Todo Matemáticas
Volumen 5
G e o m e t r í a A n a l í t i c a
A l e j o G o n z á l e z C r i a d o Profesor Numerario de Matemáticas
2
Destinado a
El Fígaro autodidacta:
Todo aquel que albergue algún
interés por las Matemáticas y disfrute con su estudio.
Obra completa:
Formación básica,
Formación nivel medio
Formación nivel alto
© 𝐸𝑙 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑟: 𝐴𝑙𝑒𝑗𝑜 𝐺𝑜𝑛𝑧á𝑙𝑒𝑧 𝐶𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜
Figuras y gráficos del autor
Edita: El Autor
Nueva edición Octubre 2019
Editado en España
ISBN:
Depósito Legal:
Derechos reservados:
Prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin
autorización del autor.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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4
VOLUMEN 5
Geometría Analítica en el Plano y en el
Espacio. Vectores fijos, vectores libre.
Espacios Vectoriales
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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6
ÍNDICE
pág.
Tema 1 Introducción a la Geometría Analítica en el Plano
21 1.1.- Sistema de Referencia Cartesiano en el Plano.
Coordenadas de un punto
22 1.2.- Recordatorio de la Trigonometría en el Plano
26 1.3.- Vectores fijos en el Plano. Operaciones básicas
29 1.4.- Producto Escalar de dos vectores
Tema 2 Geometría Analítica en el Plano
35 2.1.- Ecuación de la recta en el Plano. Sus tipos
40 2.2.- Distancias en el Plano
2.2.1.- Distancia entre dos puntos
41 2.2.2.- Distancia desde un punto a una recta
44 2.2.3.- Distancia d(P,r), r: Ax+By+C = 0
45 2.2.4.- Distancia entre dos rectas
45 2.3.- Posición relativa de dos rectas
2.3.1.- Paralelismo y perpendicularidad
49 2.3.2.- Ángulo formado por dos rectas
50 2.4.- Bisectrices de los ángulos formados por dos
rectas.
53 2.5.- Estudio de la Circunferencia
2.5.1.- Ecuaciones
55 2.5.2.- Posición relativa entre recta y circunferencia
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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56 2.5.3.- Potencia de un punto respecto de una circunferencia
60 2.5.4.- Eje radical de dos circunferencias
63 2.5.5.- Centro radical de tres circunferencias
64 2.5.6.- Construcción geométrica del eje radical
68 2.5.7.- Tangentes a la circunferencia desde un punto P exterior.
70 2.6.- Haz de rectas
2.7.- Estudio del triángulo
71 2.7.1.- Medianas. Cálculo del Baricentro.
Teorema de las medianas.
76 2.7.2.- Mediatrices. Cálculo del circuncentro.
79 2.7.3.- Alturas. Cálculo del Ortocentro.
82 2.7.4.- Bisectrices. Cálculo del Incentro.
86 2.7.5.- Caso del Triángulo rectángulo.
2.8.- Cónicas: Estudio completo
89 2.8.1.- Elipse
96 2.8.2.- Hipérbola
103 2.8.3.- Parábola
113 ACTIVIDADES y Problemas
Tema 3 Introducción a la Geometría Analítica
en el Espacio
125 3.1.- Sistema de Referencia Cartesiano en el Espacio.
Coordenadas de un punto
126 3.2.- Vectores fijos en el Espacio. Operaciones básicas
129 3.3.- Producto Escalar de dos vectores en el espacio
131 3.4.- Sistema de referencia orgonal. Sistema de referencia
8
ortonormal
Tema 4 Geometría Analítica en el Espacio
135 4.1.- La recta y el plano en el Espacio
138 4.2.- Ecuación del plano en el Espacio. Sus tipos
141 4.3.- Posición relativa entre dos planos
145 4.4.- Posición relativa de tres planos
146 4.5.- Ecuación de la recta en el Espacio. Sus tipos
148 4.6.- Posición relativa entre recta y plano
153 4.7.- Posición relativa entre dos rectas Ejemplos/Problemas
157 4.8.- Distancias en el Espacio
157 4.8.1.- Distancia entre dos puntos
157 4.8.2.- Distancia desde un punto a recta
161 4.8.3.- Distancia desde un punto a plano
164 4.8.4.- Distancia desde el origen a un Plano
168 4.8.5.- Distancia entre dos planos
169 4.8.6.- Distancia desde una recta a plano
170 4.8.7.- Distancia entre dos rectas
173 4.9.- Haz de planos
175 ACTIVIDADES y Problemas resueltos
Tema 5 Vectores libres. Espacios Vectoriales
199 5.1.- Vectores fijos en el Plano. Operaciones básicas
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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200 5.2.- Vectores libres en el Plano
202 5.3.- Operaciones básicas con vectores libres.
Estructura de Espacio vectorial V2
204 5.4.- Dependencia e Independencia lineal de vectores en V2
206 5.5.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.
Bases en V2
207 5.6.- Vectores fijos en el Espacio
209 5.7.- Vectores libres en el Espacio
211 5.8.- Operaciones básicas con vectores libres.
Estructura de Espacio vectorial V3
212 5.9.- Dependencia e Independencia lineal de vectores en V3
213 5.10.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.
Bases en V3
214 5.11.- Producto Escalar de dos vectores en V3: Generalización
215 5.12.- Producto Escalar ordinario Sistema de Referencia
ortogonal. Sistema de Referencia ortonormal
218 5.13.- Producto Vectorial de dos vectores.
Propiedades del Producto vectorial
221 5.14.- Interpretación geométrica del producto vectorial.
Cálculo de áreas
222 5.15.- Producto Mixto de tres vectores. Propiedades del
producto mixto. Expresión en coordenadas coordenadas
224 5.16.- Interpretación geométrica del producto mixto.
Aplicación al Cálculo de Volúmenes. Ejemplos
229 ACTIVIDADES y Problemas
10
Tema 6 Espacio Vectorial de dimensión n
233 6.1.- Estructura de Espacio vectorial en Rn
234 6.2.- Base canónica en Vn
235 6.3.- Dependencia e Independencia lineal
238 6.4.- Sistema libre, Sistema generador
239 6.5.- Bases de un Espacio vectorial. Dimensión de Vn
240 6.6.- Extracción de un Sistema libre. Ejemplos
242 6.7.- Cómo obtener las coordenadas de un vector respecto
de una base. Ejemplos
243 6.8.- Cambio de base. Ejemplos
Tema 7 Ampliación y Aplicación de la Trigonometría
253 7.1.- Razones trigonométricas de Suma/Resta de ángulos
255 7.2.- Fórmula del Producto de r.t.
256 7.3.- Fórmula de la Suma/Resta de r.t.
256 7.4.- Teorema de los senos
258 7.5.- Teorema del coseno
260 7.6.- Resolución de Triángulos. Cálculo de áreas
263 7.7.- Aplicación al Cálculo del Área de un triángulo
267 APÉNDICE I: Suplemento Geometría Analítica en el plano
Ortogonalidad, Ecuación segmentaria, Cosenos directores,
Distancias, …
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
11
277 APÉNDICE II: Suplemento Geometría Analítica en el Espacio
Ecuación segmentaria, Plano dados tres puntos, Cosenos
directores, Distancias, Ángulos, Las rectas en el espacio,
Cálculo de áreas, Cálculo de volúmenes.
307 PROBLEMAS resueltos:
307 -Geometría y método vectorial
317 -De Trigonometría
322 -Problemas métricos en el Plano
326 -Problemas sobre la Circunferencia
333 -Problemas sobre Cónicas
345 -De Números complejos
347 COLECCIÓN de Problemas geométricos propuestos y con
indicación del resultado: De figuras geométricas, De Espacios
vectoriales.
393 CONSTRUCCIÓN con Regla y Compás: Triángulo, Hexágo,
Pentágono.
399 BIBLIOGRAFÍA
403 Notación y nomenclatura. Valores
12
Tema 1
Introducción a la Geometría Analítica en el plano
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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1.1.- Sistema de Referencia cartesiano en el plano.
Coordenadas de un punto
Observa la figura
Fijamos dos rectas ox y oy, perpendiculares entre sí, y fijamos como
origen para la toma de medidas el punto O, corte de estas dos rectas.
El Sistema de referencia está formado por la terna R(ox,oy;O).
Ox la llamamos “eje de abscisas”, oy la llamamos “eje de ordenadas”,
O es el origen.
Coordenadas de un punto:
Marcamos un punto P del plano y por él trazamos dos rectas; la recta r1
paralela a oy, la recta r2 paralela a ox. La recta r1 corta a ox en un punto
P1, y r2 corta a oy en un punto P2.
El segmento OP1 tiene su medida x1, y el segmento OP2 tiene también
su medida x2.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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Llamamos “coordenadas de P” al par (x1 , x2), en el Sistema de
referencia fijado.
Al valor x1 lo llamamos ‘abscisa’ de P, al valor x2 lo llamamos
‘ordenada’ de P.
1.2.- Iniciación a la Trigonometría, o Recordatorio
Observa la figura
Los dos triángulos son semejantes por tener los tres ángulos iguales, y
por tanto b/r = b’/r’, a/r = a’/r’ . Por otro lado, si el triángulo es
rectángulo es suficiente dar el ángulo v, puesto que el ángulo en B vale
90º-v. Esto nos dice que los valores b/r y a/r dependen solo del ángulo v.
Por tanto permite definir las ‘razones’ a/r, b/r en función de v, dándoles
nombre como sigue:
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seno de v = 𝑏
𝑟
coseno de v = 𝑎
𝑟
A partir de estas definimos también
tangente de v = 𝑏
𝑎 =
𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜
cotangente de v = 𝑎
𝑏 =
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜
secante de v = 𝑟
𝑎 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜
cosecante de v = 𝑟
𝑏 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑜
La notación convenida en matemáticas es la siguiente:
sen(v) = 𝑏
𝑟 , cos(v) =
𝑎
𝑟
tan(v) = 𝑠𝑒𝑛(𝑣)
cos (𝑣) , cota(v)=
𝑐𝑜𝑠(𝑣)
sen(𝑣)
sec(v) = 1
cos (𝑣) 1/cos(v), cose(v)=
1
sen(𝑣)
En la práctica procedemos como sigue:
Tomo una circunferencia con centro en O y radio r. En la circunferencia
marco un punto P, y trazo desde O una semirrecta que cortará a la
circunferencia en el punto P. Por P trazo una paralela a ox, que cortará a
oy determinando el segmento b. Por P trazo una paralela a oy, que
cortará a ox determinando el segmento a.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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Def.:
Si llamamos u al ángulo que forman la semirrecta +ox y la semirrecta
determinada por OP, definimos:
Cos(u) = 𝑎
𝑟 , Sen(u )=
𝑏
𝑟
Y tomando estas definimos: tan(u), cota(u), sec(u), cose(u), como vimos
más arriba.
NOTA: Si u > 360º debemos hacer lo siguiente:
Divido u entre 360 y me quedo con u = resto de esta división.
Si el ángulo u viene ddado en radianes y u > 2.pi, hacemos lo mismo: u
dividido entre 2.pi y tomo u = resto.
Observa gráficamente lo que esto significa.
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Propiedades Muy importantes:
Teniendo en cuenta el Teorema de Pitágoras el alumno será capaz de
comprobar (demostrar) las siguientes igualdades, para cualquier ángulo
v:
sen2(v) + cos
2(v) = 1
1 + tan2(v) = sec
2(v)
1 + cota2(v) = cose
2(v)
IMPORTANTE:
La medida del ángulo v se obtiene trazando un arco desde cualquier
pundo del semieje +ox, girando en sentido contrario a las agujas del
reloj, hasta encontrarse con la semirecta que pasa por P. Por convenio,
haciéndolo así el valor de v es positivo. Cuando giramos en el mismo
sentido de las agujas del reloj el valor de v es negativo.
Para el signo de los segmentos a, b, tenemos en cuenta lo que ya
debemos sabe:
Por el eje ox: Partiendo de O hacia derecha es positivo, hacia la
izquierda es negativo.
Por el eje oy: Partiendo de O hacia arriba es positivo, hacia abajo
es negativo.
Algunos valores más frecuentes:
cos(0º) = 1 , sen(0º) = 0
cos(30º) = √3
2 , sen(30º =
1
2
Cos(45º) = √2
2 , sen(45º) =
√2
2
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Cos(60º) = 1
2 , sen(60º) =
√3
2
Cos(90º) = 0, sen(90º) = 1
Cos(180º = -1, sen(180º) = 0
Cos(270º) = 0, sen(270º) = -1
Cos(360º) = 1, sen(360º) = 0
1.3.- Vectores fijos en el Plano. Operaciones básicas.
Si no decimos otra cosa supondremos que tenemos en el plano un
Sistema de referencia cartesiano (sus ejes son perpendiculares entre sí).
¿Qué es un vector?
Observa las siguientes figuras
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Dados dos puntos P(x1,y1), Q(x2,y2), tenemos el segmento PQ, sin
especificar si lo recorremos de P a Q o de Q a P.
Pero si convenimos que la distancia PQ hemos de recorrerla desde P
hasta Q tenemos el vector v= PQ, y si lo hacemos desde Q hasta P
tenemos el vector w= QP. A éste lo podemos llamar ‘el opuesto de v
(hemos hecho el recorrido en sentido contrario).
Observa: Un vector es un ‘segmento orientado’.
A los valores
a = x2-x1, b = y2-y1
los llamaremos ‘componentes’ del vector, y a ‘v’ lo llamamos ‘vector
fijo’ en el plano.
Escribiremos indistintamente
v = (x2-x1 ; y2-y1) ó v = (a,b)
A veces indicamos la orientación mediante flecha ---> que va desde P
hasta Q (ver gráfico).
Para el vector opuesto w= QP tenemos:
a’ = x1-x2, b’ = y1-y2
Observa que a’ y b’ son los opuestos de a y b, y diremos que w = (a’, b’)
es el ‘vector opuesto’ de v.
Módulo de v:
Es la longitud del segmento PQ, y lo designamos por /v/, o por mod(v).
Si tenemos en cuenta el teorema de Pitágoras tenemos:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2 , o bien |𝑣| = √𝑎2 + 𝑏2
Proporcionalidad:
Si w = PR es otro vector tal que w = t.v, donde t es un valor real,
decimos que w es proporcional a v, con razón de proporcionalidad t.
Si t > 0, w tiene la misma orientación que v.
Si t < 0, w tiene orientación opuesta a la de v.
Se cumple: abs(t) = |w|
|𝑣| , donde abs(t) indica el valor absoluto de t.
Operaciones Básicas con vectores
Si los vectores no tienen el mismo punto origen, entonces trasladamos
uno de los dos hasta el punto origen del otro. La traslación la hacemos
manteniéndolo paralelo a sí mismo.
22
Suma/Resta:
Si v = (a,b), w = (a’,b’), su suma es
v+w = (a+a’,b+b’) y su resta: v-w = (a-a’; b-b’)
Producto por escalar:
Dados un vector v y un valor real t (llamado escalar), obtenemos otro
vector, designado por t.v, como sigue:
t.v = t.(a,b) = (t.a,t.b),
donde t es un valor real cualquiera.
Hemos multiplicado por t cada componente.
1.4.- Producto escalar de dos vectores
Observa la figura
Def.:
Llamamos “Producto escalar”, designado por v*w, al valor real
obtenido como sigue:
v*w = /v/./w/.cos(v^w)
donde v^w representa el ángulo formado por v y w (recorrido desde v
hasta w en sentido contrario al reloj).
Observa:
a)Si el ángulo g = (v^w) es de 90º, entonces cos(g) = 0, y por tanto
v*w = 0
b)Si el ángulo g es 0º entonces cos(g) =1, y por tanto: v*w = /v/./w/
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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Producto escalar en un sistema de referencia ortonormal
Ya hemos dicho que el sistema de referencia en el que trabajamos tiene
sus ejes perpendiculares entre sí, y lo llamamos ‘Ortogonal’.
Sobre el eje 0x tomo el vector e1, con origen en 0 y con módulo /e1/ =
1. Sobre el eje 0y tomo el vector e2, con origen en 0 y módulo /e2/ = 1.
Diremos que {e1,e2} es una ‘base’ de los vectores en el plano, ya que
cualquier otro vector v se puede expresar de forma única así:
v = a.e1 + b.e2, donde a y b son sus componentes.
Los vectores e1 y e2 forman ángulo de 90º y por tanto: e1*e2 = 0.
Decimos que son ortogonales, y que la base {e1,e2} es una ‘base
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ortogonal’, que además es y también ‘ortonormal’ por cumplirse /e1/ =
/e2/ = 1.
Vamos a probar que en una base ortonormal se cumple:
v*w = a.a’ + b.b’
Si tenemos v = (a,b) y w = (a’,b’), al hacer el producto escalar tengo
(a.e1+b.e2)*(a’.e1+b’.e2) = aplicando la propiedad distributiva
= (a.e1)*(a’.e1 + b’.e2) + (b.e2)*(a’.e1 + b’.e2) = aplicando otra vez la
propiedad distributiva
= (a.e1)*(a’.e1) +(a.e1)*(b’.e2) + (b.e2)*(a’.e1) + (b.e2)*(b’.e2) =
= (a.a’).(e1*e1) + (a.b’).(e1*e2) + (b.a’).(e1*e2) + (b.b’).(e2*2) =
(recordamos que ei.ei=1, ei.ej = 0)
= a.a’ + b.b’.
Conclusión:
En un sistema de referencia ortonormal:
(a,b)*(a’,b’) = a.a’ + b.b’
$$$$oOo$$$$
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Tema 2
Geometría Analítica en el plano
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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2.1.- Ecuación de la Recta en el Plano. Sus tipos
Ecuación cartesiana
Una recta r queda determinada, evidentemente, por dos cualesquiera de
sus puntos. Por estos dos puntos sólo pasa una recta.
Observa la figura
Fijamos dos puntos P(x1, y1), Q(x2, y2) de la recta.
Sea R(x, y) otro punto cualquiera de la misma. La paralela a 0x por P y
la paralela a 0y por Q se cortan en un A(x2, y1), y la paralela a 0x por P
y la paralela a 0y por R se cortan en B(x, y1).
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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Los triángulos PAQ y PBR son semejantes, y por tanto sus lados son
proporcionales, por lo cual se cumple:
AQ
BR=
PA
PB , es decir:
y2−y1
y−y1=
x2−x1
x−x1
de donde, invirtiendo las fracciones:
y−y1
y2−y1=
x−x1
x2−x1 (1)
de donde:
y – y1 = 𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 . (𝑥 − 𝑥1) (1’)
(Ecuación de la recta que pasa por dos puntos)
Ecuación Punto-pendiente
El valor
m =y2−y1
x2−x1
lo llamamos pendiente de la recta, y coincide con el valor tan(g) del
ángulo g que forma la recta con el eje ox.
La ecuación (1) podemos escribirla en la forma:
(y-y1) = m.(x-x1) (2)
(Ecuación ‘punto-pendiente)
Operando tenemos:
y = y1 + m.x -m.x1 (3)
y = m.x + (y1-m.x1) (3)’
30
Si volvemos a la ecuación
y – y1 = 𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 . (𝑥 − 𝑥1)
quitando denominadores llegamos a una expresión de la forma:
A.x + B.y + C = 0 (4)
(E. general de la recta)
donde
A = -(y2-y1), B =(x2-x1),
C = x1.(y2-y1)-y1.(x2-x1)
C = -x1.A – y1.B
C = -(A.x1 + B.y1)
Observa que al despejar la variable ‘y’ de la ecuación (4) tenemos
y = -A/B.x –C/B, de donde m = -A/B (pendiente)
Ecuación paramétrico-vectorial de la recta
Observa la figura
Sea la recta que pasa por P(x1, y1) y Q(x2, y2), o bien que pasa por P y
tiene vector director el vector v = PQ = (x2-x1, y2-y1).
Escribiremos:
a = x2-x1, b = y2-y1, de modo que v = (a,b)
Antes de seguir, tiene interés observar que la ecuación general
cartesiana, con esta notación, sería
A.x+B.y+C = 0,
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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donde A = -b, B = a, C = -(A.x1+B.y1)
Si R(x, y) es otro punto cualquiera de la recta, vector w = PR =
= (x-x1, y-y1) es proporcional a v, y por tanto existe un valor t tal que
w = t.v
El punto R(x, y) viene localizado por el vector
OR = OP + t.v (5)
(E. paramétrico-vectorial)
En coordenadas: (x,y) = (x1,y1) + t.(a, b) (5)’
O bien:
y1)- t.(y2 y1 y
x1)- t.(x2 x1x (5)’’
(E. paramétricas)
32
Cuando t recorre el conjunto R de los números reales el punto R(x, y)
recorre la recta.
Ecuación continua de la recta
Partiendo de (5), los vectores w= PR y v= PQ son proporcionales, y por
tanto:
x−x1
x2−x1 =
y−y1
y2−y1
Si llamamos
a = (x2-x1), b = (y2-y1),
tenemos el vector ‘director de la recta’
v = (a,b), y la igualdad:
𝐱−𝐱𝟏
𝐚 =
𝐲−𝐲𝟏
𝐛 (6)
(Ecuación continua)
conocidos un punto P(x1, y1) y el vector director v = (a, b).
Observa que
b.(x-x1) = a.(y-y1),
bx - ay + (-bx1 +ay1) = 0,
de donde deducimos que, en la ecuación general de la recta
Ax + By + C=0,
A = t.b,
B = t.(-a),
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
33
C = t.(-b.x1 + a.y1),
para un mismo valor t real cualquiera.
Para t = 1 queda: A = b, B = -a
También
A
b=
B
−a=
C
−bx1 +ay1
2.2.- Distancias en el plano
2.2.1.- Distancia entre dos puntos
Observa la figura
Longitud de un segmento:
Si P(x1, y1), Q(x2, y2), aplicando Pitágoras, la longitud del segmento
viene dada por:
34
l(PQ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
y la distancia entre P y Q:
d(P,Q) = l(PQ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Es práctico hacer:
a = x2-x1, b = y2-y1, con lo cual
d(P,Q) = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 , (PQ = (a,b))
2.2.2.- Distancia desde un punto a una recta
Pie de la perpendicular y Distancia desde un punto a una recta:
Observa la figura
Sean r una recta determinada por un punto A(x0, y0) y un vector
director v = (a, b), y un punto P(x1,y1) que no pertenece a r.
Toda recta s que pasa por P, y no es paralela a r, corta a ésta en un punto
Q.
Consideramos la distancia desde P a Q: d(P, Q)
Por simple observación es fácil comprobar que la menor de estas
distancias la obtenemos cuando la recta s sea perpendicular a r.
Def.:
Distancia entre P y la recta r es la menor de las distancias d(P, Q)
cuando Q recorre la recta r.
El vector w = (-b, a) es ortogonal al vector v = (a, b) director de r, y por
tanto es un vector director de cualquier recta s perpendicular r, y en
particular la que pasa por P.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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Si Q(x1,y1) es un punto cualquiera de r, el vector OQ se expresa así:
OQ = OA + AQ = (x0, y0) + t.(a, b),
Por otro lado
OQ = OP + PQ, de donde
PQ = OQ – OP
PQ = (x0,y0) + t.(a,b) –(x1,y1)
PQ = (x0-x1+t.a, y0-y1+t.b) (10)
Si imponemos que PQ es ortogonal con v = (a, b), tenemos:
0 = a.(x0-x1+t.a)+ b.(y0-y1+t.b),
de donde
36
a.(x0-x1) + b.(y0-y1)+ t.(a2 + b
2) = 0,
de donde
a.(x1-x0) + b.(y1-y0) = t.(a2 + b
2),
de donde podemos despejar el valor de t:
t =[a.(x1−x0) + b.(y1−y0)]
a2 + b2 , esto es
t = vv
APba
*
*),( (11)
(* es el prod. escalar de vectores)
Este valor de t determina el punto Q
OQ = (x0, y0) + t.(a, b),
que es el pie de la perpendicular a r pasando por P. Finalmente
d(P, r) = d(P, Q) (12)
Cálculo de t:
AP =( x1-x0, y1-y0)
(a,b)*AP = a.x1 + b.y1 –(a.x0+b.y0)
Entonces
t = (a.x1 + b.y1) – (a.x0 + b.y0)
a2 + b2 (13)
2.2.3.- Distancia d(P,r) tomando la Ecuación general de la recta r
Sea r: A.x + B.y + C = 0, y el punto P(x1, y1)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
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Se puede demostrar que d(P,r) = | A.x1 + B.y1 + C |
√A2+B2 ,
(Consulta Apéndice 1, pág.218)
Ejemplo:
Sean P(2,3), r: 3x-2y+4 = 0
Calcula d(P,r)
Sol: De dos formas
A) La forma más cómoda es aplicando
d(P, r) = |3.2−2.3+4|
√9+4 =
4
√13=
4.√13
13
B) Calculando el pie de la perpendicular:
Pasando la ecuación de r a formato r = <A; v>
Puntos A y B de r:
y = 0 --> 3x +4 = 0, x = -4/3, A(-4/3, 0)
y = 5 --> 3x = 6, x = 2, B(2, 5)
Vector director: v = AB = (10/3, 5)
OQ = OA + t.v = (-4/3+10/3.t, 5.t)
PQ = (-10/3 +10/3.t, -3+5.t)
Por ortogonalidad tenemos 0 = v*PQ
0 = -100/9 +100/9.t –15 +25.t
0 = -235/9 + 325/9.t, t = 235/325, t = 47/65
Obtengo el punto Q:
38
OQ = (-4/3 + 10/3.47/65, 5.47/65)= (14/13,47/13)
El vector PQ = (-12/13, 8/13)
d(P, r) = d(PQ) = √142+82
13 =
√208
13 =
4.√13
13
el mismo que obtuvimos antes, como es lógico.
2.2.4.- Distancia entre dos rectas
Def.:
Dadas dos rectas r y s, “Distancia desde r hasta s es la menor de las
distancias d(P,Q), donde P es un punto de r y Q es un punto de s”.
Las dos rectas han de ser paralelas, ya que si se cortan la menor de las
distancia es cero.
Si son paralelas, basta tomar un punto P de s y obtener la distancia d(P,
r), y entonces
d(r, s) = d(P, r).
2.3.- Posición relativa de dos rectas en el plano
Observa la figura
Sean dos rectas r, s, dadas por sus ecuaciones continuas
r: x−x0
a=
y−y0
b , s:
x−x1
a′ =
y−y1
b′ (13)
donde v = (a, b) y v’ = (a’, b’) son sendos vectores
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directores.
2.3.1.- Paralelismo ó Perpendicularidad
Paralelismo:
Si son paralelas evidentemente sus vectores directores son
proporcionales entre sí (son también paralelos), y por tanto:
(a’, b’) = t.(a, b)
de donde 𝑎′
a=
𝑏′
b = t (14)
Si tenemos sus ecuaciones generales
Ax + By + C = 0
A’x + B’y +C’ = 0
40
teniendo en cuenta lo visto más arriba, tenemos
A = b, B = -a,
A’ = b’, B’ = -a’, y por tanto
𝑨′
𝐀 =
𝑩′
𝐁 (15)
Perpendicularidad:
Si las rectas no son paralelas se cortarán en algún punto, y lo pueden
hacer de modo que el ángulo que forman sea o no de 90o .
Si las rectas se cortan formando ángulo de 90º decimos que son
perpendiculares. En ese caso también sus vectores directores forman
ángulo de 90º (son ortogonales), y su ‘producto escalar’ es cero, es decir
(a, b)*(a’, b’) = 0
a.a’ + b.b’ = 0 (16)
de donde
a.a’ = -b.b’
de donde 𝑎′
b′ = −
b
a
Teniendo en cuenta que sus pendientes son
m = b
a , m’ =
b′
a′
se cumple m’ = −1
m (17)
que es la condición que utilizaremos en la práctica.
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41
Esta es la condición necesaria y suficiente para que sean
perpendiculares.
Supongamos que tenemos sus ecuaciones generales
Ax + By + C = 0, A’x + B’y + C’ = 0,
Según vimos más arriba, tenemos
A = b, B = -a, A’ = b’, B’ = -a’,
y por tanto, de
a.a’ + b.b’ = 0
tenemos
B.B’ + A.A’ = 0 , A.A’ = -B.B’
de donde
𝑨′
𝐁′ = −
𝐁
𝐀 (18)
y otra vez estamos en que
m’ = -1/m
Observa:
La ecuación general de r podemos obtenerla de forma inmediata a partir
del conocimiento de un punto y de su vector director v = (a, b):
r: b.x – a.y + C = 0,
donde C = -(b.x0 – a.y0), siendo (x0, y0) un punto de r.
42
2.3.2.- Ángulo formado por dos rectas
Dos rectas r1, r2 que se no son paralelas se cortan determinando cuatro
ángulos iguales dos a dos, como muestra la figura.
Cuándo nos referimos al ángulo formado por dos rectas siempre nos
referimos al menor de los ángulos determinado por ellas, que es igual al
determinado por sendos vectores directores, elegidos éstos de modo que
nos den el menor de los dos ángulos posibles.
Ejemplo:
La figura (1) muestro el caso correcto. Observa que g + g’ = 180º
Criterio importante:
El valor g del ángulo se toma positivo cuando el recorrido que indica la
flecha es contrario al de las agujas del reloj. En otro caso el valor del
ángulo se toma negativo.
Teniendo en cuenta la definición de producto escalar tenemos
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43
cos(g) = 𝑣1∗𝑣2
|𝑣1|.|𝑣2|
Por trigonometría sabemos que: cos(g’) = -cos(g)
Para evitar esta ambigüedad basta tomar el valor absoluto
cos(g) = abs(𝑣1∗𝑣2
|𝑣1|.|𝑣2| )
con lo cual el valor de g que de aquí obtenemos es positivo, es decir, el
menor de los ángulos determinados por r1 y r2:
g = arcCos(abs(𝑣1∗𝑣2
|𝑣1|.|𝑣2| ))
2.4.- Bisectrices de los ángulos formados por dos rectas
Observa figura
Sean las rectas
44
r: ax + by + c = 0, s: a’x + b’y + c’ = 0
Sus pendientes son: m = −a
b , m’ = −
a′
b′
Sean los ángulos que forman con el semieje +ox:
gr = arcTan(m), gs = arcTan(m’)
Ángulo que forman:
a) Si gr > gs, g = gr – gs
b) Si gs > gr, g = gs – gr
Observa que los dos ángulos que determinan suman 180º.
El otro ángulo es: g’ = 180º - g
Ecuación de las Bisectrices:
Tomamos como referencia la figura anterior.
Son las rectas a, b que dividen cada ángulo g y g’ en dos ángulos
iguales.
Vamos a obtener la ecuación de cada una de estas rectas a y b
Sean las rectas
r: ax + by + c = 0, s: a’x + b’y + c’ = 0
Si Q(x, y) es un punto de una de las bisectrices se ha de cumplir
d(Q, r) = d(Q, s)
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22 ba
cbyax
=
22 ''
'''
ba
cybxa
cbyaxba .'' 22 = '''.22 cybxaba
Quitamos las barras de valor absoluto a cambio de contemplar las dos
posibilidades, quedando
).('' 22 cbyaxba = )'''.(22 cybxaba
Obtenemos dos rectas como sigue
r1:
(√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑎 − √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑎′) . 𝑥 +
+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑏 − √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑏′) . 𝑦 +
+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑐 − √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑐′) = 0
r2:
(√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑎 + √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑎′) . 𝑥 +
+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑏 + √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑏′) . 𝑦 +
+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑐 + √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑐′) = 0
46
El alumno puede comprobar que estas dos rectas, r1, r2, son
perpendiculares entre sí, comprobando que sus pendientes m, m’
cumplen m.m’ = -1:
m = (√𝑎′
2+𝑏′
2 .𝑎− √𝑎2+𝑏2 .𝑎′)
(√𝑎′2+𝑏′
2 .𝑏− √𝑎2+𝑏2 .𝑏′)
m’ = - (√𝑎′
2+𝑏′
2 .𝑎 + √𝑎2+𝑏2 .𝑎′)
(√𝑎′2+𝑏′
2 .𝑏 + √𝑎2+𝑏2 .𝑏′)
2.5.- Estudio de la Circunferencia
2.5.1.- Ecuaciones
Def.:
Fijamos un punto A(xo,yo) y un valor racional r. Llamamos
“Circunferencia de radio r y centro en A” al lugar geométrico de los
puntos P del plano que distan de A la distancia r.
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47
Teniendo en cuenta la definición, si P(x, y) es un punto de la
circunferencia, se ha de cumplir
d(P, A)= r,
es decir r = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 (1)
de donde (x-xo)2 +(y-yo)
2 = r
2 (2)
(Ecuación canónica )
Operando
(x^2 + xo^2 -2.xo.x) + (y^2 + yo^2 -2.yo.y) = r2
x2 + y
2 -2.xo.x -2.yo.y + (xo
2 + yo
2) = r
2
Haciendo
D = -2.xo
E = -2.yo
F = (xo2 + yo
2) – r
2
Podemos escribir
x2 + y
2 + D.x +E.y + F = 0 (3)
(E. general de la esfera)
Calculo del centro y radio de la circunferencia dada su
Ecuación general:
Dada la ecuación (3) de C
x2 + y
2 + D.x + E.y + F = 0
teniendo en cuenta que
D = -2.xo
E = -2.yo
48
F = (xo2 + yo
2) – r
2
obtenemos
xo = - 𝐷
2 , yo = -
𝐸
2 , Centro O(xo, yo)
Fyoxor 22 , Radio
Ejemplo: Sea C: x2+y
2 –4x +6y –15 = 0
Sol:
xo = 4/2= 2, yo = -6/2= -3,
r = √4 + 9 + 15 = √18
La ecuación queda
(x-2)2 + (y+3)
2 = 28
2.5.2.- Posición relativa entre una recta y una circunferencia
Observa la figura
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49
Sean la circunferencia
C: x2 + y
2 + Dx + Ey + F = 0
y la recta r: ax+by+c = 0.
Visualmente cabe decir que pueden ocurrir tres casos:
a) La recta es exterior (no corta a la cicunferencia)
b) La recta corta en dos puntos: El sistema
0cbyax
0FEyDxyx 22
(4)
tiene dos soluciones distintas.
c) La recta es tangente a la circunferencia (toca en un punto a la
circunferencia): El sistema (4) tiene dos soluciones iguales
(solución doble)
2.5.3.- Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Observa la figura
Sea un punto P que suponemos exterior a la circunferencia.
Trazamos una recta r por P y que corte a la circunferencia en dos puntos
A y B.
Trazamos otra recta r’ por P y que corta a la circunferencia en otros dos
puntos A’ y B’.
Los triángulos PAB’ y PA’B son semejantes: Tienen en común el
ángulo en P, y los ángulos semiinscritos B y B’ abarcan el mismo arco.
Por tanto, tenemos las igualdades
50
PA′
PA =
𝑃𝐵′
PB , de donde PA.PB = PA’.PB’
Esto demuestra que el producto PA.PB es independiente de la recta que
pase por P, y por tanto es un valor ‘asociado’ al punto P. Fijada la
circunferencia C, depende sólo de P.
Def.:
“Llamamos ‘potencia de P respecto de C’ al valor PA.PB, donde A y B
son los puntos de corte de una recta cualquiera que pase por P”.
Este valor lo designaremos por Pot(P; C).
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51
En particular, si tomamos la recta s que pase por P y por el centro O de
C, tenemos
Pot(P; C) = PA.PB = (PO-r).(PO+r) = PO2 – r
2
donde r es el radio de C.
Si la ecuación de C es
(x-xo)2 + (y-yo)
2 – r
2 = 0
cuyo centro es (xo,yo), y el punto es P(x1, y1), entonces la anterior se
convierte en
Pot(P; C) = (xo-x1)2 + (yo-y1)
2 – r
2
O bien
Pot(P; C) = (x1-xo)2 + (y1-yo)
2 – r
2
Esta nos dice que, para obtener Pot(P; C) basta sustituir, en el miembro
izquierda de la ecuación de C, x e y por las coordenadas x1, y1 de P.
Si obtenemos su ecuación general
x2 + y
2 +Dx +Ey +F = 0
tenemos también
Pot(P; C)= x12 + y1
2 +Dx1 +Ey1 +F
Posición relativa de un punto respecto de C:
Visualmente tenemos tres casos:
52
a) El punto P es exterior a C:
En este caso Pot(P; C) > 0. Comprobarlo.
b) El punto P está en C (es un punto de la circunferencia):
En este caso Pot(P; C) = 0. Comprobarlo.
c) El punto P es interior a C:
En este caso Pot(P; C) < 0. Comprobarlo.
Ejemplo:
Calcula la Pot(P; C) cuando
C: x2 + y
2 -5x +6y = 16, y P(-3, 5)
Sol.: Dos formas:
a) Sustituyo en x2 + y
2 -5x +6y –16 = 0, y obtengo
Pot(P, C)= 63
b) Determino el centro
D = -2.xo
E = -2.yo
F = (xo^2+yo^2) – r^2
xo = 5/2, yo = -3,
r = 1694/25 = 4/125
(x-5/2)2 + (y+3)
2 - 125/4 = 0
Pot(P, C) = (-3-5/2)2 + (5+3)
2 –125/4 =
= (-11/2)2 + 64 –125/4 = 121/4 +64 –125/4 =
= (121 +256 –125)/4 = 252/4 = 63
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53
54
2.5.4.- Eje Radical de dos circunferencias
Observa la figura
Def.:
“Dadas dos circunferencias C1 y C2, llamaremos ‘eje radical asociado’,
al lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto
de C1 y de C2”
Pot(P; C1)= Pot(P; C2)
Si C1 y C2 tienen ecuación
C1: x2 + y
2 +Dx +Ey +F= 0
C2: x2 + y
2 +D’x +E’y +F= 0
sabemos que
Pot(P; C1) = x12 + y1
2 +Dx1 +Ey1 +F
Pot(P; C1) = x12 + y1
2 +D’x1 +E’y1 +F’
de donde, igualándolas y simplificando
(D-D’).x1 +(E-E’).y1 +(F-F’) = 0
Teniendo en cuenta que P es un punto cualquiera del eje radical,
cambiando P(x1, y1) por P(x, y) genérico, queda la ecuación del eje
radical (una recta):
(D-D’)x +(E-E’)y +(F-F’)= 0
Lo designaremos por EjeR(C1; C2)
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55
Propiedad del EjeR(C1; C2):
“El Eje radical es perpendicular a la recta determinada por los centros
O1(xo, yo), O2(xo’, yo’) de las circunferencias”.
Demostración:
Recordamos que
D = -2xo, E = -2yo, D’ = -2xo’, E’ = -2yo’
La pendiente del eje radical es
m = -(D-D’) / (E-E’)
56
= -(-2xo + 2xo’) / (-2yo + 2yo’)
= (xo-xo’) / [-(yo-yo’)]
= -(xo-xo’) / (yo-yo’)
Por otro lado la pendiente de la recta que pasa por O1 y O2 es
Vector O1O2 = (xo’-xo,yo’-yo)
Pendiente:
m’ = (yo’-yo) / (xo’-xo)
= (yo-yo’) / (xo-xo’)
= -1 / m
Por tanto estas dos rectas son perpendiculares.
Casuística:
a) Las dos circunferencias se cortan en dos puntos A y B: En
este caso los puntos A y B de corte pertenecen al EjeR(C1, C2), ya que
Pot(A; C1) = 0, Pot(A; C2) = 0, y lo mismo para B. Por tanto el eje
radical es la recta determinada por A y B.
b) Las dos circunferencias son tangentes entre sí: En este caso el
punto A de tangencia pertenece al eje radical. Por tanto dicho eje pasa
por A siendo tangente a las dos circunferencias, y por tanto
perpendicular a cada uno de los radios que pasan por A, y por tanto es
perpendicular a la recta que pasa por sus centros.
c) Las dos circunferencias no se cortan: En este caso no hay
nada que decir, sino que el eje radical es perpendicular a la recta que
pasa por los centros.
Ejemplo:
Calcula el eje radical de las circunferencias C1 de radio 5 y cuyo centro
es O1(2, 3), y la circunferencia
C2: x2 + y
2 -5x +3y -12 = 0.
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57
Sol:
Obtengo la ecuación de C1
(x-2)2 + (y-3)
2 = 25
x2 +y
2 –4x –6y –12 = 0
EjeR: (D-D’)x +(E-E’)y +(F-F’)= 0
(-4+5).x +(-6-3).y +(-12+12) = 0
EjeR: x –9y = 0
2.5.5.- Centro radical de tres circunferencias
Sean C1, C2, C3 tres circunferencias.
Definición:
“Llamamos centro radical al punto que tiene igual potencia respecto de
las tres circunferencias”.
58
¿Cómo obtenerlo?
Los ejes radicales EjeR(C1, C2) y EjeR(C1, C3) son dos rectas que, en
general, se cortarán en un punto Q(a, b).
Este punto tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias. Lo
llamamos ‘Centro Radical’ de las mismas.
Ejemplo:
Calcula el centro radical de las tres circunferencias
C1: x2 + y
2 +4x -3y +8 = 0
C2: Centro O2(-3,2) y radio 5
C3: (x-1)2 + (y+1)
2 = 9
Sol.:
Ecuación general de C2:
(x+3)2 + (y-2)
2 = 25
C2: x2 + y
2 +6x –4y –12 = 0
Ecuación general de C3:
C3: x2 + y
2 –2x +2y –7 = 0
EjeR(C1;C2), r1: 2x –y –20 = 0
EjeR(C1;C3), r2: -6x +y –15 = 0
Intersección de las rectas
0 15-y 6x -
0 20-y -2x
4x = 35, x = -35/4, y= -70/4 –20 = -110/4
Centro radical: (-35/4, -55/2)
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59
2.5.6.- Construcción geométrica del eje radical
Observa las tres figuras siguientes, que muestras diferentes casos.
Caso 1: Las circunferencias no se cortan
Trazo una circunferencia C auxiliar cualquiera con la condición de que
corte a C1 y a C2 en dos puntos en cada una. Unimos esos dos puntos
mediante las rectas r1 y r2. Estas se cortan en un punto P. El eje radical
es la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta que para por sus
centros O1 y O2.
Caso 2: Una de ellas es interior a la otra, pero no son concentricas
Como en el caso anterior trazamos C auxiliar y las rectas r1, r2, que se
cortan en P. El eje es la recta r que pasa por P y es perpendicular a la
recta que pasa por O1 y O2.
60
Caso 3: Son concentricas
En este caso, procediendo como antes, las rectas r1 y r2 son paralelas, y
por tanto el eje radical de C1 y C2 es ‘vacío’. No tienen eje radical.
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61
2.5.7.- Tangentes a una circunferencia desde un
punto P exterior a ella
En primer lugar presento un resumen de lo estudiado con relación a la
circunferencia, mostrándolo gráficamente:
---------------
Paso a explicar lo relacionado con las tangentes a C desde un punto.
Observa la siguiente figura
62
Si moviendo los puntos A y B hacemos que coincidan la recta resultante
es tangente a C, y entoces, por definición de Pot(Q; C), tenemos
Pot(Q) = d(Q,A)^2 y Pot(Q) = d^2-r^2
de donde d(Q,A) = √𝑃𝑜𝑡(𝑄) = √𝑑2 − 𝑟2
Observa ahora la figura siguiente.
En primer lugar comprobamos que Pot(P; C) > 0, lo cual significa que P
es exterior a C.
Ahora trazamos la circunferencia C’ con centro en P y radio
R = √𝑃𝑜𝑡(𝑃; 𝐶)
Las circunferencias C y C’ se cortan en los puntos A y B que son los
puntos de tangencia de dos rectas que pasan por P.
Obtenidos los puntos A y B, uniéndolos con P obtenemos las tangentes.
Observa que la recta AB es el eje radical de C y C’.
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63
2.6.-Haz de rectas
Sean r1, r2 dos rectas no paralelas y P su punto de corte.
La expresión
(ax+by+c) + k.(a’x+b’y+c’) = 0
o bien (a+k.a’).x +(b+k.b’).y +(c+k.c’) = 0
es otra recta que también pasa por P.
Decimos que
(ax+by+c) + k.(a’x+b’y+c’) = 0 (1)
es el ‘Haz de rectas con vértice en P’.
Ejemplo:
Dado el haz de rectas (ax+by+c) + k.(a’x+b’y+c’) = 0
selecciona la recta s del haz que pasa por P(xo,yo).
Escribo el haz así (a+k.a’).x+(b+k.b’).y+(c+k.c’)=0
Si pasa por P se cumplirá
64
(a+k.a’).xo+(b+k.b’).yo+(c+k.c’)=0,
(a’.xo +b’.yo +c’).k = -(a.xo +b.yo +c), de donde
k = −(a.xo +b.yo +c)
(a’.xo +b’.yo +c’)
Sustituyendo en la expresión del haz obtengo la ecuación de la recta s.
2.7.- Estudio del triángulo: Rectas y puntos notables
En lo que sigue tenemos el triángulo con vértices en los puntos A,B,C.
2.7.1.- Medianas:
Def.:
Mediana es cada recta que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Demostraremos que las tres medianas: r1, r2, r3 tienen un punto común
G. Lo llamamos ‘Baricentro’ del triángulo.
Significado: Si tengo una pieza de chapa metálica uniforme de forma
triángular, el punto G coincide con su centro de gravedad (Estúdiese en
Física).
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65
Comprobamos que las tres medianas se cortan en un mismo punto:
El baricentro
Puedo tomar el lado AB sobre el eje de coordenadas ox y hacer que el
vértice A coincida con el origen O(0, 0) de coordenadas.
