FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-1
2. VARIABLES ALEATÒRIES DISCRETES
2.1 Introducció a la Variable Aleatòria Discreta
El Càlcul de Probabilitats expressa les solucions mitjançant valors numèrics vinculats a successos(probabilitats), però de vegades no és suficient i resulta massa complicat: per exemple, llançant dos daus, lapregunta pot ser més concreta : quina suma surt més?
La formulació dels resultats d’una experiència aleatòria com a variable aleatòria té com a avantatges quepermet reflectir els resultats en valors numèrics, proporcionant un major grau d’abstracció,
èè A canvi, es perd informació sobre el conjunt fonamental de l’experiència aleatòria tractada, de maneraque la construcció de la variable aleatòria ha d’anar més lligada a l’objectiu de l’estudi.
Definició de variable aleatòria discreta
Una variable aleatòria discreta (VAD) és una aplicació tal que a cada ω ∈ Ω li associa un valor real X(ω):
X: Ω → ℜ
ω → X(ω)
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-2
Observacions:
èè Si Ω és discret i finit, el conjunt imatge és un subconjunt finit dels reals.
èè Si X és una VAD amb I valors diferents, aleshores X defineix una partició de Ω integrada per:
( ) ( ) iiI
1ii xX tq A on A =ωΩ∈ω==
èè Una notació alternativa és: [ ]ii xXA =≡ , el conjunt de tots el successos elementals (succés) que tenencom a imatge xi.
Un succés ωi no pot estar a dos Ai alhora, per definició d’aplicació.
Ens anirà bé per saber la probabilitat dels diferents valors de la variable aleatòria discreta X, laprobabilitat dels xi’s.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-3
2.2 Funció de probabilitat d’una VAD
èè Sigui X una VAD i I
1iix ==χ el conjunt de tots els diferents valors que pot prendre aquesta VAD.
èè Sigui també la partició de Ω en conjunts de successos.
( ) [ ]iii xXxX tq A =≡=ωΩ∈ω=
Definim la funció de probabilitat de la VAD X, px(x), com una aplicació del conjunt de valors en l’interval[0,1],
[ ] 0,1 : )(xp iX →χ( ) [ ]( ) ( ) ( )
( )∑
=ω
ω====ixX
iiix PAPxXPxp que tal
• És a dir, és una funció definida des del conjunt de valors d’una VAD cap a [0,1], i val la suma de lesprobabilitats dels diferents successos elementals que tenen com a imatge el valor.
• Per ser precisos, cal extendre el domini a tots els reals, simplement indicant una probabilitat nul.la per totsels reals que no formen part del conjunt de valors de la VAD.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-4
2.2.1 Propietats de ( )xpX
èè ( ) 1xp0 x ≤≤ per qualsevol valor real x.
èè ( ) 11
=∑=
I
iiX xp
Exemple:
La Sala amb 3 PCs: Tenim 3 PCs que poden estar ocupats (0) o no (1).
Considerem que les probabilitats que es trobi lliure o ocupat cada un dels PCs és la mateixa(equiprobabilitat).
èè Expresseu de forma gràfica la probabilitat de trobar lliures 0, 1, 2 o 3 PCs.
Indicarem ‘abc’ com el fet que estigui lliure cada un dels PCs: si a=1 vol dir que PC a està lliure i si és 0vol dir que no; igualment amb b i c.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-5
Les 8 codificacions possibles són:
ω1 = 000, ω2 = 001, ω3 = 010, ω4 = 100, ω5 = 110, ω6=101, ω7 = 011, ω8 = 111
èè Sigui Ω = ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 , ω7 , ω8.
èè Establim la VAD X(w)= ‘número de PCs lliures si s’ha donat ω’, o sigui, X(ω)=‘número de 1’s que hiha en la codificació’.
èè Podem fer una partició de Ω amb quatre possibles Ai:
A1 =[ X= x1 ] = [ X= 0]=ω1 .
A2 =[ X= x2 ] = [ X= 1]=ω2 , ω3 , ω4
A3 =[ X= x3 ] = [ X= 2]=ω5 , ω6 , ω7
A4 =[ X= x4 ] = [ X= 3]=ω8
èè La probabilitat de cada ωi és P(ωi )=1/8 i són equiprobables.
èè Per saber quina és la probabilitat de trobar lliures un nombre concret de PCs cal definir la funció deprobabilitat de la VAD X.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-6
èè El conjunt sobre el qual s’estableix la VAD X és χ=0, 1,2, 3. Hem de trobar quan val px per a cada undels valors:
[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]( ) 8
18X4
83
765X3
83
432X2
81
1X1
)( P3XP(3)p : 3x
)( P+)( P+)( P2XP(2)p : 2x
)( P+)( P+)( P1XP(1)p : 1x
)( P0XP(0)p : 0x
=ω=====ωωω=====ωωω====
=ω====
0 1 2 3
0.125
0.375
PX (xi )
Xi
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-7
2.3 Funció de Distribució de Probabilitat de X VAD
èè Noció de probabilitat acumulada
èè El succés [ ]xX ≤ denota el conjunt dels successos elementals del conjunt fonamental de l’experiènciaaleatòria tals que tenen per imatge en l’aplicació X VAD un valor real inferior o igual a x.Matemàticament,
[ ] ( ) xXxX ≤Ω∈≡≤ ωω |
[ ]( ) ( )( )
∑≤Ω∈
=≤xX
PxXPωω
ω|
èè La funció de distribució de probabilitat d’una variable aleatòria discreta X es nota Fx(x) i estàdefinida com:
( ) [ ]( ) [ ]( ) ( )∑∑≤≤
===≤=xx
iXxx
iX
ii
xpxXPxXPxF
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-8
2.3.1 Propietats d’una funció de distribució, Fx (x) de X VAD
èè ( ) 1xF0 x ≤≤ per tot valor real x.
