Adquisició i processat de senyal
Robert Arcos Villamaŕın
Meritxell Genescà Francitorra
Arnau Clot Razquin
Revisat a
26 de setembre de 2012
http://leamhttp://www.etseiat.upc.edu
Índex
1 Introducció 1
1.1 Tipus de Senyals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Adquisició de senyals 5
2.1 Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Conversió A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Eix temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Eix de voltatge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Anàlisi de senyals 10
3.1 Anàlisi temporal de senyals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Anàlisi freqüencial de senyals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 La Transformada de Fourier (FT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 La Transformada Discreta de Fourier (DFT) . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Senyals transitoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.4 Senyals periòdics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.5 Senyals aleatoris continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.6 “Leakage” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bibliografia 23
i
Caṕıtol 1
Introducció
Vibració: Moviment ondulatori d’un cos (sòlid o part́ıcula) o sistema de cossos entorn
una posició d’equilibri. Les vibracions poden caracteritzar-se mitjançant la mesura del
desplaçament, velocitat o acceleració lineal o angular del cos. Cadascuna d’aquestes
magnituds pot ser descrita en el domini temporal o freqüencial. Com veurem al caṕıtol
3, la descripció d’un senyal en el domini freqüencial s’anomena espectre i pot ésser
obtingut a partir del senyal temporal utilitzant la transformada de Fourier (FT). La
Taula 1.1 mostra el śımbol i les unitats associades a cada una d’aquestes magnituds.
En aquest curs entendrem com a senyal a la evolució temporal tant d’una de les mag-
nituds anteriors com de la força. Segons la forma de caracteritzar aquesta evolució, es
distingiran diferents tipus de senyals.
1.1 Tipus de Senyals
El següent esquema mostra la classificació dels senyals segons la llei temporal que descriu
es moviment [1].
Senyals deterministes: Senyals que poden ser definits o aproximats per una
funció matemàtica f(t).
– Periòdics: Senyals que compleixen que f(t) = f(T + t) on T és el peŕıode
del senyal.
* Harmònics: Senyals sinusoidals. Vegeu la Fig. 1.1.
* No harmònics. Vegeu la Fig. 1.2.
– Transitoris: Senyals finits en el temps. Vegeu la Fig. 1.3.
1
Introducció 2
Domini Magnituds Śımbol Unitats
Temporal
Desplaçament lineal x(t) m
Desplaçament angular θ(t) rad
Velocitat lineal ẋ(t) m/s
Velocitat angular θ̇(t) rad/s
Acceleració lineal ẍ(t) m/s2
Acceleració angular θ̈(t) rad/s2
Força f(t) N
Freqüencial
Desplaçament lineal X(ω) −Desplaçament angular θ̃(ω) −
Velocitat lineal Ẋ(ω) −Velocitat angular
˙̃θ(ω) −
Acceleració lineal Ẍ(ω) −Acceleració angular
¨̃θ(ω) −
Força F (ω) −
Taula 1.1: Śımbols i unitats de les magnitud utilitzables per caracteritzar la vibraciód’un cos. Les unitats en el domini freqüencial estan sotmeses a com s’hagi definit la
FT (veure caṕıtol 3).
– Altres.
Senyals aleatoris: Senyals que no poden ser predits de forma prou precisa i
només es poden definir mitjançant les seves propietats estad́ıstiques, tals com la
mitjana i la variància. Vegeu la Fig. 1.4.
– Continus: Senyals que són persistents en el temps.
* Estacionaris: Senyals en els que les seves propietats estad́ıstiques no va-
rien en el temps.
* No estacionaris: Senyals en que aquestes propietats si que varien en el
temps.
– Transitoris: Senyals que presenten una variabilitat important del seu valor
eficaç mòbil (veure secció 3.1).
Introducció 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
−3
Temps [s]
ẍ(t)[m
/s2]
Figura 1.1: Senyal determinista, periòdic i harmònic. Podria correspondre al senyalde vibració generat per una màquina rotativa no equilibrada.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
4
Temps [s]
f(t)[N
]
Figura 1.2: Senyal determinista, periòdic i no harmònic. Podria correspondre alsenyal de força generat per un motor de quatre temps.