Tengo
OM1 = (a2 / 2 , 0),
OM2 = ((a2+a3) / 2 , b3/2),
OM3 = (a3 / 2 , b3 / 2)
Sea M = r1^r2:
CM1 = ((a2-2a3) / 2, -b3)
AM2 = ((a2+a3) / 2, b3 / 2)
OM = OA+k1.AM2 = (k1.(a2+a3) / 2, k1.b3 / 2)
OM = OC+k2.CM1 = (a3, b3) + (k2.(a2-2.a3) / 2, -k2.b3) =
= ((2.a3 + k2.a2-2.k2.a3) / 2, (1-k2).b3)
Sistema: {𝑘1. (𝑎2 + 𝑎3) = 𝑘2. 𝑎2 + (2 − 2. 𝑘2). 𝑎3
𝑏3. 𝑘1 = 2. (1 − 𝑘2). 𝑏3 ->k1 = 2-2k2
->(2-2k2).(a2+a3) = k2.a2 +(2-2.k2).a3
(2-2k2).a2 = k2.a2 -> 2 = 3k2 -> k2 = 2/3
66
Resulta también k1 = 2/3
Coordenadas de M: 2 / 3.(a2+a3) / 2 = (a2+a3) / 3
2/3.b3/2 = b3/3
M((a2+a3)/3, b3/3)
Sea N = r1^r3:
BM3 = (a3/2 –a2, b3/2) = ((a3-2.a2)/2, b3/2)
ON = OA+h1.AM2 = (h1.(a2+a3)/2, h1.b3/2)
ON = OB+h2.BM3 = (a2+h2.(a3-2.a2)/2, h2.b3/2) =
= ((2.a2+h2.(a3-2.a2))/2, h2.b3/2)
Sistema: {ℎ1. (𝑎2 + 𝑎3) = 2. 𝑎2 + ℎ2. (𝑎3 − 2. 𝑎2)
ℎ1. 𝑏3 = ℎ2. 𝑏3 -> h1 = h2
h1.a2+h1.a3 = 2.a2 +h1.a3 -2.h1.a2 -> 3.h1.a2 = 2.a2
de donde h1 = 2/3, h2 = 2/3
Coordenadas de N: 2/3.(a2+a3) / 2 = (a2+a3)/3
2/3.b3/2 = b3/3
N((a2+a3) / 3, b3/3), y por tanto M y N coinciden.
Evidentemente el mismo resultado se obtienen para r2^r3.
Consecuencia IMPORTANTE:
En el proceso anterior además ha quedado demostrado que el baricentro
G está situado en cada una de las medianas como sigue:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
67
d(A,G) = 2/3.d(A,M2) <--> d(G,M2) = 1/3.d(A,M2)
y del mismo modo en las otras medianas.
Coordenadas de G:
Ahora no necesariamente el lado AB (y ninguno otro) está sobre uno de
los ejes. Sean los vértices
A(a1, b1), B(a2, b2), C(a3, b3)
Puntos medios:
M1((a1+a2)/2, (b1+b2)/2)
M2((a2+a3)/2, (b2+b3)/2)
M3((a1+a3)/2, (b1+b3)/2)
AM2 = OM2-OA = ((a2+a3-2a1)/2, (b2+b3-2b1)/2)
AG = 2/3.AM2 = 2/3.((a2+a3-2a1)/2, (b2+b3-2b1)/2)=
= 1/3.(a2+a3-2.a1, b2+b3-2.b1)
OG = OA+AG = (a1+(a2+a3-2.a1)/3, b1+(b2+b3-2.b1)/3)
= ((a1+a2+a3)/3, (b1+b2+b3)/3)
Expresión única para las coordenadas de G(x, y):
x = (a1+a2+a3)/3, y = (b1+b2+b3)/3
----------------
68
Teorema de las Medianas
Tenemos: mc2 = a
2 + (c/2)
2 – 2.a.c/2.cos(B) -- >
mc2 = a
2 + c
2/4 – a.c.cos(B)
Por otro lado: mc
2 = b
2 + c
2/4 – b.c.cos(A), entonces
2.mc2 = a
2 + b
2 + c
2/2 – c.(a.cos(B) + b.cos(A)) = a
2 + b
2 + c
2/2 – c
2 , y
por tanto
2.mc2 = a
2 + b
2 – c
2/2 , mc
2 = (a
2 + b
2)/2 – (c/2)
2
y finalmente: mc = √(𝑎2+𝑏2)
2− (
𝑐
2)2
De forma análoga se obtiene la longitud de las otras dos medianas.
mb
2 = c
2 + (b/2)
2 - 2.c.b/2.cos(A)
mb2 = a
2 + (b/2)
2 - 2.a.b/2.cos(C)
2.mb2 = a
2 + c
2 + b
2/2 - b.(a.cos(C) + c.cos(A)) =
= a2 + c
2 + b
2/2 - b.(-a.cos(180-C) – AD) =
= a2 + c
2 + b
2/2 - b. (-CD + AD) = a
2 + c
2 + b
2/2 – b
2 =
= a2 + c
2 - b
2/2
----------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
69
2.7.2.- Mediatrices:
Def.:
Mediatriz es la recta que pasando por el punto medio de un lado es
además perpendicular (Ortogonal) a este lado.
Demostraremos que las tres mediatrices tienen un punto común M. Lo
llamamos ‘Circuncentro’.
Significado: El punto M es el centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo.
Coprobaremos que M es el centro de la circunferencia circunscrita. Observa la figura.
Por definición de ‘mediatriz’ se cumple:
70
R2 = R1, R3 = R2 -- > Las tres distancias a los vértices son
iguales, y por tanto cada una es el radio de la circunferencia con
centro en M y radio R = d(M, A)
Comprobamos que las tres mediatrices se cortan en un punto M, el
circuncentro:
Puedo suponer que el lado AB yace sobre el eje ox y que el vértice A
coincide con el origen O(0, 0)
M1(a2/2, 0)
M2((a2+a3)/2, b3/2)
M3(a3/2, b3/2)
Vectores: AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)
BC = (a3-a2, b3) -> w2 = (b3, a2-a3)
AC = (a3, b3) -> w3 = (b3, -a3)
Punto M = r1^r2:
OM = OM1+k1.w1 = (a2/2, k1.a2)
OM = OM2+k2.w2 = ((a2+a3)/2 +k2.b3, b3/2 +k2.(a2-a3))
Sistema: {𝑎2 = 𝑎2 + 𝑎3 + 2. 𝑘2. 𝑏3
2. 𝑘1. 𝑎2 = 𝑏3 + 2. 𝑘2. (𝑎2 − 𝑎3) ->
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
71
k2 = -a3/(2.b3) -> 2.k1.a2 = b3 –a3/b3.(a2-a3),
2.k1.a2.b3 = b3^2 –a3.a2+a3^2 ->
𝑘1 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑎2. 𝑏3)
Coordenadas de M: Tomo OM = (a2/2 , k1.a2)
k1.a2 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3), y tengo
M(a2/2, (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3))
Sea N = r1^r3: ( ^ es la intercessción )
M3(a3/2, b3/2)
AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)
AC = (a3, b3) -> w3 = (b3, -a3)
ON = OM1+h1.w1 = (a2/2, h1.a2)
ON = OM3+h2.w3 = (a3/2 +h2.b3, b3/2 –h2.a3)
Sistema: {𝑎2 = 𝑎3 + 2. ℎ2. 𝑏3
2. ℎ1. 𝑎2 = 𝑏3 − 2. ℎ2. 𝑎3 -> h2 = (a2-a3)/(2.b3),
2.h1.a2 = b3 –(a2-a3).a3/b3 -- >
2.h1.a2.b3 = b3^2 –a2.a3+a3^2 -- >
h1 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑎2. 𝑏3)
Coordenadas de N: Tomo ON = (a2/2, h1.a2)
h1.a2 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3)
72
N(a2/2, (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3))
y por tanto coinciden.
Evidentemente el mismo resultado se obtiene para r2^r3.
Cálculo del circuncentro:
La expresión anterior C(a2/2, (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3)) sólo es
válida si AB está sobre ox y A = O(0, 0).
En general lo más práctico consiste en calcular dos medianas, por
ejemplo r1, r2, y después su punto común: C = r1^r2, o bien operando
vectorialmente. (En la colección de problemas mostraremos algún
ejemplo).
2.7.3.- Alturas:
Def.:
Altura es es la recta que pasando por un vértice es ortogonal al lado
opuesto.
Demostraremos que las tres alturas se cortan en un punto común O. Lo
llamamos ‘Ortocentro’.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
73
Comprobamos que se cortan en un punto:
Supongo que el lado AB yace sobre el eje ox y que el vértice A coincide
con O(0, 0).
Vectores: AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)
AC = (a3, b3) -> w2 = (b3, -a3)
BC = (a3-a2, b3) -> w3 =(b3, a2-a3)
Sea M = r1^r2:
OM = OC+k1.w1 = (a3,b3+k1.a2)
OM = OB+k2.w2 = (a2+k2.b3,-k2.a3)
Sistema: {𝑎3 = 𝑎2 + 𝑘2. 𝑏3𝑏3 + 𝑘1. 𝑎2 = −𝑘2. 𝑎3
-> k2 = (a3-a2)/b3 ->
b3 +k1.a2 = -a3.(a3-a2)/b3 ->
b3^2 +k1.a2.b3 = -a3^2+a2.a3, de donde
k1 = (𝑎2. 𝑎3 − 𝑎32 − 𝑏32)/(𝑎2. 𝑏3)
Coordenadas de M: Tomo OM = (a3, b3+k1.a2)
74
b3+a2.𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32
𝑎2.𝑏3 = 𝑏3 +
𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32
𝑏3 =
𝑎2.𝑎3−𝑎32
𝑏3
M(a3, 𝑎2.𝑎3−𝑎32
𝑏3 )
Punto N = r1^r3:
AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)
BC = (a3-a2, b3) -> w3 =(b3, a2-a3)
ON = OC+h1.w1 = (a3, b3+h1.a2)
ON = OA+h2.w3 = (h2.b3, h2.(a2-a3))
Sistema: {𝑎3 = ℎ2. 𝑏3
𝑏3 + ℎ1. 𝑎2 = ℎ2. (𝑎2 − 𝑎3) -> h2 = a3/b3 ->
b3 +h1.a2 = a3/b3.(a2-a3) -- >
b3^2 +h1.a2.b3 = a3.a2-a3^2 -- >
h1 = 𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32
𝑎2.𝑏3 ,
Coordenadas de N: Tomo ON = (a3, b3+h1.a2)
b3+a2. 𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32
𝑎2.𝑏3= 𝑏3 +
𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32
𝑏3 =
𝑎2.𝑎3−𝑎32
𝑏3
N(a3, 𝑎2.𝑎3−𝑎32
𝑏3), y por tanto coinciden.
Coordenadas del Ortocentro:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
75
Después de haber demostrado que es común a las tres alturas, para su
cálculo es suficiente obtener la expresión de dos de estas, sean r1, r2, y
calcular su punto común: O = r1^r2, o bien vectorialmente.
2.7.4.- Bisectrices:
Def.:
Bisectriz es la recta que pasa por un vértice y secciona el ángulo
(interior) en dos partes iguales.
Demostraremos que las tres bisectrices coinciden en un punto I. Lo
llamamos ‘Incentro’.
Significado: El punto I es el centro de la circunferencia inscrita (Véase más abajo).
Cálculo de las bisectrices:
En primer lugar recordamos cómo obtener las bisectrices de los ángulos
formados por dos rectas
r1,r2. Observa la figura.
76
Volvemos al triángulo ABC. Observa la figura
Al realizar los cálculos obtenemos dos bisectrices: La recta s bisectriz
del ángulo interior, la besectriz r del ángulo exterior.
Tenemos la necesidad de seleccionar la bisectriz del ángulo interior.
Para conseguirlo propongo utilizar lo siguiente. Observa la figura.
Tengo las bisectrices r,s de los ángulos formados por los lados AB,AC.
Según la figura me interesa r (bisectriz del ángulo interior al triángulo).
Observa la figura
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
77
Tomo la ordenada y’ = (y2+y3)/2 (del punto medio, Q, del segmento
B(x2, y2)B’(x2, y3)). Después calculo la abscisa x’ del punto R de una
de las bisectrices cuya ordenada sea el valor y’. Basta observar la figura
para llegar a la conclusión de que la bisectriz que interesa es aquella
para la que se cumpla: x3<x’<x2 (ó x2<x’<x3 ). En la figura sería la
bisectriz s.
Comprobamos que el incentro I es el centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo:
Por definición de bisectriz las distancias h1, h2, h3 son iguales, lo cual
nos lleva a que las rectas r1, r2, r3 se cortan en un único punto, el punto
I.
Tomando centro en I y radio h1 trazamos una circunferencia que ‘toca’
tangencialmente a cada uno de los lados.
78
Cálculo del Punto I (prescindiendo de las bisectrices):
Intentamos calcular el punto M que equidista de los tres lados.
Vectores: AB = (a2-a1, b2-b1)
AC = (a3-a1, b3-b1)
BC = (a3-a2, b3-b2)
Rectas: AB: 𝑥−𝑎1
𝑎2−𝑎1=
𝑦−𝑏1
𝑏2−𝑏1 -> s1: A1.x +B1.y +C1 = 0
AC: 𝑥−𝑎1
𝑎3−𝑎1=
𝑦−𝑏1
𝑏3−𝑏1 -> s2: A2.x +B2.y +C2 = 0
BC: 𝑥−𝑎2
𝑎3−𝑎2=
𝑦−𝑏2
𝑏3−𝑏2 -> s3: A3.x +B3.y +C3 = 0
Distancias a M(x1, y1):
d(M; s1) = |𝐴1.𝑥1+𝐵1.𝑦1+𝐶1|
√𝐴12+𝐵12 , d(M;s2) =
|𝐴2.𝑥1+𝐵2.𝑦1+𝐶2|
√𝐴22+𝐵22
d(M; s3) = |𝐴3.𝑥1+𝐵3.𝑦1+𝐶3|
√𝐴32+𝐵32
Sistema:
Teniendo en cuenta que en los casos concretos tendremos el valor de
todos los coeficientes, y por tanto que el Sistema anterior tendrá sus
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
79
coeficientes bien determinados, será resoluble por los métodos
conocidos (Si es necesario consúltese el Vol. 10 dedicado al Álgebra
lineal)
{
√𝐴22 + 𝐵22 . (𝐴1. 𝑥1 + 𝐵1. 𝑦1 + 𝐶1) = √𝐴12 + 𝐵12 . (𝐴2. 𝑥1 + 𝐵2. 𝑦1 + 𝐶2)
√𝐴32 + 𝐵32 . (𝐴1. 𝑥1 + 𝐵1. 𝑦1 + 𝐶1) = √𝐴12 + 𝐵12 . (𝐴3. 𝑥1 + 𝐵3. 𝑦1 + 𝐶3)
√𝐴32 + 𝐵32 . (𝐴2. 𝑥1 + 𝐵2. 𝑦1 + 𝐶2) = √𝐴22 + 𝐵22 . (𝐴3. 𝑥1 + 𝐵3. 𝑦1 + 𝐶3)
Las incógnitas son x1, y1, coordenadas del punto M que deseo calcular.
Cambio x1 por x, y1 por y, y traspongo términos al miembro derecha.
Llamo: A = √𝐴12 + 𝐵12 , B = √𝐴22 + 𝐵22 , C = √𝐴32 + 𝐵32
Tengo
{
0 = (𝐴. 𝐴2 − 𝐵. 𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵2 − 𝐵. 𝐵1). 𝑦 + (𝐴. 𝐶2 − 𝐵. 𝐶1)
0 = (𝐴. 𝐴3 − 𝐶. 𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵1). 𝑦 + (𝐴. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶1)
0 = (𝐵. 𝐴3 − 𝐶. 𝐴2). 𝑥 + (𝐵. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵2). 𝑦 + (𝐵. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶2)
o bien
{
(𝐴. 𝐴2 − 𝐵. 𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵2 − 𝐵. 𝐵1). 𝑦 = −(𝐴. 𝐶2 − 𝐵. 𝐶1)
(𝐴. 𝐴3 − 𝐶.𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵1). 𝑦 = −(𝐴. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶1)
(𝐵. 𝐴3 − 𝐶. 𝐴2). 𝑥 + (𝐵. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵2). 𝑦 = −(𝐵. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶2)
NOTA: Estudiado el Vol.10, el sistema debe cumplir que el rango de la
‘matriz de coeficiente’ y el de la matriz ampliada ha de ser dos.
El punto M obtenido coincide con el incentro I, punto común de la
bisectrices.
2.7.5.- Caso del triángulo Rectángulo:
80
Relaciones interesantes en el triángulo rectángulo:
No podemos pasar sin recordar otras ideas interesantes en relación con
el triángulo rectángulo.
Por supuesto el Teorema de Pitágoras:
a2 = b
2 + c
2
Por semejanza de los triángulo CMA y AMB tenemos
b/c = m/h = h/n , de donde
{𝑏. ℎ = 𝑐.𝑚𝑚. 𝑛 = ℎ2
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
81
Por semejanza de los triángulo CAB y CMA tenemos
a/b = b/m = c/h , de donde
{𝑎.𝑚 = 𝑏2
𝑎. ℎ = 𝑏. 𝑐
Por la primera decimos que ‘b es la media proporcional entre la
hipotenusa y la proyección de b sobre ella’.
Por semejanza de los triángulo CAB y AMB tenemos
a/c = b/h = c/n , de donde
{𝑎. ℎ = 𝑐. 𝑏𝑎. 𝑛 = 𝑐2
Por la segunda decimos que ‘c es la media proporcional entre la
hipotenusa y la proyección de c sobre ella’.
------------------
82
2.8.- Cónicas
2.8.1.- LA ELIPSE
Definiciones: Elementos de la Elipse
Fijamos dos puntos F y F’ del plano, que llamaremos focos, y fijamos
un valor k mayor que d(F, F’).
‘Llamamos Elipse al lugar geométrico de los puntos P del plano, tales
que la suma de sus distancias a los puntos F y F’ sea igual a k’. Esto es:
d(P, F) + d(P, F’) = k
Elementos de la Elipse:
-Los focos: Son los puntos fijos F y F’
-La recta focal: Recta que pasa por F y F’
-Su centro: C(xo, yo),punto medio del segmento FF’
-Sus ejes de simetría: La recta que contiene los focal (eje focal), y la
perpendicular a ésta que pasa por el centro (eje secundario).
-Los puntos de corte de la elipse con sus ejes: A,A’ sobre el eje focal,
B,B’ sobre el eje secundario.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
83
Parámetros de la elipse:
-La medida de sus semiejes: a = d(A,C) sobre el eje focal, y b =
= d(B,C) sobre el eje secundario.
-La distancia Semifocal: c = d(C, F) = d(C, F’)
-La excentricidad: e = c/a, (Siempre será e < 1, ya que c < a. (Cuando
c = a será e = 1, y la elipse se convierte en el segmento F’F).
Relación entre los parámetros: Se cumplen
a2 = c
2 + b
2, 2.a = k
Ecuación de la Elipse:
En lo que sigue obtendremos: A.x2 + B.y
2 + D.x + E.y + F = 0
En lo que sigue suponemos que el eje focal es paralelo al eje ox, y por
tanto, si F(xo, yo), F’(xo’, yo’) son los focos, se cumple yo’ = yo.
La igualdad d(P, F) + d(P, F’) = k
significa:
√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 + √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2 = 𝑘 (1)
Operamos para hacer desaparecer los radicales, como sigue.
Despejamos un radical
√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = k - √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2
84
NOTA: En lo que sigue, por motivos prácticos, admítase ‘notación un
tanto burda cuando se trate de desarrollos laboriosos.
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = k2 + (𝑥 − 𝑥0′)
2 + (𝑦 − 𝑦0′)2 -
- 2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2
Desarrollando los cuadrados:
(x2 + xo
2 – 2.xxo) + (y
2 + yo
2 – 2.yyo) =
= k2 + (x
2 + xo’
2 -2.xxo’) + (y
2 + yo’
2 -2.yyo’) –
- 2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2
Simplificando y sacando factor común tengo
(xo2 - xo’
2 + yo
2 - yo’
2) - 2.(xo – xo’).x - 2.(yo - yo’).y - k
2 =
= -2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2
Y teniendo en cuenta que yo’ = yo
-2.(xo – xo’).x + (xo2 - xo’
2) - k
2 = -2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)
2 + (𝑦 − 𝑦0′)2
2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2 = 2.(xo – xo’).x - (xo2 - xo’
2) + k
2
Hago:
m = 2.(xo - xo’)
l = xo’2 - xo
2 + k
2, y queda
2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2 = m.x + l
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
85
Elevando al cuadrado
4.k2.[ (𝑥 − 𝑥0′)
2 + (𝑦 − 𝑦0′)2 ] = m
2.x
2 + l
2 + 2.m.l.x
4.k2.[x
2 + y
2 -2.xo’x -2.yo’y +xo’
2 +yo’
2] = m
2.x
2 + l
2 + 2.m.l.x
Pasándolo todo al miembro izquierda y agrupando
(4.k2 –m
2).x
2 + 4.k
2.y
2 + (-8.k
2.xo’ -2.m.l).x – 8.k
2.yo’.y +
+ [4.k2.(xo’
2 + yo’
2) –l
2] = 0
Haciendo
A= 4.k2 – m
2
B= 4.k2
D= -8.k2.xo’ - 2.m.l
E= -8.k2.yo’
F= 4.k2.(xo’
2 + yo’
2) – l
2
tenemos la ecuación:
A.x2 + B.y
2 + D.x + E.y + F = 0 (2)
Casuística:
a) Supongamos que el eje focal coincide con ox, en cuyo caso es
yo = 0, yo’ = 0. Entonces
m = 2.(xo - xo’)
l = xo’2 - xo
2 + k
2, -- >
m = 2.(xo - xo’)
l = -xo2 + xo’
2 + k
2
86
A= 4.k2 – m
2
B= 4.k2
D= -8.k2.xo’ - 2.m.l
E= -8.k2.yo’
F= 4.k2.(xo’
2 + yo’
2) – l
2 -- >
A = 4.k2 – m
2
B = 4.k2
D = -8.k2.xo’-2.m.l
E = 0
F = 4.k2.xo’
2 – l
2
Y la ecuación queda de la forma
A.x2 + B.y
2 + D.x + F = 0 (3)
b) Supongamos que la recta focal coincide con el eje ox, y que además
el centro de la elipse coincide con (0,0).
Entonces yo = 0, yo’ = 0, xo = c, xo’ = - c, y queda
m = 2.(xo - xo’)
l = xo’2 - xo
2 + k
2, -- >
m = 2.(c – (-c)) = 4.c
l = (-c)2 - c
2 + k
2 = k
2
A= 4.k2 – m
2
B= 4.k2
D= -8.k2.xo’ - 2.m.l
E= -8.k2.yo’
F= 4.k2.(xo’
2 + yo’
2) – l
2 -- >
A = 4.k2 – m
2
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
87
B = 4.k2
D = 8.k2.c - 2.m.l
E = 0
F = 4.k2.c
2 – l
2 = k
2.(4.c
2 – k
2)
Y la ecuación queda de la forma
A.x2 + B.y
2 + D.x + F = 0 (4)
-------------
ECUACIÓN Reducida, Ecuación canónica (normal)
Teniendo en cuenta que k = 2.a, veamos cómo son los valores de A, B y
F en función de los parámetros a, b, c.
Tenemos (Teniendo en cuenta, como vimos, que a2 – c
2 = b
2
A = 4.4.a2 – 16.c
2 = 16.(a
2 – c
2) = 16.b
2
B = 16.a2
Observa que A > 0, B > 0
D = 32.a2.c – 8.c.4.a
2 = 0
F = 16.a2.c
2 –16.a
4 = 16.a
2.(c
2 –a
2) = -16.a
2.b
2
Observa que F < 0, - F > 0, entonces A.x2 + B.y
2 + F = 0 -- >
A.x2 + B.y
2 = - F (Ecuación reducida) (5)
Divido los dos miembros por –F, y tengo
- 𝐹
𝐴 = a
2, -
𝐹
𝐵 = b
2, -
𝐹
𝐹 = 1
88
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 (6)
(Ecuación normal ó canónica de la Elipse)
Consecuencia:
Ecuación normal de la Elipse cuando los ejes de simetría son paralelos a
los ejes de coordenadas y su centro es un punto cualquiera (xo, yo):
Teniendo en cuenta el resultado obtenido más arriba:
𝑥2
𝑎2+ 𝑦2
𝑏2= 1
si hacemos una traslación de modo que el centro de la elipse sea el
punto C(xo, yo), la nueva ecuación de la elipse es:
(𝑥−𝑥0)
2
𝑎2+
(𝑦−𝑦0)2
𝑏2= 1 (6’)
---------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
89
2.8.2.- LA HIPÉRBOLA
Definiciones: Elementos de la Hipérbola
Fijamos dos puntos F y F’ del plano que llamamos focos, y una
constante k < d(F, F’).
“Llamamos Hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano, tales
que la diferencia de sus distancias a los puntos F y F’ es igual a k’:
abs[d(P, F) - d(P, F’)] = k
Elementos de la hipérbola:
-Los focos: F, F’
-Su centro: C(xo, yo), que es el punto medio del segmento F’F.
-Sus ejes de simetría: Eje focal, que es la recta que pasa por F y F’, y
Eje secundario que es la perpendicular al eje focal por el centro C.
-Los puntos de corte con su eje focal: A,A’ (observa que no corta a su
eje secundario, y por eso se le llama también ‘eje imaginario’).
Parámetros de la hipérbola:
-La medida de su Semieje focal: a = d(A, C)
90
-La distancia Semifocal: c = d(C, F) = d(C, F’)
-La medida del Semieje imaginario: Es el valor b, tomado sobre el eje
imaginario a partir de C, y tal que cumple: a2 = c
2 – b
2
-La excentricidad: e = 𝑐
𝑎 . Observa que
e > 1, ya que c > a
Relaciones entre los parámetros:
-Se cumplen las relaciones:
a2 = c
2 – b
2, k = 2.a (10)
Ecuación de la Hipérbola
En lo que sigue obtendremos A.x2 + B.y
2 + D.x + E.y + F = 0
NOTA: En lo que sigue, por motivos prácticos, admítase ‘notación un
tanto burda cuando se trate de desarrollos laboriosos.
En todo lo que sigue supongamos que el eje focal es paralelo al eje ox.
Sean los focos F(xo, yo), F’(xo’, yo’), yo’ = yo
Caso A: Eje real paralelo al eje ox
Para la rama correspondiente al foco F’ se cumple:
d(P, F) – d(P, F’) = k (11)
significa
√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 − √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2 = 𝑘
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
91
(11)’
Operamos con el fin de hacer desaparecer los radicales.
Tenemos, despejando un radical: d(P,F) = k + d(P,F’)
√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = k + √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)
2
Elevando al cuadrado
(x - xo)2 + (y - yo)
2 = k
2 + (x - xo’)
2 + (y - yo’)
2 + 2k.d(P,F’)
Desarrollando los cuadrados:
[x2 + xo
2 – 2.xxo] + [y
2 + yo
2 – 2.yyo] =
= k2 + [x
2 + xo’
2 -2.xxo’] + [y
2 + yo’
2 -2.yyo’] + 2k.d(P,F’)
Simplificando y sacando factor común tengo
-2.(xo –xo’).x -2.(yo – yo’).y + (xo2 - xo’
2 + yo
2 - yo’
2) - k
2 =
= 2.k.d(P,F’)
Y teniendo en cuenta que yo’ = yo
2.(xo – xo’).x - (xo2 - xo’
2) + k
2 = -2.k.d(P,F’)
Hago
m = 2.(xo – xo’) (Observa: m > 0)
l = -(xo2 – xo’
2) + k
2
con lo cual queda
m.x + l = -2.k.d(P,F’)
92
Elevamos otra vez al cuadrado:
m2. x
2 + l
2 + 2.m.l.x = 4.k
2.[(x - xo’)
2 + (y - yo’)
2]
Operando
m2.x
2 + l
2 + 2.m.l.x = 4.k
2.([x
2 + xo’
2 - 2.xo’x] + [y
2 + yo’
2 -2.yo’y])
Trasponemos términos nos queda
(m2 – 4.k
2 ).x
2 – 4.k
2.y
2 + (2.m.l + 8.k
2.xo’).x + 8.k
2.yo’.y +
+ (l2 -4.k
2.(xo’
2 + yo’
2)) = 0
Hacemos
A = m2 - 4.k
2
B = - 4.k2
D = 2.m.l + 8.k2.xo’
E = 8.k2.yo’
F = l2 - 4.k
2.(xo’
2 + yo’
2)
Quedando la ecuación
A.x2 +B.y
2 + D.x + E.y + F = 0 (12)
Nota: Observamos el signo de A y de B.
Signo de A: Recuerda que k = 2.a, y observando la gráfica vemos
que abs(xo – xo’) > 2.a, por tanto
A = 4.(xo- xo’)2 - 4.4.a
2 = 4.[(xo – xo’)
2 – (2.a)
2] > 0, es decir A > 0
Signo de B: Evidente B = - 4.k2 < 0
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
93
Casuística:
a) Si el eje focal coincide con el eje ox, entonces
yo = 0, yo’ = 0, y tenemos
m = 2.(xo – xo’)
l = -(xo2 – xo’
2) + k
2 -- >
m = 2.(xo – xo’)
l = -(xo2 – xo’
2) + k
2
A = m2 - 4.k
2
B = - 4.k2
D = 2.m.l + 8.k2.xo’
E = 8.k2.yo’
F = l2 - 4.k
2.(xo’
2 + yo’
2)
--- >
A = m2 - 4k
2
B = -4.k2
D = 2.m.l + 8.k2.xo’
E = 0
F = l2 - 4k
2.xo’
2
Y queda la ecuación
Ax2 + By
2 + Dx + F = 0 (Ecuación reducida)
(13)
b) Si el eje focal coincide con ox y además su centro coincide con
(0, 0), entonces además
xo = c, xo’ = -c (c = semidistancia focal)
m = 2.(xo – xo’)
l = -(xo2 – xo’
2) + k
2
94
--- >
m = 4.c
l = –(c2 – (-c)
2) + k
2 = k
2
y entonces
A = m2 - 4.k
2
B = - 4.k2
D = 2.m.l + 8.k2.xo’
E = 8.k2.yo’
F = l2 - 4.k
2.(xo’
2 + yo’
2)
--- >
A = 16.c2 - 4k
2 ( A > 0)
B = - 4.k2
D = 8.c.k2 - 8.k
2.c = 0
E = 0
F = l2 - 4k
2.c
2 -- > F = k
2.(k
2 – 4.c
2)
Y queda la ecuación
A.x2 + B.y
2 + F = 0 (Ecuación reducida) (14)
ECUACIÓN Canónica (normal)
Teniendo en cuenta que k = 2.a, y que
c2 – b
2 = a
2 , veamos el valor de los anteriores coeficientes en función de
a y b.
A = 16.c2 - 4k
2 = 16.c
2 - 4.4.a
2 = 16.(c
2 - a
2) = 16.b
2
B = - 4.k2 = - 4.4.a
2 = -16.a
2
Teniendo en cuenta que k2 = 4.a
2, y que a
2 – c
2 = -b
2 , tengo
F = k4 - 4k
2.c
2 = k
2.(k
2 - 4.c
2) = 4.k
2.(a
2 - c
2) = -4.4.a
2.b
2 = -16.a
2.b
2
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
95
Aquella (ecuación 14) queda así:
16.b2.x
2 – 16.a
2.y
2 = 16.a
2.b
2
b2.x
2 – a
2.y
2 = a
2.b
2 (14’)
y dividiendo los dos miembros por a2.b
2 queda
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 (15)
La llamamos ‘Ecuación canónica’ o ‘normal’ de la hipérbola.
NOTA: El alumno puede puede comprobar, siguiendo el mismo
proceso de cálculo, que si el punto P está situado hacia la otra rama de
la hipérbola el resultado es el mismo.
Ecuación normal de la Hipérbola cuando los ejes de simetría son
paralelos a los ejes de coordenadas y su centro es un punto
cualquiera (xo, yo):
Teniendo en cuenta el resultado obtenido más arriba: 𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
si hacemos una traslación de modo que el centro de la hipérbola sea el
punto C(x0,y0), la nueva ecuación de la hipérbola es:
(𝑥−𝑥0)
2
𝑎2 −
(𝑦−𝑦0)2
𝑏2 = 1 (16)
------------------
96
2.8.3.- LA PARÁBOLA
Definiciones: Elementos de la Parábola
Fijamos una recta r y en ella un punto F que llamaremos foco. (La recta
r va a ser el eje de simetría de la parábola). Fijamos también una recta s
perpendicular a r. Se cortarán en un punto A.
“Llamamos Parábola al lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano
que equidistan del punto F y de la recta s, es decir, que cumplen
d(P,F) = d(P,s)
o bien √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = |𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|
√𝑎2+𝑏2 (30)
Elementos de la parábola:
-Eje de simetría: Es la recta r fijada
-Recta directriz: Llamamos así a la recta s fijada (perpendicular a r por
A)
-Foco F: Es el punto fijado en la recta r
-Vértice V: Es el punto de corte de la parábola con su eje de simetría r.
Sea A el punto de corte del eje de simetría con la recta directriz s.
De la gráfica se deduce que el vértice V es el punto medio del segmento
FA.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
97
Parámetro de la parábola:
-Es el valor de la distancia d(F,s) desde el foco a la directriz, y lo
representaremos por p.
Ecuación de la Parábola
NOTA: En lo que sigue, por motivos prácticos, admítase ‘notación un
tanto burda cuando se trate de desarrollos laboriosos.
Sea la ecuación de la recta s: ax + by + c = 0, y el foco F(xo,yo).
Si P(x,y) es un punto cualquiera que cumple la igualdad (30), de ésta
obtenemos
√𝑎2 + 𝑏2 . √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = |𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐|
Elevando al cuadrado
(a2 + b
2).[(x - xo)
2 + (y - yo)
2)] = (ax + by + c)
2
(a2 + b
2).[(x
2 + xo
2 - 2.xox) + (y
2 + yo
2 -2.yoy)] =
= a2.x
2 + b
2.y
2 + c
2 + 2ab.xy + 2ac.x + 2bc.y
Trasponiendo, simplificando y agrupando, tenemos
b2.x
2 + a
2.y
2 - 2.a.b.xy + [-2.(a
2 + b
2).xo –2.a.c].x +
+ [-2.(a2 + b
2).yo -2.b.c].y + [(a
2 + b
2).(xo
2 + yo
2) – c
2] = 0
Haciendo
A = b2
B = a2
98
C = -2.a.b
D = -2.[(a2 + b
2).xo + a.c]
E = -2.[(a2 + b
2).yo + b.c] (*)
F = (a2 + b
2).(xo
2 + yo
2) – c
2
y la ecuación queda de la forma
Ax2 + By
2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (31)
(Ecuación general de la parábola)
NOTA: La forma (31) es la misma que tomaría una cónica cualquiera,
si bien cambiaría el valor de sus coeficientes dados en el bloque (*)
Casuística:
a) Si el eje de simetría (recta r) es paralela al eje ox, entonces la recta s
es paralela al eje oy, y su ecuación es s: x + c = 0, es decir a = 1, b = 0, y
entonces
A = b2
B = a2
C = -2.a.b
D = -2.[(a2 + b
2).xo + a.c]
E = -2.[(a2 + b
2).yo + b.c]
F = (a2 + b
2).(xo
2 + yo
2) – c
2
--- >
A = 0
B = 1
C = 0
D = -2.[xo + c]
E = -2.yo
F = (xo2 + yo
2) – c
2
y la ecuación queda de la forma
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
99
y2 + Dx + Ey + F = 0 (32)
b)Si el eje de simetría coincide con ox, entonces la recta s es paralela a
oy, será:
s: x + c = 0, y además, el foco es de la forma F(xo, 0), es decir: a = 1, b
= 0, yo = 0, y entonces
A = 0
B = 1
C = 0
D = -2.[xo + c]
E = -2.yo
F = (xo2 + yo
2) – c
2
--- >
A = 0
B = 1
C = 0
D = -2.[xo +c]
E = 0
F = xo2 – c
2
y la ecuación queda de la forma
y2 + Dx + F = 0 (32)’
100
c) Si el eje de simetría coincide con ox y el vértice V coincide con (0,0),
entonces, si el foco es F(xo,0), en la recta s: x + c = 0 es c = xo, y
entonces
A = 0
B = 1
C = 0
D = -2.[xo +c]
E = 0
F = xo2 – c
2
--- >
A = 0
B = 1
C = 0
D = - 4.x0
E = 0
F = 0
y la ecuación queda de la forma
y2 + Dx = 0 (33)
Si en estas condiciones hacemos xo = 𝑝
2 , y por tanto
D = - 4. 𝑝
2 = -2p, queda
y2 - 2p.x = 0 (34)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
101
Por otro lado, si el eje de simetría (recta r) es paralelo al eje oy, entonces
llegamos a las siguientes tipos de ecuaciones:
a)’ Si el eje de simetría (recta r) es paralela al eje oy, entonces la recta s
es paralela al eje ox, y su ecuación es s: y + c = 0, es decir a = 0, b = 1, y
entonces
A = 1
B = 0
C = 0
D = -2.xo
E = -2.[yo + c]
F = (xo2 + yo
2) – c
2
y la ecuación queda de la forma
x2 + Dx + Ey + F = 0 (35)
b)’ Si el eje de simetría coincide con oy, entonces la recta s es paralela a
ox, será:
s: y + c = 0, y además el foco es de la forma F(0,yo), es decir:
a = 0, b = 1, xo = 0, y entonces
A = 1
B = 0
C = 0
D = 0
E = -2.[yo + c]
F = yo2 – c
2
102
y la ecuación queda de la forma
x2 + Ey + F = 0 (36)
c)’ Si el eje de simetría coincide con oy y el vértice V coincide con
(0,0), entonces, si el foco es F(0, yo), en la recta s: y + c = 0 es c = yo,
y entonces (Siendo a = 0, b = 1, xo = 0)
A = 1
B = 0
C = 0
D = 0
E = -4.yo
F = 0
y la ecuación queda de la forma
x2 + E.y = 0 (37)
Si en estas condiciones hacemos yo = 𝑝
2 , con lo cual
E = -4. 𝑝
2 = -2p, queda
x2 - 2p.y = 0 (38)
------------
Ejemplos/Problemas:
1.- Halla la ecuación de la Elipse con focos F(4,3), F’(-2,3), y
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
103
k = 2.a = 8
Sol.:
Si Q(x,y) es un punto de la elipse ha de cumplirse
8)3()2()3()4( 2222 yxyx
Traspongo a la derecha el segundo radical y elevo al cuadrado
x2 +y
2 –8x –6y +25 = x
2 +y + 4x –6y +
+ 64 –16.22 )3()2( yx
Después de simplificar
16. 22 )3()2( yx = 12x +52
4.22 )3()2( yx = 3x+13
Elevo otra vez al cuadrado
16.[x2 +y
2 +4x –6y +13] = 9x
2 +169 +78
Trasponiendo y agrupando
7x2 + 16y
2 +14x –96y +39 = 0
2.- Halla la ecuación de la Hipérbola con focos F(4,2), F’(-2,2), y k =
2.a = 4
Sol.:
Si Q(x,y) es un punto de la hipérbola ha de cumplirse
104
4)2()2()2()4( 2222 yxyx
Traspongo a la derecha el segundo radical y elevo al cuadrado
x2 +y
2 –8x –4y +20 = x
2 + y
2 + 4x – 4y + 8 +
+ 16 + 8.22 )2()2( yx
Traspongo y Simplifico
8.22 )2()2( yx = -12x + 12
2.22 )2()2( yx = -3x + 3
Elevo de nuevo al cuadrado
4.[x2 + y
2 + 4x – 4y + 8] = 9.(x
2 –2x + 1)
Traspongo y simplifico
5x2 –4y
2 –34x +16y –32 = 0
3.- Halla la ecuación de la parábola con foco F(3,3), y recta directriz
r: x + 1 = 0
Sol.:
Si Q(x,y) es un punto de la parábola ha de cumplirse
d(Q,F) = d(Q,r)
22 )3()3( yx = 1
1x
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
105
Al elevar al cuadrado el valor absoluto se esfuma
x2 +y
2 –6x –6y +18 = x^2 +2x +1
Traspongo y simplifico
y2 –8x –6y +17 = 0
--------------
106
ACTIVIDADES y Problemas
1.- Distancia desde un punto a la recta
Sean P(2, 3), r: 3x - 2y + 4 = 0
Sol: De dos formas
A) d(P, r) = 22 )2(3
/43.22.3/
=
13
4=
13
13.4
B) Pasando la ecuación de r a formato r = <A; v>
Puntos A y B de r:
y = 0 --> 3x +4 = 0, x = -4/3, A(-4/3, 0)
y = 5 --> 3x = 6, x = 2, B(2, 5)
Vector director: v = AB = (10/3, 5)
OQ = OA + t.v = (-4/3+10/3.t, 5.t)
PQ = (-10/3 +10/3.t, -3+5.t)
Por ortogonalidad tenemos
0 = v*PQ
0 = -100/9 +100/9.t –15 +25.t
0 = -235/9 + 325/9.t --> t = 235/325, t = 47/65
Obtengo el punto Q:
OQ = (-4/3+10/3.47/65, 5.47/65) = (14/13, 47/13)
El vector PQ = (-12/13, 8/13)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
107
d(P,r) = d(PQ) = √142+82
13 =
√208
13 =
4.√13
13
el mismo que obtuvimos antes, como es lógico.
2.- A)Distancia desde P(3, -2) a la recta
r: 2x+4y-5 = 0.
B)Pasar la recta anterior al formato paramétrico-vectorial y volver a
calcular la distancia pedida.
Sol.: 7.√20
20
3.- A)Analiza la posición relativa (paralelismo y perpendicularidad) de
las rectas
r: 3x+2y-6 = 0, s: 2x-5y+6 = 0
B)Lo mismo para las rectas
r: 3x+2y-6 = 0, s: 2x-3y+8 = 0
Sol.: A) m =-3/2, m’ = 2/5 , No son paralelas
Punto de corte: Obtengo P(18/19, 30/19)
B) m = -3/2, m’ = 2/3, No son paralelas
Pero ahora m’ = -1/m, Son perpendiculares
Se cortan en P(2/13, 36/13)
4.- Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,2), B(6,3),
C(4,6).
108
Sol.:
NOTA: Recordamos que el punto medio del segmento PQ, donde
P(x1,y1), Q(x2,y2), tiene coordenadas (𝑥1+𝑥2
2 ,𝑦1+𝑦2
2)
Punto medio de AB: M1(4,5/2)
Punto medio de AC: M2(3,4)
Vector AB= (4,1), pendientes m = 1/4, m’= -4
Vector AC= (2,4), pendientes m = 2, m’= -1/2
Ecuación mediatriz por M1:
y-5/2 = -4.(x-4), 8x+2y-37=0
Ecuación mediatriz por M2:
y-4 = -1/2.(x-3), x+2y-11=0
Cálculo del centro C (punto de corte de las mediatrices):
0112
03728
yx
yx, Obtengo C(52/14,51/14)
Cálculo del radio (Igual a distancia desde C hasta A (u otro de los
puntos)):
AC = (52/14 –2,51/14 –2) = (24/14, 23/14)
R = √242+232
14 =
√1105
14
5.- Analiza la posición relativa entre la recta y la circunferencia:
r: x-2y+8=0, C: x2+y
2-6x-8y+16=0
Sol.: Analizamos el sistema formado por las dos
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
109
01686
08222 yxyx
yx
x = 2y-8 -> (2y-8)2+y
2 –6.(2y-8)-8y+16 = 0
5y2-52y+128 = 0,
Obtengo y = 32/5 -> x = 2475, punto A(24/5,32/5)
y = 4 --> x = 0, punto B(0,4)
Se cortan en dos punto A y B
6.- Dado el triángulo ABC determina sus Medianas, sus Mediatrices, sus
Alturas. Obtener también el Baricentro, el Circuncentro, el Ortocentro.
Datos: A(6,1), B(4,5), C(1,3)
Sol.:
Punto medio de AB: M1(5,3)
Punto medio de BC: M2(5/2,4)
Punto medio de AC: M3(7/2,2)
Mediatrices:
AB = (-2,4), m = -2, m’ = 1/2
r1: y-3 = 1/2.(x-5), x-2y+1 = 0
BC = (-3,-2) -> m = 2/3, m’ = -3/2
r2: y-4 = -3/2.(x-5/2), 6x+4y-31 = 0
110
AC = (-5,2), m = -2/5, m’ = 5/2
r3: y-2 = 5/2.(x-7/2), 10x-4y-27 = 0
Medianas:
Rectas que pasan por cada vértice y el punto medio opuesto.
Obtengo: s1: y-3 = 0.(x-1), y-3 = 0
s2: y-1 = -6/7.(x-6), 6x+7y-43 = 0
s3: y-5 = 6.(x-4), 6x-y-19 = 0
Alturas:
Recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
Obtengo:
t1: y-3 = 1/2.(x-1), x-2y+5=0
t2: y-1 = -3/2.(x-6), 3x+2y-20=0
t3: y-5 = 5/2.(x-4), 5x-2y-30=0
Baricentro:
Es el punto común a las tres medianas.
Circuncentro:
Centro de la circunferencia circunscrito al triángulo. Es el punto común
a las tres mediatrices.
Ortocentro:
Punto común a las tres alturas.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
111
7.- Calcula los ángulos que determinan las rectas
r: 3x – 2y + 5 = 0,
s: -2x + 4y +7 = 0
Sol.:
Pendientes: mr = 3/2, ms = 1/2
Ángulos con ox:
gr = arcTn(3/2) = 56’31º
gs = arcTan(1/2) = 26’57º
Ángulo menor que forman:
g = gr – gs = 29’74º
El otro es 180º - 29’74º = 150’26º
8.- Halla las dos bisectrices de las rectas
r: 3x – 2y + 5 = 0,
s: -2x + 4y +7 = 0
Sol.:
Si Q(x,y) es un punto de una de las bisectrices se ha de cumplir
20
742
49
523
yxyx
742.13523.20 yxyx
Al suprimir las barras de valor absoluto quedan dos posibilidades
112
r1: 20 .(3x-2y+5) - 13.(-2x+4y+7)
r2: 20 .(3x-2y+5) + 13.(-2x+4y+7)
Simplificando tenemos las dos bisectrices.
9.- Calcula la Pot(P;C) cuando
C: x2+y
2 -5x +6y = 16, y P(-3,5).
