Agradecimiento
A mi esposa, Gloria.
Sus profundas intuiciones dan sentido, al arte de la Lógica.
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
1
!
Lógica-!-LgcaSierra-Aristizábal, Manuel
Grupo de investigación: Lógica y Computación
Departamento de Ciencias Matemáticas
Universidad EAFIT
Coloquio de Ciencias Matemáticas y EstadísticaUniversidad EAFIT. 8 de abril de 2019.
Palabras clave: Lenguaje, sintaxis, semántica, sistema deductivo,argumento, validez, corrección, tautología, teorema, prueba,diagrama deductivo, redacción deductivamente argumentada.
Se presenta de manera global y estructurada, la conexiónesperada entre la semántica y el aparato deductivo, cuando seconstruye una Lógica específica.
Lo anterior se ilustra con un caso sencillo, pero no trivial: la Lógicaproposicional clásica.
Finalmente, la conexión estudiada se utiliza para diagramar yredactar la prueba, de un argumento presentado en el lenguajenatural.
Resumen
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Parte 1. Teorema de Pitágoras
Parte 2. Conexiones Lógicas
Parte 3. Maquinaria Deductiva
Parte 4. Argumentación Deductiva
Contenido
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
5
Parte 1. Teorema de PitágorasPirámide de Kefrén.Guiza-Egipto. Siglo XXVI A. C.
Primera gran pirámide que se construyó basándose en el triángulo sagrado egipciode proporciones 3-4-5.
Es el triángulo rectángulo más fácil de construir.
Se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones desde la más remota antigüedad.
Tomado de: Wikipedia
6
Pitágoras
569-475 A. C. (Griego)
Filósofo y matemático griego. Considerado elprimer matemático puro.
Formuló principios que influyeron tanto en Platóncomo en Aristóteles.
Fresco de Raphael.La Escuela de Atenas.
Se muestra a Pitágorasescribiendo en un libro cuando un joven le presenta una tableta que muestra una representación esquemática de una lira.
Tomado de: Wikipedia
7Tomado de: Pitágoras-visual
¿Prueba?
Prueba realizada por:
Bhāskara Acharia
1114 – 1185 (India).
Matemático y astrónomo
Como pasar de lo intuitivamente claro
a una demostración rigurosa
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 8
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 9
Muy fácil.
¡Yo redacto la demostración rigurosa!
Redactando una demostración del T. de Pitágoras
10
Tomado de: La informática me mata
Redactando una demostración del T. de Pitágoras
11
Tomado: La informática me mata
¡Parece que no lo logró!
¿L.Q.Q.D.?
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 12
Ausencia de Lógica
13
Parte 2. Conexiones Lógicas
Tomado de: Gifmanía
14
Platón y AristótelesPor Raffaello Sanzio
Detalle de La escuela de Atenas. 1509.
Tomado de: Wikipedia
Aristóteles384 -322 A.C. (Griego)
Es considerado el fundador dela lógica como herramienta básica para todas las ciencias.
Fue el primero en formalizar losrazonamientos, utilizando letraspara representar términos.
A = Universal afirmativo: Todo S es P
E = Universal negativo: Ningún S es P
I = Particular afirmativo: Algún S es P
O = Particular negativo: Algún S no es P
Las inferencias en los razonamientos
¿Lógica?¿Qué estudia?
Las leyes que las gobiernan
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 15
Los razonamientos son posibles en el contexto de un lenguaje.
El significado de las expresiones del lenguajees estudiado por la semántica.
Las inferencias en los razonamientos son automatizadas por un aparato deductivo.
La construcción de las expresiones del lenguaje es estudiado por la sintaxis.
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 16
lenguaje
aparato deductivo
Sintaxis
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 17
semántica
Limitado contextual
lenguaje
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 18
A, B, …, , , →, , ,, , ), (
lenguaje
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 19
Cadenas de símbolos del lenguaje
Sintaxis
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 20
A→B, (C, () , , …
Sintaxis
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 21
Expresiones con sentido en la semántica
Sintaxis Fórmulas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 22
• Si X, Y son fórmulas entonces:(X)→(Y), (X) (Y), (X) (Y), (X) (Y), (X) (Y), (X) son fórmulas
• A, B, … (atómicas)
Sintaxis Fórmulas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 23
Interpretación de las Fórmulas
semántica
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 24
X → Z significa: Si X entonces Z
X Z significa: X o Z o ambos
X Z significa: X o Z pero no ambos
X Z significa: X y Z
X Z significa: X si y solo si Z
X significa: No X
semántica
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 25
26
semántica: Tablas de verdad
Desarrolladas por Charles Sanders Peirce (estadounidense) por los años 1880.