Introducció 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
−3
Temps [s]
ẍ(t)[m
/s2]
Figura 1.3: Senyal determinista i transitori. Podria correspondre al senyal de vibraciómesurada en un sistema que ha estat excitat per un impuls o un xoc, com pot ser el
cas d’un tren d’aterratge en el moment que l’avió està aterrant.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−3
−2
−1
0
1
2
3
x 10−3
Temps [s]
ẍ(t)[m
/s2]
Figura 1.4: Senyal aleatori, continu i estacionari. Podria correspondre al senyal devibració indüıda per la turbulència de l’aire en l’ala d’un avió
Caṕıtol 2
Adquisició de senyals
La cadena de mesura és el conjunt d’equips que intervenen en l’adquisició del senyal.
Normalment està integrada per un sensor i un equip que realitza la conversió del senyal
d’analògic a digital (A/D) abans de realitzar el processament d’aquest. La Fig. 2.1
mostra un esquema d’aquesta cadena de mesura.
����������������
�������������������
���������������
Figura 2.1: T́ıpica cadena de mesura i processament d’un senyal.
2.1 Sensor
El sensor s’encarrega de generar un senyal elèctric proporcional al valor de la magnitud
f́ısica (acceleració, velocitat, desplaçament o força en el nostre cas) mesurada. Aquesta
constant de proporcionalitat s’anomena sensibilitat i, a la pràctica, només es pot consi-
derar aproximadament constant dins del rang de freqüències de funcionament del sensor.
En aquesta assignatura el sensor més usat és l’acceleròmetre, el qual mesura l’acceleració
de la vibració ẍ(t). La sensibilitat d’aquest tipus de sensors es mesura en [V/(m/s2)].
La Fig. 2.2 mostra de manera gràfica la transformació d’un senyal d’acceleració ẍ(t) a
un senyal de voltatge proporcional V (t) per part d’un acceleròmetre de sensibilitat S.
5
Adquisició de senyals 6
..
..
�������������
����
����������
����
�����������
����
�����������
Figura 2.2: La lectura de voltatge del sensor V (t) es transforma a un senyal querepresenta la magnitud f́ısica mesurada (en el cas d’un acceleròmetre ẍ(t)) per aquest
a través de la seva sensibilitat S.
2.2 Conversió A/D
En aquesta etapa el senyal proporcionat per l’acceleròmetre (senyal analògic o continuu)
es discretitza tant en l’eix temporal com en l’eix de voltatge (senyal digital o discret).
És a dir, pel que fa a l’eix temporal es passa de tenir un senyal continu en el temps a
tenir només mostres del senyal cada cert increment de temps ∆t. Cadascuna d’aquestes
mostres pren un valor de voltatge que no és exactament el que mesura el sensor, sinó el
valor més proper a l’exacte d’una llista de possibles valors (veure l’apartat 2.2.2).
2.2.1 Eix temporal
Al discretitzar l’eix temporal passem a tenir només mostres del senyal cada cert incre-
ment de temps ∆t. Per a fer-ho es defineix normalment una freqüència de mostratge
(fs), que està relacionada amb l’increment de temps segons
fs =1
∆t(2.1)
Una mala elecció en aquesta freqüencia de mostratge implicaria l’aparició del fenomen
conegut com aliasing. Aquest fenomen comporta que s’obtingui, un cop discretitzat,
un senyal de freqüència inferior a la real. Aquest fet queda il·lustrat en la Fig. 2.4 on
el senyal sinusoidal (senyal blau o “actual signal”) ha estat discretitzat de manera que
se n’han pres mostres amb un ∆t que sembla provenir d’un senyal de freqüència inferior
(senyal vermell o “alias signal”).
Adquisició de senyals 7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−3
Temps [s]
ẍ(t)[m
/s2]
∆t
Figura 2.3: Discretització de l’eix temporal del senyal.
Figura 2.4: Senyal afectat per aliasing durant la conversió analògica-digital.
El criteri de Nyquist diu que teòricament la freqüència de mostreig ha de ser més de dos
cops superior a la freqüència màxima del rang de freqüències amb contingut significatiu
del senyal (fmax):
fs ≥ 2fmax. (2.2)
Adquisició de senyals 8
Els equips d’adquisició de dades són aplicar filtres anti-aliasing per obligar a que l’es-
pectre a prop de la freqüència de Nyquist sigui pràcticament nul. Això fa que s’hagi
de triar un criteri una mica més restrictiu per tal de que aquests filtres no afectin la
qualitat del contigut freqüencial significatiu del senyal mesurat. S’exigirà que
fs ≥ 2, 5fmax. (2.3)
Normalment però s’utilitza el criteri
fs ≥ 2, 56fmax, (2.4)
ja que és més pràctic numèricament parlant (al ésser 28/100 = 2, 56).
