ADMISIÓN 2015 - 1
Créditos
ACADEMIAS
GERENTE GENERAL ADJUNTO: Ricardo Campodonico Gómez
JEFE DE OPERACIONES:
Mario Mendoza Gloria
SUPERVISORA ED. ACADEMIA: Mercedes Nunura Sánchez
DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA: Elena Trujillo Moreno
COORDINACIÓN DE MATERIALES: Elizabeth Gerónimo Ayala
PROFESORES RESPONSABLES:Roberto Visurraga | Sergio Bautista
Juan Ramos | Cristehan Miguel | Ruben Quispe Jesús Bustillos | Áaron Ramos | Ernesto Quispe
Ynfanzon Quispe | Dehivy Montiel
PRE PRENSA DIGITAL
DIAGRAMACIÓN UNI:Linda Romero | Erika Cuadros
COLABORADORES: José Siesquén | Karina Ubillus | Ynes Romero Linda Canaval | Julissa Ventocilla | Ursula Nunura José Luis Pacherres | Sara Yañez | Betty Picoy
© Derechos Reservados: Ediciones e Impresiones Paz S.A.C.Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen | Edición 2015
www.pamer.edu.pe
Presentación
Estimado(a) amigo(a):
Has elegido postular a la UNI, y por ello desde ya te felicitamos, puesto que, sin duda, eres una persona a la que le gustan los grandes retos. Por tal motivo, la Corporación Educativa PAMER te brinda el solucionario del examen de admisión UNI 2015-I, que es una excelente herramienta que te ayudará a absolver dudas, reforzar conocimien-tos y conocer el modelo de preguntas que propone el examen de admisión UNI.
La Corporación Educativa PAMER es conocedora del alto nivel académico que exige la UNI en su examen de admisión para seleccionar a sus futuros estudiantes. Por esta razón, presentamos un modelo de preparación enfocado directamente en lo que requiere esta universidad.
En PAMER trabajamos en equipo y hacemos nuestro tu objetivo. Contamos con un sistema de tutoría que trabaja arduamente de la mano de cada alumno orientando, exigiendo y motivando con miras al gran resultado: ¡Que seas un CACHIMBO UNI!
Nuestro equipo de profesores es especialista en preparación UNI y desarrolla un alto nivel académico con clases dinámicas. A nuestros profesores realmente les interesa que aprendas y, con la finalidad de que puedas consultar y pedir ayuda cada vez que lo requieras, te brindan toda la confianza necesaria.
Sin duda, somos un equipo sólido y es por eso que tenemos la seguridad de que este material que hoy tienes en tus manos te beneficiará. Estamos y estaremos gustosos de ayudarte siempre que lo necesites.
Tus amigos,
Corporación Educativa Pamer
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - IMatemáticasACADEMIAS
4Primera Prueba Matemáticas
MATEMÁTICAS
1. Sea el número E = 22001 + 32001. Calcule el residuo de dividir E entre 7.
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
2. ¿Cuántos números de la forma:
(4a – 3)(3b)(4a – 3)
son primos?
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
3. En la expresión siguiente, b ≠ 0
0, ab – 0,ba = 044
Entonces la suma de todos los valores po-sibles de 0,ab que satisfacen la ecuación anterior es:
A) 0,61 D) 3,11
B) 1,33 E) 4,16
C) 2,16
4. Se tiene la siguiente igualdad:
(aaa1(9))1/3 = 1(a +2)(9)
Entonces podemos decir que el conjunto:
a∈ {1,2,3,...8}/(aaa1(9))1/2 existe
A) No posee elementos
B) Posee un solo elemento
C) Posee dos elementos
D) Posee tres elementos
E) Posee cuatro elementos
5. Semanalmente, un trabajador ahorra cier-ta cantidad en soles, y durante 40 semanas ahorra las siguientes cantidades:
21 35 29 31 23 22 28 33
28 25 31 26 24 27 27 33
37 29 19 36 23 18 46 12
26 41 30 18 39 15 24 4
25 33 10 28 20 27 17 31
Se construye una tabla de frecuencias de 7 intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es la frecuencia acumulada del quinto intervalo (or-denados los extremos de los mismos de forma creciente). determine el valor de (A + F5) – 1.
A) 30 D) 38
B) 32 E) 39
C) 37
6. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdade-ra (V) o falsa (F) según el orden dado:
I. Sean A ⊂ B ⊂ C ⊂ D, entonces la pro-babilidad:
P(D) = P(D\A) + P(C\A) + P(B\A) + P(A)
II. Se lanzan dos dados normales, enton-ces la probabilidad que su suma sea 7
es 112
.
III. Se lanzan dos dados normales, uno cada vez, entonces la probabilidad de que
salga 3 dado que antes salió 1 es 136
.
A) VVV D) FFV
B) VFV E) FFF
C) FVV
7. Sabiendo que:
K = ab(4) = cd(5) y a + b + c + d = 11
en el sistema decimal con a ≠ 0, c ≠ 0. Deter-mine K en el sistema decimal.
