Práctica de máquinas Amalia Luque Sendra
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Índice
Introducción __________________________________________________________2
Análisis Cinemático ____________________________________________________3
Análisis dinámico ______________________________________________________6
Anexos _____________________________________________________________11
• Cálculo de •••sss ,, y sus gráficas _________________________________________ 11
• Cálculo de •••hhh ,, y sus gráficas _________________________________________ 12
• Cálculo del momento motriz y su gráfica _____________________________________ 14
• Cálculo del trabajo realizado por el momento motriz y su gráfica__________________ 15
• Cálculo de la energía cinética y su gráfica ____________________________________ 16
• Cálculo de la energía potencial y su gráfica ___________________________________ 17
• Cálculo del trabajo resistivo y su gráfica _____________________________________ 18
• Cálculo del momento motriz y el trabajo por él realizado, en presencia de fricción con susgráficas___________________________________________________________________ 19
• Cálculos para la comprobación ____________________________________________ 21
Movimiento del mecanismo _____________________________________________23
Comprobación _______________________________________________________25
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Introducción
El yugo escocés realizabásicamente la misma función queuna manivela simple, pero elmovimiento de salida lineal es unasinusoide pura. Según la definicióndel Mechanical Engineering, seentiende por yugo escocés “anapparatus with a four-bar linkagearrangement that converts rotarymotion into simple harmonicmotion” (un aparato con unmecanismo de cuatro barras queconvierte un movimiento rotatorioen un movimiento armónico simple).
Vamos a analizar el movimiento de este mecanismo desde el punto de vista cinemáticoy dinámico, durante una vuelta completa de la barra de entrada. Al dar dicha barra unavuelta completa, el movimiento lineal armónico de salida cubre un periodo completo 1.Podemos ver varias posiciones diferentes del mecanismo en el anexo.
Observamos también, y así se puede constatar mediante los cálculos que siguen, quelas velocidades del pasador y la del seguidor son las proyecciones de la velocidad deldisco según las direcciones de los ejes coordenados.
Todos los programas que se han usado para generar las funciones y las gráficas seadjuntan en un disquete, en formato Mathematica.
1 Se puede ver la animación de dicho movimiento en el disquete que adjunto, bajo el nombre de animación.nb(archivo de Mathematica).
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Análisis Cinemático
El yugo escocés está compuesto de varias piezas, que nosotros vamos a nombrarcomo sigue:
• Pieza 1: Barra fija• Pieza 2: Barra de entrada• Pieza 3: Pasador vertical• Pieza 4: Seguidor
En el mecanismo se supone que la barra de entrada evoluciona con velocidadconstante durante el recorrido considerado, por tanto
;0 t⋅+= ωϕϕ
siendo ω la velocidad angular, constante, y ϕy 0ϕ los valores iniciales y finales del
ángulo que indica la posición de la barra de entrada. Calculamos la posición, velocidad,y aceleración de la barra de salida en función del tiempo, para una vuelta completa.Para ello tomo como valor numérico para ωel último dígito de mi DNI. Como mi DNI es
28811584, srad4=ω .
Para todos los cálculos setoma como origen decoordenadas el punto O.
Por la geometría del problema deducimos que
)()(sen
)()(cos
thtr
tstr
=⋅=⋅
ϕϕ
Derivando respecto al tiempo obtenemos
[ ][ ] )()()(cos
)()()(sen
thttr
tsttr••
••
=⋅⋅
=⋅⋅−
ϕϕ
ϕϕ
De donde obtenemos la velocidad de salida (horizontal), así como la velocidad verticaldel pasador:
M
Kϕ
h
o
r
s
2 3
4
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[ ] )()(sen ttrvsalida
•⋅⋅−= ϕϕ
Sustituyendo por los valores numéricos
srad
mmr
4
200
=
=•
ϕ
obtenemos la velocidad de salida.