2.2.2 Eix de voltatge
La precisió de l’eix de voltatge bé donada per dos paràmetres: el rang dinàmic d’entrada
i la resolució digital de l’equip encarregat de fer la discretització analògica/digital.
El rang dinàmic d’entrada (± IS[V]) és l’amplitud màxima de senyal que l’equipadmet. Si l’amplitud del senyal és superior al rang dinàmic d’entrada, el senyal quedarà
escapçat. Aquest fet es pot observar en la Fig. 2.5.
Figura 2.5: Senyal escapçat.
La resolució digital (n [bits]) defineix el número de divisions en les que queda separat
el rang dinàmic d’entrada. La relació entre les divisions i el nombre de bits és simplement
ndivisions = 2n. La Fig. 2.6 mostra la conversió A/D d’un senyal sinodal. Com que la
precisió de l’eix de voltatge és ara finita, el valor de cada mostra de senyal es redefineix
al nivell (o divisió) més pròxima.
Un cop realitzada la discretització del senyal, es tenen un conjunt de mostres x((n−1)∆t)on n = 1, 2, 3...N . D’aquesta forma la longitud temporal del senyal enregistrat Tr es pot
escriure com Tr = N∆t, on N és el número de mostres total del senyal enregistrat.
Adquisició de senyals 9
Figura 2.6: Conversió A/D d’un senyal sinodal.
Un cop discretitzat el senyal, cal reconvertir l’eix de voltatge a la unitat de la magnitud
mesurada. Per això és necessari introduir a l’equip d’adquisició el valor de la sensibilitat
del sensor. Aquest pas es mostra en la Fig. 2.7 pel cas d’un acceleròmetre.
..
..
�������������
����
����������
����
�����������
����
�����������
Figura 2.7: Cadena d’adquisició i processament del senyal
Caṕıtol 3
Anàlisi de senyals
En aquest caṕıtol es resumeixen els conceptes i les tècniques referents a l’anàlisi de
senyals de vibració. Per a tots aquells que volgueu aprofundir en el tema és molt reco-
manable la lectura de [2]. Les variables que utilitzarem en aquest apartat seran:
Tr: Temps total del senyal o temps d’enregistrament.
N : Número de mostres total del senyal discretitzat.
Tb: Durada en temps d’un determinat tram del senyal, al qual anomenarem bloc.
Nb: Número de mostres d’un bloc. Anomenat habitualment “blocksize”. Sol valdre
una potencia de 2 per tal d’aconseguir la màxima eficiència en l’aplicació de la Fast
Fourier Transform (FFT) (veure apartat 3.2).
n: Índex que recorre les mostres en el domini temporal.
m: Índex que recorre les mostres en el domini freqüencial.
En el codi MATLAB que s’ha proporcionat a l’alumne, aquest podrà observar l’imple-
mentació pràctica dels processats de senyal que seguidament s’expliquen.
3.1 Anàlisi temporal de senyals
L’anàlisi temporal d’un senyal consisteix en obtenir informació de la seva representació
temporal. Aquest tipus de representació sol donar menys informació rellevant sobre
la fenomenologia de la vibració mesurada que la representació freqüencial. Tot i aix́ı,
moltes normatives la utilitzen per quantificar el nivell de vibració en forma d’un únic
valor global. Existeixen gran varietat d’avaluadors d’aquest valor global:
10
Anàlisi de senyals 11
Valor de pic: Valor màxim del valor absolut del senyal.
ẍpic = max |ẍ(t)| . (3.1)
Valor mig: S’utilitza habitualment per saber quant de centrat a zero està el
senyal.
¯̈x =1
Tr
∫ Tr0
ẍ(t)dtDiscret−−−−→ ¯̈x = 1
N
N∑n=1
ẍ ((n− 1)∆t)︸ ︷︷ ︸ẍn
=1
N
N∑n=1
ẍn. (3.2)
Valor eficaç o RMS (Root Mean Square): És el valor més utilitzat per carac-
teritzar en el domini temporal senyals estacionaris, tan siguin deterministes com
aleatoris.
