1
4. Funciones básicas
2
Función Exponencial
Sea z = x+iy, definimos la función exponencial como:
)sin(cos yiyee xz
¿Por qué?
(1) ez se reduce a ex cuando z es real (cuando y = 0). (2) ez es una función entera (es analítica en todo punto).
(3) Su derivada coincide con la función misma, como en el caso de la exponencial real.
eiee i )sin(cos1
332/3 )2/sin2/(cos ieiee i
3
(2) Veamos que ez es una función entera, es decir analítica para todo z:
Tenemos: u(x,y) = ex cos y ; v(x,y) = ex sin ycuyas derivadas parciales son continuas para todo (x,y) y
ux = ex cos y = vy uy = -ex sin y = -vx
es decir, cumplen las las ECR, para todo (x,y).(3) Su derivada es:
zxxz
eyieyexv
ixu
dzde
sincos
4
Podríamos haber abordado la definición de la siguiente manera:Recordando que la función exponencial real se determina por la ecuación diferencial f'(x) = f(x) con f(0)=1, nos preguntamos si existe una solución analítica a:f'(z) = f(z) con f(z)=1. Si la solución existe, coincidirá con ex cuando z = x.
0)0(,1)0(),()(
vuzfivux
vi
x
u
dz
zdf
),(),,( yxvx
vyxu
x
u
Supongamos como soluciones (separación de variables):
0)0(,)(),(;1)0(,)(),( qeyqyxvpeypyxu xx
5
)()('
)()('
ypyq
yqyp
Todas las soluciones son de la forma:con A y B constantes. Como:
0)0(,)(),(;1)0(,)(),( qeyqyxvpeypyxu xx
Derivemos ambas ecuaciones respecto a y y apliquemos CR:
xxy
x
xxy
x
eypuveyq
eyqvueyp
)()('
)()('
0)()('')()(')(''
)()(')(''
yyyqypyq
ypyqyp
yByA sincos
yyqyyp
qppq
sin)(;cos)(
0)0()0(';1)0()0('
yieyezf xx sincos)(
6
O bien podríamos haber alcanzado la definición a través de series...
7
Propiedades de la función exponencial
21
21
21
21
212121
)sin(cos)sin(cos
)]sincoscos(sin
)sinsincos[(cos
)]sin()[cos(
2211
2121
2121
2121
)()(
zz
xx
xx
xx
yyixxzz
ee
yiyeyiye
yyyyi
yyyye
yyiyye
ee
2121 zzzz eee (1)
8
(2) Resolvamos ez = 1:
Igualando la parte imaginaria: ex sin y = 0 y = n (n = 0,1,2.....).Igualando la parte real:1 = ex cos y = ex cos ( 2n) = ex x=0. z = 2n i (n = 0,1,2.....).En particular e0 = 1.
(3) (ez)-1 = e-z
Observemos que 1 = e0 = ez-z = ez e-z.
(4) (ez)n = enz , con n entero.Para n=0,1 la igualdad es cierta por definición.Para n > 1, aplicamos ez+w = ez ew e inducción.Para n < -1, (ez)n = [(ez)-1] –n = (e-z) –n = enz.
9
10
y
x
-
-3
3
u
v
(5) Observemos que ez 0 z. El rango de la función exponencial es todo el plano w, excepto 0, C - {0}.
(7) De modo que ez es periódica con periodo 2 i ez+ 2 i = ez z
(6) arg ez = y 2n (n = 0,1,2...).
Así que podemos dividir el plano z en bandas periódicas infinitas de ancho 2. De modo que la imagen de cada banda llena la totalidad del plano w (excepto w = 0). La banda - < y se denomina región fundamental o principal de ez.
11
yeRxyyxr
yiyeezf
x
xz
,)/arctan(,
)sin(cos)(
22
Las líneas y = c e y = d se transforman en los rayos respectivamente (a excepción del origen). Las línea x = a y x = b se transforma en los círculos de radio R = a, b respectivamente. Combinando ambos hechos, observa como se transforma el rectángulo.
dc,
12
f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y)Esquema de color dependiente del valor real
Dominio Rango
13
f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y)Esquema de color dependiente del valor imaginario
Dominio Rango
http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html
14
The complex exponential maps the infinite open strip bounded by the horizontal lines through ±πi one-to-one onto the plane minus the negative real axis. The lines of constant real part are mapped to circles, and lines of constant imaginary part to rays from the origin. In the animation we view a rectangle in the strip rather than the entire strip, so the region covered is an annulus minus the negative real axis. The inner boundary of the annulus is so close to the origin as to be barely visible. We also make the strip a bit thinner than 2π, so that the annulus does not quite close up.
