1,15 31 1,045 1,0687 0,9314 2,268 10,8708 -16,5 -10,0397 -14,98 6,4603 1,52 32 1,0059 1,0189 0,9400 1,2934 6,5513 -15,65 -9,8806 -14,75 5,7694 0,9 33 1,0429 1,067 0,9322 2,3116 10,6146 -17,58 -11,1132 -16,08 6,4668 1,5 34 1,0481 1,0544 0,9897 0,5985 5,5720 -14,18 -7,725 -12,56 6,455 1,62 35 1,0258 1,0332 0,9754 0,7171 4,9132 -14,11 -8,0961 -12,7 6,0139 1,41 36 1,046 1,0571 0,9699 1,0677 7,2753 -15,32 -8,9348 -13,77 6,3852 1,55 37 1,0459 1,0671 0,9403 2,0289 10,0966 -15,08 -8,6668 -13,52 6,4132 1,56 38 1,047 1,0667 0,9450 1,8763 9,7421 -15,08 -8,6537 -13,5 6,4263 1,58 39 1,0449 1,0603 0,9559 1,4733 8,5176 -15,31 -8,9295 -13,77 6,3805 1,54 40 0,9781 0,979 0,9888 0,0983 1,0940 -13,01 -7,7264 -11,34 5,2836 1,67 41 1,0095 1,0301 0,9498 2,0373 5,9138 -13,32 -7,4695 -11,5 5,8505 1,82 42 0,9843 0,9864 0,9708 0,2127 1,3715 -14,07 -8,8728 -12,42 5,1972 1,65 43 1,0197 1,0197 1,0197 0 0 -3,44 2,5167 -1,23 5,9567 2,21 44 1,0362 1,0362 1,0362 0 0 -13,27 -7,3199 -11,44 5,9501 1,83 45 0,9865 0,9865 0,9865 0 0 -17,11 -12,1193 -15,79 4,9907 1,32 46 0,9865 0,9865 0,9865 0 0 -17,11 -12,1188 -15,79 4,9912 1,32 47 0,9888 0,9888 0,9888 0 0 -2,92 2,0287 -1,48 4,9487 1,44 48 1,0212 1,0212 1,0212 0 0 -11,25 -5,1118 -9,49 6,1382 1,76 49 0,9825 0,9825 0,9825 0 0 -13,89 -8,7081 -12,23 5,1819 1,66 50 0,9825 0,9825 0,9825 0 0 -13,89 -8,7081 -12,23 5,1819 1,66 51 1,008 1,008 1,0080 0 0 -13,88 -8,2841 -12,23 5,5959 1,65 52 1,0003 1,001 0,9888 0,0734 1,1497 -13,01 -7,3939 -11,34 5,6161 1,67
Mª Angeles Macias Nebreda 99
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
53 1,0318 1,0525 0,9498 2,0143 7,9473 -13,33 -7,1577 -11,5 6,1723 1,83 54 1,0467 1,0571 0,9795 0,9901 6,4202 -9,43 -4,1126 -8,02 5,3174 1,41 55 1,0064 1,0083 0,9708 0,188 3,5374 -14,07 -8,4956 -12,42 5,5744 1,65 56 1,0587 1,0587 1,0587 0 0,0000 -1,03 5,1622 1,67 6,1922 2,7 57 1,0601 1,0619 1,0482 0,1677 1,1225 -1,32 4,8047 1,35 6,1247 2,67 58 1,0535 1,0535 1,0535 0 0,0000 1,6 7,8678 4,47 6,2678 2,87 59 1,0564 1,0594 1,0282 0,2854 2,6694 0,3 6,4092 3,07 6,1092 2,77 60 1,0526 1,068 0,9654 1,4632 8,2842 -3,39 2,4208 -0,99 5,8108 2,4 61 1,0433 1,0526 0,9718 0,8935 6,8533 -7,57 -2,8372 -6,07 4,7328 1,5 62 1,0261 1,0318 0,9736 0,5539 5,1165 -8,8 -4,1949 -7,46 4,6051 1,34 63 1,0562 1,0737 0,9435 1,661 10,6703 -5,37 0,5586 -3,06 5,9286 2,31 64 1,0433 1,0484 0,9928 0,4852 4,8404 -6,84 -2,7853 -5,56 4,0547 1,28 65 1,0407 1,0446 1,0023 0,3736 3,6898 -5,91 -1,7934 -4,57 4,1166 1,34 66 1,0156 1,0387 0,7529 2,2744 25,8665 -3,36 2,6408 -1,12 6,0008 2,24 67 1,0398 1,0438 0,9965 0,3912 4,1643 -4,91 -1,4341 -3,7 3,4759 1,21 68 1,0383 1,0383 1,0383 0 0,0000 -5,1 -0,4822 -3,59 4,6178 1,51 69 1,0267 1,0322 0,9732 0,5398 5,2109 -8,78 -4,21 -7,45 4,57 1,33 70 1,0376 1,0576 0,8604 1,9264 17,0779 -4,08 1,8361 -1,78 5,9161 2,3 71 1,0526 1,0648 0,9761 1,1602 7,2677 -3,52 2,2809 -1,18 5,8009 2,34 72 1,0506 1,0602 0,9946 0,9209 5,3303 -2,48 3,4358 -0,03 5,9158 2,45 73 1,0467 1,0611 0,96 1,3767 8,2832 -4,28 1,3327 -2,11 5,6127 2,17 74 1,0396 1,0438 0,9977 0,4085 4,0304 -5,49 -1,7466 -4,24 3,7434 1,25 75 1,0499 1,0646 0,956 1,4001 8,9437 -4,97 0,76 -2,8 5,73 2,17 76 1,0508 1,0653 0,9576 1,3802 8,8694 -4,82 0,791 -2,67 5,611 2,15 77 1,049 1,0611 0,971 1,1551 7,4357 -4,93 0,158 -3,03 5,088 1,9 78 1,0391 1,0459 0,9782 0,6541 5,8608 -8,13 -3,6547 -6,78 4,4753 1,35 79 1,0499 1,0636 0,9626 1,2987 8,3151 -4,25 1,4737 -2,02 5,7237 2,23 80 1,0543 1,0681 0,9695 1,3042 8,0433 -2,48 2,8664 -0,17 5,3464 2,31
Mª Angeles Macias Nebreda 100
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
81 1,0515 1,0665 0,9544 1,4284 9,2344 -5,03 0,6917 -2,86 5,7217 2,17 82 1,0232 1,0374 0,9811 1,3894 4,1145 -8,78 -2,7695 -6,78 6,0105 2 83 1,0394 1,0611 0,9531 2,0842 8,3029 -11,27 -5,0613 -9,33 6,2087 1,94 84 1,0083 1,0161 0,9798 0,7811 2,8265 -10,56 -4,8142 -8,85 5,7458 1,71 85 1,0417 1,0639 0,9519 2,129 8,6205 -10,96 -4,7475 -9 6,2125 1,96 86 1,0136 1,0206 0,981 0,6948 3,2163 -7,22 -2,2609 -5,69 4,9591 1,53 87 1,0233 1,0385 0,9769 1,4873 4,5343 -9,36 -3,3336 -7,38 6,0264 1,98 88 1,044 1,0638 0,9461 1,9031 9,3774 -7,02 -1,0188 -4,88 6,0012 2,14 89 1,0173 1,0234 0,9758 0,6046 4,0794 -11,65 -5,9812 -9,97 5,6688 1,68 90 1,0439 1,0633 0,9334 1,8535 10,5853 -10,53 -4,5803 -8,79 5,9497 1,74 91 1,0258 1,0465 0,9223 2,0234 10,0897 -6,56 -0,6073 -4,45 5,9527 2,11 92 1,0271 1,0478 0,9191 2,0141 10,5150 -6,61 -0,6673 -4,51 5,9427 2,1 93 1,0495 1,0638 0,954 1,3705 9,0996 -12,14 -5,9834 -10,42 6,1566 1,72 94 1,0506 1,0592 0,9768 0,8194 7,0246 -13,24 -6,9587 -11,56 6,2813 1,68 95 1,0472 1,0647 0,9416 1,6712 10,0840 -11,2 -5,154 -9,46 6,046 1,74 96 1,0503 1,0619 0,9649 1,1095 8,1310 -12,76 -6,5325 -11,06 6,2275 1,7 97 1,042 1,0497 0,9792 0,7393 6,0269 -13,85 -7,6252 -12,23 6,2248 1,62 98 1,059 1,0808 0,9456 2,0674 10,7082 -13,64 -7,113 -11,89 6,527 1,75 99 1,0586 1,0747 0,9571 1,518 9,5881 -13 -6,543 -11,18 6,457 1,82 100 1,0493 1,0561 0,9651 0,647 8,0244 -14,66 -8,3704 -13,07 6,2896 1,59 101 1,0386 1,0406 1,0089 0,1976 2,8596 -14,08 -7,923 -12,54 6,157 1,54 102 1,0484 1,0519 0,965 0,3383 7,9550 -14,47 -8,2911 -12,96 6,1789 1,51 103 1,0587 1,0749 0,9569 1,5347 9,6156 -12,87 -6,418 -11,04 6,452 1,83 104 1,0665 1,0768 0,9679 0,9671 9,2452 -14,48 -8,2525 -13,07 6,2275 1,41 105 1,0428 1,0683 0,9473 2,4515 9,1580 -18,13 -11,5898 -16,76 6,5402 1,37 106 1,0461 1,0667 0,9403 1,9642 10,1138 -14,77 -8,393 -13,22 6,377 1,55 107 1,051 1,0612 0,9609 0,9704 8,5728 -14,54 -8,1898 -12,91 6,3502 1,63 108 1,0629 1,0854 0,9473 2,124 10,8759 -12,81 -6,2662 -10,95 6,5438 1,86
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Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
102
109 1,0579 1,0804 0,945 2,1308 10,6721 -13,31 -6,805 -11,54 6,505 1,77 110 1,0533 1,0748 0,9458 2,0436 10,2060 -13,75 -7,2787 -12,06 6,4713 1,69 111 1,0472 1,0518 0,9603 0,4399 8,2983 -14,56 -8,4259 -13,1 6,1341 1,46 112 1,0447 1,0456 0,9876 0,085 5,4657 -12,7 -6,4787 -11,02 6,2213 1,68 113 1,0617 1,083 0,9501 2,0054 10,5114 -12,99 -6,4455 -11,15 6,5445 1,84 114 1,045 1,0507 0,9648 0,5459 7,6746 -14,87 -8,6511 -13,33 6,2189 1,54 115 1,0355 1,0428 0,9809 0,7058 5,2728 -14,09 -7,9334 -12,52 6,1566 1,57 116 1,0361 1,0435 0,9808 0,7077 5,3373 -14,08 -7,9108 -12,5 6,1692 1,58 117 1,0455 1,0507 0,9662 0,4942 7,5849 -14,63 -8,416 -13,08 6,214 1,55 118 1,0395 1,0647 0,9338 2,4258 10,1684 -12,23 -5,9309 -10,31 6,2991 1,92 119 1,0446 1,0701 0,9484 2,4493 9,2093 -17,97 -11,4052 -16,58 6,5648 1,39 120 1,0587 1,075 0,9574 1,5336 9,5683 -12,87 -6,4166 -11,04 6,4534 1,83 121 1,0558 1,0753 0,9471 1,8451 10,2955 -14,02 -7,5416 -12,32 6,4784 1,7 122 1,0505 1,0588 0,9779 0,7896 6,9110 -13,28 -6,9929 -11,6 6,2871 1,68 123 1,0551 1,0775 0,9437 2,1243 10,5582 -13,58 -7,0939 -11,86 6,4861 1,72 124 1,0524 1,0739 0,9455 2,0461 10,1577 -13,85 -7,3808 -12,16 6,4692 1,69 125 1,0515 1,0532 0,9715 0,1605 7,6082 -13,77 -7,5081 -12,12 6,2619 1,65 126 1,0421 1,0677 0,9468 2,4515 9,1450 -18,15 -11,6238 -16,79 6,5262 1,36 127 1,0503 1,0585 0,9797 0,7739 6,7219 -13,48 -7,1779 -11,79 6,3021 1,69
MAX 2,4797 25,866 6,5648 2,87 MEDIA 1,059 6,290 1,685 5,776
Tabla XXXI. Resultados ADN.
Mª Angeles Macias Nebreda
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Mª Angeles Macias Nebreda 103
2.3.3. Resumen de Resultados Puesto que son muchos los resultados que se han presentado,
dificultando de esta manera, la tarea de comparar y asimilar
comportamientos, se han agrupado en la siguiente tabla para cada
sistema eléctrico y método resolutivo, los errores máximos que ya
quedaban resaltados en las correspondientes presentaciones de
resultados. También, se incluyen los errores promedios, al considerar
incompleta el juicio que se le hace a una red únicamente por su valor
máximo, ya que puede ser un valor extremo que se encuentre aislado
y que no sea representativo del conjunto de errores que se están
produciendo normalmente en el sistema.
Para las tensiones:
TENSIONES Modelo Lineal DCLF
RED Máximo Media Máximo Media IEEE14 0.4683 0.1676 2.5935 0.7466 IEEE30 1.285 0.647 3.22 1.422 IEEE57 3.809 1.511 7.9778 3.0665 RENATO29 1.4348 1.3715 11.2147 10.3357 RENATO29 Doble 29.2687 27.068 64.5318 58.6751 RED69nudos 0.0973 0.03898 2.6044 0.9224 RED69nudos Doble 0.3298 0.1387 5.7124 1.9806 RED690nudos 7.1744 5.227 19.7307 12.4435 RED690nudos Doble 1.4783 1.0178 5.9647 3.762 BROWN13 0.5542 0.1636 13.4999 2.4153 BROWN13 Doble 1.944 0.4307 20.2026 3.4513 ADN 2.4797 1.059 25.8665 6.2896
Tabla XXXII. Resumen Resultados Tensiones.
De manera más compacta, se observa lo que ya venía siendo claro
con los resultados extensos, que no es otra cosa que el buen
comportamiento del modelo lineal siempre y especialmente en redes
radiales. Son redes radiales: RENATO29, RED69nudos y
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RED690NUDOS y están sombreadas en la tabla anterior. En todas
estas redes radiales, tanto en valor máximo como en promedio, se
supera con creces al DCLF, aunque se aprecia un comportamiento
similar, ya que cuando el DCLF tiene errores grandes, el modelo lineal
también ofrece errores mayores, pero que son casi, la tercera parte
de los del reparto de cargas en continua. De la misma manera,
cuando éste tiene errores aceptables, el modelo lineal sorprende con
resultados realmente buenos y bastante menores que los del DCLF.
Para el resto de redes, ya no radiales sino malladas, se observan así
mismo buenos resultados ya que, también máximo y media son
mejores en el caso del modelo lineal que en el reparto de cargas en
continua
Así que, en principio, el modelo lineal resulta ser satisfactorio para
todas las redes en estudio.
