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1/20
1.
1. L
L1 L2SOLUCION:
DCL:
R1 R2
=+= 0;0 21 RPRFxComo los apoyos son rgidos, entonces L = constante. Luego
2
11
2
2211
21 00L
LRR
AE
LR
AE
LRLL ==+=+
Reemplazando R2 en la primera ecuacin:
PL
L
RL
LL
RL
L
RL
LR
PR =
=
+
=
+= 21221
12
1
12
11
1 10
Luego:
=
L
LPR 21 (Compresin)
=L
LPR 1
2 (Traccin)
2. La barra del problema anterior es de cobre con una longitud de 1 m y una seccin transversal de
10 cm2. Si E = 1,1 x 106 kg/cm2 y = 16 x 10-6 1/C, determinar: a) Las reacciones en los extremos
cuando la temperatura aumenta 30C; b) La holgura que deberan tener los apoyos para evitar la
aparicin de tensiones.
SOLUCION:a) DCL:
R1 R2
RRRRRFx ===+= 2121 0;0
Debido a la rigidez de los apoyos, el aumento de longitud originado por el aumento de temperatura,
debe ser compensado por una compresin en los apoyos. Es decir:
kgfxxxxxTAERAE
RLTLL
T52830101,11101600
66 =====
Como el rea es de 1 cm2
, la tensin es de 528 kg/cm2
en compresin.b) La holgura necesaria para evitar las tensiones, debe ser como mnimo igual a la dilatacin. Es
decir:mmcmxxxTLh 48,0048,0301001016 6 ====
3. Considerar un tubo de acero que rodea a un cilindro macizo de aluminio, comprimido todo el
conjunto entre placas rgidas. El cilindro de Al tiene 8 cm de dimetro y el tubo de acero tiene undimetro exterior de 10 cm. Si se aplica una carga P = 25 ton, determinar las tensiones en el acero y
en el aluminio. Las propiedades de los materiales son las siguientes:
P
La barra de la figura tiene seccin transversal constante y est
sujeta rgidamente entre los muros. Determinar las reacciones
en los apoyos en funcin de A y E.
P
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2/20
MATERIAL E, x 106 kg/cm2
Acero 2,1
Aluminio 0,7
SOLUCION:
DCL: PStPAl P
1 m
PLa carga total P, debe ser resistida por el cilindro de Al y el tubo de acero. Es decir:
PAl + PSt = P = 25.000
Debido a la rigidez de las placas de los extremos, los acortamientos de ambos elementos debe ser
igual.
( )
( ) ( )StSt
St
AlStAl
StSt
St
AlAl
AlStAl P
xx
xx
PAE
AEPP
EA
LP
EA
LP592,0
101,28104
107,04
8
622
6
2
=
====
Reemplazando en la primera ecuacin:
1,592PSt = 25.000 PSt = 15.697,67 kgf
( )
2
22
/19,555
8104
67,697.15cmkg
A
P
St
St
St =
==
PAl = 0,592PSt = 9.293,02 kgf2
2
/88,184
84
02,293.9cmkg
A
P
Al
AlAl ===
4. En el problema anterior, determinar las tensiones en ambos componentes si el cilindro de
aluminio es 0,3 mm ms corto que el tubo de acero.SOLUCION:
Suponiendo que la carga es suficiente para acortar los dos elementos, la primera ecuacin no
tiene variacin.
PAl + PSt = P = 25.000Sin embargo, la segunda ecuacin es diferente debido a las longitudes diferentes:
Nivel Inicial
St 0,03 cm
Al
( )( )
( ) St
Al
StAlAl
StSt
St
AlAl
Al
StAlAE
AEPAEP
EA
LP
EA
LP+==+=+
100
03,003,003,0
PAl = -10.555,75 + 0,592PStReemplazando en la primera ecuacin:
2
8 cm
10 cm
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1,592PSt = 35.555,75 PSt = 22.334 kgf
( )
2
22
/9,789
8104
334.22cmkg
A
P
St
StSt =
==
PAl = 2.666 kgf
2
2 /04,538
4
666.2
cmkgA
P
Al
Al
Al ===
5. En el problema anterior, determinar la holgura mnima para que no trabaje el cilindro de aluminio.SOLUCION: En este caso la carga completa deber ser tomada por el tubo de acero, es decir:
PSt = 25.000 kgf
mmcmxx
xh St 42,0042,0
101,29
100000.256min
====
6.