ẍRMS =
√1
Tr
∫ Tr0
ẍ2(t)dtDiscret−−−−→ ẍRMS =
√√√√ 1N
N∑n=1
ẍ2n. (3.3)
Valor eficaç mòbil o “running” RMS: Aquest avaluador determina el valor
RMS tram a tram del senyal (on cada bloc té una llargada Tb i un número de
mostres Nb), obtenint-se un registre temporal que defineix l’evolució de l’arrel de
la potencia del senyal en el temps. Cada bloc és un tros de senyal retallat avançant
mostra a mostra. És l’avaluador més utilitzat per caracteritzar senyals transitoris,
tan siguin deterministes com aleatoris, normalment a partir del seu valor màxim,
el qual s’anomena MTVV (“Maximum Transient Vibration Value”).
ẍ(t)RMS =
√1
Tb
∫ tt−Tb
ẍ2(t′)dt′Discret−−−−→ ẍRMSn =
√√√√ 1Nb
n′=n−1∑n′=n−dTb/∆te
ẍ2n′ , (3.4)
on d.e és una de les funcions part entera, concretament la “ceiling function”. Exis-teix una altre versió d’aquest avaluador que treballa amb tot el senyal anterior al
instant avaluat i que el pondera segons una llei exponencial, la qual dona més pes
als events propers a l’instant avaluat i menys pes als llunyans.
ẍ(t)RMS =
√1
τ
∫ t0
e−t−t′τ ẍ2(t′)dt′
Discret−−−−→ ẍRMSn =
√√√√ 1Nb
n′=n−1∑n′=1
e−∆tτ
(n−n′)ẍ2n′ .
(3.5)
Per senyals transitoris impulsionals es sol treballar amb Tb o τ de 125 ms (l’anome-
nat temps d’integració “Fast” en els clàssics sonòmetres) i per senyals d’evolució
temporal lenta amb 1 s (l’anomenat temps d’integració “Slow” també en els clàssics
sonòmetres).
Anàlisi de senyals 12
Tots els valors anteriors d’una senyal d’acceleració poden expressar-se en decibels (dB).
Per fer-ho cal tenir en compte el valor de referencia de la magnitud mesurada segons les
següents expressions
Desplaçament en dB = 20 log
(x
x0
),
Velocitat en dB = 20 log
(ẋ
ẋ0
),
Acceleració en dB = 20 log
(ẍ
ẍ0
),
(3.6)
on x, ẋ i ẍ poden ser qualsevol de les variables definides anteriorment: Valor de pic,
valor mig, valor eficaç o valor eficaç mòbil. Els valors de referència prenen els següents
valors: x0 = 10−12 m, ẋ0 = 10
−9 m/s i ẍ0 = 10−6 m/s2.
3.2 Anàlisi freqüencial de senyals
Els paràmetres obtinguts de l’anàlisi temporal en l’apartat anterior donen idea de si el
nivell de vibració es troba dins dels ĺımits permesos per la normativa o no. No obstant, no
ofereixen massa informació de cara a l’estudi de les possibles causes d’aquesta vibració.
De l’anàlisi freqüencial, en canvi, es poden obtenir resultats molt més útils. Per exemple,
a la Fig. 3.2 es mostra l’espectre freqüencial del senyal en la Fig. 3.1, es pot deduir que
el senyal té components sinusöıdals de la freqüència i amplitud dels pics que es veuen en
la representació.
Com s’observa a la Fig. 3.2, l’espectre freqüencial del senyal de la Fig. 3.1 representa
l’offset com un pic a freqüència nul·la, les tres components sinusöıdals com tres pics a
les seves corresponents freqüències i el soroll blanc gaussià com una distribució mes o
menys uniforme de contingut frecuencial. Com que en aquest cas estem representant
l’espectre de valor de pic (veure apartat 3.2.5) també succeeix que les amplituds dels
sinus i de l’offset són aproximadament iguals a les utilitzades per generar el senyal.
En el cas de que la senyal de la Fig. 3.1 fos una senyal mesurada a la realitat, la freqüència
on es troben els pics dóna idea de la font que pot haver-los generat; per exemple un pic
a la freqüència de rotació d’un motor pot indicar que la causa és un descentrament de
la seva massa. Un pic a la freqüència de rotació d’un motor multiplicada pel número de
boles d’un coixinet pot indicar que la causa de la vibració és el coixinet. L’amplitud dels
pics permet determinar quines fonts són més importants que d’altres i per tant sobre
Anàlisi de senyals 13
0 0.5 1 1.5 2−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Temps [s]
ẍ(t)[m
/s2]
Figura 3.1: Representació temporal d’un senyal composat per un soroll blanc gaus-sià, un offset de 3,5 mm/s2, i tres senyals sinusöıdals de freqüències 5, 10 i 20 Hz i
d’amplituds 3, 4 i 2 mm/s2.