A) 14 D) 41
B) 23 E) 51
C) 32
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - IMatemáticasACADEMIAS
5Primera Prueba Matemáticas
8. Se sabe que en una división entera el divi-sor es 50 y el residuo es 15. ¿Cuántas uni-dades como mínimo se le debe disminuir al dividendo, para que el cociente disminuya en 13 unidades?A) 614 D) 617B) 615 E) 618C) 616
9. En el primer cuadrante del plano se forma el conjunto A con los puntos con coorde-nadas enteros positivos, esto es:
A = {(m, n)/m ∈ , n ∈ } A cada punto (m, n) de A se le asigna el
valor de 12m+n
. Calcule la suma de todos
los valores de los puntos (m, n) de A con coordenadas m ≥ n.A) 1/3 D) 2B) 2/3 E) +∞C) 1
10. Si S es el conjunto solución de la inecuación:
|x + 1| –|x – 2| < 2 se afirma:
I. ⟨1/4, +∞⟩ ⊂ SII. S ⊂ ⟨1/3, +∞⟩III. S ∩ ⟨–∞, 1/2⟩ ≠ f
¿Cuáles son afirmaciones correctas?A) solo I D) I, IIB) solo II E) II y IIIC) solo III
11. Respecto a la función f(x) = |x| – x, indi-que la secuencia correcta, después de de-terminar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. f(x +y) ≤ f(x) + f(y); ∀ x, y ∈ . II. Si hacemos g(x) = x2 – 2x – 3 enton-
ces el conjunto solución de g(x) = f(x) es {– 3 , 3}.
III. Si hacemos h(x) = x2 – 3x + 5 enton-ces el conjunto solución de h(x) = f(x) es vacío.
A) VFV D) FVVB) VFF E) VFVC) VVV
12. Indique el intervalo al cual pertenece el va-lor de m, para que la inecuación:
4 + x – 4x2
x2 – x + 1 < m
se cumpla para todo x ∈ .A) ⟨–∞, –13/3⟩ D) ⟨3, 9⟩B) ⟨1; +∞⟩ E) ⟨5, +∞⟩C) ⟨2; +∞⟩
13. Sea una función f:
→ ⟨0; +∞⟩ que cum-ple f(a + b) = f(a) • f(b) ∀a, b ∈ . Calcule el valor de f(a) • f(–a).A) –1 D) 2B) 0 E) 3C) 1
14. Considere la siguiente función f: → de-finida por f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, b > 0. Si f(0) = 2 y Rang (f) = [b; +∞⟩, determine el siguiente valor:
M = 8a – b2
abA) 1 D) 4B) 2 E) 5C) 3
15. Sea f una función cuya regla de correspon-dencia está dada por:
f(x) = loga (x + x2 + 1) Encuentre su función inversa.
A) ax + a–x D) ax – a–x
2
B) ax + a–x
2 E) ax
2
C) ax – a–x
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - IMatemáticasACADEMIAS
6Primera Prueba Matemáticas
16. Si A es una matriz invertible, despeje la matriz X a partir de la expresión:
((AX)–1)t = 0,5 B–1
A) x = 0,5 A–1Bt D) x = 2 B–1At B) x = 0,5 BtA–1 E) x = 2 A–1Bt
C) x = 2 A–1 B
17. Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones no lineales:
x2 + y2 – 2x – 2y + 1= 0 x2 –2x –y + 1 = 0
A) {(3;1), (1;1), (–1;–1)}B) {(2;–2), (2;1), (1;1)}C) {(–1;0), (1;1), (1;2)}D) {(1;0), (0;1), (2;1)}E) {(1;–1), (1;0), (2;–1)}
18. Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que puede sembrar maíz o trigo. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación de verano. En el caso del maíz el trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene una utilidad de S/. 40 por acre, mien-tras que en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la utilidad es de S/. 30 por acre. ¿Cuántos acres de maíz y trigo debe plantar respectivamente, para maximizar su utilidad?A) (160, 320) D) (320, 160)B) (140, 340) E) (180, 300)C) (340, 140)
19. Considere la sucesión:
1, 122 , 1
32 , ..., 1n2 , ...
Determina el menor valor de n ∈ , de modo que se cumpla:
1n2
< 1 × 10–7
A) 2081 D) 3001B) 2091 E) 3163C) 2991
20. Halle el menor grado del polinomio xn +ax + b, a ≠ 0, (n>1) para que x2–1 sea un divisor:A) 2 D) 5B) 3 E) 6C) 4
21. El punto P se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista de cada vértice, calcule esta distancia.
A) a 3
4 D)
a 64
B) a 2
3 E)
a 22
C) a 3
3
22. Un vaso de forma de prisma recto exago-nal, con diagonal mayor de la base que mide 6 cm, contiene agua "al tiempo". Para enfriarla se coloca un cubo de hielo y se observa que el nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud de la arista del cubo de hielo (en cm).A) 3 D) 3 3 3
B) 3 6 3 E) 3 3
C) 3 4 3
23. En un cilindro de revolución de 5 cm de altura se inscribe un paralelepípedo rec-tangular con superficie lateral de 250 cm2. Una de sus aristas, ubicada en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la razón (en cm) entre el volumen y el área lateral del cilindro.