Sol.:
Dos formas:
a) Sustituyo en x2 + y
2 -5x +6y –16 = 0
Pot(P,C)= 63
b) Determino el centro
x2 + y
2 -5x +6y –16 = 0
P(-3,5)
D= -2.xo
E= -2.yo
F= (xo2 + yo
2) – r
2
xo = 5/2, yo = -3,
r = √25
4+ 9 + 16 = √
125
4
(x-5/2)2 + (y+3)
2 - 125/4 = 0
Pot(P,C)= (-3-5/2)2 + (5+3)
2 –125/4 =
= (-11/2)2 + 64 –125/4 = 121/4 +64 –125/4
= (121 +256 –125)/4 = 252/4 = 63
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
113
10.- Calcula el eje radical de las circunferencias C1 de radio 5 y cuyo
centro es O1(2,3), y la circunferencia
C2: x2 + y
2 -5x +3y -12= 0.
Sol: Obtengo la ecuación de C1
(x-2)2 + (y-3)
2 = 25
x2 + y
2 –4x –6y –12 = 0
EjeR: (D-D’)x +(E-E’)y +(F-F’)= 0
(-4+5).x +(-6-3).y +(-12+12) = 0
EjeR: x –9y = 0
11.- Calcula el centro radical de las tres circunferencias
C1: x2 + y
2 +4x -3y +8= 0
C2: Centro O2(-3,2) y radio 5
C3: (x-1)2 + (y+1)
2= 9
Sol.:
Ecuación general de C2:
(x+3)2 +(y-2)
2 = 25
C2: x2 +y
2 +6x –4y –12 = 0
Ecuación general de C3:
C3: x2 +y
2 –2x +2y –7 = 0
EjeR(C1;C2), r1: 2x –y –20 = 0
EjeR(C1;C3), r2: -6x +y –15 = 0
Intersección de las rectas
114
0 15-y 6x -
0 20-y -2x
4x = 35, x = -35/4, y= -70/4 –20 = -110/4
Centro radical: (-35/4, -55/2)
$$$$oOo$$$$
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
115
116
Tema 3
Elementos básicos de la Geometría Analítica en el espacio
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
117
118
3.1.- Sistema de referencia cartesiano en el espacio.
Coordenadas de un punto
Nos movemos en un medio que llamamos ‘Espacio tridimensional’.
Fijamos tres rectas 0x, 0y, 0z, tales que 0x y 0y sean perpendiculares
entre sí; sea O el punto común (punto de corte) de 0x y 0y; la recta 0z
pasará por O y será perpendicular simultáneamente a 0x y a 0y.
A estas tres rectas las llamaremos ‘ejes del sistema de referencia’, y O
es el origen del mismo.
Lo representamos por R(O; x, y, z)
Coordenadas de un punto:
El punto P de la figura queda unívocamente determinado por los tres
valores x1, y1, z1, obtenidos sobre los ejes de coordenadas. Son las
llamadas ‘coordenadas de P’, y representamos por (x1, y1, z1).
3.2.- Vectores fijos en el Espacio. Operaciones básicas
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
119
Observa la figura
Definiciones
¿Qué es un vector?
Dados dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), tenemos el segmento PQ,
sin especificar si lo recorremos de P a Q o de Q a P.
Pero si convenimos que PQ hemos de recorrerlo desde P hasta Q,
tenemos el vector v = PQ, y si lo hacemos desde Q hasta P, tenemos el
vector (opuesto) w = QP. Los vectores v, w son opuestos entre sí.
A los valores
a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1
los llamaremos ‘componentes’ del vector v, y a ‘v’ lo llamamos ‘vector
fijo’ en el espacio.
120
Escribiremos indistintamente
v = PQ = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
v = (a, b, c)
La orientación de un segmento PQ, que nos lleva al vector v, la
indicamos mediante una flecha --> que va desde P hasta Q, y para su
opuesto QP con la flecha <--- en sentido contrario que va desde Q a P.
Para el vector opuesto w = QP tenemos:
a’ = x1-x2, b’ = y1-y2, c’= z1-z2
de modo que a’ = -a, b’ = -b, c’ = -c, y w = (-a, -b, -c)
Módulo de v
Es la longitud del segmento PQ, y lo designamos por /v/, o por mod(v).
Teniendo en cuenta el Teorema de Pitágoras (en el espacio) obtenemos:
Mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Proporcionalidad de vectores
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
121
Si w = PR es otro vector tal que w = t.v, donde t es un valor real,
decimos que w es proporcional a v, con razón de proporcionalidad t.
Recíprocamente, si t <> 0, también v = 1/t.w
Si t > 0, w tiene la misma orientación que v.
Si t < 0, w tiene orientación opuesta a la de v.
Se cumple abs(t) = |𝑤|
|𝑣| , donde abs(t) indica el valor absoluto de t.
Operaciones básicas con vectores:
Si los vectores no tienen el mismo punto origen, entonces trasladamos
uno de los dos hasta el punto origen del otro.
‘Traslación’ significa moverlo manteniéndolo paralelo a sí mismo.
122
Suma/Resta:
Si v = (a, b, c), w = (a’, b’, c’)
suma: v + w = (a+a’, b+b’, c+c’)
resta: v - w = (a-a’, b-b’, c-c’)
Producto de escalar por vector:
Definimos el producto del valor real t por el vector v = (a, b, c), como
sigue:
t.v = t.(a, b, c) = (t.a, t.b, t.c)
3.3.- Producto Escalar de dos vectores
Observa la figura de más abajo.
Def.:
Llamamos “Producto escalar” de los vectores v, w, y lo representamos
por v*w, al valor determinado por la siguiente igualdad:
v*w = /v/./w/.cos(v^w)
donde v^w representa el ángulo formado por v y w (con origen en v
hasta w, en sentido contrario al reloj).
Tengamos en cuenta que v y w determinan un plano sobre el cual
medimos el ángulo (v^w) que forman.
Si el ángulo g = (v^w) es de 90º, entonces cos(g) = 0, y por tanto
v*w = 0 (Su imagen se reduce a un punto).
Si el ángulo g es 0º entonces cos(g) = 1, y por tanto: v*w = /v/./w/, igual
a /v/ si /w/ = 1.
Interpretación geomérica del producto escalar de dos vectores:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
123
Observa la figura
El valor v*w nos da la longitud del “segmento proyección de v sobre la
recta determinada por w”.
Proyecciones:
Llamamos ‘proyección ortogonal’, de un punto P sobre una recta r, al
punto de corte de r con la perpendicular a r por P.
Proyección de un segmento sobre r es el segmento que resulta de
proyectar cada uno de sus puntos.
124
Es algo así como la sombra que el segmento AB ‘proyecta’ sobre la
recta r, suponiendo los los ‘rayos’ de luz proceden de un foco situado en
el infinito (tandistante como podamos imaginar) y de modo que el
segmento queda situado entre la recta y dicho foco.
En la ‘proyección ortogonal’ suponemos que el foco está realmente en
el infinito y por tanto que los rayos, que son paralelos entre sí, inciden
‘perpendicularmente’ sobre la recta r.
3.4.- Sistema de Referencia ortogonal.
Sistema de Referencia ortonormal
Ya hemos dicho que el sistema de referencia en el que trabajamos tiene
sus ejes perpendiculares entre sí, y decimos que es ‘Ortogonal’.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
125
Sobre el eje 0x tomo el vector e1, con origen en 0 y con módulo /e1/ =
1. Sobre el eje 0y tomo el vector e2, con origen en 0 y módulo /e2/ = 1,
y sobre el eje 0z tomo el vector e3, con origen en 0 y módulo /e3/ = 1.
Al resultado lo llamamos ‘Sistema de referencia ortonormal’
(Abreviado: s.r.o)
En un s.r.o el resultado del producto escalar queda así:
(a, b, c)*(a’, b’, c’) = a.a’+b.b’+c.c’
El alumno puede comprobarlo, y será demostrada más adelante.
$$$$oOo$$$$
126
Tema 4
Geometría Analítica en el Espacio
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
127
128
NOTA: Para que el estudio del presente Tema 4 resulte más eficaz
recomendamos al alumno un estudio previo ‘somero’ del Tema 5 en la
parte dedicada a los vectores y Espacios vectoriales, ya que en el
presente tema 4 se hará uso de estos conceptos siempre que se considere
oportuno, tanto conceptualmente como por su utilidad práctica.
4.1.- La recta y el plano en el espacio
Def.:
Idea intuitiva de recta en el espacio:
Abundando en lo que ya se ha dicho, añadimos lo siguiente.
Es “una sucesión densa e ilimitada de puntos”.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
129
Densa en el sentido de que entre dos puntos cualesquiera siempre
existen otros puntos.
Ilimitada en el sentido de que no tiene principio ni final.
Queda pendiente el problema de la curvatura.
En general:
“Una sucesión densa e ilimitada de puntos” es una línea. Esta linea
puede ser “curvada” o puede ser “recta”, según que en alguno de sus
puntos tenga o no ‘curvatura’. Para el análisis de la curvatura de una
línea se requere entrar en el campo de las derivadas, e incluso la
derivación de segundo orden, asunto que no podemos tratar en este Vol.
5
Entendemos por “la recta” cuando la curvatura es cero en cada uno de
sus puntos.
Resumiendo:
En nuestro intelecto ‘todos’ (todos pensamos que así es) tenemos la
‘idea intuitiva’ de ‘qué es una recta’.
En este Tema estudiaremos su ‘expresión analítica’, que llamamos
también ‘ecuación de la recta’.
Por ahora nos quedamos con la idea intuitiva de “línea recta” que todos
tenemos.
No me resisto a mencionar aquí el concepto de ‘segmento’:
“Parte ‘continua’ de una recta limitada por dos puntos A, B,
extremos del segmento”.
No es simplemente un conjunto de puntos de la recta porque podrían ser
puntos ‘aislados’, ha de ser un ‘continuo’ sin ‘lagunas’.
130
Pues bien, para el ‘profano’ una recta no será otra cosa que un segmento
‘ilimitado’ por ambos extremos. ¡Y HASTA AQUÍ HEMOS
LLEGADO!
Def.:
El plano: Idea intuitiva
Si tomo dos rectas r y s que se cortan en un punto A. Fijamos sendos
puntos P en r y Q en s, y consideramos la recta t que pasa por P y Q. Si
hacemos que los puntos P y Q se muevan sobre las rectas r y s,
respectivamente, entonces la recta t ‘barre’ una parte ‘m’ del espacio.
Evidentemente, esta parte m del espacio contiene todos los puntos de r y
los de s, es decir, contiene a las dos rectas.
“A este conjunto m de puntos del espacio lo llamamos ‘plano’”
(determinado por las dos rectas).
Observamos que:
a)El plano queda determinado por las dos
rectas, ya que de cualquier modo que hagamos el citado ‘barrido’ resulta
el mismo conjunto de puntos.
b)Un plano también queda determinado por tres
de sus puntos A, B y C: Tomamos r como la recta
que pasa por A y B, y s la que pasa por A y C,
y estamos en la situación anterior.
Podemos referirnos a este plano mediante ABC.
Planos del sistema de referencia:
En la figura, Las rectas 0x, 0y determinan el plano 0xy; el par de rectas
0x, 0z determinan el plano 0xz; el par 0y, 0z determinan el plano 0yz.
Los llamaremos ‘planos’ del sistema de referencia.
Coordenadas de un punto:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
131
Sea un punto P cualquiera. Por P hacemos pasar dos rectas: una paralela
a 0x y otra paralela a 0y; estas rectas determinan un plano ‘m1’ que,
evidentemente, es paralelo al plano 0xy, y corta al eje 0z en un punto
P1(0, 0, z1).
De forma análoga obtenemos un plano ‘m2’ paralelo al plano 0xz, y
que corta al eje 0y en un punto P2(0, y1, 0). Y finalmente obtenemos un
plano ‘m3’ paralelo al plano 0yz, y que cortará al eje 0x en un punto
P3(x1, 0, 0).
Las coordenadas de P son (x1, y1, z1).
4.2.- Ecuación del plano en el espacio. Sus tipos
Observa la figura
Vimos que dos rectas r y s, con un punto común, determinan un plano.
Si A(x0,y0,z0) es el punto de corte de r y s, y, P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2)
son sendos puntos de r y s, tenemos los vectores w1 = AP, director de r,
y w2 = AQ, director de s.
132
Estos vectores no son proporcionales entre sí, pues si lo fueran las rectas
coincidirían.
Si tomo otro punto R(x, y, z) cualquiera del plano, el vector AR puede
ser expresado como combinación lineal de los dos vectores w1, w2,
esto es
AR = t.w1 + u.w2, donde t, y u son valores reales.
Cuando el par (t, u) recorren el conjunto RxR, el punto R(x, y, z)
recorre el plano.
Por otro lado, el punto R(x, y, z) queda localizado (desde el origen de
coordenadas) mediante el vector
OR = OA + t.w1 + u.w2
(Ecuación paramétrico-vetorial del plano)
Diremos que los vectores
w1 = AP, w2 = AQ
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
133
son vectores directores del plano (en realidad, como veremos al estudiar
los espacios vectoriales son generadores del subespacio director del
plano)
Podemos representar el plano mediante
m = <A; w1, w2>
Escribiremos:
a = x1-x0, a’ = x2-x0,
b = y1-y0, b’ = y2-y0,
c = z1-z0, c’ = z2-z0,
w1 = (a, b, c), w2 = (a’, b’, c’)
La ecuación anterior, tomando las componentes de los vectores w1, w2
queda como sigue:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t.(a, b, c) + u.(a’, b’, c’)
de donde las componentes de OR son:
{x = x0 + t. a + u. a’y = y0 + t. b + u. b’z = z0 + t. c + u. c’
t, u recorriendo R
(Ecuaciones paramétricas del plano)
Si despejamos t de la primera y lo sustituimos en las otras dos, operando
quedan dos ecuaciones que contienen el parámetro u. Si de una de estas
despejo u y lo sustituyo en la otra, queda una sola ecuación que ya no
contiene ninguno de los parámetros.
134
En Matemáticas: Decimos que hemos ‘eliminado’ los parámetros para
obtener la ecuación ‘cartesiana’ del plano.
Operando, simplificando, agrupando y trasponiendo queda de la forma
A.x + B.y + C.z + D = 0
(Ecuación general o cartesiana del plano)
NOTA: Recomiendo consultar además el Apéndice 2
4.3.- Posición relativa entre dos planos
Observa la figura
Dos planos m1 y m2 pueden estar en cualquiera de las siguientes
posiciones:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
135
a1) Paralelismo estricto. Ningún punto común
a2) No paralelos y por tanto se cortan, y lo hacen siempre en una recta
de puntos comunes.
a3) Coinciden (pueden tener distinta ecuación aparentemente y sin
embargo representar el mismo plano)
¿Cómo saber en qué caso estamos? Lo vemos a continuación
A)
Supongamos que los planos m1 y m2 vienen dados por un punto y dos
vectores directores:
m1 = <P; v1, v2>, siendo P(x1, y1, z1),
v1 = (a11, b11, c11),
v2 = (a12, b12, c12)>
m2 = <Q; w1, w2>, siendo Q(x2, y2, z2),
w1 = (a21, b21, c21),
w2 = (a22, b22, c22)>
Si son paralelos, los vectores w1 y w2 yacen sobre el plano m2 paralelo
al plano m1, y tanto w1 como w2 podrán expresarse como ‘combinación
lineal’ de v1 y v2:
{w1 = t1. v1 + t2. v2w2 = s1. v1 + s2. v2
donde las incógnitas son t1, t2, s1, s2
Si estas expresiones fuesen posible querría decir que los planos son
paralelos, en otro caso no son paralelos y por tanto se cortan.
136
Equivale a: Sistema compatible = Planos paralelos ó coincidentes
Sistema incompatible = Planos no paralelos
B)
Tenemos las ecuaciones generales de los dos planos:
m1: A.x+B.y+C.z+D = 0,
m2: A’.x+B’.y+C’.z+D’ = 0,
Si no tienen punto en común, y por tanto son paralelos, equivale a que el
sistema
{𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0
es incompatible.
En cambio, si al intentar resolverlo tenemos:
-Una incógnita libre, entonces se cortan según una recta.
-Dos incógnitad libres, entonces coinciden.
Resumen:
Si se cortasen según una recta s, tomando dos soluciones del sistema,
sean P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), tenemos el vector director de esa recta
s: v = PQ.
En este caso en el que tenemos sus ecuaciones cartesianas, en el caso de
ser paralelos se cumple
A’/A = B’/B = C’/C, y recíprocamente, si se cumplen estas
igualdades los planos son paralelos.
En el caso de coincidir se cumple
A’/A = B’/B = C’/C = D’/D, y recíproco
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
137
C)
Los planos vienen dados por sus ecuaciones paramétrico-vectoriales:
m1: OR = OP + t.v1 + u.v2
m2: OR’= OQ + t’.w1 + u’.w2
Tenemos que determinar dos puntos P y Q que cumplan las dos
igualdades, y así queda demostrado que se cortan según una recta y,
además, tenemos un vector director de dicha recta común.
Si el punto P(x, y, z) es un punto común a m1 y m2, entonces, por ser
punto de m1 tenemos
{x = x1 + t. a11 + u. a12y = y1 + t. b11 + u. b12z = z1 + t. c11 + u. c12
por ser punto de m2 tenemos
{x = x2 + t’. a21 + u’. a22y = y1 + t’. b21 + u’. b22z = z1 + t’. c21 + u’. c22
Igualando los miembros de la derecha para cada variable x, y, z,
obtenemos un sistema de tre ecuaciones con cuatro incógnitas:
{
𝑎11. 𝑡 + 𝑎12. 𝑢 − 𝑎21. 𝑡′ − 𝑎22. 𝑢′ = (𝑥2 − 𝑥1)
𝑏11. 𝑡 + 𝑏12. 𝑢 − 𝑏21. 𝑡′ − 𝑏22. 𝑢′ = (𝑦2 − 𝑦1)
𝑐11. 𝑡 + 𝑐12. 𝑢 − 𝑐21. 𝑡′ − 𝑐22. 𝑢′ = (𝑧2 − 𝑧1)
donde las incógnitas son los parámetros t, u, t’, u’.
Análisis:
A) Sistema incompatible significa que los planos son paralelos,
puesto que no tienen ningún punto en común.
138
B) Sistema compatible: Solución una recta, ó solución un plano. En
este segundo caso los dos planos coinciden.
4.4.- Posición relativa de tres planos:
Vamos a suponer que los planos están dados mediante sus ecuaciones
cartesianas, y las presentamos formando sistema, ya que deseamos
obtener sus puntos comunes, si los tienen, lo cual ocurrirá si nigún par
de planos son paralelos:
Analizando este sistema demostraremos cada uno de los posibles casos
que se muestran en la figura.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
139
{
1.13.12.11 bzayaxa
2.23.22.21 bzayaxa
3.33.3231 bzayaxa
A) Sistema compatible determinado: Solución única. Un punto
común
B) Sistema compatible con una Incógnita libre: Tienen en común
una recta. Tomo dos soluciones P, Q, y el vector v = PQ es
director de la recta.
C) Sistema compatible con dos incógnitas libres: Tienen en común
un plano, por consiguiente coinciden los tres planos. Tomo tres
soluciones P, Q, R, y los vectores v = PQ, w = PR son
directores del plano común.
D) Sistema incompatible: No tienen nigún punto común. Entonces
pueden ocurrir varios casos:
-Dos son paralelos y el otro corta a cada uno según una recta.
-Los tres son paralelos.
-Ningún par es paralelo, cortándose dos a dos según una recta.
4.5.- Ecuación de la recta en el Espacio. Sus tipos
A) Dos puntos determinan una recta:
Dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2) determinan una recta.
Si R(x, y, z) es otro punto cualquiera de la recta, los vectores v = PQ y
w = PR son proporcionales, y por tanto:
w = t.v, donde t es un valor real
140
Para las componentes de v escribiremos
a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1,
v = (a, b, c)
Cuando t recorre el conjunto R de los números reales el punto R(x, y, z)
recorre la recta.
El punto R viene localizado por el vector
OR = OP + t.v (1)
(Ecuación paramétrico-vectorial de la recta)
En coordenadas: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c)
{
x = x1 + t. (x2 − x1)
y = y1 + t. (y2 − y1)
z = z1 + t. (z2 − z1) (2)
(Ecuaciones paramétricas de la recta)
Las igualdades (2) también puedo expresarlas así:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
141
{x − x1 = a. ty − y1 = b. tz − z1 = c. t
(3)
de donde
r: 𝐱−𝐱𝟏
𝐚 =
𝐲−𝐲𝟏
𝐛 =
𝐳−𝐳𝟏
𝐜 (4)
(Ecuación continua de la recta)
Si en (2) aplico el método de ‘despeje y sustitución’ para eliminar el
parámetro t, tengo
t = x − x1
x2 − x1
y-y1 = x−x1
x2−x1. (y2 − y1) , z-z1 =
x−x1
x2−x1. (z2 − z1)
o bien: y = y1 + 𝑏
𝑎 .(x-x1),
z = z1 + 𝑐
𝑎 .(x-x1)
y operando en éstas, y después de simplificar, agrupar y trasponer
términos, quedan dos ecuaciones en x, y, z, formando sistema de la
siguiente forma
{Ax + By + Cz + D = 0 A’x + B’y + C’z + D’ = 0
(5)
(Ecuaciones generales que determinan una recta como intersección de
dos planos)
4.6.- Posición relativa entre recta y plano
Sean una recta r cuya ecuación es r: OR = OP + s.v,
donde P(x0, y0, z0), v = (a, b, c),
142
o bien r: 𝐱−𝐱𝟏
𝐚 =
𝐲−𝐲𝟏
𝐛 =
𝐳−𝐳𝟏
𝐜
y el plano m: OR = OA + t.w1 + u.w2
donde A(x1,y1,z1), w1 = (a11,a12,a13),
w2 = (a21, a22, a23)
Tomamos los vectores:
v = (a, b, c), director de r, y directores de m.
w1 = (a11, a12, a13) , w2 = (a21, a22, a23),
A) Paralelismo:
Si la recta es paralela al plano (no tienen ningún punto común)
entonces el vector v es paralelo al plano sobre el que subyacen w1 y
w2, lo que significa que puedo expresar v como combinación lineal
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
143
de w1 y w2. Esto significa que ‘v pertenece al sub-espacio’ generado
por w1 y w2, y por tanto
v = t.w1 + u.w2 (8)
para algún par de valores reales concretos t, u.
Desarrollando (8) obtengo el sistema
{
a21.u a11.t a
a22.u a12.t b
a23.u a13.t c
(9)
cuyas incógnitas son t y u.
Analizando este sistema Pueden ocurrir dos cosas:
a) Si el sistema (9) es compatible, la recta es paralela al plano, ó
yace sobre el plano.
b) Si el sistema (9) es incompatible significa que no son paralelos,
se cortarán en un punto, que lo obtendremos resolviendo el
siguiente sistema (10).
En el caso b) seguro que se cortarán en un punto, pues en otro caso
serían paralelos.
El análisis anterior sólo nos dice si son o no paralelos. Más completo es
el siguiente análisis.
Analizamos el siguiente Sistema formado por la recta y el plano. Las
dos primeras corresponden a la recta determinada por dos planos, y la
tercera es el plano dado.
144
{
𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 + 𝑎13. 𝑧 + 𝑎14 = 0𝑎21. 𝑥 + 𝑎22. 𝑦 + 𝑎23. 𝑧 + 𝑎24 = 0𝑎31. 𝑥 + 𝑎32. 𝑦 + 𝑎33. 𝑧 + 𝑎34 = 0
(10)
-Sistema compatible determinado -> Se cortan en un punto, no son
paralelos.
-Sistema compatible indeterminado -> Infinitos puntos comunes, la
recta está sobre el plano.
-Sistema incompatible, entonces son paralelos sin puntos comunes.
B) Perpendicularidad: Si tienen un punto, y sólo uno, en común,
entonces su ‘corte’ se puede producir de dos formas:
-La recta es perpendicular al plano
-No es perpendicular, corta de forma oblicua
Veamos condiciones para que corte siendo perpendicular.
La recta corta al plano formando con él ángulo de 90º, el vector v será
ortogonal (ángulo de 90º) con cada uno de los vectores w1, w2 (que
generan el suespacio director del plano).
Por tanto, si v = (a, b, c) es un vector director de la recta, ha de
cumplirse
v*w1 = 0,
v*w2 = 0 (11)
Desarrollando queda
{a. a11 + b. a12 + c. a13 = 0a. a21 + b. a22 + c. a23 = 0
(12)
Cálculo del punto de corte:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
145
Para obtener el punto común, punto de corte, podemos operar con sus
ecuaciones paramétrico-vectoriales, o con sus ecuaciones cartesianas.
a) En forma paramétrico-vectorial:
Sea un punto R(x, y, z) común, y tengo
r: OR = OP + s.v,
m: OR = OA + t.w1 + u.w2, (13)
Igualando los miembros derecha obtenemos un sistema cuyas incógnitas
son los tres parámetros s, t, u:
{x0 + a. s = x1 + a11. t + a21. uy0 + b. s = y1 + a12. t + a22. uz0 + c. s = z1 + a13. t + a23. u
(14)
Sistema con tres ecuaciones y tres incógnitas.
Recuerda que P(x0, y0, z0) es punto de la recta, A(x1, y1, z1) es punto
del plano.
Resolvemos el sistema, y obtenido el valor de s, tenemos el punto R en
la recta, que es común con el plano, así: OR = OP + s.v
b) En cartesianas:
Podemos optar por pasar a ecuaciones cartesianas; las dos primeras son
las que determinan r como intersección de dos planos, la tercera es el
plano:
{
b1 a13.za12.y a11.x
b2 a23.za22.y a21.x
b3 a33.za32.y a31.x
(15)
146
donde: b1 = -a14, b2 = -a24 de la recta, b3 = -a34 del plano.
Resuelto el sistema, la solución es el punto común.
Recuerda: -Sistema compatible determinado = se cortan en un punto
-Sistema compatible indeterminado = la recta está sobre el
plano.
4.7.- Posición relativa entre dos rectas
Tomo dos rectas:
r1: OR1 = OP + t.v1
r2: OR2 = OQ + u.v2 (16)
donde
P(x1, y1, z1), v1 = (a11, a12, a13)
Q(x2, y2, z2), v2 = (a21, a22, a23)
A) Paralelismo:
Observa siguiente figura
Son paralelas si los vectores directores v1 y v2 son proporcionales entre
sí. Esto es así cuando exista un valor t1 que cumpla:
v2 = t1.v1 (17)
Si además tienen algún punto en común, entonces son coincidentes. Para
analizar este hecho planteamos
OP + t.v1 = OQ + u.(t1.v1)
y desarrollando tenemos el sistema
{
x1 + a11. t = x2 + (t1. a11). u
y1 + a12. t = y2 + (t1. a12). uz1 + a13. t = z2 + (t1a13). u
(18)
cuyas incógnitas son los parámetros t y u.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
147
Hechos los arreglos tenemos el sistema
{
12).11.1(.11 xxuatta
12).12.1(.12 yyuatta
12).13.1(.13 zzuatta
(19)
Sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas.
Si v1, v2 no son proporcionales, es decir, ningún valor real cumple la
igualdad (17), entonces no son paralelas y decimos que se cruzan.
B) Perpendicularidad:
Las dos rectas
r1: OR1 = OP + t.v1
r2: OR2 = OQ + u.v2 (20)
pueden cruzarse perpendicularmente o no.
Son perpendiculares si v1 * v2 = 0, en otro caso no lo son.
C) Son coplanarias o no:
148
Observando la figura, y acudiendo a nuestra imaginación, son
coplanarias si ocurre:
-Son paralelas
-Se cortan
La primer posibilidad la hemos estudiado antes. Analizamos la segunda.
Cálculo del posible punto común de dos rectas:
Vectorialmente planteo el sistema
P + t.v1 = OQ + u.v2 (21)
que desarrollando tenemos
{x1 + a11. t = x2 + a21. uy1 + a12. t = y2 + a22. uy1 + a12. t = y2 + a22. u
(22)
cuyas incógnitas son los parámetros t y u.
Hechos los arreglos tenemos el sistema
{
12.21.11 xxuata
12.22.12 yyuata
12.23.13 zzuata
(23)
que debe tener solución única.
En caso afirmativo son coplanarias y el plano que las contiene es:
“Plano determinado por el punto común y sus respectivos dos vectores
directores v1, v2”.
En otro caso no se cortan y decimos que se cruzan
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
149
En cartesianas:
Si para obtener el punto común a dos rectas, después de comprobar que
son coplanarias (ver más adelante), los datos que tenemos son sus
ecuaciones cartesianas, nos encontraremos con un sistema de cuatro
ecuaciones (cuatro planos) que hemos de resolver.
Ejemplos:
El alumno debe comprobar los resultados que se indican.
1.- Sean los tres planos
103
732
17432
zyx
zyx
zyx
Sol.: Tienen un solo punto común que es P(2, -3, 1)
2.- Sea un plano
m: 4x +2z = 2
y la recta r:
432
723
zyx
zyx
Sol.: La recta corta al plano en el punto P(-1, 2, 3)
3.- Sean las dos rectas
r1 = <P; v1>, P(2, 1, 3), v1 = (3, 0, 2)
r2 = <Q; v2>, Q(-1, 1, 1), v2 = (2, 1, 0)
Sol.:
Punto genérico de r1: OX = (2, 1, 3) + t.(3, 0, 2)
Punto genérico de r2: OY = (-1, 1, 1) + u.(2, 1, 0)
Comprueba que son coplanarias y se cortan en el punto A(-1, 1, 1)
--------------
4.8.- Distancias en el Espacio
150
4.8.1.- Distancia entre dos puntos
Sean dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2). La distancia que los separa
coincide con el módulo del vector v = PQ.
Aplicando Pitágoras tenemos
d(P,Q) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
4.8.2.- Distancia desde un punto a una recta
NOTA:
Aunque su cálculo puede resultar más fácil después del estudio
‘distancia desde un punto a un plano’, por motivos conceptuales lo
expongo aquí y en la siguiente forma.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
151
Def.:
“Distancia desde P hasta r es el menor de los valores d(P, Q), cuando Q
recorre la recta r”.
El menor de estos valores se da cuando Q es el punto de corte, R, de la
recta s que, pasando por P, es perpendicular a r.
Caso A: Tenemos la ecuación vectorial de r
Sean la recta r = <A; v>, donde A(x0, y0, z0), v = (a,b,c), y el punto
P(x1, y1, z1) que suponemos no está en la recta.
Un punto Q(x, y, z) cualquiera de r viene dado por
OQ = OA + t.(a, b, c), para algún valor real t
Componentes de vector OQ
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t.(a, b, c)
Tenemos
OQ = OA + t.(a, b, c)
OQ = OP + PQ, de donde: PQ = OQ – OP
o bien PQ = [OA+t.(a, b, c)] – OP
de donde: PQ = (OA-OP) + t.(a, b, c)
152
y por tanto
PQ = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) + t.(a, b, c) =
= (x0-x1+a.t, y0-y1+b.t, z0-z1+c.t)
(24)
Por otro lado, imponemos que PQ y v son ortogonales, y por tanto:
PQ*v = 0, (* es el prod. esc.)
Esta condición nos lleva a la igualdad
0 = a.(x0-x1 + a.t) + b.(yo-y1 + b.t) + c.(zo-z1 + c.t)
(25)
0 = a.(x0-x1) + b.(y0-y1) + c.(z0-z1)+ (a2 + b
2 + c
2).t (26)
Operando, agrupando y simplificando obtenemos una ecuación de la
forma
A.t = B (27)
de donde despejamos el valor de t.
Observa: A = a2 + b
2 + c
2 , B = a.(x0-x1) + b.(y0-y1) + c.(z0-z1)
Esto nos permite obtener el punto Q en la recta r, que es el corte de r y s.
Decimos que Q es ‘el pié de la perpendicular por P a la recta r’.
Después: d(P, r) = d(P, Q) (28)
NOTA:
Si el vector v estuviese normalizado, es decir, / v / = 1, siendo
v = (n1, n2, n3), la igualdad (26) quedaría así:
0 = n1.(x0-x1)+ n2.(y0-y1)+ n3.(z0-z1) + (n12 +n2
2 +n3
2).t
y teniendo en cuenta que n12 +n2
2 +n3
2 = 1, queda
t = n1.(x0-x1) + n2.(y0-y1) + n3.(z0-z1)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
153
Además, teniendo en cuenta que
n1 = 𝑎
√𝑎2+𝑏2+𝑐2 , n2 =
𝑏
√𝑎2+𝑏2+𝑐2 , n3 =
𝑐
√𝑎2+𝑏2+𝑐2
podemos expresar
t = 𝑎.(𝑥0−𝑥1)+𝑏.(𝑦0−𝑦1)+𝑐.(𝑧0−𝑧1)
√𝑎2+𝑏2+𝑐2 ,
coincidiendo que
d(P, r) = 𝑎.(𝑥0−𝑥1)+𝑏.(𝑦0−𝑦1)+𝑐.(𝑧0−𝑧1)
√𝑎2+𝑏2+𝑐2
Caso B: Tenemos las ecuaciones cartesianas de r
{014.13.12.11 azayaxa
024.23.22.21 azayaxa (29)
Interesa pasar al formato r = <A; v>, paramétrico-vectorial. Para
obtener este formato procedemos como sigue.
Obtenemos dos puntos A y B de r:
Damos valor a la incógnita libre, supongamos que puede serlo z. Si
hacemos z = z1 obtenemos el sistema
{1.1314.12.11 zaayaxa
1.2324.22.21 zaayaxa
Resolviendo este sistema tenemos el punto A(x1, y1, z1).
Si hacemos z = z2 obtenemos el sistema
154
{2.1314.12.11 zaayaxa
2.2324.22.21 zaayaxa
Resolviendo este sistema tenemos otro punto B(x2, y2, z2).
Tengo así un vector director de la recta r
v = AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1), que supongo v = (a, b, c)
Realizo a continuamos los cálculos del caso A).
4.8.3.- Distancia desde un punto a un plano
Por motivos conceptuales hago una exposición completa de este punto,
pero advierto que la fórmula práctica para obtener dicha distancia la
obtenenmos en el punto 4.8.4 que sigue.
Caso A: Plano dado por su expresión vectorial
Defi.:
“Distancia desde un punto P hasta un plano m es la menor de las
distancias d(P,Q) cuando Q recorre el plano m”.
Sean P(x1, y1, z1) un punto y m = <A; w1, w2> el plano determinado
por el punto A y dos vectores directores w1, w2. Las rectas que pasan
por P y no son paralelas al plano lo cortan en algún punto Q.
Consideremos las distancias d(P, Q) cuando Q recorre el plano. Es fácil
convencerse de que la menor de estas distancias la obtenemos cuando Q
es el punto de corte con m de la recta s que, pasando por P, es
perpendicular a m.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
155
Tenemos
Punto P(x1, y1, z1)
Plano m = <A; w1, w2>, donde A(x0, y0, z0)
w1 = (a11, a12, a13), w2 = (a21, a22, a23)
Un punto Q cualquiera del plano viene dado por
OQ = OA + t.w1 + u.w2 (30)
Tenemos además: OQ = OP + PQ, de donde
PQ = OQ-OP, PQ = OA + t.w1 + u.w2 – OP
PQ = (OA-OP) + t.w1 + u.w2
156
Esta última expresada por sus componentes queda:
PQ = (x0-x1, y0-y1, z0-z1)+ t.(a11, a12, a13) + u.(a21, a22, a23)
PQ = (x0-x1 + a11.t + a21.u, y0-y1 + a12.t + a22.u,
, z0-z1 + a13.t + a23.u) (31)
Si la recta s es perpendicular al plano, el vector PQ es ortogonal con w1
y con w2:
PQ*w1 = 0
PQ*w2 = 0
Por tanto tenemos
0 = a11.( x0-x1 + a11.t + a21.u) + a12.(y0-y1 + a12.t + a22.u) +
+ a13.(z0-z1 + a13.t + a23.u)
0 = a21.( x0-x1 + a11.t + a21.u) + a22.( y0-y1 + a12.t + a22.u) +
+ a23.( z0-z1 + a13.t + a23.u)
(32)
Después de operar, agrupar y simplificar, queda un sistema de la forma
{𝐴11. 𝑡 + 𝐴12. 𝑢 = 𝐵1𝐴21. 𝑡 + 𝐴22. 𝑢 = 𝐵2
(33)
Resolviendo obtengo el valor de los parámetros t y u, y obtengo el punto
Q, pie de la perpendicular s.
Después: d(P, m)= d(P, Q)
Caso B: El plano viene dado por su ecuación general
Sea m: a11.x + a12.y + a13.z –a14 = 0
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
157
Podemos optar por pasar al formato m = <A; w1, w2> paramétrico-
vectorial. Para conseguirlo hemos de obtener tres puntos A, B, C del
plano. Damos valor a las dos incógnitas libres y obtengo el valor de la
otra. Tengo así el punto A. Del mismo modo obtenemos los puntos B y
C. Después tomamos los vectores
w1 = AB, w2 = AC, y tenemos la ecuación
vectorial del plano: m = <A; w1, w2>, y a continuación operamos
como en el caso A).
Más cómodo resultará aplicar la conclusión final del siguiente punto.
4.8.4.- Distancia desde el origen de coordenadas, O(0, 0, 0), a un
plano m: Ax + By + Cz + D = 0
Voy a obtener un vector w que lleve desde O hasta m en la dirección de
la perpendicular.
Obtengo dos vectores w1, w2, directores de m.
Dando valores: y = 0, z = 0 -> x0 = -D/A
->A(x0, 0, 0)
y = 1, z = 0 -> x1 = -(B+D) / A -> punto P1(x1, 1, 0)
y = 0, z = 1 -> x2 = -(C+D) / A -> punto P2(x2, 0, 1)
y tengo los vectores: w1 = (x1-x0, 1, 0), w2 = (x2-x0, 0, 1)
158
Obtengo un vector w ortogonal con w1 y w1:
w = (x, y, z) -> {𝑥. (𝑥1 − 𝑥0) + 𝑦 = 0
𝑥. (𝑥2 − 𝑥0) + 𝑧 = 0 ->
doy valor x = 1 -> {y = x0 – x1 = −
D
A+B+D
A=
𝐵
𝐴
𝑧 = 𝑥0 − 𝑥2 = −𝐷
𝐴+𝐶+𝐷
𝐴 =
𝐶
𝐴
y obtengo
w = (1, B/A, C/A). Puedo tomar uno proporcional como es
w = (A, B, C)
Corolario: (Muy práctico)
Dado el plano m: Ax + By + Cz + D = 0, la dirección definida por el
vector w = (A, B, C) es perpendicular a m.
Otra forma: El vector w es ortogonal con el sub-espacio <w1, w2>
director del plano.
Para obtener la distancia d(O, m) basta construir un nuevo vector w que
nos lleve desde O hasta el punto Q del plano, en la dirección ortogonal a
m.
Si ‘normalizo’ el vector w = (A, B, C), obtengo
u = 1
√𝐴2+𝐵2+𝐶2 . (𝐴, 𝐵, 𝐶) = (n1, n2, n3)
El valor de t tal que OQ = t.u es justo la distancia deseada. Entonces
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
159
w = t.(n1, n2, n3) = (n1.t, n2.t, n3.t)
Para que Q esté en el plano las componentes de w deben cumplir la
ecuación del plano:
A.(n1.t) +B.(n2.t) +C.(n3.t) + D = 0,
(A.n1 + B.n2 + C.n3).t = -D, t = −𝐷
𝐴.𝑛1+𝐵.𝑛2+𝐶.𝑛3
Teniendo en cuenta lo que representan n1, n2, n3
n1 = 𝐴
√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , n2 =
𝐵
√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , n3 =
𝐶
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
resulta, después de operar y simplificar
t = = −𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
Conclusión : d(O, m) = −𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
Evidentemente, si lo que interesa es la distancia tomaremos el valor
absoluto.
Corolario 2: Distancia entre dos planos
m: Ax + By + Cz + D = 0,
160
m’: A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Por ser paralelos: 𝐴′
𝐴=
𝐵′
𝐵=
𝐶′
𝐶 = 𝑘 → {
𝐴′ = 𝑘. 𝐴𝐵′ = 𝑘. 𝐵 𝐶′ = 𝑘. 𝐶
-- >
m’: k.(Ax +By +Cz) +D’ = 0
Tengo para la distancia entre los dos planos
d = d(O, m’) –d(O, m) = −𝑫′
𝒌.√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐−
−𝑫
√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐
Observa que podemos hacer:
m: Ax + By + Cz + D = 0, m’: k.(Ax + By + Cz) + D’ = 0,
y para la ecuación de m’ además: m’: Ax + By + Cz + D’/k = 0, y
llamando D’ al valor D’/k, puedo hacer que los coeficientes de x, y, z
sean iguales en los dos planos, con lo cual puedo tomar
d = d(O, m’) –d(O, m) = −𝑫′
√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐−
−𝑫
√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐
d = −𝑫′+𝑫
√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐
Corolario 3:
Distancia desde el punto P(x0, y0, z0) a un plano
Sea el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
161
Hago pasar por P un plano m’ paralelo a m. Será de la forma
m’: Ax +By +Cz +D’ = 0, donde D’ ha de cumplir con la
condición de que m’ pasa por P:
D’ = -(A.x0 +B.y0 +C.z0), y por tanto
m’: Ax +By +Cz - (A.x0 +B.y0 +C.z0) = 0,
Entonces
d(P, m) = d = d(O, m’) –d(O, m) = (𝐴.𝑥0+𝐵.𝑦0+𝐶.𝑧0) +𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
Conclusión:
d(P, m) = 𝐴.𝑥0+𝐵.𝑦0+𝐶.𝑧0 +𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
Esta fórmula es ¡excepcionalmente práctica!
4.8.5.- Distancia entre dos planos
Sean dos planos m, m’. Si se cortan la distancia entre ellos es cero.
Suponemos que son paralelos.
Lo hemos resuelto en el corolario 2 del punto anterior 4.8.4.
Otra forma sería obtener los dos puntos P y Q determinados por la
perpendicular trazada desde el origen O, y después d(m, m’) = d(P, Q).
También, después de obtener Q sería: d(m, m’) = d(Q, m)
162
4.8.6.- Distancia desde una recta a un plano
Defi.:
“Es la menor de las distancias d(P, Q) cuando P recorre la recta y Q
recorre el plano”.
Si la recta no es paralela al plano lo cortará en un punto y la distancia es
cero. Suponemos que la recta es paralela al plano.
Sea r paralela al plano m. La distancia no depende de qué punto P
tomamos de r. Fijamos un punto P en la recta r, y procedemos como
para “distancia desde un punto al plano m”. Véase el 4.8.3.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
163
164
4.8.7.- Distancia entre dos rectas
Defi.-
“Distancia entre r y s es la menor de las distancias d(P,Q) cuando P
recorre s y Q recorre r”.
Si las rectas se cortan la distancia es cero. Suponemos que no se cortan
entre sí. Si fuesen paralelas, cosa que es fácil comprobar, tomamos un
punto P de r y calculamos d(P, s). Véase punto 4.8.2. Luego también
suponemos que no son paralelas, si bien esta posibilidad queda incluida
en los siguientes cálculos.
Caso A: Tenemos ecuaciones paramétrico-vectoriales
Sean las rectas
r: <A; v>, s: <B; w>,
donde
A(x1, y1, z1), v = (a11, a12, a13)
B(x2, y2, z2), w = (a21 ,a22, a23)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
165
Sean P un punto de r y Q un punto de s. La solución la tenemos cuando
la recta determinada por PQ es perpendicular a r y a s simultaneamente.
Entonces, el vector PQ ha de ser ortogonal con v y con w
Tengo
OP = OB + t.w, OQ = OA + u.v
Por otro lado
OQ = OP + PQ, de donde
PQ = OQ – OP = (OA- OB) + u.v – t.w
PQ = (x1-x2, y1-y2, z1-z2) + u.(a11 ,a12, a13) -
-t.(a21, a22, a23)
Es decir, las componentes de PQ son
{
x = x1 − x2 + a11. u – a21. t
y = y1 − y2 + a12. u – a22. t
z = z1 − z2 + a13. u – a23. t
(1)
Las condiciones de ortogonalidad son
PQ.v = 0, PQ.w = 0 (2)
Obtengo
0 = a11.(x1-x2 +a11.u –a21.t) + a12.(y1-y2 +a12.u –a22.t) +
+ a13.(z1-z2 +a13.u –a23.t)
0 = a21.(x1-x2 +a11.u –a21.t) + a22.(y1-y2 +a12.u –a22.t) +
+ a23.(z1-z2 +a13.u –a23.t) (3)
166
Continuando tenemos
0 = a11.(x1-x2) + a12.(y1-y2) + a13.(z1-z2) + (a112+a12
2+a13
2).u –
-(a11.a21+a12.a22+a13.a23).t
0 = a21.(x1-x2) + a22.(y1-y2) + a23.(z1-z2) +
+ (a21.a11+a22.a12+a23.a13).u – (a212+a22
2+a23
2).t
Basta observar detenidamente las dos expresiones, y teniendo en cuenta
que las incógnitas son los parámetros t, u, operando, agrupando y
simplificando, llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas
{𝐴11. 𝑡 + 𝐴12. 𝑢 = 𝐵1𝐴21. 𝑡 + 𝐴22. 𝑢 = 𝐵2
(4)
Resuelto el sistema obtengo los puntos P y Q, y con ello la distancia:
d(r, s) = d(P, Q)
Pueden darse dos casos:
-Si No son coplanarias, este sistema tendrá solución única.
-Si son coplanarias (caso de ser paralelas), el sistema es
indeterminado (infinitas soluciones: podemos tomar cualquier punto P
en una de las rectas, y calcular distancia desde P a la otra recta.
Corolario:
El proceso anterior es también un método para obtener la recta
perpendicular a dos rectas dadas apoyándose en ellas.
Caso B: Tenemos las rectas, las dos o un de ellas, mediante ecuaciones
cartesianas de dos planos.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
167
Lo más práctico consiste en obtener su ecuación vectorial y operar como
vimos en el caso A.
4.9.- Haz de planos
Dos planos no paralelos
m1: A.x +B.y +C.z +D = 0
m2: A’.x +B’.y +C’.z +D’ = 0
determinan una recta r, recta común.