èè ( )xFX és una funció monòtona no decreixent, és a dir,
( ) ( )2121 xFxFxx XX ≤⇒<
èè ( ) 1=
∞+→xFlim X
x .
èè ( ) 0=∞−→
xFlim Xx .
èè Fx(x) de X VAD està definida a tot l’eix real.
èè Fx(x) s’incrementa a salts, ubicats als punts de l’eix d’abcisses valors de la VAD X, Ixx ,,1 K , i
suposen un increment en el valor de la funció (eix d’ordenades) de magnitud ( )iX xp al ixx = ,
( ) ( ) ( )( ) ( ) 1...1
,...,per
1
1111
−=<<=+=
+
−++
IixxxperxFxF
xxxpxFxF
iiixx
Iixixix
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-9
èè Exemple: Sala de 3 PCs
X ( )iX xp ( )xFX
0 0.125 0.125
1 0.375 0.500
2 0.375 0.875
3 0.125 1.000 0 1 2 3
0.125
0.375
pX (xi )
Xi
0 1 2 3
0.5
1
FX (xi )
Xi
0.875
0.125
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-10
2.4 Moments de X VAD
èè Magnituds resum dels trets més característics de X VAD. Similaritat amb els estadístics definits al Temad’Estadística Descriptiva.
2.4.1 Esperança matemàtica de X VAD
[ ] ( )∑=
=Ε=I
iiXi xpxX
1
µ
on x1,...,xI són els valors de X VAD
èè Sumatori dels productes valor de la variable per la seva probabilitat: magnitud de tendència central delsvalors de X VAD.
èè En l’exemple de la Sala amb 3 PCs, l’esperança és :
[ ] ( )∑=
=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=4
1 2
3
8
13
8
32
8
31
8
10
iixi xpxxE
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-11
2.4.2 Esperança de funcions reals de X VAD
Si definim una nova variable Y VAD, a partir d’una funció real g(X) sobre la variable X VAD ,
( ) ( )ji
i
yx
xgYX
aaω
=ω
→→Ω ℑχ
èè L’esperança de Y=g(X) VAD pot calcular-se a partir de la funció de probabilitat de X VAD,
[ ] ( )[ ] ( ) ( )∑=
==I
iiXi xpxgXgEYE
1
èè No confondre: en general,
( )[ ] [ ]( )XgXg Ε≠Ε
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-12
Exemple de la Sala amb 3 PCs:
Y=g(X)=X2, i es vol l’esperança de Y:
èè Opció 1: A desestimar …
[ ] ( )3
(9)p9(4)p4(1)p1(0)p0YE YYYY1
=
⋅+⋅+⋅+⋅== ∑=
J
jjYj ypy
i per calcular cada terme :
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )81
0XP0XP0YP(0)p 2Y =======
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )8
31XP1XP1YP(1)p 2
Y =======
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )8
32XP4XP4YP(4)p 2
Y =======
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )81
3XP9XP9YP(9)p 2Y =======
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-13
èè Opció 2:
[ ] [ ] 38
13
8
32
8
31
8
10)(xPxXE=YE 2222
4
1iiX
22
i=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑
=
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-14
èè Algunes propietats de l’esperança matemàtica de X VAD
[ ] [ ]( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]XhEXgEXhXgE
bXaEbaXE
+=++=+
Hi ha dues funcions que es defineixen a partir de l’esperança matemàtica i que són força importants:
èè El moment d’ordre k de la variable X VAD és,
[ ] ∑=
⋅=I
1iiX
kk )(xpxXEi
És un cas particular de [ ]YΕ on Y= g(X)= Xk.
èè El moment centrat d’ordre k de X VAD, notat com kµ , és,
( )[ ] [ ]( )∑=
⋅−=−=µ1...Ii
iXk
ik
k )(xpXExE(X)XE
És un cas particular de [ ]YΕ on Y= g(X)= (X-E[X])k.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-15
Variança de X VAD : és el moment centrat d’ordre 2 VAR(X)2 =µ ,
[ ] ( )[ ] ( ) ( )∑=
−=−=I
iiXi xpx
1
222 E(X)E(X)XE=XVAR σ .
èè És un valor sempre positiu i si 02 =σ , aleshores X és constant. La desviació típica o estàndard esdefineix com la magnitud σ (arrel quadrada de la variança).
èè La propietat
[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )2
1
222 XEXEXVAR µ−
=−= ∑
=
I
iiXi xpx
permet calcular més fàcilment la variança. Demostració:
[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ][ ][ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )22222
2222
XXXXX2XX
XX2XXXX2XXXXVAR
Ε−Ε=Ε+ΕΕ−Ε=ΕΕ+
+ΕΕ−Ε=Ε+Ε−Ε=Ε−Ε=
èè Estadístic relacionat en estadística descriptiva com a mesura de la dispersió dels valors d’una
característica quantitativa respecte la tendència central dels valors :( )
1n
xx2X
2is −−∑= .