Popularizadas por Ludwig Wittgenstein (austro-húngaro) en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.
27
Sistema deductivo
Fórmulas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 28
Inferencia
Relación entre fórmulas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 29
Inferencia
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 30
Inferencia
A B
AB
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 31
RiA
Codificación
Representación internade las inferencias
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 32
T
Codificación
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 33
Argumento
Condicional asociado
T
aparato deductivo
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 34
Correcto
Teorema
La conclusión se infiere de las premisas
utilizando reglas de inferencia
El teorema se infiereutilizando reglas de
inferencia
T
semántica
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 35
Válido
Tautología
Toda asignación que hace verdaderas las premisas también hace verdadera la
conclusión
Es verdadera para toda asignación de valores de verdad
A B
AB
Codificación
((A B) A )→ B
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 36
A B
AB
semántica
((A B) A )→ B
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 37
Válido
Tautología
A B
AB
aparato deductivo
((A B) A )→ B
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 38
Correcto
Teorema
RdA
A B
BA
Codificación
((A B) B )→ A
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 39
Ai
A
A B
Codificación
A → (A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 40
Ad
B
A B
Codificación
B → (A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 41
RiRd
AB
(A B)
Codificación
(A B)→(A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 42
R
(A B)
AB
Codificación
(A B)→ (A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 43
Clasificación-1
T
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 44
Clasificación-1
((A B) A )→ B
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 45
Clasificación-2
⊥ T
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 46
Clasificación-2
((A B) A )→ B(((A B) A )→ B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 47
Clasificación-3
⊥ T
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 48
RiA
Clasificación-3
((A B) A )→ B(((A B) A )→ B)A B
AB
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 49
Partición
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 50
Relación de Equivalencia
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 51
Relación de Equivalencia
A equivalente a B
si y solo si
Para cada asignación: los valores de verdad son iguales
semántica
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 52
Relación de Equivalencia
aparato deductivo
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 53
Relación de Equivalencia
A equivalente a B
si y solo si
A B
aparato deductivo
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 54
A B
B A
Relación de Equivalencia
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 55
Relación de Equivalencia
(A A)
A A
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 56
(A A)
A A
A A
(AA)
Relación de Equivalencia
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 57
Relación de Equivalencia
A AA(A A)
A A
A A
(A A)
A→B AB
(A B) A B
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 58
Partición asociada
. . .Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 59
Partición asociada
. . .⊥ TA A
A A
A B
A B
A B
A B
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 60
Objetivo
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 61
Válido
si y solo si
Correcto
Semántica
Sistema deductivo
Objetivo
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 62
Tautología
si y solo si
TeoremaT T
Semántica
Sistema deductivo
Parte 3. Maquinaria Deductiva
63
Parte 3. Maquinaria Deductiva
64
Lógica Matemática
Es el estudio matemático de la lógica y su aplicación a otras áreas de la matemática y la ciencia.
Sistema Deductivo
Es un sistema abstracto compuesto por un lenguaje formal, axiomas, reglas de inferencia y una semántica formal.
Se utiliza para demostrar teoremas y en el se da una definición rigurosa del concepto de demostración.
A partir de mediados del siglo XIX, la lógica fue revolucionada profundamente
65
Augustus De Morgan (Británico)
Publica en 1847: Lógica formal.
Donde introduce las leyes de De-Morgan
George Boole (Británico)
Publica en 1847: El análisis matemático de la lógica.En 1854: Las leyes del pensamiento.
Fue el primero en definir las algebras booleanascomo parte de un sistema lógico.
John Veen (Inglés)
Publica en 1881: Lógica simbólica.
Donde introduce los diagramas de Venn.
66
La verdadera revolución de la lógica Gottlob Frege (Alemán)
Frecuentemente es considerado como el lógico más importante de la historia, junto con Aristóteles.