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
−3
Freqüència [Hz]
|Ẍ(f)|[m
/s2]
Figura 3.2: Espectre de valor de pic a una cara de la senyal mostrada a la Fig. 3.1.
Anàlisi de senyals 14
quines fonts és més eficaç actuar. En els següents apartats es veurà què és i com s’obté
la representació freqüencial d’un senyal en funció de quin tipus de senyal és.
3.2.1 La Transformada de Fourier (FT)
La Transformada de Fourier (FT) és la eina matemàtica utilitzada generalment per
obtenir l’espectre freqüencial d’un senyal temporal. La transformada de Fourier cont́ınua
no té una forma estandaritzada; normalment pren formes basades en la següent expressió:
X(ω) =1
(2π)p
∫ +∞−∞
x(t)e±iωtdt, (3.7)
on p sol valdre 0, 1/2 ó 1. Si x(t) ∈ R, cosa que sempre succeeix per a senyals demagnituds f́ısiques, X(ω) ∈ C. A més, es compleix que la part real de X(ω) és sempresimètrica respecte freqüència 0, i la part imaginària és sempre antisimètrica. Per tant,
X(ω) té simetria conjugada respecte la freqüència nul·la: X(ω) = X∗(−ω). La FTnomés pot ser aplicada a funcions d’energia finita, les quals hauran de complir doncs
que
∫ +∞−∞
x2(t)dt
Anàlisi de senyals 15
Energia d’un senyal =
∫ +∞−∞
x2(t)dt =
∫ +∞−∞
X(f)X∗(f)df (3.11)
Tot seguit veurem com adaptar la FT per a la transformació al domini freqüencial
de les diferents tipologies de senyals separades en tres grans grups: transitoris (tan
deterministes com aleatoris), periòdics o aleatoris continus.
3.2.2 La Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Ara bé, les Eqs. (3.9) i (3.10) només són aplicables per a senyals analògics i, per tant,
han de ser adaptades a format discret per a poder treballar amb senyals digitalitzats.
En aquest sentit, podem definir la Transformada Discreta de Fourier (DFT) segons
l’expressió
Ẍm =N∑n=1
ẍne− 2πi(n−1)(m−1)
N . (3.12)
essent la seva funció inversa (DFT−1)
ẍn =1
N
N∑m=1
Ẍme2πi(n−1)(m−1)
N . (3.13)
com es pot trobar demostrat a [2] (pp. 115-116). L’Eq. (3.12) és la fórmula més comuna
de la DFT, la qual sol ésser implementada per l’algoritme més eficient que existeix per
calcular-la: la Fast Fourier Transform (FFT). És el cas de MATLAB que, com es pot
veure en aquest link [3], utilitza les funcions fft i ifft per implementar la DFT i la
DFT−1 en la forma aqúı mostrada. Per tant les Eqs. (3.12) i (3.13) es simplifiquen a
Ẍm = fft(ẍn), (3.14)
ẍn = ifft(Ẍm). (3.15)
Els vectors temps tn i freqüència fm, associats a ẍn i Ẍm respectivament, s’han de
prendre amb la forma
tn =[0 (n− 1)∆t Tr
]= ∆t
[0 n− 1 N − 1
], (3.16)
Anàlisi de senyals 16
fm =[0 (m− 1)∆f fs
]=[0 m−1Tr
1∆t
]=
1
Tr
[0 m− 1 N − 1
], (3.17)
ja que es compleix que ∆f = 1/Tr. Tot i aix́ı, el vector freqüència es sol reescriure (i
conseqüentment Ẍm) de la forma
N imparell → fm =1
Tr
[−(N − 1)/2 m− 1 (N − 1)/2
],
N parell → fm =1
Tr
[1− (N/2) m− 1 N/2
],
(3.18)
per treballar amb la freqüència nul·la al centre de l’espectre i amb freqüències negatives i
positives a banda i banda. Existeix una funció a MATLAB que permet realitzar aquesta
operació: fftshift. Per tant, per treballar amb aquesta nova representació espectral
les Eqs. (3.14) i (3.15) passen a ser
Ẍm = fftshift (fft(ẍn)) , (3.19)
ẍn = ifft(ifftshift(Ẍm)
). (3.20)
Aquesta manera de visualitzar l’espectre s’anomena espectre a dos cares. Com s’ha
vist anteriorment, una de les propietats de la FT és que l’espectre té simetria conjugada
respecte la freqüència nul·la, cosa que òbviament es conserva per la DFT. Això fa que
habitualment s’opti per simplificar la representació espectral concentrant tota la infor-
mació a les freqüències positives, obtenint-se l’espectre a una cara (veure següents
apartats). El vector freqüències utilitzat per aquesta descripció té la forma
N imparell → fm =1
Tr
[0 m− 1 (N − 1)/2
],
N parell → fm =1
Tr
[0 m− 1 N/2
].