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-16
• Moda: és el valor que més es repeteix.
• Mediana: és el valor que deixa el 50% d’observacions per sota i el 50% per sobre. S’expressa Me i esdefineix com,
Me t.q. P(X≤ Me) = 0.5 i P(X≥ Me) = 0.5.
3020100
30
20
10
0
Profund.
Fre
quen
cy
2010
5443
12
1919
31
20
23
6
Per exemple, aquest histograma representa els valors que pren una variable aleatòria que dóna la profunditatd’un llac dins d’una mostra prefixada. Si considerem que tots els valors són equiprobables, llavors lamediana representa dins el gràfics a la profunditat que deixa el mateix nombre de llacs a dreta i esquerra. Enaquest cas la situaríem sobre 8-9.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-17
Exemple:
èè Llançament de dos daus. Quins valors pot prendre la suma?
Ω= 6·6=36 , X: “VAD Suma dels valors del llençament de 2 daus”.
Cada succés de Ω té probabilitat 1/36.
Xi Ω PX (xi ) Xi Ω PX (xi )
2 1,1 1/36 10 4,65,56,4 3/36
3 1,22,1 2/36 11 5,66,5 2/36
4 1,32,23,1 3/36 12 6,6 1/36
5 1,42,33,24,1 4/36
6 1,52,43,34,25,1 5/36
7 1,62,53,44,35,26,1 6/36
8 2,63,54,45,36,2 5/36
9 3,64,55,46,3 4/36
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6/36
3/36
PX (xi )
Xi
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,02
0,07
0,12
0,17
X
Sum
of N
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-19
• Calculem els moments principals, esperança i variança,
[ ] 7361
12362
11363
10364
9365
8366
7365
6364
5363
4362
3361
2)(xPxXE11
1iiXi =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑
=
[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )2
1
222 XEXEXVAR µ−
=−= ∑=
I
iiXi xpx
Sabem que E[X]=7 i, en conseqüència, E[X]2 = 49, però no sabem quant val E[X2].
[ ]
36
1974
36
112
36
211
36
310
36
49
36
58
36
67
36
56
36
45
36
34
36
23
36
12)(xpxXE
222
2222222211
1iiX
2i
2
=⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑=
[ ] [ ] [ ]( )635
4936
1974XEXEXVAR 22 =−=−=
• Per al càlcul de la mediana sols cal observar en la taula de successos i probabilitat la simetria existent ipodem afirmar d’immediat que la mediana és 7. Veiem també que coincideix amb l’esperança, fenomendegut altre cop a la simetria de la distribució.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-20
• Exemple pel lector:
èè Llençament de dos daus. Quins valors pot prendre la diferència dels resultats en valor absolut?
Y: “VAD Diferència absoluta dels valors del llençament de 2 daus”.
Cada succés de Ω té probabilitat 1/36.
Y Ω pY (yi )
0 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 6/36
1 1,22,12,33,23,44,34,55,45,66,5
10/36
2 1,3 3,12,4 4,23,5 5,34,6 6,4 8/36
3 1,4 4,12,5 5,23,6 6,3 6/36
4 1,5 5,12,6 6,2 4/36
5 1,6 6,1 2/36
3666 =⋅=Ω
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-21
• Calculeu els moments principals, esperança i variança,
[ ] 94.1)(ypyYE6
1iiYi ==⋅= ∑
=
K
[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) 07.294.1YEYEYVAR 26
1
222 =−
=−= ∑=i
iYi ypy
543210
0,25
0,15
0,05
Y
Sum
of N
_Y
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-22
2.5 Vectors Aleatoris Discrets
Un vector aleatori discretrX de dimensió K, )X,...,X,(XX K21=
r, està composat per K Xi ‘s VAD
definides TOTES sobre el mateix conjunt fonamental Ω d’una experiència aleatòria,
èè rX és una funció vectorial de
Kℜ→Ω que assigna a cada succés elemental Ω∈ω un vectorde K valors reals:
( ) ( ) ( )( ) ( )KK xxX KKr
11XX == ωωω
èè El conjunt de valors del vector aleatori discret )X,...,X,(XX K21=r
és un subconjunt discret de (finit oinfinit numerable).
èè Treballarem el cas particular del parell aleatori discret. Y)(X,X =r
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-23
Definim la funció de probabilitat del vector aleatori discret )X,...,X,(XX K21=r
, ( )xpX
rr com una
aplicació del conjunt de vectors imatge de l’aplicació vectorial )X,...,X,(XX K21=r
en l’interval [ ]1,0 ,
( ) [ ]1,0:xp KK
x→ℜ⊂χ
tal que( ) [ ]( ) ( )
( )∑
=
===nxX
nnxPxXPxp
ωω
ωω
èè És a dir, és una funció definida des del conjunt de vectors imatge de l’aplicació vectorial
)X,...,X,(XX K21=r
VECTOR A.D. cap a [0,1], i val la suma de les probabilitats dels diferentssuccessos elementals que tenen una imatge comuna nx
r .
èè En el cas particular d’un parell aleatori discret Y)(X,X =r
,
( ) [ ]1,0:y,xp 22XY →ℜ⊂χ
( ) [ ]( ) ( )( ) ( )∑=ω
ω====ji y,xX
jijiXY PyY,xXPy,xp que tal
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-24
2.5.1 Propietats de ( )xpX
rr
èè ( ) 10 ≤≤ xpX
rr per qualsevol vector real x
r.
