ALGEBRA LINEAL
DEBER # 5
CAMBIO DE BASES, ESPACIOS ASOCIADOS A MATRICES
1. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas y los conjuntos: 12 ,e,xsenS x , xcos,exxseneT xx 2cos, 22 dos bases ordenadas de V .
a) Hallar la matriz de transicin de S a T .
b) Hallar la matriz de transicin de a T a S .
2. Sean 1B y 2B dos bases de 2P , donde: 131 21 xx,x,xB y xx,x,xB 22 123 a) Encuentre la matriz de transicin de 1B a 2B .
b) Si las coordenadas del vector xp en 2P en la base 1B son: 121 ,, escriba las coordenadas de xp en la base 2B .
3. Sea 43211 v,v,v,vB y 43212 u,u,u,uB dos bases cualesquiera del espacio vectorial V tales
que: 4321443212
432134211
233463
324253
vvvvuvvvvu
vvvvuvvvu
Si las coordenadas del vector x con respecto a la base 1B son (1, 0, 1, 1), encuentre las
coordenadas de x5 con respecto a la base 2B .
4. Sean 211 u,uB y x,xB 2212 bases de 1P y sea
23
12A la matriz de transicin de
1B a 2B , entonces:
a) Encuentre la matriz de transicin de 2B a 1B .
b) Encuentre la base de 1B .
5. Sea V un espacio vectorial de dimensin 4. Considere la dos bases de V dadas por:
43211 v,v,v,v y 43324212 2vv,vv,v,vv
a) Determine la matriz P de cambio de base de 1 en 2
b) Si 11111
,,,x y 12342 ,,,y encontrar 132 yx c) Determine el espacio rengln de la matriz P y su ncleo
6. Sean 3211 v,v,v y 3212 u,u,u dos bases del espacio sen ,cos ,V x x xL y dado que
322211 vvu,vvu y 133 vvu , determine:
a) La matriz de cambio de base de 1 en 2 .
b) Si 1010011112222
,,xcosxsen,,,xsenx,,,x determine los vectores de la
base 1 .
7. Sea 2PV y 1PW . Se tiene una base B de W y se conoce que 1123 ,x B y
115 ,x B . Determine: a) Los vectores de la base B . b) Una base B * de V que contenga a la base B . c) La matriz A de cambio de base desde B * a la cannica de 2P .
d) El rango de la matriz IA 2 .
8. Sean 3211 v,v,v y 3212 u,u,u dos bases del espacio funcional V y sean
0111
,,xsen ; 0101 ,,xsenx ; 3333 2 ,,xe x y
001
021
321
12 C
a) Determine los vectores de cada base
b) Halle las coordenadas de xexxsen)x(f 52 con respecto a la base 2
9. Dada la matriz
171555
6844
5333
3211
A . Determine:
a) Una base para el recorrido de A (imagen de A ) y el A . b) Una base para el ncleo de A y la A . c) Una base para el espacio rengln de A (espacio fila).
10. Encuentre el rango y la nulidad de la matriz dada:
a)
462
231 c)
600
000
003
d)
6
3
3
601
410
211
d)
9633
6422
6422
3211
11. Demuestre que para cualquier matriz tAA,A . 12. Suponga que cualesquiera K renglones de una matriz A son linealmente independientes mientras
que cualesquiera 1K renglones de A son linealmente dependientes. Demuestre que KA . 13. El sistema bAx tiene al menos una solucin s y slo s AECb (espacio generado por las
columnas de A . Con base en esta afirmacin determinar si el sistema dado tiene alguna solucin:
a)
2036
454
7
321
321
321
xxx
xxx
xxx
b)
035
14
8223
22
431
432
431
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
14. Dada la matriz
815
413
211
A . Halle:
a) Una base para la imagen de A y A . b) ANuECA c) ANuELA 15. Sea nv,,v,v 211 y nw,w,w 212 base para un espacio vectorial V , entonces el rango
de la matriz de transicin12
Q es igual a n .
16. Si A es una matriz de nn , demuestre que nA s y slo s existe un vector nRx tal que 0x y 0Ax .
17. Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera, demustrela y en caso de ser falsa d un contraejemplo.
a) Sea 4221 v,v,v,v una base ordenada del espacio vectorial V. Sean x , w vectores de V tales que 3021 ,,,x y 1201 ,,,w entonces w,x es linealmente independiente.
b) Sea
121
121
211
A y
p
n
m
B
121
121
211
donde m, n , p son nmeros reales
cualesquiera entonces )B()A( y )B()A(
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