En el caso de los ángulos:
ÁNGULOS Modelo Lineal DCLF
RED Máximo Media Máximo Media IEEE14 1.4777 0.5481 1.1483 0.573 IEEE30 4.577 3.588 3.964 2.62 IEEE57 1.7583 0.5016 1.1588 0.3274 RENATO29 0.1768 0.1586 3.2697 3.0502 RENATO29 Doble 0.4862 0.287 5.3795 4.7509 RED69nudos 0.0267 0.0085 0.8453 0.2927 RED69nudos Doble 0.054 0.018 1.7006 0.5826 RED690nudos 0.3933 0.154 1.1868 0.6683 RED690nudos Doble 2.0409 0.7883 1.3136 0.3787 BROWN13 2.4564 0.5867 1.05 0.4223 BROWN13 Doble 4.729 1.2772 1.51 0.5708 ADN 6.5648 6.7762 2.87 1.6846
Tabla XXXIII. Resumen Resultados Ángulos.
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El resultado que se obtiene en ángulos, es bastante parecido que en
el caso de las tensiones ya que solo se comporta bien antes redes
radiales, exceptuando el sistema eléctrico RED690nudos con carga
doble, que al tratarse de un sistema de gran tamaño y carga elevada,
se producen mayores errores en los ángulos, pero no hay que darle
mayor importancia, al tratarse de un caso un tanto extremo.
Sin embargo, no se puede afirmar lo mismo para las demás redes, en
las que no se mejora al DCLF, ni en valor máximo ni medio.
De este modo, parece por el momento que, el modelo lineal para la
resolución de los ángulos en sistemas no radiales no resulta
competitivo frente al DCLF
Por tanto, el modelo lineal, tal y como se ha definido al comienzo del
presente documento, ofrece grandes resultados para las redes
radiales, es decir, redes de distribución. Es por ello que se va a probar
a modificar los elementos shunts en estas redes como ya se hizo con
el sistema eléctrico IEEE14, y en el que se vio que, la mejor opción
era la de considerar la mitad del efecto shunt, obteniendo mejores
errores en ángulos sacrificando un poco los de tensiones, cosa que
no importa ya que se tienen muy buenas tensiones en todas las
redes.
Así, las tensiones que resultan son:
TENSIONES Modelo Lineal sh/2 Modelo Lineal DCLF
RED Máximo Media Máximo Media Máximo MediaIEEE14 0.6667 0.1596 0.4683 0.1676 2.5935 0.7466 IEEE30 0.6331 0.2223 1.285 0.647 3.22 1.422 IEEE57 1.5442 0.7448 3.809 1.511 7.9778 3.0665 RENATO29 1.4348 1.3715 1.4348 1.3715 11.2147 10.3357RENATO29 Doble 29.2687 27.0678 29.2687 27.068 64.5318 58.6751RED69nudos 0.0972 0.039 0.0973 0.039 2.6044 0.9224 RED69nudos Doble 0.3298 0.1387 0.3298 0.1387 5.7124 1.9806
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RED690nudos 1.5047 1.0434 7.1744 5.227 19.7307 12.4435RED690nudos Doble 7.2119 5.2594 1.4783 1.0178 5.9647 3.762 BROWN13 2.4481 0.6303 0.5542 0.1636 13.4999 2.4153 BROWN13 Doble 2.1774 0.6948 1.944 0.4307 20.2026 3.4513 ADN 8.7298 1.3772 2.4797 1.059 25.8665 6.2896
Tabla XXXIV. Comparación Resultados Tensiones . shiB
Y en ángulos:
ÁNGULOS sh/2 Modelo Lineal sh/2 Modelo Lineal DCLF
RED Máximo Media
Máximo Media Máximo Media IEEE14 0.8864 0.306 1.4777 0.5481 1.1483 0.573 IEEE30 4.2047 2.9341 4.577 3.588 3.964 2.62 IEEE57 4.2048 0.9752 1.7583 0.5016 1.1588 0.3274 RENATO29 0.1768 0.1586 0.1768 0.1586 3.2697 3.0502 RENATO29 Doble 0.4862 0.287 0.4862 0.287 5.3795 4.7509 RED69nudos 0.0267 0.0085 0.0267 0.0085 0.8453 0.2927 RED69nudos Doble 0.0535 0.0176 0.054 0.018 1.7006 0.5826 RED690nudos 0.3917 0.1527 2.0409 0.7883 1.3136 0.3787 RED690nudos Doble 2.0344 0.7836 0.3933 0.154 1.1868 0.6683 BROWN13 7.286 1.9492 2.4564 0.5867 1.05 0.4223 BROWN13 Doble 14.4843 3.8812 4.729
1.2772 1.51 0.5708 ADN 5.4614 3.3804 6.5648 6.7762 2.87 1.6846
Tabla XXXV. Comparación Resultados Ángulos . shiB
Teniendo en cuenta los resultados en los módulos de tensión y en los
ángulos, no hay un patrón de comportamiento para esta alternativa ya
que en algunos casos, los menos, se mejoran y en otros se empeoran
los errores. Además, en ninguno de los casos que se pretendían
mejorar, se supera al DCLF.
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Por lo tanto, queda rechazada esta alternativa, quedando el modelo
lineal como se había definido desde un primer momento quien genera
mejores resultados en el caso de redes radiales.
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2.4. FLUJOS DE POTENCIA Una vez finalizada la primera etapa, cuyo objetivo era el cálculo de
las tensiones complejas de todos los nudos del sistema, se está en
condiciones de pasar ya a la segunda etapa en la que se calculan los flujos
de potencia activo y reactivo.
Para ello, se obtendrán las expresiones que gobiernan los flujos de
potencia a partir del modelo en π de una línea eléctrica.
2.4.1. Expresiones Flujos de Potencia a partir del modelo en
π de una línea eléctrica. El modelo en π de una línea eléctrica es el que se muestra
en la figura 15.
Se sacarán las ecuaciones del circuito y se linealizarán por medio
de las mismas consideraciones que se pusieron de manifiesto para
la obtención del modelo lineal para el problema de flujo de cargas.
22SHSH bjg
+ 22SHSH bjg
+
ijij jbg +ijij jQP +
jjV θ∠iiV θ∠
+
−
+
−
Figura 15. Modelo en π de una línea eléctrica
Resolviendo el sistema se obtienen las siguientes ecuaciones:
( ) 22
2cos i
SHijjiijijjiiijij VgsenVVbVVVgP +−−= θθ
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( ) 22
2cos i
SHijjiijijjiiijij VbsenVVgVVVbQ −−−−= θθ
Donde:
• y , son los elementos shunts de la línea, en
parte real e imaginaria.
SHg SHb
• y , son las componentes real e imaginaria de la
admitancia de la línea, que separa los nudos y
ijg ijb
i j , y
que coinciden con los elementos y , cambiados
de signo.
ijG ijB
Por ello, podemos reescribir las ecuaciones anteriores con las
variables con las que se ha trabajado durante todo el proceso de
investigación:
( ) 22
2cos i
SHijjiijijjiiij
nolinij VgsenVVBVVVGP ++−−= θθ
( ) 22
2cos i
SHijjiijijjiiij
nolinij VbsenVVGVVVBQ −+−= θθ
A dichas ecuaciones se le llamarán no lineales.
Aplicando los métodos de linealización y aproximaciones que se
utilizaron para la generación del modelo lineal, se linealizan las
ecuaciones anteriores obteniendo el siguiente resultado:
( ) ( ) iSHjiijjiijlin
ij gBGP αγγαα +−+−−=
( ) ( ) iSHjiijjiijlinij bGBQ αγγαα −−+−=
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2.4.2. Adaptación DCLF al Modelo en π Con el fin de comparar en igualdad de condiciones, el modo de
cálculo de flujos de potencia por medio del modelo en π , se va a
adaptar las fórmulas del reparto de carga en continua al modelo en π , es decir, se considerará para ello una línea eléctrica modelada de la
siguiente forma:
22SHSH bjg
+ 22SHSH bjg
+
ijij jQP +ijR ijX
i j
Figura 16. Modelo en π de una línea eléctrica para DCLF
Simplificando, suponiendo que XR << :
22SHSH bjg
+ 22SHSH bjg
+
ijij jQP +
i jijX
Figura 17. Modelo en π de una línea eléctrica para DCLF simplificado
Las ecuaciones que rigen dicho circuitos son:
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2
2 iSH
ijij
jiij Vgsen
XVV
P += θ
22
2cos
iSH
ij
iijjiij Vb
XVVV
Q −−
=θ
Suponiendo que las tensiones son todas próximas a la unidad y que
la diferencia de ángulos entre nudos adyacentes es pequeña, las
ecuaciones anteriores quedan simplificadas de la siguiente manera:
222
222 iSH
ij
jii
SH
ij
iji
SHij
ij
jiij Vg
XVg
XVgsen
XVV
P −−
≅−≅−=θθθ
θ
( ) 222
2
222cos
iSH
ij
iji
SH
ij
ijii
SH
ij
iijjiij Vb
XVV
VbX
VVVVb
XVVV
Q +−
≅+−
≅+−
=θ
Es decir:
2
2 iSH
ij
jiij Vg
XP −
−=
θθ
2
2 iSH
ij
ijij Vb
XVV
Q +−
=
Al igual que se hizo en el cálculo de las tensiones complejas de todos los
nudos de un sistema eléctrico, se calcularán los errores cometidos por
todas las alternativas existentes, entendiéndose el error como diferencia
con los flujos de potencia exactos, siendo éstos los que se obtienen al
sustituir las tensiones complejas en las ecuaciones no lineales. Dicho
valores exactos se obtienen directamente gracias al Power World.
Es decir:
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100exacij
DCLFij
exacijDCLFP
ij PPP
E−
=− 100exacij
DCLFij
exacijDCLFQ
ij QQQ
E−
=−
100exacij
linij
exacijlinP
ij PPP
E−
=− 100exacij
linij
exacijlinQ
ij QQQ
E−
=−
100exacij
nolinij
exacijnolinP
ij PPP
E−
=− 100exacij
nolinij
exacijnolinQ
ij QQQ
E−
=−
2.4.3. Cálculo de Errores Se van a ir presentando los errores que se cometen al
realizarse el cálculo de un flujo de potencia por los dos métodos
anteriores, sombreándose, para cada caso, el mayor error cometido.
Además, se incluye el valor medio de los errores como se hizo para el
caso de las tensiones.
2.4.3.1. Red Ejemplo Comenzando las pruebas con la red ejemplo que se
presentaba al comienzo del documento. Se observa como para
el caso de la potencia activa, la mejor opción es la de la
linealización de las ecuaciones, pero no se mejora los resultados
del reparto de cargas en continua. Sin embargo, para la potencia
reactiva, es mejor solución la de tomar las ecuaciones antes de
linealizarlas mejorándose además los valores del DCLF.
Si nos fijamos ahora en los valores medios, se aprecia como
mejor solución la de la linealización de las ecuaciones frente a la
no linealización en ambas ecuaciones de potencia, sin embargo,
así como para la potencia reactiva se es mejor que el DCLF, la
activa no lo supera.
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RED EJEMPLO Error P.Activa Bsh Error P.Reactiva Bsh
From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF 5 1 2.85 2.10 2.95 67.09 54.58 66.02 5 2 2.51 4.52 2.39 67.93 41.90 69.01 1 3 1.14 12.22 1.28 60.95 30.75 59.05 2 4 1.93 20.69 1.50 38.91 25.03 45.15 3 4 22.70 55.19 15.95 134.76 120.22 233.34 1 5 0.82 2.54 0.93 51.12 71.65 49.54 2 5 0.52 4.87 0.40 17.06 86.82 19.84 3 1 0.46 12.44 0.32 7.38 82.54 12.58 4 2 1.30 20.77 0.87 12.65 40.13 21.57 4 3 20.60 52.47 13.97 133.10 118.50 226.99 MAX 22.70 55.19 15.95 134.76 120.22 233.34 MEDIA 5.48 18.78 4.06 59.10 67.21 80.31
Tabla XXXVI. Resultados Flujos de Potencia RED EJEMPLO.
2.4.3.2. IEEE14 Para esta red, el comportamiento es similar al del
sistema eléctrico anterior ya que, en este caso la mejor opción
para la potencia activa sigue siendo el modelo lineal y para la
reactiva el modelo antes de ser linealizado. Pero a diferencia
del caso anterior, tanto para la potencia activa como para la
reactiva, el modelo lineal genera unos errores mejores a los del
DCLF.
Si se habla en valores medios se observa lo mismo que en
valores máximos.
Comentar además que, para el modelo lineal mejora del
mismo orden al DCLF en casi todas las líneas.
ijP
Se observa todo esto en la siguiente tabla:
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IEEE14 Error P.Activa Error P.Reactiva
From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF 1 2 6.34 3.91 5.72 19.53 7.16 209.73 2 3 3.28 5.35 4.35 128.61 11.28 324.67 3 4 0.44 9.65 3.80 76.01 22.89 804.12 2 4 3.41 3.92 1.69 162.38 88.87 117.22 1 5 4.54 0.02 5.87 208.12 59.82 5.45 2 5 3.23 4.06 1.27 471.65 389.95 436.58 4 5 0.54 4.24 0.89 33.24 22.68 191.43 5 6 2.04 19.73 2.98 2.69 11.21 87.43 4 7 0.03 31.76 0.93 16.02 7.34 159.74 7 8 - - - 10.26 11.48 22.35 7 9 0.03 8.26 0.93 13.87 5.88 147.93 4 9 1.89 18.09 2.81 326.97 136.20 2425.009 10 5.65 64.68 10.99 14.60 11.40 129.27 6 11 4.02 28.33 7.83 23.65 53.11 153.11
10 11 7.73 18.28 15.04 41.84 71.38 370.58 6 12 2.18 28.00 2.47 10.98 50.65 35.80 6 13 1.91 31.91 2.54 12.17 48.83 30.84
12 13 4.38 28.99 5.79 9.06 92.13 156.41 13 14 3.71 26.14 6.10 31.07 73.62 218.55 9 14 1.15 39.96 2.57 3.17 36.09 111.22 2 1 3.73 3.82 3.08 32.99 8.97 202.07 3 2 0.10 5.19 1.21 327.56 91.06 1360.354 3 1.26 9.65 2.05 21.75 14.98 396.62 4 2 0.50 3.73 1.27 39.76 72.50 231.67 5 1 0.86 0.10 2.24 160.59 79.51 439.82 5 2 1.11 3.94 0.89 58.99 201.08 37.09 5 4 0.34 4.20 0.01 23.09 23.42 184.33 6 5 1.96 19.66 2.89 54.71 33.50 175.58 7 4 0.07 31.74 0.97 8.43 1.08 150.80 8 7 - - - 12.64 11.45 19.10 9 7 0.07 8.30 0.97 0.11 9.16 188.18 9 4 1.95 18.03 2.87 37.69 2.36 516.08
10 9 5.04 63.26 10.36 15.40 12.33 129.48 11 6 3.89 27.48 7.71 20.46 55.84 163.65 11 10 7.49 18.99 14.82 44.08 70.22 352.48 12 6 1.04 28.08 1.33 4.89 56.94 45.08 13 6 0.96 31.35 1.59 6.31 54.83 39.56 13 12 4.38 28.46 5.79 13.97 93.59 142.55 14 13 3.37 25.21 5.76 25.84 81.59 242.74
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 115
14 9 2.02 38.99 3.45 11.62 43.43 112.14 MAX 7.73 64.68 15.04 471.65 389.95 2425.00 MEDIA 2.54 19.62 4.05 63.42 55.75 281.67
Tabla XXXVII. Resultados Flujos de Potencia IEEE14.
