GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Primera Edición
Geometría
Descriptiva
CAPÍTULO
Paralelismo y Autor:
Víctor Vidal Barrena
Universidad
Nacional de Ingeniería
© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
Paralelismo y
Perpendicu-
laridad
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Se presenta en los siguientes casos:
1. Entre Rectas.
5.1 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
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1. Entre Rectas.
2. Entre Recta y Plano
3. Entre Planos
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Dos rectas paralelas se muestran paralelas en todas sus proyecciones. Si una
recta se proyecta de punta todas las paralelas a ella se proyectaran en la
misma forma. También hemos visto que si dos rectas son paralelas, entonces
son equidistantes en todos sus puntos. Esto significa, por tanto, que bajo esta
circunstancia las rectas paralelas nunca se encuentran .
5.1.1 ENTRE RECTAS.
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Para que una recta sea paralela a un plano debe serlo a por lo
menos una recta contenida en dicho plano .
Vemos una recta XY (que no pertenece al plano ABC)paralela a la
5.1.2 ENTRE RECTA Y PLANO.
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pertenece al plano ABC)paralela a la recta AC de la superficie plana ABC.
Esto hace que la recta XY sea equidistante en todos sus puntos a la recta AC; por tanto, la recta XY es paralela a la superficie plana ABC.
5 - 4
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Si dos planos son paralelos entre si, si uno de ellos contiene ados rectas que son respectivamente paralelas a otras doscontenidas en el otro plano.
5.1.3 ENTRE PLANOS.
B E
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AL
M
C
D
F
R
S
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5.2 RECTAS PARALELAS:
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5.3 RECTAS NO PARALELAS:
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5.4 RECTA PARALELA A UN PLANO
Una recta se dice que es paralela a un plano, cuando es paralela a cualquier
recta contenida en dicho plano.
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5.5 RECTA NO PARALELA A UN PLANO.-
Observar que en el plano frontal la recta AB , no es paralela al lado
CD, del plano; entonces , el plano no es paralelo a la recta.
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5.6 ENTRE PLANOS.
Dos planos son paralelos, si uno de ellos contiene a dos rectas, que son
respectivamente paralelas a otras dos rectas contenidas en el otro plano.
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5.7 POR UNA RECTA TRAZAR UN PLANO PARALELO A UNA RECTA DADA.-
Se dan las proyecciones horizontal y frontal de las rectas AB y CD, se
requiere trazar un plano que contenga a la recta CD, y sea paralelo a la otra
recta dada AB.
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PROCEDIMIENTO:
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SOLUCION:
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5.8 POR UN PUNTO TRAZAR UN PLANO PARALELO A DOS RECTAS DADAS.-
El plano pedido estará determinado por dos rectas que se cortan en el punto
dado, siendo además estas paralelas a cada una de las rectas dadas.
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PROCEDIMIENTO:
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PROCEDIMIENTO:
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SOLUCIÓN FINAL:
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5.9 POR UN PUNTO TRAZAR UNA RECTA PARALELA A UN PLANO DADO.-
La recta pedida estará definida por ser paralela a cualquier recta
contenida en el plano.
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PROCEDIMIENTO:
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PROCEDIMIENTO:
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SOLUCIÓN FINAL:
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5.10 POR UN PUNTO TRAZAR UN PLANO PARALELO A OTRO PLANO DADO
El plano pedido estará dado por dos rectas que parten del punto dado,
siendo además paralela a otras dos rectas contenidas en el otro plano.
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN FINAL:
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1.- ENTRE RECTAS: Dos rectas que se cortan o se cruzan, son perpendiculares entre si en cualquier plano de proyección, cuando una de ellas se proyecte en dimensión verdadera.
2.- ENTRE RECTA Y PLANO: Una recta es
5.11 CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
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2.- ENTRE RECTA Y PLANO: Una recta es perpendicular a un plano, cuando es perpendicular a dos rectas contenidas en dicho plano.
3.-ENTRE PLANOS: Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene a una recta perpendicular al otro plano.
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5.12 POR UN PUNTO TRAZAR UN PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA DADA.-
El plano pedido estará determinado por dos rectas que se cortan en el punto
dado, siendo además perpendicular a otra recta contenida en el otro plano.
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN:
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SOLUCIÓN:
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Una recta es perpendicular a un plano,cuando es perpendicular a dos rectascontenidas en dicho plano.
5.13 POR UN PUNTO TRAZAR UNA RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO.
TENEMOS DOS MÉTODOS:1.- Método de la vista de canto
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1.- Método de la vista de canto
2.- Método de las rectas notables.
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eraE
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5.13.1 METODO DE LA VISTA DE CANTO.-
Consiste en proyectar el plano de canto, en este plano de proyección, la
perpendicular trazada desde el punto al plano, se proyectara en dimensión
verdadera y en el plano adyacente se mostrara paralelo al plano de proyección.
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION FINAL:
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5.13.2 MÉTODO DE LAS RECTAS NOTABLES.-
Consiste en trazar la perpendicular común del plano dado a dos rectas
notables contenidas en el plano.