(3.21)
Per tal d’aconseguir la màxima eficiència computacional de les funcions fft es recomana
sempre treballar amb N que siguin potència de 2. Tot i aix́ı aquesta funció també té
una bona eficiència per a una N arbitrària.
Anàlisi de senyals 17
3.2.3 Senyals transitoris
Els senyals transitoris compleixen la condició d’energia finita (Eq. (3.8)), la qual és
necessària per poder aplicar la transformada de Fourier. Concretament, per descriure
freqüencialment senyals transitoris digitalitzats s’utilitza la Densitat Espectral d’E-
nergia (ESD), la qual es pot avaluar a partir de la DFT com veurem seguidament.
Es parteix del teorema de Parseval en forma discreta per avaluar l’energia d’un senyal
transitori digitalitzat. L’Eq. (3.11) es pot escriure discretament com
∫ +∞−∞
x2(t)dt ≈(
N∑n=1
ẍn
)∆t =
N∑m=1
(∆t
N
∣∣∣Ẍm∣∣∣2) , (3.22)on s’observa que el terme
∣∣∣Ẍm∣∣∣2 ∆t/N és l’aportació a l’energia total de l’harmònic mi, per tant, això vol dir que l’espectre d’energia EEm es pot escriure com
EEm =∆t
N
∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.23)Si es divideix l’espectre d’energia per l’ample de banda (∆f = 1/Tr) s’obté una aproxi-
mació a la ESD SEm a l’entorn de la freqüència fm
SEm = (∆t)2∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.24)
La ESD és el descriptor freqüencial estàndard per a senyals transitoris, ja que a partir
d’ella es poden calcular tota la resta de descriptors que habitualment s’utilitzen. Aquests
altres descriptors es detallen a la següent llista:
Espectre d’energia a una cara EWEm :
N imparell →{EWE1 = EE(N+1)/2
EWEm = 2EEm m = 2, . . . , (N + 1)/2
N parell →
EWE1 = EEN/2
EWEm = 2EEm m = 2, . . . , (N/2)
EWE(N/2)+1 = EE(N/2)+1
. (3.25)
Anàlisi de senyals 18
Densitat espectral d’energia a una cara WEm :
N imparell →{WE1 = SE(N+1)/2
WEm = 2SEm m = 2, . . . , (N + 1)/2
N parell →
WE1 = SEN/2
WEm = 2SEm m = 2, . . . , (N/2)
WE(N/2)+1 = SE(N/2)+1
,
. (3.26)
Espectre per bandes freqüencials a una cara EEB : Segurament la repre-
sentació freqüencial més habitual a l’enginyeria són les bandes d’octava o de terç
d’octava [4]. Cada banda frequencial B té una freqüència central fcB , que és la que
li dóna nom, i unes freqüències inferior finfB i superior fsupB que defineixen el seu
ample de banda. El contigut d’energia associat a aquesta banda s’obté d’integrar
la ESD a llarg de l’ample de banda, segons l’expressió
EEB =
∫ fsupBfinfB
WE(f)df, (3.27)
que a efectes discrets implica sumar tot el contigut freqüencial WEm entre finfB i
fsupB i multiplicar per ∆f .
3.2.4 Senyals periòdics
Teòricament, la FT de Fourier no pot ser aplicada a senyals periòdics ja que aquests
no compleixen la condició definida a l’Eq. (3.8). El mètode que s’ha d’utilitzar en
aquests casos és la descomposició en series de Fourier, que com veurem és una
versió adaptada de la FT. Aquesta metodologia diu que qualsevol senyal periòdic es pot
descomposar en una suma de funcions sinusöıdals segons
ẍ(t) =
m=+∞∑m=−∞
[am cos (ωmt) + bm sin (ωmt)] , (3.28)
la qual es pot simplificar utilitzant la fórmula d’Euler (eiθ = cos(θ)+i sin(θ)), obtenint-se
ẍ(t) =m=+∞∑m=−∞
Ẍmeiωmt, (3.29)
on
Anàlisi de senyals 19
Ẍm = am + ibm =1
T
∫ T/2−T/2
ẍ(t)eiωmtdt, (3.30)
essent T el peŕıode de la senyal periòdica. Com s’observa, l’Eq. (3.30) és molt similar a
la FT definida a l’Eq. (3.9), amb les els únics canvis de la reducció de ĺımits d’integració
per abarcar un únic peŕıode del senyal i la inclusió del terme 1/T . A la pràctica, mai
mesurarem un senyal purament periòdic i tampoc sabrem mai, a priori, quina és la seva
periodicitat T , per tant la descomposició en sèries de Fourier esdevé una tècnica només
vàlida per a funcions estrictament deterministes. A nivell discret per tant, els senyals
periòdics o aproximadament periòdics els processarem d’igual forma que els senyals
aleatoris continus.