2 m
A B
8.000 kgf 8.000 kgf
SOLUCION:
PSt PCu PSt
A B
8.000 kgf 8.000 kgf
CuCuSt Pxx
xxPP 875,0
102,18
101,246
6
=
=
Reemplazando en la primera ecuacin obtenemos: PCu = 5.818,18 kgf; PSt = 5.090,91 kgf
2
/73,272.14
91,090.5cmkgA
P
St
StSt === ;2
/27,7278
18,818.5cmkgA
P
Cu
CuCu ===
7. En el problema anterior, determinar las tensiones en cada varilla si la temperatura: a) Aumenta
25C; b) Disminuye 25C. (St = 11x10-6 1/C; Cu = 16x10
-6 1/C).
SOLUCION:
Del problema anterior:
Fy = 0; 2PSt + PCu 16.000 = 0
3
La barra AB es absolutamente rgida y est soportada portres varillas. Las dos varillas de los extremos son de acero
y la central es de cobre. Calcular la fuerza y la tensin en
cada barra cuando se aplican las cargas indicadas y ABpermanece horizontal.
Por simetra, las fuerzas sobre cada varilla de los extremos son
iguales, lo que tambin puede obtenerse haciendo suma de
momentos en el centro de AB.Fy = 0; 2PSt + PCu 16.000 = 0
Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las
varillas son iguales:
CuCu
Cu
StSt
St
CuStEA
LP
EA
LP==
MATERIAL E, x 106 kg/cm2 Area A, cm2
Acero 2,1 4
Cobre 1,2 8
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4/20
Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las varillas son iguales, pero las
deformaciones totales tienen una componente de carga y otra por temperatura, esta ltima positiva
cuando la temperatura aumenta y negativa cuando disminuye.
a) ( ) ( ) CuTPStTPCuSt +=+=
CuSt
TLAE
PLTL
AE
PL
+=
+
251016102,18
251011101,24
6
6
6
6xx
xx
Pxx
xx
P CuSt +=+
PSt = 0,875PCu + 1.050
Reemplazando en la primera ecuacin se obtiene:PCu = 5.054,54 kgf; PSt = 5.472,73 kgf
2/1,684
8
73,472.5cmkg
A
P
Cu
Cu
Cu === ;2
/2,368.14
73,472.5cmkg
A
P
St
St
St ===
b) El nico cambio se produce en la ecuacin de deformaciones:
( ) ( )CuTPStTPCuSt
==
CuSt TLAE
PL
TLAE
PL
=
251016102,18
251011101,24
6
6
6
6xx
xx
Pxx
xx
P CuSt =
PSt = 0,875PCu - 1.050
Reemplazando en la primera ecuacin se obtiene:PCu = 6.581,82 kgf; PSt = 4.709,09 kgf
2/7,822
8
8,581.6cmkg
A
P
Cu
Cu
Cu === ;2
/3,177.14
1,709.4cmkg
A
P
St
StSt ===
8. Considerar un pilar cuadrado de hormign, de 30 x 30 cm de seccin y 2,5 m de altura, armadocon 8 barras verticales de acero de 4 cm2 de seccin cada una. Se aplica una fuerza axial de
compresin de 50 ton. Si los mdulos de elasticidad para el acero y el hormign, sonrespectivamente, 2,1 x 106 y 1,5 x 105 kg/cm2, determinar la tensin en cada material.SOLUCION:
ASt = 4 x 8 = 32 cm2; AH = 900 32 = 868 cm
2
PSt + PH = 50.000, o bien: 32St + 868H = 50.000; St + 27,125H = 1.562,5
Como las deformaciones deben ser iguales:
St = H HStHSt
x
L
x
L
12
1075,1101,256
==
Reemplazando se obtiene:
H = 39,94 kg/cm2; St = 479,24 kg/cm
2, ambas en compression.
9. Un tubo de acero A 37 24, vertical, de 60 cm de dimetro exterior y 58 cm de dimetro interiorest lleno de hormign. La resistencia de ruptura del hormign es de 175 kg/cm 2. Con un factor de
seguridad de 2 para el acero y de 2,5 para el hormign, determinar la mxima carga axial de
compresin que puede resistir el conjunto. ESt = 2,1 x 106 y EH = 1,5 x 10
5 kg/cm2.SOLUCION:
( ) 22 08,642.2584
cmAH ==
; ( ) ( )[ ] 222 35,18558604
cmASt ==
( ) 20 /200.12
400.2cmkg
FSStadm
===
; ( )2
/705,2
175cmkg
Hadm==
4
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
5/20
PSt + PH = P 185,35St + 2.642,08H = P
De las deformaciones: St = H St =12H
Si H = 70 St = 840 kg/cm2 < (adm)St
Si St = 1.200 H = 100 kg/cm2 > (adm)H
Por consiguiente: H = 70 y St = 840 kg/cm2
P =185,35 x 840 + 2.642,08 x 70 = 338.959,6 kgf
10. 2 Ton 5 Ton
2 5
75 cm 50 75
= ;0xF - RA + 4.000 - 10.000 + RD = 0 RD RA = 6.000Se ha supuesto que los intervalos AB y CD se encuentran ambos sometidos a traccin. Como las
paredes son rgidas, el alargamiento total debe ser cero.0=++ CDBCAB
AB B C
RA RA 4.000
C D
RD RD
( )0
7550000.475=++
AE
R
AE
xR
AE
R DAA
Simplificando:
3RA + 2RA 8.000 + 3RD = 0 5RA + 3RD = 8.000Resolviendo las dos ecuaciones simultneas se obtiene:
RA = - 1.250 kgf
RD = 4.750 kgf
11. Considerar la barra AB completamente rgida y horizontal antes de aplicar la carga de 10 ton.
120 60 60
10 Ton 180 cm
100
A B
BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cm
Cobre 6 1,2 16
Acero 4 2,1 11
5
A B C DLa barra AD, inicialmente recta, tiene seccin uniforme.
Determinar las fuerzas sobre cada intervalo.SOLUCION:
RA RD4.000 10.000
La varilla izquierda es de cobre y la de la derecha
es de acero. Determinar las fuerzas, tensiones yalargamientos en cada varilla.
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
6/20
SOLUCION:
DCL:
Ay PCu = 6Cu PSt = 4St
Ax
Cu St
10.000 kgf
== 00 xx AF000.1520240180000.101200 =+=+= StCuStCuA PPPPM
Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de
tringulos:
66102,16
100
2101,24
180
2240120
=
=
= CuSt
CuStStCu PP
De donde: PSt = 1,2963PCuReemplazando en la primera ecuacin obtenemos:
PCu = 4.175,26 kgf; PSt = 5.412,39 kgf
Las tensiones son:
2/9,695
6
26,175.4cmkg
A
PCuCu === ;
2/1,353.14
39,412.5cmkgSt ==
Alargamientos:
cmE
LCu 06,0
102,1
1009,6956
=
==
cmSt 12,0=
12. En el problema anterior, determinar las tensiones en ambas barras si se quita la carga y, encambio, se aplica una variacin de temperatura de: a) 40C; b) 40C.SOLUCION:
a) DCL: Se supondr que ambas barras quedan sometidas a traccin:
Ay PCu = 6Cu PSt = 4St
Ax
Cu St
== 00 xx AFStCuStCuStCuA PPPPPPM 20202401200 ==+=+=
StCuStCu
3
486 ==
Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de
tringulos:
6
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
7/20
CuSt
StCu=
=
2
240120
Pero ambas barras se alargan por la accin de la temperatura y, de acuerdo a lo supuesto, por la
accin de la aparicin de fuerzas internas.
( ) ( )CuSt
CuTPStTPTL
E
LTL
E
L
+=
+=+=+
22
TLE
LTLE
LCu
Cu
Cu
St
St
St +=+ 22
4010010162102,1
100
3
42401801011
101,2
180 66
6
6+
=+ StSt
307,94St = 48.800; St = 158,47 kg/cm2, en traccin como se supuso.
Cu = - 211,3 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que se supuso.
De donde: PSt = 633,9 kgf (Traccin) PCu = 1.267,8 kgf (Compresin)b) Nuevamente se supondr que ambas barras trabajan a traccin, por lo que se mantiene la primera
ecuacin. Sin embargo, como ahora la temperatura disminuye, las barras se acortarn por el efecto
de la temperatura, debiendo cambiar el signo en la segunda ecuacin.( ) ( )
CuSt
CuTPStTPTL
E
LTL
E
L
=
==
22
TLE
LTL
E
LCu
Cu
Cu
St
St
St =
22
4010010162102,1
100
3
42401801011
101,2
180 66
6
6
=
StSt
307,94St = - 48.800; St = 158,47 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que
se supuso.
Cu = 211,3 kg/cm2, en traccin, como se supuso.
De donde: PSt = 633,9 kgf (Compresin) PCu = 1.267,8 kgf (Traccin)
13.Al
20 cm2
60 cm 40
BARRA AREA, cm2
E x 106
, kg/cm2
x 10-6
, 1/CCobre 80 1,1 16
Aluminio 60 0,7 22
SOLUCION:
PCu = 80Cu PAl = 20Al
7
Cobre
A = 80 cm2
La barra compuesta de la figura est sujeta a los dosapoyos. A T = 20 C el sistema est sin tensiones. La
temperatura desciende y el apoyo derecho cede 0,4 mm.