Lo más significativo de estos resultados es que el modelo lineal
supera al DCLF en todos los casos, siendo éste uno de los
objetivos perseguidos.
2.4.3.3. IEEE30 Ahora, ocurre lo mismo que en la red IEEE14. Para la
activa, lo mejor es el modelo lineal aunque, en este caso
coincide en valor máximo con el modelo no lineal, sin embargo,
en valor medio es mejor el modelo lineal. Para la reactiva, lo
mejor es el modelo no lineal, aunque en valor medio está muy
próximo con el lineal. La diferencia con el caso de la red
IEEE14 es que, ahora tanto modelo lineal como el no lineal son
mejores que el reparto de cargas en continua.
En valores medios, la mejor opción resulta ser la del modelo
lineal para el caso activo y el no lineal para el reactivo, no
obstante, pese a no ser el mejor, el modelo lineal supera
igualmente al DCLF.
IEEE30 Error P.Activa Bsh Error P.Reactiva Bsh
From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF 1 2 5.21 3.55 5.10 41.89 46.65 195.54 1 2 5.21 3.55 5.10 41.89 46.65 195.54 1 3 4.78 0.91 5.13 122.67 90.62 29.68 2 4 3.83 0.74 3.13 425.25 297.53 302.72 3 4 2.37 5.99 2.74 22.98 42.25 160.23 2 5 4.14 1.17 5.37 222.60 27.90 547.39 4 6 0.90 3.05 0.62 9.40 10.94 280.45
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 116
2 6 4.06 1.10 2.79 1012.76 370.28 2682.76 6 7 0.36 9.35 2.72 75.88 122.24 1017.50 5 7 3.39 8.82 12.94 30.62 34.30 109.44 6 8 0.39 9.17 0.22 125.75 117.74 409.85 6 9 1.18 25.09 1.44 28.89 18.17 163.96 9 10 1.18 4.57 1.44 29.83 22.40 207.14 6 10 0.78 14.72 0.52 448.57 244.60 2467.57 9 11 - - - 14.77 15.94 55.00 4 12 2.00 16.02 3.74 234.58 221.66 108.99
12 13 - - - 38.26 38.54 177.50 12 14 2.42 23.10 3.69 8.92 42.98 41.44 14 15 5.38 23.15 13.17 2.33 75.02 199.08 12 15 3.07 25.07 5.12 10.26 41.92 40.44 12 16 3.50 26.84 7.65 7.79 34.41 83.45 16 17 4.25 22.25 12.67 10.11 24.75 188.80 10 17 2.71 46.71 8.06 3.85 17.44 71.92 15 18 2.91 24.26 4.50 10.29 51.50 103.78 18 19 2.77 24.90 6.24 10.65 57.40 246.01 10 20 0.37 30.33 0.83 3.28 34.00 61.95 19 20 1.00 34.45 2.61 3.28 41.10 75.70 10 21 0.71 37.84 2.04 1.40 28.11 0.03 10 22 1.74 34.98 4.41 2.67 31.21 5.09 10 22 1.74 34.98 4.41 135.37 163.90 129.75 21 22 0.88 40.70 2.53 1.74 29.15 0.04 15 23 5.45 32.58 14.17 4.06 32.96 93.69 23 24 23.94 22.43 59.53 10.56 32.92 243.59 22 24 4.92 30.84 12.38 3.39 44.12 18.04 24 25 47.38 0.48 133.71 6.30 17.29 58.94 25 26 0.00 42.72 0.00 4.17 42.97 4.17 28 27 0.36 11.92 5.24 229.20 218.05 12.46 25 27 8.13 27.28 26.89 - - - 6 28 0.43 8.54 4.18 209.25 60.95 3485.75 8 28 2.60 26.30 27.32 46.45 54.10 342.82
27 29 2.23 24.84 2.18 57.03 100.43 54.42 29 30 1.03 25.46 0.96 379.93 456.27 364.77 27 30 2.42 25.07 2.32 19.72 63.88 19.07 2 1 4.42 3.62 4.31 15.96 9.88 117.87 2 1 4.42 3.62 4.31 24.14 18.06 126.05 3 1 2.26 0.85 2.62 29.82 84.55 159.68 4 2 0.93 0.75 0.20 474.06 146.35 2725.90 4 3 1.63 5.96 2.01 149.72 97.73 350.46 5 2 0.39 1.14 1.67 92.10 22.71 380.70 6 4 0.15 3.07 1.39 48.45 36.39 306.04 6 2 0.44 0.99 0.87 8.46 118.33 423.36 7 6 0.64 9.36 3.75 975.38 363.27 5196.62
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 117
7 5 1.93 9.42 11.33 16.66 22.22 97.84 8 6 0.12 9.06 0.49 156.82 141.70 465.81 9 6 1.14 25.07 1.40 15.11 6.25 167.17
10 9 1.14 4.61 1.40 18.40 27.04 257.13 10 6 0.66 14.83 0.40 72.79 16.14 829.17 11 9 - - - 17.04 15.91 50.86 12 4 2.12 16.11 3.85 294.75 313.45 113.00 13 12 - - - 38.81 38.54 175.05 14 12 1.40 23.08 2.68 2.84 48.40 50.87 15 14 6.71 20.99 14.39 8.44 77.42 180.39 15 12 1.71 25.17 3.78 3.96 46.75 50.31 16 12 2.82 26.71 7.00 5.64 37.32 87.74 17 16 5.33 20.60 13.66 9.55 26.44 190.62 17 10 3.46 47.38 8.86 3.61 19.04 71.99 18 15 1.62 24.97 3.24 3.88 54.97 118.34 19 18 3.46 23.75 6.91 7.17 57.68 259.49 20 10 0.75 30.44 1.96 0.75 39.29 60.36 20 19 1.00 34.85 2.61 0.95 40.43 76.24 21 10 0.71 37.19 2.04 0.60 29.71 0.84 22 10 1.47 34.87 4.15 1.55 32.07 6.29 22 10 1.47 34.87 4.15 44.73 14.21 51.53 22 21 0.88 40.88 2.53 0.34 29.56 1.42 23 15 5.22 32.15 13.97 4.06 35.38 93.69 24 23 23.17 23.42 59.12 9.66 32.74 247.06 24 22 3.35 31.69 10.94 1.76 47.02 20.04 25 24 41.71 3.46 124.72 3.48 15.46 57.71 26 25 0.00 40.88 0.00 0.00 44.68 0.00 27 28 0.47 11.82 5.35 278.07 293.43 20.66 27 25 8.13 28.05 26.89 22.88 568.88 1543.25 28 6 0.59 8.36 4.35 77.00 132.94 612.79 28 8 4.34 28.51 26.08 108.66 107.46 171.61 29 27 0.62 24.85 0.58 5.62 70.02 5.68 30 29 0.22 25.12 0.15 2.74 105.13 2.93 30 27 0.03 24.71 0.08 48.52 39.53 1.16
MAX 47.38 47.38 133.71 1012.76 568.88 5196.62 MEDIA 3.84 19.92 9.88 84.86 83.41 364.50
Tabla XXXVIII. Resultados Flujos de Potencia IEEE30.
Así, al igual que antes, se observa que el modelo lineal supera
en todo momento al DCLF.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 118
2.4.3.4. IEEE57 Para este caso, y como viene siendo habitual, con el
modelo lineal se obtienen los mejores resultados a la hora de
calcular los flujos de potencia activa. En cuanto a la reactiva, es
mejor el modelo no lineal, siendo mejor también en este caso el
modelo lineal que el DCLF.
Por otro lado, en valores medios es el modelo lineal el mejor en
ambos casos, siendo éste un resultado bastante favorecedor
ante el objetivo que se esta persiguiendo en todo el
documento.
IEEE57 Error P.Activa Bsh Error P.Reactiva Bsh
From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF 1 2 6.51 3.98 4.58 0.51 1.41 30.98 2 3 5.37 0.82 3.36 439.95 38.63 5001.98 3 4 4.11 0.99 3.09 306.05 298.56 616.94 4 5 5.22 1.34 0.69 25.82 17.98 146.72 5 6 86.72 271.60 49.13 39.15 46.12 67.65 4 6 9.26 6.58 10.63 45.08 46.03 107.05 6 7 5.76 18.64 1.74 610.32 540.25 768.12 7 8 0.15 4.86 1.74 48.07 72.21 89.19 6 8 1.47 7.51 1.69 36.57 21.03 236.07 8 9 0.43 7.49 0.32 53.68 30.27 62.31 9 10 6.67 9.61 3.27 102.52 86.85 14.51 9 11 9.03 8.37 15.60 190.28 187.77 134.33 10 12 11.18 21.29 9.12 38.87 46.58 3.27 9 12 42.99 101.90 24.13 1.93 10.02 8.03 11 13 13.52 16.22 8.13 81.76 55.38 234.02 9 13 58.32 4.65 67.50 658.91 613.96 766.52 12 13 1189.33 3881.73 2025.83 30.14 35.84 39.90 13 14 7.45 17.45 27.39 48.89 52.11 59.90 3 15 0.03 13.58 3.99 364.74 337.33 128.17 14 15 0.70 8.10 3.97 67.06 101.09 23.81 13 15 0.66 4.87 1.42 28.61 14.14 173.09 1 15 6.00 1.24 6.24 53.86 34.91 14.83 12 16 10.35 8.02 12.85 69.06 64.40 153.26 1 16 8.02 4.85 9.07 224.96 89.56 151.33 12 17 7.18 6.08 8.88 52.17 35.69 145.24 1 17 6.83 4.44 7.72 123.33 80.44 59.31
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 119
4 18 3.47 14.13 126.88 64.12 46.23 503.71 4 18 2.55 13.32 77.45 156.31 113.42 1021.18 18 19 2.81 21.09 2.91 69.21 106.53 52.84 21 20 3.20 283.62 3.70 303.85 410.60 2005.50 19 20 2.46 16.28 2.85 113.43 132.34 80.69 21 22 3.20 47.31 3.70 308.70 169.00 322.75 22 23 4.87 17.36 11.82 62.38 103.69 26.31 23 24 14.47 1.29 35.08 134.37 155.67 72.35 24 25 2.54 0.19 91.29 52.68 35.99 273.16 24 25 2.21 8.45 99.73 47.86 29.48 295.11 24 26 1.23 365.23 7.52 25.43 113.20 3392.38 26 27 1.32 14.49 7.52 180.44 230.98 93.69 27 28 0.24 13.88 2.99 145.02 214.30 60.89 28 29 1.39 13.98 1.21 85.43 138.04 26.25 7 29 1.32 24.38 1.91 70.23 60.35 409.89 25 30 4.36 50.90 4.19 1.49 57.13 25.17 30 31 5.93 59.05 5.60 4.82 51.43 36.41 34 32 0.42 1.63 0.25 25.11 17.76 66.42 31 32 6.56 40.50 5.93 76.73 244.30 294.40 32 33 0.00 47.79 0.00 0.00 103.41 0.00 34 35 0.42 35.60 0.25 28.93 76.82 2.19 35 36 0.23 35.17 0.14 19.49 77.24 1.22 36 37 1.41 37.14 6.48 8.46 57.94 28.92 37 38 1.68 35.51 8.41 6.49 47.10 36.15 22 38 4.91 18.74 11.18 40.87 88.38 43.25 37 39 3.14 43.42 16.83 7.66 31.51 61.11 36 40 5.18 59.39 29.35 14.57 21.47 78.39 11 41 0.70 18.53 7.28 43.17 35.69 196.50 56 41 0.94 18.67 26.30 100.62 305.78 512.70 56 42 9.57 14.48 10.23 41.69 26.08 80.85 41 42 0.53 33.17 0.41 28.93 71.17 21.53 11 43 1.92 73.14 3.78 59.52 48.86 601.87 41 43 2.25 5.13 4.43 33.32 43.19 70.33 38 44 5.38 0.20 9.49 42.32 60.90 326.35 44 45 4.13 3.58 5.77 105.92 201.78 587.10 15 45 6.19 46.11 3.50 2213.48 1799.65 14755.6314 46 2.41 106.67 11.46 60.13 34.82 542.42 46 47 2.41 26.15 11.46 2.64 15.21 34.68 38 48 0.40 49.76 26.24 0.21 30.07 64.14 47 48 3.17 35.20 27.88 10.14 30.31 57.11 48 49 186.60 1656.60 92.40 27.83 41.27 78.53 13 49 1.34 45.10 2.25 22.22 17.58 141.61 38 49 2.47 76.51 25.45 13.66 35.98 71.13 49 50 3.45 41.08 5.75 35.85 14.22 47.17 10 51 2.16 144.04 2.87 79.80 49.98 874.30
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 120
50 51 3.85 24.33 5.67 25.09 61.66 29.39 29 52 1.37 19.83 5.80 20.90 102.17 214.68 52 53 2.01 22.95 12.26 - - - 53 54 4.72 25.90 21.93 8.54 56.08 21.19 9 55 4.52 88.80 11.35 569.59 557.00 510.88 54 55 4.69 20.67 15.63 9.62 54.76 18.83 57 56 0.77 12.92 19.18 107.76 159.72 274.46 40 56 5.18 6.35 29.35 14.56 16.66 7.43 39 57 0.59 20.97 14.64 45.74 40.29 13.32 2 1 5.24 3.94 3.29 5.16 1.64 38.45 3 2 2.61 0.83 0.54 62.46 4.15 440.81 4 3 3.50 1.07 2.47 155.78 187.25 425.63 5 4 3.97 1.71 2.02 31.62 16.64 143.06 6 5 86.93 269.70 46.69 39.31 46.10 67.74 6 4 8.43 6.30 9.81 49.23 44.17 106.52 7 6 5.58 18.98 1.56 850.47 819.31 1082.53 8 7 0.96 4.92 0.62 61.23 52.19 41.27 8 6 0.06 7.74 0.27 22.63 5.21 90.39 9 8 2.24 7.36 1.48 0.43 80.42 248.87 10 9 7.67 9.60 4.24 83.56 79.01 22.52 11 9 9.20 8.09 15.78 193.77 194.98 135.65 12 10 12.03 21.06 9.98 41.61 45.62 7.61 12 9 52.37 105.75 32.27 5.73 10.43 11.59 13 11 13.86 16.15 8.49 77.91 55.48 226.95 13 9 56.19 6.63 65.25 694.59 652.16 809.06 13 12 233.45 1045.90 449.78 27.21 34.96 37.39 14 13 6.63 17.82 26.42 48.30 51.94 59.44 15 3 0.71 13.91 4.70 324.64 312.49 108.48 15 14 1.96 8.12 5.20 74.11 77.67 2.71 15 13 2.04 4.89 2.79 29.34 20.77 232.42 15 1 3.44 1.09 3.68 14.91 58.41 111.79 16 12 11.07 8.26 13.55 66.23 67.93 158.12 16 1 4.87 4.71 5.96 42.58 26.65 215.48 17 12 8.97 6.23 10.64 26.86 46.97 169.18 17 1 4.86 83.05 5.76 164.29 414.50 5808.46 18 4 3.40 526.09 127.04 237.41 530.95 950.07 18 4 2.55 32.84 77.45 5358.00 3032.00 76755.0019 18 0.26 21.05 0.37 65.79 122.42 47.60 20 21 0.19 272.45 0.68 552.53 426.88 2418.76 20 19 0.16 18.49 0.55 112.94 132.45 81.39 22 21 0.19 43.18 0.68 354.11 200.39 369.72 23 22 4.97 25.48 11.91 74.42 83.44 25.17 24 23 14.20 249.14 34.88 3.46 111.62 72.35 25 24 2.13 55.55 92.10 135.55 159.75 479.03 25 24 2.21 8.45 99.73 20.15 48.32 505.12
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 121