èè ( ) 1
1
=∑=
N
nnX
xpr
r
La suma de les probabilitats de tots els vectors ixr
imatge de l’aplicació )X,...,X,(XX K21=r
vectoraleatori discret és la unitat. El conjunt imatge pot ser finit o infinit, genèricament s’han suposat decardinalitat N (nombre de vectors imatge).
Exemple: Y=1 Y=2 Y=3 Y=4
X=1 1/4 1/16 1/16 1/8
X=2 1/16 1/8 1/4 1/16
Cada cel.la conté la probabilitat conjunta d’un parell de valors:
( ) [ ]( )jijiXY yYxXyxp ==Ρ=,
Qüestió:quin és el valor de pxy(0,0) ?
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-25
èè Exemple: Quina és la funció de probabilitat conjunta pel parell definit a partir de l’experiència delllançament simultani de 2 daus: X-“Suma dels valors” i Y-“Diferència absoluta dels valors”.
X/Y 0 1 2 3 4 5 ( )xpX
2 1/36 0 0 0 0 0 1/36
3 0 2/36 0 0 0 0 2/36
4 1/36 2/36 0 0 0 3/36
5 0 2/36 0 2/36 0 0 4/36
6 1/36 0 2/36 0 2/36 0 5/36
7 0 2/36 0 2/36 0 2/36 6/36
8 1/36 0 2/36 0 2/36 0 5/36
9 0 2/36 0 2/36 0 0 4/36
10 1/36 0 2/36 0 0 0 3/36
11 0 2/36 0 0 0 0 2/36
12 1/36 0 0 0 0 0 1/36
( )xpX6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 /36
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-26
2.5.2 Funció de probabilitat marginal
èè Sigui el cas particular d’un parell aleatori discret Y)(X,X =r
,
[ ]( )y=Y,x=X P=y)(x,pXY
A partir de la funció de probabilitat conjunta del parell aleatori discret Y)(X,X =r
es pot determinar la
funció de probabilitat de cadascuna de les variables aleatòries discretes que constitueixen Y)(X,X =r
,denominades funcions de probabilitat marginal de X i de Y,
( )xpX i ( )ypY
( ) [ ]( ) [ ]
[ ]( ) ( )∑ ∑===Ρ=
=
==Ρ==Ρ=
j jjXYj
jjX
yxpyYxX
yYxXxXxp
,
U ( ) [ ]( ) [ ]
[ ]( ) ( )∑ ∑===Ρ=
=
==Ρ==Ρ=
i iiXYi
iiY
yxpyYxX
yYxXyYyp
,
U
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-27
Exemple:
Y=1 Y=2 Y=3 Y=4 ( )xpX
X=1 1/4 1/16 1/16 1/8 1/2
X=2 1/16 1/8 1/4 1/16 1/2
( )ypY5/16 3/16 5/16 3/16 1
èè Cada cel.la conté la probabilitat conjunta d’un parell de valors:
( ) [ ]( )jijiXY yY,xXPy,xp ===
èè La funció de probabilitat marginal de X s’obté sumant les columnes.
( ) [ ]( ) ( )∑ ∑= =
===Ρ=4...1 4...1
,j j
jiXYjiiX yxpyYxXxp
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-28
( ) ( ) [ ]( )21
81
161
161
41
114...1
1 =+++===Ρ== ∑=j
jXX yYXpxp
( ) ( ) [ ]( )21
161
41
81
161
224...1
2 =+++===Ρ== ∑=j
jXX yYXpxp
èè La funció de probabilitat marginal de Y s’obté sumant les files.
èè A partir de la funció de probabilitat conjunta )y,(xp jiXY és senzill obtenir les funcions de probabilitat
marginal )(yp i )(xp jYiX , però com es fa de les marginals a la conjunta? Només es pot fer quan X i Ysón independents.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-29
2.6 Independència i independència mútua entre V.A.D.’s
• Moments de funcions de diverses variables aleatòries discretes: definició i aplicació al cas de la suma dedues variables aleatòries:
E(X+Y) = E(X)+E(Y). Següent pas natural:
E(XY) ??? Només si X i Y són independents E(XY) = E(X) E(Y).
Els moments bàsics (esperança i variança) de funcions simples de vectors aleatoris discrets adoptenexpressions simples i desitjables sota la hipòtesi d’independència estadística de les variables
El concepte d’independència és vital en l’estadística ja que moltes de les tècniques de l’anàlisi multivariantadopten la propietat d’independència com a pre-requisit fonamental
( )p x yXY , ( )p xX ó ( )p yY
sempre
Sii X i Y indep.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-30
Definició Independència de 2 VADs
X i Y variables aleatòries discretes són independents si i només si
p x yXY ( , ) = p xX ( ) . p y x yY ( ) ,∀
Interpretació
X i Y són independents si el coneixement d’una de les variables no aporta informació sobre l’altra variable.
Definició d’Independència Mútua en un Vector Aleatori Discret
Sigui ( )r
LX X X K= 1 , , un vector aleatori discret de dimensió K. Les variables són mutuamentindependents si i només si ,
p x x p x p xX X i i X i X iK K K K1 1 1 1K K K( , , ) ( ) ( )=
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-31
Recordeu que la funció de probabilitat conjunta de dues variable aleatòries discretes sol facilitar-se enforma de taula. Quines implicaicons té la independència de les variables sobre l’aspecte de la taula?
