3.1 Representación de la posición.
• Movimiento Mecánico. Bases para su estudio.
• Métodos vectorial, de coordenadas y natural.
• Magnitudes cinemáticas.
• Movimiento unidimensional y tridimensional.
• Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme.
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Movimiento mecánico
Mecánica de los cuerpos
macroscópicos
Cinética: Rama de laMecánica que sededica a investigar lascausas que provocan elmovimiento mecánico.
Cinemática: Ramade la Mecánica quese dedica a ladescripción delmovimientomecánico sininteresarse por lascausas que loprovocan.
Cinemática de los manipuladores: Propiedades geométricas y temporales del movimiento de brazos articulados
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Como inicio...
• Recuerda que es el producto interno
X ∙ � = � � � = � � � � � = � � � � +
�
� � �
� � � � + + � � � �
� ∙ � = � � cos �
cos � =� ∙ �
� �
Practicar con el dot
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Trayectorias punto a punto
En este tipo de trayectorias cada articulación evoluciona desdesu posición inicial hasta su posición final sin hacer ningún tipo deconsideración sobre el estado o evolución del resto de lasarticulaciones. Se pueden distinguir dos casos:
• Movimiento eje a eje sólo se mueve un eje cada vez, una vezque halla alcanzado su posición lo hará el siguiente. Ofrece unmayor tiempo de ciclo a cambio de un menor consumo depotencia.
• Movimiento simultáneo de ejes todas las articulacionescomienzan a moverse simultáneamente, acabando sumovimiento cada una en un instante diferente. El tiempo totalnecesario coincide con el del eje mas lento, pudiéndose dar lacircunstancia de que el resto de los actuadores hallan forzadosu movimiento particular par finalmente tener que esperar ala más lenta
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Además, se establece que ...
• Cinemática Directa…
q1
q2
q3
X0
Y0
Z0
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q2
Link 2
q1
q3
Link 1
Cinemática Directa…
Link 3
????
X1,Y1,Z1 =???
X2,Y2,Z2 =???
q1(t)
q2(t)
q3(t)
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Posición y Orientación de un Cuerpo en el Espacio...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
O1
O1
Posición del cuerpo
O1x
O1y
O1z
O1 =
Orientación del cuerpo
i1 = i1x io + i1y jo + i1z ko
j1 = j1x io + j1y jo + j1z ko
k1 = k1x io + k1y jo + k1z ko
i1x = i1 • io
i1y = i1 • jo
i1z = i1 • ko
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P0 = P0x io + P0y jo + P0z k0
Visto desde el SC0
Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
Pox = P0 • io
Pox = P1 • io = P1x i1 • io + P1y j1 • io + P1z k1 • io
P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1
Pero visto desde el SC1
Poy = P1 • jo = P1x i1 • jo + P1y j1 • jo + P1z k1 • jo
Poz = P1 • ko = P1x i1 • ko + P1y j1 • ko + P1z k1 • ko
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Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1
Pero visto desde el SC1
P0 = P0x io + P0y jo + P0z k0
Visto desde el SC0
Pox i1 • io j1 • io k1 • io
Poy
Poz
i1 • jo j1 • jo k1 • jo
i1 • ko j1 • ko k1 • ko
P1x
P1y
P1z
=
Matricialmente tenemos...
Po = R01
* P1
Visto desde el SC0
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Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1
Pero visto desde el SC1
P0 = P0x io + P0y jo + P0z k0
Visto desde el SC0
Pox i1 • io j1 • io k1 • io
Poy
Poz
i1 • jo j1 • jo k1 • jo
i1 • ko j1 • ko k1 • ko
P1x
P1y
P1z
=
Matricialmente tenemos...
Visto desde el SC1
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Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
Así, la Matriz viene a ser...
Pox
i1 j1 k1Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
=
Poxi0
j0
k0
Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
=
T
T
T
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Consideremos solo Orientación...
Esta Matriz tiene algunas características...
Pox
i1 j1 k1Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
=
1. Los vectores columna de la matriz son ortogonales...
2. Los vectores columna tienen norma unitaria
3. La matriz R01 es ortogonal... (RT*R=I) y det(R0
1)=1
(R01 )-1= (R0
1)T R10 = (R0
1)T
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Consideremos solo Orientación...
1. Representa una matriz de transformación de coordenadas entre dos S.C.
R01 Matriz de Rotación
Esta Matriz tiene varias interpretaciones...
Po = R01
* P1
X0
Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
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Consideremos solo Orientación...
2.- Representa la orientación de un sistema de coordenadas...
R01 Matriz de Rotación
Esta Matriz tiene varias interpretaciones...