Si construimos la expresión
m: (A.x +B.y +C.z +D) + k.(A’.x +B’.y +C’.z +D’) = 0 (1)
para cada valor de k obtenemos un plano m que también pasa por r, ya
que cualquier punto (x0, y0, z0) de r cada uno de los paréntesis toma
valor cero.
Tenemos así una familia de planos que pasan por r. Cuando k recorre los
reales obtenemos infinitos planos que pasan por r.
Def.:
Llamamos ‘haz de planos’ a la expresión (1), y decimos que la recta r es
el vértice del haz.
Cómo localizar el plano m, que pertenece al haz, y que pasa por un
punto Q.
Dado el haz de planos con vértice la recta r
r: {A. x + B. y + C. z + D = 0A’. x + B’. y + C’. z + D’ = 0
168
selecciona aquel plano m del haz que pasa por Q(x1, y1, z1).
La expresión del haz puedo ponerla en la forma
m: (A+k.A’).x +(B+k.B’).y +(C+k.C’).z +(D+k.D’) = 0
Si ha de pasar por Q tendrá que cumplirse
(A+k.A’).x1 +(B+k.B’).y1 +(C+k.C’).z1 +(D+k.D’) = 0
o bien
(A.x1 +B.y1 +C.z1 +D) + k.(A’.x1 +B’.y1 +C’.z1 +D’) = 0,
de donde despejo el valor de k.
Observaciones:
Dado el haz definido pos r: {A. x + B. y + C. z + D = 0A’. x + B’. y + C’. z + D’ = 0
y dada una recta s, nos parece normal preguntarse si existirá un plano m
del haz que contenga la recta s, equivalente a que m pase por s.
Si esto fuese posible entonces la recta s está sobre el plano m, y en
consecuencia ha de darse una de estas dos situaciones:
a) Corta a la recta r b) Es paralela a r
Si probamos que s y r se cortan, entonces el plano m es el determinado
por las rectas.
Si son paralelas, tomo un punto P de r y un punto Q de s. Tomo los
vectores v = director de s, w = PQ. Estos dos vectores generan el
subespacio director del plano m que buscamos.
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Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
169
ACTIVIDADES y Problemas resueltos:
1.- Ecuación del plano determinado por los tres puntos A(1,0,1),
B(1,1,0), C(0,1,1).
Sol.: v = AB = (0, 1, -1), w = AC = (-1, 1, 0),
Plano m = <A; v, w>
Un punto cualquiera OQ = OA + t.v + u.w
(x,y,z) = (1,0,1) + t.(0,1,-1) + u.(-1,1,0)
tz
uty
ux
1
1
, (Ecuaciones paramétricas)
u = 1-x, t = 1-z --> y = (1-z) + (1-x)
m: x + y + z –2 = 0 (Ecuac. cartesiana)
2.- Ecuación del plano determinado por el punto A(1,0,1) y la recta r:
<B; v>, donde B(1,1,0), v = (-1,0,1).
Sol.:
El vector v es uno de los generadores del subespacio director del
plano. Otro generador puede ser w = BA = (0,-1,1)
OQ = OB + t.v + u.w, y operamos como en el ejercicio anterior.
Obtengo m: x + y + z –2 = 0
3.- Distancia desde punto P al plano m
Sea un plano m y un punto P
170
m = <A; w1,w2>, P(-3,1,1), donde
A(2,0,1), w1= (1,3,0), w2 = (0,2,1)
Calcula d(P, m)
Sol.: El punto genérico de m viene dado por OQ = OA + t.w1 + u.w2, y
sus componentes son
OQ = (2+t,3t+2u,1+u)
PQ = OQ – OP = (5+t,-1+3t+2u,u)
Tengo en cuenta la ortogonalidad con w1 y w2.
0= PQ*w1 = 10.t +6.u +2
0= PQ*w2 = 6.t +5.u –2
Resolveremos el sistema
02 -5.u6.t
026.u 10.t
Obtenidos los valores t1, u1 que cumplen el sistema tengo el punto Q,
pie de la perpendicular a m por P, y después
d(P, m) = d(P, Q)
Obtenemos: t = -22/(-6) = 11/3, u = 32/(-6) = -16/3
Obtengo Q: 2+t --> 2+11/3 = 17/3, 3t+2u --> 33/3-32/3 = 1/3, 1+u -->
1-16/3 = -13/3
Q = (17/3,1/3,-13/3), PQ = (26/3,-2/3,-16/3)
d(P, Q)= √(26
3)2+ (−
2
3)2+ (−
16
3)2= √
936
9= √104
4.- Distancia desde punto P a recta r
Sean P(3,-1,2) y recta r = <A; v>, donde A(0,1,0), v = (2,3,1)
Sol: El punto genérico de r toma la forma
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
171
OQ = (0,1,0) + t.(2,3,1) =
= (2t,1+3t,t)
PQ = (2t-3, 3t+2, t-2). Aplico la condición de ortogonalidad
0 = v*PQ = 2.(2t-3) + 3.(3t+2) + (t-2) = 14.t –2
0 = 14.t – 2, t = 1/7
Punto Q:
OQ = (2/7, 10/7, 1/7), PQ = (-19/7, 17/7, 15/7)
d(P, r) =d(P, Q) = √(−19
7)2+ (
17
7)2+ (
15
7)2= √
875
49=
√875
7
5.- Distancia entre dos rectas
Sean las rectas r = <A; v>, donde A(2,0,0), v = (1,0,1)
s = <B; w>, donde B(0,2,0), w = (0,1,-1)
Sol: Punto de r: OQ = OA + t.v = (2+t,0,-t)
Punto de s: OP = OB + u.w = (0, 2+u, -u)
PQ = OQ – OP = (2+t, -(2+u), -t+u)
Aplicamos la ortogonalidad
0 = v*PQ = (2+t) + t –u
0 = w*PQ = -(2+u) + t –u
Resolvemos el sistema
022
022
ut
ut
172
6.- Distancia desde P(3,-1,2) a la recta r dada por sus ecuaciones
cartesianas
r:
432
723
zyx
zyx
Sol: Pasamos a forma paramétrico-vectorial r = <A; v>.
Doy un valor a z: z = 0 -->
42
73
yx
yx, x = 2y+4
y = -19/7, x = -10/7, A(-10/7, -19/7).
Obtengo otro punto B de r: z =1 -->
12
53
yx
yx, y = -8/7, x = -9/7
B(-8/7,-8/7), v = AB = (1/7, 11/7)
A continuación operamos como en el ejercicio 1.
7.- Distancia desde un punto P(-3,1,1) a un plano m dado por su
ecuación cartesiana
m: 3x –2y +4z = 6
Sol:
Paso a la forma paramétrico-vectorial m = <A; v1, v2>.
y = 0, z = 0 --> 3x = 6, x = 2, A(2,0,0)
y = -3,z = 0 --> 3x = 0, x = 0, B(0,-3,0)
y = 0, z = 3 –-> 3x = -6, x = -2, C(-2,0,3)
Vectores: w1 = AB = (-2,-3,0), w2 = AC = (-4,0,3)
Continuamos como en el ejercicio 2.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
173
8.- Sean los planos
103
732
17432
zyx
zyx
zyx
Sol.:
Tienen un solo punto común que es P(2,-3,1)
9.- Sean las dos rectas
r1 = <P; v1>, P(2,1,3), v1 = (3,0,2)
r2 = <Q; v2>, Q(-1,1,1), v2 = (2,1,0)
Sol.:
Punto genérico de r1:
OX = (2,1,3) + t.(3,0,2)
Punto genérico de r2:
OY = (-1,1,1) + u.(2,1,0)
Comprueba que son coplanarias y se cortan en el punto A(-1,1,1).
10.- Sea el plano m: 4x + 2z = 2
y la recta r:
432
723
zyx
zyx
Estudio su posición relativa
Sol.:
La recta corta al plano en el punto P(-1,2,3)
174
11.- Halla un plano m que pase por P(x0, y0, z0) y sea perpendicular a
las rectas r con vector director v = (a, b, c). Obtener su ecuación
cartesiana.
Sol.- Si w = (x, y, z) es uno de los vectores directores del plano (uno de
los generadores del subespacio director, de dim. 2), se ha de cumplir
v.w = 0 -> a.x + b.y + c.z = 0
Este sistema contiene dos incógnitas libres. Dando valore obtengo dos
vectores l.i. que forman una base del subespacio director del plano m,
así:
y = 1, z = 0 --> a.x = -b, x = -b/a, válido si a <> 0 (si a = 0, tomo x
libre)
w1 = (-b/a, 1, 0), o bien w1 = (-b, a, 0)
y = 0, z = 1 --> a.x = -c, x = -c/a
w2 = (-c/a, 0, 1), o bien w2 = (-c, 0, a)
Cualquier plano con suebpacio director < w1, w2 > es ortogonal con
todas las rectas con vector director v = (a, b, c)
En particular m(P; <w1, w2>)
Obtengo su Ecuación cartesiana:
Concreto P(2,-3,1), v = (3,2,1), con lo cual
w1 = (-2,3,0), w2 = (-1,0,3)
OQ = OP + k1.w1 + k2.w2
(x, y, z) = (2,-3,1) + k1.(-2,3,0) + k2.(-1,0,3),
{𝑥 = 2 − 2𝑘1 − 𝑘2𝑦 = −3 + 3𝑘1 𝑧 = 1 + 3𝑘2
k1 = (y+3)/3, k2 = (z-1)/3
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
175
x = 2 -2/3.(y+3) –(z-1)/3
3x = 6 -2y -6 –z +1
Queda finalmente m: 3x + 2y + z = 1
12.- Halla un plano m1 que pase por P(x0, y0, z0) y sea perpendicular al
plano m2 cuyo subespacio director sea <v1, v2>, donde
v1 = (a1,b1,c1), v2 = (a2, b2, c2)
Sol.- Sean w1 = (x1, y1, z1), w2 = (x2, y2, z2), que forman una base
del s.d. de m2. Por ortogonalidad ha de cumplirse
w1.v1 = 0, w1.v2 = 0, de donde
{𝑎1. 𝑥1 + 𝑏1. 𝑦1 + 𝑐1. 𝑧1 = 0𝑎2. 𝑥1 + 𝑏2. 𝑦1 + 𝑐2. 𝑧1 = 0
Una incógnita libre. Supongo que puedo tomar z1 libre (Basta que a1.b2
–a2.b1 <> 0, en otro caso tomaría otra como libre)
z1 = 1 -> {𝑎1. 𝑥1 + 𝑏1. 𝑦1 = −𝑐1𝑎2. 𝑥1 + 𝑏2. 𝑦1 = −𝑐2
Resolviendo obtengo el vector w1 = (x1, y1, 1)
Por otro lado también ha de cumplir
w2.v1 = 0, w2.v2 = 0, de donde
{𝑎1. 𝑥2 + 𝑏1. 𝑦2 + 𝑐1. 𝑧2 = 0𝑎2. 𝑥2 + 𝑏2. 𝑦2 + 𝑐2. 𝑧2 = 0
Tomo z2 como libre, y haciendo z2 = 2 obtengo
w2 = (x2, y2, 2)
Los vectores w1, w2 son generadores del subespacio director de m2.
176
Ecuación cartesiana:
Tomo un caso concreto: P(1, -1, 2), v1 = (2, -1, 0), v2 = (0, 1, -2)
{2𝑥1 − 𝑦1 = 0
𝑦1 = 2 , x1 = 1 -> w1 = (1,2,1)
{2𝑥1 − 𝑦1 = 0
𝑦1 = 4 , x1 = 2 -> w2 = (2, 4, 2)
13.- Halla un plano m1 que pase por P(x0, y0, z0) y sea paralelo al
plano m2 cuyo subespacio director sea <v1, v2>, donde
v1 = (a1, b1, c1), v2 = (a2, b2, c2)
Sol.- El subespacio <v1, v2> es también el subespacio director de m1
Ecuación cartesiana: Con valores concretos, sean
P(1,2,3), v1 = (1,-2,0), v2 = (0,2,1)
OQ = OP + k1.v1 + k2.v2
(x, y, z) = (1,2,3) + k1.(1,-2,0) + k2.(0,2,1)
{ 𝑥 = 1 + 𝑘1 𝑦 = 2 − 2. 𝑘1 + 2. 𝑘2𝑧 = 3 + 𝑘2
, k1 = x-1, k2 = z-3
y = 2 -2.(x-1) + 2.(z-3)
2x + y -2z = -2
14.- Halla el plano m1 que contenga a la recta r y sea perpendicular al
plano m2, siendo
r: {2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
, m2: 3x -2y + z = 1
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
177
Sol.-
Si contiene a la recta r, el vector director de ésta puede ser uno de los
vectores directores de m1. El otro lo tomo que sea ortogonal a m2, y por
tanto éste puede ser v2 = (3, -2, 1)
Obtengo v1 director de r, obteniendo dos puntos.
Hago
z = 0 -> {2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 = 0
, y = 2x-3, -x+2.(2x-3) = 0,
3x-6 = 0 , x = 2, y = 1, punto P1(2, 1, 0)
Hago z = 1 -> {2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 = −1
, y = 2x-3,
x+2.(2x-3) = -1, 3x = 5, x = 5/3,
y = 10/3 -3, y = 1/3, P2(5/3, 1/3, 1)
Vectores: v1 = P1P2 = (5/3-2, 1/3-1, 1) =
(-1/3, -2/3, 1), y v2 = (3, -2, 1)
El plano m1 queda determinado por un punto (tomo P1) y el subespacio
director <v1, v2>.
Ecuaciones: Para el punto genérico de m1
OQ = OP1 + k1.v1 + k2.v2
(E. paramétrico vectorial)
{
x = 2 −1
3. k1 + 3k2
y = 1 −2
3. k1 − 2k2
z = k1 + k2
178
(E. paramétricas)
Elimino los parámetros
k1 = z-k2 -> {𝑥 = 2 −
1
3. (𝑧 − 𝑘2) + 3𝑘2
𝑦 = 1 −2
3. (𝑧 − 𝑘2) − 2𝑘2
{3𝑥 = 6 − 𝑧 + 𝑘2 + 9𝑘23𝑦 = 3 − 2𝑧 + 2𝑘2 − 6𝑘2
-> {3𝑥 + 𝑧 = 6 + 10𝑘23𝑦 + 2𝑧 = 3 − 4𝑘2
,
Elimino k2: {12𝑥 + 4𝑧 = 24 + 40𝑘230𝑦 + 20𝑧 = 30 − 40𝑘2
, sumándolas
12x + 30y + 24z = 54 (E. cartesiana)
Otra forma :
Si tomo w1 ortogonal a m2 y w2 el director de la recta r, y además que
m1 pase por el punto de corte de r y m2 lo tengo todo.
Obtengo el punto de corte
{
2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 03𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
Resuelvo por despeje y sustitución
y = 2x-3 -> {−𝑥 + 2. (2𝑥 − 3) + 𝑧 = 03𝑥 − 2. (2𝑥 − 3) + 𝑧 = 1
, {3𝑥 + 𝑧 = 6−𝑥 + 𝑧 = −5
Las resto: 4x = 11, x = 11/4, z = 6-33/4 = -9/4, y = 22/4-3 = 10/3
Punto de corte P(11/4, 10/3, -9/4)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
179
Obtengo otro punto de r: Haciendo z = 0 resulta el punto P1(2, 1, 0)
Vector w1 = P1P = (3/4, 7/3, -9/4), tomo w1 = (9, 28, -27)
El plano queda determinado por
m1: P; <w1 = (9, 28, -27), w2 = (3, -2, 1)>
15.- Dado un plano m1 y una recta r ortogonal a m1, expresa la ecuación
del haz de planos que pasan por r (y por tanto perpendiculares a m1).
Datos: m1: 2x -3y + z = 4,
r pasa por P(1, -1, 1) y es ortogonal con m1
Sol.- Un vector director de r es v = (2, -3, 1)
r: OQ = OP + k.(2, -3, 1)
Cartesianas de r:
x = 1+2k
y = -1-3k
z = 1+k
Elimino k: k = z-1 -> x = 1+2.(z-1)
y = -1-3.(z-1)
r: {𝑥 − 2𝑧 = −1𝑦 + 3𝑧 = 2
Ecuación del haz:
x + k.y + (-2+3k).z + (1-2k) = 0, k recorriendo R
16.- Tomo el plano m1: 3x + 2y -4z = 5, y el punto P(-1, 1, 0). Halla un
plano m2 que pase por P y sea perpendicular a m1.
180
Sol.-
Existen infinitos planos que lo cumplen.
El haz de planos que pasan por P y son perpendiculares a m1
El vector v = (3, 2, -4) es ortogonal a m1.
Tomo la recta r: (P; <(3, 2, -4)>), y obtengo el haz.
OQ = OP + k.(3, 2, -4) --> {𝑥 = −1 + 3𝑘𝑦 = 1 + 2𝑘𝑧 = −4𝑘
k = -z/4 -> {𝑥 = −1 −
3
4. 𝑧
𝑦 = 1 − 2/4. 𝑧 --> {
4𝑥 = −4 − 3. 𝑧4𝑦 = 4 − 2. 𝑧
Ecuación del haz:
4x + 4k.y + (3+2k).z + (4-4k) = 0
17.- Tomo plano m1: 3x + 2y -4z = 5, y la recta
r: P(-1, 1, 0); <(2, 0, 3>
Halla el plano m2 que contenga a r y sea perpendicular a m1.
Sol.-
Uno de los vectores directores de m2 puede ser el de la recta r:
v1 = (2, 0, 3). Tomo otro vector v2 que sea ortogonal a m1.
El vector v2 = (3, 2, -4), cuyas componentes son los coeficientes de la
ecuación de m1 es ortogonal al mismo m1. Por tanto <v1, v2> es el
subespacio director de m2.
El plano m2 queda determinado por m2: [P(-1, 1, 0), <v1, v2>]
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
181
Otras expresiones para m2:
OQ = OP + k1.v1 + k2.v2
(E. paramétrico-vectorial)
{𝑥 = −1 + 2𝑘1 + 3𝑘2𝑦 = 1 + 2𝑘2
𝑧 = 3𝑘1 − 4𝑘2
(E. paramétricas)
Elimino los parámetros y obtengo la cartesiana
k2 = (y-1)/2 -> {𝑥 = −1 + 2𝑘1 +
3
2. (𝑦 − 1)
𝑧 = 3𝑘1 − 2. (𝑦 − 1) ,
{2𝑥 = −2 + 4𝑘1 + 3. (𝑦 − 1)
𝑧 = 3𝑘1 − 2. (𝑦 − 1) -> {
2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 4𝑘1𝑧 + 2𝑦 − 2 = 3𝑘1
k1 = (z+2y-2)/3 -> 2x -3y +5 = 4/3.(z+2y-2),
6x -9y + 15 = 4z + 8y -8, y finalmente
6x -17y -4z + 23 = 0
(E. cartesiana)
18.- Halla el plano m1 que contiene a la recta r y es paralelo al plano
m2.
Datos: m2: -x + 2y + 7z = 5
r: {2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4
Sol.- Por ser paralelo a m2, el plano m1 es de la forma
m1: -x + 2y + 7z + d = 0
182
Si contiene a la recta r entonces m1 forma parte del haz de planos que
pasan por r:
(2-k).x + (-1+k).y + (1+2k).z + (-3-4k) = 0
Entonces ha de cumplirse
-(2-k)/1 = (-1+k)/2 = (1+2k)/7 = (-3-4k)/d
-(2-k)/1 = (-1+k)/2 -> -4+2k = -1+k, k = 3
(-1+k)/2 = (1+2k)/7 -> -7+7k = 2+4k, 3k = 9,
k = 3
Hago k = 3 en (1+2k)/7 = (-3-4k)/d -> 1 = -15/d, d = -15
Finalmente, el plano m1: -x + 2y + 7z -15 = 0
19.- ANGULO FORMADO por dos planos:
Halla el ángulo formado por los dos plano
m1: 2x -3y + 4z = 6
m2: -x + 2y + 3z = 4
Sol.- El ángulo (diédrico) formado por dos planos coincide con el
ángulo formado por sus vectores ortogonales.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
183
Sus vectores ortogonales son:
w1 = (2, -3, 4), w2 = (-1, 2, 3)
Haciendo su producto escalar: w1*w2 = /w1/. /w2/.cos(g),
cos(g) = w1∗w2
|w1|.|w2| , g = arcCos(
w1∗w2
|w1|.|w2|)
En un sistema ortonormal (como en el que estamos) tenemos:
w1*w2 = -2-3+12 = 7
/w1/ = √4 + 9 + 16 = √29
/w2/ = √1 + 4 + 9 = √14
w1.w2
|w1|.|w2| =
7
√29.14 = 0,3474, g = arcCos(0,3474) = 69,6714
20.- ANGULO FORMADO por dos rectas en el espacio
Sol.- Seal las rectas
r1: P1(x1, y1); <v = (v1, v2)>
r2: P2(x2, y2); <w = (w1, w2)>
184
Recordamos que el ‘producto escalar’ está definido por la igualdad
v*w = /v/./w/.cos(g), de donde
Cos(g) = 𝑣∗𝑤
|𝑣|.|𝑤|, g = arcCos(
𝑣∗𝑤
|𝑣|.|𝑤|)
Por otro lado, en un sistema de referencia ortonormal el valor de v*w lo
obtenemos
v*w = v1.w1 + v2.w2
Lo tenemos todo para conseguir el valor g
NOTA:
Del mismo modo, si estamos en el espacio la única diferencia es que
tendríamos tres componentes en lugar de dos. Sería
v*w = v1.w1 + v2.w2 + v3.w3
21.- ANGULO FORMADO por una recta y un plano
Sol.- Sean
r: P(x1, y1, z1); <v = (v1, v2, v3)>
m: Q(x2, y2, z2);
<w1 = (w11, w12, w13), w2 = (w21, w22, w23)>
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
185
Ángulo formado por recta y plano es, por definición, el ángulo g entre la
recta r y su proyección ortogonal sobre el plano.
Observa la figura
v*u = /v/./u/.cos(g’), de donde
cos(g’) = 𝑣∗𝑢
|𝑣|.|𝑢| , de donde g’ = arcCos(
𝑣∗𝑢
|𝑣|.|𝑢|), y por tanto
g = pi/2 – g’
22.- ANGULO entre dos planos que se cortan
Sol.: Sean los dos planos
m1: (P(x1, y1, z1); <v1, v2>)
m2: (P(x2, y2, z2); <w1, w2>)
Observa la figura
Por definición el ángulo que forman m1 y m2 es g
u1*u2 = /u1/./u2/.cos(g’), Cos(g’) = 𝑢1∗𝑢2
|𝑢1|.|𝑢2|
186
de donde g’ = arcCos(𝑢1∗𝑢2
|𝑢1|.|𝑢2|), y por tango
g = pi – g’, en radianes
23.- Determina la ecuación del plano que pasa por el punto p(-1, 3, 0) y
contiene a la recta
r: {𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 1
Sol.: El plano pertenece al haz de planos que pasan por r. La ecuación
de este haz es
(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2) + 𝑘.(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 1) = 0
Esta expresión representa a cualquier plano del haz. Imponiendo que
pasa por P obtenemos el que buscamos.
(-1+6-2) + k.(-2-9-1) = 0, k = -3/12
El plano pedido es
(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2) − 3/12.(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 1) = 0
12.(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2) − 3.(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 1) = 0
6x + 33y -24z -21 = 0,
2x +11y -8z -7 = 0
NOTA: En los problemas 24 y 25 hacemos uso de las Matrices y los
Determinantes, que se estudian en el Vol. 10. El alumno avanzado
puede hacer ‘incursión’ en el citado texto y así le resultará inteligible lo
que sigue.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
187
Lo mismo cabe decir para el concepto de ‘Producto vectorial’ de dos
vectores que expongo a continuación (Usado en figura del nº 23):
Para el cálculo de u1 y u2 en el problema 22 resulta muy práctico el
siguiente procedimiento, consecuencia del concepto de ‘producto
vectorial de dos vectores’ (Álgebra Lineal Vol.10)
Sean V1 = (v11, v12, v13), V2 = (v21, v22, v23)
El ‘producto vectorial’ V1xV2 lo obtenemos mediante el cálculo de un
determinante (en sistema de referencia ortonormal):
V1xV2 = |𝑖 𝑗 𝑘
𝑣11 𝑣12 𝑣13𝑣21 𝑣22 𝑣23
| = (desarrollando por la primer fila)
= i.[v12.v23 –v13.v22] –j.[v11.v23 –v13.v21] +
+ k.[v11.v22 –v12.v21] = (v12.v23 –v13.v22).i –(v11.v23 –v13.v21).j+
+(v11.v22 –v12.v21).k,
donde {i, j, k} es la bese del Sistema de referencia ortonormal.
Las componentes de u1 son el resultado de calcular cada paréntesis
u1 = ((v12.v23 –v13.v22), –(v11.v23 –v13.v21), (v11.v22 –v12.v21))
Del mismo modo calculamos u2
Caso concreto:
El alumno realizará los cálculos en el caso concreto para el caso de los
planos m1, m2, tales que
v1 = (1,1,0), v2 = (0,1,1), para m1
w1 = (1,0,1), w2 = (1,1,1), para m2
24.- Ecuación del plano m que pasa por los puntos
188
p1(2,1,0), p2(1,1,3), p3(0,0,2)
Sol.:
Primer método:
Sea Ax + By + Cz + D = 0 el plano genérico
Las condiciones para que pase por p1, p2 ,p3 son
{
2𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 0𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 + 𝐷 = 0
2𝐶 + 𝐷 = 0𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
donde las incógnitas son A, B, C, D, y el punto (x, y, z) es el punto
genérico del plano.
El sistema es homogéneo y para que admita solución No trivial el rango
de la matriz
M = (
2 1 0 11 1 3 10 0 2 1𝑥 𝑦 𝑧 1
) ha de ser < 4, y por
tanto su teterminante ha de ser 0
|(
2 1 0 11 1 3 10 0 2 1𝑥 𝑦 𝑧 1
)| = 0
Desarrollando por la última fila tengo
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
189
/M/ = -x.|1 0 11 3 10 2 1
| +y. |2 0 11 3 10 2 1
| –z. |2 1 11 1 10 0 1
| + 1. |2 1 01 1 30 0 2
| =
= -3.x + 4.y –z + 2
La ecuación es 3x -4y +z -2 = 0
25.- Corte entre la Esfera y un plano coordenado:
Sol.- Sea la esfera con centro en el origen S: x2 + y
2 + z
2 = R
2
a) Plano z = k -> x2 +y
2 = (√𝑅2 − 𝑘2 )2
La línea de corte es la circunferencia de radio r = √𝑅2 − 𝑘2 y centro el
origen de coordenadas.
Con el plano x = k sería la circunferencia y2 +z
2 = (√𝑅2 − 𝑘2)
2
Análogo con y = k
26.- Corte de la Esfera con el plano x + y = k
Sol.- Sea S: x2 + y
2 + z
2 = R
2
y = k-x -> y2 = k
2 -2kx + x
2
x2 + ( k
2 -2kx + x
2) + z
2 = R
2
2x2 + z
2 -2k.x + (k
2 -R
2) = 0
Esta última es la ecuación de una elipse
190
$$$oOo$$$
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
191
Tema 5
Vectores libres
Espacios Vectoriales V2 y V3
192
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
193
5.1.- Vectores libres en el plano. Operaciones básicas
Definiciones
¿Qué es un vector fijo?
Dados dos puntos P(x1, y1), Q(x2, y2), tenemos el segmento PQ, sin
especificar si lo recorremos de P a Q o de Q a P.
Pero si convenimos que PQ hemos de recorrerlo desde P hasta Q
tenemos el vector v = PQ, y si lo hacemos desde Q hasta P tenemos el
vector w = QP.
A los valores
a = x2-x1, b = y2-y1
los llamamos ‘componentes’ del vector, y al segmento v = PQ,
orientado, lo llamamos ‘vector fijo’ en el plano.
Escribiremos indistintamente
194
v = (x2-x1,y2-y1) ó v = (a,b)
A veces indicamos la orientación mediante flecha ---> que va desde P
hasta Q (ver gráfico).
Para el vector opuesto w= QP tenemos:
a’ = x1-x2, b’ = y1-y2
Observa que a’ y b’ son los opuestos de a y b, y diremos que w = (a’, b’)
es el ‘vector opuesto’ de v.
Módulo de v:
Es la longitud del segmento PQ, y lo designamos por /v/, o por mod(v).
Si tenemos en cuenta el teorema de Pitágoras tenemos:
mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2
Proporcionalidad:
Si w = PR es otro vector tal que w = t.v, donde t es un valor real,
decimos que w es proporcional a v, con razón de proporcionalidad
t = mod(w) / mod(v).
Si t > 0, w tiene la misma orientación que v.
Si t < 0, w tiene orientación opuesta a la de v.
Se cumple: abs(t) = |w| / |v|, donde abs(t) indica el valor absoluto de t.
5.2.- Vectores libres en el plano
Todavía al referirnos a un vector lo hacemos a un vector fijo.
Equivalencia de vectores fijos. Clase de vectores:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
195
‘Diremos que los vectores v y w son equivalentes si su representación
en el plano determinan un paralelogramo’.
Evidentemente, dado un vector v existen infinitos vectores equivalentes
a v.
Al conjunto de todos los vectores equivalentes a v lo llamaremos ‘clase
de equivalencia’ representada por v. Cualquier vector de la clase puede
tomarse como representante.
Cualquier otro vector v1, no equivalente con v, determina otra clase de
equivalencia distinta, evidentemente.
Cada clase contiene un único vector v cuyo origen coincide con el
origen de coordenadas, O, del sistema de referencia. Lo llamaremos
representante canónico. Cuando expresamos v = (a, b), éste es el
Representante canonico: P(0, 0), Q(a, b), v = PQ =(a-0, b-0 = (a, b)
Defi.-
Llamamos ‘Vector libre’ a cada una de estas clases de equivalencia.
En lo que sigue, por ‘vector’ nos referiremos a ‘vector libre’, salvo se
diga otra cosa.
196
Al definir las operaciones con vectores, cuando necesitamos tomar un
vector concreto, tomaremos el representante de la clase que mejor
cumpla para nuestro objetivo.
5.3.- Operaciones básicas con vectores libres.
Estructura de Espacio vectorial V2
Observa la siguiente figura
Son las mismas que con los vectores fijos.
Operamos con un representante de la clase.
Suma/Resta:
Si v = (a, b), w = (a’, b’), su suma es
v + w = (a+a’, b+b’)
y su resta v-w = (a-a’, b-b’)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
197
Producto por un valor real (Producto por escalar):
Es el producto de un valor real t por un vector v:
t.v = t.(a, b) = (t.a, t.b)
Propiedades de las operaciones básicas:
El alumno puedrá comprobar sin dificultad las siguientes propiedades,
gráficamente u operando con las componentes de los vectores.
Se cumplen
Asociativa:
v + (w + u) = (v + w) + u
Elemento Neutro:
Es un vector w que sumado a otro cualquiera v deja a este invariable.
Lo cumple el vector w = (0,0) (vector cero), que también
representaremos por 0.
Elemento Opuesto:
Dado v = (a,b), existe otro vector w = (c, d) tal que la suma v+w nos da
el vector cero:
v + w = (0, 0)
a+c = 0, b+d = 0,
de donde
c = -a, d = -b
por tanto, el opuesto de v = (a, b) es w = (-a, -b).
Distributiva del producto por escalar respecto de la suma:
t.(v + w) = t.v + t.w
198
Estructura de Espacio vectorial V2(+, .)
Estas propiedades dotan al conjunto V2 de los vectores libres, asociados
al plano, de una estructura que llamamos ‘Espacio vectorial’, y que, más
adelante veremos que su dimensión es dos.
5.4.- Dependencia e Independencia lineal de vectores de V2
Defi.-
Fijados dos (o más) vectores v1, v2, diremos que el vector w es
“linealmente dependiente” de estos si existen valores (escalare) t, u,
tales que:
w = t.v1 + u.v2
Diremos que t.v1 + u.v2
es una ‘combinación lineal’ de v1 y v2, y que w es combinación lineal
de estos.
También diremos que los tres vectores v1, v2 y w son “linealmente
dependientes”. Uno cualquiera de los tres puede ser expresado como
combinación lineal de los otros dos.
En general:
Decimos que “Los vectores v1, v2, v3,...,vk, forman un sistema
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
199
linealmente dependiente (No libre), si alguno de estos vectores
puede ser expresado como combinación lineal de los restantes”.
En V2 podemos comprobar, geométricamente o mediante el cálculo,
que un conjunto de tres o más vectores cualesquiera son siempre
linealmente dependientes.
En V2, dados dos vectores v1, v2, puede ocurrir:
-linealmente dependientes
-linealmente independientes.
Comprobación de la dependencia y/o independencia lineal:
A) Caso de dos vectores
Planteamos
v2 = t.v1, (c, d) = t.(a, b),
De donde: c = t.a, d = t.b,
Si este sencillo sistema tiene solución t (t <> 0), significa que son
linealmente dependientes, ya que entonces:
v2 = t.v1 (ó v1 = t’.v2, con t’ = 1/t )
En caso contrario v1 y v2 son linealmente independientes.
B) Caso de tres vectores
Planteamos la igualdad w = t.v1+ u.v2
Tenemos
(x3, y3) = t.(x1, y1) + u.(x2, y2)
de donde
x3 = t.x1 + u.x2
y3 = t.y1 + u.y2
200
Las incógnitas son t, u
Si este sistema tiene solución significa que w es combinación lineal de
v1, v2.
Despejo u de la primera: u = (x3 –t.x1) / x2 , suponiendo x2 <> 0
Lo llevo a la segunda: y3 = t.y1 + y2. (x3 –t.x1) / x2, y quitando
denominador y trasponiendo
x2.y3 – x3.y2 = (x2.y1 – x1.y2). t , de donde
t = x2.y3 – x3.y2
x2.y1 – x1.y2 , la cual es válida siempre que
x2.y1 – x1.y2 <> 0. Ahora bien, x2.y1 – x1.y2 = 0 -- > x2.y1 = x1.y2
y por tanto: y1 / x1 = y2 / x2, lo cual significa que v1 y v2 son
proporcionales entre sí (serían l.d.)
Conclusión: Si v1, v2 son l.i., cualquier otro vector v3 es combinación
lineal de ellos.
Otra forma de expresar la relación de dependencia: w = t.v1 + u.v2 es
w – t.v1- u.v2 = 0, que será muy utilizada.
5.5.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.
Bases en V2
Definiciones
Si v1 y v2 son linealmente independientes, diremos que forman un
“sistema libre”.
Base:
Si <v1, v2> es un sistema libre tal que cualquier otro vector w se puede
expresar como combinación lineal de v1 y v2, diremos que es “una
base” del espacio vectorial.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
201
En V2 cualquier par de vectores linealmente independientes constituyen
una base.
En general:
En general, en un Espacio vectorial Vn , “Un sistema libre (finito) de
vectores es un conjunto <v1, v2, ..., vk> de vectores l. i.”, es decir, que
ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes”.
“Un sistema libre <v1, v2, ..., vk>, tal que cualquier otro vector w del
espacio Vn se puede expresar como combinación lineal de ellos, lo
llamamos ‘Base del espacio vectorial’”.
Dimensión de un espacio vectorial:
Si bien Vn puede tener más de una base, se puede demostrar (cosa que
aquí no procede) que cualquier base de Vn tiene el mismo número n de
vectores.
Obviamos aquí aquellos casos de espacios vectoriales que requieren
algunas consideraciones respecto a este asunto.
Defi.:
Llamamos “dimensión” de un espacio vectorial Vn al número n de
vectores que constituyen cada una de sus bases.
5.6.- Vectores fijos en el Espacio
Vectores fijos en el Espacio:
Si no decimos otra cosa supondremos que tenemos en el espacio un
Sistema de referencia cartesiano (sus ejes son perpendiculares entre sí).
¿Qué es un vector?
Dados dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), tenemos el segmento
PQ, sin especificar si lo recorremos de P a Q, o de Q a P.
202
Pero si convenimos que PQ hemos de recorrerlo desde P hasta Q,
tenemos el vector v = PQ, “vector fijo con origen en P y extremo en Q”.
Si lo hacemos desde Q hasta P, tenemos el vector w = QP, con origen
en Q y extremo en P. Diremos que son ‘opuestos’ recíprocamente entre
sí.
A los valores a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1
los llamaremos ‘componentes’ del vector v.
Escribiremos indistintamente PQ = (a, b, c), y también
v = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
Para el vector opuesto w = QP tenemos:
a’ = x2-x1, b’ = y2-y1, c’= z1-z2,
de modo que a’ = -a, b’ = -b, c’ = -c .
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
203
5.7.- Vectores libres en el Espacio
Esencialmente es válido lo dicho en el caso del plano para llegar al
espacio vectorial V2.
Todavía al referirnos a un vector lo hacemos a un vector fijo.
Equivalencia de vectores:
Diremos que los vectores v y w son equivalentes si determinan un
paralelogramo:
Evidentemente, dado un vector v existen infinitos vectores equivalentes
a v.
Al conjunto de estos vectores lo llamaremos ‘clase de equivalencia’.
204
Esta clase puede ser representada por cualquier vector que pertenezca a
ella.
Cualquier otro vector v1, no equivalente con v, determina otra clase de
equivalencia distinta.
Cada clase contiene un único vector cuyo origen es el origen del sistema
de referencia. A este vector lo llamaremos ‘representante canónico’ de
la clase.
Si P(0, 0, 0), Q(a, b, c), entonces v = PQ = (a,b,c).
Esta expresión v = (a,b,c) es la que tomaremos para representar la clase
de todos los equivalentes a PQ, es decir, será el vector libre.
Defi.-
Llamamos ‘Vector libre’ a cada una de estas clases de equivalencia.
En lo que sigue, por ‘vector’ nos referiremos a ‘vector libre’, salvo se
diga otra cosa.
Al definir las operaciones con vectores, cuando necesitamos tomar un
vector concreto, tomaremos el representante de la clase que mejor
cumpla para nuestro objetivo.
Representamos por V3 el conjunto de todos los vectores libres en el
espacio.
Módulo de v:
Es la longitud del segmento PQ, distancia desde P hasta Q, y lo
designamos por /v/, o por mod(v).
En un sistema de referencia cartesiano, si tenemos en cuenta el teorema
de Pitágoras, tenemos:
/v/ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Proporcionalidad en el espacio:
Si w = PR es otro vector tal que w = t.v, donde t es un valor real,
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
205
decimos que w es proporcional a v, con razón de proporcionalidad t.
Significa además lo siguiente:
v = (a, b, c), w = (a’, b’, c’)
w = t.v -- > a’ = t.a, …., y por tanto:
t = a’ / a = b’ / b = c’ / c
Sus componentes son proporcionales, y t es el valor de la razón a’ / a
Si t > 0, w tiene la misma orientación que v.
Si t < 0, w tiene orientación opuesta a la de v.
Se cumple: abs(t) = |w| / |v|, donde abs(t) indica el valor absoluto de t.
5.8.- Operaciones básicas con vectores libres.
Estructura de Espacio vectorial V3
Se definen del mismo modo que en V2, y cumplen las mismas
propiedades, dando lugar a una estructura análoga.
En V3 tenemos también una estructura que de ‘Espacio Vectorial’, y en
este caso la designamos por V3(+, .). Veremos más adelante que este es
de dimensión tres.
206
5.9.- Dependencia e Independencia lineal de vectores en V3
Los conceptos de dependencia e independencia lineal se dieron cuando
tratamos el espacio vectorial V2.
En V3, cuatro o más vectores son siempre linealmente dependientes
entre sí. Es decir, alguno de ellos se puede expresar como combinación
lineal de los restantes.
En cambio, en V3, dos o tres vectores pueden ser o no linealmente
independientes.
¿Cómo comprobar si son o no l. i.?
Supongamos tres vectores:
v1= (a11,a12,a13)
v2= (a21,a22,a23)
v3= (a31,a32,a33)
Para comprobar su relación de dependencia planteamos si uno de ellos,
por ejemplo v3, es combinación lineal de v1, v2, es decir, planteamos la
igualdad
v3 = t.v1 + u.v2
o la equivalente: v3 - t.v1 - u.v2 = 0
En la práctica, y en general, la expresamos así:
x.v1 + y.v2 + z.v3 = 0, (vector cero)
(1)
De aquí el sistema:
0 a33.z a23.y a13.x
0 a32.z a22.y a12.x
0 a31.z .21a11.x ya
(2)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
207
Si este sistema tiene solución No nula, significa que existen valores x1,
y1, z1, no todos nulos, tales que cumplen la relación (2) anterior, lo cual
significa que puedo expresar alguno de los vectores como combinación
lineal de los otros. En este caso son linealmente dependientes.
En otro caso, si la única solución es la trivial: x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0, los
vectores son linealmente independientes, ninguno de ellos puede ser
expresarlo como combinación lineal de los restantes.
Si lo planteamos con dos vectores
v1 = (a11,a12,a13)
v2 = (a21,a22,a23), tendríamos:
0 a23.y a13.x
0 a22.y a12.x
0 a21.y a11.x
(3)
con el mismo significado descrito antes, pero ahora referente a los
vectores v1, v2.
5.10.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.
Bases en V3
Es valido lo dicho en el caso del espacio V2.
En V3, tres vectores l. i. siempre constituyen base.
En V3, cuatro o más vectores son siempre linealmente dependientes
entre sí.
Cualquier base en V3 está constituida por tres vectores, y por tanto su
dimensión es tres.
En un Espacio vectorial cualquiera que admita algún Sistema libre
208
finito, que sea además sistema generador, todas sus bases tienen el
mismo número n de vectores, y a este número n lo llamamos
‘Dimensión del Espacio vectorial’.
5.11.- Producto Escalar de dos vectores en V3. Generalización
Definición de un producto escalar
Fijada una base B = {e1, e2, e3} en V3, podemos definir, y definimos
un producto *, que llamamos ‘escalar’, asignando los siguientes valores:
e1*e1 = a11, e1*e2 = a12, e1*e3 = a13,
e2*e1 = a21, e2*e2 = a22, e2*e3 = a23,
e3*e1 = a31, e3*e2 = a32, e3*e3 = a33,
(4)
Ahora hacemos extensible a todo V3 el operador * imponiendo la
condición de que se cumplan las propiedades básicas del cálculo con
vectores: -Conmutatividad; -Propiedad distributiva respecto de la suma
de vectores; -Propiedad homotética para el producto por escalar; -Valor
cero cuando alguno de los factores sea nulo.
Para dos vectores cualesquiera
v = x.e1+y.e2+z.e3
w = x’.e1+y’.e2+z’.e3
obtenemos:
v*w = (xe1+ye2+ze3) * (x’e1+y’e2+z’e3) =
= xx’e1*e1 + xy’e1*e2 + xz’e1*e3 + yx’e2*e1 +yy’e2*e2 + yz’e2*e3 +
+ zx’e3*e1 +zy’e3*e2 + zz’e3*e3 =
= xx’.a11 +xy’.a12 + xz’.a13 +yx’.a21 + yy’.a22 +yz’a23 +zx’.a31 +
+ zy’.a32 +zz’a33
Queda así definida una operación en V3 que llamamos “Producto
Escalar” de dos vectores.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
209
Aunque resulta laboriosa su comprobación, y por lo tanto no lo hacemos
aquí, el alumno aceptará (y puede comprobar si lo desea) las siguientes
propiedades:
a) Conmutativa: v*w = w*v
b) Distributiva: v*(w1 + w2) = v*w1 + v*w2
c) v*(t.w) = (t.v)*w = t.(v*w), donde a es un valor real (es un escalar)
Observa que los valores asignados en (4) son arbitrarios, lo que significa
que podemos definir un ‘producto escalar’ de muy diferentes formas.
Veremos enseguida que existe un caso muy especial.
5.12.- Producto Escalar Ordinario. Sistema de referencia
ortogonal. Sistema de referencia ortonormal.
En el Sistema de referencia cartesiano, una forma concreta muy especial
para definir un producto escalar ei*ej consiste en tener en cuenta el
ángulo (ei^ej) formado entre sí por los dos vectores, y definirlo en
función de dicho ángulo.
Coincide con el resultado obtenido si defino:
e1*e1 = 1, e1*e2 = 0, e1*e3 = 0,
e2*e1 = 0, e2*e2 = 1, e2*e3 = 0,
e3*e1 = 0, e3*e2 = 0, e3*e3 = 1,
Se justifica como sigue.
Tomamos sobre los eje de coordenadas los siguientes vectores:
e1 sobre +ox, e2 sobre +oy, e3 sobre +oz,
los tres con origen en O (0, 0, 0) y módulo = 1, entendido éste como
longitud del segmento, y tomamos como unidad de medida sobre cada
uno de los ejes.
210
Definimos: ei*ej = { 1 , si j = i0 , si j i
Para un vector cualquiera de V3, v = (a, b, c), expresado en la referida
base, significa que
v = a.e1 + b.e2 + c.e3, y lo mismo w = (a’, b’, c’), significa
w = a’.e1 +b’.e2 +c’.e3
Su producto escalar, siguiendo los mismos pasos que en el caso general,
nos da como resultado
v*w = a.a’ + b.b’ + c.c’
En particular v*v = a2 + b
2 + c
2
y por tanto tengo para el módulo de v
/v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Son fácilmente comprobables.
En lo que sigue, por ‘producto escalar’ nos referiremos a este producto
escalar ordinario, salvo que se diga otra cosa.
Sistema de Referencia Ortogonal. Sistema de Referencia
ortonormal
Tomo una base B = {v1, v2, v3} de V3
Def.:
Sistema de referencia ortogonal:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
211
“Diremos que dos vectores vi, vj son ortogonales entre sí si su producto
escalar es cero:
vi*vj = 0
“Diremos que la base B es una base ‘Ortogonal’ si se cumple
vi*vj = 0, siempre que j i
es decir, son ortogonales dos a dos distintos.
En este caso diremos que R= {O; v1, v2, v3} es un Sistema de
referencia ortogonal.
Sistema de Referencia Ortonormal:
“Diremos que la base B es ‘ortonormal’ si se cumple
212
vi*vj = { 1 , si j = i0 , si j i
Diremos que R = {O; v1, v2, v3} es un Sistema de referencia
ortonormal. Abreviamos por s.r.o.