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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5.14 POR UNA RECTA TRAZAR UN PLANO PERPENDICULAR A UN PLANO DADO.-
Consiste en trazar una recta que corte a la recta dada y que sea perpendicular
al plano dado.
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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SOLUCION:
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PROBLEMA 5.1.-
Hallar la proyección frontal del punto C , sabiendo que la recta
AB es perpendicular a la recta CD.
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Prim
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SOLUCION.- Llevamos AB a VM, con el fin de observar la perpendicularidad.
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Prim
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Víctor Vidal Barrena
SOLUCION FINAL
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Prim
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PROBLEMA 5.2.-
Por el punto P trazar una recta que sea paralela al plano ABC, y quecorte a la recta MN.
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Prim
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Víctor Vidal Barrena
SOLUCION:
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SOLUCION:
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Prim
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n
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PROBLEMA 5.3:
La recta AB y BC son perpendiculares, trazar por B la perpendicular BC tal que tenga la misma dirección.
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Prim
eraE
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Víctor Vidal Barrena
SOLUCION.-
Por el extremo B se pasa un plano perpendicular a la recta AB. Pormedio de rectas horizontales y rectas frontales
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Prim
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Víctor Vidal Barrena
SOLUCION
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Prim
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n
Víctor Vidal Barrena
Por el punto P trazar una recta que sea
paralela al plano ABC y que se corte con la
recta MN.
PROBLEMA 5.4:
P (10,3,10.5);
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 67
P (10,3,10.5);
A (2,6,14), B (7,8,16), C (5,2,11),
M (8,4,14), N (11,5,10)
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Prim
eraE
dició
n
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SOLUCIÓN:
�Graficar todos
los puntos
dados según
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 68
sus
coordenadas
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Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
• Hallar el
punto de
intersección I
entre la recta
MN y el plano
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 69
MN y el plano
PQR.
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Prim
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dició
n
Víctor Vidal Barrena
• Desde el P
trazamos la
recta PI que
es el
segmento
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 70
segmento
buscado.
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Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Hallar la proyección frontal del punto C,
sabiendo que la recta AB es
perpendicular a la recta CD.
PROBLEMA 5.5:
A (4,4,14), B (7,8,11);
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 71
A (4,4,14), B (7,8,11);
C (2,?,12), D (8,4,16)
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCIÓN:
• Graficar
todos los
puntos dados
según sus
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 72
según sus
coordenadas
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
• Hallar la dimensión verdadera de la recta AB, trazando el plano de elevación “l” paralelo a dicha
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 73
“l” paralelo a dicha recta.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
En el plano de elevación
“l” y desde el punto D
trazamos una recta
perpendicular a la recta
AB proyectada en
dimensión verdadera; y
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 74
dimensión verdadera; y
prolongamos esta recta
que corte a la línea de
referencia del punto C.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Medir la cota del
punto C en el plano
de elevación y
trasladar dicho valor
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 75
al plano frontal,
determinándose la
proyección frontal de
C.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA 5.6:
AB es un lado de la base pentagonal de una
Pirámide regular de vértice V. Completar
las proyecciones de la Pirámide V –
ABCDE sabiendo que el lado AB es el de
mayor cota. Mostrar la visibilidad en todos
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 76
mayor cota. Mostrar la visibilidad en todos
los planos de proyección utilizados.
A(2,6,15), B(5,6,12); V(7,2, - )
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Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 77
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
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n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 78
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA 5.7:
ABCDE es un pentágono regular, base de
una Pirámide recta de vértice V.
Determinar las proyecciones de la
Pirámide y mostrar la visibilidad en todos
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 79
Pirámide y mostrar la visibilidad en todos
los planos de proyección utilizados.
A(4,5.5,10.5), C(7,1,14), V(6,6, - )
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 80
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA 5.8:
Completar las proyecciones principales
del cubo ABCD-EFGH, si se conoce la
proyección horizontal de la arista AB y
las direcciones N70ºO y S30ºE que
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 81
las direcciones N70ºO y S30ºE que
contienen a las aristas AD y AE
respectivamente.
Escala: 1:1 A(7,9,15), B(10.5, - ,18).
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCIÓN:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 82
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
VO es el eje de una pirámide regular
cuya base es un triangulo equilátero
ABC. VO mide 4cm y tiene una
orientación de S30ºO. Hallar las
proyecciones de la pirámide mostrar la
visibilidad en las vistas de proyección.
PROBLEMA 5.9:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
visibilidad en las vistas de proyección.
Escala 1:100
A( 4, 4, 15), V(6, 7, 17)
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
VO, es el eje de una pirámide regular cuyabase es un triangulo equilátero ABC. VOmide 5mt y tiene orientación S30ºO Hallar laproyección de la pirámide V-ABC si O es elcentro de su base, mostrar la visibilidad en
PROBLEMA 5.10:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
centro de su base, mostrar la visibilidad entodas las vistas de proyección utilizadas.
Escala : 1/100
O(4, 4, - ), V(6.5, 7, - .)
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
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