Determinar la temperatura mnima a que puede someterseel sistema para que la tensin no exceda de 500 kg/cm 2 en
el aluminio y de 400 kg/cm2 en el cobre
Cobre
A = 80 cm2
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
8/20
Como el sistema permanece en equilibrio:
CuAlAlCuAlCu PP 42080 ===
Si Cu = 400 kg/cm2, se tiene que Al = 1.600 kg/cm
2 > 500. Por lo tanto:Al = 500 kg/cm
2 y Cu = 125 kg/cm2 < 400.
La disminucin de la temperatura produce un acortamiento del sistema, pero las reacciones
producen alargamientos. Por lo tanto:( ) ( ) 04,004,0 =+=+AlPTCuPTAlCu
04,0107,0
40500401022
101,1
60125601016
6
6
6
6 =
+
TT
( ) CTTT 82,626,389.756,389.35000.40200.140226016 ==+==+Como es una disminucin de temperatura sta es negativa. Por lo tanto:
CTTTTT 82,422082,622212
====
14.
1 m
10 cm
SOLUCION:El radio, para una posicin x es:
( ) ( ) ( )xxxxR +=+=+= 10020
1100
100
5
100
55
Entonces el rea en una posicin cualquiera es:
( ) ( ) 22 10020
xRxA x +==
a) Cuando la temperatura desciende la barra se acorta por temperatura y se alarga por esfuerzos de
traccin originados por una fuerza P que, por condiciones de equilibrio, debe ser constante.El alargamiento de un disco de radio Rx y longitud dx, localizado a la distancia x del extremo
izquierdo es:
TdxdxEA
Pd
x
P ==
Es decir:
( )
=
=
+
=+
= 2
11
4
100
1
200
1400
100
1400
10020
100
0
100
0
100
02
2
E
P
E
P
xE
P
x
dx
E
P
A
dx
E
P
x
kgfPdxTE
PT 8,570.72
2
101,22010111002 66100
0
====
Entonces, la tensin es mxima cuando el rea es mnima:
2
0
max/924
25
8,570.72cmkg
A
P===
, en traccin
b) Al aumentar la temperatura en 20 C, la tensin tiene la misma magnitud pero es de compresin.
8
20cm
Considerar la barra cnica de acero, inicialmente
libre de tensiones. Determinar la mxima tensin
en la barra si la temperatura: a) Desciende 20 C;b) Aumenta 20 C. E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11 x
10-6 1/C.
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
9/20
P
De donde, CT 9,90
16. En el problema anterior cunto debe disminuirse la temperatura para que toda la carga la
soporte el tubo de acero?
SOLUCION:En este caso para que toda la carga la resista el acero, la disminucin de longitud de ste originado
por la temperatura ms el acortamiento por carga debe ser mayor o igual que la contraccin del
cobre. Es decir:
( ) ( )CuTStPT
+
TLL
TL
+ 66
61016
101,220
000.301011
De donde, CT 9,142
17. La barra ABD es completamente rgida y est articulada en A y unida a las barras BC, de bronce
E30 cm 40 cm
30
A B D
40
C
BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cm
Bronce 6 1 18
Acero 2 2,1 11
9
Cu
15. Un cilindro hueco de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11
x10-6 1/C) rodea a otro macizo de cobre (E = 1,1 x106
kg/cm2; = 16 x 10-6 1/C) y el conjunto est sometido a unafuerza axial de compresin de 30.000 kgf. La seccin del
acero es de 20 cm2 mientras que la del cobre es de 60 cm2.
Determinar el aumento de temperatura necesario para
colocar toda la carga en el cobre. El conjunto tiene unalongitud de 5 m.
SOLUCION:Para que toda la carga la resista el cobre, el aumento de
longitud de ste originado por la temperatura menos el
acortamiento por carga debe ser mayor o igual que la
dilatacin del acero. Es decir:
( ) ( )StTCuPT
TLL
TL
66
61011
101,160
000.301016
y a la ED, de acero. Determinar las tensiones enambas barras si la temperatura de BC desciende 20
C mientras que la de ED aumenta 20 C.
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
10/20
SOLUCION: Se supone que, por efecto de las fuerzas internas que se generan por los cambios de
temperatura, la barra de acero trabaja en traccin, mientras que la barra de bronce lo hace en
compresin; pero la barra de bronce se acorta por temperatura, mientras que la barra de acero se
dilata.DCL:
Ay PBr = 6Br PSt = 2St
Ax
Br St
== 00 xx AF
StBrStBrAM 9
707023060 ==+=
Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza detringulos:
BrSt
StBr=
=
3
7
7030
De acuerdo a lo supuesto, por la accin de la aparicin de fuerzas internas.