Respecto de un Sistema de Referencia Ortonormal cualquiera, el
producto escalar de dos vectores v = (a, b, c), w = (a’, b’, c’) tiene
como resultado
v*w = a.a’ + b.b’ + c.c’
y el módulo: /v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Salvo que se diga otra cosa, en todo lo que sigue suponemos que
trabajamos en un s.r.o.
El siguiente concepto es sumamente importante.
5.13.- Producto vectorial de dos vectores. Propiedades del
producto vectorial
Sean dos vectores V = (a, b, c), W = (a’, b’, c’). Sus módulos son:
|V| = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2, |W| = √𝑎′2 + 𝑏′2 + 𝑐′2
Definición
Para dos vectores cualesquiera V y W, definimos su ‘producto vectorial’
como el único vector U que cumple estas dos condiciones:
a) Es ortogonal a V y a W
b) Su módulo es /U/ = |V|.|W|.sen(V^W), donde
V^W es el ángulo que forman entre sí, recorrido desde V a W en el
sentido que a continuación explicamos.
El producto vectoria lo designamos mediante VxW.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
213
Orientación del vector U = VxW: Regla del sacacorchos:
Por definición:
El vector U = VxW ‘apunta’ en el mismo sentido que el avance del
sacacorchos cuando lo giramos desde V hasta W en el sentido de las
agujas del reloj y por el camino más corto.
Es interesante una de sus aplicaciones más frecuentes, que mostramos
en la figura.
Es muy importante el hecho de que, por definición, el vector VxW tiene
como dirección la perpendicular al plano determinado por V y W, y
orientación la descrita antes.
Observa el gráfico y compáralo con el avance o retroceso del
sacacorchos cuando descorchamos una botella.
El alumno puede comprobar lo que ocurre para los vectores de la base
214
B = {e1, e2, e3}, ortonormal formando parte del s.r.o.
Mostramos el resultado:
e1 x e2 = e3
e2 x e3 = e1
e3 x e1 = e2
Producto vectorial en coordenadas:
Supongamos una base ortonormal B = {e1, e2, e3}. Para sus vectores
obtenemos:
ei x ei = 0, i=1,2,3 (vector cero, ya que ei^ei = 0 y sen(0) = 0
e1 x e2 = e3, e1 x e3 = -e2,
e2 x e1 = -e3, e2 x e3 = e1,
e3 x e1 = e2, e3 x e2 = -e1
El alumno puede comprobarlo.
Para dos vectores V = (x1,x2,x3), W = (y1,y2,y3) cualesquiera, y
aceptando que se cumple (porque así es) la propiedad distributiva,
obtenemos lo siguiente:
VxW = (x1e1+x2e2+x3e3) x (y1e1+y2e2+y3e3) =
= (x1.y2).(e1xe2) + (x1.y3).(e1xe3) + (x2.y1).(e2xe1) + (x2.y3).(e2xe3)
+ (x3.y1).(e3xe1) + (x3.y2).(e3xe2) =
= (x1.y2).e3 + (x1.y3).(-e2) + (x2.y1).(-e3) + (x2.y3).e1 + (x3.y1).e2 +
+ (x3.y2).(-e1),
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
215
queda
VxW = (x2.y3 -x3.y2).e1 - (x1.y3 -x3.y1).e2 + (x1.y2 -x2.y1).e3
NOTA:
Para alumnos avanzados (Consultar Determinantes en Vol. 10)
Puede comprobar que el resultado anterior se puede obtener mediante el
siguiente el cálculo de este determinante:
VxW = |𝑒1 𝑒2 𝑒3𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 𝑦2 𝑦3
|
Propiedades del producto vectorial:
Cumple las siguientes propiedades, que el alumno comprobará si lo
prefiere, o aceptará sin demostración:
a) WxV = - VxW, (no es conmutativo)
b) Vx(W1 + W2) = VxW1 + VxW2 (sí es distributivo)
c) Vx(a.W) = (a.V)xW = a.(VxW) (sí cumple la homotética)
En los siguientes puntos hacemos aplicación de este nuevo concepto de
producto vectorial.
5.14.- Interpretación geométrica del producto vectorial.
Cálculo de áreas
En ella se muestra lo que pretendemos explicar.
216
El vector resultante W es siempre perpendicular (ortogonal) al plano
definido por los vectores v1, v2, y en particular es ortogonal con v1 y
con v2, simultáneamente.
El módulo de W coincide con el área del paralelogramo definido por los
vectores v1, v2.
Observa cómo hemos utilizado la trigonometría para obtener la altura
del citado paralelogramo.
5.15.- Producto Mixto de tres vectores. Propiedades
Def.:
Sean tres vectores V, W, U
“Producto mixto de tres vectores V, W, U es el valor que resulta de
hacer el producto escalar de V por el producto vectorial de W y U, en
este orden”.
Lo representamos mediante V*(WxU), y su valor es:
V*(WxU) = /V/. /WxU/.cos(V^(WxU))
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
217
Expresión en coordenadas: Sean los tres vectores
V1 = (a1, b1, c1), V2 = (a2, b2, c2), W = (a3, b3, c3)
Vamos a obtener la expresión más fácil de utilizar en la práctica para el
producto mixto:
W*(V1xV2)
En el punto 5.13 vimos que
V1xV2 = |𝑒1 𝑒2 𝑒3𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2
| , que semi-desarrollado podemos
expresar así
V1xV2 = |𝑏1 𝑐1𝑏2 𝑐2
| . 𝑒1 − |𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2
| . 𝑒2 + |𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
| . 𝑒3
En base ortonormal para el producto escalar resulta
W*(V1xV2) = 𝑎3. |𝑏1 𝑐1𝑏2 𝑐2
| − 𝑏3. |𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2
| + 𝑐3. |𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
| =
218
= (el desarrollo del siguiente determinante)=
= |𝑎3 𝑏3 𝑐3𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2
| , por tanto:
W*(V1xV2) = |𝑎3 𝑏3 𝑐3𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2
|
Es muy conveniente que el alumno estudie el cálculo de Determinantes
en el Vol. 10.
5.16.- Interpretación geométrica del producto mixto.
Cálculo de Volúmenes
A) Volumen del paralelepípedo
En la figura se justifica que el volumen del prisma determinado por los
tres vectores coincide con el valor del producto mixto de estos tres
vectores.
Existe volumen no nulo si, y solo si, los tres vectores son linealmente
independientes.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
219
En efecto, si w fuese combinación lineal de v1, v2 estaría sobre la base
y el ángulo a sería de 90º, con lo cual cos(a) = 0, y el producto mixto
sería también cero.
B) Volumen de pirámide con base triangular:
Partiendo del volumen del paralelepípedo obtendremos el volumen de
una pirámide. Préstese atención a las figuras.
De (A) obtengo tres pirámides iguales
De (B) obtengo tres pirámides iguales
220
Lo que hemos hecho para el cubo podemos repetirlo para un
paralelepípedo recto, cuyas aristas-base sean a, b, y altura h.
Queda probada la siguiente conclusión.
Conclusión: Para un pirámide con base triangular
Vol. = 1
6 . (a . b) . h
Utilizando el producto mixto obtenemos
Vol. = 1
6 . |𝑣3 ∗ (𝑣1 𝑥 𝑣2|
donde v1, v2, v3 son vectores tomados sobre las aristas, tales que
/v1/ = a, /v2/ = b, /v3/ = h. (Véase figura)
Teniendo en cuenta que el área de la base es 1/2. /v1 x v2)/ ,
podemos interpretar la fórmula anterior así:
Vol. = 1
3 . 𝐴𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒. 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Casos de pirámides:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
221
La siguiente, en la figura, es una pirámide con base rectangular:
Observa que sigue cumpliéndose que
Vol. = 1
3 . 𝐴𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒. 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
C) Pirámide cuya base es un polígono
Obtenemos otra vez
Vol. = 1
3 . 𝐴𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒. 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
222
------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
223
ACTIVIDADES y Problemas
1.- Dados los siguientes vectores analiza su relación de dependencia
lineal.
Datos: v1 = (1,-2,0), v2 = (0,1,3), v3 = (2,-1,9)
Sol.:
Suponiendo que son lin. depen. planteamos
x.(1,-2,0) + y.(0,1,3) + z.(2,-1,9) = (0,0,0)
093
02
02
zy
zyx
zx
, que intentamos resolver
Tomo z libre. z= 1 -->
3
2
y
x
Son lin. depen. y la relación de dependencia es
2.v1 –3.v2 + v3 = O
De ella podemos despejar cualquiera de ellos como comb. lin. de los
otros dos
2.- Expresa el vector v = (3,5,4) en la base
B = { e1= (2,1,0), e2 = (3,0,1), e3 = (0,1,2)}
Sol.:
Suponemos que sí es posible y planteamos
(3,5,4) = x.(2,1,0) + y.(3,0,1) + z.(0,1,2)
224
42
5
332
zy
zx
yx
Obtengo: z = 17/8, x = 23/8, y = -2/8,
Por tanto: v = 23/8.e1 – 2/8.e2 + 17/8.e3
3.- Un cubo de arista 5 cm tiene volumen V = 53 = 125 cm
3
Cada una de las 6 pirámides tiene volumen V(pirámide) = 1/6.125 =
20,8333 cm3
Por otro lado, si nos fijamos en una de la pirámides, esta tiene como
base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm, y su altura
también h = 5 cm. Su volumen es
V = 1/3.(1/2.(5.5).5) = 1/6.125 = 20,8333 cm3
4.- Un prisma recto con aristas a = 10 cm, b = 8 cm, c = 5 cm. Su
volumen
V = a.b.c = 400 cm3
Cada una de las pirámides tendrá volumen 1/6.400
Si no fijamos en una de las pirámides, esta tiene base triángulo recto con
catetos a = 10, b = 8, y altura h = c = 5. Su volumen
V(pirámide) = 1/3.(1/2.(10.8).5) = 1/6.400
$$$$oOo$$$$
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
225
Tema 6
Espacios Vectoriales de dimensión n
226
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
227
6.- ESPACIOS VECTORIALES en general
6.1.- Estructura de Espacio vectorial en Rn
En Matemáticas designamos por RxR al conjunto de todos los pares
posibles (a, b) donde a y b son reales. Decimos que RxR es el producto
cartesiano de R por R, y lo expresamos así: RxR = {(a, b)}. El par de
valores reales (a, b) puede ser interpretadas como ‘las coordenadas’ de
un punto del plano, y como las componentes de un vector en el Plano.
También son las coordenadas del vector respecto de la ‘base canónica’
(la más simple y natural): B = {(1, 0), (0, 1)}.
Dotamos al conjunto RxR de la suma:
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1+b1, a2+b2),
y del producto
r.(a, b) = (r.a, r.b)
Decimos que r es un ‘escalar’ frente a (a, b) que lo llamamos ‘vector’.
Podríamos comprobar que resulta una estructura de Espacio vectorial.
Coincide con V2 que vimos al estudiar el Plano.
Análogamente si tomamos las ternas (a, b, c), elemento del producto
Cartesiano R3 , también llamado ‘vector’. Podemos interpretarla como
las coordenadas de un vector en el Espacio tridimensional, respecto de
la base canónica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Definimos la suma y el producto por escalar como hicimos antes
obtenemos una estructura de Espacio vectorial. En este caso coincide
con V3 que vimos al estudiar el Espacio tridimensional.
Para un entero positivo n podemos construir Rn = R1 x R2 x...x Rn, donde
cada Ri = R. A sus elementos (a1, a2, ..., an) los llamamos n-tuplas.
A estas n-tuplas las llamaremos también ‘vectores’: v = (a1, a2, ..., an).
A cada ai lo llamaremos ‘componente’ del vector, y/o coordenada del
228
punto P asociado, respecto de la base canónica generalización de la
descrita antes para R3 .
Representamos por Vn el conjunto de todos los vectores
v = (a1, a2, ..., an), obtenidos cuando los valores ai recorren el
conjunto R de los números reales
En Vn definimos la suma y el producto por un valor real de forma
análoga a como se hace en V2 y V3 , como sigue:
Si v1 = (a1, a2, ..., an), v2 = (b1, b2, ..., bn) definimos:
v1 + v2 = (a1+b1, a2+b2,..., an+bn)
r.v1 = (r.a1, r.a2,..., r.an)
Son evidentes las propiedades:
Asociativa: v1 + (v2 + v3) = (v1 + v2) + v3
Conmutativa: v1 + v2 = v2 + v1
Elemento neutro: Lo es el vector (0,0,...,0), (vector cero)
Distributiva: r.(v1 + v2) = r.v1 + r.v2
Tenemos por tanto una estructura (Vn, +, .) de Espacio vectorial sobre
Rn y que designaremos por Vn (ó por En en algunos textos).
6.2.- Base canónica en Vn
Observa que (a1, a2, ..., an) = a1.(1,0,0,...,0) + a2.(0,1,0,...,0) + ... +
+ ai.(0,0,...,0,1,0,...,0) + an.(0,0,...,0,1)
Por tanto podemos concluir que una base (base canónica = la más
simple) de Vn está formada por los n vectores (o n-tuplas) que figuran
en B, como sigue:
B = {(1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), (0,0,..,0,1,0,..,0), (0,0,...,0,1)}
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
229
6.3.- Dependencia e independencia lineal
Dados n escalares (valores reales) k1, k2, ... , kn, y n vectores v1, v2,
..., vn, llamamos ‘Combinación lineal’ a la expresión
k1.v1 + k2.v2 + ... + kn.vn (1)
Definición:
Dados m vectores v1, v2, ..., vm, decimos que son ‘Linealmente
dependientes’ (l. d.) si alguno de ellos se puede expresar como
combinación lineal de los restantes.
Significa que existen escalres ki, no todos nulos, tales que, por ejemplo,
vj = k1.v1 + ... + kn.vn.
Si son l. d., trasponiendo todos los términos al miembro izquierda tengo:
“Son l. d. si existen escalares k1, k2, …, km, no todos nulos tales que
k1.v1 + k2.v2 + ... - vj + ... + kn.vn = (0,0,...,0), vector cero”.
Recíprocamente, si en la anterior es kj <> 0 puedo despejar el vector vj
y expresarlo como combinación lineal de los restantes:
vj = k1/kj.v1 + ... + kn/kj.vn
y por tanto son l.d.
Conclusión:
‘Son l.d. si, y sólo si, existen escalares ki, no todos nulos, tales que
k1.v1 + k2.v2 + ... + kn.vn = (0,0,...,0)
Definición:
Decimos que son “linealmente independientes’ (l.i.) si no son l.d.”
230
Consecuencia:
Son l.i. si de la igualdad
k1.v1 + k2.v2 + ... + kn.vn = (0,0,...,0) (*)
se deduce que todos los ki son cero.
Esto nos da la técnica que utilizaremos en la práctica para analizar si son
l.i. ó son l.d.
Relación de dependencia:
Diremos que (*) es la relación de dependencia entre los vectores dados.
Ejemplo 1:
Dados los vectores
v1 = (2, 3, 1, 0), v2 = (0, 1, 2, 4), v3 = (1,-2, 0, 3), v4 = (-3, 0, 2, 0)
Comprueba si son l.d. ó l.i.
Sol.:
x.v1 + y.v2 + z.v3 + t.v4 = 0
{
2𝑥 + 𝑧 − 3𝑡 = 03𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 2𝑡 = 0 4𝑦 + 3𝑧 = 0
Elimino x de segunda y tercera:
(la 1ª por 3, la 2ª por 2 y de 2ª resto 1ª, el resultado sustituye a la
segunda)
(la 3ª por 2 y le resto la 1ª, el resultado
sustituye a la 3ª)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
231
{
2𝑥 + 𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 − 7𝑧 + 9𝑡 = 04𝑦 − 𝑧 + 7𝑡 = 04𝑦 + 3𝑧 = 0
De 3ª y 4ª elimino y:
(2ª por 2 y se la resto a 3ª, el resultado sutituye a 3ª)
(2ª por 2 y se la resto a 4ª, el resultado sustituye a 4ª)
{
2𝑥 + 𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 − 7𝑧 + 9𝑡 = 0 13𝑧 − 11𝑡 = 0 17𝑧 = 0
Obtengo z = 0, t = 0, y = 0, x = 0. Son l.i.
Ejemplo 2:
v1 = (2, 3, 1, 0), v2 = (0, 1, 2, 4), v3 = (2, 5, 5, 8), v4 = (-3, 0, 2, 0)
Comprueba si son l.d. o l.i.
Sol.:
x.v1 + y.v2 + z.v3 + t.v4 = 0
{
2𝑥 + 2𝑧 − 3𝑡 = 03𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 + 2𝑡 = 0 4𝑦 + 8𝑧 = 0
Elimino x de segunda y tercera:
(la 1ª por 3, la 2ª por 2 y de 2ª resto 1ª, el resultado sustituye a la
segunda)
(la 3ª por 2 y le resto la 1ª, el resultado sustituye a la 3ª)
232
{
2𝑥 + 2𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 + 4𝑧 + 9𝑡 = 04𝑦 + 8𝑧 + 7𝑡 = 04𝑦 + 8𝑧 = 0
De 3ª y 4ª elimino y:
(2ª por 2 y se la resto a 3ª, el resultado sutituye a 3ª)
(2ª por 2 y se la resto a 4ª, el resultado sustituye a 4ª)
{
2𝑥 + 2𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 + 4𝑧 + 9𝑡 = 0 −11𝑡 = 0 0 = 0
Obtengo t = 0,
2x + 2z = 0
2y +4z = 0
de donde
z = -x, z = -2/4.y
x = -2/4.y, 4x = 2y, y = 2x
Puedo tomar x ó y como libre. Significa que los vectores dados son l.d.
Si x =1, entonces: y = 2, z = -1
La relación de dependencia es v1 +2.v2 -v3 +0.v4 = 0
-------------------
6.4.- Sistema libre. Sistema generador
Sea el conjunto de vectores {v1, v2, ..., vm}
Def.:
Cuando los m vectores dados son l.i. decimos que constituyen un
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
233
‘sistema libre’ (s.l.) de vectores.
Def.:
Decimos que los m vectores constituyen un ‘Sistema generador’ si para
cualquier otro vector v de Vn existen valores reales (escalares) k1, k2,
..., km tales que
v = k1.v1 + k2.v2 + ... + km.vm, (4)
es decir, que v sea combinación lineal de aquellos.
Evidentemente, para que ésto ocurra el conjunto de vectores dado ha de
contener al menos n vectores. Si contiene más de n vectores podemos
retirar algunos por resultar superfluos, hasta quedarnos con n vectores.
Este proceso lo llamamos ‘extracción de un sistema generador’ o
extracción de una base, como veremos a continuación.
6.5.- Bases de un Espacio vectorial Vn. Dimensión de Vn
En un Espacio vectorial como Vn, cualquiera que sea n (por supuesto
finito), todo sistema libre con n vectores es también un ‘sistema
generador’.
Def.:
Llamamos base de Vn a todo conjunto de n vectores que constituyan
‘Sistema libre’ y además ‘Sistema generador.
Se puede probar que si contiene n vectores y es sistema libre, entonces
es también sistema generador, y por tanto es una base de Vn .
Evidentemente el espaco vectorial Vn admite muchas bases distintas,
pero todas contienen exactamente n vectores. Este hecho nos permite
definir
234
“Llamamos dimensión de Vn al número (común) de vectores que
contiene cualquiera de sus bases”.
En nuestro caso: dim(Vn) = n
6.6.- Extracción de un sistema libre de vectores
Supongamos un conjunto de vectores v1, v2, ..., vm del cual deseamos
extraer aquel subconjunto formado por los que sean l. i.
Proceso a seguir:
Tomo v1 para quedármelo.
Agrego v2 y compruebo si v1, v2 son o no l. i..
En caso afirmativo lo retengo, en otro caso lo retiro y paso a probar con
v3, procediendo de la misma forma.
Supongamos que tengo v1, v2, independientes. Agrego v3 y compruebo
si v1, v2, v3 son o no l. i..
En caso afirmativo lo retengo, en otro caso lo rechazo y paso a probar
con v4.
Continuamos de la misma forma hasta agotar los m vectores iniciales.
Al final habremos obtenido un sistema libre constituido por k vectore,
k <= m.
Si m >= n, y k = n, habremos obtenido una base. Si m < n ó k < n, no
será base pero sí un sistema libre.
Ejemplo 1:
Extraer un sistema libre de los vectores
v1 = (2,0,1), v2 = (-1,2,0), v3 = (0,4,1), v4 = (0,3,-2)
Sol.: x.v1 +y.v2 = 0, implica
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
235
{2x – y = 0 2y = 0
-- >
y = 0 , x = 0, y v1, v2 son l. i.
Agrego v3
x.v1 + y.v2 + z.v3 = 0, implica
{2x – y = 0 2y + 4z = 0x + z = 0
-- >
z = -x, y = 2x, y de la segunda
4x -4x = 0, que es válida para cualquier valor
que tome x; x es libre, y por tanto son l. d.
El v3 es c. l. de v1 y v2. Rechazo v3
Agrego v4
x.v1 +y.v2 +z.v4 = 0, implica
{2x – y = 0 2y + 3z = 0 x − 2z = 0
-- >
x = 2z, que llevo a las otras dos
4z – y = 0
2y +3z = 0,
de donde: y = 4z, que llevo a la segunda
8z +3z = 0, de donde z = 0, y = 0, x = 0. Son l. i.
Los vectores v1, v2, v4 constituyen s. l., y además forman una base de
V3 .
Exactamente el mismo proceso se sigue para extraer una base del
236
espacio Vn cuando tenemos un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vm}
6.7.- Cómo obtener las coordenadas de un vector v respecto de
una base
Lo explicamos mediante un caso concreto, siendo n = 4, y una base, por
ejemplo, B = {(1,0,2,3), (0,2,1,0), (1,2,0,0), (3,0,1,0)}.
El alumno debe comprobar que son l. i., y por tanto forman base.
Tomo el vector v = (2, 3, 4, 5), por ejemplo.
Planteo como sigue:
(2, 3, 4, 5) = a.v1 + b.v2 + c.v3 + d.v4, de donde obtengo
{
2 = a + c + 3d3 = 2b + 2c 4 = 2a + b + d5 = 3a
sistema que hemos de resolver.
Resolviendo:
a = 5/3, lo llevo a las otras
2 = 5/3+c+3d
3 = 2b+2c
4 = 10/3+b+d
Despejo d = 4-10/3-b = 2/3-b, y lo llevo a las otras
2 = 5/3+c+2-3b = 11/3-3b
3 = 2b+2c
Despejo b = -(2-11/3)/3 = -(-5/3)/3 = 5/9
y lo llevo a la otra
3 = 10/9+2c, de donde c = (3-10/9)/2 = (17/9)/2 = 17/18.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
237
También tengo d = 2/3-5/9 = 1/9
NOTA: Los valores obtenidos demuestran que los datos fueron tomados
sin preparación previa.
Las coordenadas de v en la base dada son:
v = (5/3, 5/9, 17/18, 1/9)
Comprobación: El alumno debe hacer la siguiente comprobación
(conviene hacerlo alguna vez):
5/3.v1 +5/9.v2 +17/18.v3 +1/9.v4 = ... y debe resultar =
= (2, 3, 4, 5),
que es la expresión de v en la base canónica. (Véase la nota)
NOTA: Cuando tomamos una n-tupla interpretada como vector, sin
indicar respecto de qué base está expresada, SIEMPRE hemos de
entender que está expresado en la BASE CANÓNICA, esto es, en la
base
B = {e1, e2, ..., en},
donde cada vector ei, o n-tupla, lleva todas sus componentes cero salvo
la de lugar i que es 1:
e1 = (1,0,0,...,0), e2 = (0,1,0,0,...,0), …, en = (0,0,0,...,0,1)
------------------
6.8.- Cambio de base
Se trata de una cuestión complicada por los cálculos que requiere pero
muy importante en sus aplicación práctica.
Procuraré ser conciso al tiempo que consiga claridad en la exposición.
Supongamos dos base B1 y B2
238
B1 = {e1, e2, ..., en}
B2 = {v1, v2, ..., vn}
Para un vector cualquiera v sea su expresión en la base B2
v = b1.v1 + b2.v2 + ... + bn.vn (1)
En la base B1 vendrá dado por la expresión
v = a1.e1 + e2.v2 + ... + en.vn (2)
Deseamos obtener la relación entre los coeficientes bi y aj.
Necesitamos tener como dato la expresión de cada vj respecto de la base
B1 , o los bien cada ei respecto de B2 .
Supongamos
v1 = k11.e1+k12e2+...+k1n.en
v2 = k21.e1+k22.e2+...+k2n.en
………………………
vj = kj1.e1+kj2.e2+...+kjn.en
………………………
vn = kn1.e1+kn2.e2+...+knn.en (3)
Sustituyendo estas expresiones en la anterior (1) tenemos
v =
b1.( k11.e1+k12.e2+...+k1n.en) +
+ b2.( k21.e1+k22.e2+...+k2n.en) +
…………………… +
+ bj.( kj1.e1+kj2.e2+...+kjn.en) +
…………………… +
+ bn.( kn1.e1+kn2.e2+...+knn.en)
Aplicando la propiedad distributiva y reagrupando obtenemos
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
239
v = (b1.k11+b2.k21+...+bn.kn1).e1 +
+ (b1.k12+b2.k22+...+bn.kn2).e2 +
…………………
+ (b1.k1i+b2.k2i+...+bn.kni).ei +
…………………
+ (b1.k1n+b2.k2n+...+bn.knn).en
Tenemos así la relación que ‘liga’ (relaciona) las coordenadas ai de v en
la base B1 con las coordenadas bj en la base B2, que nos permite pasar
de la base B2 a la base B1:
a1 = b1.k11+b2.k21+...+bn.kn1
a2 = b1.k12+b2.k22+...+bn.kn2
…………
ai = b1.k1i+b2.k2i+...+bn.kni
…………
an = b1.k1n+b2.k2n+...+bn.knn (4)
Avanzando:
En el Volumen 10 dedicado a Algebra Lineal quedará justificado lo
siguiente. El alumno avanzado quizás no tenga dificultad para
comprender las explicaciones siguentes. En todo caso recomendamos
consultar el Tema de Matrices en el citado Volumen 10.
Notación Matricial:
Las igualdades (4) podemos expresarlas de la siguiente forma como
producto de dos matrices:
(𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎𝑖, … , 𝑎𝑛) =
= (𝑏1, 𝑏2,… , 𝑏𝑛).(
𝑘11 𝑘12 … 𝑘1𝑖 … 𝑘1𝑛𝑘21 𝑘22 … 𝑘2𝑖 … 𝑘2𝑛
…… .𝑘𝑛1 𝑘𝑛2 … 𝑘𝑛𝑖 … 𝑘𝑛𝑛
) (5)
240
de donde, según la definición del producto de matrices resulta:
a1 = b1.k11+b2.k21+...+bn.kn1
a2 = b1.k12+b2.k22+...+bn.kn2
…………
ai = b1.k1i+b2.k2i+...+bn.kni
…………
an = b1.k1n+b2.k2n+...+bn.knn
Resumiendo/Conclusión:
Tenemos el vector v expresado en la base B2, y tenemos los vectores vi
que constituyen B2 expresados en la base B1. Esto nos proporciona la
matriz B llamada ‘matriz del cambio de base’:
B = (
k11 k12 … k1i … k1nk21 k22 … k2i … k2n
…… .kn1 kn2 … kni … knn
)
La fila j-ésima de B es la expresión de vj en la base B1.
La expresión (a1, a2, ..., an) de v respecto de la base B1, las obtenemos
como sigue:
a1 = (b1, b2 ,..., bn).
(
k11k21..
kn1)
es decir, producto de ‘matriz fila’ por ‘matriz columna’.
Del mismo modo se obtiene
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
241
a2 = (b1, b2, ..., bn).
(
𝑘12𝑘22..
𝑘𝑛2)
y del mismo modo
ak = (b1, b2 ,..., bn).
(
k1kk2k..
knk)
En general:
Si Y (vector fila) representa las coordenadas de v en B1 y X (vector fila)
representa las coordenadas de v en B2, la igualdad (5) se expresa así:
Y = X.B (6)
Obteniendo la inversa de B (se verá en Álgebra lineal ), obtenemos
(producto por la derecha)
Y.B-1
= X (7)
o sea, X = Y.B-1
(8)
Importante: De (8) deducimos que las filas de B-1
son las expresiones
de los vectores ei de la base B1 respecto de la base B2 .
Ejemplo:
Tenemos las base B1 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, B2 = {(2,3,0), (-
3,0,4), (0,-1,5)}
Designo por ei los vectores de B1, por uj los de B2.
Datos: u1 = 2.e1+3.e2
u2 = -3.e1 +4.e3
u3 = -e2 +5.e3
242
Tengo la matriz del cambio
B = (2 3 0 −3 0 40 − 1 5
)
Sea v = 3.u1 -2.u2 + u3, esto es: v = (3,-2,1), en la base B2.
Sus coordenadas en B1 las obtenemos así:
a1 = (3,-2,1).(2−30) = 6 +6 +0 = 12
a2 = (3,-2,1).(30−1) = 9 +0 -1 = 8
a3 = (3,-2,1).(045) = 0 -8 +5 = -3
de modo que v = (12, 8, -3) en la base B1
Comprobación:
v = 3.(2,3,0) -2.(-3,0,4) + (0,-1,5) = (12, 8, -3)
Seguimos: Hallamos la inversa B-1
NOTA: Consúltese el Vol. 10, Álgebra Lineal
No es posible exponer aquí las explicaciones necesarias para que el
alumno entienda el proceso de cálculo seguido a continuación.
No obstante, dado el interés que tienen los resultados, lo expongo:
B = (2 3 0−3 0 40 − 1 5
) -- > Traspuesta: Bt = (
2 − 3 03 0 − 10 4 5
)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
243
Adjunta de la traspuesta:
Adj(Bt) = (
4 − 15 1215 10 − 8 3 2 9
)
Determinante de B:
Det(B) = 53
La inversa es B-1
=
(
4
53 −
15
53
12
5315
53 10
53 −
8
533
53
2
53
9
53 )
Ha quedado hecha la comprobación: B.B-1
= I, matriz unidad,
I = (1 0 00 1 00 0 1
)
Por comodidad podemos escribir, y escribo,
B-1
= 1/53.(4 − 15 1215 10 − 83 2 9
)
Continúo:
Siendo v = (12, 8, -3) las coorenadas de v en B1 obtengo las que tiene
en B2
b1 = 1/53.(12,8,-3).(4153) = 1/53.(48+120-9) = 1/53.159 = 3
b2 = 1/53.(12,8,-3).(−15102) = 1/53.(-180+80-6) = 1/53.(-106) = -2
244
b3 = 1/53.(12,8,-3).(12−89) = 1/53.(144-64-27) = 1/53.53 = 1
Observa que es el resultado esperado, la expresión de v en la base B2
tomada al principio.
NOTA:
Este es un BUEN EJEMPLO corroborativo del proceso seguido para el
cambio de base. Evidentemente, el mismo se seguirá para cualesquiera
que sea la dimensión del espacio Vn.
$$$$oOo$$$$
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
245
Tema 7:
Ampliación de Trigonometría y sus aplicaciones
246
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
247
7.1.- Sumas o resta de ángulos:
Observa detenidamente la figura
Sen(a+b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
Cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)
Sen(a-b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a)
Cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
Tan(a+b) = tan(a) + tan(b)
1 – tan(a).tan(b) , Tan(a-b) =
tan(a) − tan(b)
1+ tan(a).tan(b)
248
Cota(a+b) = 1
tan (𝑎+𝑏) , Cota(a-b) =
1
tan (𝑎−𝑏)
sec(a+b) = 1
cos (𝑎+𝑏) , sec(a-b) =
1
cos (𝑎−𝑏)
cose(a+b) = 1
sen (𝑎+𝑏) , cose(a-b) =
1
sen (𝑎−𝑏)
Consecuencia:
A) Ángulo doble
Sen(2a) = 2.sen(a).cos(a)
Cos(2a) = cos2(a) – sen
2(a)
Tan(2a) = 2.tan(a)
1−tan2(𝑎)
En efecto: Tan(2a) = sen(2a)
cos(2a) =
2sen(a).cos(a)
cos2(𝑎)−𝑠𝑒𝑛2(𝑎)=
(Divido entre cos2(a) )
= 2tan(a)/(1-tan2(a)) = 2.
tan(a)
1−tan2(𝑎)
cota(2a) = 1
tan(2𝑎) , o bien Cota(2a) = -
1 − 𝑐𝑜𝑡𝑎2(𝑎)
2.𝑐𝑜𝑡𝑎(𝑎)
En efecto: cos(2a)
sen(2a) =
cos2(𝑎) − sen2(a)
2sen(a)cos(a) =
(Divido entre sen2(a) )
= 𝑐𝑜𝑡𝑎2(𝑎)−1
2.𝑐𝑜𝑡𝑎(𝑎) = -
1 − 𝑐𝑜𝑡𝑎2(𝑎)
2.𝑐𝑜𝑡𝑎(𝑎)
B) Ángulo mitad
Cos(a) = cos2( 𝑎
2 )- sen
2(𝑎
2)= 1 – 2.sen
2(𝑎
2), de donde
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
249
Sen2(𝑎
2) =
1
2.(1-cos(a)), Sen(
𝑎
2) = √
𝟏−𝐜𝐨𝐬 (𝒂)
𝟐
Cos(a) = cos2(𝑎
2) - sen
2(𝑎
2) = cos
2(𝑎
2) – [1-cos
2(𝑎
2)] =
= 2. cos2(𝑎
2) – 1 , de donde
cos2(𝑎
2) =
1
2.(1 + cos(a)), Cos(
𝒂
𝟐) = √
𝟏+𝐜𝐨𝐬 (𝒂)
𝟐
sen(𝑎
2)
cos(𝑎
2) =
√1−cos (𝑎)
2
√1+cos (𝑎)
2
= √1−cos (𝑎)
1+cos(𝑎) , por tanto
Tan(𝑎
2) = √
𝟏−𝐜𝐨𝐬 (𝒂)
𝟏+𝐜𝐨𝐬(𝒂) , Cota(
𝑎
2) = √
𝟏+𝐜𝐨𝐬 (𝒂)
𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒂)
7.2.- Fórmulas del Producto de r.t.
Sen(a+b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
Sen(a-b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a)
Sumándolos: Sen(a+b) + sen(a-b) = 2.sen(a).cos(b)
Sen(a).cos(b) = 𝟏
𝟐.[sen(a+b) + sen(a-b)]
Restándolas: Sen(a+b) - sen(a-b) = 2.sen(b).cos(a)
Sen(b).cos(a) = 𝟏
𝟐.[sen(a+b)-sen(a-b)]
De forma análoga
250
Cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)
Cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
Sumándolas: Cos(a+b) + cos(a-b)= 2.cos(a).cos(b)
Cos(a).cos(b) = 1
2.[cos(a+b) + cos(a-b)]
Restándolas: Cos(a+b) – cos(a-b) = -2.sen(a).sen(b)
Sen(a).sen(b) = -1
2.[cos(a+b) – cos(a-b)]
7.3.- Fórmulas de las Sumas/Restas de r.t.
En las anteriores hacemos:
A = a+b, B = a-b, a = A+B
2, b =
A−B
2
Entonces:
Sen(A) + sen(B) = 2.sen(A+B
2).cos(
A−B
2)
Cos(A) + cos(B) = 2.cos(A+B
2).cos(
A−B
2)
Sen(A)- sen(B) = 2.cos(A+B
2).sen(
A−B
2)
Cos(A) – cos(B) = -2.sen(A+B
2).sen(
A−B
2)
7.4.- Teorema de los senos
Tenemos las siguientes relaciones:
Sen(B) = ℎ
c -- > h = c.sen(B)
Sen(C) = ℎ
b -- > h = b.sen(C)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
251
De donde: c.sen(B) = b.sen(C), 𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶) =
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵) , y del mismo modo:
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶) =
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝐴) , y por tanto
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝐴) =
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵) =
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
Una interpretación geométrica:
Teniendo en cuenta que A = 90º, y que B’= B, tenemos
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵) =
2𝑅
𝑠𝑒𝑛(900) = 2.R ,
𝒃
𝒔𝒆𝒏(𝑩) = 2.R
252
7.5.- Teorema del coseno
En primer lugar unas ideas básicas sobre conceptos necesarios.
Idea de vector fijo:
Dos puntos A(x1, y1), B(x2, y2) del plano determinan el vector v = AB
cuyas componentes son (x2-x1,y2-y1), y escribiremos
v = (a, b) donde a = x2-x1, b = y2-y1.
Ángulo formado por dos vectores:
Módulo de un vector:
mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2 . Lo designaremos por /v/
Producto escalar de dos vectores: v*w = |v|.|w|.cos(g)
Cuando g = 0o, cos(g) = 0, y v*v = |v|
2
Designo por ‘a’, ‘b’ y ‘c’ los lados con ‘doble significado’: Escalar -- >
Su longitud, Vectorial -> Vector determinado por sus vértices, de modo
que: a = |BC|, b = |AC|, c = |BA|
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
253
Supongo el origen O(0, 0) en el vértice B:
Entonces, Vectorialmente tenemos: a = c + b
Haciendo el producto escalar consigo mismo tenemos:
a*a = (c+b)*(c+b) = c*c + c*b + b*c + b*b
a2 = c
2 + b
2 + 2.(b*c)
a2 = c
2 + b
2 + 2.b.c.cos(A’) = c
2 + b
2 - 2.b.c.cos(A)
ya que cos(A’) = -cos(A)
Conclusión: a2 = c
2 + b
2 - 2.b.c.cos(A)
254
Observa:
-Si A = 90o , cos(A) = 0, y queda la fórmula del Teorema de
Pitágoras.
-Por tanto, la anterior es una generalización del citado teorema.
-En la práctica la utilizamos así:
a2 = c
2 + b
2 - 2.b.c.cos(A)
donde A es el ángulo en el vértice A.
NOTA:
Observa que en todo caso, sea A < 90o ó sea A > 90
o, se cumple la
anterior con el signo menos:
g = ángulo A en el vértice A.
7.6.- Resolución de triángulos
Dado un triángulo cualquiera
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
255
decimos que sus elementos son: Sus tres lados, más sus tres vértices.
En problemas reales ocurrirá que conocemos el valor de algunos de sus
elementos pero desconocemos otros, estando interesados en calcular el
valor de alguno de los desconocidos.
El conocimiento de lo estudiado en este Tema de Trigonometría, y en
particular Teorema de los senos y Teorema del coseno, siempre
podremos calcular cualquiera de los elementos desconocidos,
suponiendo que tenemos ‘datos suficientes’ que suele ser ‘el valor de al
menos tres de sus elementos’.
Veremos casos resueltos en la sección de los problemas. Aquí tenemos
descritos los casos posibles, y después resolvemos uno de los casos más
complicados y prácticos reales.
Casuística:
a) Datos: Un lado y dos ángulos
Resolvemos aplicando el teorema de los senos
b) Datos: Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Por teorema del coseno obtenemos el tercer lado. Por
teorema de los senos obtenemos otro de los ángulos, y está.
c) Datos: Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Por teorema de los senos obtengo otro de los lados. Obtengo
el tercer ángulo, y por teorema de los senos obtengo el
tercer lado.
d) Datos: Tres lados
256
Por teorema del coseno obtengo uno de los ángulos. Por
teorema de los senos obtengo un segundo ángulo, y está.
Un caso práctico
Una de las situaciones reales típicas la tenemos en la siguiente figura 60.
“Deseamos determinar la distancia entre los puntos P y Q, situados al
otro lado de un río. Nosotros estamos situados en el punto A, y desde
este punto tomamos el ángulo A> que forman las ‘visuales’ por P y por
Q. También a este lado del río tenemos el punto B situado a distancia d
de A, y, situados en A, tomamos el ángulo A’> que forman las visuales
por Q y por B (ver figura 150 ). Nos desplazamos al punto B y desde
éste medimos el ángulo B> que forman las visuales por P y por Q, y
también el ángulo B’> que forman las visuales por P y por A”.
Resolución: Proceso
Obtenemos lo necesario para que al final obtengamos D = d(P, Q)
resolviendo el triángulo AQP.
NOTA: Designare el ángulo en un vértice, por ejemplo P,
indistintamente mediante P> ó P^
Cálculo de b = d(A, P):
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
257
P^ = 180º - (a + a’+ b’)
Por teorema del seno 𝑠𝑒𝑛(𝑃>)
𝑑 =
𝑠𝑒𝑛(𝑏′)
𝑏
de donde
b = 𝑑.𝑠𝑒𝑛(𝑏′)
𝑠𝑒𝑛(𝑃>)
Cálculo de c = d(A,Q):
Q^ = 180º - (b + b’+ a’)
Por teorema del seno 𝑠𝑒𝑛(𝑄>)
𝑑 =
𝑠𝑒𝑛(𝑏+𝑏′)
𝑐
de donde:
c = 𝑑.𝑠𝑒𝑛(𝑏+𝑏′)
𝑠𝑒𝑛(𝑄>)
Cálculo de D = d(P, Q):
Por teorema del coseno
D2 = b
2 + c
2 – 2.b.c.cos(a), de donde obtengo D
(Ver un caso resuelto con datos concretos en Problemas del Tema 7)
7.7.- Aplicación al cálculo del Área de un Triángulo
Tenemos varios procedimientos dependiendo de los datos de que
dispongamos.
Casuística:
a) Datos: Conocemos la altura sobre uno de los lados.
258
S = 1
2.base.h
b) Datos: Dos lados y el ángulo comprendido.
S = 1
2.a.c.sen(B), (h = c.sen(B))
c) Datos: Radio R de la circunferencia circunscrita.
S = 𝑎.𝑏.𝑐
4.𝑅 , (sen(B) =
b
2R )
a) Datos: Radio r de la circunferencia inscrita.
S = 𝟏
𝟐.(a+b+c).r = p.r, (p =
𝟏
𝟐.(a+b+c))
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
259
Datos: Los tres lados: Entonces
S = √𝑝. (𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) ,
donde p = 𝟏
𝟐.(a+b+c), semiperímetro.
(Fórmula de Herón o de Arquímedes)
Demostración: Del Teorema del coseno obtenemos
Cos(B)= 𝑎2−𝑏2+𝑐2
2.𝑎.𝑐 -> Sen(B) = √1 − [
𝑎2−𝑏2+𝑐2
2𝑎𝑐]2
=
= 1
2.a.c .√(4𝑎𝑐)2 − (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2)2 =
= (diferencia de cuadrados)
= 1
2.a.c. √(2𝑎𝑐 + (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2)). (2𝑎𝑐 − (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2)) =
= 1
2.a.c. √(2𝑎𝑐 + 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2). (2𝑎𝑐 − 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2) =
= 1
2.a.c. √((𝑎 + 𝑐)2 − 𝑏2). (−(𝑎 − 𝑐)2 + 𝑏2) =
= 1
2.a.c. √((𝑎 + 𝑐 + 𝑏). (𝑎 + 𝑐 − 𝑏). (𝑏 + 𝑎 − 𝑐). (𝑏 − 𝑎 + 𝑐) =
= 1
2.a.c. √𝑃. (𝑃 − 2𝑏). (𝑃 − 2𝑐). (𝑃 − 2𝑎) =
donde P = a+b+c = perímetro. Hago p = 1
2.P = semiperímetro
= 1
2.a.c.√2𝑝. (2𝑝 − 2𝑎). (2𝑝 − 2𝑏). (2𝑝 − 2𝑐) =
260
= 1
2.a.c . √16. 𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) =
= 1
2.a.c .4. √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) =
= 2
a.c . √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) =
Probado lo anterior, tenemos para el área del triángulo ABC
S = 1
2.a.c.sen(B) =
= (1
2.a.c).
2
a.c . √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) -- >
S = √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐)
$$$oOo$$$
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
261
APÉNDICE I Suplemento a la Geometría Analítica en el plano
I.1.- La Recta
Ecuación determinada por dos puntos:
Por las leyes de la proporcionalidad se cumple
x−x0
x1−x0=
y−y0
y1−y0
de donde (y-y0) = y1−y0
x1−x0 .(x-x0)
Llamamos pendiente de la recta al valor m = y1−y0
x1−x0
con lo cual escribo y = m.x +(yo-x0)
En general la expresamos así
ax + by + c = 0 (Ecuación general)
Un Vector director de r:
Podemos tomar el vector v = PQ = (x1-x0,y1-y0)
Si operamos en la igualdad (y-y0) = y1−y0
x1−x0 .(x-x0), tenemos
262
(x1-x0).y = (y1-y0).x + [(x1-x0).y0 –(y1-y0).x0]
de donde deducimos que, en la ecuación general
a.x + b.y + c = 0
los valores de los coeficientes son:
a = (y1-y0), b = -(x1-x0),
c = (x1-x0).y0 –(y1-y0).x0
El vector director v ahora se expresará así: v = (-b,a)
I.2.- Vector ortogonal (perpendicular) a la recta:
Inciso:
Se supone conocido el concepto de ‘producto escalar’ de dos vectores:
v*w = /v/./w/.cos(v^w)
En un sistema de referencia ortonormal R(O; e1, e2), si los vectores son
v = (a, b), w = (a’, b’),
el producto escalar resulta así: v*w = a.a’ + b.b’
Definiciones: Decimos que dos vectores v, w son ‘ortogonales’ si
v*w = 0
I.3.- Módulo de w:
Es la ‘longitud’ del segmento que subyace bajo el vector w. Su valor es,
si w = (a, b),
/w/ = √a2 + b2 = w*w
Si tengo la ecuación general a.x + b.y + c = 0
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
263
el vector w = (a, b) es ortogonal a la recta, por serlo con su vector
director v = (-b, a).