Representamos la posición de la barra de salida (s) y su velocidad (•s ) en sendas
gráficas:
0 . 2 5 0.5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1.5t H s L
- 2 0 0
- 1 0 0
100
200
s H mm L
0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5t H s L
- 7 5 0
- 5 0 0
- 2 5 0
2 5 0
5 0 0
7 5 0
sp H mm ê s L
Del mismo modo, aunque no son pedidas, representamos la posición (h) y velocidad
(•h ) del pasador:
0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5t H s L
- 2 0 0
- 1 0 0
1 0 0
2 0 0
h H m m L
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0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t Hs L
-750
-500
-250
250
500
750
h⋅ H mm ê s L
Derivando de nuevo las ecuaciones de la velocidad obtenemos
[ ] [ ]
[ ] [ ]•••••
•••••
=⋅⋅+⋅⋅−
=⋅⋅−⋅⋅−
htrtr
strtr
)(cos)(sen
)(sen)(cos2
2
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
Teniendo en cuenta que cte==•
ωϕ 0=⇒••
ϕ y las ecuaciones quedan
[ ]
[ ]•••
•••
=⋅⋅−
=⋅⋅−
htr
str2
2
)(sen
)(cos
ϕϕ
ϕϕ
Por último representamos la aceleración horizontal de la barra de salida (••s ) y la
aceleración vertical del pasador (••h ).
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5tH sL
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
sp2 H mm ê s 2 L
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
h⋅ ⋅ Hmm ê s 2 L
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Análisis dinámico
Calculamos el par motriz (M) en función del tiempo, cuando el mecanismo efectúa unavuelta completa y está sometido a la fuerza resistente del muelle. Para ello, elijo lossiguientes valores de las masas:
Kgm
Kgm
Kgm
10
1
2
4
3
2
===
El centro de gravedad de la barra 1 está en punto fijo O (dicha barra se puedeconsiderar como un disco que efectúa una rotación pura). El centro de gravedad delpasador 3 está en el punto medio de dicho pasador, y el del seguidor 4 está en eje sesimetría de dicho seguidor, coincidiendo con el eje x.
Representamos la evolución frente al tiempo del par motriz, el trabajo desarrollado poréste, la energía cinética del sistema, la energía potencial gravitatoria y el trabajo de lafuerza resistente. La fuerza resistente es la provocada por el muelle. El valor numérico
de la rigidez será el del penúltimo dígito del DNI, en mi caso 8 .mKN Posteriormente
realizo los mismos cálculos suponiendo que en la deslizadera existe fricción, siendo elcoeficiente 2.0=µ .
En primer lugar calculamos el valor del momento motriz M:
03433 =⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅•••••••••••
ghmssmssmhhmsFM muelle&ϕ
En esta ecuación de potencias virtuales no incluimos el término debido a la masa 2porque su centro de gravedad es un punto fijo. Por otra parte, tampoco añadimos eltérmino causado por la masa 4, pues su velocidad es horizontal y la gravedad esvertical.
Despejando M:
•
•••••••
•
••••••••••⋅⋅−⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=ϕϕ
ghmssmmhhmssrkssmssmhhmsFM muelle
&3433433 )()(
Representamos el momento respecto al tiempo:
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1 2 3 4tHsL
-3×106
-2×106
-1×10 6
1×106
2×106
3×10 6
Momento HN∗mL
Sabemos por otra parte que el trabajo desarrollado por dicho par es
ϕϕ
ϕ dghmssmmhhmssrk
dMW ⋅⋅⋅−⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅
=⋅= ∫∫ •
••••&&&& 3433 )()(
y la evolución del trabajo respecto al tiempo es la siguiente:
1 2 3 4t
-1.5 ×106
-1×10 6
-500000
500000
1×10 6
1.5×106
Trabajo motriz HN∗mL
Sabemos que la energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas decada componente, es decir,
432 EcEcEcEc ++= .
Calculamos por separado cada una de esas energías:
2
44
22
33
2
2
21
)(2121
•
••
•
=
+=
=
smEc
shmEc
IEc G ϕ
Necesitamos calcular el tensor de inercia del disco.
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⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=2
2
22
22
2100
0410
0041
rm
rm
rm
I G
Y por lo tanto la energía cinética queda
+++=
••• 22
43
2
3 )(21
ϕGIsmmhmEc
Y su representación gráfica es la siguiente:
1 2 3 4t H s L1.5×106
2×1062.5×10
6
3×1063.5×106
Energía cinética H J L
Por otra parte la energía potencial gravitatoria del sistema es la suma de las energíaspotenciales de cada una de las piezas, es decir,
432 EpEpEpEp ++= .
Si tomamos como origen de potencial el eje x, sólo tiene energía potencial no nula elpasador, pues tanto la barra de entrada como el seguidor tienen su centro de masaspermanentemente en dicho eje (aunque el centro del seguidor no es un punto fijo,realiza un movimiento horizontal).