15
ez = ex (cos y + i sen y) (1.1)
16
17
18
19
20
21
22
23
yiyee yiz sincos
sincos iei
)sin(cos yiye
eex
yixz
(8) Fórmula de Euler
Cuando z es imaginario puro (x = 0):
24
i
k
k
nknkkkk
kk
n
n
eif
ik
keiiid
df
eif
eeeee
efef
nff
fff
nini
iii
sincos)(
)sin(coscossin
sincos)(
)()(
)()]([
)()()(
)sin()cos(sincos
)sin()cos(sincossincos
)(
¿Cómo llegó Euler a esta fórmula? (Series de potencias ...)
25
01ie
sincos iei
(9) “The most remarkable fórmula in math”(Richard Feynman)
nos proporciona la siguiente identidad:
Observa que parala fórmula de Euler,
26
From Gianluca Gorni's web site
27
Ejercicio: Hallar todas las soluciones de ez = 3+4i
Solución: Igualando módulos |ez| = ex = 5x = ln(5) = 1,609. Igualando partes real e imaginaria:
ex cos y = 3; ex sin y = 4
cos y = 0,6; sin y = 0,8 y = 0,927 2n
z = 1,609 + (0,927 2n) i (n = 0,1,2.....)
(10) |eiy| = |cos y + i sin y| = (cos2y + sin2y) = 1
(11) |ez| = |ex+iy|= |ex| |eiy|= |ex|= ex > 0
4222424245.04 5.0sin5.0cos5.0sin5.0cos eeeee i
28
)sin(cos irz z
y
x
r
iei sincos
irez
(12) Las formas exponencial y trigonométrica
Recuerda que la forma polar para un número complejo es
La fórmula de Euler nos dice que
Formaexponencialde un número complejo
29
i
i
rez
rez
4/iez
4/iez
(13) La función exponencial y el conjugado
iez ¿Qué números complejos satisfacen la expresión ?
El módulo es 1 y puede tomar cualquier valor, de modo que satisfacen la expresión todos los números complejos sobre el círculo unidad.
x
y
z
iez
iez 21
Todos los números complejos sobre un círculo de radio 2, centrado en z0=1
¿Qué números complejos satisfacen la expresión ?
x
y
2
iez 21
z0=1
30
(14) Producto y división en forma exponencialEs sencillo multiplicar y dividir en forma exponencial. Por ejemplo, dividamos:
i
i
ei
ei4/
2/
822
ii
i
ee
e
i
i )4/()4/(
)2/(
8
1
8
1
22
2
1
22
11
i
i
erz
erz
)(
2
1
2
1
2
1
)(212121
21
2
1
2121
ii
i
itii
er
r
er
er
z
z
errererzzEn general:
31
32
Aplicación: Fasores
Muchas señales pueden ser representadas como senoides:
t
)sin()( tatX
a
2
33
tiaetitatz )sin()cos()(
t2
AA
BB
C
D
C
D
A
B
C
)(tz
t
Representación de un número complejo en forma de fasor
34
)()]sin()[cos()(' tiAetitAtz
t
2
AA
BB
C
D
C
D
A
B
C
)(tz
t
Cambio de Fase
tiAetitAtz )sin()cos()(
)(' tz
35
Corriente Alterna
)cos()( tIti
Resistencia R
)cos(v(t) tIR
2
πcosv(t) t
C
I
2
πcosv(t) tLI
tjeRI Rev(t)
tje
C
jI
Rev(t)
tjeLjI Rev(t)
La tensión está en fase con la corriente
Inductancia L
La tensión adelanta a la corriente en
La tensión se retrasa respecto a la corriente en 2
Circuitos
2
36
tj
tjtj
eRItIRtR
eRRtjtReR
tIRtv
Re)cos( v(t)Por tanto.cos
e que Así .)sin()cos( Pero
)cos()(
tjtj eC
jIje
C
It
C
I
ttC
It
C
I
ReRe)sin(
2
πsin)sin(
2
πcos)cos(
2
πcosv(t)
tjtj LejIjeLItLI
ttLItLI
ReRe)sin(
2
πsin)sin(
2
πcos)cos(
2
πcosv(t)
37
Lj
C
jR
Z
Definimos la impedancia compleja Z como
Si definimos la tensión compleja como V = IZ
tjeIZ Re v(t)o
tjtjtj eLjIeC
jIeRI
Rev(t)Rev(t)Re v(t)Como
tjeZI Rev(t)
Cada una de esas fórmulas pueden ser escritas como
tjeV Rev(t) podemos escribirlo en la forma
ResistenciaCapacitanciaInductancia
38
ie
Podemos escribir:
sincos,sincos ieie ii