X Y Y y= 1 Y y= 2 ... Y yn= p xX ( )
X x= 1p x y
p x p yXY
X Y
( , )
( ) ( )1 1
1 1
= p x y
p x p yXY
X Y
( , )
( ) ( )1 2
1 2
= ... p x y
p x p yXY n
X Y n
( , )
( ) ( )1
1
= p xX ( )1
... ... ... ... ... ...
X xm= p x y
p x p yXY m
X m Y
( , )
( ) ( )1
1
= p x y
p x p yXY m
X m Y
( , )
( ) ( )2
2
= ... p x y
p x p yXY m n
X m Y n
( , )
( ) ( )
= ( )p xX m
p yY ( ) p yY ( )1 p yY ( )2 ... p yY n( ) 1
èè Les files són linealment dependents entre elles, proporcionals a la probabilitat marginal d’Y. A lavegada, les columnes també són linealment dependents entre elles i proporcionals a la probabilitatmarginal d’X.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-32
2.7 Esperança de funcions sobre vectors aleatoris discrets
èè Sigui un vector a.d. )X,...,X,(XX K21=r
de dimensió K, on Xi són VADs.
èè Sigui una funció definida ℜ→ℜK :h on a cada vector Kx ℜ∈
r li fa correspondre un valor real:
( ) ℜ∈xhr
.
èè L’esperança matemàtica de la funció ℜ→ℜn : h aplicada sobre els vectors imatge de l’aplicació
vector aleatori discret )X,...,X,(XX K21=r
és,
( )[ ] ( )[ ]
∑∑ ∑∑
⋅=
=⋅===
1 2
K1x x
K1X,..,XK1
XK1
)x,..,(xp)x,..,(x...
)x(p)x(X,...,XEXE
Kx
x
h
hhhr
rrrr
èè Per k=2, es té
( )[ ] ( )[ ] ∑∑ ⋅==i j
jiXYii ).y,(xp)y,(xYX,EXE hhhr
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-33
èè Interessen funcions h(X,Y) tals com ± i .
èè Exemple: Sigui la funció Z= h(a,b) = a±b,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YEX(dem)EYXE)YX,(EZE ±=±== h
Demostració:
[ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ]∑ ∑∑∑ ∑ ∑
∑∑ ∑∑∑∑
±=⋅±⋅=
=±⋅=
=⋅±⋅
=⋅±=±
i
i
i
marginal)at probabilit
lasón interns sumatoris (Els,,
,, y) a i-j
emintercanvi i sumatori (Separem ,YXE
YEXEypyxpx
yxpyyxpx
yxpyyxpx
yxpyx
jjYjixi
i j j ijiXYjjiXYi
j j ijiXYjjiXYi
jjiXYji
èè En general :
[ ] conegudesconstantsaon k , ,XEaXaEK
1kkk
K
1kkk ℜ∈⋅=
⋅ ∑∑==
[ ]∑∑==
=
K
1kk
K
1kk XEXE
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-34
èè Exemple: Sigui la funció Z= h(a,b) = a.b,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YEXE )(YXE)YX,(EZE ⋅=⋅== demh si X i Y són independents
Demostració:
[ ] ( ) ( ) )(,. ciaindependènyxpyxYXi j
jiXYji == ∑∑ΕΕ
( ) =⋅⋅⋅= ∑∑ )(yp)(xpyx jYi j
iXji
[ ] [ ]∑∑ ⋅⋅⋅
⋅=j
jYji
iXi YEXE=)(ypy)(xpx
èè En general :
[ ]∏∏==
=
K
1kk
K
1kk XEXE si X1,...,XK mútuament independents.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-35
Exemple: Sigui la funció Z= h(a,b) = [ ]( )2baba ±Ε−±
[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ][ ] [ ]YVARXVARciaIndependèn
YXVARYXYXh
+===±=±Ε−±==
)(
E)YX,(EZE 2
èè En general :
[ ]∑∑==
⋅=
⋅K
1kk
2k
K
1kkk XVaXaV ARAR si X1,...,XK mútuament independents.
èè [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]YXCOVYVARXVAR
YXVARYXYXh
,2
E)YX,(EZE 2
±+==±=±Ε−±==
Demostració:
[ ] ( ) [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )( )[ ][ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )[ ]
[ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ][ ] [ ] [ ]Y,XCOV2YVARXVAR
YEYXEXE2YEYEXEXE
YEYXEX2YEYXEXE
Y-YX-XYXYXYXARV
22
22
22
±+==−−±−+−=
=−−±−+−
=Ε±ΕΕ=±Ε−±Ε=±
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-36
En l’estudi de les propietats de la variança de funcions del parell de variables X i Y, l’expressió de lavariança de la suma requereix d’un nou moment: la covariança entre dues variables.
èè La covariança és una mesura de la relació lineal entre dues variables i té per expressió:
Cov(X,Y) = E((X-E(X)(Y-E(Y)) =
( ( )) ( ( )) ( , )x E X y E Y p x yi j XY i jyx ji
− −∑∑
Definició de Variables No Correlacionades
X i Y són no correlacionades si i només si Cov(X,Y) = 0.