26 24 1.42 365.72 7.72 180.73 96.26 3412.95 27 26 0.54 14.89 5.54 170.72 199.81 70.28 28 27 1.56 14.03 1.63 139.57 186.20 41.45 29 28 2.36 14.19 0.21 86.44 127.91 17.49 29 7 1.38 24.43 1.84 51.55 63.45 488.08 30 25 2.56 51.36 2.39 2.67 61.19 22.02 31 30 2.94 60.62 2.61 9.27 57.11 33.71 32 34 1.09 2.32 0.92 9.47 18.59 98.82 32 31 4.47 39.87 3.85 80.06 205.23 238.06 33 32 0.00 47.46 0.00 0.00 104.03 0.00 35 34 0.55 36.53 0.38 29.30 74.75 1.65 36 35 0.51 35.25 0.60 21.23 75.09 0.96 37 36 1.98 37.31 7.03 9.95 56.74 30.08 38 37 3.88 35.05 10.45 11.09 43.84 39.29 38 22 4.73 19.24 11.02 41.87 87.35 40.83 39 37 1.88 45.07 15.75 9.16 31.01 60.57 40 36 4.09 60.88 28.53 16.02 20.96 78.12 41 11 0.81 18.44 7.39 26.23 35.48 244.05 41 56 3.01 18.77 21.35 208.64 456.46 734.92 42 56 10.96 12.70 11.62 45.86 28.46 80.29 42 41 1.99 33.25 2.12 20.52 83.78 35.92 43 11 1.92 73.14 3.78 34.45 45.87 614.52 43 41 2.25 5.13 4.43 43.68 35.34 43.87 44 38 6.23 0.02 8.51 55.26 67.42 346.92 45 44 6.29 3.57 3.39 457.69 537.88 1419.23 45 15 6.29 46.17 3.39 480.58 653.01 5953.43 46 14 2.46 106.66 11.50 3.47 30.70 515.73 47 46 1.17 26.03 10.34 4.57 18.81 29.85 48 38 1.66 49.28 27.18 1.73 29.21 64.68 48 47 2.72 35.22 27.55 11.01 30.82 56.77 49 48 244.33 2720.00 87.33 28.53 41.51 78.74 49 13 1.27 45.14 2.31 8.55 13.74 136.21 49 38 0.98 73.09 27.96 15.19 35.39 71.65 50 49 4.10 40.48 6.41 40.19 17.03 45.48 51 10 2.13 144.06 2.84 16.63 48.17 850.91 51 50 5.41 24.62 7.20 29.50 57.62 21.78 52 29 1.33 19.43 8.70 1.60 141.17 304.18 53 52 2.91 22.52 13.25 107.79 993.32 3579.53 54 53 6.71 25.64 23.56 12.02 52.74 24.19 55 9 4.31 88.78 11.16 595.33 608.60 500.86 55 54 6.75 21.07 17.45 14.95 49.89 23.62 56 57 1.83 14.87 20.43 99.77 143.33 267.75 56 40 4.09 7.58 28.53 20.03 17.71 12.53 57 39 1.88 19.40 15.75 38.30 44.51 4.18
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 122
MAX 1189.33 3881.73 2025.83 5358.00 3032.00 76755.00 MEDIA 17.50 99.55 31.15 144.15 150.23 955.62
Tabla XXXIX. Resultados Flujos de Potencia IEEE57.
2.4.3.5. RENATO29
Ésta es ya una red radial, carente de transformadores y
de la que se obtuvieron tensiones muy exactas con el modelo
lineal.
Para este caso, el modelo lineal y reparto de cargas en continua,
dan los mismos valores tanto en el flujo de activa como en el de
reactiva pero, el modelo no lineal es mejor que las anteriores
alternativas. Sin embargo, si se observan los valores medios los
cuales son más representativos que los máximos, modelo lineal
y DCLF siguen siendo iguales en ambos casos, pero superando
ahora al modelo no lineal. Por este motivo, se puede decir que el
modelo lineal es el mejor ya que produce los mismos resultados
que el reparto de cargas en continua mediante un método de
resolución más rápido y sencillo.
RENATO29 Error Potencia Activa Error Potencia Reactiva
From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF2 1 1.05 4.84 1.05 0.71 11.80 0.71 3 2 0.87 2.49 0.87 0.53 8.01 0.53 4 3 0.00 0.46 0.00 0.00 10.61 0.00 5 3 0.00 0.44 0.00 0.00 10.59 0.00 6 3 0.31 1.14 0.31 0.24 11.10 0.25
19 3 0.40 2.91 0.39 0.23 6.31 0.23 7 6 0.00 0.48 0.00 0.00 10.39 0.00 8 6 0.00 0.48 0.00 0.00 10.39 0.00 9 6 0.00 0.43 0.00 0.00 10.34 0.00
10 6 0.17 2.66 0.18 0.00 9.71 0.00 11 10 0.00 0.44 0.00 0.00 10.49 0.00 12 10 0.00 0.47 0.00 0.00 10.50 0.00 13 10 0.00 0.55 0.00 0.00 10.56 0.00 14 10 0.16 2.80 0.16 0.00 9.65 0.00
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 123
15 14 0.00 0.61 0.00 0.00 10.63 0.00 16 14 0.00 0.58 0.00 0.00 10.62 0.00 17 14 0.00 0.49 0.00 0.00 10.56 0.00 18 14 0.00 0.47 0.00 0.00 10.55 0.00 20 19 0.00 0.47 0.00 0.00 5.40 0.00 21 19 0.00 0.41 0.00 0.00 5.35 0.00 22 19 0.22 3.47 0.21 0.09 5.91 0.10 23 22 0.00 2.21 0.00 0.00 5.95 0.00 24 22 0.00 0.40 0.00 0.00 5.28 0.00 25 22 0.17 3.00 0.16 0.03 5.85 0.00 26 25 0.00 0.47 0.00 0.00 5.28 0.00 27 25 0.00 0.43 0.00 0.00 5.25 0.00 28 25 0.00 3.72 0.00 0.03 5.63 0.00 29 28 0.00 0.50 0.00 0.00 5.27 0.00 30 28 0.00 0.64 0.00 0.00 5.37 0.00 1 2 13.02 6.18 13.02 16.89 12.47 16.89 2 3 1.05 2.47 1.05 0.69 8.00 0.70 3 4 0.12 0.45 0.12 0.00 10.58 0.00 3 5 0.12 0.46 0.12 0.00 10.56 0.00 3 6 1.07 1.11 1.08 0.78 11.07 0.79 3 19 0.80 2.84 0.80 0.42 6.28 0.43 6 7 0.06 0.49 0.06 0.00 10.38 0.00 6 8 0.06 0.49 0.06 0.00 10.38 0.00 6 9 0.19 0.43 0.19 0.00 10.30 0.00 6 10 0.36 2.69 0.36 0.36 9.76 0.36
10 11 0.06 0.45 0.06 0.00 10.47 0.00 10 12 0.12 0.46 0.12 0.00 10.48 0.00 10 13 0.06 0.55 0.06 0.00 10.54 0.00 10 14 0.17 2.86 0.17 0.12 9.67 0.12 14 15 0.06 0.60 0.06 0.00 10.62 0.00 14 16 0.06 0.58 0.06 0.00 10.61 0.00 14 17 0.19 0.46 0.19 0.00 10.52 0.00 14 18 0.12 0.44 0.12 0.00 10.53 0.00 19 20 0.06 0.45 0.06 0.00 5.40 0.00 19 21 0.25 0.39 0.25 0.00 5.33 0.00 19 22 0.53 3.41 0.52 0.25 5.89 0.27 22 23 0.06 2.18 0.06 0.00 5.94 0.00 22 24 0.12 0.40 0.12 0.00 5.27 0.00 22 25 0.32 2.98 0.31 0.10 5.90 0.12 25 26 0.12 0.46 0.12 0.00 5.27 0.00 25 27 0.12 0.42 0.12 0.00 5.24 0.00 25 28 0.22 3.56 0.22 0.04 5.64 0.06 28 29 0.25 0.47 0.25 0.00 5.25 0.00 28 30 0.06 0.64 0.06 0.00 5.36 0.00
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 124
MAX 13.02 6.18 13.02 16.89 12.47 16.89 MEDIA 0.40 1.34 0.40 0.37 8.40 0.37
Tabla XL. Resultados Flujos de Potencia RENATO29
2.4.3.6. RED69nudos
Llega el turno de la RED69nudos, la cual se recuerda es
una red radial sin transformadores sobre la que, los resultados
en tensiones resultaban ser muy satisfactorios, por lo que se
espera unos resultados más próximos para este tipo de redes.
Efectivamente, se puede observar como en ambos casos, activo
y reactivo, la mejor solución es la del modelo lineal tanto en
valores máximo como en resultados medios, superándose con
creces al reparto de cargas en continua.
Nuevamente, se considera el modelo lineal como el mejor
método de resolución.
Por otro lado, es necesario aclarar que, en algunas líneas el flujo
de potencias es tan pequeño que resultan errores muy elevados
ya que para el cálculo de dichos errores se divide por dicha
cantidad insignificante.
RED69nudos Error Potencia Activa Error Potencia Reactiva
From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF 69 1 0.91 0.92 0.91 0.00 0.01 0.00 1 2 0.91 0.94 0.91 0.00 0.01 0.00 2 3 3.07 3.12 7.37 3.45 3.43 17.08 3 4 7.14 7.08 6.52 3.15 3.25 105.50 4 5 7.12 6.90 6.52 3.15 3.20 105.50 5 6 7.12 6.86 6.52 3.15 3.35 105.50 6 7 9.12 8.98 4.52 8.15 8.60 100.50 7 8 6.10 6.22 23.15 23.15 23.60 85.50 8 9 8.45 8.25 5.40 47.40 47.70 42.80 9 10 13.45 13.35 0.40 57.40 57.80 32.80 10 11 11.40 11.20 1.80 5.90 6.20 42.60
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 125
11 12 7.20 7.40 26.40 - - - 12 13 - - - - - - 13 14 - - - - - - 14 15 27.60 27.80 31.70 18.50 19.00 11.20 15 16 7.60 7.80 11.70 28.50 28.90 21.20 16 17 12.40 12.10 8.30 38.50 38.70 31.20 17 18 32.40 32.30 28.30 48.50 48.70 41.20 18 19 32.40 32.30 28.30 48.50 48.70 41.20 12 20 20.90 21.20 10.10 19.60 19.60 18.50 19 20 32.40 32.30 28.30 48.50 48.70 41.20 20 21 25.75 25.70 29.10 1.90 1.60 10.30 21 22 25.75 25.65 29.10 1.90 1.60 10.30 22 23 25.75 25.65 29.10 1.90 1.70 10.30 23 24 38.50 38.70 31.80 8.10 8.10 0.30 24 25 38.50 38.50 31.80 8.10 8.00 0.30 25 26 38.50 38.50 31.80 8.10 7.90 0.30 2 27 - - - - - - 27 28 - - - - - - 28 29 - - - - - - 29 30 - - - - - - 30 31 - - - - - - 31 32 - - - - - - 32 33 - - - - - - 33 34 - - - - - - 3 35 9.95 9.88 18.40 6.75 6.73 27.15 35 36 9.95 9.73 18.40 6.75 6.85 27.15 36 37 10.07 11.00 1.20 1.75 2.03 32.15 37 38 0.07 1.03 11.20 5.67 5.43 39.53 2 39 14.87 14.80 26.33 13.57 13.57 40.83 7 40 - - - - - - 40 41 - - - - - - 8 42 15.65 15.85 35.90 9.00 9.50 118.30 42 43 15.65 15.85 35.90 9.00 9.50 118.30 43 44 10.65 10.90 30.90 19.00 19.50 108.30 44 45 5.65 5.90 25.90 29.00 29.60 98.30 45 46 5.65 6.15 25.90 29.00 29.50 98.30 46 47 5.65 5.95 25.90 29.00 29.60 98.30 47 48 5.65 5.85 25.90 29.00 29.70 98.30 38 48 14.90 13.55 31.80 13.50 13.75 54.30 48 49 4.63 4.33 2.95 7.30 7.57 10.10 49 50 4.63 4.33 2.95 7.30 7.17 10.10 50 51 - - - - - - 51 52 - - - - - - 52 53 - - - - - - 53 54 18.50 18.30 11.80 18.10 18.20 9.70
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 126
26 54 38.50 38.70 31.80 8.10 7.80 0.30 10 55 - - - - - - 55 56 - - - - - - 11 57 - - - - - - 57 58 - - - - - - 39 59 22.70 22.90 5.50 24.65 24.70 16.25 68 60 41.30 41.80 15.40 37.90 37.50 2.30 60 61 41.30 41.80 15.40 37.90 37.50 2.30 14 62 41.30 41.50 15.40 17.90 17.10 22.30 61 62 41.30 41.80 15.40 27.90 27.80 12.30 59 63 17.70 17.95 0.50 19.65 19.60 21.25 63 64 17.70 17.90 0.50 19.65 19.50 21.25 64 65 12.70 12.90 4.50 14.65 14.60 26.25 65 66 7.70 8.25 9.50 9.65 9.85 31.25 66 67 7.70 8.15 9.50 9.65 9.55 31.25 67 68 7.70 8.05 9.50 9.65 9.40 31.25 10 68 25.90 25.70 34.40 18.50 18.80 60.10 1 69 1.77 1.76 1.77 2.17 2.18 2.17 2 1 1.77 1.74 1.77 2.17 2.18 2.17 3 2 2.99 2.95 1.06 3.02 3.05 9.77 4 3 5.24 5.20 8.69 3.15 3.30 105.50 5 4 3.25 3.38 10.96 3.15 3.65 105.50 6 5 3.25 3.35 10.96 3.15 3.80 105.50 7 6 3.32 3.28 11.19 3.32 3.89 111.05 8 7 1.30 1.23 14.56 3.94 4.56 131.88 9 8 1.72 1.61 17.11 12.33 13.17 138.00 10 9 1.82 1.88 18.12 29.00 29.67 121.33 11 10 1.56 1.67 9.11 5.90 6.40 42.60 12 11 2.55 2.64 14.91 11.80 12.20 85.20 13 12 37.00 37.00 263.00 9.25 9.25 127.75 14 13 31.50 31.00 181.50 9.25 9.25 127.75 15 14 6.33 6.50 9.75 9.44 10.00 1.33 16 15 2.18 2.09 1.55 10.63 11.13 1.50 17 16 2.67 2.33 1.89 2.50 2.17 14.67 18 17 3.43 3.29 2.43 3.00 2.60 17.60 19 18 3.43 3.29 2.43 3.00 2.60 17.60 20 12 0.75 0.83 8.25 0.50 0.25 1.88 20 19 3.43 3.29 2.43 3.00 2.60 17.60 21 20 7.19 7.13 11.38 7.36 7.64 0.27 22 21 7.19 7.13 11.38 7.36 7.64 0.27 23 22 7.19 7.19 11.38 7.36 7.55 0.27 24 23 7.67 7.80 12.13 8.10 8.20 0.30 25 24 7.67 7.73 12.13 8.10 8.00 0.30 26 25 1.07 1.14 5.86 8.10 7.90 0.30 27 2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 127