sin2
,cos2
i
eeee iiii
x
y
ie
ie
cos2
Funciones trigonométricasA partir de la fórmula de Euler:
39
Whittaker & Watson,A Course of
Modern Analysis,Fourth edition 1927
(Un paréntesis)
40
Observa que los autores suponen que el lector está familiarizado con la siguiente identidad trigonométrica:
1
122
sin sin sin n
n nn n n
122sin 2sin 2sin n
n n n n
que es equivalente a:
Esta identidad trigonométrica es equivalente al siguiente teorema geométrico:
sin
( k
/n )
n 1n
n
kn
1
2 si
n (
k/n
)
n 1n
n
kn
1
Si equiespaciamos n+1 puntos alrededor del círculo unidad y trazamos un conjuntos de cuerdas paralelas, entonces el producto de las longitudes dobladas de las n-1 cuerdas es n.
122sin 2sin 2sin n
n n n n
Reordenando las cuerdas, introduciendo números complejos y usando la idea de que el valor absoluto y la suma de números complejos corresponde a la adición de vectores. La longitud de la k-ésima cuerda será:
2 si
n (
k/n
) n 1n
n
kn
1
2k ine
2 1n i
ne
2 ine
1
ine
2 sin ( k/n )
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 11 1 1 1 1 1i n i n n i n i n i n n i ne e e e e e
nikenk /21)/sin(2
Y el producto de la longitud de las n-1 cuerdas será:
Introduzcamos un número complejo arbitrario z y definamos la función:
2k ine
2 1n i
ne
2 ine
1
ine
2 sin ( k/n )
2 1 2 2 2 1i n i n n i ng z z e z e z e
2k ine
2 1n i
ne
2 ine
1
z
2 1 2 2 2 11 1 1 1 .i n i n n i ng e e e Evaluemos:
Para ello observemos que en los factores aparecen los n números: 2 1 2 2 2 3 2 11, , , , ,i n i n i n n i ne e e e , que son las raíces enésimas de la unidad.
2 1 2 2 2 11 1 i n i n n i nnz z z e z e z e
2k ine
2 1n i
ne
2 ine
1
ine
2 sin ( k/n )
2k ine
2 1n i
ne
2 ine
1
z
2 1 2 2 2 3 2 11, , , , , ,i n i n i n n i ne e e e
Las n raíces de la unidad son solución de la ecuación:Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación polinómica 1 0nz tiene exactamente n raíces, que son: Así el polinomio 1nz puede factorizarse únicamente como:
1z g z
Como, además:
1 2 3 11 1 1n n n nz z z z z z 1z g z
Así: 1 2 3 1n n ng z z z z z y 1 .g n
2 1 2 2 2 1the product of the lengths of the chords 1 1 1i n i n n i ne e e 1g n
Finalmente tenemos:
1nz
Longitud del producto de las n-1 cuerdas
45
Si 1 2 3 nC C C C
1 21nnx PC PC PC
es un n-ógono regular inscrito en un círculo de radio unidad centradoen O y P el punto sobre 1OC a distancia x de O, entonces
Teorema de Cotes (1716)
1C
kC3C
O
2C
nC
1nC
Px
Nota: Cotes no publicó una prueba de este teorema, quizás porque el uso de los números complejos no eran todavía considerado una manera respetable de probar un teorema en geometría.
Roger Cotes (1682 –1716)
46
A partir de la observación anterior, resulta natural definir las funciones seno y coseno de una variable compleja z por medio de las siguientes expresiones:
iee
zee
zzizizizi
2sin,
2cos
Funciones trigonométricas de variable compleja
Observa que en variable compleja las funciones trigonométricas y exponencial están íntimamente relacionadas, cosa que no ocurre en variable real.
zz sin)(cosdzd zz cos)(sin
dzd
Con estas definiciones:
(1) cos z (sin z) se reduce a cos x (sin x) cuando z es real.