X0
Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
Pox
i1 j1 k1
Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
=
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Consideremos solo Orientación...
3.- Representa un operador matricial de rotación vectorial...
R01 Matriz de Rotación
Esta Matriz tiene varias interpretaciones...
Pox
Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
= R01
α
X
Y
Z
P1
P0
“...La ortogonalidad de la matriz mantiene la norma del vector...”
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X0Z0
Y0
Rotaciones elementales...
i1
j1
k1α
α
RZ, α=
cos(α) −sen (α) 0
sen(α) cos (α) 0
0 0 1
RX, α=
1 0 0
0 cos(α) −sen (α)
0 sen(α) cos (α)
RY, α=
cos(α) 0 sen (α)
0 1 0
-sen(α) 0 cos (α)
“Sentido Positivo de las rotaciones”Z0
Y0X0 X1
Y1
Z1
Y0 Z0
X0
X1
Z1
Y1
j1
k1
i1
k1
i1
j1
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Composición de Matrices de Rotación...
X0Y0
Z0
P
j0
k0
i0
P0
i1
k1
j1
P1 P2
i2
j2
k2
P1 = R12
* P2
Po = R01
* P1
Estos puntos están relacionados a través de matrices de rotación…
Po = R01
* R12
* P2= R02
* P2
R0n = R0
1*R12*…*Rn-1
n
Ley de Composición de Rotaciones
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Composición de Matrices de Rotación...
X0
Y0
Z0 Z0
X1
Y1
Z1
X0
Y0
Z0
Y0
X1
Y1
Z1
R02 = RZ,90*RY,90
R02 = RY,90*RZ,90
≠
Ejemplo… Rotaciones elementales R02 = R0
1 R12
R01= RZ,90
R12= RY,90
R02 = R0
1 R12
R01= RY,90
R12= RZ,90
Y1
X2
Z2
Y2
X2
Z2
Y2
Z1
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Composición de Matrices de Rotación...
X0
Y0
Z0
Y0
X1
Y1
Z1R0
2 = RY,90*RZ,90
Reinterpretemos la segunda operación …
Z2
X2
Y2Z0
Como operaciones sobre el SC base …
= R02 = RZ,90*RY,90
Como operaciones sobre el SC actual o móvil …
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Composición de Matrices de Rotación...
R02 = R0
1 *R12
Ejemplo… Rotaciones sobre el sistema base
R01= RY, ϕ
R12= ?? ≠ RY,90
X0
Y0
Z0
X1
Y1
Z1
ϕ
ϕ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
θ
X2
Y2
Z2
θ
“debemos determinar R12”
Y1
Z1
X1
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Composición de Matrices de Rotación...
R02 = R0
1 *R12
Usemos rotaciones elementales
R12= RY, -ϕ * RZ, θ * RY, ϕ
X0
Y0
Z0
X1
Y1
Z1
ϕ ϕ
ϕ
θ
X2
Y2
Z2
θ
ϕ
Z
ϕ
X
θ
X
Y
Z
ϕ
Y
X
ZR0
2= RY, ϕ * RY, -ϕ * RZ, θ * RY, ϕ
R02= RZ, θ * RY, ϕ
1RA2DAR0
n = R1*R2*…*Rn
Ley de Composición de Rotaciones Elementales
R0n = Rn*…R2*R1
Rotaciones Sistema Móvil
Rotaciones Sistema Base
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
Recordando...
X0
Y0
Z0
X1
Y1
Z1
ϕ ϕ
ϕ
θ
X2
Y2
Z2
θ
ϕ
Z
ϕ
X
θ
X
Y
Z
ϕ
Y
X
Z
Alineamos uno de los ejes con el eje de giro…...
Eje de rotación...
Rotamos sobre el eje de giro…
Desalineamos…Devolvemos la alineación inicial…
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
X0
Y0
Z0
α
β
φ
rx
ry
rzRr, φ = RZ, α * RY, β * RZ, φ * RY, -β * RZ, -α
Alinear Giro nos devolvemos
1RA 2DA
3RA
4TA 5TA
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
X0
Y0
Z0
α
β
φ
rx
ry
rz
Rr, φ = RZ, α * RY, β * RZ, φ * RY, -β * RZ, -α
Son matrices elementales de rotación...