( ) ( )BrSt
BrTPStTPTL
E
LTL
E
L
+=
+=+=+
3
7
3
7
TLE
LTL
E
LBr
Br
Br
St
St
St +=+
3
7
3
7
2040101837
101
409
7
3720301011
101,230 6
6
6
6+
=+
StSt
8,69St = 2.700 St = 310,7 kg/cm2, en traccin como se supuso.
Br = - 241,72 kg/cm2, en traccin, contrario a lo que se supuso.
18. En el problema anterior, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura delconjunto desciende 20 C.
SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:
( ) ( ) BrStBrTPStTP TLEL
TLE
L
+=
=+=
3
7
3
7
TLE
LTL
E
LBr
Br
BrSt
St
St +=
3
7
3
7
204010183
7
101
409
7
3
720301011
101,2
30 66
6
6+
=
StSt
8,69St = 4.020 St = 462,72 kg/cm2, en traccin como se supuso.
Br = - 359,9 kg/cm2, en traccin, contrario a lo que se supuso.
10
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
11/20
19. En el problema 17, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura del conjunto
aumenta 20 C.
SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:
( ) ( )BrSt
BrTPStTPTL
E
LTL
E
L
+=
==+
3
7
3
7
TLE
LTL
E
L
BrBr
Br
StSt
St =+
3
7
3
7
204010183
7
101
409
7
3
720301011
101,2
30 66
6
6
=+
StSt
8,69St = - 4.020 St = - 462,72 kg/cm2,. en compresin, contrario a lo que se
supuso.
Br = -359,9 kg/cm2, en compresin como se supuso.
20. En el problema 17, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura de la barra BC
aumenta 20 C y en ED disminuye 20 C.SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:
( ) ( )BrSt
BrTPStTPTL
E
LTL
E
L
=
==
3
7
3
7
TLE
LTL
E
LBr
Br
BrSt
St
St =
3
7
3
7
204010183
7
101
409
7
3
720301011
101,2
30 66
6
6
=
StSt
8,69St = - 2.700 St = - 310,7 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que se
supuso.
Br = 241,72 kg/cm2, en compresin, como se supuso.
21.
B C D
L
A
FAC
FAB FAD P
== ADABx FFF 0
=+= PFFF ACABy cos20P
Como se dispone de dos ecuaciones para tres incgnitas, se procede a analizar las deformaciones.
AC
11
Considerar la armadura articulada, hiperesttica, de lafigura. Antes de aplicar la carga P el sistema est libre de
tensiones. Determinar la fuerza axial que soporta cada
barra cuando se aplica la carga P. Todas las barras tienen
la misma seccin transversal y el mismo mdulo elstico.SOLUCION:
AB = ACcos
2coscoscos
ACAB
ACAB
FFAE
LF
AE
LF
==
( ) 33
cos211cos2 +==+P
FPF ACAC
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
12/20
AB
3
2
cos21
cos
+==
PFF ADAB
22. En el problema anterior, determinar los esfuerzos sobre cada barra y el desplazamiento vertical
del punto A, considerando: P = 10.000 kgf; A = 10 cm2; L = 40 cm; = 30; E = 2,1 x 106 kg/cm2.
SOLUCION:
( )2
33/97,43465,349.4
866,021
000.10
cos21cmkgkgf
PF ACAC ==
+=
+=
2
3
2
/2,32623,262.3cos21
coscmkgkgf
PFF ABADAB ==+
==
mmmcmE
LACAC
83083,00083,0101,2
4097,4346 ===
==
23. En el problema anterior suponer que a la carga de 10.000 kgf se superpone un cambio detemperatura. Calcular las tensiones cuando la temperatura: a) Aumenta 20 C; b) Disminuye 20 C.
SOLUCION:
a) Con el aumento de temperatura las barras se alargan por carga y por temperatura. Porconsiguiente:
( ) ( ) coscosACTPABTPACAB
+=+=
30cos20401012101,2
30cos4020
30cos
401012
101,2
30cos
40
6
6
6
6
+
=+
AC
AB
16833,128,771.25,1699,21 +== ABACACAB 000.101030cos102000.1030cos2 =+=+ ACABACAB FF
( ) 2/7,271000.116833,130cos2 cmkgABAB ==++
2/4,529 cmkgAC =
24.
L
10 15 cmSOLUCION:
DCL:
R1 R2
=+= 0;0 21 RPRFxComo los apoyos son rgidos, entonces L = constante. Luego
12
P
Una barra cuadrada de 5 cm de lado est sujeta rgidamente
entre los muros y cargada con una fuerza axial P = 20 ton..
Determinar las reacciones en los apoyos y el alargamientodel lado derecho. E = 2,1 x 106 kg/cm2..