hgmEp ⋅⋅= 3
que representado respecto al tiempo queda:
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1 2 3 4t H s L
-2000
-1000
1000
2000
Energía potencial H J L
El trabajo de la fuerza resistente es el realizado por el muelle, así
∫ ⋅= dsFW muelleresistente
cuya representación es
1 2 3 4tH s L
-400000
-300000
-200000
-100000
100000
Trabajo resistivo HN ∗m L
Por último, si consideramos que existe fricción en la deslizadera, el momento motriz yel trabajo realizado por este cambian, y quedan de la siguiente forma:
•
•••••••••••⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=ϕ
µ hNghmssmssmhhmsFM
muelle&
3433
,
donde la normal N se debe calcular por equilibrio.
F
N
x
34
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Haciendo un equilibrio de fuerzas horizontales en el seguidor obtenemos que
••⋅=⋅=− smamFN x 444
rrr
De esta ecuación podemos obtener la normal y con ella el momento:
•
•••••••••••••⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=ϕ
µ hFsmghmssmssmhhmsFM
muellemuelle )( 43433
r&
,
∫ ⋅= ϕdMW
Si los representamos frente al tiempo obtenemos las siguientes gráficas:
1 2 3 4tHsL
-2×106
-1×106
1×106
2×106
3×106
4×106
Momento HN∗mL
1 2 3 4tHsL
5×107
1×108
1.5×108
2×10 8
2.5×108
Trabajo HJL
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Anexos
• Cálculo de •••sss ,, y sus gráficas
ϕ =π
2+4 t;
ϕ0 =π
2;
ϕf =5 π
2;
s = r Cos@ϕD;sp= ∂t ssp2 = ∂t spr = 200;
t0=ϕ0 − π
2
4;
tf=ϕf − π
2
4;
g1= Plot@s, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "sHmmL"<D;g2= Plot@sp, 8t, t0, tf<, AxesLabel → 8"tHsL", "spHmmêsL"<D;g3= PlotAsp2, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 9"tHsL", "sp2Hmmês2L"=E;
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5tH sL
-200
-100
100
200
sH mm L
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0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L
-750
-500
-250
250
500
750
sp H mm ê s L
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
sp2 H mm ê s 2 L
• Cálculo de •••hhh ,, y sus gráficas
Clear@rD;ϕ =
π
2+4 t;
Sϕ0 =π
2;
ϕf =5 π
2;
h = r Sin@ϕD;hp= ∂t hhp2 = ∂t hpr = 200;
t0=ϕ0 − π
2
4;
tf=ϕf − π
2
4;
g1= Plot@h, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "hHmmL"<D;g2= PlotAhp, 8t, t0, tf<, AxesLabel → 9"tHsL", "h⋅HmmêsL"=E;g3= PlotAhp2, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 9"tHsL", "h⋅⋅Hmmês2L"=E;
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0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L
-200
-100
100
200
h H mm L
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t Hs L
-750
-500
-250
250
500
750
h⋅ H mm ê sL
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
h⋅ ⋅H mm ês 2 L
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• Cálculo del momento motriz y su gráfica
ϕ =π
2+4 t;
ϕ0 =π
2;
ϕp = 4;
ϕf =5 π
2;
s = r Cos@ϕD;sp= ∂t s;sp2 = ∂t sp;h = r Sin@ϕD;hp= ∂t h;hp2 = ∂t hp;r = 200;
t0=ϕ0 − π
2
4;
tf=ϕf − π
2
4;
k = 8;m3 = 1;m4 = 10;g = −9.81;
m =k Hr + sL sp + m3 ∗hp∗hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2− m3∗ hp∗g
ϕp
g1= Plot@m, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "MomentoHN∗mL"<D;
1 2 3 4tHsL
-3×106
-2×106
-1×106
1×106
2×106
3×106