(2) cos z y sin z son funciones enteras (analíticas en todo punto).(3) Sus derivadas coinciden con sus equivalentes en variable real.
47
Ejemplo: Resolver cos z = 5.
Solución: Aplicamos la definición en exponenciales del coseno:
cos z = [eiz + e-iz]/2 = 5
eiz + e-iz – 10 = 0; multiplicando la ecuación por eiz
ei2z –10 eiz + 1 = 0; Haciendo el cambio de variable t = eiz
t = eiz = 5 (25-1) = 9.899 o 0.101
z = 2n 2.292 i (n=0,1,2....)
e-y = 9.899 ó 0.101 y = 2.292eix = 1 x = 2n (n=0,1,2....)
48
Two-to-one coverings of a disk by the complex cosine restricted to a rectangle of width 2π and height 2 centered at the origin.
49
Two-to-one coverings of a disk by the complex sine restricted to a rectangle of width 2π and height 2 centered at the origin.
50
El resto de funciones trigonométricas se definen en relación a las funciones seno y coseno mediante las relaciones conocidas:
zz
zz
z
zz
z
zz
sin
1csc,
cos
1sec,
sin
coscot,
cos
sintan
Las fórmulas usuales para las funciones trigonométricas de variable real siguen siendo válidas para las correspondientes de variable compleja:
212121
212121
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
zzzzzz
zzzzzz
1sincos 22 zz
tan z y sec z (cot z y csc z) no son enteras, ya que no son analíticas en los puntos donde cos z (sin z) es 0.
ii
ii
ee
ee
i
1
tanObserva por ejemplo que:
51
52
Las funciones hiperbólicas reales se definen por analogía a las definiciones de seno, coseno y tangente en variable compleja:
xx eex 21
cosh xx eex 21
sinh
xx
xx
ee
eexx
x
coshsinh
tanh
iziz eei
z 21
sin iziz eez 2
1cos
iziz
iziz
eeee
iz
1
tan
Funciones hiperbólicas de variable real (recordatorio)
53
-3
-15
-10
-5
5
10
15
-2 -1 0 1 2 3
xy sinh
-1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
xy tanh
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
5
10
xy cosh
Representación gráfica de las funciones reales hiperbólicas
Nota: La ecuación de una cuerda suspendida de dos puntos a la misma altura es
a
xay cosh .
La curva se conoce como catenaria.
54
Interpretación de las funciones hiperbólicas reales
círculo el sobre hallan se )sin,(cos xx 122 yx )1sincos( 22 xx
1sinhcosh 22 xxhipérbola la sobre halla se )sinh,(cosh xx
122 yx
)sin,(cos xx )sinh,(cosh xx
Así como las funciones circulares (trigonométricas) aparecen en problemas que involucran integrales con (1-x2)1/2, las hiperbólicas aparecen con (1+x2)1/2.
55
Derivadas de las funciones hiperbólicas reales
xx
xx
xx
2hsec)(tanh
sinh)(cosh
cosh)(sinh
Demostración:
xeeeex xxxx sinh21
21
)(cosh
1)(coshsinhtanh Como xxx
x
x
xx
xxxxxx
2
2
2
2
12
hsec
tanh1
1coshsinh
)(coshcoshsinh))(cosh1(sinh)(tanh
xeeeex xxxx cosh21
21
)(sinh
•
•
•
56
57
2sin
2cos
sincossincos2
12
1
2
1
2
1cos )()(
yyyy
yy
ixyixyyixiyixizizi
eexi
eex
xixexixe
eeeeeez
Escribamos las funciones trigonométricas complejas en forma binómica: ),(),()( yxviyxuzf
yxiyxz sinhcoscoshsinsin De la misma manera para la función seno tenemos:
yxiyxz sinhsincoshcoscos
58
xeeix xx cosh21
cos
xiee
i
eei
iee
iee
iix
xx
xxxxxx
sinh)(2
)(2
)(21
21
sin2
xixxi
ixix
ix tanhcoshsinh
cossin
tan
Si particularizamos en las definiciones de las funciones trigonométricas complejas para z = ix tendremos:
59
xix coshcos xiix sinhsin xiix tanhtan
Estos resultados nos dan una regla general para convertir identidades trigonométricas en identidades hiperbólicas:
Cualquier identidad trigonométrica seguirá siendo válida si reemplazamos sin(), cos(), tan() por sinh(), cosh(), tanh() respectivamente. Teniendo en cuenta, además, que si hay un producto de dos sin() ó tan(), cambia el signo del término sustituido.