A) 3374
D) 337
2
B) 3372
E) 337
C) 337
4
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - IMatemáticasACADEMIAS
7Primera Prueba Matemáticas
24. En la Panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolución. Las longitudes de las circunferencias son 4πm y 2πm. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros cú-bicos.
10 m
A) 3π D) 10πB) 5π E) 11πC) 7π
25. En un tronco de cono de revolución el ra-dio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Si el volumen del tronco de cono es 336 πcm3 y el radio de la base menor es 6 cm, entonces el volumen de una esfera tangente a las bases del tronco de cono (en cm3) es:
A) 303
π D) 333
π
B) 313
π E) 343
π
C) 323
π
26. En una pirámide cuadrangular regular la arista básica mide 8u y su altura mide 15u. ¿A qué distancia (en u) de la base de la pirámide se debe trazar un plano parale-lo a dicha base, para que el volumen del prisma recto, que tiene por base a dicha sección y por altura la distancia de la sec-
ción al vértice de la pirámide, sea los 38
del
volumen de la pirámide?A) 9,5 D) 6,5B) 8,5 E) 5,5C) 7,5
27. En el gráfico AB = AD = DC, calcule α (en grados).
A
B
C
D7α
2α α
A) 8 D) 12
B) 9 E) 13
C) 10
28. En la figura las circunferencias tienen ra-dios r = 3u y R = 6u respectivamente, C es punto de tangencia y D es centro. Calcule producto DA • DB (en u2).
A
BC
D
R
r
A) 18 D) 36
B) 24 E) 40
C) 30
29. En la figura se muestra el triángulo rectán-gulo ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD = 3 cm, entonces la medida (en cm) del segmento EF es:
A
B
CD F
E
A) 2,14 D) 2,56
B) 2,16 E) 2,82
C) 2,25
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - IMatemáticasACADEMIAS
8Primera Prueba Matemáticas
30. En la siguiente figura, I es el incentro del triángulo ABC, BI = 6u, DE = 1u. Calcule BE (en u).
CDE
A
B
I
A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
C) 10
31. En la figura AC = CD, AD = 6u y área (∆BCD) = r (área ∆ABD). Halle r.
C
D
A
B
α
2α
2α
3α
A) 1 + 3 D) 1 + 2 3
B) 2 + 3 E) 2 3 – 1
C) 2 – 3
32. ABC es un cuadrado y desde su centro O se traza un segmento OE perpendicular al plano ABC, si OE = AB entonces la medi-da del diedro E–DC–B es:
A) arc tan 12
D) arc tan (2)
B) arc tan (1) E) arc tan 52
C) arc tan 32
33. Si x ∈ π; 3π2
entonces determine los va-
lores de:
y = 4 – 9 csc2 x + 2π3
A) ⟨–∞; –12⟩ D) ⟨–∞; –9⟩
B) ⟨–∞; –11⟩ E) ⟨–∞; –8⟩
C) ⟨–∞; –10⟩
34. Al simplificar la expresión:
k = cos2 – cos2 – (1 – sen(2x))+ x
π3
– xπ3
32
se obtiene:
A) – 3
2 cos2 (2x) D)
32
csc(x)
B) 3
2 sen2 (2x) E)
32
C) – 3
2 sec (2x)
35. Si x ∈ 0; π2
y 1 + sen(x)1 – sen(x)
= tan π2a
πa
+
Calcule el valor de (a2 + 1).
A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
36. Sea la función:
f(x) = x3
arctan(x) – x
Dadas las siguientes proposiciones:
I. La función f es impar.
II. Si x ∈ Dom(f), entonces –x ∈ Dom(f).
III. La gráfica de f corta a la curva y = x2.
Son correctas:
A) Solo I D) I y II
B) Solo II E) II y III
C) Solo III
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - IMatemáticasACADEMIAS
9Primera Prueba Matemáticas
37. Si ABCD es un cuadrado de lado 2u y T es un punto de tangencia, entonces el área sombreada (en u2) es igual a: (O centro de la circunferencia que pasa por A, T y D).
TBA
O
D C
A) 0,57 D) 0,81
B) 0,68 E) 0,92
C) 0,79
38. En todo triángulo ABC la suma de los cua-drados de sus lados es igual a:
K(bc cosA + ac cosB + ab cosC)
donde K vale:
A) 14
D) 2
B) 12
E) 4
C) 1
39. Al resolver la ecuación: sen(2x) – 12(sen(x) – cos(x)) + 12 = 0 obtenemos como soluciones:
A) kπ; k ∈
B) 2kπ y 12
k + π ; k ∈
C) 2kπ y kπ, k ∈
D) (2k + 1)π y 12
2k + π ; k ∈
E) (3k + 1)π y 12
k + π ; k ∈
40. Del gráfico mostrado, el resultado de:E = tgθ + tgβ + tgΦ
es:
θ
Φβ
(–4;–2) (4;–2)
(–1;2)x
y
A) –4 D) 2B) –2 E) 4C) 0
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
10Primera Prueba Matemáticas
resolución 1Tema: Divisibilidad
Ubicación de incógnitaCalcule el residuo al dividir E entre 7.