3.2.5 Senyals aleatoris continus
Per tal de poder utilitzar la FT per analitzar aquesta tipologia de senyals que tampoc
compleix l’Eq. (3.8), aquesta s’adapta de la següent forma:
Ẍ(ω) = limT→∞
1
T
∫ +∞−∞
ẍ(t)e−iωtdt. (3.31)
Habitualment però, no s’utilitza aquest descriptor espectral per descriure el contigut
freqüencial d’aquesta tipologia de senyals, sinó que s’utilitza la Densitat Espectral
de Potència (PSD). Per estimar aquest descriptor per al cas d’un senyal discret es
divideix tot el registre temporal enregistrat Tr en blocs de peŕıode Tb i número de
mostres Nb (“blocksize”), els quals poden estar solapats entre ells. Aquest solapament
es sol quantificar via una variable anomenada “overlap”, la qual és senzillament un
tant per cent. Aquest procés de subdivisió de la senyal original en blocs s’anomena
“windowing”. Per a cada bloc pot estimar-se la seva PSD a partir de la seu Ẍm (Eq.
(3.19)), com veurem seguidament. Es parteix del teorema de Parseval en forma discreta
per avaluar la potència de només un bloc del senyal aleatori continu digitalitzat:
Potència d’un bloc de senyal =1
Tb
∫ Tb0
ẍ2(t)dt ≈ 1Nb
Nb∑n=1
|ẍn|2 =Nb∑m=1
(1
N2b
∣∣∣Ẍm∣∣∣2) ,(3.32)
on s’observa que el terme∣∣∣Ẍm∣∣∣2 /N2b és l’aportació a la potència total de la freqüència
fm i, per tant, això vol dir que l’espectre de potència d’un bloc es pot escriure com
Anàlisi de senyals 20
EbPm =1
N2b
∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.33)Si es divideix aquest espectre de potència per l’ample de banda ∆f = 1/Tb s’obté una
aproximació a la PSD SbPm del bloc a l’entorn de la freqüència fm
SbPm =∆t
Nb
∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.34)Una vegada obtingut la PSD estimada per a cada bloc del senyal SbPm , es fa un amitjanat
de tots aquests espectres obtenint-se una PSD global SPm . Els amitjanaments més
utilitzats són:
Lineal:
SPm =1
Nblocs
Nblocs∑b=1
SbPm , (3.35)
on Nblocs és el número de blocs en que s’ha dividit el senyal total enregistrat.
RMS:
SPm =
√√√√ 1Nblocs
Nblocs∑b=1
SbPm2, (3.36)
Exponencial: S’utilitza sobretot quan es vol veure l’espectre global en temps
real. Dóna més pes als blocs propers al instant actual i menys pes als blocs més
distanciats temporalment d’aquest instant.
Altres descriptors de l’espectre freqüencial per a senyals aleatoris continus són que es
poden obtenir a partir de SPm són:
Densitat espectral de potència a una cara WPm :
N imparell →{WP1 = SP(N+1)/2
WPm = 2SPm m = 2, . . . , (N + 1)/2
N parell →
WP1 = SPN/2
WPm = 2SPm m = 2, . . . , (N/2)
WP(N/2)+1 = SP(N/2)+1
,
(3.37)
Espectre de valor eficaç o RMS a una cara ERMSm :
ERMSm =
√WPmTb
(3.38)
Anàlisi de senyals 21
Espectre de valor de pic a una cara Epicm :
Epeakm =√
2
√WPmTb
(3.39)
Espectre per bandes freqüencials a una cara EPB o ERMSB : Es pot definir
l’espectre de potència per una banda de freqüència B com
EPB =
∫ fsupBfinfB
WP (f)df, (3.40)
que a efectes discrets implica sumar tot el contigut freqüencial WPm entre finfB i
fsupB i multiplicar per ∆f . També es pot definir l’espectre de valor eficaç d’una
banda freqüencial B, el qual ve donat per
ERMSB =
√∫ fsupBfinfB
WP (f)df, (3.41)
on el procés de càlcul a nivell discret és igual que per l’Eq. (3.40).