Publica en 1879: Begriffsschrift (Ideografía o Conceptografía), donde Frege ofrece por primera vez un sistema completo de lógica de predicadosy cálculo proposicional.Desarrolla la idea de un lenguaje formal y define la noción de prueba.
Publica en 1884: Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética. Vol. 1), donde establece los fundamentos filosóficos de las matemáticas.
67
Inconsistencia del sistema de FregeEn 1902 cuando el vol 2 de Grundlagen estaba en imprenta, Russel escribe a Frege:
“Sea W el predicado de ser un predicado que no puede ser predicado de sí mismo.
¿Puede W ser un predicado de sí mismo? De ambas respuestas se sigue una contradicción. Debemos por tanto concluir que W no es un predicado.”
El 5º axioma afirmaba que si todo A es B, y todo B es A, entonces A = B.
Russell, señaló que este axioma permitía la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.
Pero, si existiera, y es miembro de sí mismo, entonces por definición no es un miembro de sí mismo; además, si no es un miembro de sí mismo, entonces por definición es un miembro de si mismo, lo cual es contradictorio.
Así, Russell señalaba que el sistema de Frege no podía ser lógicamente consistente.
68
Bertrand Russell (Inglés) y Alfred North Whitehead (Británico)
Publican entre 1910 y 1913: Principia mathematica (3 tomos).Trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica. Utilizan teoría de tipos para no caer en las paradojas en las que cayó Frege: la paradoja de Russell en 1902 cuando el vol 2 de Grundlagen estaba en imprenta.
Los autores reconocen el mérito de Frege en el prefacio.
Principia mathematica tuvo un éxito rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos más importantes e influyentes del siglo XX.
69
Paradoja de Russell (1902)
No existe el conjunto conformado por todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.
Puesto que, si existiera, y es miembro de sí mismo, entonces por definición no es un miembro de sí mismo; además, si no es un miembro de sí mismo, entonces por definición es un miembro de si mismo, lo cual es contradictorio.
Así, Russell señalaba que el sistema de Frege no podía ser lógicamente consistente.
Primer teorema de incompletitud de Gödel (1931)
Cualquier teoría aritmética recursiva, si es consistente entonces es incompleta.
Parafraseando: nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad.
70
Cálculo Proposicional Clásico
Tomado del texto:Argumentación deductiva con diagramas y Árboles de forzamientoCapítulo-4, pg: 183-252 Sierra-Aristizábal, Manuel.Fondo Editorial Universidad EAFIT2009
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 71
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 72
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 73
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 74
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 75
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 76
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 77
Este sistema es una variante del sistema deductivo con 10 axiomas, presentado por Alfred Tarski (Polaco) en 1952.
Se cambia el axioma (A→A)→A por Ax0.10 (A A) y se agregan Ax0.11, Ax0.12 y Ax0.13.
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 78
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 79
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 80
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 81
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 82
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 83
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 84
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 85
Sistema de deducción natural
Aparato deductivo
Asociado a los árboles de forzamiento semántico
AB
(A B)
Codificación
(A B)→(A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 86
RiRd
(A B)
AB
Codificación
(A B)→ (A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 87
R
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 88
Primitivas
A B
AB
Codificación
((A B) A )→ B
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 89
RiA
A B
BA
Codificación
((A B) B )→ A
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 90
RdA
A
A B
Codificación
A → (A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 91
Ai
B
A B
Codificación
B → (A B)
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 92
Ad
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 93
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 94
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 95
Primitivas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 96
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 97
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 98
Primitivas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 99
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 100
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 101
Primitivas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 102
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 103
Primitivas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 104
Primitivas
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 105
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 106
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 107
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 108
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 109
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 110
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 111
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 112
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 113
Derivadas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 114
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 115
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 116
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 117
Los árboles de forzamiento semántico se presentan por primera vez en el Volumen 37 número 123 de la Revista Universidad EAFIT en el 2001. La caracterización deductiva aparece publicada en el Volumen 2 número 3 de la Revista Ingeniería y Ciencia en 2006.
Parte 4. Argumentación Deductiva
118
Construcción de Pruebas
Diagramas Deductivos
Argumentación Deductiva
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Probar la corrección del siguiente argumento
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados. Pero los resultados, aunque son peligrosos, no son nefastos.
Por lo tanto, los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 121
[1] [Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados]. Pero [2] [los resultados, aunque son peligrosos, no son nefastos].