28 27 0.00 0.00 0.00 50.00 50.00 50.00 29 28 0.00 0.00 0.00 100.00 100.00 100.00 30 29 0.00 0.00 0.00 100.00 100.00 100.00 31 30 0.00 0.00 0.00 100.00 100.00 100.00 32 31 0.00 0.00 0.00 100.00 100.00 100.00 33 32 0.00 0.00 0.00 100.00 100.00 100.00 34 33 - - - - - - 35 3 0.06 0.14 9.33 2.95 2.98 33.77 36 35 0.06 0.17 9.33 2.95 3.14 33.77 37 36 0.06 0.42 10.18 3.10 3.71 35.38 38 37 3.16 2.32 14.06 3.94 4.36 45.03 39 2 1.77 1.69 15.00 0.27 0.27 31.73 40 7 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 41 40 - - - - - - 42 8 3.62 3.54 13.25 1.11 0.44 142.56 43 42 0.57 0.65 18.17 1.11 0.44 142.56 44 43 3.78 3.70 13.83 1.25 0.37 160.38 45 44 3.95 3.86 14.45 11.25 12.13 147.88 46 45 3.95 4.18 14.45 11.25 12.50 147.88 47 46 0.62 0.57 19.90 1.43 0.14 183.29 48 47 0.62 0.67 19.90 1.43 0.29 183.29 48 38 0.12 0.12 19.76 1.30 2.48 60.26 49 48 2.18 2.31 0.46 0.68 1.14 3.68 50 49 0.39 0.13 2.16 0.68 0.93 3.68 51 50 5.00 5.00 27.33 9.50 10.00 51.50 52 51 3.75 3.75 20.50 59.50 60.00 101.50 53 52 3.75 3.75 20.50 59.50 60.00 101.50 54 53 1.25 1.08 6.83 2.38 2.50 12.88 54 26 1.07 1.29 5.86 2.11 1.89 11.44 55 10 100.00 100.00 100.00 100.00 101.00 100.00 56 55 0.00 0.00 0.00 - - - 57 11 0.00 0.00 0.00 100.00 100.00 100.00 58 57 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 59 39 1.84 1.76 15.60 0.28 0.40 33.00 60 68 5.80 5.47 23.07 1.50 1.79 30.21 61 60 5.80 5.47 23.07 1.50 1.86 30.21 62 14 0.93 1.50 17.57 1.75 1.92 35.25 62 61 0.93 1.29 17.57 1.62 1.69 32.54 63 59 1.92 1.79 16.25 0.29 0.46 34.38 64 63 1.92 1.75 16.25 0.29 0.42 34.38 65 64 2.00 1.83 16.96 4.46 4.50 38.54 66 65 2.09 2.18 17.73 4.65 5.13 40.22 67 66 2.09 1.91 17.73 4.65 5.00 40.22 68 67 2.09 1.77 17.73 4.65 4.91 40.22 68 10 5.86 6.29 6.29 1.88 1.62 50.13
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 128
MAX 100.00 100.00 263.00 100.00 101.00 183.29 MEDIA 9.99 10.01 17.26 16.75 16.87 50.86
Tabla XLI. Resultados Flujos de Potencia RED69nudos.
2.4.3.7. RED690NUDOS
Es curioso observar como, para este caso, los
resultados que ofrece el modelo lineal son prácticamente
idénticos a los del reparto de carga en continua, siendo un
poco mejor el modelo no lineal en el caso activo y un poco peor
en el reactivo, tanto en valores máximos como la media de
todos los valores. Aún así, y como se ha comentado
anteriormente, se considera mejor opción al modelo lineal en
aquellos casos en los que ambos ofrecen resultados parecidos
ya que, el modelo lineal ofrece dichos resultados de manera
más sencilla, siendo éste uno de los objetivos perseguidos.
Al igual que en el caso anterior, existen flujos de potencias
pequeños que provocan errores muy elevados ya que, para el
cálculo de dichos errores, se divide por dicha cantidad
insignificante. Es más, para algunas líneas el flujo que las
recorre es nulo resultando, matemáticamente, errores infinitos.
En aquella pareja de nudos en los que ocurría esto, tanto para
el caso activo como para el reactivo, se ha eliminado su fila ya
que, a nivel informativo no resultaba de interés. Sin embargo,
hay líneas en las que, aunque el flujo de potencia activa que
las recorre no sea nulo, la reactiva si lo es. Para dichos casos
se representan los errores, que son infinitos, por medio de un
guión.
Todo esto se presenta en la tabla siguiente:
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 129
RED690NUDOS Error P.Activa Bsh Error P.Reactiva Bsh From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF 690 1 7.25 7.1968 7.2581 19.0623 19.0245 19.0566
1 2 7.25 7.1048 7.2581 19.0623 19.0717 19.0566 2 3 7.25 7.0097 7.2581 19.0623 19.1264 19.0566 3 4 7.25 6.9419 7.2581 17.5058 17.6212 17.5000 4 5 7.25 6.8355 7.2581 17.5058 17.6558 17.5000 5 6 7.25 6.8710 7.2581 17.5058 17.4712 17.5000 6 7 7.25 5.7581 7.2581 17.5077 16.9269 17.5000 7 8 5.72 3.1951 5.7377 15.8882 17.1667 15.8824 8 9 5.72 3.0016 5.7377 15.8882 16.3980 15.8824 9 10 5.72 2.1279 5.7377 14.2060 15.4200 14.2000 10 11 5.72 1.3443 5.7377 14.2080 15.7640 14.2000 11 12 4.82 0.2183 4.8333 12.8653 14.5755 12.8571 12 13 4.82 0.0867 4.8333 12.8633 15.1490 12.8571 13 14 4.82 0.2183 4.8333 12.8633 15.3857 12.8571 14 15 4.82 0.9000 4.8333 11.0479 11.0500 11.0417 15 16 4.82 0.8100 4.8333 11.0479 11.0500 11.0417 16 17 4.82 0.1867 4.8333 11.0479 11.7042 11.0417 17 18 5.58 1.4237 5.5932 11.2830 11.2894 11.2766 18 19 5.58 0.1085 5.5932 11.2830 14.8298 11.2766 19 20 5.58 1.1390 5.5932 11.2830 11.3234 11.2766 20 21 5.16 0.4268 5.1786 11.5622 13.1867 11.5556 21 22 4.17 1.5982 4.1818 10.4614 12.1432 10.4545 22 23 4.90 1.0218 4.9091 11.3705 13.0114 11.3636 23 24 4.90 1.2836 4.9091 11.3705 13.0886 11.3636 24 25 4.90 1.4655 4.9091 11.3705 13.2318 11.3636 25 26 4.90 1.6927 4.9091 9.3093 11.1791 9.3023 26 27 5.17 1.5926 5.1852 9.0548 11.0952 9.0476 27 28 5.17 1.7222 5.1852 9.0548 11.1405 9.0476 28 29 4.51 2.5585 4.5283 10.0071 12.1119 10.0000 29 30 4.52 3.1094 4.5283 10.0071 13.8381 10.0000 30 31 4.52 3.6491 4.5283 10.0071 13.6643 10.0000 31 32 4.52 3.5472 4.5283 7.8122 10.1878 7.8049 32 33 4.45 3.7404 4.4681 10.0081 12.4811 10.0000 33 34 4.45 4.6617 4.4681 7.5083 11.9278 7.5000 34 35 4.45 4.4128 4.4681 7.5083 10.2222 7.5000 35 36 4.98 4.1457 5.0000 7.1514 9.8371 7.1429 36 37 4.98 4.3478 5.0000 7.1514 10.0914 7.1429 37 38 13.33 5.6000 13.3333 10.0000 12.0500 10.0000 38 39 13.33 4.6333 13.3333 10.0000 15.7500 10.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 130
39 40 13.33 5.9000 13.3333 10.0000 11.4500 10.0000 17 54 40.00 47.6000 40.0000 0.0000 5.5000 0.0000 54 55 40.00 46.9000 40.0000 0.0000 1.3000 0.0000 55 56 10.00 11.9000 10.0000 20.0000 27.0000 20.0000 56 57 20.00 18.6000 20.0000 40.0000 45.1000 40.0000 20 59 13.33 8.7667 13.3333 5.0000 5.9000 5.0000 59 60 13.33 10.9333 13.3333 5.0000 13.9500 5.0000 60 61 25.00 27.4000 25.0000 10.0000 18.6000 10.0000 61 62 0.00 5.8500 0.0000 20.0000 21.0500 20.0000 62 63 0.00 1.9500 0.0000 20.0000 26.9500 20.0000 63 64 5.00 3.1500 5.0000 25.0000 31.5500 25.0000 64 65 0.00 2.7000 0.0000 20.0000 26.9000 20.0000 65 66 0.00 2.8000 0.0000 20.0000 26.9000 20.0000 66 67 10.00 7.5000 10.0000 30.0000 36.2000 30.0000 67 68 30.00 26.5000 30.0000 50.0000 50.4000 50.0000 26 76 10.00 16.2000 10.0000 20.0000 20.1000 20.0000 76 77 0.00 2.3000 0.0000 20.0000 28.5000 20.0000 77 78 20.00 14.0000 20.0000 40.0000 43.5000 40.0000 78 79 20.00 17.8000 20.0000 40.0000 46.8000 40.0000 28 81 40.00 36.7000 40.0000 - - - 32 83 5.00 2.1167 5.0000 10.0000 10.2600 10.0000 83 84 5.00 3.0500 5.0000 10.0000 11.5200 10.0000 84 85 5.00 2.0333 5.0000 10.0000 10.1400 10.0000 85 86 2.00 11.2600 2.0000 2.5000 6.4000 2.5000 86 87 2.50 6.3000 2.5000 3.3333 5.7000 3.3333 87 88 2.50 6.4250 2.5000 3.3333 5.3667 3.3333 88 89 2.50 4.8000 2.5000 3.3333 3.1667 3.3333 89 90 20.00 13.3000 20.0000 40.0000 41.2000 40.0000 90 91 20.00 14.3000 20.0000 40.0000 47.3000 40.0000 91 92 20.00 17.7000 20.0000 40.0000 48.3000 40.0000 35 94 40.00 35.8000 40.0000 - - - 35 96 40.00 35.8000 40.0000 - - - 37 98 4.40 5.7442 4.4186 6.9788 12.2242 6.9697 98 99 4.50 6.1238 4.5238 7.1969 12.3375 7.1875 99 100 4.74 6.3357 4.7619 7.5094 13.1281 7.5000
100 101 4.37 6.3024 4.3902 6.4613 9.8452 6.4516 101 102 4.86 5.9976 4.8780 6.7839 10.5419 6.7742 102 103 4.86 6.5073 4.8780 6.7839 12.3000 6.7742 103 104 4.86 3.9512 4.8780 6.7839 6.8774 6.7742 104 105 6.67 3.1000 6.6667 0.0000 19.2000 0.0000 105 106 6.67 4.1333 6.6667 0.0000 18.9500 0.0000 106 107 20.00 23.2500 20.0000 15.0000 31.2000 15.0000 107 108 20.00 17.8500 20.0000 10.0000 11.5000 10.0000 108 109 40.00 38.4000 40.0000 - - - 40 110 13.33 4.8000 13.3333 10.0000 19.3500 10.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 131
110 111 13.33 6.0333 13.3333 10.0000 11.2500 10.0000 111 112 13.33 4.8333 13.3333 10.0000 14.3500 10.0000 112 113 13.33 6.0000 13.3333 10.0000 11.2500 10.0000 113 114 13.33 6.0000 13.3333 10.0000 11.2500 10.0000 114 115 13.33 5.2667 13.3333 10.0000 12.7500 10.0000 115 116 30.00 34.4000 30.0000 10.0000 25.3000 10.0000 64 128 20.00 15.2000 20.0000 40.0000 42.8000 40.0000
128 129 20.00 18.2000 20.0000 40.0000 45.5000 40.0000 85 144 40.00 35.5000 40.0000 - - -
144 145 40.00 38.8000 40.0000 - - - 86 147 40.00 36.5000 40.0000 40.0000 46.6000 40.0000
147 148 40.00 38.2000 40.0000 40.0000 46.5000 40.0000 86 150 40.00 35.3000 40.0000 - - -
150 151 40.00 38.3000 40.0000 - - - 89 155 3.33 11.1667 3.3333 25.0000 24.8000 25.0000
155 156 3.33 11.1667 3.3333 25.0000 24.8000 25.0000 156 157 3.33 5.5333 3.3333 15.0000 5.2500 15.0000 157 158 10.00 1.8333 10.0000 5.0000 3.9500 5.0000 98 160 40.00 33.3000 40.0000 40.0000 40.2000 40.0000
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Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 132
200 201 9.07 2.7091 9.0909 11.1222 20.0000 11.1111 201 202 9.07 2.2636 9.0909 11.1222 21.7667 11.1111 202 203 9.07 2.3000 9.0909 11.1222 21.7667 11.1111 203 204 3.98 7.9900 4.0000 5.0125 16.4875 5.0000 204 205 7.76 3.9556 7.7778 2.8714 14.4286 2.8571 205 206 11.40 0.1571 11.4286 11.6667 21.9833 11.6667 206 207 17.96 7.5800 18.0000 17.5000 27.4750 17.5000 207 208 6.63 5.0667 6.6667 26.6667 35.6333 26.6667 208 209 26.63 17.8000 26.6667 20.0000 30.2000 20.0000 209 210 26.63 19.7333 26.6667 20.0000 34.0000 20.0000 210 211 26.63 19.7333 26.6667 20.0000 34.0000 20.0000 211 212 24.95 18.1000 25.0000 50.0000 59.2500 50.0000 212 213 24.95 18.1000 25.0000 50.0000 59.3000 50.0000 213 214 39.95 34.4500 40.0000 20.0000 34.9000 20.0000 214 215 39.90 37.5000 40.0000 80.0000 87.8000 80.0000 215 216 79.90 79.2000 80.0000 - - - 216 217 79.90 79.2000 80.0000 - - - 170 234 20.00 8.9000 20.0000 40.0000 27.4000 40.0000 234 235 20.00 10.0500 20.0000 40.0000 37.7000 40.0000 235 236 20.00 13.9500 20.0000 40.0000 16.7000 40.0000 236 237 30.00 27.0500 30.0000 20.0000 0.5000 20.0000 237 238 20.00 34.3000 20.0000 0.0000 1.6000 0.0000 173 244 10.00 20.6000 10.0000 20.0000 20.2000 20.0000 244 245 10.00 21.8500 10.0000 20.0000 21.3500 20.0000 245 246 10.00 17.9500 10.0000 20.0000 35.5000 20.0000 246 247 10.00 21.1500 10.0000 20.0000 20.6500 20.0000 175 249 4.98 3.7167 5.0000 2.5250 2.7500 2.5000 249 250 4.98 5.3500 5.0000 2.5250 18.4000 2.5000 250 251 4.98 4.8000 5.0000 2.5250 4.1750 2.5000 251 252 40.10 55.0000 40.0000 0.0000 1.7000 0.0000 252 253 20.10 24.8000 20.0000 10.0000 27.6000 10.0000 253 254 0.10 12.5000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 254 255 0.00 12.5000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 255 256 0.00 12.4000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 256 257 0.00 12.4000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 257 258 30.00 22.0000 30.0000 - - - 258 259 30.00 23.0000 30.0000 - - - 176 264 40.00 34.6000 40.0000 - - - 264 265 40.00 32.8000 40.0000 - - - 265 266 40.00 35.4000 40.0000 - - - 266 267 40.00 33.5000 40.0000 - - - 179 281 6.67 18.6667 6.6667 20.0000 17.9500 20.0000 281 282 6.67 20.4333 6.6667 20.0000 12.9500 20.0000 282 283 6.67 12.9333 6.6667 20.0000 3.7000 20.0000 283 284 6.67 18.7000 6.6667 20.0000 17.9500 20.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 133