Por ejemplo:
sinhcoshcoshsinh)sinh(
sinhsinhcoshcosh)cosh(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
60
(1) Resolver cos z = 0
cos z = cos x cosh y – i sin x sinh y = 0
Parte real: cos x cosh y = 0 cos x = 0; x = (2n+1)/2 (n = 0,1,2...)
Parte imaginaria: sin x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0
z = (2n+1)/2 (n = 0,1,2....)(2) Resolver sin z = 0
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = 0
Parte real: sin x cosh y = 0 sin x = 0; x = n (n = 0,1,2...)
Parte imaginaria: cos x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0
z = n (n = 0,1,2....)
Los ceros de cos z y sin z son los mismos que los de sus análogas funciones cos x y sin x reales.
61
Funciones hiperbólicas complejas
Hemos definido las funciones hiperbólicas de una variable real como:
2sinh
2cosh
xx
xx
eex
eex
Parece natural definir las funciones
hiperbólicas de variable complejamediante las expresiones:
2sinh,
2cosh
zzzz eez
eez
(1) Estas funciones son enteras y con derivadas:(cosh z)’ = sinh z ; (sinh z)’ = cosh z
(2) Otras funciones hiperbólicas se definen como:tanh z = sinh z / cosh z ; coth z = cosh z / sinh zsech = 1/cosh z ; csech z = 1/sinh z
que son analíticas excepto en los puntos en que el denominador se anula.
62
yiyeyiye
eeeez
xx
yixyixzz
sin(cos)sin(cos21
21
21
cosh
Escribamos las funciones hiperbólicas complejas en forma binómica:
yxiyxz sincoshcossinhsinh
yxiyxz sinsinhcoscoshcosh
De la misma manera podemos demostrar que:
63
Ejercicio: Demostrar la identidad de Moivre para funciones hiperbólicas:
)sinh()cosh()sinh(cosh nnn
)sin()cos(sincos nini n
Ejercicio: Demostrar que : cosh (iz) = cos z y sinh (iz) = sin z
Ejemplo: Veamos que |cos z|2 = cos2x + sinh2y
|cos z|2 = cos2x cosh2y + sin2x sinh2y
Como cosh2y – sinh2y = [½(ey + e-y)]2-[½(ey - e-y)]2 = 1
|cos z|2 = cos2x (1 + sinh2y) + sin2x sinh2y = cos2x + sinh2y
64
65
66
Ejercicio: Hallar todas las soluciones de la ecuación
. sen 3 62 2
iz iz iz iziz ize e e e
z i e ei i
. Hacemos
ize T, y la ecuación resulta:
1 26 6 1 0T T T T
, cuyas soluciones son:
6 36 4 6 2 103 10
2 2T
, de donde
ln 3 10 ln 3 10 2iz k i
, y también
ln 3 10 ln 3 10 2iz k i
con k un número entero. Despejando z se obtiene la solución:
2 ln 3 10 , 2 ln 3 10z k i z k i
, con k un nº entero.
3 seni z
67
yxiyxz sinhcoscoshsinsin f(z) = sen zEsquema de color dependiente del valor imaginario
Dominio Rango
68
f(z) = cosh zEsquema de color dependiente del valor real
Dominio Rango
yxiyxz sinsinhcoscoshcosh
69
f(z) = cosh zEsquema de color dependiente del valor imaginario
Dominio Rango
yxiyxz sinsinhcoscoshcosh
70
71
Pescando Biomorfos
Algunas veces me considero un pescador. Los programas de ordenador y las ideas son mis herramientas, cañas y redes. Los gráficos que aparecen en mi pantalla son trofeos y deliciosas mieles.
Clifford A. Pickover, Computers, Pattern, Chaos and Beauty
http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/home.htm
72
Partimos de una función iterada::
Escogemos una región del plano complejo y tomamos cada punto de esta región como semilla inicial z0 para iterar. Tomemos uno de ellos. Lo iteramos, por ejemplo, 150 veces. Conocido el valor final de z, pintamos en función del valor absoluto de su parte real e imaginaria:
(1) Si alguna de ellas excede o es igual a 100 (por ejemplo), pintamos z0 como un punto blanco,
(2) En caso contrario lo pintamos en negro.