P
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13/20
3
20
15100 12
21
21
RR
AE
R
AE
R==
+
=+
Reemplazando R2 en la primera ecuacin:
==
= kgfRRR
PR 000.12000.203
50
3
21
11
1
R2= 8.000 kgf
mmmcm 23023,00023,0101,225
15000.862
====
25. Calcular las reacciones en el problema anterior si el apoyo derecho cede 0,01 mm.
SOLUCION:
000.251,21510001,01510
001,0 2121
21 =+=
+
=+ RRAE
R
AE
R
2R1 + 3R2 = 10.500De la esttica: - R 1 + R2 = 20.000 - 2R1 + 2R2 = 40.000De donde. R 2 = 10.100 kgf; R 1 = - 9.900 kgf
Comprobacin:00289,0
101,225
15100.10;00189,0
101,225
10900.96261=
==
=
cm001,021 =+=
26. En el problema 24 cunto debe ceder el apoyo derecho para que toda la carga la resista la barraizquierda?
SOLUCION:
En este caso R2 = 0, y R1 = 20.000 kgf. Por lo tanto:
cm0038,0101,225
10000.206=
=
P
FH
FH
FF
F
HH
H
FHPP
PP
EA
LP
EA
LP3478,0
1005,165610175,0369.166
=
=
== De
donde:
PF = 51.935,9 kgf; F = 79,17 kg/cm2
PH = 18.064,1 kgf; H = 13,2 kg/cm2
13
37 cm
45 cm
27. Un corto tubo de fundicin (E = 1,05 x 106 kg/cm2), deseccin cuadrada est lleno de hormign (E = 0,175 x106
kg/cm2) y el conjunto est sometido a una fuerza axial de
compresin de 70.000 kgf. El conjunto tiene una longitud de90 cm. Determinar la. tensin en cada material y el
acortamiento del conjunto.
SOLUCION:
AH = 372 = 1.369 cm2; AF = 45
2 372 = 656 cm2
PH + PF = 70.000
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
14/20
cm0068,010175,0
902,136=
=
60 cm 25
PBr PAlSOLUCION:Por condiciones de equilibrio esttico:
BrAlAlBrAlBr PP
3
296 ===
Se ha supuesto que ambas barras trabajan a traccin, por lo tanto:
a) ( ) ( ) 00 =+=+ AlTPBrTPAlBR
02225102,22107,0
252260107,17
1098,0
60 66
6
6=
+
AlBr
BrAlAlBr 71,12,9960574.3571,3522,61 ==+
De donde: Br = 418,4 kg/cm2 (Traccin)
Al = 278,9 kg/cm2 (Traccin)
b) En este caso:
( ) ( ) 012,0012,0 =+=+AlTPBrTPAlBR
012,02225102,22107,0252260107,17
1098,060 6
6
6
6 =+
AlBr
BrAlAlBr 71,115,660000.12574.3571,3522,61 ==+
De donde: Br = 277,76 kg/cm2 (Traccin)
Al = 184,84 kg/cm2 (Traccin)
29. En el problema anterior, cunto deberan ceder los apoyos para que no existan tensiones?SOLUCION:
( ) ( ) ( ) ( ) =+=+=+aLtbRtAlTPBrTPAlBR
cm0356,02225102,222260107,17 66 ==
30. En el problema 28 cunto deberan ceder los apoyos para que las tensiones no excedan de 200
kg/cm2 en el bronce y de 100 kg/cm2 en el aluminio?SOLUCION:
De la ecuacin de equilibrio esttico:
BrAl 3
2= , Por lo tanto, si Br = 200, entonces Al = 133,3 kg/cm2 que es > Adm.
Por consiguiente: Al = 100 kg/cm2 y Br = 150 kg/cm
2 que es < que adm.
14
Al
Bronce
28. Dos barras inicialmente rectas estn unidas entre s y
sujetas a apoyos rgidos. La de la izquierda es de bronce (E= 0,98 x 106 kg/cm2; = 17,7 x10-6 1/C; A = 6 cm2 ) y la de
la derecha es de aluminio (E = 0,7 x106
kg/cm2
; = 22,2 x10-6 1/C A = 9 cm2 ). El conjunto est libre de tensiones yentonces la temperatura desciende 22 C. Determinar la
tensin en cada barra: a) Si los apoyos no ceden; b) Si el
apoyo derecho cede 0,12 mm.