284 285 10.00 22.1000 10.0000 20.0000 21.4000 20.0000 180 286 10.88 0.9182 10.9091 15.0125 17.4750 15.0000 286 287 10.89 0.9000 10.9091 15.0125 17.4875 15.0000 287 288 11.98 2.2400 12.0000 14.3000 16.8000 14.2857 288 289 11.99 9.4100 12.0000 14.3000 32.4429 14.2857 289 290 11.99 5.6000 12.0000 14.3000 32.0143 14.2857 290 291 13.32 4.8000 13.3333 25.7286 39.5143 25.7143 291 292 80.00 79.0000 80.0000 100.1000 102.2000 100.0000292 293 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000293 294 80.00 78.9000 80.0000 100.1000 100.7000 100.0000294 295 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000295 296 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000296 297 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000297 298 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000298 299 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000299 300 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000300 301 80.00 79.2000 80.0000 - - - 301 302 80.00 79.2000 80.0000 - - - 302 303 80.00 79.2000 80.0000 - - - 303 304 80.00 79.2000 80.0000 - - - 304 305 80.00 79.2000 80.0000 - - - 305 306 80.00 79.2000 80.0000 - - - 306 307 80.00 79.2000 80.0000 - - - 307 308 80.00 79.2000 80.0000 - - - 191 316 20.00 15.6000 20.0000 40.0000 48.0000 40.0000 316 317 20.00 17.7000 20.0000 40.0000 48.3000 40.0000 193 319 20.00 24.8000 20.0000 20.0000 32.1000 20.0000 319 320 20.00 28.5000 20.0000 20.0000 21.0000 20.0000 320 321 40.00 34.8000 40.0000 - - - 321 322 40.00 38.3000 40.0000 - - - 322 323 40.00 38.3000 40.0000 - - - 200 327 10.00 0.9000 10.0000 0.0000 11.9500 0.0000 327 328 10.00 1.4000 10.0000 0.0000 0.2500 0.0000 328 329 15.00 5.4500 15.0000 20.0000 15.7000 20.0000 329 330 30.00 35.2000 30.0000 10.0000 28.2000 10.0000 204 337 30.00 41.1000 30.0000 20.0000 20.6000 20.0000 337 338 30.00 34.9000 30.0000 20.0000 37.9000 20.0000 338 339 20.00 24.6000 20.0000 20.0000 36.8000 20.0000 205 344 5.00 15.3000 5.0000 25.0500 25.6500 25.0000 344 345 5.00 9.0500 5.0000 25.0500 39.9000 25.0000 345 346 5.00 9.0500 5.0000 25.0500 39.8500 25.0000 346 347 10.00 6.5000 10.0000 30.0000 42.9000 30.0000 206 349 5.05 18.5500 5.0000 0.0000 0.8000 0.0000 349 350 0.05 4.1500 0.0000 5.0000 19.9500 5.0000 207 355 30.00 46.6000 30.0000 10.0000 7.0000 10.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 134
355 356 30.00 33.8000 30.0000 10.0000 8.7000 10.0000 356 357 30.00 46.5000 30.0000 10.0000 7.0000 10.0000 357 358 30.00 46.5000 30.0000 10.0000 7.0000 10.0000 358 359 20.00 23.5000 20.0000 0.0000 17.2000 0.0000 359 360 10.00 23.6000 10.0000 10.0000 12.5000 10.0000 208 366 40.00 31.9000 40.0000 40.0000 40.5000 40.0000 211 370 30.00 21.0000 30.0000 40.0000 41.6000 40.0000 214 384 40.00 31.2000 40.0000 40.0000 41.6000 40.0000 384 385 50.00 47.9000 50.0000 - - - 238 414 40.00 32.5000 40.0000 - - - 247 415 40.00 54.0000 40.0000 0.0000 0.8000 0.0000 415 416 30.00 25.0000 30.0000 - - - 251 417 7.50 18.4500 7.5000 3.3333 5.0000 3.3333 417 418 7.50 20.3000 7.5000 3.3333 9.1667 3.3333 418 419 0.00 4.2000 0.0000 10.0000 29.2000 10.0000 419 420 7.50 1.9250 7.5000 16.6667 18.1000 16.6667 284 435 0.00 11.9000 0.0000 20.0000 21.4000 20.0000 435 436 50.00 47.2000 50.0000 - - - 287 440 0.10 12.7000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 440 441 0.10 13.8000 0.0000 20.0000 27.5000 20.0000 441 442 39.90 38.2000 40.0000 50.0000 58.9000 50.0000 290 445 0.10 12.6000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 445 446 0.10 13.7000 0.0000 20.0000 27.4000 20.0000 446 447 0.10 3.5000 0.0000 20.0000 34.9000 20.0000 447 448 29.90 20.7000 30.0000 40.0000 41.7000 40.0000 291 452 4.99 4.9000 5.0000 13.3333 14.8167 13.3333 452 453 4.99 4.9125 5.0000 13.3333 14.8167 13.3333 453 454 4.99 4.9250 5.0000 13.3333 14.8167 13.3333 454 455 10.00 0.4600 10.0000 3.3333 6.2000 3.3333 455 456 10.00 7.4200 10.0000 3.3333 24.9000 3.3333 456 457 10.00 3.9000 10.0000 3.3333 24.4667 3.3333 457 458 20.00 14.6333 20.0000 25.0000 41.8000 25.0000 458 459 20.00 14.5333 20.0000 25.0000 41.7000 25.0000 459 460 20.00 14.2333 20.0000 25.0000 41.5500 25.0000 460 461 20.00 14.2333 20.0000 25.0000 41.6000 25.0000 461 462 20.00 14.3000 20.0000 25.0000 41.7000 25.0000 462 463 20.00 14.2667 20.0000 25.0000 41.6500 25.0000 463 464 15.00 23.2500 15.0000 30.0000 45.8500 30.0000 464 465 10.00 17.9000 10.0000 30.0000 45.4000 30.0000 465 466 10.00 17.9000 10.0000 30.0000 45.4000 30.0000 466 467 10.00 17.9000 10.0000 30.0000 45.4500 30.0000 467 468 0.00 7.2000 0.0000 35.0000 49.1000 35.0000 468 469 60.00 57.3000 60.0000 - - - 469 470 60.00 57.3000 60.0000 - - - 470 471 60.00 56.5000 60.0000 - - -
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 135
320 506 40.00 34.8000 40.0000 - - - 506 507 40.00 36.2000 40.0000 - - - 328 509 0.00 12.9000 0.0000 20.0000 24.6000 20.0000 509 510 0.00 10.3000 0.0000 20.0000 20.2000 20.0000 510 511 0.00 10.7000 0.0000 20.0000 32.1000 20.0000 511 512 0.00 4.1000 0.0000 20.0000 34.3000 20.0000 512 513 50.00 43.8000 50.0000 - - - 339 515 40.00 37.6000 40.0000 - - - 346 519 20.00 34.3000 20.0000 20.0000 27.7000 20.0000 519 520 20.00 25.8000 20.0000 20.0000 36.8000 20.0000 520 521 10.00 14.2000 10.0000 30.0000 45.3000 30.0000 521 522 0.00 5.4000 0.0000 40.0000 53.6000 40.0000 522 523 40.00 37.1000 40.0000 - - - 347 525 10.00 4.1000 10.0000 30.0000 42.8000 30.0000 525 526 10.00 0.6000 10.0000 30.0000 31.9000 30.0000 526 527 40.00 32.5000 40.0000 50.0000 51.4000 50.0000 527 528 40.00 37.6000 40.0000 50.0000 58.7000 50.0000 528 529 40.00 32.5000 40.0000 50.0000 51.4000 50.0000 350 531 24.95 21.9500 25.0000 40.0000 17.7000 40.0000 531 532 40.00 30.8000 40.0000 40.0000 43.3000 40.0000 532 533 40.00 31.3000 40.0000 40.0000 41.6000 40.0000 533 534 40.00 37.5000 40.0000 40.0000 49.0000 40.0000 360 537 30.00 22.2000 30.0000 50.0000 51.4000 50.0000 537 538 30.00 22.3000 30.0000 50.0000 51.4000 50.0000 420 552 7.50 1.9250 7.5000 16.6667 18.1000 16.6667 552 553 10.00 7.4500 10.0000 16.6667 33.8333 16.6667 553 554 3.33 7.4000 3.3333 5.0000 17.3000 5.0000 554 555 16.67 11.9333 16.6667 15.0000 32.9000 15.0000 555 556 20.00 23.4000 20.0000 20.0000 37.0500 20.0000 556 557 20.00 24.1500 20.0000 20.0000 37.1500 20.0000 557 558 20.00 30.7000 20.0000 20.0000 35.4500 20.0000 558 559 20.00 32.8500 20.0000 20.0000 22.3000 20.0000 454 573 3.37 14.9333 3.3333 23.3333 24.6333 23.3333 573 574 3.37 8.7667 3.3333 23.3333 38.7000 23.3333 574 575 3.37 14.9333 3.3333 23.3333 24.6333 23.3333 457 578 5.00 16.4500 5.0000 40.0000 35.8000 40.0000 578 579 5.00 9.4500 5.0000 40.0000 9.4000 40.0000 579 580 5.00 9.4000 5.0000 40.0000 9.4000 40.0000 580 581 10.00 14.6000 10.0000 30.0000 45.9000 30.0000 468 588 40.00 56.2000 40.0000 0.0000 2.9000 0.0000 588 589 30.00 28.0000 30.0000 50.0000 60.3000 50.0000 529 604 40.00 32.0000 40.0000 50.0000 52.9000 50.0000 531 607 20.00 16.7000 20.0000 20.0000 32.1000 20.0000 607 608 20.00 8.3000 20.0000 20.0000 22.1000 20.0000 559 615 20.00 23.4000 20.0000 20.0000 37.0000 20.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 136
575 625 3.37 7.8000 3.3333 15.0000 8.0000 15.0000 625 626 3.33 14.9000 3.3333 15.0000 13.0500 15.0000 608 635 20.00 16.7000 20.0000 20.0000 32.1000 20.0000 635 636 40.00 30.9000 40.0000 40.0000 44.9000 40.0000 636 637 40.00 31.3000 40.0000 40.0000 41.6000 40.0000 637 638 40.00 37.5000 40.0000 40.0000 49.0000 40.0000 626 640 3.33 2.3333 3.3333 5.0000 16.3500 5.0000 640 641 10.00 0.3667 10.0000 5.0000 6.6500 5.0000 641 642 10.00 0.3667 10.0000 5.0000 6.6500 5.0000 642 657 30.00 43.7500 30.0000 10.0000 11.5500 10.0000 657 658 30.00 37.5500 30.0000 10.0000 28.9500 10.0000 658 666 25.05 32.9500 25.0000 15.0000 33.0500 15.0000 666 667 25.05 38.0000 25.0000 15.0000 16.5000 15.0000 667 672 5.00 17.0500 5.0000 25.0000 27.2000 25.0000 672 673 5.00 9.2500 5.0000 25.0000 40.5000 25.0000 673 674 50.00 46.3000 50.0000 - - - 674 675 50.00 47.8000 50.0000 - - - 673 679 60.00 77.3000 60.0000 10.0000 8.7000 10.0000 679 680 50.00 56.0000 50.0000 0.0000 21.9000 0.0000 680 682 0.00 4.0000 0.0000 30.0000 44.7000 30.0000 682 684 20.00 16.6000 20.0000 30.0000 42.2000 30.0000
1 690 7.25 7.2129 7.2581 18.9093 18.9679 18.9036 2 1 7.25 7.1371 7.2581 18.9093 19.0151 18.9036 3 2 7.25 7.0677 7.2581 18.9093 19.1021 18.9036 4 3 7.25 6.9823 7.2581 17.3468 17.5607 17.3410 5 4 7.10 6.7593 7.1082 17.3468 17.6667 17.3410 6 5 7.25 6.8726 7.2581 17.3468 17.4104 17.3410 7 6 6.79 5.7018 6.8071 15.5591 16.9331 15.5512 8 7 5.41 3.0938 5.4276 15.3905 17.1716 15.3846 9 8 5.57 2.9589 5.5829 15.3905 16.4714 15.3846 10 9 5.41 2.1398 5.4276 13.1640 15.3988 13.1579 11 10 5.26 1.2175 5.2718 13.1660 15.8279 13.1579 12 11 4.82 0.2483 4.8333 12.6871 14.5153 12.6789 13 12 4.66 0.1553 4.6745 12.5061 15.0963 12.5000 14 13 4.82 0.1783 4.8333 12.6851 15.3292 12.6789 15 14 4.82 0.9017 4.8333 10.8622 10.9812 10.8559 16 15 4.82 0.8117 4.8333 10.8622 10.9833 10.8559 17 16 4.82 0.1983 4.8333 10.8622 11.6388 10.8559 18 17 5.58 1.4254 5.5932 11.0938 11.2154 11.0874 19 18 5.42 0.1409 5.4329 10.9038 14.7927 10.8974 20 19 5.58 1.1407 5.5932 11.0938 11.2516 11.0874 21 20 5.16 0.3964 5.1786 11.3653 13.1470 11.3586 22 21 4.17 1.5673 4.1818 10.2574 12.1025 10.2506 23 22 4.90 0.9582 4.9091 10.9658 12.9384 10.9589 24 23 4.90 1.2182 4.9091 10.9658 13.0251 10.9589
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 137