Les propietats principals de la covariança són les següents:
• Cov(X,Y) = E(X.Y) - E(X).E(Y)
• Si X i Y són independents llavors Cov(X,Y) = 0.
• Si 2211 β+α=β+α= YWiXZ llavors Cov Z W Cov X Y( , ) ( , )= α α1 2 .
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-37
èè La segona propietat ilustra el fet que dues variables independents són no correlacionades; no obstant, calnotar que la implicació no és vàlida en el sentit invers:
Si X i Y són no correlacionades /⇒ X i Y independents
Donada la importància dels conceptes es proposa un contraexemple que ilustra la proposició anterior:
Sigui X VAD que pren el rang de valors χ = − −k k, , , , , ,L L1 0 1 , k enterpositiu i la funció de probabilitat és constant per a tots els valors anteriors
p x kX i( ) = +1
2 1. Si es defineix Y X= 2 òbviament X i Y no són
independents, però es pot verificar que són no correlacionades.
A. E(X) = 0
B. E(Y) > 0
C. Cov(X,Y) = E(XY) = E( X 3 ) = 0 i per tant, són no correlacionades.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-38
èè L’última de les propietats ilustrada indica que la magnitut de la covariança depèn de les unitats en què esdefineixen les variables i d’aquí sorgeix la necessitat de definir una mesura de la relació lineal decaràcter adimensional, amb el que arribem a la definició del coeficient de correlació lineal:
( ) ( ) ( ) ( )YVaryXVarambYXCov
YX YXYX
=σ=σσσ
=ρ ,
,
èè Propietats principals del coeficient de correlació lineal ( )ρ X Y, :
• ( )ρ X Y, pren valors en l’interval [ ]−1 1, .
• ( )ρ X Y, > 0 si existeix una relació lineal positiva entre X i Y, és a dir, a valors creixents de Xs’observen valors creixents de Y.
( )ρ X Y, < 0 si existeix una relació lineal negativa entre X i Y, és a dir, a valors creixents de Xs’observen valor decreixents de Y.
( )ρ X Y, = 0 si les variables són no correlacionades.
• Si Y = aX + b llavors ( )ρ X Y, = 1 .
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-39
èè Exemple:
Siguin X i Y VAD i les probabilitats conjuntes són:
Y=1 Y=2 P (x ) X i
X=1 a 1/2-a 1/2
X=2 1/2-a a 1/2
P (y ) Y j 1/2 1/2 1
1. Per a quins valors de a tenim una funció de probabilitat?
Hem de vigilar a donar un valor de a tal que les probabilitats que surten a la taula siguin vàlids per a unafunció de probabilitat (entre 0 i 1), per tant, els valors seran :
0 ≤ a ≤ 1 i 0 ≤ 1/2 - a ≤ 1
En resum, la funció PXY serà una funció de probabilitat si i només si a∈[0, 1/2].
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-40
2. I per a quins valors de a tenim independència entre X i Y?
Els valors pels quals tenim independència seran aquells a∈[0,1/2] tals queP (x , y ) P (x ) P (y ) XY i j X i Y j= ⋅ .
Sabem que P (x ) = P (y ) = X i Y j1
2 . Per tant, seran els valors d’a que compleixin
P (x , y ) =X i j 21
21
4= ⋅1 ; és a dir, els valors que facin alhora a=1/4 i 1/2-a=1/4 ⇒ a=1/4.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-41
èè Exemple:
Siguin dues variables aleatòries discretes X i Y amb probabilitats indicades:
X=-1 X=0 X=1 P (y ) Y j
Y=0 a 2a a 4a
Y=1 3a/2 3a b 9a/2 + b
P (x ) X i 5a/2 5a a+b 1
• Sota quines condicions la taula pot ser ?) y,(xp jiXY
0 ≤ ) y,(xp jiXY ≤ 1 ⇒ 0 ≤ b ≤ 1 i 0 ≤ a ≤ 1/3
1b217 1)y,(xp
i jjiXY =+⇒=∑∑ a
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-42
• Quant valP (x ) X i ?
xi P (x ) X i
-1 5a/2
0 5a
1 a+b=1-15a/2
• Definim les funcions Z=X+2Y i T= Màx (X,Y). Quant valen P (z ) Z i i P (t ) T i ?
y x P (x , y )XY i j zi ti
0 -1 a -1 0
0 0 2a 0 0
0 1 a 1 1
1 -1 3a/2 1 1
1 0 3a 2 1
1 1 b 3 1
zi P (z ) Z i
-1 a0 2a1 5a/22 3a3 1-17a/2
ti P (t ) T i
0 3a1 11a/2+b=1-3a
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-43
• Calculeu E[Z] i E[T].
[ ]E T t P (t ) 0 3a 1(1 3a) 1 3ai T it 1
2
= ⋅ = ⋅ + − = −=
∑
[ ] 3b2
a19b33a2
2
a51a)(zPzZE
2
1tiZi +=⋅+⋅++−=⋅= ∑
=
• Per a quins valors de a són X i Y independents?