Análisis de los datos o gráficosSe tiene: E = 22001 + 32001
Operación del problemaLas potencias pueden ser expresadas como:
22001 = (23)667 = (7+ 1)667 → 22001 = 7 + 1
32001 = (33)667 = (7 – 1)667 → 32001 = 7 – 1
Reemplazando:
E = (7 +1) + (7 – 1)
E = 7
Conclusiones y respuesta ∴ El residuo es cero
respuesta: a) 0
resolución 2Tema: Números primos
Ubicación de incógnitaCuantos primos existen de la forma:
(4a – 3)(3b)(4a – 3)
Análisis de los datos o gráficosConsiderando que a y b son dígitos a solo pue-de ser 1; 2; 3.
En el número (4a – 3)(3)(4a – 3), a y b son dígitos.
Operación del problema
• a = 1 ⇒ 1(3b)1 = 101; 131; 161; 191
Divisibilidad por primos ≤ 191 (2; 3; 5; 7; 11; 13).
Aplicando divisibilidad por 2; 3; 5; 7; 11; 13
(primos ≤ 191)
161 = 7 (no es primo)
Hay 3 números primos: 101; 131 y 191
• a = 2 ⇒ 5(3b)5 = 5 (no es primo)
• a = 3 ⇒ 9(3b)9 = 3 (no es primo)
respuesta: c) 3
resolución 3
Tema: Racionales
Ubicación de incógnita
Halla la suma de todos los valores de 0, ab
Análisis de los datos o gráficos
Se tiene:
0, ab – 0, ba = 0,44
Operación del problema
Generatriz de los decimales.
ab – a90
– ba – b90
= 44 – 490
(9a + b) – (9b + a) = 40
a – b = 5 b ≠ 0
↓ ↓ 6 1 7 2 8 3 9 4
Conclusiones y respuesta
La suma de los valores de 0,ab es:
S = 0,61 + 0,72 + 0,83 + 0,94
S = 3,11
respuesta: D) 3,11
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
11Primera Prueba Matemáticas
resolución 4
Tema: Potenciación
Ubicación de incógnita
Hallar los valores de “a” en:
(aaa1(9))1/3 =1(a + 2)(9)
Análisis de los datos o gráficos
Por divisibilidad:
9 + 1 = (9 + (a + 2))3 ⇒ (a + 2)3 = 9 + 1
a = 2; 5
Operación del problema
a = 2. (2221(9))1/3 = 14(9)
(1639)1/3 = 13 no cumple
a = 5: (5551(9))1/3 = 17(9)
(4096)1/3 = 16 si cumple
Conclusiones y respuesta
El conjunto posee un solo elemento.
respuesta: B) Posee un solo elemento
resolución 5
Tema: Estadística
Ubicación de incógnita
Determinar el valor de: A + F5 – 1
Análisis de los datos o gráficos
Sea
R: Rango
A: longitud
K: N° de intervalos
Operación del problema
[4 10⟩ I 1 1
[10 16⟩ III 3 4
[16 22⟩ IIIII 6 10
[22 28⟩ IIIII IIIII 12 22
[28 34⟩ IIIII IIIII 12 34
[34 40⟩ IIII 4 38
[40 46⟩ II 2 40
fi Fi
Rango: R = 46 – 4 mayor menor dato dato R = 42 y K = 7
Longitud: A = RK
→ A = 427
A = 6
Conclusiones y respuestaA = 6 F5 = 34piden A + F5 – 1 = 39
respuesta: e) 39
resolución 6Tema: Probabilidad
Ubicación de incógnitaAnalizar si cada proposición es verdadera o falsa.
Operación del problemaI. Falsa. Si A ⊂ B ⊂ C ⊂ D entonces: P(D) = P(B\A) + P(C\B) + P(D\C) + P(A)II. Falsa. Al lanzar dos dados el espacio muestral es
6 × 6 = 36 Suma = 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3),
(5, 2), (6, 1)
Probabilidad = 636
= 16
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
12Primera Prueba Matemáticas
III. Falsa. Si antes salió 1: {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4),
(1; 5), (1; 6)} Luego que salga 3: {(1; 3)}
Probabilidad = 16
respuesta: e) FFF
resolución 7Tema: Numeración
Ubicación de incógnitaDeterminar K en el sistema decimal
Análisis de los datos o gráficosSe tiene:• a + b + c + d = 11
• k = ab4 = cd5
Operación del problemaDescomponemos polinómicamente los nume-rales. 4a + b = 5c + d3a + a + b = 5c + d
3a + 11 – c – d = 5c + d
3a + 11 = 6c + 2d↓ ↓ ↓3 2 4
a = 3 c = 2 d = 4 b = 2luego:
k = ab4 = 324
k = 14
respuesta: a) 14
resolución 8Tema: Cuatro operaciones
Ubicación de incógnitaHallar la menor cantidad (x) que se le debe dis-minuir a el dividendo.