21 sin)( nnn zzzf
21 cosh)( nnn zzzf Biomorfos
73
ir
zizz
ln
arg||lnln
zezeeee zizizzizz argarg||lnarg||lnln ||
Función logarítmicaDefinimos el logaritmo de un número complejo z como
Definido de esta manera, observemos que:
El logaritmo complejo es multivaluado, una correspondenciamultívoca, no una biyección. Debido a la multivaluación de la función arg z, a cada z corresponden un número infinito de valores.
(|z| > 0, no continua en z = 0).
74
iz 1
4/2
,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii
Por ejemplo, calculemos el valor de
Para cada valor de n obtenemos un posible valor de la función logaritmo.
Podemos construirnos una función unívoca tomando el argumento principal Arg z, en vez de arg z.
75
Valor principal del logaritmo
El valor principal de ln z se define como el valor correspondiente al valor principal del argumento de z:
zizz ArglnLn
Usamos la letra mayúscula L para designar al valor principal:
)4/(2ln)1Ln( ii valor principal
,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii Tenemos:
76
77
21
2121
2121
)(212121
lnln
lnln
)(ln
lnln)(ln 2121
zz
iirr
irr
errererzz iii
(1)
Esta es una relación familiar para los logaritmos naturales
Sea z1 = z2 = ei = -1, entonces si tomamos ln z1 = lnz2 = i
PERO: ¡no se cumple para el valor principal!Ln(z1z2) = Ln(1) = 0
ln(ez) = ln(ex+iy) = ln(ex) + i y 2ni = z 2ni
observa que ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2) = 2i = ln(1)
78
79
Resumen repetición
80
81
82
83
84
zizz ArglnLnf(z) Esquema de color dependiente del argumento
Dominio Rango
85
86
87
88
Derivada del ln(z)
Sea ln z = u(x,y) + i v(x,y).
Entonces: u(x,y) = ln|z| = ½ln(x2+y2) v(x,y) = arg z = tan-1(y/x) + 2n; n=0,1,...
ux = x/(x2+y2)vy = y/(x2+y2)
(ln z)/ = ux + i vx= x/(x2+y2) – i y/(x2+y2)
= (x - i y)/(x2+y2) = 1/z
Ejercicio: Repetir los cálculos anteriores en polares.
89
Analiticidad de Ln z
zizz ArglnLn Como no existe ln 0, Ln z no está definido en z = 0. Como el argumento principal Arg z toma valores
, el logaritmo experimenta un “salto” al cruzar el eje real negativo.
x
y
izz lnLn
izz lnLn
90
El logaritmo no es analítico en z = 0 ni a lo largo del eje real negativo
x
yAnalítica en todo
punto excepto aquí
De modo que podemos tomar como dominio de analiticidad: D = plano z –{R- U 0}
¿Existen y son continuas las derivadas parciales y se cumplen las ECR en el dominio D?
ux = x/(x2+y2) = vy = [1/(1+(y/x)2)](1/x)uy = y/(x2+y2) = -vx = -[1/(1+(y/x)2)](-y/x)
Se satisfacen ECR
91
92
93
94
Veamos sin son continuas las derivadas parciales y se cumplen las ecuaciones de CR en el dominio D en polares:
Repetimos: tomaremos como dominio de analiticidadD = Z -{R- U 0}, o en polares los z's tq. r > 0 y -π < ө π.
zrei
rezf
r
vi
r
uizf
u
rr
vv
rrr
u
ii 11
01
)('
)sin(cos)('
10
11
95
Ejemplo: determinar el mayor dominio de analiticidad de la función f(z) = Ln[z-(3+4i)].