Haurem de mirar-ho casella per casella:
P (-1,0) = a = P (-1) P (0) = a 4a 2a = 20a a = 10a a = 0
a = XY X Y
52
2 2110
⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-44
Els dos valors ho compleixen a les altres caselles?
a= 0 : Queden totes les caselles 0 excepte a (1,1) no val.
a=1/10 :
PXY
1/10 2/10 1/10
3/20 3/10 3/20
També dóna :
410
520
20200
110
1020
310⋅ = = ⋅ = 6
10
PX·PY
1/10 2/10 1/10 4/10
3/20 3/10 3/20 6/10
5/20 10/20 5/20
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-45
2.8 Exemples de Variables Aleatòries Discretes
Procés de Bernoulli:
S’anomena un procés de Bernouli a una seqüència de repeticions d’un experiment aleatori simple quecumpleix:
1. Cada experiència aleatòria té dos possibles resultats (cert/fals, èxit/fracàs,..., genèricament A/B):
BA ωω ,=Ω
2. Al llarg de les repeticions, les probabilitats són constants: P(A) = p i P(B)=1-p = q.
3. Hi ha independència estadística dels resultats al llarg de les repeticions.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-46
2.8.1 Llei de Bernoulli
Sigui la variable aleatòria discreta X definida com,
X: Nb d’aparicions de classe A en 1 repetició d’una prova de Bernoulli simple
èè El conjunt fonamental és BA ωω ,=Ω .
èè L’aplicació variable aleatòria X sobre el conjunt fonamental és,
( ) ( ) 1,0 i 0 1 =χ=ω=ω BA XX
èè A partir d’aquí es poden deduir fàcilment les funcions de probabilitat i de distribució.
[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )
[ ]
[ ] ( )pp
ppqppxpx
q
pXp
Xp
iii
A
B
−⋅=
=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅=
==
=====−====
∑=
1XVAR
10)1(1)0(0)(XE
1(1)F
(0)F
P1P(1)
qp)(1P0P(0)
XX
2
1X
X
X
X
X
ωω
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-47
2.8.2 Llei Binomial de paràmetres n i p
Un procés binomial de paràmetres n i p és la repetició de n experiències d’un procés de Bernoulli deparàmetre p.
èè Sigui Yn: Nombre d’aparicions de classe A en la seqüència de n.
èè Notada com p)B(n,Y ≈n .
èè El conjunt fonamental de l’experiència aleatòria repetició del procés de Bernoulli bàsic i comptar lesclasses A és,
nitqYYYYY in ≤≤==ωωω=Ω 0 ,,,,,,, 210321 KK
On iY denota el succés format per tots els successos elementals que gaudeixen de l’aparició de iclasses A en les n repeticions del procés de Bernoulli bàsic.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-48
succès elemental de referència
èè L’aplicació variable aleatòria Yn sobre el conjunt fonamental és,
( ) nkYY kn ,...,2,1,0 i =χ=
Ara bé la cardinalitat de kY és el nombre de combinacions de n elements de dos possibles valors agafats
en grups de k valors i n-k valors: ( )!!
!
knk
nk
n
−=
i totes elles són equiprobables, cadascuna de probabilitat
( ) knk pp −−⋅ 1 , per tant,
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) knk
knk
kn pp
knk
nBBAA
k
nYkY −
−
−⋅−
=
Ρ
=Ρ==Ρ 1
!!
!321K321K
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-49
èè En la terminologia habitual, per ( )pnBX ,≈
[ ]( )
( )
[ ][ ] ( )ppn
pn
pp
k
nkXp
ini
−⋅⋅=⋅=
>
≤≤−
<
=
−
===
∑=
−
1XVAR
XE
nx1
nx01i
n
0x0
(x)F
p)(1pP(k)
x
0iX
k-nkX
:x Enter més gran inferior o igual a x. Ex: 77.3 = .
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-50
La funció binomial cumpleix les propietats:
• X B(n,p) i X B(n,1 p), P(X k) P(X n k)1 2 1 2≈ ≈ − = = = −
• X B(n ,p) i X B(n ,p), X X B(n n ,p)1 1 2 2 1 2 1 2≈ ≈ + ≈ +
A l’hora de mirar distribucions binomials, usarem les taules. De quina manera estan expressades les taules?
)p'n,1,-k-B(n-1=k) P(X
)p'n,1,-k-B(n-)p'n,k,-B(n=k)-n=P(X'=k)= P(X
p-1=p' )p'B(n,X' 0'5>p Si
p)n,B(k,=k)X P(
p)n,1,-B(k-p)n,B(k,=k)= P(X 20...n Si
0'5.a 0'05 de pper i 20,<nper expressat Nomes p)n,B(k,(k) F
p)n,b(k,(k) P p)B(n,X
X
X
≤
≈≤
<==≈
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-51
2.8.3 Llei geomètrica
Sigui un procés de Bernoulli de paràmetre p, aleshores la variable X,
X= nº de repeticions de l’experiència fins assolir un resultat de classe A.
És una variable aleatòria discreta denominada geomètrica de paràmetre p.
èè Notat com X G(p)≈
èè El conjunt fonamental de l’experiència aleatòria repetició del procés de Bernoulli bàsic fins assolir unaclasse A és,
0|,,,,,,, 321 ≥===Ω iABBBABBABAA iKKωωω
èè L’aplicació variable aleatòria X sobre el conjunt fonamental és,
( ) ( ) ,...2,1 i 1 =χ==ω − kABXX Kk
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-52
èè A partir d’aquí es poden deduir fàcilment les funcions de probabilitat i de distribució.