Análisis de los datos o gráficosDe los datos tenemos:
D 50 q15
D – x 50 q – 13r
Operación del problemaPor el algoritmo de la división, tenemos:D = 50q + 15 .... (1)D – x = 50 (q – 13) + r .... (2)(1) – (2)x = 665 – rx será mínimo si r = 49 (máximo)∴ x = 616
respuesta: c) 616
resolución 9Tema: Series
Ubicación de incógnitaPiden la suma de los puntos de la forma
12m+n
Análisis de los datos o gráficosm ∈ N ∧ n ∈ N ∧ m ≥ n
Operación del problema
Si n = 1: 122
+ 123
+ 124
+ ... = 12
Si n = 2: 124
+ 125
+ 126
+ ... = 18
Si n = 3: 126
+ 127
+ 128
+ ... = 132
S = 12
+ 18
+ 132
+ ... =
12
1– 14
+
Conclusiones y respuesta
∴ S = 23
respuesta: B) 23
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
13Primera Prueba Matemáticas
resolución 10Tema: Inecuaciones II
Ubicación de incógnitaDeterminar el conjunto solución S
Análisis de los datos o gráficos|x + 1| – |x – 2| ≥ 0 ........ (1)|x + 1| – |x – 2| < 4 ....... (2)
Operación del problemaDe (1):(2x – 1)(3) ≥ 0 ⇔ x ≥
12
De (2):–1 ≤ x < 2 ∨ x ≥ 2 ⇔ x ≥ – 1Al intersectar:
x ≥ 12
Conclusiones y respuesta
∴ S = 12
;∞⟩respuesta: B) solo ii
resolución 11Tema: Funciones
Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad
Análisis de los datos o gráficosf(x) = |x| – x
Operación del problemaI. Verdadero En efecto, f(x + y) ≤ f(x) + f(y); ∀x, y∈.
Se fundamenta por desigualdad triangular.II. Verdadero En efecto, g(x) = f(x) ⇔ x2 – 2x – 3 = |x| – x CS = {– 3; 3}
IIII. Verdadero En efecto, h(x) = f(x) ⇔ x2 – 3x + 5 = |x| – x CS = ∅ Conclusiones y respuestaI. V II. V III.V
respuesta: c) VVV
resolución 12Tema: Inecuaciones I
Ubicación de incógnitaIntervalo para m
Análisis de los datos o gráficos
4 + x – 4x2
x2 – x + 1 < m; ∀x ∈
Operación del problemaComo x2 – x + 1 > 0; ∀x ∈ , tenemos4 + x – 4x2 < mx2 – mx + m(m + 4)x2 – (m + 1)x + (m – 4) > 0; ∀x ∈ Según trinomio positivo:(m + 1)2 – 4(m + 4)(m – 4) < 0 ∧ m + 4 > 0
m > 5
Conclusiones y respuesta∴m ∈ ⟨5; ∞⟩
respuesta: e) ⟨5; +∞⟩
resolución 13Tema: Función exponencial
Ubicación de incógnitaCálculo de un valor numérico
Análisis de los datos o gráficosf(a + b) = f(a) . f(b)
• Según la teoría reconocemos que: f(x) = Kx ; K ∈ R+ – {1}
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
14Primera Prueba Matemáticas
Operación del problemaf(a) . f(–a) = Ka . K–a
f(a) . f(–a) = K0
f(a) . f(–a) = 1
Conclusiones y respuesta∴ f(a) . f(–a) = 1
respuesta: c) 1
resolución 14Tema: Funciones
Ubicación de incógnitaCálculo de un valor numérico.
Análisis de los datos o gráficosf(x) = ax2 + bx + c; a > 0, b > 0 ∧ f(0) = 2
Según la teoría:
Ran(f) = [f b2a
; ∞⟩
Operación del problema
f b2a
= a b2a
2
+ bb2a
+ c
Como f(0) = 2, c = 2 y según condición.
b = b2
4a –
b2
2a + 2
4ab = b2 – 2b2 + 8a
4ab = 8a – b2
Conclusiones y respuesta ∴ M = 4
respuesta: D) 4
resolución 15Tema: Función Logarítmica
Ubicación de incógnitaPiden: f–1(x)
Análisis de los datos o gráficos
Tenemos: f(x) = Loga(x + x2 + 1)
Operación del problema
y ↔ x: x = Loga(y + y2 + 1)
ax – y = y2 + 1
a2x – 1 = 2axy
⇒ y = ax – a–x
2
Conclusiones y respuesta
f–1(x) = ax – a–x
2
respuesta: D) ax – a–x
2
resolución 16
Tema: Matrices
Ubicación de incógnita
Despejar la matriz x
Análisis de los datos o gráficos
((Ax)–1)T = 0,5 B –1
Operación del problema
[((Ax)–1)T] –1 = 12
. B–1– 1
(Ax)T = 2B
Ax = 2BT
Conclusiones y respuesta
∴ x = 2A–1 . BT
respuesta: e) x = 2a–1BT
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
15Primera Prueba Matemáticas
resolución 17Tema: Sistema de ecuaciones
Ubicación de incógnitaPiden el conjunto solución del sistema no lineal.
