Tema 3(9-10): Aplicacions de la derivada
1. Estudi i representació de funcions2. Problemes d'optimització3. Teorema de Rolle4. Regla de l'Hôpital per a resoldre indeterminacions 0/0
1. Estudi i representació de funcionsRepàs apartat 5. del tema 1a) Domini
Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0
b) Punts de tall amb els eixos
Eix y: Càlcul de f (0)
Verticals en x = c quan:
c) Asímptotes
Horitzontals en y = k quan:
limx→c
f (x)=∞
limx→±∞
f (x)=k
Obliqües en y = mx + n quan: limx→∞
f (x)x
=m=0
limx→∞
[ f (x)−mx ]=n
Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix
d) Monotonia (creix o decreix)
e) Curvatura (còncau o convex)
Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim
Si f''(a) > 0 Mínim
Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa
Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió
Exemples: Polinòmica, Racional, Radical, Exponencial, Logarítmica, a trossosp.247: 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30 i 31 [una cada un, full a part]
2. Problemes d'optimitzacióObjectiu: interpretar les funcions donades / construïdes
a) Problemes amb la funció donada
1r: Fer derivada
2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim)
f ' (t )=10−2t
10−2t=0 ; t=5mesos
3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín
f ' ' (t )=−2
Ex pàg 218: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2
t: temps en mesos
En quin moment és el màxim benefici?
Negatiu, per tant màxim.
El màxim benefici és al cap de 5 mesos p218 E3, 13, 14
b) Problemes en què cal construir la funció
1r: Expressar funció
2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x))
f (x , y)=x2+2y
x · y=125
3r: Seguir amb el procés anterior
f ' (x)=2x−250x2
Ex pàg 219: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de talmanera que el valor del quadrat del primer més el doble del segonsigui mínim
condició
Els nombres són el 5 i el 25.
p219 E4, 15, 16, 67-82
funció
y=125x f ( x)=x2+2 · 125
x
2x−250x2 =0 ; x=5
f ' ' (x)=2−500x3 f ' ' (5)=6>0
3. Teorema de RolleSi f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b), i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim.
Michel Rolle"per força la funció ha de fer un retorn"
p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88
4. Regla de l'Hôpital
Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0.
p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107
limx→c
f (x)g (x)
=limx→c
f ' (x)g ' (x)
limx→−1
x2+4x+3x3+1
=00
Exemple:
limx→−1
x2+4x+3x3+1
= limx→−1
2x+43x2 =2
3
f ' (x)=2x+4
g ' (x)=3x2
Top Related