El vector w = (a, b) es ortogonal a la recta
Por tanto el vector w = (a, b) es ortogonal con r, ya que
(a, b)*(-b, a) = -a.b + b.a = 0
I.4.- Vector ortogonal unitario (vector normal a r):
Normalizo el vector w
/w/ = √a2 + b2, y el vector n->
=(a
√a2+b2,
b
√a2+b2 ) tiene módulo =1, es
unitario
Llamaremos n1 = a
√a2+b2 , n2 =
b
√a2+b2
n->
= (n1, n2)
I.5.- Ecuación Segmentaria:
𝑦−𝑏
𝑏=
−𝑥
𝑎 , y/b + x/a = b/b, y concluyo que
264
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏 = 1 (E. segmentaria o normal)
I.6.- Cosenos directores:
Fijamos nuestra atención en los segmmentos a y b que produce el corte
de r con los ejes coordenados, según figura
Tenemos
cos(g) = d/a, cos(g’) = d/b
de donde 1
𝑎=
cos (𝑔)
𝑑 ,
1
𝑏=
cos (𝑔′)
𝑑 ,
donde d = d(O, r), y que llevándolo más arriba nos da
𝑐𝑜𝑠 (𝑔)
𝑑 . 𝑥 +
𝑐𝑜𝑠 (𝑔′)
𝑑. 𝑦 = 1,
cos(g).x + cos(g’).y = d (E. canónica)
De otra forma:
Fijándonos en el vector n, ortogonal a r pasando por O y unitario, según
figura
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
265
Según puede verse en esta figura, tenemos además
cos(g) = 𝑛1
|𝑛| , cos(g’) =
𝑛2
|𝑛| , donde /n/ = 1,
y por tanto, teniendo en cuenta la anterior, tengo
n1.x + n2.y – d = 0
Otra forma:
Fijándonos en el vector director v = (v1, v2). El vector w = (v2, -v1) es
ortogonal a la recta y el unitario
n = (𝑣2
√𝑣12+𝑣22 ,
−𝑣1
√𝑣12+𝑣22 )
Entonces
cos(g) = 𝑣2
√𝑣12+𝑣22 , cos(g’) =
−𝑣1
√𝑣12+𝑣22
Observa:
𝑣2
√𝑣12+𝑣22.x +
−𝑣1
√𝑣12+𝑣22.y – d = 0
v2.x –v1.y – d. √𝑣12 + 𝑣22 = 0
266
Sabiendo que la recta pasa por (a, 0) y (0, b), un vector director es v =
(-a, b), y por tanto la anterior queda
b.x + a.y – d. √𝑎2 + 𝑏2 = 0
Por otro lado sabemos que d(O, r) = término independiente, en este
cado
d(O, r) = 𝑑.√𝑎2+𝑏2
√𝑎2+𝑏2 = d
En la práctica tenemos
A.x + B.y + C = 0,
donde: A = b, B = a, C = d.√𝐴2 + 𝐵2
d = d(O, r) = C/√𝐴2 + 𝐵2
I.7.- Cálculo de una recta s perpendicular a r, y punto de corte
Sea la recta r: ax + by + c = 0, y sea el punto Q(x1, y1) que no está en r
Tomo el vector w = (a,b) normal a r, y lo convierto en vector unitario n
= (n1,n2), donde
n1 = a
√a2+b2 , n2 =
b
√a2+b2
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
267
Supongamos C(x,y) de r como punto de corte entre r y s. Tengo
OQ = OC + CQ
CQ = (x1-x,y1-y) = k.n, donde k = d(Q,r)
de donde {𝑥1 − 𝑥 = 𝑘. 𝑛1𝑦1 − 𝑦 = 𝑘. 𝑛2
, {𝑥 = 𝑥1 − 𝑘. 𝑛1𝑦 = 𝑦1 − 𝑘. 𝑛2
Teniendo en cuenta que k = /a.x1+b.y1+c/
√a2+b2 , (que probaremos en el punto
9) obtenemos el punto C de corte.
La ecuación de s:
El vector w = (a, b) es director, por lo tanto s es de la forma
-b.x + a.y +D = 0, donde D es desconocido
Si las coordenadas de C son C(x0, y0) tiene que cumplirse
-b.x0 +a.y0 +D = 0, D = (b.x0 –a.y0)
y tenemos así la ecuación s: a’.x +b’.y +c’ = 0,
donde a’ = -b, b’ = a, c’ = D
I.8.- Distancia d(P, r) partiendo de la Ecuación general
A.x + B.y + C = 0
El vector w = (A, B) es ortogonal a r, y v = (-B, A) es director de r.
En efecto: y = 0 -- > x = -C/A -- > P1(-C/A, 0)
x = 0 -- > y = -C/B -- > P2(0, -C/B)
v = (C/A, -C/B), multiplico por (A.B)/C y obtengo
268
v = (B, -A), también vale v = (-B, A)
Normalizo el vector ortogonal w pasando a tomar
n->
= (n1, n2), donde n1 = A
√A2+B2 , n2 =
B
√A2+B2
Traslado la recta r aplicándole el vector k.n->
para hacer que pase por P.
Puesto que n->
es unitario, el valor k coincide con la distacia d de P a la
recta.
Tengo {x′ − x = k. n1y′ − y = k. n2
, {x = x′ − k. n1y = y′ − k. n2
La nueva recta pasa por P(x1, y1), por lo tato
tomando (x1, y1) en lugar de (x’, y’) tengo {x = x1 − k. n1y = y1 − k. n2
y sustituyendo en la ecuación de r tengo
A.(x1-k.n1) + B.(y1-k.n2) + C = 0
(A.x1 + B.y1 + C) – k.(n1.A + n2.B) = 0
(A.x1 + B.y1 + C) – k.(A2 + B
2)/√𝐴2 + 𝐵2 = 0
de donde k = (A.x1+B.y1+C).√A2+B2
A2+B2 =
(A.x1+B.y1+C)
√A2+B2
y por lo tanto
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
269
d(P, r) = (A.x1+B.y1+C)
√A2+B2
y hemos terminado
Otra forma:
{x = x′ − k. n1y = y′ − k. n2
-- > {A. x = A. x′ − A. k. n1B. y = B. y′ − B. k. n2
y sumo miembro a miembro (cambiando (x’, y’) por (x1, y1) )
A.x +B.y = A.x1 +B.y1 –k.(A.n1 +b.n2)
-C = A.x1 +B.y1 –k.(A.n1 +b.n2)
de donde obtengo la misma expresión para k.
-----------
270
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
271
APÉNDICE II Suplemento: Analítica en el Espacio
II.1.- Ecuaciones del plano
Sea el plano definido por un punto P(x0, y0, z0) y el subespacio director
determinado por los vectores w1 = (a, b, c), w2 = (a’, b’, c’)
Para un punto Q(x, y, z) cualquiera del plano tengo
OQ = OP + k.w1 +h.w2
(E. paramétrico-vectorial)
{x = x0 + k. a + h. a′
y = y0 + k. b + h. b′
z = z0 + k. c + h. c′
(E. paramétricas)
El alumno puede probar a eliminar los parámetros k y h (es un buen
ejecicio), aplicando ‘despeje y sustitución’ reiteradas, y debe obtener
(b.c’-b’.c).(x-x0) –(a.c’-a’.c).(y-y0) + (a.b’-a’.b).(z-z0) = 0
(El que suscribe lo ha obtenido)
También podemos eliminar los citados parámetros aplicando las
técnicas de ‘Eliminación de parámetros’, estudiadas en otro lugar
(Vol.10).
Las incógnitas del sistema
{x = x0 + k. a + h. a′
y = y0 + k. b + h. b′
z = z0 + k. c + h. c′
son k, h.
Tengo tres ecuaciones y dos incógnitas, y para que el sistema
(homogéneo) equivalente
272
{
0 = ( x0 − x) + k. a + h. a′
0 = (y0 − y) + k. b + h. b′
0 = (z0 − z) + k. c + h. c′
tenga solución no nula el siguiente determinante ha de tomar valor cero
|𝑥0 − 𝑥 𝑎 𝑎′
𝑦0 − 𝑦 𝑏 𝑏′
𝑧0 − 𝑧 𝑐 𝑐′
| = 0. Por las propiedades de los
determinantes, seguirá tomando valor cero el
siguiente, que es el que nos interesa finalmente
|𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
𝑎 𝑏 𝑐𝑎′ 𝑏′ 𝑐′
| =0
Desarrollando por la primer fila me queda
(b.c’-b’.c).(x-x0) –(a.c’-a’.c).(y-y0) + (a.b’-a’.b).(z-z0) = 0
que coincide con la obtenida eliminando por despeje y sustitución,
reiteradas.
Haciendo A = b.c’-b’.c
B = –(a.c’-a’.c)
C = a.b’-a’.b
queda de la forma
A.(x-x0)+B.(y-y0)+C.(z-z0)= 0
Si llamo D = -(A.x0 + B.y0 + C.z0), resulta
A.x + B.y + C.z + D = 0 (E. general del plano)
II.2.- Ecuación segmentaria del plano
Sea el plano m que corta a los eje coordenados en x = a, y = b, z = c
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
273
Corto con el plano m’ que pasa por P y es paralelo al plano OXY. Se
cortan dando la recta s.
Sobre el plano XOZ, por semejanza tengo
c−z
c=
x1
a
Sobre el plano ZOY, por semejanza tengo
c−z
c=
y1
𝑏
Tomo ahora la proyección Q de P sobre, y la proyección s’ de s, ambos
sobre el plano OXY.
Sobre este plano OXY tengo los valores: x1, x en el eje OX, y1, y en el
eje OY, y por semejanza tengo
x1−x
a=
y
b
De ésta obtengo x1
a =
x
a+y
b
274
Llevando ésta a la de más arriba queda c − z
c =
x
a+y
b
de donde obtengo finalmente
1 = x
a+
y
b+z
c
II.3.- Ecuación del plano que pasa por tres puntos
Con los mismos datos del número anterior, y la misma figura.
El punto P está en el plano si y sólo si los tres vectores v1 = w2-w1, v2
= w3-w1, v3 = w-w1 son linelamente dependientes.
Escribiendo sus componentes
v1 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
v2 = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)
v3 = (x-x1, y-y1, z-z1 )
la condición, necesaria y suficiente, para que sean l. d. es que
|
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
| = 0
II.4.- Cosenos directores de un plano. Ecuación normal
Sea el plano m que corta a los ejes coordenados en los puntos x = a, y =
b, z = c
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
275
El punto P es el corte con m de la perpendicular a m por el origen
O(0, 0, 0)
El valor d es la distancia desde O al plano, y en la figura se muestran los
ángulos que forma la citada perpendicular con cada uno de los ejes
coordenados:
g1 con OX, g2 con OY, g3 con OZ.
Puede resultar difícil ‘visualizar’ que el segmento OP forma en P angulo
= 90º con m, que OP es un cateto, que Pa es otro cateto, y que Oa es la
hipotenusa. De forma análoga para los otros dos ángulos. Hecha esta
observación seguimos, y observando esta mini-figura
Tengo los llamados ‘cosenos directores’
cos(g1) = 𝑑
𝑎 , cos(g2) =
𝑑
𝑏 , cos(g3) =
𝑑
𝑐
de donde
276
a =d
cos(g1) , b =
d
cos(g2) , c =
d
cos(g3)
Llevándolo a la ecuación segmentaria tengo
𝑐𝑜𝑠(𝑔1) . 𝑥
𝑑+ 𝑐𝑜𝑠(𝑔2). 𝑦
𝑑+ 𝑐𝑜𝑠(𝑔3) . 𝑧
𝑑= 1
de donde
cos(g1).x + cos(g2).y + cos(g3).z = d
(E. canónica del plano)
II.5.- Cosenos directores de una recta:
Sea la línea-recta s y dos puntos P, Q en esta recta.
La distancia d(P, Q) toma el valor
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Se cumple lo siguiente
cos(g1) = 𝑥2−𝑥1
𝑑
cos(g2) = 𝑦2−𝑦1
𝑑
cos(g3) = 𝑧2−𝑧1
𝑑
que los llamamos ‘cosenos directores’ de la recta s
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
277
NOTA: En algunos textos vemos que lo siguiente
l = cos(g1), m = cos(g2), n = cos(g3)
cumpliéndose l2 + m
2 + n
2 = 1
También se definen los llamados ‘Números directores’: L, M, N , como
aquellos valores que son prpoprcionales a l, m, n, y por tanto que
cumplen
L
𝑙=
M
m=
N
n ,
Si k = L/l, entonces M = k.m, N = k.n
L2 + M
2 + N
2 = k
2 , y que l
2 + m
2 + n
2 = 1,
k = √L2 + M2 + N2 ,
y, por ejemplo, m = 𝑀
√L2 + M2 + N2 , y lo mismo para l, n
II.6.- Distancia d(P, m) partiendo de la ecuación general del plano:
A.x + B.y + C.z + D = 0
Sea el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0
Afirmo:
El vector w = (A, B, C) es ortogonal a m
Observa: x = 0, y = 0 P0(0, 0, -D/C)
x = 0, z = 0 - P1(0, -D/B, 0)
y = 0, z = 0 - P2(-D/A, 0, 0)
Vectores w1 = (0, -D/B, D/C), w2 = (-D/A, 0, D/C)
Ortogonalidad: w*w1 = 0 –D +D = 0
278
w*w2 = -D+0+D = 0
Continúo:
Normalizo el vector w obteniendo n->
= (n1, n2, n3), donde
n1 = A
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
n2 = B
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
n3 = C
√𝐴2+𝐵2+𝐶2
Realizo la Traslación de vector k.n->
de modo que el trasladado pase por
P(x1, y1, z1)
Tengo {𝑥′ − 𝑥 = 𝑘. 𝑛1𝑦′ − 𝑦 = 𝑘. 𝑛2
𝑧′ − 𝑧 = 𝑘. 𝑛3
, {𝑥 = 𝑥′ − 𝑘. 𝑛1𝑦 = 𝑦′ − 𝑘. 𝑛2
𝑧 = 𝑧′ − 𝑘. 𝑛3
Cambio (x’, y’, z’) por (x1, y1, z1) y sustituyo en la ecuación de m
A.(x1-k.n1) + B.(y1-k.n2) + C.(z1-kn3) + D = 0
(A.x1 +B.y1 +C.z1) +D –k.(A.n1 +B.n2 +C.n3) = 0
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
279
de donde k = (𝐴.𝑥1+𝐵.𝑦1+𝐶.𝑧1+𝐷).√𝐴2+𝐵2+𝐶2
𝐴2+𝐵2+𝐶2
k = 𝐴.𝑥1+𝐵.𝑦1+𝐶.𝑧1+𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , y d(P, m) = abs(k)
(valor absoluto. La distancia siempre es un valor positivo)
II.7.- Ecuación vectorial de un plano
Sean tres puntos en el espacio. Sean w1, w2, w3 los vectores OP1, OP2,
OP3 determinados por dichos puntos. Sabemos que estos tres puntos
determinan un plano m.
Si P es otro punto del espacio, y w es el vector OP, condición necesaria
y suficiente para que P esté en el plano m es que el volumen del
tetraedro que determinan los cuatro puntos sea cero. Este volumen es el
siguiente producto mixto (ver figura)
(w-w1)*[(w2-w1) ^ (w3-w1)] = 0, donde ^ es el producto vectorial y *
el producto escalar de vectores.
Realizados los cálculos obtendremos
280
|
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1
| = 0
Otra forma:
Vectorialmente la condición necesaria y suficiente para que P esté en el
plano determinado por P1, P2, P3, es que
w = k1.w1 + k2.w2
que nos lleva al sistema
{
𝑥 − 𝑥1 = 𝑘1. (𝑥2 − 𝑥1) + 𝑘2. (𝑥3 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘1. (𝑦2 − 𝑦1) + 𝑘2. (𝑦3 − 𝑦1)
𝑧 − 𝑧1 = 𝑘1. (𝑧2 − 𝑧1) + 𝑘2. (𝑧3 − 𝑧1)
Los vectores w1, w2 generan el suespacio director del plano.
8.- Posición de un plano respecto del sistema de referencia ortogonal
Sea el plano cuya ecuación cartesiana es
m: Ax + By + Cz + D = 0
-Si D <> 0 entonces corta a los tres planos
-Si D = 0 entonces pasa por el origen
-Si C = 0 entonces es paralelo al eje oz, y análogo si B = 0 ó A = 0.
-Si B = 0 y C = 0 entonces es paralelo al plano oyz, y análogo en los
casos: A = 0 y B = 0, A = 0 y C = 0.
-Si x = 0 entonces coincide con el plano oyz, y
análogamente en otros casos.
II.9.- Posición de un punto P respecto de un plano
Tengo el plano m: Ax + By + Cz +D = 0,
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
281
Sabemos que d(P, m) = |𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2|
Si consideramos solamente el valor
d(P, m) = 𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2, tenemos dos opciones
-Si d(P, m) > 0, el punto P y el origen O están situados a distinto
lado del plano m. Es decir, en distinto semi-espacio.
-Si d(P, m) < 0, están situados al mismo lado del plano. Es
decir, en el mismo semi-espacio.
II.10.- Distancia entre dos planos paralelos
Sean m: Ax + By + Cz + D = 0,
m’: A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Si son paralelos podemos hacer que A’ = A, B’ = B, C’ = C
Sabemos que d(O, m) = 𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2, , d(O, m’) =
𝐷′
√𝐴2+𝐵2+𝐶2,
d(m, m’) = |𝑑(𝑂,𝑚) − 𝑑(𝑂,𝑚′)| = |𝐷−𝐷′
√𝐴2+𝐵2+𝐶2|
II.11.- Ángulo determinado por dos planos
Sean dos planos m: ax + by + gz + d = 0,
m’: a’x + b’y + c’z + d’ = 0
282
Sabemos que los vectores w1 = (a, b, c) y w2 = (a’, b, c,) son
ortogonales a sus respectivos planos.
El ángulo determinado por m y m’ toma el mismo valor que el
determinado por w1 y w2
Normalizando estos vectores pasan a ser
u1 = (𝑎
√𝑎2+𝑏2+𝑐2,
𝑏
√𝑎2+𝑏2+𝑐2 ,
𝑐
√𝑎2+𝑏2+𝑐2)
u2 = (𝑎′
√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2,
𝑏′
√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2 ,
𝑐′
√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2)
y tengo cos(g) = 𝑎.𝑎′+𝑏.𝑏′+𝑐.𝑐′
√𝑎2+𝑏2+𝑐2 .√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2
II.12.- Recta en el Espacio
La recta en el espacio puede estár deteminada por la intersección de dos
planos
{Ax + By + Cz + D = 0A’x + B’y + C’z + D’ = 0
(1)
o mediante un pnuto P(x0,y0,z0) que le pertenece y un vector
v = (a, b, c) que determina su dirección:
r: < P(x0, y0, z0); v = (a, b, c) > (2)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
283
Según mi opinión la forma más práctica es (2).
Si Q(x, y, z) está en r, entonces OQ = OP + k.v, de forma que
{𝑥 = 𝑥0 + 𝑘. 𝑎𝑦 = 𝑦0 + 𝑘. 𝑏𝑧 = 𝑧0 + 𝑘. 𝑐
, {𝑥 − 𝑥0 = 𝑘. 𝑎𝑦 − 𝑦0 = 𝑘. 𝑏𝑧 − 𝑧0 = 𝑘. 𝑐
,
k = 𝑥−𝑥0
𝑎=
𝑦−𝑦0
𝑏=
𝑧−𝑧0
𝑐, y tengo la llamada
Ecuación continua de la recta:
𝑥−𝑥0
𝑎=
𝑦−𝑦0
𝑏=
𝑧−𝑧0
𝑐 (v = (a, b, c) director de r)
Cosenos directores de la recta:
284
Tenemos la recta r y un vector director v = (a,b,c). Obsérvese la figura,
donde indicamos los ángulos g1, g2, g3 que el citado vector forma con
cada uno de los ejes coordenados. Los cosenos de estos ángulos toman
el siguiente valor
cos(g1) = 𝑎
√𝑎2+𝑏2+𝑐^2, cos(g2) =
𝑏
√𝑎2+𝑏2+𝑐2, cos(g3) =
𝑐
√𝑎2+𝑏2+𝑐2
Ecuación vectorial de la recta:
La recta r queda determinada por dos de sus puntos P1, P2, cuyos
vectores de posición son v1, v2. Si Q es otro punto de la recta y v su
vector de posición, los vectores w1 = v2-v1, w2 = v-v1 son linealmente
dependientes, y de este hecho resultan dos consecuencias:
a) Que ‘el producto vectorial de w1 y w2 es el vector cero’, esto es
(v-v1)^(v2-v1) = 0 (vector)
Ecuación vectorial
b) El vector w2 es proporcional a w1, esto es
(v-v1) = k.(v2-v1), v = v1 +k.(v2-v1)
Ecuación paramétrico-vectorial
II.13.- Ángulo de dos rectas:
Sean las rectas r: <P(x1, y1, z1); v = (a1, b1, c1)>
s: <Q(x2, y2, z2); w=(a2, b2, c2)>
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
285
El ángulo formado por las dos rectas es el ángulo formado por sus
vectores directores:
v*w = /v/./w/.cos(g), cos(g)= 𝑣∗𝑤
√𝑎12+𝑏12+𝑐12.√𝑎22+𝑏22+𝑐22
II.14.- Área de un triángulo:
Tenemos un triángulo con vértices p0(x0, y0, z0), p1(x1, y1, z1),
p2(x2, y2, z2), observar figura.
W es el ‘producto vectorial’ de v1 y v2, y sabemos que ‘área del
triángulo’ = 1/2./W/
También sabemos que
286
W = |
𝑖 𝑗 𝑘𝑥1 − 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0𝑥2 − 𝑥0 𝑦2 − 𝑦0 𝑧2 − 𝑧0
| =
= i.|𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0𝑦2 − 𝑦0 𝑧2 − 𝑧0
| –j.|𝑥1 − 𝑥0 𝑧1 − 𝑧0𝑥2 − 𝑥0 𝑧2 − 𝑧0
| +
+ k.|𝑥1 − 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0𝑥2 − 𝑥0 𝑦2 − 𝑦0
| = (*), hago un inciso.
(Determinantes en Vol.10).
Cuando calculamos el determinante |
𝑦0 𝑧0 1𝑦1 𝑧1 1𝑦2 𝑧2 1
| puedo hacerlo como
sigue.
Hago ceros en la tercer columna, mediante las transformaciones
Sustituyo la 2ª fila por 2ª f -1ª f
Sustituyo la 3ª fila por 3ª f – 1ª f
y me queda |
𝑦0 𝑧0 1𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0 0𝑦2 − 𝑦0 𝑧2 − 𝑧0 0
| = |𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0𝑦2 − 𝑦0 𝑧2 − 𝑧0
|
por lo que
|𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0𝑦2 − 𝑦0 𝑧2 − 𝑧0
| = |
𝑦0 𝑧0 1𝑦1 𝑧1 1𝑦2 𝑧2 1
|
Del mismo modo
|𝑥1 − 𝑥0 𝑧1 − 𝑧0𝑥2 − 𝑥0 𝑧2 − 𝑧0
| = |𝑥0 𝑧0 1𝑥1 𝑧1 1𝑥2 𝑧2 1
|
y
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
287
|𝑥1 − 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0𝑥2 − 𝑥0 𝑦2 − 𝑦0
| = |
𝑥0 𝑦0 1𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1
|
Designaremos estos determinantes del siguiente modo:
(Dxy) = |
𝑥0 𝑦0 1𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1
|, (Dxz) = |𝑥0 𝑧0 1𝑥1 𝑧1 1𝑥2 𝑧2 1
| ,
(Dyz) = |
𝑦0 𝑧0 1𝑦1 𝑧1 1𝑦2 𝑧2 1
|
Con esta nueva notación podemos expresar
W = (Dyz).i –(Dxz).j +(Dxy).k
y su módulo es /W/ = √(𝐷𝑥𝑦)2 + (𝐷𝑥𝑧)2 + (𝐷𝑦𝑧)2
y así el áres del triángulo es
S = 1
2. √(𝐷𝑥𝑦)2 + (𝐷𝑥𝑧)2 + (𝐷𝑦𝑧)2
II.15.- Ángulo formado por recta y plano:
Tengo una recta r: <P; v = (a,b,c)>, y un plano m: Ax +By +Cz +D = 0
v = (a, b, c) es un director de r, y de la ecuación de m obtenemos
w = (A,B,C) que es ortogonal al plano.
El producto escalar de v y w nos da (Observa la figura)
288
v*w = /v/./w/.cos(g’), de donde cos(g’) = 𝑣∗𝑤
|𝑣|.|𝑤|
Suponiendo referencia ortonormal nos queda
cos(g’) = 𝐴.𝑎+𝐵.𝑏+𝐶.𝑐
√𝐴2+𝐵2+𝐶2+√𝑎2+𝑏2+𝑐2
El ángulo que forman recta y plano es g, y tenemos que
sen(g) = cos(g’)
por lo que para obtener el ángulo g he de tomar la igualdad
sen(g) = 𝐴.𝑎+𝐵.𝑏+𝐶.𝑐
√𝐴2+𝐵2+𝐶2+√𝑎2+𝑏2+𝑐2
II.16.- Condiciones de paralelismo y perpendicularidad:
Tenemos dos rectas r1: <P; v1 = (a1, b1, c1)>,
r2: <Q; v2 = (a2, b2, c2)>,
y dos planos mediante sus ecuaciones generales
m1: A1.x + B1y + C1z + D1 = 0, w1 = (A1, B1, C1)
m2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 , w2 = (A2, B2, C2)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
289
Paralelismo
r1 // r2 < -- > v2 = k.v1 < -- > 𝑎2
𝑎1=
𝑏2
𝑏1=
𝑐2
𝑐1
r1 // m1 < -- > v1*w1 = 0 < -- > a1.A1 + b1.B1 + c1.C1 = 0
m1 // m2 < -- > w2 = k.w1 < -- > 𝐴2
𝐴1=
𝐵2
𝐵1=
𝐶2
𝐶1
Perpendicularidad
r1 -/- r2 < -- > v1*v2 = 0 < -- > a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0
r1 -/- m1 < -- > w1 = k.v1 < -- > 𝐴1
𝑎1=
𝐵1
𝑏1=
𝐶1
𝑐1
m1 -/- m2 < -- > w1*w2 = 0 < -- > A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
II.17.- Volumen de un tetraedro:
Sean los cuatro vértices de un tetraedro:
p0(x0,y0,z0), p1(x1,y1,z1), p2(x2,y2,z2), p3(x3,y3,z3)
Escribimos v1 = (a1, b1, c1), v2 = (a2, b2, c2),
v3 = (a3, b3, c3), cuyas expresiones se ven en la figura.
290
Tengo W = |𝑖 𝑗 𝑘𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2
| =
= i.(b1.c2 –c1.b2) - j.(a1.c2 -c1.a2) + k.(a1.b2 –b1.a2)
Sabemos (lo vimos en el cuerpo del texto) que Vol. = 1/6 . Vol.del
prisma cuyas aristas son v1, v2, v3. Por lo tanto, opernado
v3*W = a3.(b1.c2 –c1.b2) –b3.(a1.c2 – c1.a2) + c3.(a1.b2 –b1.a2) =
(desarrollo del determinante)
= |𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3
| , y tengo Vol. = 1
6. |𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3
|
II.18.- Cuestiones de interés entre: a)Rectas, b)Rectas y planos,
c)Planos
a)Entre rectas:
18.1.- Determinar la recta s que pasa por P y corta a las rectas r1, r2.
Datos: r1 = {Q+t.v}, r2={R+t’.w}, P(xo,yo,zo)
Tengo:
OM1 = OQ + t.v, OM2 = OR + t’.w
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
291
OM1 = OP + PM1, OM2 = OP + PM2
OQ + t.v = OP + PM1, OR + t’.w = OP + PM2
PM1 = (OQ-OP) + t.v, PM2 = (OR-OP) + t’.w
Condición:
PM2 = k.PM1 , y por tanto
(OR-OP) + t’.w = k.[(OQ-OP) + t.v]
(x2-xo, y2-yo, z2-zo) + t’.(a’, b’, c’) =
= k.[(x1-xo, y1-yo, z1-zo) + t.(a, b, c)]
Simplificando la notación
(A,B,C) + (a’,b’,c’).t’ = (A’,B’,C’).k + (a,b,c).(k.t)
Hago: x = t’, y = k, z = k.t
Sistema:
{
𝑎′. 𝑥 − 𝐴′. 𝑦 − 𝑎. 𝑧 = −𝐴
𝑏′. 𝑥 − 𝐵′. 𝑦 − 𝑏. 𝑧 = −𝐵
𝑐′. 𝑥 − 𝐶′. 𝑦 − 𝑐. 𝑧 = −𝐶
Resuelvo el sistema y obtengo los valores t’, k, k.t, y de esta última
despejo t = (k.t)/k
18.2.- Determina la recta s que corte ortogonalmente a las rectas r1, r1
292
Datos: r1 = {Q+t.v}, r2 = {R+t’.w},
Tengo:
OM1 = OQ+t.v, OM2 = OR+t’.w
M1M2 = (OR+t’.w ) – (OQ+t.v )
M1M2 = (OR-OQ) + (t’.w –t.v)
M1M2 = (x2-x1,y2-y1,z2-z1) + (a’,b’,c’).t’ –(a,b,c).t
Simplificando la notación: OR- OP = (A, B, C)
M1M2 = (A + a’.t’-a.t, B + b’.t’-b.t, C + c’.t’-c.t))
Condición:
M1M2*v = 0, M1M2*w = 0
a.(A + a’.t’-a.t) + b.(B + b’.t’-b.t) + c.(C +c’.t’-c.t) = 0
a’.(A + a’.t’-a.t) + b’.(B + b’.t’-b.t) + c’.(C +c’.t’-c.t) = 0
Sistema:
{(𝑎. 𝐴 + 𝑏. 𝐵 + 𝑐. 𝐶) = (a^2+b^2+c^2).t –(a.a’+b.b’+c.c’).t’
{(𝑎′. 𝐴 + 𝑏′. 𝐵 + 𝑐′. 𝐶) = (a.a’+b.b’+c.c’).t –(a’^2+b’^2+c’^2).t’
Observa y comprueba que podemos expresarlo como sigue
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
293
{(𝑣 ∗ 𝑣). 𝑡 − (𝑣 ∗ 𝑤). 𝑡′ = 𝑣 ∗ (𝑂𝑅 − 𝑂𝑃)(𝑣 ∗ 𝑤). 𝑡 − (𝑤 ∗ 𝑤). 𝑡′ = 𝑤 ∗ (𝑂𝑅 − 𝑂𝑃)
18.3.- Dadas las rectas r y s, analiza las condiciones para que sean:
a)Coplanarias, b)Ortogonales.
Datos: r1 = {Q+t.v}, r2 = {R+t’.w}.
(Si no tenemos esta forma debemos conseguirla).
Serán ortogonales si v*w = 0, (y final)
Coplanarias:
Considero el prisma determinado por las aristas: v, w, PQ. Son
coplanarias precisamente si su volumen es cero, y por lo tanto que su
producto mixto
PQ*(VxW) = 0
Ejemplo: Sean r: {𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑦 + 𝐶. 𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴′. 𝑥 + 𝐵′. 𝑦 + 𝐶′. 𝑧 + 𝐷′ = 0, s = {P+t.v},
donde P(xo, yo, zo), v = (a, b, c)
w1 = (A, B, C), w2 = (A’, B’, C’) -> W = W1xW2 , que expreso así
W = (a’, b’, c’)
Este vector w es director de r.
Dando valor a x, y y despejando z obtengo un punto Q(x1, y1, z1) de r.
Tengo así r = {Q+kw}
Si fuesen coplanarias podrían
a)Cortarse, b)Ser paralelas
Si M(x,y,z)es un punto común tenemos:
294
OM = OP + t.(a, b, c) = OQ + k.(a’, b’, c’),
0 = (OP-OQ) + (a.t-a’.k, b.t-b’.k, c.t-c’.k)
Sistema:
{𝑎. 𝑡 − 𝑎′. 𝑘 = 𝑥1 − 𝑥𝑜𝑏. 𝑡 − 𝑏′. 𝑘 = 𝑦1 − 𝑦𝑜
𝑐. 𝑡 − 𝑐′. 𝑘 = 𝑧1 − 𝑧𝑜
Compatible determinado -> Son coplanarias y se cortan en un punto.
Compatible indeterminado-> Son coincidentes
Incompatible:
No se cortan:
Si v y w son proporcionales -> Son coplanarias (por ser
paralelas). En otro caso se cruzan.
b)Entre recta y plano:
18.4.- Determina la recta s que pase por P y sea paralela con el plano m.
Datos: s = {P+t.v}, m = {Q+k.w1+h.w2}
(Si no es así realizamos las transformaciones necesarias)
La recta s es paralela al plano si el vector v pertenece al subespacio
director de m. Esto significa que
v = k.w1 + h.w2, para algún par de valores k, h
18.5.- Determina la recta s que pase por P y sea ortogonal con el plano
m. Calcula el punto de corte.
Datos: P(xo, yo, zo), m = {Q+k.w1+h.w2}
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
295
Si M es un punto de m
OM = OQ + k.w1 + h.w2
PM = OM –OP = (OQ-OP) + k.w1 + h.w2
Condición:
PM*w1 = 0, PM*w2 = 0
Sistema:
{(𝑤1 ∗ 𝑤1). 𝑘 + (𝑤1 ∗ 𝑤2). ℎ = −𝑤1 ∗ (𝑃𝑄)
(𝑤1 ∗ 𝑤2). 𝑘 + (𝑤2 ∗ 𝑤2). ℎ = −𝑤2 ∗ (𝑃𝑄)
Los valores k,h obtenidos nos permite obtener el punto de corte
OM = OQ + k.w1 + h.w2
18.6.- Dados la recta s = {P(xo, yo, zo) + t.(ao, bo, c)}, donde c queda
indeterminado, y el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0, analiza para que
valores de c son:
a)Paralelos, b)Ortogonales
Datos: s = {P+t.v}, m = {Q+k.w1+h.w2}
He obtenido tres puntos de m y los dos vectores w1, w2 del subespacio
director de m.
Paralelos:
La recta s yace sobre un plano paralelo a m si v es combinación lineal
de w1, w2:
(ao, bo, c) = k.(x1, y1, z1) +h.(x2, y2, z2)
Sistema:
296
{𝑥1. 𝑘 + 𝑥2. ℎ = −𝑎𝑜𝑦1. 𝑘 + 𝑦2. ℎ = −𝑏𝑜𝑧1. 𝑘 + 𝑧2. ℎ − 𝑐 = 0
que resolvemos.
Ortogonalidad:
Las condiciones son: v*w1 = 0, v*w2 = 0
Sistema: {𝑎𝑜. 𝑥1 + 𝑏𝑜. 𝑦1 + 𝑐. 𝑧1 = 0𝑎𝑜. 𝑥2 + 𝑏𝑜. 𝑦2 + 𝑐. 𝑧2 = 0
El valor de c ha de satisfacer las dos igualdades.
Otra forma: Hago W1xW2, que lo llamo u
u1 = z2.y1 –y2.z1
u2 = -(z2.x1 –x2.z1)
u3 = y2.x1 –x2.y1
Después: v = k.u --> Sistema
{𝑎𝑜 = 𝑢1. 𝑘𝑏𝑜 = 𝑢2. 𝑘𝑐 = 𝑢3. 𝑘
, que resolvemos.
Ejemplo: Sean r = {P+t.v}, y el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0
Analizamos su posición relativa.
El vector W = (A, B, C) es ortogonal al plano.
Ortogonalidad: Si v y w son proporcionales.
Paralelos: (Recta sobre un plano m’ paralelo a m)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
297
Se cumple si v*w = 0 (ortogonales)
Veamos cuándo se cortan. En primer lugar obtengo una base {w1, w2}
del subespacio director de m, y un punto Q de m.
Si M(x,y,z) es un punto común tenemos
OM = OP+ t.v = OQ + k.w1 + h.w2
(OP-OQ) + t.v –k.w1 –h.w2 = 0
Sistema:
{𝑎. 𝑡 − 𝑎1. 𝑘 − 𝑎2. ℎ = 𝑥1 − 𝑥𝑜𝑏. 𝑡 − 𝑏1. 𝑘 − 𝑏2. ℎ = 𝑦1 − 𝑦𝑜𝑐. 𝑡 − 𝑐1. 𝑘 − 𝑐2. ℎ = 𝑧1 − 𝑧𝑜
Compatible determinado -> Se cortan en un punto
Compatible indeterminado-> La recta yace en el plano
Imcompatible --> No se cortan (y por tanto s yace sobre m’ paralelo con
m)
c)Entre planos:
18.7.- Determina el plano m del haz m1 + k.m2 = 0
que pase por el punto P
Tengo
m:(A+A’.k).x + (B+B’.k).y + (C+C’.k).z + (D+D’.k) = 0
Condición: Que m pase por P(xo, yo, zo)
0 = (A+A’.k).xo + (B+B’.k).yo + (C+C’.k).zo + (D+D’.k)
298
0 = (A.xo + B.xo + C.zo + D) + (A’.xo + B’.yo + C’.zo + D’).k
k = -(A.xo +B.xo +C.zo +D) / (A’.xo +B’.yo +C’.zo +D’)
18.8.- Dada la recta s: {P(x0, y0, z0) + t.(2, 3, c)}, determina el valor de
c para el cual s yace sobre un plano del haz m1 + k.m2 = 0, donde m1 y
m2 son planos concretos.
Tengo:
m:(A+A’.k).x + (B+B’.k).y + (C+C’.k).z + (D+D’.k) = 0
El vector w = (A+A’.k, B+B’.k, C+C’.k) es ortogonal al plano m, y por
tanto v y w han de ser ortogonales:
v*w = 0
Sistema: 2.(A+A’.k) + 3.(B+B’.k) + c.(C+C’.k) = 0
(2.A +3.B) + (2.A’ +3.B’).k + C.c + C’.(c.k)=0
Si llamo: x = k, y = c, z = c.k, puedo expresarlo así
(2.A’+3.B’).x + C.y + C’.z = -(2.A+3.B)
donde, como puede verse, las incógnitas x e y están ligadas mediante
z = c.k.
Si doy valor a x, y a z, tengo y = z/x
De este modo obtengo valores de c que cumplen lo que se pide.
18.9.- Dados los planos m1, m2, analiza las condiciones para que sean:
a)Paralelos, b)Ortogonales entre sí.
Datos: (Coeficientes indeterminados)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
299
m1: A.x + B.y + C.z + D=0, m2: A’.x + B’.y + C’.z + D’=0
W1 = (A, B, C), W2 = (A’, B’, C’) son vectores ortogonales a m1 y
m2, respectivamente.
Si son proporcionales: W2 = t.W1, los planos son paralelos, y sólo en
este caso.
Si son ortogonales: W1*W2 = 0, los planos son ortogonales entre sí, y
sólo en este caso.
Ejemplos: Sean los planos
m1: A.x + B.y + C.z + D = 0, m2: A’.x + B’.y + C’.z + D’ = 0
Tomo los vectores: w1 = (A, B, C), w2 = (A’, B’, C’)
Paralelos: Si w1 y w2 son proporcionales.
Si no son paralelos se cortan según una recta r determinada por estas dos
ecuaciones cartesianas.
Se cortan ortogonalmente Si w1*w2 = 0 (Ortogonales)
II.19.- Algunos casos de cuerpos en el Espacio
En cada una de las figuras el alumno concretará alguna o algunas de las
medidas y calucará: a)El volumen, b)La superficie parcial o total
300
-----------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
301
PROBLEMAS Resuelto o semi-resueltos:
De Geometría y Método vectorial
NOTA:
Es posible que alguno de los conceptos que se aplican no se hayan
estudiado todavía. En ese caso pueden consultarse en el Vol.10
1.- A, B, C y D son los vértices de un cuadrado. Tomo los vectores u =
AB, v = CB, w = BD. Determina los ángulos: (u^3w), (2v^w), (-2u^3v)
Res.: (u^3w) = 135º, (2v^w) = 225º, (-2u^3v) = 90º
2.- Tomo los vectores u, v, w, del anterior. Calcula (* es el producto
escalar):
(2u)*(-3v), (-u)*(2w), (-2w)*(4v)
Res.:
(2u)*(-3v) = -6.(u*v) = 0,
(-u)*(2w) = -2.(u*w) = -2./u/./w/.cos(135º) =
-2.(−√2
2). /u/./w/ = √2 ./u/./w/,
(-2w)*(4v) = -8./w/./v/.cos(135º) = -8.−√2
2. /w/./v/
= 4.√2 . /w/./v/
3.- Sabemos que la proyección (ortogonal) de v sobre u mide 5 veces el
módulo de u (es decir, mide 5 unidades tomando /u/ como unidad de
302
medida). Calcula u*v
Res.:
u*v = /u/.proy(v/u) = /u/.(5./u/) = 5./u/
2
4.- Comprueba que se cumplen las siguientes igualdades (u, v, w son
vectores):
a) (u+v-w)*(u+v+w) = (u+v)2 –w
2
b) (u-v-w)*(u+v+w) = u2 –(v+w)
2
5.- Sabemos que (u+v)2 = 25, (u-v)
2 = 9, donde u, v son vectores.
Calcula: u*v
Res.: {25 = (𝑢 + 𝑣) ∗ (𝑢 + 𝑣) = ⋯ = 𝑢2 + 𝑣2 + 2. (𝑢 ∗ 𝑣)
9 = (𝑢 − 𝑣) ∗ (𝑢 − 𝑣) = 𝑢2 + 𝑣2 − 2. (𝑢 ∗ 𝑣)
de donde: 16 = 4.(u*v) -> u*v = 4
6.- Sean cuatro puntos cualesquiera del plano: A, B, C, D . Comprueba
que:
AB*CD + AC*DB + AD*BC = 0
Res.:
AB*CD + AC*DB + AD*BC = u*(w-v)+v*(u-w)+w*(v-u)=
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
303
= u*w-u*v + v*u-v*w + w*v-w*u = 0,
ya que el producto a*b es conmutativo para todo par de vectores a, b.
7.- Vectorialmente, demuestra que las tres alturas de un triángulo
(cualquiera) se cortan en un mismo punto.
Res.:
Llamo: u = AB, v = AC, w = AM
Por el resultado obtenido en 6 (anterior) sabemos que
AB*CM + AC*MB + AM*BC = 0
Por ortogonalidad sabemos que AM*BC = 0, AB*CM = 0, y por tanto
AC*MB = 0, con lo cual la altura desde B pasa por M.
Conclusión: Las tres alturas concurren en M.
8.- Fijado un punto P del plano, determina el lugar geométrico de los
puntos Q tales que OP*OQ = /OP/
Res.: Observa la figura: OP*OQ = /OP/./OQ/.cos(g)=
304
= /OP/.proy(OQ/OP) = /OP/ ,
Observa que: OP*OQ = /OP/./OQ/.cos(g) = (si tomo /OP/ como unidad
) = /OQ/.cos(g) = proyección de OQ sobre la recta soporte de OP,
tomando /OP/ como unidad de medida.
9.- En una base ortonormal B = {u1, u2} tomo los vectores u = -
3u1+5u2, v = -7u1-u2. Calcula la preoyección de u sobre la recta
soporte de v.
Res.:
/OP/ = /u/.cos(g) =
𝑢∗𝑣
|𝑣|
u*v = (-3u1+5u2)*(-7u1-u2) = … = 21-5 = 16
/v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = … = √50
Por tanto: /OP/ = 16
√50
10.- Si u1 y u2 son tales que /u1/ = /u2/, y u1*u2 = 0, comprueba que
los vectores u = a.u1-b.u2, v = a.u1 + b.u2 son ortogonales.
Res.: u*v = (a.u1+b.u2)*(b.u1-a.u2) =
= (a.b)./u1/ -a2.u1*u2 + b
2.u2*u1 –(b.a)./u2/ = …. = 0
11.- En una base B = {u1, u2} tal que /u1/=/u2/, (u1^u2) = 60º , calcula
el módulo (o norma) del vector v = u1 + u2
Res.: /v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 , v*v = (u1+u2)*(u1+u2) =
= /u1/2 + 2.(u1*u2) + /u2/
2 =
= 2./u1/2 + 2./u1/./u2/.cos(60º) = 2./u1/
2 + 2./u1/
2 . 1
2 = 3./u1/
2
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
305
Por tanto: /v/ = √3 . /u1/
12.- En una base B = {u1, u2} tal que /u1/=2, /u2/=3, u1*u2 = 4, ¿Qué
valor ha de tomar ‘a’ para que los vectores u = 11u1+a.u2, v = u1+2u2
sean ortogonales?.
Res.: a = -6
13.- En una base B = {u1, u2} normada (/u1/=/u2/= 1) y u1*u2 = 1/5,
halla un vector u unitario que sea ortogonal al vector
v = 29.u1-25.u2
Res.: Sea u = x.u1+y.u2 el vector pedido.
/u/ = √𝑢 ∗ 𝑢 = ⋯ √𝑥2 +2
5. 𝑥𝑦 + 𝑦2 ,
0 = u*v = … = (xu1+yu2)*(29u1-25u2) = 29x-5x +29/5.y -25y =
= 24x -96/5.y -->
0 = 120x-96y, 0 = 5x -4y
Tengo el sistema: {5𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑥2 +2
5𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1
--> x = 4/7, y = 5/7, ó x = -4/7,
y = -5/7
14.- En una base B = {u1, u2} ortonormal, sean los vectores: u = OA =
3u1 + u2, v = OB = 2u1 + 5u2, w = OC = 7u1. Comprueba que el
triágulo ABC es equilátero. Calcula su perímetro.
Res.: Perímetro P = /u/+/v/+/w/ = ……… =
=2.√17 + 5. √2, ya que /u/ = … = √17 , /v/ = … =
= 5.√2, /w/ = … = √17
306
15.- Vectorialmente, demuestra que cualquier triángulo inscrito en una
semicircunferencia es recto (tiene un ángulo de 90º).
Res.: v = OB, w = OC, OA = -v
CA = CO + OA = -w –v = -(v+w),
CB = CO + OB = -w +v = v-w,
CA*CB = -(v+w)*(v-w) = -[v*v –v*w +w*v –w*w] =
= -[/v/2 -/w/
2 ] = 0, ya que /v/ = /w/ = radio
16.- Vectorialmente, demuestra que las diagonales de un rombo son
ortogonales.
Res.: u1 = AB, u2 = AD,
v = AC = u1+u2, w = BD = BA + AD = -u1+u2
v*w = (u1+u2)*(-u1+u2)= -/u1/2+u1*u2-u2*u1 +/u2/
2
= … = 0, ya que /u1/ = /u2/ por ser rombo.