El Ln() es analítico para todo punto del plano z excepto la recta semi-infinita negativa y el cero. Descartaremos los valores de z que hacen que el argumento de f() sea negativo o cero: z-(3+4i) = x+iy-3-4i = (x-3)+i(y-4). Es decir: y-4 = 0, x-3 0y = 4x 3
x
y
3
43+4i
96
Zninzeeew
senyee
iyeeee
shzw
zzz
xxxxzz
,10
2cos
222
zshxf log)(
2
7arg
2
3,0/
wwCwD
0cos2
)Re( yee
wxx
Znnyy
x
;2
)12(0cos
0
Re(w)
Im(w)
2
3
zshxf log)( a) Determinar la región del plano complejo en la que la función es analítica. Considérese la determinación del logaritmo correspondiente al ángulo
determinación 2
3
ExamenJUNIO 04/05: P-1
97
Znnynsenysenyee
wxx
;2)12(002
)Im(
0,0 senyx0
;2)12(
x
Znnyn
0,0cos, senyyRxRx
Znny
;2
)14(
Znnynynxinz
f
;2
)14(2)12(,0
:que talesyixz puntos de conjunto elen excepto C,en analítica es
i
i
i2
0
98
b) Determinar la región del plano en la que la función
zLogzf
cos)(
Respuesta.
)(cos 1wLogz
Log
Determinación principal no analítica en: w1 = 0; Re(w1) < 0; Im(w1) = 0
es analítica.
1) π/z no analítica en z = 0.
99
...2,1,0 ,
21
2
...2,1,0 ,2
0cos )2 1
kk
z
kkzzw
(b) 0
(a) ...1,0 sinhsin0)Im( 1 v
kkuvuw
0cos0coshcos0)Re(0
1
uvuw
ivuw 1
100
...2,1,0 ,22
3,22
0
0cos
0 )(
...2,1,0 ,)12(0cos
)(
kkku
v
u
vb
nnuu
kua
)( ,22221 iyxz
yx
yi
yx
x
zw
22
2
22 )12(4
1
)12(2
112)(
n
yn
xnyx
xa
n=0,±1,±2...
101
kkx
y
kkx
y
b
41
2,
43
2
0
2
43,
2
411
0
)(
k=0,±1,±2...
102
Obtener los puntos del plano complejo donde la función es analítica. Considerar la determinación principal.
21
1)(
zzf
020)Im(
1010)Re(
211
)(y 0
que tales1 puntos los en todos analítica es )(
1
2222
222
2
)1(2
12
12
2
xyw
yxyxw
xyiyxzw
wArg-πw
zwzf
ezzLog
0
0
y
x
1 ó 110
102
2
xxxy
imposibleyx
103
Im(z)
Re(z)-1 1
(Re(z)<-1) y (Re(z)>1) Im(z)=0
Zonas de no analiticidad – plano zZonas de no analiticidad – plano w
Re(w)
Im(w)
Re(w)<0Im(w)=0
104
Sol.: u(x,y) = 1/2 Log [x2 + (y-3)2] v(x,y) = Arg (z-3i) + 4π
f(z) = Log |z - 3i| + 4πi
105
106
107
Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas
Determinemos la inversa del seno a partir de
iwiwiwiw
ep
epi
eez
1
;;2
zw sin
ip
pz
2
1
22 1;012 zizepizpp iw
zi
ziLn
iz
ziziLnz
2arctan
1arccos 2
Todas ellas son multiformes ...
21lnarcsin ziziwz
Demostrar:
108
109
110
111
112
El valor principal de la arcotangente será:
113
114
zz
Lnz
zzLnz
zzLnz
11
21
tanh
1cosh
1sinh
1
21
21
21
2
1
2
1
11
tanh;1
1cosh;
1
1sinh
zz
dzd
zz
dzd
zz
dzd
21
2
1
2
1
11
tan;1
1cos;
1
1sin
zz
dzd
zz
dzd
zz
dzd
115
Demostrar la expresión
y calcular todos los valores posibles de .
iz
iz
izarctg
1
1log
2
1)(
3arctg
iz
iz
izarctgw
iz
iziw
iz
ize
eeizeeeei
ee
w
wsenwtgz
iw
iwiwiwiwiwiw
iwiw
1
1log
2
1)(
1
1log2
1
1
)cos(
)()(
2
)(
32
3
21ln
2
1
2
3
2
1log
2
1
4
322log
2
1
31
31log
2
13
k
kkii
i
i
i
ii
i
iarctg
ExamenJUNIO 02/03: P-1
116
P1. Junio 2007
1. Obtener la forma binómica de
Respuesta.