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
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Luego: ( ) ( ) =+=+ AlTPBrTPAlBR
cm0229,02225102,22107,0
251002260107,17
1098,0
60150 66
6
6==
+
SOLUCION:
Por condiciones de equilibrio:
( ) ( ) 22222 045,1175,34
;43,44,454
cmAcmA BrSt ====
PSt + PBr = 0 BrStBrSt 493,2045,1143,4 ==Suponiendo ambos elementos en traccin:
( ) ( )BrTPStTPBrSt
+=+=
95107,171098,0
951011101,2
493,2 66
6
6+
=+
LL
LL BrBr
- 2,207Br = 636,52
/4,288 cmkgBr = , en compresinSt = 719,1 kg/cm
2 en traccin, como se supuso.
32. En el problema anterior cul puede ser el mximo aumento de temperatura si las tensiones no
deben exceder de 200 kg/cm2 en el bronce y de 600 kg/cm2 en el acero?
SOLUCION:De la ecuacin de equilibrio: BrSt 493,2=Si Br = - 200, St = 498,6 kg/cm
2 < Adm
Por lo tanto: TLL
TLL
+
=+
6
6
6
6107,17
1098,0
2001011
101,2
6,498
CTT 9,657,65,441 ==
33. Un pilar corto de hormign armado est sometido a una carga axial de compresin. Ambosextremos estn cubiertos por placas infinitamente rgidas. Si el esfuerzo en el hormign (E H = 0,175
x 106 kg/cm2) es de 65 kg/cm2, determinar la tensin en el acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2).
SOLUCION:
2
66/78012
101,210175,0cmkg
LHSt
StHStH ==
=
=
P P
15
31. Un tubo de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11 x 10 -6
1/C), de 5 cm de dimetro exterior y 4,4 cm de dimetrointerior rodea a un cilindro macizo de bronce (E = 0,98 x10 6
kg/cm2; = 17,7 x 106 1/C) de 3,75 cm de dimetro y elconjunto est libre de tensiones. A 25 C El conjunto tiene una
longitud de 1 m. Determinar la. tensin en cada material
cuando la temperatura aumenta hasta 120 C
Bronce
Cobre
34. Una barra compuesta est constituida poruna tira de cobre (E = 0,9 x 106 kg/cm2) entre
dos placas de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2).
El ancho de todas las barras es de 10 cm; lasplacas de acero tienen un espesor de 0,6 cm
cada una y el espesor de la placa de cobre es
de 1,8 cm.
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Determinar la mxima carga P que puede aplicarse. La tensin de rotura del acero de 5.600 kg/cm 2 yla del cobre es de 2.100 kg/cm2. Usar un factor de seguridad de 3 basado en la tensin de rotura de
cada material.
SOLUCION: ACu = 1,8 x 10 = 18 cm
2
; ASt = 2 x 0,6 x 10 = 12 cm
2
P = PSt + PCu; P = 12St + 18Cu
( ) ( ) 22 /7003
100.2;/7,866.1
3
600.5cmkgcmkg
CuadmStadm====
CuSt
CuSt
CuSt
LL
3
7
109,0101,266
=
=
=
Si Cu = 700, St = 1.633,3 kg/cm2 < (adm)St, por lo tanto:
P = 12 x 1.633,3 + 18 x 700 = 32.200 kgf
P = 25.000 kgf
( ) ( ) 22222 18,445,74
;9,1232,815
4
cmAcmA StrAl ====
AlSTStAl 8,29,565000.2518,449,123 ==+
Suponiendo ambos elementos en compresin:
( ) ( )BrTPStTPBrSt
+=++=+ 025,0025,0
3050102,22107,0
50025,030025,501011
101,2
025,50 66
6
6+
=++
AlSt
6,344343,7125,208.882,23 ==+ AlStAlSt
De donde: 5,8Al = 910,52
/157 cmkgAl = , en compresinSt = 126,4 kg/cm
2 en compresin, como se supuso.
36. En el problema anterior determinar la disminucin de temperatura necesaria para que toda la
carga la resista el acero.
SOLUCION:En este caso: PSt = 25.000 kgf; PAl = 0; St = 565,84 kg/cm
2
( ) ( )BrTStTPBrSt
=++=+ 025,0025,0
TT =++
50102,22025,0025,501011101,2
025,5084,565 666
16
35. Un tubo recto de aliminio (E = 0,7 x 10 6 kg/cm2; = 22,2 x
10-6 1/C), de 150 mm de dimetro exterior y 82 mm de
dimetro interior rodea a un cilindro macizo de acero (E = 2,1x106 kg/cm2; = 11 x 106 1/C) de 75 mm de dimetro; el
aluminio es 0,25 ms largo que el acero antes de aplicarninguna carga. El conjunto tiene una longitud de 0,5 m.
Determinar la. tensin en cada material cuando la temperatura
desciende 30 C y acta toda la carga.