25 24 4.90 1.4327 4.9091 11.1686 13.1982 11.1617 26 25 4.90 1.6218 4.9091 8.8855 11.1355 8.8785 27 26 5.17 1.5593 5.1852 8.8377 11.0573 8.8305 28 27 5.17 1.6907 5.1852 8.8377 11.0931 8.8305 29 28 4.51 2.5283 4.5283 9.7924 12.0573 9.7852 30 29 4.52 3.0547 4.5283 9.7924 13.8043 9.7852 31 30 4.15 3.7330 4.1667 9.1418 13.7909 9.1346 32 31 4.52 3.4849 4.5283 7.5868 10.3032 7.5795 33 32 4.45 3.7128 4.4681 9.7642 12.3930 9.7561 34 33 4.25 4.6482 4.2644 6.7311 11.9524 6.7227 35 34 4.45 4.3681 4.4681 7.2507 10.2061 7.2423 36 35 4.98 4.0565 5.0000 6.6178 9.8046 6.6092 37 36 4.98 4.3239 5.0000 7.1514 10.2200 7.1429 38 37 13.33 5.6000 13.3333 10.0000 12.0500 10.0000 39 38 13.33 4.6333 13.3333 10.0000 15.7500 10.0000 40 39 13.33 5.9000 13.3333 10.0000 11.5000 10.0000 54 17 40.00 47.6000 40.0000 0.0000 5.5000 0.0000 55 54 40.00 46.9000 40.0000 0.0000 1.3000 0.0000 56 55 10.00 11.9000 10.0000 20.0000 27.0000 20.0000 57 56 20.00 18.6000 20.0000 40.0000 45.1000 40.0000 59 20 13.33 8.7667 13.3333 5.0000 5.9000 5.0000 60 59 13.33 10.9667 13.3333 5.0000 14.0000 5.0000 61 60 25.00 27.3000 25.0000 10.0000 18.6000 10.0000 62 61 0.00 5.8500 0.0000 20.0000 21.0500 20.0000 63 62 0.00 1.8500 0.0000 20.0000 26.9500 20.0000 64 63 5.00 3.2500 5.0000 25.0000 31.5500 25.0000 65 64 0.00 2.7000 0.0000 20.0000 26.9000 20.0000 66 65 0.00 2.7000 0.0000 20.0000 26.9000 20.0000 67 66 10.00 7.5000 10.0000 30.0000 36.2000 30.0000 68 67 30.00 26.5000 30.0000 50.0000 50.4000 50.0000 76 26 10.00 16.2000 10.0000 20.0000 20.1000 20.0000 77 76 0.00 2.3000 0.0000 20.0000 28.5000 20.0000 78 77 20.00 14.0000 20.0000 40.0000 43.5000 40.0000 79 78 20.00 17.8000 20.0000 40.0000 46.8000 40.0000 81 28 40.00 36.7000 40.0000 - - - 83 32 5.00 2.1167 5.0000 10.0000 10.2800 10.0000 84 83 5.00 3.0500 5.0000 10.0000 11.5400 10.0000 85 84 5.00 2.0333 5.0000 10.0000 10.1600 10.0000 86 85 2.00 11.2400 2.0000 2.5000 6.4250 2.5000 87 86 2.50 6.3000 2.5000 3.3333 5.7333 3.3333 88 87 2.50 6.4000 2.5000 3.3333 5.4000 3.3333 89 88 2.50 4.8000 2.5000 3.3333 3.1333 3.3333 90 89 20.00 13.3000 20.0000 40.0000 41.2000 40.0000 91 90 20.00 14.3000 20.0000 40.0000 47.3000 40.0000 92 91 20.00 17.8000 20.0000 40.0000 48.3000 40.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 138
94 35 40.00 35.8000 40.0000 - - - 96 35 40.00 35.8000 40.0000 - - - 98 37 4.40 5.6605 4.4186 6.6960 12.2249 6.6869 99 98 4.28 6.0764 4.2959 6.3186 12.4763 6.3091
100 99 4.52 6.4177 4.5346 6.9277 13.1352 6.9182 101 100 4.37 6.2756 4.3902 6.4613 9.9903 6.4516 102 101 4.86 5.9707 4.8780 6.7839 10.6710 6.7742 103 102 4.86 6.4805 4.8780 6.7839 12.3968 6.7742 104 103 4.86 3.9512 4.8780 6.7839 6.9742 6.7742 105 104 6.67 3.1333 6.6667 0.0000 19.2500 0.0000 106 105 6.67 4.2000 6.6667 0.0000 18.9500 0.0000 107 106 20.00 23.1500 20.0000 15.0000 31.2000 15.0000 108 107 20.00 17.9000 20.0000 10.0000 11.5000 10.0000 109 108 40.00 38.4000 40.0000 - - - 110 40 13.33 4.8333 13.3333 10.0000 19.3500 10.0000 111 110 13.33 6.0333 13.3333 10.0000 11.2500 10.0000 112 111 13.33 4.8333 13.3333 10.0000 14.3500 10.0000 113 112 13.33 6.0000 13.3333 10.0000 11.2500 10.0000 114 113 13.33 6.0000 13.3333 10.0000 11.2500 10.0000 115 114 13.33 5.3000 13.3333 10.0000 12.7500 10.0000 116 115 30.00 34.4000 30.0000 10.0000 25.3000 10.0000 128 64 20.00 15.2000 20.0000 40.0000 42.8000 40.0000 129 128 20.00 18.2000 20.0000 40.0000 45.5000 40.0000 144 85 40.00 35.5000 40.0000 - - - 145 144 40.00 38.8000 40.0000 - - - 147 86 40.00 36.5000 40.0000 40.0000 46.6000 40.0000 148 147 40.00 38.2000 40.0000 40.0000 46.5000 40.0000 150 86 40.00 35.3000 40.0000 - - - 151 150 40.00 38.4000 40.0000 - - - 155 89 3.33 11.1667 3.3333 25.0000 24.8000 25.0000 156 155 3.33 11.1667 3.3333 25.0000 24.8000 25.0000 157 156 3.33 5.5000 3.3333 15.0000 5.2500 15.0000 158 157 10.00 1.8333 10.0000 5.0000 4.0000 5.0000 160 98 40.00 33.3000 40.0000 40.0000 40.2000 40.0000 164 100 40.00 35.1000 40.0000 - - - 166 104 4.72 4.6132 4.7368 7.2517 7.9000 7.2414 167 166 4.72 4.2605 4.7368 7.2517 7.4414 7.2414 168 167 5.98 2.6520 6.0000 6.1222 6.3000 6.1111 169 168 5.98 5.5720 6.0000 6.1222 14.6278 6.1111 170 169 5.98 2.7400 6.0000 6.1222 6.3000 6.1111 171 170 4.76 6.9652 4.7826 8.8353 17.2941 8.8235 172 171 4.76 7.0391 4.7826 8.8353 16.2059 8.8235 173 172 4.76 4.1609 4.7826 8.8353 9.0824 8.8235 174 173 6.64 2.0905 6.6667 8.0133 8.2600 8.0000 175 174 7.12 4.1524 7.1429 8.6800 20.2867 8.6667
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 139
176 175 7.97 3.2867 8.0000 10.9182 22.2364 10.9091 177 176 11.98 1.1467 12.0000 14.5545 25.4091 14.5455 178 177 5.69 5.9429 5.7143 14.5545 25.4364 14.5455 179 178 7.12 4.3357 7.1429 16.3727 27.0818 16.3636 180 179 10.88 0.0182 10.9091 15.0125 26.0125 15.0000 190 158 10.00 2.0000 10.0000 5.0000 4.6000 5.0000 191 190 10.00 2.6667 10.0000 5.0000 3.7500 5.0000 192 191 5.00 2.8000 5.0000 25.0000 25.9000 25.0000 193 192 5.00 1.1000 5.0000 25.0000 34.9500 25.0000 194 193 40.00 33.4000 40.0000 40.0000 43.4000 40.0000 195 194 40.00 36.7000 40.0000 40.0000 46.7000 40.0000 196 195 50.00 48.5000 50.0000 - - - 198 167 2.29 7.5769 2.3077 9.1000 9.3182 9.0909 199 198 2.29 9.8462 2.3077 9.1000 19.6273 9.0909 200 199 2.29 7.6154 2.3077 9.1000 9.3273 9.0909 201 200 9.07 2.7000 9.0909 11.1222 20.0222 11.1111 202 201 9.07 2.2455 9.0909 11.1222 21.7889 11.1111 203 202 9.07 2.2545 9.0909 11.1222 21.8333 11.1111 204 203 3.98 7.9600 4.0000 5.0125 16.5250 5.0000 205 204 7.76 3.9444 7.7778 2.8714 14.4714 2.8571 206 205 11.40 0.1000 11.4286 11.6667 22.0667 11.6667 207 206 17.96 7.6200 18.0000 17.5000 27.5000 17.5000 208 207 6.63 5.0333 6.6667 26.6667 35.6667 26.6667 209 208 26.63 17.8000 26.6667 20.0000 30.2000 20.0000 210 209 26.63 19.7333 26.6667 20.0000 34.0000 20.0000 211 210 26.63 19.7333 26.6667 20.0000 34.0500 20.0000 212 211 24.95 18.1000 25.0000 50.0000 59.3000 50.0000 213 212 24.95 18.1000 25.0000 50.0000 59.3000 50.0000 214 213 39.95 34.5000 40.0000 20.0000 34.9000 20.0000 215 214 39.90 37.5000 40.0000 80.0000 87.8000 80.0000 216 215 79.90 79.2000 80.0000 - - - 217 216 79.90 79.2000 80.0000 - - - 234 170 20.00 8.9000 20.0000 40.0000 27.4000 40.0000 235 234 20.00 10.0500 20.0000 40.0000 37.7000 40.0000 236 235 20.00 13.9500 20.0000 40.0000 16.7000 40.0000 237 236 30.00 27.0500 30.0000 20.0000 0.5000 20.0000 238 237 20.00 34.3000 20.0000 0.0000 1.6000 0.0000 244 173 10.00 20.6000 10.0000 20.0000 20.2000 20.0000 245 244 10.00 21.8500 10.0000 20.0000 21.3500 20.0000 246 245 10.00 17.9500 10.0000 20.0000 35.5000 20.0000 247 246 10.00 21.1500 10.0000 20.0000 20.6500 20.0000 249 175 4.98 3.7167 5.0000 2.5250 2.7500 2.5000 250 249 4.98 5.3500 5.0000 2.5250 18.4250 2.5000 251 250 4.98 4.8000 5.0000 2.5250 4.2000 2.5000 252 251 40.10 55.0000 40.0000 0.0000 1.7000 0.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 140
253 252 20.10 24.8000 20.0000 10.0000 27.6000 10.0000 254 253 0.10 12.5000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 255 254 0.00 12.5000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 256 255 0.00 12.4000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 257 256 0.00 12.4000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 258 257 30.00 22.0000 30.0000 - - - 259 258 30.00 23.0000 30.0000 - - - 264 176 40.00 34.6000 40.0000 - - - 265 264 40.00 32.8000 40.0000 - - - 266 265 40.00 35.4000 40.0000 - - - 267 266 40.00 33.5000 40.0000 - - - 281 179 6.67 18.6667 6.6667 20.0000 17.9500 20.0000 282 281 6.67 20.4333 6.6667 20.0000 12.9500 20.0000 283 282 6.67 12.9000 6.6667 20.0000 3.7000 20.0000 284 283 6.67 18.7000 6.6667 20.0000 17.9500 20.0000 285 284 10.00 22.1000 10.0000 20.0000 21.4000 20.0000 286 180 10.88 0.9182 10.9091 15.0125 17.5000 15.0000 287 286 10.89 0.9000 10.9091 15.0125 17.5125 15.0000 288 287 11.98 2.2400 12.0000 14.3000 16.8286 14.2857 289 288 11.99 9.5400 12.0000 14.3000 32.4857 14.2857 290 289 11.99 5.6500 12.0000 14.3000 32.0429 14.2857 291 290 13.32 4.8111 13.3333 25.7286 39.5286 25.7143 292 291 80.10 79.0000 80.0000 100.1000 102.2000 100.0000293 292 80.10 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000294 293 80.00 78.9000 80.0000 100.1000 100.7000 100.0000295 294 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000296 295 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000297 296 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000298 297 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000299 298 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000300 299 80.00 79.2000 80.0000 100.1000 102.5000 100.0000301 300 80.00 79.2000 80.0000 - - - 302 301 80.00 79.2000 80.0000 - - - 303 302 80.00 79.2000 80.0000 - - - 304 303 80.00 79.2000 80.0000 - - - 305 304 80.00 79.2000 80.0000 - - - 306 305 80.00 79.2000 80.0000 - - - 307 306 80.00 79.2000 80.0000 - - - 308 307 80.00 79.2000 80.0000 - - - 316 191 20.00 15.6000 20.0000 40.0000 48.0000 40.0000 317 316 20.00 17.7000 20.0000 40.0000 48.3000 40.0000 318 317 - - - - - - 319 193 20.00 24.8000 20.0000 20.0000 32.1000 20.0000 320 319 20.00 28.5000 20.0000 20.0000 21.0000 20.0000 321 320 40.00 34.8000 40.0000 - - -
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 141
322 321 40.00 38.4000 40.0000 - - - 323 322 40.00 38.4000 40.0000 - - - 327 200 10.00 0.9000 10.0000 0.0000 11.9500 0.0000 328 327 10.00 1.4000 10.0000 0.0000 0.2500 0.0000 329 328 15.00 5.4500 15.0000 20.0000 15.7000 20.0000 330 329 30.00 35.2000 30.0000 10.0000 28.2000 10.0000 337 204 30.00 41.1000 30.0000 20.0000 20.6000 20.0000 338 337 30.00 34.9000 30.0000 20.0000 38.0000 20.0000 339 338 20.00 24.6000 20.0000 20.0000 36.8000 20.0000 344 205 5.00 15.3000 5.0000 25.0500 25.6500 25.0000 345 344 5.00 9.0000 5.0000 25.0500 39.9000 25.0000 346 345 5.00 9.0000 5.0000 25.0500 39.9000 25.0000 347 346 10.00 6.5000 10.0000 30.0000 42.9000 30.0000 349 206 5.05 18.5500 5.0000 0.0000 0.8000 0.0000 350 349 0.05 4.0500 0.0000 5.0000 19.9500 5.0000 355 207 30.00 46.6000 30.0000 10.0000 7.0000 10.0000 356 355 30.00 33.7000 30.0000 10.0000 8.7000 10.0000 357 356 30.00 46.5000 30.0000 10.0000 7.0000 10.0000 358 357 30.00 46.5000 30.0000 10.0000 7.0000 10.0000 359 358 20.00 23.4000 20.0000 0.0000 17.2000 0.0000 360 359 10.00 23.6000 10.0000 10.0000 12.5000 10.0000 366 208 40.00 31.9000 40.0000 40.0000 40.5000 40.0000 370 211 30.00 21.0000 30.0000 40.0000 41.6000 40.0000 384 214 40.00 31.2000 40.0000 40.0000 41.6000 40.0000 385 384 50.00 47.9000 50.0000 - - - 414 238 40.00 32.5000 40.0000 - - - 415 247 40.00 54.0000 40.0000 0.0000 0.8000 0.0000 416 415 30.00 25.0000 30.0000 - - - 417 251 7.50 18.4500 7.5000 3.3333 5.0000 3.3333 418 417 7.50 20.3000 7.5000 3.3333 9.1667 3.3333 419 418 0.00 4.1000 0.0000 10.0000 29.2667 10.0000 420 419 7.50 1.9250 7.5000 16.6667 18.1000 16.6667 435 284 0.00 11.9000 0.0000 20.0000 21.4000 20.0000 436 435 50.00 47.2000 50.0000 - - - 440 287 0.10 12.7000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 441 440 0.10 13.8000 0.0000 20.0000 27.5000 20.0000 442 441 39.90 38.2000 40.0000 50.0000 58.9000 50.0000 445 290 0.10 12.6000 0.0000 20.0000 22.3000 20.0000 446 445 0.10 13.7000 0.0000 20.0000 27.4000 20.0000 447 446 0.10 3.5000 0.0000 20.0000 34.9000 20.0000 448 447 29.90 20.7000 30.0000 40.0000 41.7000 40.0000 452 291 4.99 4.9000 5.0000 13.3333 14.8333 13.3333 453 452 4.99 4.9125 5.0000 13.3333 14.8333 13.3333 454 453 4.99 4.9250 5.0000 13.3333 14.8333 13.3333 455 454 10.00 0.4600 10.0000 3.3333 6.2000 3.3333
