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RESOLVER TRINGULOS
OBLICUNGULOS USANDOLAS LEYES DE SENO Y
COSENO
UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES YTRIGONOMTRICAS
G.FG.11.5.1J. Pomales Marzo 2010
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Introduccin
No todos los tringulosposeen un ngulo recto (90)
Aquellos tringulos que noposeen un ngulo recto seles llama:
TRINGULOS
OBLICUNGULOS
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EJEMPLOS DE TRINGULOSOBLICUNGULOS Your subtopic goes here
Ninguno de ellos posee ngulos rectos
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Qu es resolver tringulos?
Calcular la medida de todos sus lados y
ngulos.
Anteriormente utilizamos SOHCAHTOAcuando eran tringulos rectngulos.
Ahora utilizaremos la ley de senos y
cosenos para resolver cualquier tipo detringulos.
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LEY
DELOS
SENO
S
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Qu establece la ley de lossenos? En cualquier tringulo la
relacin de cualquiera de sus
lados al seno del ngulo
opuesto es constante.
As que, esta ley aplica
mayormente cuando
tenemosngulo-lado-ngulo (ALA)
ngulo-ngulo-lado (AAL)
lado-lado-ngulo (LLA)
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Qu establece la ley de lossenos? En cualquier tringulo la
relacin de cualquiera desus lados al seno delngulo opuesto es
constante.
c
Csen
b
Bsen
a
Asen ==
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
==Esta ley se puede utilizar de esta forma
y ofrece el mismo resultado final
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Resuelve el tringulo dela derecha si el mismoposee las siguientesmedidas:
54126180
)7254(180
==
+=
AA
AEstrategia de solucin
Primero buscamos eltercer ngulo (el que falta)
Luego los otros ladosutilizando la ley de lossenos.
Cuidado: No siempre el ngulo que falta ser igual a uno de losque aparezca en el tringulo
Ejemplo 1 para ALA
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Resuelve el tringulo dela derecha si el mismoposee las siguientesmedidas:
x
xsen
sen
senxsensen
x
sen
Csen
c
Asen
a
=
=
=
=
63.17
)54(
)72(15
)54()72(157254
15
=54
Ejemplo 1 para ALA
Estrategia de solucin
Ahora calculamos losotros lados utilizando la
ley de los senos.
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Resuelve el tringulo dela derecha si el mismoposee las siguientesmedidas:
y
ysen
sen
senysensen
y
sen
Bsen
b
Asen
a
=
=
=
=
=
15
)54(
)54(15
)54()54(155454
15
=54
x17
.63m
Ejemplo 1 para ALA
Estrategia de solucin
Ahora calculamos ellado que falta utilizando
la ley de los senos.
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Resuelve el tringulo dela derecha:
=
==
=
=
24
47
)123(23
47
)123(23
)(47)123(23
123
47
23
1 sensen
sensen
sensen
sensen
sen
a
sen
b
Estrategia de solucin
Primero buscamos elngulo con la ley de senos
Segundo, buscamos eltercer ngulo que falta.
Finalmente, calculamos ellado que falta utilizando laley de los senos.
Ejemplo 2 para LLA
47 cm23 cm
c
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Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi
una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son
41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?
125
m
Estrategia de solucin:Como nos dan la
medida de un ladodeberamos conocer el
ngulo en C para luegoutilizar la ley de senos
y encontrar d.
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Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi
una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son
41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?
125
m
1.14
9.165180
)3.1246.41(180)(180
=
=
+=
+=
C
C
C
BAC
Ahora usamos la leyde senos para
encontrar d
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Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi
una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son
41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?
125
m
d
dsensen
sendsen
sen
d
sen
Asen
a
Csen
c
=
=
=
=
66.340
1.14)6.41(125
)1.14()6.41(125
6.411.14
125
El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.
14.1
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LEYDELOS
COSEN
OS
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Qu establece la ley de loscosenos?
Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
+=+=
+=
Estas tres ecuaciones plantean
en esencia lo mismo.
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Estrategia para resolver casosLAL con ley de cosenos
Paso Encuentre Mtodo
1 El lado opuesto al
ngulo dado
Ley de cosenos
2 Segundo ngulo(Encuentre el ngulo opuesto alms corto de los dos lados
dados; siempre ser agudo)
Ley de senos
3 Tercer ngulo 180 menosla suma delos otros 2 ngulos
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Resuelve el tringulode la derecha
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para despejar b.
Ejemplo 4 para LAL
cmb
b
Baccab
Baccab
96.5
4.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(
cos2
cos2
22
22
222
+=+=
+=
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Resuelve el tringulode la derecha
Paso 2:
Utiliza la leyde senos
para
encontrar .Puesto que el lado
c es ms corto que
el lado a, debe
ser agudo.
Ejemplo 4 para LAL
44.35
96.5
)4.32(45.6
)(
)()(
1
=
=
=
=
sensen
b
senc
sen
sencsenb
senb
senc
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Resuelve el tringulode la derecha
Paso 3: Calcular
el tercer ngulo
Ejemplo 4 para LAL
16.112
)44.354.32(180
)(180
+=
+=
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Resuelve el tringulocon a = 27.3 m,b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 1: Utiliza laley de cosenos
para encontrar el
ngulo , queest opuesto al
lado ms largo.
Ejemplo 5 para LLL
49.100
)8.17)(3.27(2
)8.17()3.27()2.35(cos
cos2
cos2
cos2
2221
222
222
222
=
=
=
+=
ab
bac
abbac
abbac
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Resuelve el tringulocon a = 27.3 m,b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 2: Utiliza laley de senos para
encontrar el
ngulo o .Calculemos .
Ejemplo 5 para LLL
69.49
2.35
)49100(3.27
)(
)()(
1
=
=
=
=
.sensen
c
sena
sen
senasenc
senc
sena
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Resuelve el tringulocon a = 27.3 m,b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 3: Calcular eltercer ngulo, .
Ejemplo 5 para LLL
82.29
)69.4949.100(180
)(180
+=+=
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EJERC
ICIOSDE
PRCT
ICA
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Resuelva cada tringulo1) = 73 = 28 c = 42 pies
2) = 122 = 18 b = 12 km
3) = 112 = 19 c = 23 yds
4) = 52 = 47 a = 13 cm
5) Dos faros, A y B (con 10 millas de separacin), se colocan
en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el
lmite de 3 millas. Si el faro A reporta un barco S en elngulo BAS = 37 y el faro B reporta el mismo barco en el
ngulo ABS = 20. A qu distancia est el barco del faro
A? A qu distancia est de la costa? (Suponga que la
costa est a lo largo de la lnea que une a los faros.)
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Resuelva cada tringulo
6) = 72.1 b = 5.32 yds c = 5.03 yds
7) = 120 a = 5.73 mm b = 10.2 mm
8) = 104.5 a = 17.2 pulg c = 11.7 pulg
9) = 57.2 = 112 c = 24.8 m
10) = 38.4 a = 11.5 pulg b = 14 pulg
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Referencia
PRECLCULO,FUNCIONES Y GRFICAS.Barnett, Ziegler, Byleen,McGraw Hill
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