17.- En una base B = {u1, u2} ortonormal calcula el ángulo formado
por los siguientes vectores:
u = 2u1-3u2, v = 4u1-5u2.
Res.: cos(u^v) = 𝑢∗𝑣
|𝑢|.|𝑣| = … =
23
√13.√41 = 0,9962 ->
g = arcCos(0,9962) = 4,9965º -> g = 5º
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
307
18.- Tengo dos Sistemas de referencia:
S = {O; u1, u2}, S’ = {O’; v1, v2}, relacionados como sigue:
{𝑣1 = 𝑢1 + 𝑢2𝑣2 = 𝑢1 − 𝑢2
𝑂′𝑂 = 2𝑢1 − 3𝑢2
Determina las ecuaciones del cambio de S a S’.
Si P(-1;2) respecto de S, halla sus coordenadas respecto de S’.
Res.: OQ = x.u1+y.u2, O’Q = x’.v1+y’.v2
OQ = OO’ + O’Q
x.u1+y.u2 = -2u1+3u2 + x’.(u1+u2)+y’.(u1-u2)
->
(x+2).u1 + (y-3).u2 = (x’+y’).u1 + (x’-y’).u2 ->
{𝑥 + 2 = 𝑥′ + 𝑦′
𝑦 − 3 = 𝑥′ − 𝑦′ , {
𝑥 = −2 + 𝑥′ + 𝑦′
𝑦 = 3 + 𝑥′ − 𝑦′ ,
Podemos despejar x’, y’ , obteniendo
{𝑥′ = −
1
2+1
2. 𝑥 +
1
2. 𝑦
𝑦′ =5
2+1
2. 𝑥 −
1
2. 𝑦
308
P(-1;2) --> x’ = …. , y’ = …
19.- a) Determina las ecuaciones de la traslación OO’ = 3u1-4u2
Obtener las coordenadas de la imagen de P(2, 3)
b)Determina las ecuaciones del giro g = π/4
Obtener las nuevas coordenadas de P(2, 3)
Res.: a) OQ = OO’ + O’Q = 3u1-4u2 + (x’.u1+ y’.u2)
OQ = x.u1 + y.u2
x.u1 + y.u2 = 3u1-4u2 + (x’.u1+y’.u2)
(x-3).u1 + (y+4).u2 = x’.u1 + y’.u2 -->
{𝑥′ = 𝑥 − 3𝑦′ = 𝑦 + 4
; P(2, 3) -> x’ = -1, y’ = 7
b)
Por estudio realizado sabemos que las ecuaciones del giro son
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
309
(𝑥′
𝑦′) = (
cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
𝑥𝑦) , de donde
{𝑥′ = 𝑥. cos(𝑔) − 𝑦. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑦′ = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦. cos(𝑔) --> {
𝑥′ = 𝑥.√2
2+ 𝑦.
√2
2
𝑦′ = −𝑥.√2
2+ 𝑦.
√2
2
P(2;3) -> x’ = … , y’ = …
20.- En base ortonormal B = {u1, u2}, calcula la distancia d(A, B)
siendo AB = 5u1-12u2
Res.: d(A,B) = √𝐴𝐵 ∗ 𝐴𝐵 = ⋯ = √169 = 13, ya que
AB*AB = (5u1-12u2)*(5u1-12u2) = 25 + 144 = 169
21.- Vectorialmente y utilizando distancias, comprueba si los puntos
A(-1, 3), B(0, 5), C(3, 1) forman triángulo rectángulo (Base
ortonormal).
Res.:
OA = -u1 + 3u2, OB = 5u2, OC = 3u1 + u2
u = AB = OB-OA = u1 + 2u2,
v = AC = OC-OA = 4u1 -2u2
w = BC = OC-OB = 3u1 + 4u2
u*v = (u1+2u2)*(4u1-2u2) = 4./u1/2 -2.(u1*u2) + 8.(u2*u1) -4./u2/
2 = 0
Luego en A el ángulo es de 90º -> es rectángulo.
310
Por distancias: /u/2 = (u1+2u2)*(u1+2u2) =
= /u1/2 + 4./u2/
2 = 1 + 4 = 5
/v/2 = (4u1-2u2)*(4u1-2u2) = 16./u1/
2 +4./u2/
2 = 16 + 4 = 20
/w/2 = (3u1+4u2)*(3u1+4u2) = 9./u1/
2 +16./u2/
2 = 9 + 16 = 25
Vemos que: /w/2 = /u/
2 + /v/
2 --> Sí es rectángulo.
22.- Vectorialmente y utilizando distancias, comprueba si los puntos
A(0; 4), B(0; 8), C(6; 5) forman triángulo isósceles (Base ortonormal).
Res.:
OA = 4u2, OB = 8u2, OC = 6u1+5u2
u = AB = OB-OA = 4u2,
v = AC = OC-OA = 6u1+u2
w = BC = OC-OB = 6u1-3u2
Concluimos que No es isósceles, pues las distancias son las tres
distintas.
23.- En base ortonormal, determina las coordenadas del baricentro del
triángulo ABC, siendo A(0; 4), B(2; 6), C(8; 0).
Res.: Obtengo G(10
3 ;10
3 )
---------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
311
De Trigonometría
1.- Sabiendo que cos(g) = -1/3, Calcula las restantes r.t., estando g en el
2º cuadrante.
Res.: sen(g) = √8
2 , tan(g) = -√8 , cot(g) = -
1
√8
sec(g) = -3 , cose(g) = 3
√8
2.- Sabemos que tan(g) = 12/5, estando g en el tercer cuadrante. Calcula
las restantes r.t.
Res.: sen(g) = -12
13 , cos(g) = -
5
13 , cota(g) =
5
12
sec(g) = −13
12 , cose(g) = -
13
5
3.- Expresa sen(3g) en función de sen(g)
Res.:
sen(3g) = sen(2g+g) = sen(2g).cos(g) + sen(g).cos(2g) =
= cos(g).[2.sen(g).cos(g)] + sen(g).[cos2(g)-sen
2(g)] =
= 2.sen(g).cos2(g) + sen(g).cos
2(g) –sen
3(g) =
= 3.sen(g).(1-sen2(g)) – sen
3(g) = 3.sen(g) – 4.sen
3(g)
4.- Para cualquier valor de g, demuestra que se cumple
sen(3g) = sen(g).[3cos2(g) – sen
2(g)]
312
Res.:
sen(3g) = sen(2g+g) = sen(2g).cos(g) + sen(g).cos(2g) =
= cos(g).[2.sen(g).cos(g)] + sen(g).[cos2(g)-sen
2(g)] =
= 2.sen(g).cos2(g) + sen(g).cos
2(g) – sen(g).sen
2(g) =
= sen(g).[3.cos2(g) –sen
2(g)]
5.- Si tan(𝑔
2) = 𝑡 , Determina la expresión de sen(g) y cos(g)
Res.: (Recuerda: tan = sen/cos, sec2 = 1+tan
2 ,
sec = 1/cos -> cos2 = 1/(1+tan
2 ) )
sen(g) = sen(2.g/2) = 2.sen(g/2).cos(g/2) =
= 2.√1 − cos2 (𝑔
2) . cos (
𝑔
2) = 2.
1
√1+tan2(𝑔
2). √1 −
1
1+tan (𝑔
2) =
= 2. 1
√1+tan2(𝑔
2) . √
tan2(𝑔
2)
1+tan2(𝑔
2) = 2.
tan (𝑔
2)
1+tan2(𝑔
2) =
2𝑡
1+𝑡2
cos(g) = cos(2.g/2) = cos2(g/2) – sen
2(g/2) =
= cos2(g/2) –[1 –cos
2(g/2)] = 2.cos
2(g/2) -1 =
2
1+tan2(𝑔
2) − 1 =
= 2−(1+𝑡2)
1+𝑡2 =
1−𝑡2
1+𝑡2
6.- Resuelve: sen(x).cos(x) = 1/2
Res.: sen(x).√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =1
2 ; Hago y = sen(x),
y2.(1-y
2) = 1/4 , -y
4 + y
2 -1/4 = 0,
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
313
Resuelvo: 4z2 – 4z + 1 = 0, donde z = y
2
z = 4±√16−16
8=
±1
2 -> {
𝑦1 = √2
2
𝑦1 = √−1
2 𝑛𝑜 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
y = √2
2→ {
𝑠𝑒𝑛 (𝜋
4+ 𝑘. 2𝜋)
𝑠𝑒𝑛 (7𝜋
4+ 𝑘. 2𝜋)
, k = 0, 1, …
7.- Resuelve: sen(2x) = cos(x)
Res.: 2.sen(x).cos(x) = cos(x) ->
= cos(x).[2.sen(x) – 1] = 0 -> {
cos(𝑥) = 0ó
𝑠𝑒𝑛(𝑥) =1
2
Nos lleva a: x = {
𝜋
2+ 𝑘. 2𝜋
3𝜋
2+ 𝑘. 2𝜋
, ó {
𝜋
6+ 𝑘. 2𝜋
5𝜋
6+ 𝑘. 2𝜋
,
k = 0,1,…
8.- Resuelve el sistema: {𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 + cos(𝑦)2 =
3
4
cos (𝑥)2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑦)2 = 1
4
, soluciones en el
primer cuadrante.
Res.: Llegamos al sistema
{𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =
1
4
𝑠𝑒𝑛2(𝑦) =1
2 -> x = 30º , y = 45º
314
9.- Resuelve {cos(𝑥 + 𝑦) =
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) =1
2
, soluciones en primer cuadrante.
Res.: Es inmediato que {𝑥 + 𝑦 =
𝜋
3+ 𝑘. 2𝜋
𝑥 − 𝑦 = 𝜋
6+ 𝑘. 2𝜋
-> en el primer c. :
x = 45º , y = 15º
10.- Tengo un triángulo cuyos lados miden a = 13, b = 14, c = 15 ,
metros. Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Sol.: Por los conocimientos de trigonometría sabemos que:
Teorema de los senos: 𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝐴)=
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵)=
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
Teorema del coseno: a2 = b
2+c
2-2.bc.cos(A)
Radio de la C. circuns.: R = 𝑎
2.𝑠𝑒𝑛(𝐴)
cos(A) = −𝑎2+𝑏2+𝑐2
2𝑏𝑐 =
−132+142+152
2.14.15= 0,60, --> sen(A) = 0,80
R = 13
2.0,80= 8,125 𝑚.
11.- En un triángulo el lado b es doble que el lado c, y el ángulo
A = 60º. Calcula el valor de los otros dos ángulos.
Sol.: cos(A) = 𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐 -->
1
2=
4𝑐2+𝑐2−𝑎2
4𝑐2 ,
4c2 = 10c
2 -2a
2 --> 2a
2 = 6c
2 , a
2 =3c
2 ,
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
315
cos(C) = 𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏=
2𝑐2+4𝑐2
4𝑎𝑐=
6𝑐
4𝑎=
3𝑐
2𝑎=
3𝑐
2.𝑐.√3=
3.√3
6=
√3
2 ,
de donde: C = 30º , -> B = 90º
12.- Para un triángulo cualquiera, comprueba que su área cumple:
S = 𝑃.𝑟
2 , donde r es el radio de la circunferencia inscrita, P es su
perímetro.
Sol.: Considero tres triángulos cuya altura es r
S = 1/2./AB/.r + 1/2./BC/.r + 1/2./CA/.r = 1/2.[/AB/ + … ].r = 𝑃.𝑟
2
13.- En un triángulo sabemos que a = 3 m, A = 60º. Calcula el radio de
la circunferencia circunscrita.
Sol.: R = 𝑎
2.𝑠𝑒𝑛(𝐴) --> R = √3 m
14.- Calcula la altura H en cada una de las figuras:
Observa las figuras
316
Sol.: tan(g) = 𝐻
85,50 , Llamo x = /BC/ y opero:
{tan(𝑔2) =
𝐻
𝑥
tan(𝑔1) = 𝐻
4+𝑥
; de aquí despejo x y H.
15.- Calcula la altura del árbol, y la distancia AB de la segunda figura:
De PROBLEMAS métricos en el Plano
1.- Determina la ecuación de la recta paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante y que pase por Q(3, 5)
Res.: r: x + y -8 = 0
2.- Determina la recta que es ortogonal al vector v = (3, -2) y pasa por
Q(-4,3)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
317
Res.: 3x -2y + 18 = 0
3.- Determina la ecuación de cada una de las medianas del triángulo de
vértices: A(0, 8), B(6, 0), C(-2, -2)
Res.: Por A: 𝑥
2=
𝑦−8
−9 , Por B:
𝑥−6
−7=
𝑦
3 , Por C:
𝑥+2
5=
𝑦+2
6
4.- La mediatriz del segmento AB tiene ecuación:
r: 4x -3y -12 = 0, y las coordenadas de A(1, 0).
Determina el punto B
Sol.: La perpendicular a r pasando por A es:
s: 3x +4y -3 = 0
El punto M = r∩ 𝑠: M(57
25, −
24
25)
d(M, B) = d(M, A) -> B(89
25,−48
25)
5.- Un triángulo isósceles tiene el vértice A en la recta r: x + 2y -15 = 0,
y los otros dos son: B(-1, 3), C(3, -3). AB y AC son sus lados iguales.
Calcula las coordenadas de A y las ecuaciones de sus tres alturas.
Sol.: v = BC = (4, -6); punto medio de BC: M1(1, 0)
Altura por A: m = -3/2, r1: 2x -3y = 2
Altura por B: ….
318
Altura por C: ….
6.- Por el punto P(2, 6) trazo las rectas r1, r2 perpendiculares a la
bisectriz del primero y del segundo cuadrantes, respectivamente.
a) Determina sus ecuaciones
b) Determina los otros dos vértices del triángulo que determinan las
rectas r1 y r2 con la recta
r: 3x -13y = 8
Res.: r1: x +y -8 = 0, r2: x –y + 4 = 0
Vértices: A = P, B(7, 1), C(-6, 2)
7.- Determina el ángulo formado por
r: x -2y +4 = 0, s: 3x –y -1 = 0
Fórmula: Si m1, m2 son las pendientes de r1, r2, el ángulo (el menor) g
determinado por r1 y r2 verifica:
tan(g) = 𝑚1−𝑚2
1+𝑚1.𝑚2
Res.: m1 = 1/2 , m2 = 3 , tan(g) = 3−
1
2
1+3
2
= ⋯ = 1
8.- Determina la ecuación de r que pasa por
Q(2, -3) y forma ángulo g = 45º con la recta s: 3x -4y +7 = 0
Res.: r -> m = 3/4; llamo m’ la pendiente de r
En nuestro caso: 1 = tan(45º) =
3
4−𝑚′
1+3
4.𝑚′
->
m’ = -1/7
r: x +7y +19 = 0
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
319
9.- Determina las coordenadas del punto simétrico del origen (0, 0)
respecto de la recta
r: 4x +3y -50 = 0
Res.: Recta ortogonal a r por el origen:
s:3x-4y=0
La recta r corta a s ortogonalmente en el punto medio, sea M, del
segmento OQ. Obtengo:
M(8, 6), Punto pedido: Q(16, 12)
10.- Determina el valor de ‘a’ para que las dos rectas sean paralelas:
r: ax +y = 12, s: 4x -3y = a+1
Calcula su distancia
Res.: Pendientes: m1 = -a, m2 = 4/3
m1 = m2 -> -a = 4/3, a = -4/3
d(r, s) = 107/5
11.- Determina el punto M corte de r: 3x -5y = 21 con la perpendicular
‘s’ a ‘r’ por Q(-1, 2). Calcula la distancia d(M, P) donde P es el corte de
s con el eje ox.
Res.: m = 3/5. La perpendicular por Q es:
s: 5x +3y = 1
El punto M = r∩ 𝑠: M(2, -3)
El punto de corte r∩ 𝑜𝑥: P(7, 0).
Distancia: d( , ) = √34
12.- Halla las ecuaciones de las rectas bisectrices de los ángulos
formados por las rectas
320
r: 3x-4y+1 = 0, s: 5x+12y-7 = 0
Sol.: |3𝑥−4𝑦+1|
√25=
|5𝑥+12𝑦−7|
√169 -->
{13. (3𝑥 − 4𝑦 + 1) = 5. (5𝑥 + 12𝑦 − 7)
13. (3𝑥 − 4𝑦 + 1) = −5. (5𝑥 + 12𝑦 − 7) -->
{𝑟1: 7𝑥 − 56𝑦 + 24 = 0𝑟2: 32𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0
----------------
De la CIRCUNFERENCIA:
1.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(3, -2) y radio
r = 3.
Res.: (x-3)2 + (y+2)
2 = 9
2.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(1, 2) y que pasa
por el punto Q(-1, -2)
Res.: (x-1)2 + (y-2)
2 = r
2
(-1-1)2 + (-2-2)
2 = r
2 --> r
2 = 20
3.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(3, 2) y que es
tangente con la recta
s: 3x+4y+2 = 0
Res.: radio = d(C, s) = … = 19
5
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
321
4.- Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres
puntos: A(1, 0), B(3, -2), C(1, -4).
Sol.: Dos formas. Primera:
Obtengo la mediatriz r1 del segmento AB, r2 la mediatriz del segmento
AC. El punto P = r1∩r2 es el centro, r = d(P, A).
Resulta: C: x2 + y
2 -2x +4y +1 = 0
Segunda: La ecuación general de la circunferencia es
C: x2 + y
2 + Dx + Ey + F = 0; Sustituyendo los puntos obtengo:
{1 + 0 + 𝐷 + 0 + 𝐹 = 09 + 4 + 3𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 01 + 16 + 𝐷 − 4𝐸 + 𝐹 = 0
-> Resuelta:
D = -2, E = 4, F = 1
Resulta:
C: x2 + y
2 -2x +4y +1 = 0
5.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por
A(4, -1), B(-1, -2), y cuyo centro está en la recta s: x+y-2 = 0
Res.: Obtengo la mediatriz r1 del segmento AB. El centro es el punto
P = r1^s. (Intersección de las dos rectas)
Resulta: C(1, 1), radio = d(C, A) = √13
C: (x-1)2 + (y-1)
2 = 13
6.- Analiza la posición relativa entre la recta s: 2x-y+3 = 0 y la
circunferencia
x2+y
2-3x-4y+3=0
322
Res.: Obtengo los puntos de corte, si los tiene
{2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 -> Son secantes:
P(-1/5, 13/5), Q(0, 3)
7.- Determinar el valor de ‘a’ para que la recta s: x-y = a, y la
circunferencia
C: x2+y
2-2y-1=0
Res.: {𝑥 − 𝑦 = 𝑎
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 − 1 = 0 -> a = 1, a = -3
8.- Calcula la potencia de los puntos A(1, -2), B(3, 0) respecto de la
circunferencia
x2+y
2-2x+3y-18 = 0
¿Qué posición ocupan?
Sol.: Fórmula: Si P(x0, y0),
Pot(P) = x02 + y0
2 + Dx0 + Ey0 + F
Pot(A) = 1+4-2-6-18 = -21 -> Es interior
Pot(B) = 9+0-6+0-18 = -15 -> Es interior
9.- Calcula el l.g. de los puntos que tienen igual potencia respecto de
C1: x2+y
2-3x+2y+1 = 0, C2: x
2+y
2+y-2 = 0
Res.: Si Q(x, y) es del l.g. ha de cumplir
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
323
x2+y
2-3x+2y+1 = x
2+y
2+y-2 , de donde el l. g. pedido: 3x-y-3 = 0
10.- Calcula el eje radical de las dos circunferencias:
C1: Centro C1(0, 1), radio: r1 = 2
C2: Centro C2(1, -1), radio: r2 = 3
Sol.: Sus ecuaciones, y siendo Q(x,y) un punto cualquiera del l.g. cuyos
puntos tienen igual potencia, nos lleva a
x2+y
2-2y-3 = x
2+y
2-2x+2y-7 --> eje r.: x -2y + 2 = 0
11.- Por un punto P exterior a la circunferencia C trazamos una secante
s que la corta en A y B. Sabemos que d(P, A) = 30 m, d(P, B) = 16 m, y
d(P, O) = 23, donde O es el centro de C. Calcula el radio r de C.
Sol.:
PA . PB = d2 – r
2 --> 30.16 = 23
2 – r
2 , r = 7
12.- Calcula la longitud del segmento de tangente entre P(2, -1) y el
punto de tangencia con
C: x2+y
2 +3x-2y-4 = 0
324
Sol.: Fórmula: d(P, M) = Pot(P)2 ,
Pot(P) 4+1+6+2-4 = 9 --> d(P, M) = 3
13.- Calcula el centro radical de las tres circunferencias:
C1: x2+y
2+2x-4y = 0
C2: x2+y
2-2x = 0
C3: x2+y
2+2x-6y-16 = 0
Sol.: Eje radical de:
C1 y C2: x
2+y
2+2x-4y = x
2+y
2-2x -> r1: x-y = 0
C1 y C3: x2+y
2+2x-4y = x
2+y
2+2x-6y-16 -> r2: x+8 = 0
Centro radical: {𝑥 − 𝑦 = 0𝑥 + 8 = 0
--> C(-8, -8)
14.- Determina la ecuación de cada una de las rectas t1, t2, tangentes a
C: x2+y
2-6x+10y-66 = 0, y que sean paralelas a la recta
s: 4x-3y+2 = 0
Sol.:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
325
Hallo el centro: (x-a)2 + (y-b)
2 = r
2
x2 -2ax + y
2 -2by + (a
2+b
2) = r
2 -> {
−2𝑎 = −6−2𝑏 = 10
𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = −66
de donde: a = 3, b = -5
9+25 –r2 = -66 --> r
2 = 100 , r = 10
Centro: O(3, -5)
Hallo ecuación de t’: De s tengo m = 4/3; para t’ será m’ = -3/4;
Obtengo
t’: 3x+4y+11 = 0
Calculo los puntos Q1, Q2:
{3𝑥 + 4𝑦 + 11 = 0
x2 + y2 − 6x + 10y − 66 = 0 --> Q1(5,
−13
5), Q2(11, -11)
Las rectas t1’ y t2’ son:
t1: (y+13
5) =
4
3. (𝑥 − 5) --> 20x -15y -139 = 0
t2: (y+11) = 4
3 . (𝑥 − 11) --> 4x -3y -77 = 0
15.- Sean las dos circunferencias
C1: x2+y
2-15 = 0, C2: 2x
2+2y
2-3x-8y-10 = 0
Hallar el punto Q que teniendo igual potencia respecto de C1 y C2 sea
equidistante de los ejes ox, oy.
Sol: Estará en el eje radical:
326
x2+y
2-15 = 2x
2+2y
2-3x-8y-10 --> s:3x+8y-22 = 0
Los puntos que equidistan de ox, oy son los puntos de las bisectrices: y
= x, y = -x, por tanto resuelvo:
{3𝑥 + 8𝑦 − 22 = 0
𝑦 = 𝑥 --> Q1(2, 2);
{3𝑥 + 8𝑦 − 22 = 0
𝑦 = −𝑥 --> Q2(
−22
5, 22
5)
16.- Sea una circunferencia C con centro O(5, 3) de la que sabemos que
es tangente con la recta s que pasa por A(0, 2) y forma ángulo g = 45º
con el eje ox. Determina la ecuación de C y el punto de tangencia.
Sol.: Hallo la ecuación de s: m = tan(45º) = 1
y-2 = x --> s: x –y +2 = 0
Hallo la ecuación de s’ ortogonal con s y pasando por A(0, 2):
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
327
m’ = -1, s’: y-3 = -(x-5), s’: x+y-8 = 0
Punto común de s y s’: {𝑥 − 𝑦 + 2 = 0𝑥 + 𝑦 − 8 = 0
--> M(3, 5)
Radio: OM = (-2, 2), r = /OM/ = √8 = 2. √2
Ecuación de C: (x-5)2 +(y-3)
2 = 8
---------------
De CÓNICAS:
1.- Determina la ecuación canónica de la Elipse en la cual:
a = 25, c = 7
Sol.: Sabemos que a2 = b
2 + c
2
b2 = a
2 – c
2 -> b = 24 -->
𝑥2
625+
𝑦2
576= 1
2.- Determina la ecuación canónica de la Elipse que pasa por P(8, -3),
Q(-6, 4). Calcula el valor de c y de la excentricidad e.
Sol.: 𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1; si pasa por P:
64
𝑎2+
9
𝑏2= 1 -->
64.b2 + 9.a
2 = a
2.b
2
Si pasa por Q: 36
𝑎2+16
𝑏2= 1 -> 36.b
2 + 16.a
2 = a
2.b
2
328
{64. b2 + 9. a2 = a2. b236. b2 + 16. a2 = a2. b2
-->
{64. b2 + 9. a2 = 36. b2 + 14. 𝑎2
36. b2 + 16. a2 = a2. b2-->
{28. b2 − 7. a2 = 0
36. b2 + 16. a2 = a2. b2 --> a
2 = 4.b
2 --> 36.b
2 + 64.b
2 = 4.b
4 ,
de donde: 100 = 4.b2 ,
b2 = 25 , b = 5, a = 10
Ecuación: 𝑥2
100+𝑦2
25= 1 ; c = 5.√3 ; e =
𝑐
𝑎=
√3
2
3.- Determina la ecuación del l.g. de todos los puntos cuya suma de
distancias a F(0, 2) y F’(0, -2) es igual a 5.
Sol.: Si Q(x, y) es un punto del l.g. ha de cumplir
d(Q, F) + d(Q, F’) = 5
√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + √𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 5 -->
√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 5 − √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 , elevando al
cuadrado y simplificando:
4y -25 = -10. √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 ;
volviendo a elevar y simplificando:
100x2 + 36y
2 -225 = 0 -->
𝑥2
225
100
+ 𝑦2
225
36
= 1 --> 𝑥2
9
4
+ 𝑦2
25
4
= 1;
a = 3/2, b = 5/2
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
329
4.- Determina la ecuación del l.g. de los puntos Q(x, y) tales que la
razón entre la distancia al punto P(3, 0) y la distancia a la recta
r: x-12 = 0 es igual a 1/2.
Sol.: d(P, Q) = √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 , d(Q, r) = |𝑥−12|
√1 ;
Imponemos la condición: √(𝑥−3)2+𝑦2
|𝑥−12|=
1
2 , de donde
4.[(x-3)2 + y
2] = /x-12/ --> 4𝑥2 − 24𝑥 + 36 + 4𝑦2 = 𝑥2 − 24𝑥 + 144
3x2 +4y
2 -108 = 0 -->
𝑥2
108
3
+ 𝑦2
108
4
= 1 , 𝒙𝟐
𝟑𝟔+
𝒚𝟐
𝟐𝟕= 𝟏
5.- Halla la ecuación reducida de la Elipse con
excentricidad e = √2
2 y que pasa por A(3, 2).
Sol.: e = c/a --> 2c = √2 . 𝑎 --> c2 = 1/2.a
2 , por tanto
b2 = a
2 –a
2/2 , b
2 = 1/2.a
2
b2.x
2 + a
2.y
2 = a
2.b
2 --> a
2.x
2 +2.a
2.y
2 = a
4
Si pasa por A: 9.a2 + 8.a
2 = a
4 -> 17 = a
2 , b
2 = 17/2; -->
17.x2 + 34.y
2 -289/2 = 0, 34.x
2 + 68.y
2 – 289 = 0
6.- Determina los ejes de la Elipse
9x2 +25y
2 -50y = 0
Sol.: b2.x
2 + a
2.(y-y0)
2 – k = 0
330
Operando e igualando:
{
𝑏2 = 9𝑎2 = 25
−𝑎2. 2𝑦0 = −50
𝑎2. 𝑦02 − 𝑘 = 0
--> b = 3, a=5,
2y0 = 2 --> y0 = 1,
9.x2 + 25.(y-1)
2 – k = 0, k = 25
Ejes son las rectas: x = 0 (eje oy), y = 1
Ecuación canónica: 𝑥2
25
9
+ (𝑦−1)2
1 = 1, --> a = 5/3, b = 1
7.- Determina los focos, los vértices y la excentricidad de la Elipse
4x2 + 3y
2 -8x +12y +15 = 0
Sol.: b2.(x-x0)
2 + a
2.(y-y0)
2 = 1
b2.[x
2-2x0.x+x0
2] + a
2.[y
2 -2y0.y +y0
2] = 1
igualando
{
𝑏2 = 4−𝑏2. 2𝑥0 = −8
𝑎2 = 3 −𝑎2. 2𝑦0 = 12
𝑏2. 𝑥02 + 𝑎2. 𝑦02 − 1 = 15
, de donde
b = 2, x0 = 1, a = √3 , y0 = -2,
y veamos si se cumple la última: 4 + 12-1 = 15
Por tanto: 4.(x-1)2 + 3.(y+2)
2 = 1
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
331
(𝒙−𝟏)𝟐
𝟏/𝟒 +
(𝒚+𝟐)𝟐
𝟏/𝟑= 𝟏 , a =
√2
2 , 𝑏 =
√3
3
Valor de c: Observa que b2 > a
2, por lo que el semieje mayor es b.
b2 = a
2 + c
2 , 1/3 = 1/4 + c
2,
c2 = 1/12, c =
√3
6, e = c/b =
3
6=
1
2
Ejes: x = 1, y = -2
Vértices y focos:
Cortes: {𝑥 = 1
4x2 + 3y2 − 8x + 12y + 15 = 0 - >
3y2 +12y +11 = 0 - > y = {
−6+√3
3
−6−√3
3
, vértices
B1(1, −6+√3
3), B2(1,
−6−√3
3 )
Por otro lado: {𝑦 = −2
4x2 + 3y2 − 8x + 12y + 15 = 0 -->
332
4x2 -8x + 3 = 0, x = {
3
21
2
-> A1(1
2, −2), 𝐴2(
3
2 , −2)
Focos: c = √3
6 , -2+c = -2 +
√3
6 =
−12+√3
6
-2 –c = -2 - -√3
6 =
−12−√3
6
F(1, −12+√3
6) , F’(1,
−12−√3
6 )
8.- Calcula la longitud de la cuerda que que determina la recta
s: -x+2y-3 = 0 con la Elipse 2x2 +y
2 = 6
Sol.: Basta obtener los puntos de corte
{−𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0
2𝑥2 + 𝑦2 = 6 --> Q1(1, 2), Q2(
−5
2,2
3 )
De la HIPÉRBOLA
9.- Halla la ecuación reducida de la Hipérbola que pasa por
P(1, 2), Q(0, √2 )
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
333
Sol.: 𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1 , {
𝑃 → 1
𝑎2−
4
𝑏2= 1
𝑄 → 0
𝑎2−
2
𝑏2= 1
--> resolviendo obtengo
valores ‘a’ y ‘b’.
10.- determina la ecuación del l.g. de los puntos tales que la diferencia
entre sus distancias a los puntos F(-6, 0), F’(6, 0) sea igual a 8.
Sol.: Si Q(x, y) es cualquiera del l.g., tengo
√(𝑥 + 6)2 + 𝑦2 − √(𝑥 − 6)2 + 𝑦2 = 8 -->
√(𝑥 + 6)2 + 𝑦2 = 8 + √(𝑥 − 6)2 + 𝑦2 ; elevando al
cuadrado y simplificando
3x-8 = 2. √(𝑥 − 6)2 + 𝑦2 --> elevando de nuevo
20.x2 – 16.y
2 = 16.20, 5x
2 -4y
2 = 80,
11.- Halla las ecuaciones de los ejes de la Hipérbola:
9x2 -4y
2 + 18x + 8y -31 = 0
Sol.:
b2.(x-x0)
2 –a
2.(y-y0)
2 + k = 0; operando e
igualando:
{
𝑏2 = 9−𝑏2. 2𝑥0 = 18
−𝑎2 = −4 +𝑎2. 2𝑦0 = 8
𝑏2. 𝑥02 − 𝑎2. 𝑦02 + 𝑘 = −31
--> b = 3, a = 2
-18.x0 = 18 --> x0 = -1, 8.y0 = 8 --> y0 = 1
334
9.1 -4.1 + k = -31 --> k = -36
Queda: 9.(x+1)2 – 4.(y-1)
2 -36 = 0
Ejes: x = -1, y = 1
Canónica: (𝒙+𝟏)𝟐
𝟒−
(𝒚−𝟏)𝟐
𝟗= 𝟏
12.- Halla el ángulo que forman las dos asíntotas de la Hipérbola:
25x2 – 9y
2 = 24.
Sol.: 25x2 – 9y
2 = 24 -->
𝑥2
24
25
− 𝑦2
24
9
= 1 ;
a = 2.√6
5 , 𝑏 =
2.√6
3
Asíntotas: Fórmula: {𝑦 =
𝑏
𝑎. 𝑥
𝑦 = −𝑏
𝑎. 𝑥
, --> {𝑦 =
5
3 . 𝑥
𝑦 = −5
3 . 𝑥
Angulo formado por las asíntotas: {5𝑥 − 3𝑦 = 05𝑥 + 3𝑦 = 0
;
Vectores directores: v1 = (3, 5), v2 = (3, -5)
Cos(v1^v2) = 𝑣1.𝑣2
|𝑣1|.|𝑣2|=
|9−25|
√34.√34 =
16
34=
8
17 = 0,4706
13.- Calcula los puntos comunes a la circunferencia: x2 + y
2 = 41 y la
Hipérbola: x.y = 20
Sol.: {𝑦 =
20
𝑥
𝑥2 + 𝑦2 = 41 --> 𝑥2 +
400
𝑥2= 41 ;
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
335
x4 -41x
2 + 400 = 0 ; hago z = x
2,
z2 -41z + 400 = 0 --> {
𝑧 = 41+9
2= 25
𝑧 = 41−9
2= 16
Puntos corte:
P1(4, 5), P2(-4, -5), P3(5, 4), P5(-5, -4)
14.- Determina la ecuación de la Hipérbola uno de cuyos focos es
F(6, 0) y que la suma de sus semiejes cumple: a + b = 8 ( Con centro de
simetría (0, 0) )
Sol.: c = 6; Fórmula: c2 = a
2 + b
2 -->
{𝑎 + 𝑏 = 836 = 𝑎2 + 𝑏2
de donde: {𝑎 = 4 + √2
𝑏 = 4 − √2 , {𝑎 = 4 − √2
𝑏 = 4 + √2
15.- Calcula los focos, los vértices, la excentricidad, de la Hipérbola:
25x2 - 144y
2 - 50x - 576y - 4151 = 0
Sol.: 25(x-x0)2 -144(y-y0)
2 + k = 0
25.[x2-2x0.x+x0
2] -144.[y
2-2y0.y +y0
2] + k = 0
Identificando: {
−25.2𝑥0 = −50144.2𝑦0 = −576
25. 𝑥02 − 144. 𝑦02 + 𝑘 = −4151 --> -2x0 = -2,
x0 = 1, 2y0 = -4 --> y0 = -2; 25 -576 + k = -4151 --> k = -3600
Queda: 25(x-1)2 -144(y+2)
2 = 3600
336
(𝑥−1)2
3600
25
− (𝑦+2)2
3600
144
= 1 --> (𝒙−𝟏)𝟐
𝟏𝟒𝟒−
(𝒚+𝟐)𝟐
𝟐𝟓= 𝟏
--------------
De la PARÁBOLA
16.- Halla la ecuación del l.g. de los puntos Q(x, y) que equidistan de la
recta r: x+4 = 0 y del punto F(3, 0).
Sol.: d(Q, r) = d(Q, F) --> √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = |𝑥+4|
√1
Elevando al cuadrado: (x-3)2 + y
2 = x
2 +8x +16,
-6x +9 + y2 = 8x + 16 --> y
2 -14x -7 = 0
Es una parábola: (y-y0)2 -14.(x-x0) = 0, donde (x0, y0) es el vértice.
y2 -2y0.y + y0
2 -14x +14x0 = 0
{2𝑦0 = 0 14𝑥0 = −7
--> y0 = 0, x0 = -1/2, Vértice: V(-1/2, 0)
Parámetro: Fórmula: y2 = 2p.(x-x0)
y2 = 2p.x -2p.x0 -> {
2𝑝 = 14 −2𝑝. 𝑥0 = −7
-- > p = 7, x0 = 1/2
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
337
Parámetro p = 7, p/2 = 7/2, −1
2+7
2 =
6
2, F(3, 0)
17.- Determina la directriz y el eje, y las coordenadas del vértice y del
foco, de la parábola:
a) y = 2x2 -8x +5, b) x =
1
2. 𝑦2 + 𝑦 +
3
2
Sol.: a) Fórmula: y = 2.(x-x0)2 + k
2.(x2 -2x0.x +x0
2)+k -> {
−4𝑥0 = −82. 𝑥02 + 𝑘 = 5
-->
x0 = 2,
8 +k = 5 -> k = -3; por tanto: y+3 = 2.(x-2)2, (x-2)
2 =
1
2. (y+3)
Vértice: V(2, -3), 2p = 1/2 -> p =1/4, p/2 = 1/8
Foco: -3+1/8 = -23/4, F(2, −23
4 )
Eje focal: x = 2
Directriz: -3-1/4 = -13/4 --> y = −13
4
b)Resultados: x = 1
2. 𝑦2 + 𝑦 +
3
2 --> 2x = y
2 +2y +3
338
(y-y0)2 = 2(x-x0) --> {
−2𝑦0 = 2
𝑦02 + 2𝑥0 = 3
y0 = -1, 1 +2x0 = 3 --> 2x0 = 2, x0 = 1,
y por tanto: (y+1)2 = 2(x-1),
V(1, -1), p = 1, p/2 = 1/2, F(3
2 , −1) ,
Eje de simetría: y = -1,
Directriz: x = 0
18.- Calcula el radio-vector del punto Q de la parábola x2 = 4y cuya
abscisa es x = -4.
Res.: Foco: F(0, 1); Punto Q(-4, 4),
d(Q,F) = … = 5
19.- Determina los puntos comunes a la recta
r: x-2y-7 = 0 y la parábola: x = y2 +4y+4
Res.: {𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0
𝑥 = 𝑦2 + 4𝑦 + 4 --> P1(9, 1), P2(1, -3)
20.- Determina el valor de ‘a’ para que la recta r: 4x-3y+a = 0 sea
tangente a la parábola 3y = 3x2 +10x+4
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
339
Res: El punto de corte ha de ser doble:
{4𝑥 − 3𝑦 + 𝑎 = 0
3𝑦 = 3𝑥2 + 10𝑥 + 4 --> 4x+a = 3𝑥2 + 10𝑥 + 4,
3x2 +6x +(4-a) = 0 ->Discriminante: D=36 -13(4-a)
D = 0 --> a = 1
21.- Calcula la longitud de la cuerda que determinan la circunferencia:
x2 +y
2 = 13 y la parábola: y
2 = 3x + 3
Sol.: {𝑥2 + 𝑦2 = 13
𝑦2 = 3𝑥 + 3 --> x
2 +3x +3 = 13,
x2 +3x -10 = 0, -> P(2, 3), Q(2, -3), d(P, Q)=6
-----------
De Números complejos
1.- Sea el complejo: z1 = cos(g1) + sen(g1).i
a) Comprueba que /z1/ = 1.
b) Comprueba que, para cualquier otro complejo z = (r, g) se
cumple: z.z1 = (r, g+g1), equivalente a aplicar a z el giro de amplitud
g1.
Res.: a) /z1/ = √cos(𝑔1)2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑔1)2 = 1 -- > z1= (1, g1)
b) /z.z1/ = r.1 = r ; arg(z.z1) = g+g1
340
2.- En un hexágono regular con centro en (0, 0) sabemos que uno de sus
vértices queda determinado por z = √3 + 𝑖 . Calcula los restantes
vértices.
Sol.:
Llamo z1 = √3 + 𝑖 ; /z1/ = √4 = 2, por tanto el radio de la
circunferencia circunscrita es R = 2
g = arcTan(1
√3 ) = arcTan(
√3
3 ) = 30º
Por otro lado: 2𝜋
6 = 60º
zk = 2g+k.60º , k = 2, …,6
Otra forma: zk = z1.160º , k = 2, …,6
Resultado: z2 = 2i, z3 = -√3 + 𝑖 , z4 = -√3 − 𝑖,
z5 = -2i, z6 = √3 − 𝑖
-------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
341
COLECCIÓN de problemas con resultado:
1.-
Dadas dos rectas estudia su posición relativa
Datos: 2x -3y +2 = 0, -2.x +3.y -3 = 0
Res.: Son paralelas
-------------------
2.-
Dadas tres rectas determina los vértices del triángulo.
Datos: 1.x +3y -1 = 0, 3.x -2.y +4 = 0, 2.x -1.y +3 = 0
Res.: Vértices:
(1,272; -9,09)
(1,428; -0,142)
(3,5; 7,5)
----------------------
3.-
Dadas cuatro rectas, calcula sus puntos de corte dos a dos.
Datos: 2x +1.y +2 = 0, -2.x +3.y -3 = 0
1.x -2.y +3 = 0, 3.x +2.y -5 = 0
Res.: Vértices:
(-0,375; -1,25), (-0,2; -1,6), (1; -4), (0,6; 1,4), (-1,615; -7,692), (-1,181;
0,909)
----------------
4.-
Halla la ecuación general de la recta r que pasa por dos puntos P y Q.
Datos: (2; -3) , (3; 1)
Resultado:
342
(x -2)/1 = (y - -3)/4
4x +-1y +-11 = 0
-----------------------------
5.-
Halla la ecuación general de la recta r que pase por P y admita vector
director v
Datos: (3; 1) , (2; -3)
Resultado:
(x -3)/2 = (y - 1)/-3
-3.x +-2.y +11 = 0
------------------------------
6.-
Halla dos puntos y vector director de la recta r dada por su ecuación
general.
Datos: 2x-3y+2=0
Resultado:
Puntos: (0;0,666), (2;2)
Vector: (2;1,333)
------------------------
7.-
Estudia la posición relativa de las dos rectas r = {P+t.v}, y
s: A.x + B.y + C = 0
Datos: Punto y vector:(2; 1) , (-2; 3)
Recta: 2.x-3.y-3 = 0
Resultado:
Vector de r1: (0; -1), (2; 0,333)
Vector de r2: W= (2; 1,333)
Posición ...: No son paralelas, se cortan
--------------------------
8.-
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
343
Halla la ecuación general de la recta que pasa por P y es paralela a la
recta r: A.x+B.y+C = 0
Datos: (2; 0) , -2x+3.y-4 = 0
Resultado:
Forma continua de r: (x -2)/2 = (y - 0)/1,333
Ecuación cartesiana de r: 1,333.x +-2.y +-2,666 = 0
---------------------------
9.-
Halla la ecuación general de la recta que pasa por P y es perpendicular a
la recta r: A.x+B.y+C = 0
Datos: (0; 3) , 2x+3y-3 = 0
Resultado:
Forma continua de r: (x -0)/-1,333 = (y - 3)/-2
Ecuación cartesiana de r:-2x +1,333y +-3,999 = 0
-------------------------
10.-
Calcula el punto común de las rectas r = {P+t.v}, s: A.x + B.y + C = 0
Datos: Punto y vector: (2; -1) , (3; 2)
Recta: 3x-2y-5 = 0
Resultado:
Vector de r: (0; -2,5), (2; 0,5)
Vector de s: W = (2; 3)
Punto corte: (0 ; -2,4)
------------------------
11.-
Dado el haz determinado por r1 y r2, en cartesianas, determina aquella
que pasa por P.
344
Datos:
Haz de rectas: (Ax+By+D) + k.(A'x+B'y+D') = 0
o bien: (A+k.A').x + (B+k.B').y + (D+k.D') = 0
Pasará por P(px(i)) si para algún valor de k se cumple
(A+k.A').px(1)+(B+k.B').px(2)+(D+k.D') = 0
o bien: (A.px(1) + B.px(2)+D) + (A'.px(1) +B'.px(2)+D').k = 0
de donde despejo k
Valor del parámetro k = …
Recta pedida:
s: -2.x 4.y -3 = 0
------------------------
12.-
Dado el haz determinado por r1 y r2, en cartesianas. Determina aquella
recta r del haz que corte ortogonalmente a la recta s . Datos en el orden
citados.
Datos: r1: 3.x+2.y-2 = 0, r2: 2.x+1.y+3 = 0, s: 1.x-1.y-2 = 0
Haz de rectas: (Ax+By+D) + k.(A'x+B'y+D') = 0
o bien: (A+k.A').x + (B+k.B').y + (D+k.D') = 0
Vector director de haz: V = (-(B+k.B') , A+k.A')
Vector director de s: A3.x + B3.y + C3=0 es W = (-b(3), a(3))
Serán ortogonales si lo son V y W, esto es: V*W = 0
r : r1 + k.r2 = 0, donde k = -1
Recta pedida: s: 1.x 1.y -5 = 0
------------------------
13.-
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
345
Distancia entre dos puntos.
Datos: (2; -3), (-3; 4)
Distancia = 8,602
------------------------
14.-
Distancia desde un punto a una recta
Datos: (2; -3), 3x-2y+4 = 0
Distancia = 4,43760156980183
----------------------
15.-
Distancia entre dos rectas
Datos: 2x-6y+1 = 0, -1.x+3y+2 = 0
Distancia = 0,79
----------------------
16.-
Halla la ecuación de r que pase por P y sea perpendicular a la bisectriz
del primer cuadrante.
Datos: (2; -2)
Resultado:
1.x +-1.y +-4 = 0
(x -2)/1 = (y - -2)/1
------------------------------
17.-
Determina las rectas soporte de los lados del triángulo con vértices en
A, B, C.
346
Datos: Vértices:(1; 0), (-2; 3), (2; -1)
Recta AB: 3x +3y +-3 = 0
Recta AC: -1x +-1y +1 = 0
Recta BC: -4x +-4y +4 = 0
-----------------------
18.-
Dado el triángulo con vértices en A, B, C, calcula la ecuación de la
mediana que pasa por A.
Datos: Vértices:(2; -3), (-1; 2), (3; 4)
Mediana por vértice A: 6x +1y +-9 = 0
-------------------------
19.-
Dado el triángulo ABC, calcula su Baricentro (punto común a las tres
medianas)
Datos: Vértices:(2; 1), (-2; 0), (0; 3)
Mediana r por vértice A: 0,5x +3y +-4 = 0
Mediana s por vértice B: 1x +1y +-3 = 0
Baricentro: (2,5; 1)
-----------------------
20.-
Dado el triángulo ABC, calcula las mediatrices de los segmentos AB y
AC, y el Circuncentro. Obtener la Ecuación de la circunferencia
circunscrita.