[ ]( ) ( )
[ ][ ] 2p
p1
p1
kk
1i
1iX
1kX
XVAR
XE
q1pp)(1(k)F
pp)(1PP(k)
−
=
−
−
=
=
−=⋅−=
⋅−====
∑kkXp ω
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-53
2.8.4 Llei Binomial Negativa de paràmetres p i r
Sigui un procés de Bernoulli de paràmetre p, aleshores la variable X,
X= nº de repeticions de l’experiència fins assolir r resultats de classe A.
És una variable aleatòria discreta denominada binomial negativa de paràmetres r i p.
èè Notat com p)(r,BX n≈
èè El conjunt fonamental de l’experiència aleatòria repetició del procés de Bernoulli bàsic fins assolir rclasses A és,
1 tq,,,,,,, 111321 −≥==ωωω=Ω ++− riAYAYAYAYAY irrrr KK
On AY i denota el succés composat per tots els successos elementals que gaudeixen de l’aparició der-1 classes A en i repeticions del procés de Bernoulli bàsic i en la repetició i+1 apareix una classe A.
èè L’aplicació variable aleatòria X sobre el conjunt fonamental és,
( ) ,...2,1, i 1 ++=χ=− rrrkAYX k
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-54
èè A partir d’aquí es poden deduir fàcilment les funcions de probabilitat i de distribució d’una variablealeatòria X binomial negativa de paràmetres r i p.
[ ]( ) ( )( )
[ ]
[ ]2
k
riXX
r-kr11-k1-r
1X
2p
p1XVAR
prXE
(i)(k)F
p)(1p1
1pp)(1p
1
1
PP(k)
p
rqr
p
r
k
r
k
AYkXp
r
k
=−
=
=
=
−
−−
=⋅−
−−
=
====
=
−−
−
∑
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-55
2.8.5 Llei de Poisson de paràmetre λλ
Hi ha vegades en què apareixen successos puntuals sobre un suport continu:
1. Arribada de clients a banc (arribada de client: succés puntual, continu: temps),
2. Aparició de taques de corrosió a una tuberia (aparició de taques: succés puntual, continu: espai).
Un procés poissonià es caracteritza per :
èè L’aparició de successos puntuals en un suport continu; de manera que en promig, el número desuccessos per interval (del continu) és un rati constant, λ, nombre de successos per interval.
èè És un procés sense memòria: en conèixer el nombre de successos observats en un interval no ajuda apredir el que apareixeran en l’interval següent
èè Hi ha independència en l’aparició dels successos puntuals.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-56
èè Una variable discreta X de Poisson de paràmetre λ (X ))(λ℘≈ modelitza en la situació anterior,
X: Nombre de successos en un interval .
èè El rang de valors de la VAD X és ∞= ,...,2,1,0χ i λ és el nombre mig de successos per interval.
èè La llei de Poisson constitueix un cas límit de la llei Binomial quan ∞→n i 0→p .
Funció de probabilitat: enter 0 x-ex!
x(x)xp ≥λλ=
Funció de distribució: enterk 0; x(k)X
p(x)x
Fxk0
≥∑=≤≤
[ ] λ=XE i [ ] λ=XVAR
èè Les taules donen Fx(k). Si volem saber )1(kF(k)F(k)p XXX −−= .
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-57
èè En MINITAB:
Avaluació de la funció distribució en el punt k
Avaluació de la funció de probabilitat en el punt k:
MTB> CDF K;> POISSON LAMBDA.
MTB> CDF K;> BINO N P.
MTB> PDF K;> POISSON LAMBDA.
MTB> PDF K;> BINO N P.
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-58
èè Exemple.
Les avaries de la màquina d’un taller són en mitjana 2 avaries per setmana.
• Quina és la probabilitat d’observar el succés A: 0 avaries en una setmana?
[ ]( ) 14.0!0
02)0(p=0=XP=P(A)
tmanaavaries/se 2= )2(X
2X ==
λ℘≈
−e
• I la probabilitat del succés B: Tenir menys de cinc avaries en una setmana?
[ ]( ) [ ]( ) 0'947(4)F4XP5XP)P( taulesX ===≤=<=B
• Quina és la probabilitat del succés C: Tenir menys de 6 avaries en un mes?
Y= # avaries en un mes = 4x2 = 8 avaries/mes
[ ]( ) [ ]( ) 191'0)5(F=5YP=6<YP=P(C)
8='on )'(Y
Y ==≤λλ℘≈
taules
FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD
Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-59
2.8.6 Propietats de la llei de Poisson
èè Propietat aditiva: Suposem X i Y referides a la mateixa longitud d’interval d’un cert continu,
)'(YX indep. YX, )'( Y)(X λλλλ +℘≈+⇒℘≈℘≈
èè Relació Binomial-Poisson: útil pel càlcul de probabilitats relacionades amb variables binomials quan n
s’escapa de les taules i 0→p ( < 0.1 ).
( ) )(per Y se-aproximarot X 0 i gran ,X npppn pnB =℘≈⇒→≈ λ
Exemple: Sigui X≡nombre accidents diaris en 20000 clients. Suposem X≈B(20.000,0.0003).
Prenem el succés A≡més de 10 accidents diaris.
( ) [ ]( ) ?)10(110 =−=>= XFXPAP
Podem aproximar la variable aleatòria. Sigui Y=nombre accidents per dia ≈ ℘(λ=np=20.000·0.0003=6).Així podem calcular
( ) [ ]( ) ( ) 0426.010110 =−=>≅ YFYPAP