3.2.6 “Leakage”
La realització del “windowing” d’un senyal implica multiplicar el senyal per una finestra
temporal, la qual es va desplaçant en el temps per obtenir cadascun dels blocs. Cada
bloc resultant del “windowing” no tindrà el mateix contingut freqüencial que el senyal
original, ja que l’aplicació de la finestra temporal (sigui quina sigui) el modifica. Per
exemple, per un senyal sinusöıdal infinit, que tindria per tant un espectre de freqüència a
una cara en forma d’una delta de Dirac a la freqüència d’oscil·lació del sinus, l’espectre de
cada bloc tindria contigut freqüencial no només a la freqüència del sinus sinó també a les
freqüències col·lidants a aquesta, com s’observa a la Fig. 3.3. Aquest fet es dona per que
dins de cada bloc, el nombre de peŕıodes de cadascuna de les components freqüencials
del senyal no té per que ser un número enter. Aquestes porcions de peŕıode restants
generen continguts a freqüèncials de freqüència sensiblement diferent a la freqüència que
els hi pertocaria, generant una lobulació al voltant d’aquesta. Aquest fenomen és el que
s’anomena “leakage”.
Aquest fenomen no pot evitar-se, però pot modelar-se mitjançant una tria adequada de
la finestra temporal. Les funcions finestra prenen valors entre 0 i 1 en el peŕıode Tb i
són nul·les (o tendeixen a zero amb suficient rapidesa per ser integrables) fora d’aquest
peŕıode. Les necessitats de resolució en freqüència i amplitud seran les que dictaminaran
quina hauria de ser la finestra a escollir. La Taula 3.1 resumeix l’idonëıtat de cada tipus
de finestra en funció dels requeriments de la mesura.
Anàlisi de senyals 22
0 2 4 6 8 10 120
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
−3
Freqüència [Hz]
Ẍ(f)[m
/s2]
Figura 3.3: Espectre d’un senyal sinusöıdal d’amplitud 2,5 m/s2 i freqüència d’os-cil·lació 5 Hz. El gràfic blau representa l’espectre d’aquest senyal si fos analògic iel gràfic verd representa l’espectre del bloc resultant d’aplicar una finestra temporal
rectangular de Tb = 7, 7 s al senyal mostrejat segons fs = 1000 Hz.
Finestra Precisióenfreqüència
Precisióen ampli-tud
Senyalsperiòdics
Senyalstransitoris
Senyalsaleatoriscontinus
Rectangular � � ↓ ↑ ↓Kaisser-Bessel
� ↓ ↑ ↓ ↓
Flat top ↓ � ↑ ↓ ↓Hanning ↑ ↑ ↑ ↓ ↑
Taula 3.1: Idonëıtat de les tipologies de finestres temporals més utilitzades.
Bibliografia
[1] D. Havelock, S. Kuwano, and M. Vorländer. Handbook of signal processing in acous-
tics - Volume 1. Springer, 2008.
[2] D.E. Newland. An introduction to random vibrations, spectral & wavelet analysis.
Dover Publications, Inc., 1993.
[3] MathWorks. Fast fourier transform, 2012. URL http://www.mathworks.es/es/
help/matlab/ref/fft.html.
[4] AENOR. UNE-EN 61260 - Filtros de bandas de octava y de bandas de una fracción
de octava, 1997.
23
http://www.mathworks.es/es/help/matlab/ref/fft.htmlhttp://www.mathworks.es/es/help/matlab/ref/fft.html
1 Introducció1.1 Tipus de Senyals
2 Adquisició de senyals2.1 Sensor2.2 Conversió A/D2.2.1 Eix temporal2.2.2 Eix de voltatge
3 Anàlisi de senyals3.1 Anàlisi temporal de senyals3.2 Anàlisi freqüencial de senyals3.2.1 La Transformada de Fourier (FT)3.2.2 La Transformada Discreta de Fourier (DFT)3.2.3 Senyals transitoris3.2.4 Senyals periòdics3.2.5 Senyals aleatoris continus3.2.6 ``Leakage''
Bibliografia
Top Related