Momento HN∗mL
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• Cálculo del trabajo realizado por el momento motriz y su gráfica
ϕp = 4;
ϕ0 =π
2;
s = r Cos@ϕD;sp= −rSin@ϕD ∗ϕp;sp2 = −r Cos@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;h = r Sin@ϕD;hp= r Cos@ϕD ∗ϕp;hp2 = −r Sin@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;
r = 200;k = 8;m3 = 1;m4 = 10;
m =k Hr + sL sp + m3∗ hp∗ hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2+ 9.81∗ hp
ϕp;
w = ‡ m âϕ;
ϕ =π
2+ 4 t;
wt0= 0;
tf=π
2;
g1= Plot@w, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"t", "Trabajo motrizHN∗mL"<D;
1 2 3 4t
-1.5 ×106
-1×10 6
-500000
500000
1×10 6
1.5 ×10 6
Trabajo motriz HN∗mL
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Página 16
• Cálculo de la energía cinética y su gráfica
ϕ =π
2+ 4 t;
ϕ 0 =π
2;
ϕ p = 4;
ϕ f =5 π
2;
s = r Cos @ ϕ D ;sp = ∂ t s;
r = 200;
t0 =ϕ 0 − π
2
4;
tf =ϕ f − π
2
4;
h = r Sin @ ϕ D ;hp = ∂ t h;
m2 = 2;
m3 = 1;
m4 = 10;
ec = 0.5 I m3 ∗ hp2 + H m3 + m4 L ∗ sp2 + 0.5 ∗ m2 ∗ r2 ∗ ϕ p2 Mg1 = Plot@ ec, 8 t, t0, 3 ∗ tf< , AxesLabel → 8 "t H sL ", " Energía cinética H JL "< D ;
1 2 3 4t H s L1.5 × 1 0
6
2 × 1 06
2.5 × 1 06
3 × 1 06
3.5 × 1 06
Energía cinética H J L
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• Cálculo de la energía potencial y su gráfica
ϕ =π
2+ 4 t;
ϕ 0 =π
2;
ϕ f =5 π
2;
h = r S i n@ ϕ D ;
r = 2 0 0 ;
t0 =ϕ 0 − π
2
4;
tf =ϕ f − π
2
4;
m3 = 1 ;g = 9 . 8 1 ;
ep = m3 ∗ g ∗ h
g1 = P l o t@ ep , 8 t , t0 , 3 ∗ tf < , A x e s L a b e l → 8 " tH sL " , " Energía p o t e n c i a lH JL " < D ;
1 2 3 4t H s L
- 2 0 0 0
- 1 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 0
E n e r g í a p o t e n c i a l H J L
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Página 18
• Cálculo del trabajo resistivo y su gráfica
r = 200;
t0=ϕ0 − π
2
4;
tf=ϕf − π
2
4;
k = 8;
w = ‡ −k Hr + sL âs
s = r Cos@ϕD;ϕ =
π
2+4 t;
ϕ0 =π
2;
ϕf =5 π
2;
w = −8 ik200 s +s2
2y{;
g1= Plot@w, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "Trabajo resistivoHN∗mL"<D;
1 2 3 4tHsL
-400000
-300000
-200000
-100000
100000
Trabajo resistivo HN∗mL
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• Cálculo del momento motriz y el trabajo por él realizado, en presencia defricción con sus gráficas
s = r Cos@ϕD;sp= −rSin@ϕD ∗ϕp;sp2 = −r Cos@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;h = r Sin@ϕD;hp= r Cos@ϕD ∗ϕp;hp2 = −r Sin@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;
r = 200;ϕp = 4;k = 8;m3 = 1;m4 = 10;µ = 0.2;g = −9.81;
n = m4∗sp2 +k Hr + sL;m =
k Hr + sL sp + m3 ∗hp∗ hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2− m3∗ g∗hp −µ ∗n∗hpϕp
;
H∗Nota: El término del rozamiento lo pongo negativo porque se puede comprobarque el producto de la normal por la velocidad vertical es siempre negativo∗L
w = ‡ m âϕ
ϕ =π
2+4 t;
ϕ0 =π
2;
ϕf =5 π
2;
t0=ϕ0 − π
2
4;
tf=ϕf − π
2
4;
g1= Plot@m, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "MomentoHN∗mL"<D;g2= Plot@w, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "TrabajoHJL"<D;
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1 2 3 4tHsL
-2×10 6
-1×106
1×106
2×106
3×10 6
4×106
Momento HN∗mL
1 2 3 4tHsL
5×10 7
1×108
1.5×10 8