x2 +y2 – 2x – 2y+1 = 0 ...(1)x2 – 2x – y + 1 = 0 ... (2)
Operación del problemaDe(2): y = (x – 1)2
En (1): y2 – y = 0 → y = 0 ∨ y = 1
En (2): Para y = 0: x2 – 2x + 1 = 0 x = 1 Para y = 1: x2 – 2x = 0 x = 0 ∨ = 2
Conclusiones y respuestaC.S={(1; 0), (0;1); (2;1)}
respuesta: D){(1;0), (0;1), (2;1)}
resolución 18Tema: Programación lineal
Ubicación de incógnitaPiden el número de acres de maíz y trigo para maximizar f(x,y)
Análisis de los datos o gráficos
x ymaíz trigo 2 1
f(x; y) = 40x + 30y
Operación del problema
Restricciones: x+y ≤ 4802x+y ≤ 800x ≥ 0; y ≥ 0
x
y
800
480
480400
2x + y = 800
(320; 160)x+y =480
f(x; y) = 40x + 30y
Conclusiones y respuestaEvaluamos: (0; 480) : 14400 (320; 160): 17600 (400; 0) : 16000
respuesta: D) (320; 160)
resolución 19Tema: Sucesiones
Ubicación de incógnitaMenor valor de n
Análisis de los datos o gráficos
an1n2=
Operación del problema
1n2 < 1. 10–7
1n2
< 1
107 ↔ n2 > 107
n > 10.1000
Conclusiones y respuesta∴ n(mín) = 3163
respuesta: e) 3163
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
16Primera Prueba Matemáticas
resolución 20Tema: Funciones
Ubicación de incógnitaGrado mínimo del polinomio
Análisis de los datos o gráficosP(x) ≡ xn + ax + b; divisor de P(x): x2 – 1
Operación del problemaSegún la teoría en mínimo valor de n es tres.
Conclusiones y respuesta∴ n = 3
respuesta: B) 3
resolución 21Tema: Poliedros
Ubicación de incógnitaPiden:AP = BP = CP = PD = R
Análisis de los datos o gráficosDato: arista del tetraedro: AB = a
Operación del problemaReconocemos que “P” es el centro de la esfera circunscrita al tetraedro regular ABCD, luego por propiedad:
R = 4
a 6
B D
C
R
R
Ra
RP
A
respuesta: D) 4
a 6
resolución 22Tema: Prisma
Ubicación de incógnitaPiden: longitud de la arista del cubo = x
Análisis de los datos o gráficosDatos: AD = 6 → AB = 3 h = 2
Operación del problemaAl derretirse el cubo de hielo de arista “x” el nivel de agua en el prisma se incrementa en 2, la cual es altura de otro prisma hexagonal de volumen V tal que:
V = V(cubo)
como V = A(base) × 2
xhielo
6
333
D
CB
A 6
33
33
3
3
2 = h
Conclusiones y respuesta
V = 32
(3)2 3 . 2
V(cubo) = x3
→ x3 = 33 . 3
∴ x = 3 36
Importante: Para que el problema tenga so-lución es necesario que el prisma sea regular.
