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Cálculo MA459
CÁLCULO 1
Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS
Clase 5.1 Extremos relativos
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La figura muestra la gráfica del Ingreso Marginal ( Im ensoles !or cientos de unidades de las ventas de una em!resa."Cuántas unidades de#e vender !ara o!timi$ar el ingreso%
q
Im
&'eflexin)
C*LCUL+ ,
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-unciones crecientes decrecientes
/e dice 0ue f es creciente en I si !ara dos n2meros cuales0uiera x1 x, en I donde x1 x, se
cum!le 0ue f ( x1 f ( x,.
C*LCUL+ 3
/ea f una funcin e I un intervalo.
/e dice 0ue f es decreciente en I
si !ara dos n2meros cuales0uiera x1 x, en I donde x1 x, secum!le 0ue f ( x1 4 f ( x,.
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Criterio !ara funcin creciente decreciente
/i f ( x 6 !ara todo x en 7a; b8entonces f es decreciente en 7a; b8.
/i f ( x 4 6 !ara todo x en 7a; b8entonces f es creciente en 7a; b8.
C*LCUL+ 9
/ea f diferencia#le en el intervalo 7a b8.
;or e 1,.
?l derivar tenemos: f ´ ( x = ,( x > 1. f ´ ( x 4 6 !ara x 41 luego f es creciente en 71 @∞8
f ´ ( x 6 !ara x 1 entonces f es decreciente en 7>∞ 18
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Extremos relativos de una funcin
Una funcin f tiene un máximo relativo en x6 si existe un
intervalo a#ierto 0ue contenga a x6 so#re el cual f ( x6 4 f ( x !ara todo x en el intervalo. El máximo relativo es f ( x6.
C*LCUL+ 5
Una funcin f tiene un mínimo relativo en x6 si existe unintervalo a#ierto 0ue contenga a x
6
so#re el cual f ( x6
f ( x !ara todo x en el intervalo. El mAnimo relativo es f ( x6.
6ba c d e x
y
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Extremos a#solutos de una funcin
Una funcin f tiene un máximo absoluto en x6 si f ( x6 4 f ( x
!ara todo x en el dominio de f . El máximo a#soluto es f ( x6.
C*LCUL+ B
Una funcin f tiene un mínimo absoluto en x6 si f ( x6 f ( x !ara todo x en el dominio de f . El mAnimo a#soluto es f ( x
6
.
6ba c d e x
y
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Máximos relativos en: x = x =
MAnimos relativos en: x = x =
Extremos relativos
6ba c d e x
y
6 e
b c
C*LCUL+
/i f tiene un extremo relativo en x6 entonces f ( x6 = 6
o f ( x6 no existe.Lo contrario no sucede es decir 0ue f ( x6 = 6 no
garanti$a 0ue f ( x6 sea un extremo relativo.
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Dalor crAtico !unto crAtico
/i x6 está en el dominio de f f ( x6 = 6 o f ( x6 no
está definida entonces x6 se denomina valor crítico de f ./i x6 es un valor crAtico entonces: el !unto ( x6 f ( x6 sedenomina punto crítico.
;or e,
33
,5(
x= x f
33
,
xno existe en x = 6
vc: x = >, !c: (>, >1 vc: x = 6 !c: (6 6
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/ea f continua en un intervalo a#ierto I f diferencia#leen I exce!to !osi#lemente en el valor crAtico x6∈ I .
La funcin f tiene un máximo relativo en x
6si f ′( x 4 6 a la i$0uierda de x
6
f ′( x 6 a la derecFa de x6.
Criterio de la 1ra derivada !ara extremos relativos
C*LCUL+ G
La funcin f tiene un mínimo relativo en x6 si f ′( x 6 a la i$0uierda de x6
f ′( x 4 6 a la derecFa de x6.
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E
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E
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E
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Jrace la gráfica de una funcin 0ue cum!la con lassiguientes condiciones:
Kominio: '
f (6 = f (1 = f (, = 6 f ´(x) < 6 cuando x < 6 x >, f ( x 4 6 cuando 6 x 1 1 x ,
13
E
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Jrace la gráfica de una funcin 0ue cum!la con las
siguientes condiciones:
Kominio: ' > 9 f (6 =1 f (>3 = >, f (, = 3 f (6 = f (>3 = f (, = 6 f ( x 6 cuando x >3 , x 9 f ( x 4 6 cuando >3 x < 6 6 x , x 4 9
C*LCUL+ 19
E
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