SOLUCION:Por condiciones de equilibrio: PSt + PBr = 25.000
Acero
75
mm
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( ) == CTT 75,68025,5011502,2212,479.38
37. Determinar las tensiones en el problema 35 si no hay cambio de temperatura.
SOLUCION:
AlST 8,29,565 =Suponiendo ambos elementos en compresin:
( ) ( ) BrPStPBrSt =++=+ 025,0025,0
66107,0
50025,0
101,2
025,50
=+
AlSt
5,049.1343,71000.2582,23 ==+ AlStAlSt
De donde:2
/5,2784,615.18,5 cmkgAlAl == , en compresin, como se supuso.
St = - 213,96; Este resultado es imposible, puesto que ninguno de los dos componentes
puede trabajar en traccin. Por lo tanto St = 0 y2
/78,2019,123
000.25cmkgAl == .
El resultado anterior se explica porque 025,00144,0107,0
5078,2016
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18/20
15 cm
A B C
X
12.000 kgf
SOLUCION:
DCL:
PSt = 1,2St PBr = 3Br PCu = 1,8Cu
12.000 kgf
=+= 01508,1000.129030 CuBrA xM (a) =++= 08,13000.122,10 CuBrStyF (b)Como la barra es rgida y permanece horizontal los alargamientos de los tres cables son iguales.
( ) ( ) ( )CuTPBrTPStTPCuBrSt
+=+=+==
14201016102,1
201415107,17
1098,0
1514251011
101,2
256
66
66
6 +=+=+ CuBrSt
De la ltima ecuacin se obtiene:18,11286,113331,159,11 == BrStBrSt (c)
94,524,163067,169,11 +== CuStCuSt (d)
Resolviendo el sistema de ecuaciones b, c y d:222
/748.1;/1,951.1;/15,500.2 cmkgcmkgcmkg CuBrSt === De la ecuacin a):
,23,83000.12
748.12701,951.1270cmX =+= a la derecha de A.
40. Resolver el problema anterior considerando que la temperatura disminuye 14 C.
SOLUCION:
Se supondr que la barra ABC desciende con respecto a su posicin inicial. Por tanto:
( ) ( ) ( )CuTPBrTPStTPCuBrSt
====
14201016102,1
201415107,17
1098,0
1514251011
101,2
25 66
6
6
6
6
=
=
CuBrSt
694,878,018,11286,113331,159,11 =+=+= StBrBrStBrSt
81,37714,094,524,163067,169,11 +=== StCuCuStCuSt
BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cm
Acero 1,2 2,1 11
Bronce 3 0,98 17,7
Cobre 1,8 1,2 16
18
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19/20
Reemplazando en la ecuacin de suma de fuerzas verticales:222
/35,807.1;/4,924.1;/35,478.2 cmkgcmkgcmkgCuBrSt
===
,96,83000.12
35,807.12704,924.1270cmX =+=
D E
120 120
90 cm
A B C
SOLUCION:
DCL:
Ay PCu = 12Cu PSt = 6St
Ax
Cu St
== 00 xx AFCuStStCuStCuAM ==+=+= 002406120120
Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de
tringulos:
( ) ( )CuTPStTPCuSt
StCu+=+=
=
22
240120
409010162102,1
90240901011
101,2
90 66
6
6+
=+ CuSt
CuCuStCuSt =+=+= 7,764.15,3840667,1476,0De donde: Cu = - 392,2 kg/cm
2, en compresin; St = 392,1 kg/cm2, en traccin.
D E
120 120
BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cm
Cobre 12 1,2 16
Acero 6 2,1 11
19
41. La barra ABC es completamente rgida einicialmente est horizontal. La barra DB es de cobre y
la CE es de acero. Determinar las tensiones en cada
barra cuando la temperatura aumenta 40 C..
42. La barra ABC es completamente rgida e
inicialmente est horizontal. El peso de ABC es de
5.000 kg. La barra DB es de cobre y la CE es de acero.Determinar las tensiones en cada barra cuando la
temperatura aumenta 40 C..
7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos
20/20
90 cm
A B C
SOLUCION:
DCL:
Ay PCu = 12Cu PSt = 6St
Ax
Cu St
5.000
== 00 xx AF33,2080240660000.5120120 =+=+= StCuStCuAM
Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de
tringulos:
( ) ( )CuTPStTPCuSt
StCu+=+=
=
22
240120
409010162102,1
90240901011101,2
90 66
6
6 +
=+
CuSt
7,764.15,3840667,1476,0 +=+= CuStCuSt
De donde: Cu = - 345,9 kg/cm2, en compresin; St = 554,2 kg/cm
2, en traccin.
43.
BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cm
Cobre 12 1,2 16
Acero 6 2,1 11
20
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