respuesta: B) 3 36
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
17Primera Prueba Matemáticas
resolución 23
Tema: Cilindro
Ubicación de incógnita
Piden: V(cil)AL(cil)
Análisis de los datos o gráficos
Datos:
H = 5 cm; AB = 16 cm
AL(paral) = 250 cm2
Operación del problemaPor dato:
AL(paral) = 250
→ 2(a + 16) . 5 = 250
→ a = 9
BAD: 92 + 162 = 4R2
R = 2337
luego: V(cil)AL(cil)
= πR2.52πR.5
= R2
55
5 5
C
DA
16
BO
R
Ra=9
H = 5
Conclusiones y respuesta:
∴ V(cil)AL(cil)
= 4337
respuesta: a) 4337
resolución 24
Tema: Cono
Ubicación de incógnita
Piden: Volumen del tronco: VT
VT = πh3
(r2 + R2 + Rr)
Análisis de los datos o gráficos
Datos:
r = 1
R = 2
g = 10
Operación del problema
Trazamos la altura BT
luego: BO = TO’ = 1
→ AT = 1
ATB: h2 + (1)2 = ( 10)2
→ h = 3
luego:
VT = π33
(12 + 22 + 2.1)
∴ VT = 7π
10g = 10h
1 rO CB
A T DO’11 R = 22
respuesta: c) 7π
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
18Primera Prueba Matemáticas
resolución 25Tema: Sólidos
Ubicación de incógnita
Piden: VESFERA = 4π3
R3
Análisis de los datos o gráficosDato: VTRONCO = 336π CONO Operación del problema
2R
r=6
H=2R
2r=12
R
VTRONCO = Hπ3
(62 + (12)2 + 6.12) CONO
4 = H = 2R 2 = R Conclusiones y respuesta
VESFERA = 4π3
(2)3
VESFERA = 32π3
respuesta: c) 32π3
resolución 26Tema: Pirámide
Ubicación de incógnitaPiden: x
Análisis de los datos o gráficosDato:
VP.MNLT
VP.ABCD
= 83
Operación del problema
P
CN
LT
M
A
Dx 15
B15–x
VP.MNLT
VP.ABCD
= 83
= (15)3
(15–x)3
x = 7,5
Conclusiones y respuestax = 7,5
respuesta: c) 7,5
resolución 27Tema: Triángulo
Ubicación de incógnitaPiden: α
Análisis de los datos o gráficosAD = DCmBACD = 2α
Operación del problema
A
B
T
C
D
7α
6α
10α
6α
2α 2αα
a
aa
aα
iABCmBCAT = 10αiABDmBDAT = 12α
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
19Primera Prueba Matemáticas
Conclusiones y respuesta
⇒ mBABD = mBADB = 6α
∴mBDBC = α
⇒ BD = a
∴6α = 60°
⇒ α = 10°
respuesta: c) 10°
resolución 28
Tema: Semejanza de triángulos
Ubicación de incógnita
Piden: DA(DB) = ab
Sea: DA = a y DB = b
Análisis de los datos o gráficos
r = 3 y R = 6
A
B
C
D
R
rr
a
b
Operación del problema
iABD
(Teorema de Brahmagupta)
ab = 2R(r)
Conclusiones y respuesta
ab = 2(6)(3)
ab = 36
respuesta: D) 36
resolución 29
Tema: Relaciones métricas
Ubicación de incógnita
EF = x
Análisis de los datos o gráficos
m∠ABD = 37°
53°
37°M
B
E
A
5
3 D F
x4ax
4–x
C
Operación del problema
m∠DBE = 53°
BED
BE = 3a
ED = 4a
Conclusiones y respuesta
BED
x4 – x
= 42
32
⇒ x = 2,56
respuesta: D) 2,56
resolución 30
Tema: Semejanza de triángulos
Ubicación de incógnita
Piden: BE
Análisis de los datos o gráficos
BI = 6 y DE = I
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
20Primera Prueba Matemáticas
α
α α
θθ
A
E
C
2α 2αa+1 1
D
aα+θI
6
B
Operación del problema
m∠ABE = α
m∠CBE = α
m∠BAI = θ
m∠CAI = θ
⇒ m∠CAE= α
m∠AIE = α + θ
⇒ AE = a + 1
9BAE
(Teorema de antiparalelas)
(a + 1)2 = (7 + a)1
⇒ a = 2
BE = 7 + a
BE = 9
respuesta: B) 9
resolución 31Tema: Áreas
Ubicación de incógnita
Piden: r = A9BCD
A9ABD
Análisis de los datos o gráficos
Dato: AC = CD
(AD = 6; no es necesario)
C
D
A
B
αα α
2α
3α
2α
3αθ θ
θ
L
P3α
K
H
K
K
K 3
Operación del problema
En iACD trazamos CL altura
En iBCP “A” excentro
θ = 60°; m∠CBD = 90°
A9ABD = A9ABC
A9ABC = (BC)K
2
A9BCD = (BC)K(1+ 3)
2
Conclusiones y respuesta
A9BCD
A9ABD
= (1 + 3 )
respuesta: a) (1 + 3)
resolución 32Tema: Geometría de Espacio
Ubicación de incógnita
Medida del diedro
E – DC – B = θ
Análisis de los datos o gráficos
OE = AB
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
21Primera Prueba Matemáticas
Operación del problema
Sea:
OE = AB = 2a
⇒ OM = a
Por teorema de las tres perpendiculares