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 142
456 455 10.00 7.4600 10.0000 3.3333 24.9000 3.3333 457 456 10.00 3.9600 10.0000 3.3333 24.5000 3.3333 458 457 20.00 14.6667 20.0000 25.0000 41.8000 25.0000 459 458 20.00 14.7333 20.0000 25.0000 41.8500 25.0000 460 459 20.00 14.4667 20.0000 25.0000 41.7500 25.0000 461 460 20.00 14.4333 20.0000 25.0000 41.7500 25.0000 462 461 20.00 14.3333 20.0000 25.0000 41.7000 25.0000 463 462 20.00 14.4000 20.0000 25.0000 41.7500 25.0000 464 463 15.00 23.0000 15.0000 30.0000 46.0000 30.0000 465 464 10.00 17.8000 10.0000 30.0000 45.4500 30.0000 466 465 10.00 17.8000 10.0000 30.0000 45.4500 30.0000 467 466 10.00 17.8500 10.0000 30.0000 45.4500 30.0000 468 467 0.00 7.1500 0.0000 35.0000 49.1000 35.0000 469 468 60.00 57.3000 60.0000 - - - 470 469 60.00 57.3000 60.0000 - - - 471 470 60.00 56.5000 60.0000 - - - 506 320 40.00 34.8000 40.0000 - - - 507 506 40.00 36.2000 40.0000 - - - 509 328 0.00 12.9000 0.0000 20.0000 24.6000 20.0000 510 509 0.00 10.3000 0.0000 20.0000 20.2000 20.0000 511 510 0.00 10.6000 0.0000 20.0000 32.1000 20.0000 512 511 0.00 4.1000 0.0000 20.0000 34.3000 20.0000 513 512 50.00 43.8000 50.0000 - - - 515 339 40.00 37.6000 40.0000 - - - 519 346 20.00 34.3000 20.0000 20.0000 27.7000 20.0000 520 519 20.00 25.8000 20.0000 20.0000 36.8000 20.0000 521 520 10.00 14.2000 10.0000 30.0000 45.3000 30.0000 522 521 0.00 5.4000 0.0000 40.0000 53.6000 40.0000 523 522 40.00 37.1000 40.0000 - - - 525 347 10.00 4.1000 10.0000 30.0000 42.8000 30.0000 526 525 10.00 0.6000 10.0000 30.0000 31.9000 30.0000 527 526 40.00 32.5000 40.0000 50.0000 51.4000 50.0000 528 527 40.00 37.6000 40.0000 50.0000 58.7000 50.0000 529 528 40.00 32.5000 40.0000 50.0000 51.4000 50.0000 531 350 24.95 21.9500 25.0000 40.0000 17.7000 40.0000 532 531 40.00 30.8000 40.0000 40.0000 43.3000 40.0000 533 532 40.00 31.3000 40.0000 40.0000 41.6000 40.0000 534 533 40.00 37.5000 40.0000 40.0000 49.0000 40.0000 537 360 30.00 22.2000 30.0000 50.0000 51.4000 50.0000 538 537 30.00 22.3000 30.0000 50.0000 51.4000 50.0000 552 420 7.50 1.9250 7.5000 16.6667 18.1000 16.6667 553 552 10.00 7.4750 10.0000 16.6667 33.8333 16.6667 554 553 3.33 7.3667 3.3333 5.0000 17.3000 5.0000 555 554 16.67 11.9333 16.6667 15.0000 32.9000 15.0000 556 555 20.00 23.3500 20.0000 20.0000 37.0500 20.0000
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 143
557 556 20.00 24.1000 20.0000 20.0000 37.1500 20.0000 558 557 20.00 30.7000 20.0000 20.0000 35.4500 20.0000 559 558 20.00 32.8500 20.0000 20.0000 22.3000 20.0000 573 454 3.37 14.9333 3.3333 23.3333 24.6333 23.3333 574 573 3.37 8.7333 3.3333 23.3333 38.7000 23.3333 575 574 3.37 14.9333 3.3333 23.3333 24.6667 23.3333 578 457 5.00 16.4500 5.0000 40.0000 35.7000 40.0000 579 578 5.00 9.4000 5.0000 40.0000 9.4000 40.0000 580 579 5.00 9.4000 5.0000 40.0000 9.4000 40.0000 581 580 10.00 14.6000 10.0000 30.0000 45.9000 30.0000 588 468 40.00 56.2000 40.0000 0.0000 2.9000 0.0000 589 588 30.00 28.0000 30.0000 50.0000 60.3000 50.0000 604 529 40.00 32.0000 40.0000 50.0000 52.9000 50.0000 607 531 20.00 16.7000 20.0000 20.0000 32.1000 20.0000 608 607 20.00 8.3000 20.0000 20.0000 22.1000 20.0000 615 559 20.00 23.4000 20.0000 20.0000 37.0000 20.0000 625 575 3.37 7.7333 3.3333 15.0000 8.0500 15.0000 626 625 3.33 14.9000 3.3333 15.0000 13.0000 15.0000 635 608 20.00 16.7000 20.0000 20.0000 32.1000 20.0000 636 635 40.00 30.9000 40.0000 40.0000 44.9000 40.0000 637 636 40.00 31.3000 40.0000 40.0000 41.6000 40.0000 638 637 40.00 37.5000 40.0000 40.0000 49.0000 40.0000 640 626 3.33 2.2667 3.3333 5.0000 16.4000 5.0000 641 640 10.00 0.3667 10.0000 5.0000 6.6500 5.0000 642 641 10.00 0.3667 10.0000 5.0000 6.6500 5.0000 657 642 30.00 43.7500 30.0000 10.0000 11.5500 10.0000 658 657 30.00 37.5000 30.0000 10.0000 29.0000 10.0000 666 658 25.05 32.9500 25.0000 15.0000 33.0500 15.0000 667 666 25.05 38.0000 25.0000 15.0000 16.5000 15.0000 672 667 5.00 17.0500 5.0000 25.0000 27.2000 25.0000 673 672 5.00 9.2000 5.0000 25.0000 40.5000 25.0000 674 673 50.00 46.3000 50.0000 - - - 675 674 50.00 47.8000 50.0000 - - - 679 673 60.00 77.3000 60.0000 10.0000 8.7000 10.0000 680 679 50.00 56.0000 50.0000 0.0000 21.9000 0.0000 682 680 0.00 4.0000 0.0000 30.0000 44.7000 30.0000 684 682 20.00 16.6000 20.0000 30.0000 42.2000 30.0000
MAX 80.1 79.2 80 100.1 102.5 100 MED 20.347 20.189 20.350 21.404 26.596 21.397
Tabla XLII. Resultados Flujos de Potencia RED690NUDOS
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 144
2.4.3.8. BROWN13
La BROWN13, era una red real y ligeramente mallada
en la que el modelo lineal trataba de manera diferente a los
módulos de tensión y a los desfases, siendo muy bueno en los
primeros pero peores en los ángulos.
Para los flujos de potencia activa, en valores máximos, el
modelo lineal y DCLF proporcionan los mismos errores, siendo
los del modelo no lineal bastante malos. Para la potencia
reactiva, es el modelo lineal la mejor de las tres opciones
posibles, como se observa en la tabla de resultados.
El comportamiento de resultados para valores medios coincide
con el comentado para valores máximos.
BROWN13 Error P.Activa Bsh Error P.Reactiva Bsh From To Lineal No Lineal DCLF Lineal No Lineal DCLF
6 2 4.03 4.06 3.80 571.43 1.96 1128.571 2 6.69 9.57 6.43 10.91 9.10 119.37 4 3 102.00 2615.91 102.00 3.80 1288.42 23.62 1 3 1.74 2.84 1.89 27.24 8.25 224.16 8 3 0.02 18.36 0.13 60.59 4.53 190.54 5 4 0.00 128.20 0.00 7.36 60.11 120.53 6 7 12.17 64.17 11.47 3.34 9.56 6.09 13 8 3.31 22.19 3.31 15.99 10.81 19.27 7 8 11.62 55.13 10.91 0.39 4.77 5.93 9 10 0.00 67.12 0.00 8.87 5.77 4.63 10 11 1.90 41.28 1.90 10.94 3.13 159.31 11 12 2.11 26.15 2.11 1.70 3.69 99.76 12 13 3.01 9.72 3.01 40.55 13.69 135.57 2 6 5.90 3.99 5.66 10.97 0.40 2.76 2 1 6.37 9.53 6.11 5.71 9.09 120.50 3 4 220.63 4140.02 220.63 31.58 1759.13 854.00 3 1 1.50 2.82 1.65 15.76 8.21 243.75 3 8 1.08 18.35 1.24 4.88 0.17 10.91 4 5 2.76 131.47 2.76 2.54 55.45 121.59 7 6 11.63 64.36 10.93 0.37 12.04 9.45 8 13 3.31 22.18 3.31 4.83 10.01 27.03
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 145
8 7 11.63 55.10 10.93 3.56 3.07 9.63 10 9 1.89 67.41 1.89 16.64 12.95 24.65 11 10 1.89 41.27 1.89 1.77 8.72 167.78 12 11 2.66 26.09 2.66 60.11 0.72 1069.7413 12 3.31 9.74 3.31 16.00 13.51 46.52
MAX 220.63 4140.02 220.63 571.43 1759.13 1128.57 MEDIA 16.28 294.50 16.15 36.07 127.59 190.22
Tabla XLIII. Resultados Flujos de Potencia BROWN13.
2.4.3.9. Resumen Resultados Tras los resultados expuestos hasta el momento, parece
que cada sistema eléctrico se comporta de manera distinta al
resto. Se van a recoger todos estos resultados en un cuadro
resumen como el siguiente, con el fin de esclarecer los
resultados.
Al igual que en el caso de las tensiones, se muestran valores
máximos y promedios, siendo estos últimos los que se tomarán
como referencia del buen comportamiento de un sistema
eléctrico ante cualquier alternativa.
POTENCIA ACTIVA Lineal No Lineal DCLF
RED Máximo Media Máximo Media Máximo Media Red Ejemplo 22.7 5.48 55.19 18.78 15.95 4.05 IEEE14 7.73 2.54 64.68 19.62 15.04 4.05 IEEE30 47.38 3.84 47.38 19.12 133.71 9.88 IEEE57 1189.33 22.31 3881.73 98.05 2025.83 31.15 RENATO29 13.02 0.4 6.18 1.34 13.02 0.4 RED69nudos 100 9.99 100 10.01 263 17.26 RED690nudos 80.12 20.35 79.20 20.19 80 20.35 BROWN13 220.63 16.28 4140.02 294.5 220.63 16.15
Tabla XLIV. Resumen Resultados Flujos de Potencia Activa
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 146
Se observa que, en general el modelo lineal es el más adecuado
para el cálculo de flujos de potencia activa en las líneas que
conectan a los nudos de un sistema eléctrico de potencia.
Se aprecian casos en los que, o bien modelo lineal y DCLF
ofrecen resultados idénticos o bien el DCLF es ligeramente
mejor que el modelo lineal. En dichos casos y como se ha
comentado con anterioridad, se considera claro vencedor al
modelo lineal, ya que aporta parecidos resultados que el reparto
de cargas en continua con mucha más rapidez y sencillez.
Para la reactiva:
POTENCIA REACTIVA Lineal No Lineal DCLF
RED Máximo Media Máximo Media Máximo Media Red Ejemplo 134.76 59.09 120.22 67.21 233.34 80.31 IEEE14 471.65 63.42 389.95 55.75 2425 281.67 IEEE30 1012.76 84.86 568.86 83.41 5196.62 364.5 IEEE57 5358 144.15 3032 150.23 76755 955.62 RENATO29 16.89 0.37 12.47 8.4 16.89 0.37 RED69nudos 100 16.75 101 16.87 183.29 50.86 RED690nudos 100 21.40 102.5 26.6 100 21.40 BROWN13 571.43 36.07 1759.13 127.59 1128.57 190.22 Tabla XLV. Resumen Resultados Flujos de Potencia Reactiva.
Ocurre lo mismo, el modelo lineal es el más idóneo para su
cálculo, ya que, para la mayoría de las redes, su media supera
al resto de alternativas.
Existen redes en las que la mejor de las soluciones es la que
proporciona el modelo no lineal, no dejando de ser por ello, el
modelo lineal mejor que el DLCF. Por este motivo se declara al
modelo lineal generalmente el mejor de todas las opciones
consideradas en toda la investigación.
Análisis Lineal del Estado Estable de un Sistema Eléctrico
Mª Angeles Macias Nebreda 147
En vista a los resultados obtenidos, parece ser que, el modelo lineal,
nuevamente, supera al reparto de cargas en continua, teniendo así un
método bastante sencillo y rápido para el cálculo del estado de un sistema
eléctrico, no existiendo, esta vez, una diferencia clara entre redes radiales
y malladas.
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