Datos: Vértices: (1; 0), (3; 2), (2; 4)
Mediatriz r1 del AB: -2.x +-2.y +6 = 0
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
347
Mediatriz r2 del AC: 0.x +-3.y +7,5 = 0
Circuncentro: C(0,5; 2,5)
Radio: 2,549
Circun. circunscrita:
x^2 + y^2 + -1.x + -5.y + 2,599 = 0
---------------------------
21
Dado el triángulo ABC, calcula su Ortocentro ( punto común a las tres
alturas).
Datos: Vértices: (-2; 0), (2; 1), (0; 3)
Altura r1 perpen. al lado AB: -4.x +-1.y +3 = 0
Altura r2 perpen. al lado AC: -2.x +-3.y +7 = 0
Ortocentro: (0,2; 2,2)
---------------------------
22.-
Dado el triángulo ABC, calcula dos bisectrices y el Incentro (punto
común de sus bisectrices). Obtener la Ecuación de la circunferencia
inscrita.
Datos: Vértices: (-2; 0), (3; 1), (1; 3)
Ecuación de r1 = AB: 1.x +-5.y +2 = 0
Ecuación de r2 = AC: 3.x +-3.y +6 = 0
Bisectrices vértice A:
-11,054.x + -5,916.y + -22,108 = 0
19,539.x + -36,51.y + 39,079 = 0
Bisectriz Seleccionada, vértice A:
-11,054.x -5,916.y -22,108 = 0
BISECTRIZ vértice B:
348
Ecuación de r1 = BA: -1.x + 5.y + -2 = 0
Ecuación de r2 = BC: 2.x + 2.y + -8 = 0
Bisectrices vértice B:
-13,026.x + 3,944.y + 35,135 = 0
7,369.x + 24,34.y + -46,449 = 0
Bisectriz Seleccionada, vértice B:
-13,026.x + 3,944.y + 35,135 = 0
Incentro: I(1; -5,586)
Radio: 6,065
Circun. inscrita:
x^2 + y^2 + -2.x + 11,172.y + -4,58 = 0
-----------------
23.-
Calcula por el método vectorial el Baricentro de ABC
Vértices:
(-2; -2), (3; 0), (1; 3)
Planteo vectorialmente:
OG = OM + t.zv = OM' + k.zw
t.zv -k.zw = (OM' -OM)
Resuelvo el sistema
Valores: t = 0,357142857142857 ; k = 0,357142857142857
Baricentro G:
G(0,678; 0,428)
-------------------------
24.-
Calcula por el método vectorial el Circuncentro de ABC
Vértices:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
349
(-2; 1), (3; -1), (1; 3)
Calcula el punto medio de AB y de AC, y los vectores
y vector ortogonal a AB y a AC.
Planteo vectorialmente:
OC = OM + t.tv = OM' + k.tw
t.tv -k.tw = (OM' -OM)
Resuelvo el sistema
Valores: t = -0,0625 , k = 0,5625
Circuncentro C:
False
-------------------------
25.-
Bisectrices de los ángulos formados por dos rectas
Datos: 2.x -3.y -2 = 0, -3.x +2.y +2 = 0
Recta r1: 2.x -3.y -2 = 0
Recta r2: -3.x + 2.y + 2 = 0
BISECTRICES de los dos ángulos determinados por r1, r2:
r: 18,027.x + -18,027.y + -14,422 = 0
s: -3,605.x + -3,605.y + -3,365 = 0
----------------------------
26.-
Calcula el Incentro de ABC
Datos: (-2; 0), (3; 1), (1; 4)
Obtengo: r1 -> AB, r2 -> AC, y la bisectriz r del áng. interior
Recta r1: 1x + -5y + 2 = 0
350
Recta r2: 4x + -3y + 8 = 0
Bisectriz r: 25,396.x -40,297.y + 50,792 = 0
Obtengo: s1 -> BA, s2 -> BC, y la bisectriz r del áng. interior
Recta s1 : -1x + 5y + -2 = 0
Recta s2 : 3x + 2y + -11 = 0
Bisectriz s: -18,902.x + 7,829.y + 48,878 = 0
Intersección de r y s:
Incentro I: I(4,204 ; 3,909)
----------------------
27.-
Calcula el Ortocentro de ABC: I(4,676 ; 1,894)
Altura que pasa por A: 2.x + -2.y + 4 = 0
Altura que pasa por B: -3.x + -3.y + 12 = 0
Ortocentro O: O(1; 3)
-----------------------
28.-
Obtendremos la intersección de las medianas r3 y r2, fig.1
Eje radical de C1 y C2:
Circunf. C1: x^2 + y^2 + 2x -3y + 2 = 0
Circunf. C2: x^2 + y^2 -3.x + 2.y -5 = 0
Eje radical r: 5.x + -5.y + 7 = 0
------------------------
29.-
Potencia de P respecto de la circ. C:
Datos: P(5; 7)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
351
Circunf. C: x^2 + y^2 + 2.x -3.y -5 = 0
Centro: C(-1; 1,5), Radio: 2,872
Valor de Pot(P; C) = 58,001616
------------------------
30.-
Eje radical de C1 y C2:
Datos:
Circunf. C1: x^2 + y^2 -2.x + 3.y -3 = 0
Circunf. C2: x^2 + y^2 + 3.x -4.y + 5= 0
Eje radical r: -5.x + 7.y + -8 = 0
------------------------
31.-
Centro radical de C1, C2, C3:
Datos:
Circunf. C1: x^2 + y^2 -2.x + 3y -5 = 0
Circunf. C2: x^2 + y^2 + x -2.y -3 = 0
Circunf. C3: x^2 + y^2 + 3.x -2.y + 2 = 0
Eje radical r1: -3.x + 5.y + -2 = 0
Eje radical r2: -5.x + 5.y + -7 = 0
Centro radical: CR(-2,5; -1,1)
-------------------------
32.-
Tangentes a C desde un punto P exterior:
Datos: Punto: (6; 8)
352
Circunf. C: x^2 + y^2 -2.x + 3.y -3 = 0
Centro y radio de C:
Valor de Pot(P; C) = 109
Obtengo la circunf. de radio R=Pot(P; C) y centro en P:
Ecuación de C': x^2 + y^2 + -12.x + -16.y + -11781 = 0
Obtengo el eje radical de C y C':
Eje radical de C y C', r: -10.x + -19.y + -11778 = 0
Corte de r con C:
No es posible
---------------------
33.-
Recta determinada por dos puntos:
Halla las ecuaciones paramétricas, y las ecuaciones cartesianas, de la
recta que pasa por los puntos P y Q.
Datos: (1; 0; 1) , (2; 3; -2)
Forma continua: (x -1)/1 = (y - 0)/3 = (z - 1)/-3
En cartesianas: 3x + -1y + -3 = 0
-3x + -1z + 4 = 0
34.-
Plano determinado por tres puntos:
Halla las ecuaciones paramétricas, y la ecuación general, del plano que
pasa por los tres puntos A, B, C.
Datos: (1; 0; 2) , (0; 2; -1) , (3; -1; 3)
Ecuación paramétrico-vectorial:
(x, y, z) = (1, 0, 2) + t.(-1, 2, -3) + s.(2, -1, 1)
Ecuación general: -1x + -5y + -3z + -7 = 0
---------------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
353
35.-
Calcula dos puntos y un vector director de r dada en cartesianas.
Halla dos puntos y un vector director de la recta r dada por dos
ecuaciones cartesianas.
Datos: x -2y + 3z + 4 = 0 , 2.x + 3.y + z -2 = 0
Puntos:
(0; -0,333), (2; -1,666),
Vector: (2; -1,333)
--------------------
36.-
Calcula tres puntos del plano m y una base del subespacio director.
Halla tres puntos del plano m y una base del subespacio director.
(m dado por su ecua. general)
Datos: 3.x –y + 2z -3 = 0
Puntos:
(0; 0; 1,5), (0; 0; 0), (1; 0; 0)
Vectores:
(0; 0; -1,5)
(1; 0; -1,5)
----------------------
37.-
Recta que pasa por P y es perpendicular al plano m:
Halla la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano m (dado por
su ecuaci. general).
Datos: (2; 0; -3) , 3.x -2.y + 1.z -5 = 0
Resultado:
Ecuación continua:
(x -0)/0 = (y - 0)/-4,98 = (z - 5)/0
354
Ecua. cartesianas: -4,98x + 0y + 0 = 0
0x + 0z + 0 = 0
---------------------
38.-
Plano que pase por P y contenga a r: Q + t.v
Halla el plano m que pase por P y contenga a la recta r1 dada por el
punto Q y el vector v.
Datos: (0; -1; 0), (2; 0; 1), (2; 3; 4)
Ecuación general: -1.x + 6.y + -4.z + 0 = 0
Vectores: (2; 3; 4)
(2; 1; 1)
--------------------
39.-
Recta determinada por dos puntos:
Halla las ecuaciones paramétricas, y las ecuaciones cartesianas, de la
recta que pasa por los puntos P y Q.
Datos: (0; 1; 2) , (-2; 0; 0)
Forma continua: (x -0)/-2 = (y - 1)/-1 = (z - 2)/-2
En cartesianas: -1x + 2y + -2 = 0
-2x + 2z + -4 = 0
----------------------
40.-
Plano determinado por tres puntos:
Halla las ecuaciones paramétricas, y la ecuación general, del plano que
pasa por los tres puntos A, B, C.
Datos: (0; -1; 0) , (1; 0; -1) , (1; 2; 3)
Ecuación paramétrico-vectorial:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
355
(x, y, z) = (0, -1, 0) + t.(1, 1, -1) + s.(1, 3, 3)
Ecuación general: 6x + -4y + 2z + 4 = 0
--------------------
41.-
Calcula dos puntos y un vector director de r dada
en cartesianas.
Halla dos puntos y un vector director de la recta r dada por dos
ecuaciones cartesianas.
Datos: 2.x -1y + z -2 = 0 , -3.x + 0.y + z + 3 = 0
Puntos:
P(1; 0; 0), Q(0; -5; -3),
Vector: v = PQ = (1, 5, 3)
----------------------
42.-
Halla tres puntos del plano m y una base del subespacio director. (m
dado por su ecua. general)
Datos: 2.x -3.y + 3.z -5 = 0
Puntos:
(0; 0; 1,66), (0; 0; 1), (2,5; 0; 0)
Vectores:
(0; 0; -0,66)
(2,5; 0; -1,66)
----------------------
43.-
Halla la ecuación del plano m que pase por P y sea perpendicular a la
recta r1 dada por sus ecuaciones cartesianas.
Datos: (0; -1; 1), 2.x -3.y + 1.z + 2 = 0, -3.x + 2.y + 1.z -5 = 0
Ecuación general: -1.x +1.y +-1.z +0,6 = 0
356
-----------------------------
44.-
Halla la recta r que pase por P y corte perpendicularmente a r1 =
{Q+t.v}. También un vector director de r.
Datos: (1; 0; -1), (0; 2; 1), (2; 3; 1)
Ecuaciones cartesianas de r: 4x + -5y + 7z + 3 = 0
2.x + 3.y + 1.z + -1 = 0
------------------------------
45.-
Halla la ecuación general del plano m que pase por P y sea paralelo al
plano m1 = {Q + <k1.v + k2.w>}.
Datos: (1; 0; 2), (0; 1; 0), (1; 2; -1), (0; 1; 3)
Ecuación general: 7.x + -3.y + 1.z + -9 = 0
------------------------------
46.-
Determina la ecuación del plano m que pase por P y sea perpendicular a
la bisectriz del primer octante.
Datos: (2; 1; -3)
Un Vector director de la bisecctriz: v(1, 1, 1)
Ecuación general: x + y + z + 0 = 0
----------------------
47.-
Dados r = {P + t.v} y m = {Q + <k.v1 + h.v2>}, con los valores que se
muestran,
determina el valor de c para el cual r es paralela a m
Datos: r: (1; 0; 2), (2; 1; c)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
357
m: (0; 1; 2), (1; 0; 1), (2; 3; 4)
Basta que se cumpla: v = k.v1 + h.v2
Obtenemos: c = 8/3
La recta yace sobre el plano si: OP = OQ + k.v1 + h.v2
Coprobamos que es imposible ya que resulta: h = -1/3 -> k = -4/3 y
k = 5/3, lo cual es contradictorio.
--------------------------
48.-
Dadas las rectas r = {P + k.v}, s = {Q + h.w}, con los valores que se
muestran,
determina el valor de c para el cual son coplanarias.
En ese caso calcula el punto común.
Datos: r:(1; 0; 2), vector:(2; 1; c)
Datos: s:(0; 1; 2), vector:
Cuando sean coplanarias se cortarán (salvo que sean paralelas)
Observa que no son paralelas)
Si M es punto común tengo: OM = OP + k.v = OQ + h.w
Resulta: c = -3/2, k = 4, h = 3
Punto común: M(9, 4, -4)
--------------------------
49.-
Distancia entre dos puntos:
Calcula la distancia entre los puntos A y B
Datos: (2; 0; 1) , (0; 1; 3)
Distancia PQ = 3
------------------------
50.-
358
Distancia desde P hasta el plano m (En cartesianas):
Calcula la distancia desde el punto P al plano m (dado por su ecua.
general)
Datos: (1; 0; -1) , 2.x -3.y + 1.z -5 = 0
Distancia: d(P, m) = 0,285
--------------------------
51.-
Distancia desde P hasta la recta r dada en cartesianas:
Calcula la distancia desde el punto P a la recta r dada por sus ecuaciones
cartesianas.
Datos: (3; -1; 0), 3.x -2.y + 1.z + 2 = 0, -2.x + 1.y + z -3 = 0
Distancia: d(P, r) = 1,373
-------------------------
52.-
Distancia desde la recta r hasta el plano m:
Calcula la distancia entre la recta r = {P + t.v}, y el plano m dado por su
ecuación general
Datos: (1; 2; 0), (2; -3; 1), 2.x -3.y + 2.z -5 = 0
Posición relativa: No son paralelos, Se cortan
Distancia: d(r, m) = 0
---------------------------
53.-
Distancia entre dos planos m1, m2:
Calcula la distancia entre los dos planos m1 = {P + k.v + h.w}, y m2 en
cartesianas.
Datos: (1; 0; 0), (2; 0; 1), (-1; 2; 0)
2.x -3.y + z -3 = 0
Posición relativa: No son paralelos
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
359
Distancia: d(m1, m2) = 0
-----------------------
54.-
Distancia entre dos rectas: r1 = {P + t.v}, r2 en cartesianas
Calcula la distancia entre las dos rectas r1 = { P + t.v}, y r2 dada en
cartesianas.
Datos: (0; 2; 0), (2; -1; 3)
2.x -3.y + z + 2 = 0, -3.x + y + 2.z -5 = 0
Resultado:
Posición relativa: Las rectas No se cortan.
Distancia: d(r1, r2) = 0,355
-------------------------
55.-
Del haz de planos cuyo vértice es la recta r dada en cartesianas,
determina aquel plano que pasa por el punto P.
Datos: Punto:(2; 1; 0), Plano: 2.x -3.y + z + 2 = 0, x + 2.y -1.z -3 = 0
Valor del parámetro k = -3
Plano pedido: -1.x + -9.y + 4.z + 11 = 0
------------------------
56.-
Dadas las rectas r1 = {P + t.v}, r2 en cartesianas y el punto Q, halla la
recta s que pase por Q y corte a r1 y r2.
Datos: Recta r1: Punto P:(2; 0; 1), Vector:(3; -1; 2)
Recta r2: 2.x+1.y-2.z-3=0, x-3.y+1.z+2=0
Punto Q: (-1; 2; 0)
Ecuaciones cartesianas de s:
m1: 3.x +3.y +-3.z +0 = 0
m2: 1,4.x +2,8.y +-2,6.z +-4,2 = 0
-------------------
360
57.-
Determina la recta s que corte ortogonalmente a r1 y r2.
Datos: Punto: (1; 2; 0), Vector: (3; -2; 1)
Plano: 2.x-3.y+1.z+3=0, x+2.y-3.z-2=0
Valor de los parámetros: t = 3,846, h = -1,615
Recta s pedida:
Punto: (12,538; -5,692; 3,846)
Vector: (-16,383; -1,153; -9,9999E-04)
-----------------------
58.-
Dadas las rectas r en cartesianas y s = {P+t.v}, donde v depende del
valor de c, determina valor de c para que sean coplanarias.
Datos: r: x-2y+3z-3 = 0, 2x+y-z+4 = 0
s: (1; 0; 2), (2; 3; c)
Proceso a seguir:
Si son coplanarias tendrán un punto M común, o son paralelas
Entonces:
OM = OP+k.v = OQ+h.w
Son coplanarias cuando c = -27
---------------------
59.-
Dado el haz de planos cuyo vértice es la recta r dada en cartesianas,
analiza para qué par de valores k, c, existe algún plano del haz que
contenga la recta s = {P+t.v}.
Datos: Recta r: x-2y+3z-3 = 0, 2x+y-z+4 = 0
Recta s: Punto: (1; 2; k), Vector: (2; 3; c)
Existe ligadura entre k y c: - w(3).xb + xa.c +k = qx(3)
Dando valor a k obtengo el valor de c:
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
361
xc = (qx(3) + w(3) * xb - zk1) / xa
Por ejemplo, si k = 2, obtengo
c = 3,714
-----------------------
60.-
Plano m concreto y recta r = {P+t.v}, donde v = (a,b,c) es
indeterminado. Halla la ecuación de r que sea: a)Paralela a m,
b)Ortogonal a m
Datos: Plano m: 2x+y-z+4 = 0
Recta s: Punto: (1; 0; 2), Vector: (a; b; c)
a)Paralelismo: Vectores ortogonales: v*w = 0
a(1).x +b(1).y +c(1).z = 0
Damos valores a x,y
Es paralela para los valores:
x = 0, y = 1, z = 1
Vector: v = (0; 1; 1)
a)Ortogonalidad: Vectores proporcionales: v = k.w
Cualquier valor asignado a k, por ejemplo: k = 2
Es Ortogonal para los valores:
Por ejemplo: v = (4; 2; 0)
------------------------
61.-
Calcula la Superficie del Prisma determinado por los vértices: A,B,C,D
(tomar A como vértice principal). Calcula su volumen. (Haz figura)
Datos A,B: (2; 0; -2) , (-1; 2; 1)
Datos C,D: (0; 1; 0) , (3; 2; 4)
Superficie total: 79,347
Volumen: 7
------------------------
362
62.-
Calcula la Superficie total del Tetraedro de vértices: A,B,C,D. Calcula
su volumen. (Haz figura)
Datos A,B: (3; 0; 1) , (-2; 1; 3)
Datos C,D: (0; 3; 4) , (1; 4; -2)
Resultado:
Superficie de la pirámide de base triangular:
44,282
Volumen de la pirámide de base triangular: 13
-------------------------
62.-
Calcula el Volumen de la Pirámide cuya base es el cuadrilátero:
Datos A,B: (-2; 0; 0) , (1; 0; 0)
Datos C,D: (0; -2; 0) , (2; 2; 0)
Datos, vértice E: (2; 3; 2)
ESTRATEGIA: El cuerpo dado lo secciono mediante un plano m que
pase por
E y la linea BD, resultando dos pirámides con el mismo vértice E y
cuyas
bases son: ABD y CDB
Calculo el volumen de cada una y sumo los resultados
Volumen de la pirámide con base ABD: 2
Volumen de la pirámide con base CDB: 0
Volumen Total de la Pirámide con base ABCD: 2
------------------------
64.-
Superficie lateral y total del Cono conociendo r y h. Calcula su
volumen
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
363
Datos: r: 20, 50
Volumen: 20943,946
Super. lateral: 3383,598
Super. total: 4640,234
----------------------
Referencia: Las siguientes figuras
65.- Figura 1
Tronco de Pirámide y pirámide menor, recta de base regular pentagonal.
Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales
Datos: L = 10, l = 5
A = 20, R = 15
VOLÚMENES:
364
Radio menor = 7,5
Altura H' del tronco = 18,54
Apotema en base Mayor = 0
Area base Mayor = 0
Apotema en base menor = 7,071
Area base menor = 88,387
Altura pirámide menor h = 18,54
Altura pirámide Mayor H = 37,08
Volumen pirámide Mayor = 0
Volumen pirámide menor = 546,231
Volumen Tronco de pirámide = -546,231
SUPERFICIES laterales:
Apotema en cara del tronco: 19,8431348329844
Superficie lateral tronco = 744,117
Apotema = Altura en cara pirámide menor = 19,843
Superficie lateral pirámide menor = 248,037
-------------------
66.- Figura 2
Tronco de Pirámide y pirámide menor, rectos, de base regular
cuadrada. Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales
Datos: S Área base Mayor = 30, H' del tronco = 15
a Arista pirámide menor = 8, h altura = 6
VOLÚMENES:
Lado en base Mayor L = 5,477
Área base Mayor = 29,997529
Lado base menor l = 7,483
Area base menor = 55,995
Altura pirámide Mayor H = 21
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
365
Volumen pirámide Menor = 111,99
Volumen pirámide Mayor = 209,982
Volumen Tronco pirámide = 97,992
SUPERFICIES ...:
Arista de pirámide Mayor A = 5,855
Superf. lateral pirámide menor = 89,796
Apotema en cara pirámide Mayor zAp = 5,175
Superf. lateral pirámide Mayor = 56,686
Superf. lateral Tronco = -33,11
----------------
67.- Figura 3
Tronco de Cono y Cono menor, rectos
Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales
Datos: L Perímetro Base mayor = 60, G' Generatriz tronco = 15
r Radio del cono menor = 8
VOLUMENES:
Radio Mayor R = 9,549
Area base Mayor = 286,461
Generatriz cono menor g = 77,469
Generatriz cono Mayor G = 92,469
Altura cono menor h = 77,054
Volumen cono menor: 5164,207
Altura cono Mayor H = 91,974
Volumen cono mayor: 8782,322
Volumen tronco: 3618,115
SUPERFICIES ...:
Superf. lateral cono menor = 1947,007
366
Superf. cono Mayor = 2773,983
Superf. lateral tronco = 826,976
------------------
68.- Figura 4
Prisma No recto, Bases cuadradas
Calcula su volumen y su superficie total
Datos: A Arista = 30, D Diagonal base = 20
d desviación = 5
VOLUMEN:
Lado base L = 14,142
Altura H = 29,58
Volumen = 5915,886
SUPERFICIE :
Superf. lateral = 1685,16
Superf. total = 2085,152
-----------------
69.- Figura 5
Prisma recto, Bases rectángulos,
Calcula su volumen y su superficie total
Datos: L uno de los lados = 25, d diagonal base = 30
D Diagonal prisma = 50
VOLUMEN:
El otro Lado l de la base = 16,583
Area base = 414,575
Altura H = 40
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
367
Volumen = 16583
SUPERFICIE:
Superf. lateral = 3326,64
Superficie total = 4155,79
--------------------------
70.- Figura 6
Esfera y Cono inscrito.
Calcula volúmenes y superficies de la esfera y del cono.
Datos: L Perímetro círculo máximo = 80
h Distacia entre planos = 8
VOLÚMENES:
Radio esfera, R = 12,732
Volumen esfera = 8645,266
Radio base del cono, r = 9,904
Volumen cono = 821,75
SUPERFICIES:
Superficie esfera = 2037,056
Superf. lateral cono = 396,147
Superficie total cono = 704,303
------------------
Referencia: Las siguientes figuras
368
71.- Figura 1
Tronco de Pirámide y pirámide menor, rectos, de base regular
pentagonal.Calcula sus volúmenes y sus superficie laterales
Datos: L = 10, H' = 20
h = 12, a = 15
PIRÁMIDE MAYOR:
Radio r = 9
Altura H = 32
Radio R = 24
Apotema en base Mayor = 23,473
Area base Mayor = 586,825
Volumen Pirámide Mayor = 6259,466
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
369
SUPERFICIE pirámide mayor:
Arista Pirámide Mayor = 40
Apotema en cara Pirámide Mayor = 39,686
Superf. lateral Pirámide Mayor = 992,15
PIRÁMIDE menor:
Lado base menor: 3,75
Apotema en base pirámide menor = 8,802
Area base menor = 82,518
Volumen pirámide menor: 330,072
Apotema en cara pirám. menor: 14,882
Superf. lateral pirámide menor = 139,518
TRONCO de pirámide:
Volumen Tronco Pirámide = 5929,394
Superf. lateral Tronco ... = 852,632
------------------
72.- Figura 2
Tronco de Pirámide y pirámide menor, rectos, de base regular cuadrada.
Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales.
Datos: A arista tronco = 20, H' del tronco = 12
a arista pirámide menor = 10, l altura = 8
PIRÁMIDE menor:
Radio menor: 5,656
Altura pirám. menor: 8,246
Volumen pirám. menor: 175,914
Apotema en cara pirám. menor: 9,165
Superf. lateral pirám. menor = 146,64
370
PIRÁMIDE mayor:
VOLUMEN pirámide mayor:
Radio base mayor: 21,656
Lado base mayor: 30,626
Altura pirám. mayor: 20,246
Volumen pirám. mayor: 6329,924
SUPERFICIE lateral pirámide mayor:
Apotema en cara tronco pirámide = 16,492
Apotema en cara pirámide mayor = 25,657
Superf. lateral pirám. mayor = 1571,542
TRONCO de pirámide:
Superf. lateral Tronco Pirámide = 1424,902
Volumen Tronco Pirámide = 6154,01
-------------------------
73.- Figura 3
Tronco de Cono y Cono menor, rectos
Calcula sus volúmenes y sus superficies totales
Datos: H' = 15, G' = 20
l Perímetro base menor = 10
VOLÚMENES:
Radio menor r = 1,591
Radio Mayor R = 14,819
Altura menor h = 1,804
Altura Mayor H = 16,804
Volumen cono menor yV = 4,781
Volumen Cono Mayor xV = 3864,372
Volumen Tronco cono = 3859,591
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
371
SUPERFICIES:
Generatriz cono menor: 2,405
Superf. lateral cono menor = 12,02
Generatriz cono mayor: 22,405
Superf. lateral cono Mayor = 1043,07
Superf. lateral Tronco cono = 1031,05
------------------
74.- Figura 4
Prisma No recto, Bases cuadradas
Calcula su volumen y su superficie total
Datos: A Arista = 20, distancia EF = 15
desviación d = 5
VOLUMEN:
Lado base L = 7,071
Altura H = 19,364
Volumen V = 968,181
SUPERFICIE:
Superfi. lateral SL = 556,685
Superfi. total St = 656,683
------------------------
75.- Figura 5
Prisma recto, Bases rectángulos
Calcula su volumen y su superficie total
Datos: S' = 25, d diagonal base = 15
D Diagonal prisma = 20
372
VOLUMEN :
Altura H = 13,228
Lado menor l = 1,889
Lado mayor L = 14,88
Volumen V = 371,816
SUPERFICIE:
Supef. lateral SL = 443,640664
Supef. total St = 499,857304
------------------
76.- Figura 6
Esfera y Cono
Calcula volumen y superficie total de la esfera y del cono (base plana)
Datos: L Perímetro Círculo máximo = 50
r Radio disco menor = 5
VOLÚMENES:
Radio esfera R = 7,957
Altura Cono h = 6,189
Volumen esfera Ve = 2110,263
Volumen Cono Vc = 162,027
SUPERFICIES:
Superf. esfera Se = 795,625
Superf. lateral Cono Slc = 124,988
Superf. total Cono Stc = 203,527
--------------------------
77.- Ejemplo 1:
Esfera: Calcula su superficie y volumen,
conociendo el perímetro L del circulo máximo.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
373
Datos: 100
Radio esfera = 15,9154976203148
Resultado: V = 16886,87, S = 3183,099
-----------------------
78.- Ejemplo 2:
Esfera: Calcual su superfifie y volumen,
conociendo el volumen V de un octante de esfera
Datos: 50
Resultado: V = 400, S = 262,537
---------------------------
79.-
Dado el haz determinado por r1 y r2, en cartesianas, determina aquella
que pasa por P
Datos: Punto: (2; 3)
Rectas: 2.x -3.y + 4 = 0, -3.x + 2.y -5 = 0
Haz de rectas: (Ax+By+D) + k.(A'x+B'y+D') = 0
o bien: (A+k.A').x + (B+k.B').y + (D+k.D') = 0
Pasará por P(px(i)) si para algún valor de k se cumple
(A+k.A').px(1) + (B+k.B').px(2) + (D+k.D') = 0
o bien: (A.px(1) + B.px(2) + D) + (A'.px(1) + B'.px(2) + D').k = 0
de donde despejo k
Recta pedida:
El punto P está en r2
------------------------
374
DE ESPACIOS Vectoriales
80.-
Analiza si los vectores v, w son o no linealmente independientes
Datos: v = (-2; 1) , w = (3; 0)
Resultado:
Son linealmente independientes.,
--------------
81.-
Analiza la relación de dependencia de los vectores t, u, v
Datos: t = (2;3), u = (-1;2), v = (1;4)
Resultado:
t, u son l.indep., v será combin. lineal de éstos.
v = 0,85.t + 0,71.u
--------------
Comprueba si los vectores v, w constituyen una Base para V2
Datos: v = (2;3), w = (1;-2)
Resultado:
v ,w Son linealmente independientes. Sí forman base
------------------
82.-
Dados los vectores t, u, v, w, si es posible, extrae una Base para V2
Datos: t = (3;1) , u = (2;0)
v = (1;2) , w = (3;4)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
375
Resultado:
Sí es posible una base
t, u Son linealmente independientes
Base: {(3;1, (2;0)}
------------------
83.-
Dado el vector w, expresado en la base canónica, y la base B = {v1,
v2}, determina la expresión del vector u en B
Datos: Vector w = (2;3)
Base: {(1;2), (3;2)}
Exprsión: w = 1,25.v1 + 0,25.v2
--------------
84.-
Dadas las bases B= {v, w}, B'= {v', w'}, determina la matriz A del
cambio de base de B a B'. ( Las filas de A son las expresiones de los
vectores de B en la base B' : v = a11.v' +a12.w' ,....)
Datos: Base B: {(2;1), (1;3)}
Base B': {(2;0), (3;4)}
Resultado:
Matriz de cambio A =
( 0,62 0,25 )
( 0,62 0,25 )
------------------
85.-
Dado el vector w en la base B, y la matriz A del cambio de base de B
a B', halla la expresión de w en la base B'.
376
Datos: w = (3;4)
Matriz A de cambio:
( 2 1 )
( -3 2 )
Resultado:
Coor. en B: w = (3;4)
Coor. en B': w = (-6 ; 11)
------------------
86.-
Analiza si los vectores t, u, v son o no linealmente independientes
Datos: t = (2;1;-3) , u = (1;0;2), v = (0;3;2)
Resultados:
t y u son l. independiente
t,u,v son line. independientes. Forman una base
--------------------
87.-
Analiza la relación de dependencia de los vectores t, u, v, w
Datos: t = (2;1;3) , u = (1;0;3), v = (0;3;2) , w = (3;1;2)
Resultado:
t y u son l. independiente
t, u, v son line. independientes. Forman una base.
El vector w es combina. lineal de t, u, v
-------------------
88.-
Comprueba si los vectores t, u, v constituye una Base para V3
Datos: t = (2;3;1) , u = (-1;2;3), v = (3;-2;0)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
377
Resultado:
Det = 35
Sí Forman base: B = {(2;3;1), (-1;2;3), (3;-2;0)}
--------------------
89.-
Dados los vectores t, u, v, w, si es posible, extrae una Base para V3
Datos: t = (2;1;3), u = (4;2;6), v = (0;2;1), w = (2;0;3)
Resultado:
t y u son l. dependientes. Rechazo u
Probamos con t, v
t y v son l. independientes. Me quedo con los dos. Agregamos el
vector w, y probamos
t, v, w son line. independientes. Forman una base.
B = {(2;1;3), (0;2;1), (2;0;3)}
---------------------
90.-
Dados el vector w, expresado en la base canónica, y la base B = {v1,
v2, v3}, determina la expresión de w en esta base.
Datos: w = (3;2;4)
B = {(2;0;1), (1;3;0), (1;2;3)}
Resultado:
w = 1.t + 0.u + 1.v
-----------------
91.-
Dadas las bases B= {e1,e2,e3}, B'= {u1,u2,u3}, determina la matriz A
del cambio de base de B a B'. (Hemos de expresar los vectores de B en
la base B' : ei = Suma( ki.ui ). La matriz opera así:
(yi) = (xi) . A)
378
Datos: Base B = {(3;2;1), (0;2;1), (2;0;3)}
Base B' = {(1;3;0), (0;2;1), (2;1;3)}
Resultado:
Matriz de cambio A =
( 1,36 -1,46 0,81 )
( 0 1 0 )
( -0,19 -0,28 1,09 )
----------------
92.-
Dado el vector w expresado en la base B, y la matriz A del cambio de
B a B', halla su expresión en la base B'.
Datos: Vector w = (2; 3; 4)
Matriz A del cambio de base:
( 2 3 1 )
( 0 2 3 )
( 1 3 2 )
Resultado:
Coor. en B: w = (2;3;4)
Coor. en B': w = (8; 24; 19)
--------------------
93.-
Comprueba si los vectores v1, v2, v3, v4 constituyen una Base para
V4.
Datos: v1 = (1;0;0;0), v2 = (0;2;3;1)
v3 = (0;4;0;-2), v4 = (0;0;5;6)
Resultados:
Sí forman base:
Base B = {(1;0;0;0), (0;2;3;1), (0;4;0;-2), (0;0;5;6)}
--------------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
379
91.-
Comprueba si los vectores v1, v2, v3, v4 constituyen una Base para
V4.
Datos: v1 = (2;0;3;1), v2 = (0;1;2;3)
v3 = (3;1;0;2), v4 = (1;2;3;0)
Resultados:
Sí forman base:
Base B = {(2;0;3;1), (0;1;2;3), (3;1;0;2), (1;2;3;0)}
--------------------
94.-
Comprueba si los vectores v1, v2, v3, v4 constituyen una Base para
V4
Datos: v1 = (3;2;0;1), v2 = (0;2;1;3)
v3 = (1;0;2;3), v4 = (2;3;1;0)
Resultados:
Sí forman base:
Base B = {(3;2;0;1), (0;2;1;3), (1;0;2;3), (2;3;1;0)}
--------------------
93.-
Dados el vector w, expresado en la base canónica, y la base B = {v1,
v2, v3, v4}, determina la expresión de w en esta base.
Datos: w = (3;2;1;4)
Base B = {(3;2;0;1), (0;2;1;3), (1;0;2;3), (2;3;1;0)}
Resultado:
CoordenadasEnV4:
Compruebo si es Base válida, calculando det(A):
380
Determinante 4x4:
Determinante 3x3:
Valor Det = -15
Valor Menor 1 = -45
Determinante 3x3:
Valor Det = -3
Valor Menor 2 = 6
Determinante 3x3:
Valor Det = 21
Valor Menor 3 = 0
Determinante 3x3:
Valor Det = 9
Valor Menor 4 = -9
Valor detD = -48
Valor de det(A) = -48
Determinante 4x4:
Determinante 3x3:
Valor Det = -15
Valor Menor 1 = -45
Determinante 3x3:
Valor Det = -15
Valor Menor 2 = 30
Determinante 3x3:
Valor Det = 15
Valor Menor 3 = 0
Determinante 3x3:
Valor Det = 5
Valor Menor 4 = -5
Valor detD = -20
Valor incógnita 1 = 0,416
Determinante 4x4:
Determinante 3x3:
Valor Det = -15
Valor Menor 1 = -45
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
381
Determinante 3x3:
Valor Det = -3
Valor Menor 2 = 9
Determinante 3x3:
Valor Det = 18
Valor Menor 3 = 0
Determinante 3x3:
Valor Det = 8
Valor Menor 4 = -8
Valor detD = -44
Valor incógnita 2 = 0,916
Determinante 4x4:
Determinante 3x3:
Valor Det = -15
Valor Menor 1 = -45
Determinante 3x3:
Valor Det = 18
Valor Menor 2 = -36
Determinante 3x3:
Valor Det = 21
Valor Menor 3 = 63
Determinante 3x3:
Valor Det = 2
Valor Menor 4 = -2
Valor detD = -20
Valor incógnita 3 = 0,416
Determinante 4x4:
Determinante 3x3:
Valor Det = 5
Valor Menor 1 = 15
Determinante 3x3:
Valor Det = -8
382
Valor Menor 2 = 16
Determinante 3x3:
Valor Det = 2
Valor Menor 3 = 0
Determinante 3x3:
Valor Det = 9
Valor Menor 4 = -27
Valor detD = 4
Valor incógnita 4 = -8,333
En base canónica: w = (3;2;1;4)
En base B: w = (0,416; 0,916; 0,416; -8,333)
-------------------
94.-
Dadas las bases B= {v1,v2,v3,v4}, B'= {w1,w2,w3,w4}, determina la
matriz A del cambio de base de B a B'. ( La matriz A opera así: (yi) =
(xi) . A )
Datos:
Base B = {(2;0;3;1), (0;1;2;3), (3;1;0;2), (1;2;3;0)}
Base B' = {(3;2;0;1), (0;2;1;3), (1;0;2;3), (2;3;1;0)}
Det(B) = 72
Det(B') = -48
Resultado: Matriz A del cambio de base
(Cambio B a B': (yi) = (xi).A, donde (xi) en B, (yi) en B' )
(1,02 -0,604 0,77 0,145)
(-8,333 0,416 1,916 -0,583)
(0,604 0,479 -0,645 0,229)
(0,25 -0,25 0,25 0,75)
-------------------
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
383
95.-
Dados el vector w expresado en la base B, y la matriz A de cambio de
base de B a B', halla la expresión de w en B' . ( (yi) = (xi) . A )
Datos: (3;2;0;1)
Matriz A del cambio de base:
(2 1 0 3)
(0 3 1 2)
(3 0 2 0)
(1 2 3 4)
Resultado:
Coor. en B: (3;2;0;1), Coor. en B': (7; 11; 5; 17)
--------------------
96.-
Dados los vectores v, w, expresados en base ortonormal, calcula
v * w
Datos: v = (2;3;1), w = (1;-2;3)
Resultados:
Valor v * w = -1
--------------------
97.-
Dados los vectores v, w, expresados en la base B también dada, calcula
v * w . (Realiza cambio de base a la canónica par obtener v y w en esta
base ortonormal)
Datos: v = (2;3;1), w = (1;3;4)
Base B = {(2;0;3), (0;1;2), (3;2;0)
Resultado:
Valor de v * w = 867
-------------------
384
98.-
Dados los vectores v, w, expresados en base ortonormal, calcula v *
w
Datos: v = (3;4;1), w = (1;0;3)
Resultados:
Valor v * w = 6
--------------------
99.-
Dados los vectores v, w, expresados en la base B también dada, calcula
v * w . (Realiza cambio de base a la canónica par obtener v y w en esta
base ortonormal)
Datos: v = (3;1;2), w = (2;4;0)
Base B = {(1;0;3), (0;3;2), (4;3;0)}
Resultado:
Valor de v * w = 1706
-------------------
100.-
Dados los vectores v, w, en base ortonormal. Calcula el menor de los
ángulos que determinan.
Datos: v = (3;4;2), w = (1;0;3)
cos(g) = 0,528
sen(g) = 0,849
tan(g) = 1,607
Valor final de g = 1,014
-------------------
101.-
Dados los vectores v, w, expresados en base ortonormal,
calcula v ^ w
Datos: v = (3;1;4), w = (2;3;0)
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
385
Resultado:
Vector U = (-12; 8; 6)
-------------------
102.-
Dados los vectores v, w, t, expresados en base ortonormal,
calcula t * (v ^ w)
Datos: v = (1;2;0), w = (3;4;2), t = (2;1;4)
Resultado:
Valor t * (v ^ w) = -10
-------------------
386
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
387
CONSTRUCCIÓN geométrica con regla y compás
A) Triángulo equilátero:
Figura (1): Dato el segmento AB, lado del triángulo
Pincho en A y trazo arco con radio AB; pincho en B y trazo arco con el
mismo radio BA; obtengo el punto C, que es el tercer vértice.
Figura (2): Dato un círculo de radio R.
Interesa tener en cuenta que el lado AB del triángulo está relacionado
con el radio mediante
AB = √3
2 . R, o bien R =
2.√3
3 . AB
Se ha demostrado que el punto M es el punto medio de OD. Por
consiguiente:
Determino el punto medio M, y trazo por M la paralela
al diámetro; esta recta corta al círculo en A, B. El vértice C es evidente.
----------------
B) El hexágono regular:
Figura (1): Dato el lado AB del hexágono
388
Construyo el triángulo equilátero ABO. Trazo por O la recta paralela al
lado AB, y sobre esta recta tomo las distancias OC y OD. Prolongo los
lados AO y BO, y sobre estas prolongaciones tomo las distancias OE y
OF. Unimos los puntos obtenidos y tengo el hexágono.
Figura (2): Dato el círculo de radio R = AB = lado del hexágono
Trazo el círculo con radio R. Con el compás tomo la medida del radio,
OD, y la traslado sobre la circunferencia, pinchando en D, para obtener
los puntos A y F. Por A y por F trazamos paralelas al diámetro y
cortarán en los puntos B y E. Tengo también el punto C. Unimos todos
los puntos y resulta el hexágono inscrito.
C) Pentágono regular: Dato el segmento AB
Trazo perpendicular por B. Con centro B trazo arco con radio AB,
obtengo C.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
389
Obtengo el punto medio M. Con centro M trazo arco con radio MC,
obtengo D.
Trazo por M la perpendicular a AB. Con centro A trazo arco con radio
AD, obtengo E.
Con radio AB, trazo un arco con centro E de forma que corte al arco con
centro A obteniendo F, y al arco con centro B obteniendo G.
390
Tengo completado el pentágono.
D) Pentágono regular: Inscrito en círculo con radio AB
Con centro en P trazo arco con radio OP, obtengo Q, R y el punto medio
M.
Con centro en M trazo arco con radio MA, obtengo Z. Con centro en A
trazo arco con radio AZ, obtengo B, C.
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
391
Con centro C trazo arco con radio CA, obtengo D.
Por D trazo paralela al diámetro y obtengo E.
Los cinco puntos A, B, C, D, E son los vértices del pentágono.
--------------------------
392
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
393
BIBLIOGRAFÍA
Álgebra y Geometría Analítica
Autor: Francisco Granero Rodríguez
Edita: McGraw-Hill (Ediciones La Colina, S.A. (España))
Edición de 1985
Geometría Métrica (Curso de ..), Tomo I – Fundamentos
Autor: Pedro Puig Adam
Biblioteca Matemática, S.L., Madrid, 13ª Edición 1977
Geometría Métrica (Curso de .. ), Tomo II- Complementos
Autor: Pedro Puig Adam
Biblioteca Matemática, S.L., Madrid, Novena Edición 1970
Lecciones de Álgebra
5ª Edición, Madrid 1960
Julio Rey Pastor
Elementos de Matemáticas
4ª Edición
Julio Rey Pasto y A. de Castro
S.A.E.T.A. (Sociedad Anónima de Traductores y Autores)
Madrid 1967
Análisis Matemático, Volúmenes I, II, III
Octava Edición 1969
Autores: Julio Rey Pastor
Pedro Pi Calleja
César A. Castro
Editorial KAPELUSZ, Buenos Aires (Argentina)
Álgebra Moderna
394
Autor: A. Lentin y J. Rivaud
Traducción: Emilio Motilva Ylarri
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965
Ejercicios de Álgebra Moderna
Autor: A. Lentin y J. Rivaud
Traducción: Emilio Motilva Ylarri
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965
Lecciones de Álgebra Moderna
Autor: P. Dubreil, M.L. Dubreil-Jacotin
Traducción: R. Rodríguez Vidal
Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1971
Geometría Básica
Autor: Pedro Abellanas
(Copyright by the Author)
Editorial Romo, S.L., Madrid, año: 1969
Geometría Descriptiva
Autor: Fernando Izquierdo Asensi
Editorial Dossat, S.A., Madrid, año: 1979
Geometría Descriptiva Superior y Aplicada
Autor: Fernando Izquierdo Asensi
Editorial Dossat, S.A., Madrid, Año: 1975
Álgebra Lineal
Autor: Daniel Hernández Ruipérez
Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990
Geometría Vectorial
Autor: Norberto Cuesta Dutari
Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1968
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
395
Álgebra Lineal
Autor: Daniel Hernández Ruipérez
Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990
Álgebra Lineal (incluyendo Teoría de Conjuntos),
y Problemas resueltos
Autor: Alberto Luzárraga
Editado por el autor, Barcelona 1968
Geometría Diferencial Clásica
Autor: Dirk J. Struik
Traducción: L. Bravo Gala
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1966
Notas sobre geometría diferencial (Notes on differential geometry)
Autor: Noel j. hicks
Traducción: Francisco Pañella y otros
Editorial Hispano Europea, Barcelona (España), año: 1974
-----------
396
Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica
397
NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores:
Símbolo Significado
* Producto
. Producto
^ Potencia
sqr(a) Raíz cuadrada
rad(a) Raíz cuadrada
rad(a;n) Radical con índice n
rad(a;n/m) Radical con índice n/m
∈ significa ‘pertenece a’
∞ infinito
exp(x) Exponencial: exp(x) = ex
exp(x;a) Exponencial de base a>0:
exp(x;a) = ax
ln(x) Logaritmo neperiano:
y = ln(x) <--> x = ey
log(x;a) Logaritmo base a>0:
y = log(x;a) <--> x = ay
≅ aproximado
∆ incremento
398
< menor que, > mayor que, Ej.: x < y, x > y
Valores:
𝜋 = 3,1415927... (número pi, en radianes)
pi = 3,1415927... (número pi, en radianes)
e = 2,7182818... (número e, base de ln(x))
sen(0) = 0 cos(0) = 1
sen(pi/6) = 1
2 cos(pi/6) =
√3
2
sen(pi/3) = √3
2 cos(pi/3) =
1
2
sen(pi/2) = 1, cos(pi/2) = 0
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