2×10 8
2.5×10 8
Trabajo HJL
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• Cálculos para la comprobación
r = 200;
t0=ϕ0 − π
2
4;
tf=ϕf − π
2
4;
k = 8;
wr = ‡ −k Hr + sL âs;
s = r Cos@ϕD;r = 200;
ϕ0 =π
2;
ϕf =5 π
2;
wr = −8ik200 s +
s2
2y{;
ϕp = 4;
ϕ0 =π
2;
s = r Cos@ϕD;sp= −r Sin@ϕD ∗ ϕp;sp2 = −r Cos@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;h = r Sin@ϕD;hp= r Cos@ϕD ∗ϕp;hp2 = −r Sin@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;r = 200;k = 8;m3 = 1;m2 = 2;m4 = 10;
m =k Hr + sL sp + m3 ∗hp∗hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2 + 9.81∗ hp
ϕp;
wm = ‡ m âϕ;
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ϕ =π
2+4 t;
t0= π;
tf= 1.1∗ π;
ep= m3∗9.81∗h;ec= 0.5 Im3∗hp2 + Hm3 + m4L ∗sp2 + 0.5∗ m2∗r2 ∗ϕp2M;c = wm + wr− ec −ep
g1= Plot@c, 8t, t0, tf<D;
3 . 1 5 3 . 2 5 3 . 3 3 . 3 5 3 . 4 3 . 4 5
- 2 . 3 2 × 1 06
- 2 . 3 2 × 1 0 6
- 2 . 3 2 × 1 0 6
- 2 . 3 2 × 1 06
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Movimiento del mecanismo
Muestro en esta sección el movimiento del yugo escocés, generado mediante elsiguiente código:r = 200;
anchopasador= 10;
altopasador = 15;
anchoseguidor= 12;
altoseguidor= 450;largoseguidor= 500;
dt = π ê10;tf = π ê2;ForAt = 0, t < tf, t = t + dt,9
ϕ =π
2+4 t;
xp = r Cos@ϕD;yp = r Sin@ϕD;linea = Graphics@Line@880, 0<, 8xp, yp<<DD;xp1 = xp− anchopasadorê2;yp1 = yp− altopasadorê2;xp2 = xp+ anchopasadorê2;yp2 = yp+ altopasadorê2;pasador = Graphics@8GrayLevel@0D, Rectangle@8xp1, yp1<, 8xp2, yp2<D<D;xs1 = xp− anchoseguidorê2;ys1 = altoseguidorê2;xs2 = xp+ anchoseguidorê2;ys2 = −altoseguidorê2;seguidor = Graphics@[email protected], Rectangle@8xs1, ys1<, 8xs2, ys2<D<D;xs3 = xs2;
ys3 = −anchoseguidorê2;xs4 = xs3+largoseguidor;
ys4 = anchoseguidorê2;seguidor2= Graphics@[email protected], Rectangle@8xs3, ys3<, 8xs4, ys4<D<D;xmin = 1.1 H−r − anchoseguidorê2L;xmax = 1.1 Hr+ anchoseguidorê2 + largoseguidorL;ymin = 1.1 H−altoseguidorê2L;ymax = 1.1 Haltoseguidorê2L;Show@linea, seguidor, pasador, seguidor2,PlotRange−> 88xmin, xmax<, 8ymin, ymax<<D;=E;
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De este modo generamos una serie de posiciones sucesivas del mecanismo, demanera que al mostrarlas una a continuación de la otra se produce la animación delmecanismo y podemos visualizar su movimiento.
Práctica de máquinas Amalia Luque Sendra
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Comprobación
Para cerciorarnos de que los resultados obtenidos son correctos, comprobamos quedebe cumplirse que la suma de las energías potencial y cinética sea igual a las sumade los trabajos resistivo y motriz, salvo constante.
CWWEE mrpc ++=+
Para comprobar este resultado generamos la función C y comprobamos que es constante (salvoerrores infinitesimales).
mrpc WWEEC −−+=
Representando C respecto al tiempo en un rango apropiado obtenemos la siguientegráfica:
3 . 1 5 3 . 2 5 3 . 3 3 . 3 5 3 . 4 3 . 4 5
- 2 . 3 2 × 1 06
- 2 . 3 2 × 1 0 6
- 2 . 3 2 × 1 0 6
- 2 . 3 2 × 1 06
Donde podemos observar que la función C resulta ser efectivamente contante exceptopequeñas oscilaciones en los puntos de enlace.
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