EM ⊥ CD
θM
C2a
a2a
2a D
O
A
B
E
Conclusiones y respuesta
EOM
Tgθ = 2
respuesta: D) arc tan(2)
resolución 33Tema: Circunferencia trigonométrica
Ubicación de incógnita
y = 4 –9 Csc2 2π3
x +
π < x < 3π2
5π3
< x + 2π3
< 13π6
Análisis de los datos o gráficos
–23 < Sen 2π
3x + < 1
2
Csc 2π3
x + = 2π3
x +
1
Sen
∈ ⟨–∞; – 2
3⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
Csc2 2π3
x + ∈ ⟨ 43
; +∞⟩ ∪ ⟨4; +∞⟩ = ⟨ 43
; +∞⟩
Formando y resulta:
y = 4 – 9 Csc2 2π3
x + ∈ ⟨–∞; –8⟩
respuesta: e) ⟨–∞; –8⟩
resolución 34Tema: Identidades trigonométricas de arcos
dobles
Ubicación de incógnita
k = Cos2 π3
+ x – Cos2 π3
– x – 23 (1 – Sen2x)
Aplicamos: Cos2β – Cos2α = Sen(α + β).Sen(α – β)
Análisis de los datos o gráficos
k = Sen 2π3
.Sen(–2x) – 23 .(1 – Sen2x)
Operación del problema
k = –23 . Sen2x –
23 (1 – Sen2x)
k = –23 (1 + Sen2x)(1 – Sen2x)
k = –23 . Cos22x
respuesta: a) – 23 . cos22x
resolución 35Tema: Indentidades trigonométricas del arco
mitad
Ubicación de incógnita
x ∈ 0; 2π ⇒ Senx ≡ Cos
2π – x
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
22Primera Prueba Matemáticas
Análisis de los datos o gráficos
1 – Senx1 + Senx = Tan
ax +
2aπ
Operación del problema
1 – Cos 2π – x
1 + Cos 2π – x
= Tan ax +
2aπ
Cot 4x –
2π = Tan
4x +
2aπ
Tan 2x +
4π = Tan
ax +
2aπ
a = 2
Conclusiones y respuestaPiden: a2 + 1 = 22 + 1 = 5
respuesta: D) 5
resolución 36Tema: Funciones trigonométricas inversas
Ubicación de incógnita
f(x) = x3
arctan(x) – x
Análisis de los datos o gráficos
f(–x) = (–x)3
arctan(–x) – (–x)
f(–x) = –x3
–arctanx + x
f(–x) = –x3
–(arctanx – x)
f(–x) = x3
arctanx – x = f(x) ⇒ f es par
Conclusiones y respuestaNótese que si x ∈ Df ⇒ –x ∈ Dff ∃ si arctanx ≠ x ⇒ x ≠ 0Averiguamos para que otro valor de x ≠ 0 f corta a y = x2
y = x3
arctanx – x = x2 ⇒ 2x = arctanx
y = arctanx
x
y y = 2x
– π2
π2
Nótese qué ∃ x ≠ 0, por lo tanto: I. Es falsoII. Es verdaderoIII. Es falso
respuesta: B) son correctas solo ii
resolución 37Tema: Longitud de arco
Ubicación de incógnita
53°/2
2
2
T
1
1
1
O
D C
E53°
A B
53°/2
12
53°2
Operación del problema
ASOM = –A A E
CDA
A E
CDÁrea =
Área = (1)2 =
=2+ 1
22
2 52
π π2 2A O D
∴ A sombreada: 52
– π2
= 0,92
respuesta: e) 0,92
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
23Primera Prueba Matemáticas
resolución 38
Tema: Resolución de triángulo
Ubicación de incógnita
B
C a
CbA
Teorema de Cosenos
Cos B= a2+c2–b2
2ac
Cos A=
Cos C= a2+b2–c2
2ab
b2+c2–a2
2bc
Operación del problema
a2+ b2 + c2 = (bcCos A + acCos B + abCos C)
a2+b2 +c2 = k
+ +b2+c2–a2
2a2+c2–b2
2a2+b2–c2
2
Conclusiones y respuesta
a2 + b2 + c2 = k a2+b2+c2
2
k = 2
respuesta: D) 2
resolución 39
Tema: Ecuaciones trigonométricas
Ubicación de incógnita
Expresar la ecuación en su forma elemental
Sen2x – 12(Senx – Cosx) + 12 = 0
Operación del problema
12(Senx – Cosx – 1) – 2Senx ∙ Cosx + 1 – 1 = 0
12(Senx – Cosx – 1) + (Senx – Cosx)2 – 1 = 0
12(Senx – Cosx – 1) +
(Senx – Cosx + 1)(Senx – Cosx – 1) = 0
(Senx – Cosx – 1)(Senx – Cosx + 13) = 0
Senx – Cosx = 1
CosJKLx+
π4
NOP
=– 2
2
x + π4
= 2kπ ± 3π4
x1: 2kπ + 3π4
– π4
; x2: 2kπ – 3π4
– π4
x1: 2kπ + π2
; x2: 2kπ – π
Conclusiones y respuesta
x1: πJKL2k +
12
NOP
; x2 = π(2k + 1)
C.S.: Z[\
(2k+1)π; JKL2k +
12
NOP
π_`a
respuesta: D) (2k+1)π yJKL2k+
12
NOP
π , k∈Z
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS
24Primera Prueba Matemáticas
resolución 40
Tema: R.T. de ángulo en P. N
Ubicación de incógnitaUbicar los ángulos en posición normal
Análisis de los datos o gráficosy
x
(–4;–2)
(4;2)
-ββ
Tanβ=– 12
y
x
(2;1)(–1;2)
θθ
Tanθ= 12
y
x
(4;–2)
(2;4)
φ
φ
Tanφ = 2
Operación del problema
E=Tanθ + Tanβ + Tanf
E= 12
– 12
+2
∴ E = 2
respuesta: D) 2
Top Related