)3
arcsin(
i
91
3log
3arcsin
1logarcsin
2
2
ii
ziziz
117
...2,1,0k
)2(9
13
ln3
arcsin2
kiii
a) Solución con signo negativo de la raíz cuadrada:
...2,1,0k
91
3ln)2(
3arcsin
2
iki
118
...2,1,0k
)20(39
1ln3
arcsin2
kiii
b) Solución con signo positivo de la raíz cuadrada:
...2,1,0k
391ln2
3arcsin
2
iki
119
120
PotenciasPodemos expresar potencias de números complejos en forma de funciones exponenciales/logarítmicas cuando el exponente es real.Por ejemplo, zzz eezez ln2ln2ln 2
En general, para k real:zkk ez ln
Definamos ahora donde c = a+bi es complejo como:
cz zcc ez ln
Observa que si z = e entonces zc = ec proporciona un único valor: ec = ea(cos b + i sin b). Para cualquier otra base, dado que ln(z) es multivaluado, zc lo será también. El número de valores es infinito excepto cuando c es racional.
El valor principal de zc será ecLn(z)
121
Si c = n = 1,2,.... entonces zn es univaluado e idéntico a la potencia enésima habitual de z
Si c = n = -1,-2,.... la situación es similar.
Si c = 1/n = 2,3,.... entonces zc = nz = e(1/n)ln z (z0)
el exponente se determina en función de los múltiplos de 2i/n y obtenemos distintos valores de la raíz nth
Si c = p/q, siendo el cociente de dos enteros positivos, zc tiene un número finito de valores distintos.
Si c es irracional o complejo entonces zc es infinitamente multivaluado.
Es decir:
122
),,(n
nnii
iiiiiii
ee
eei
10
)2/2())2/2((
)arg(lnln
)(n
ei i
0
2/
Ejemplo: Calcular ii
¡Infinitos valores reales!
Valor principal real
Ejercicio: Calcular la derivada de1)(';)( cc czzfzzf
123
124
125
126
127
128
129
130
Recuerda que una función es analítica en una región R si es diferenciable en todos los puntos de R.
Los términos función holomorfa, función diferenciable, función compleja diferenciable o función regular se usan a menudo de forma intercambiable para referirse a función analítica. Muchos matemáticos prefieren el término “función holomorfa”, mientras que “función analítica” es más usado por físicos e ingenieros.
Recuerda que una función analítica en todos los puntos del plano complejo se llama entera. Como hemos visto una función analítica puede no serlo en uno o más puntos singulares o a lo largo de los cortes de ramas.
Para acabar, una función univaluada que es analítica en todo punto de su domino a excepción de un conjunto discreto de singularidades (polos y singularidades no esenciales), se denomina función meromorfa.
131
M.C. Escher
132
¿Qué efecto quiere conseguir Escher en esta litografía?
¿Por qué aparece una mancha blanca en el centro del cuadro?
The Mathematical Structure of Escher’s Print Gallery
B. de Smit and H. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS, vol. 50, N. 4(April 2003)
Prentententoonstelling (Galería de grabados)M.C. Escher 1956
133
“Lo que yo traté de representar era solamente una superficie que se hincha, de forma anular, sin principio ni fin.”El espejo mágico de M. C. Escher (Bruno Ernst, ed. Taschen)
134
Mundo“real”
Mundo“curvo”
Transformación
135
Transformación
Anti-transformación
Cualquier camino simple cerrado alrededor delorigen del mundo “curvo” se antitransforma en un camino no cerrado en el mundo “real”.Por ejemplo el camino ABCD.
136)logexp()( wwwhzw
w
wlogwlog
)logexp( w
137
ii
wwwhzw
2/)256log2(con
)logexp()(
Rectificación de la litografía
138
El efecto Droste
En Alemania la marca de chocolate Droste es famosa por el efecto visual de una de sus cajas de cacao.
En ella la imagen se contiene a sí misma en pequeña escala.
139Tras un zoom de 28 = 256 volvemos a la imagen original.
Escher and the Droste effect http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/
140
wwzhwz
wwwhzw
log1
exp)(
)logexp()(
/11
141
Reconstrucción
142
2
143
4
144
8
145
16
146
32
147
Una rotación en sentido horario de 157.6255960832. . . grados y un zoom de 22.5836845286. . . . nos devuelve a la imagen original.M.C. Escher: More Mathematics Than Meets the Eye, Sara Robinson.SIAM News, Vol. 35, N. 8, Ocober 2002.