( )22yx
y
rr
rsen
+=α ( )
22cos
yx
x
rr
r
+=α
( ) 22yx rrsen +=β ( ) zr=βcos
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
θ+θ⋅+⋅⋅θ⋅−⋅⋅
θ⋅−⋅⋅θ+θ⋅+⋅⋅
θ⋅+⋅⋅θ⋅−⋅⋅θ+
=θ
cosArsenrArrsenrArr
senrArrcosArsenrArr
senrArrsenrArrcosAr
R
zxzyyzx
xzyyzyx
yzxzyxx
,r
2
2
2
( )θ−= cosAdonde 1K
Toda matriz tiene un “eje-ángulo” equivalente
=
333231
232221
131211
rrr
rrr
rrr
R
−++=θ −
2
13322111 rrr
cos
( )
−
−
−
θ=
1221
3113
2332
2
1
rr
rr
rr
senrr
( )θ+θ−=θ+=++
θ+++=++
coscoscosArrr
cosArrrrrrzyx
313
3
332211
222
332211
( )θ=−
θ−−θ+=−
senrrr
senrArrsenrArrrr
x
xzyxzy
22332
2332
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
Ejemplo…
=
001
100
010
R
−++= −
2
1cos 3322111 rrr
θ
( )
−
−
−
θ=
1221
3113
2332
2
1
rr
rr
rr
senrr
011 1202
1cos
2
1000cos ±=
−=
−++= −−θ
( )
−
−
−
=
−
−
−
=
=
1
1
1
577,0
10
10
10
1202
1
120
senrr
θ
X0
Z0
120
rx
ry
rz
X1
Y1
Z1Y0
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Representación mínima de la orientación…
Requerimos sólo de tres parámetros independientes…
“La matriz de rotación da una descripción redundante”
Angulos de EulerSe generan a partír de 3 rotaciones elementales
X
Y
Z
X-YX-Z
Y-XY-Z
Z-YZ-X
X-Y-XX-Y-Z X-Z-X
X-Z-YY-X-YY-X-Z Y-Z-X
Y-Z-YZ-Y-XZ-Y-Z Z-X-Y
Z-X-Z
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Angulos de Euler
X0
Y0
Z0
X1
Z1
φ
Y1
φ
φ
Y2
X2
Z2
θ
θθϕ
Z3
X3
Y3
ϕ
ϕ
R01= RZ,Φ
R12= RY, θ R0
2= RZ,Φ RY, θ
R23= RZ,Ψ
R03= RZ,Φ RY, θ RZ,Ψ =Reuler
θψθψθ−
θφψφ+ψθφ−ψφ+ψθφ
θφψφ−ψθφ−ψφ−ψθφ
=
csscs
ssccscsscccs
sccssccssccc
Reuler
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Angulos de Roll, Pitch y Yaw
X0
Y0
Z0
X1
Z1
ψY1
ψ
Ψ
R01= RX, Ψ
R02= RY,θ RX, Ψ
R03= RZ,Φ RY, θ RX,Ψ =RRPY
ψθψθθ−
ψφ−ψθφψφ+ψθφθφ
ψφ+ψθφψφ−ψθφθφ
=
ccscs
sccssccssscs
sscsccsssccc
RRPY
Se generan a partír de 3 rotaciones elementales sobre el sistema base…
Y2
X2
Z2
θ θθ
θ
φZ3
X3
Y3
φ
φ
φ
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P1
Consideremos también la traslación del objeto rígido
O10 P0
110
100 PROP
rrr∗+=
Matricialmente…
=
× 1
P
10
OR
1
P 1
31
10
100
r
r
rr
110
00 PA
1
PP 13
rr
r=
= ×
“representación homogenea”“Matriz de transformación homogenea”
110
01
10
010
01 PRRORPR
rrr∗+=
1001
10
10
OPP RRTT rrr
−=
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Transformaciones Homogéneas
=
× 1
P
10
OR
1
P 1
31
10
100
r
r
rr
“Matriz de Rotación” “Vector de Traslación”
“Vector de Perspectiva” “Escala”
=
×
−1101
0
31
1
0110
10
POP RRTT r
r
rr
“La trasformación inversa”
(A01)
T≠ A1
0
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
Consideremos algunas traslaciones elementales
d
==
1000
d100
0010
0001
TrasA dz10 ,
X1Y1
Z1
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
Consideremos algunas traslaciones elementales
X1Y1
Z1
d
==
1000
0100
0010
d001
TrasA dx10 ,
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
Consideremos algunas traslaciones elementales
X1Y1
Z1
==
1000
0100
d010
0001
TrasA dy10 ,
d
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
Consideremos varios sistemas…
P1
P0
1
1
0
1
00 PROPrrr
∗+=
2
2
11
1
1
00
PAP
PAPrr
rr
=
=P2
O10
O12
2
2
1
2
11 PROPrrr
∗+=
2
2
02
2
1
1
01
1
00 PAPAAPAPrrrr
===
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