Por lo tanto, [14] [los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas].
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 122
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 123
2
1 Cuando se aceptan leyes corruptas, si los
testigos no mienten, se obtienen resultados
nefastos y dignos de ser olvidados
Los resultados, aunque son
peligrosos, no son nefastos
Los testigos mienten y los
resultados son peligrosos cuando
se aceptan leyes corruptas14
L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 124
2
1
Los resultados, aunque son
peligrosos, no son nefastos
Los testigos mienten y los
resultados son peligrosos cuando
se aceptan leyes corruptas14
L → (M → (N O)) L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
Cuando se aceptan leyes corruptas, si los
testigos no mienten, se obtienen resultados
nefastos y dignos de ser olvidados
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 125
2
1
Los testigos mienten y los
resultados son peligrosos cuando
se aceptan leyes corruptas14
L → (M → (N O))
N P
L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
Los resultados, aunque son
peligrosos, no son nefastos
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 126
2
1 L → (M → (N O))
N P
L → (M P)14
L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
Los testigos mienten y los
resultados son peligrosos cuando
se aceptan leyes corruptas
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 127
2
1 L → (M → (N O))
N P
L → (M P)14
L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 128
2
1
4
M5
8
6
L → (M → (N O))
AiA→
MDI
7
L
12
N P
3
M → (N O)
L → (M P)
A
AiAd
AiA→
R
N O
N N P
N N
M
M
M P
9
10
11
13
14
Ai-Ad→
A A
AiAd
129
Prueba formal
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
130
Prueba formal
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
El aparato deductivo es solo un paso intermedio
en la argumentación deductiva
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 131
2
1
4
M5
8
6
L → (M → (N O))
AiA→
MDI
7
L
12
N P
3
M → (N O)
L → (M P)
A
AiAd
AiA→
R
N O
N N P
N N
M
M
M P
9
10
11
13
14
Ai-Ad→
A A
AiAd
L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
132
2
1
4
Los testigos no mienten5
8
6
Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se
obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados
AiA→
MDI
7
Se aceptan leyes corruptas
12
Los resultados, aunque son
peligrosos, no son nefastos
3
Si los testigos no mienten, se obtienen
resultados nefastos y dignos de ser olvidados
Los testigos mienten y los resultados son
peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas
A
AiAd
AiA→
R
Resultados nefastos, dignos de ser olvidados
Se obtienen resultados nefastos Los resultados no
son nefastosLos resultados
son peligrosos
Contradicción
Los testigos mienten
Los testigos no dicen la verdad
Los testigos mienten y los resultados son peligrosos
9
10
11
13
14
Ai-Ad→
A A
AiAd
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
133Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
134Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Supóngase que [3], y como sesabe que [1], resulta que [4].
Si se tuviese que [5], utilizandoel [4] se infiere que, [6], seafirma entonces que [7], perode la [2], se deduce que [8], locual [9] el [7] , por lo tanto seconcluye que: [10], es decir que[11].
Por [2], se afirma que [12], locual considerando [11], implicaque [13].Se ha probado de esta maneraque: [14].
135
2
1
4
Los testigos no mienten5
8
6
Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se
obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados
AiA→
MDI
7
Se aceptan leyes corruptas
12
Los resultados, aunque son
peligrosos, no son nefastos
3
Si los testigos no mienten, se obtienen
resultados nefastos y dignos de ser olvidados
Los testigos mienten y los resultados son
peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas
A
AiAd
AiA→
R
Resultados nefastos, dignos de ser olvidados
Se obtienen resultados nefastos Los resultados no
son nefastosLos resultados
son peligrosos
Contradicción
Los testigos mienten
Los testigos no dicen la verdad
Los testigos mienten y los resultados son peligrosos
9
10
11
13
14
Ai-Ad→
A A
AiAd
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Supóngase que [3], y como sesabe que [1], resulta que [4].
Si se tuviese que [5], utilizandoel [4] se infiere que, [6], seafirma entonces que [7], perode la [2], se deduce que [8], locual [9] el [7] , por lo tanto seconcluye que: [10], es decir que[11].
Por [2], se afirma que [12], locual considerando [11], implicaque [13].Se ha probado de esta maneraque: [14].
136
2
1
4
Los testigos no mienten5
8
6
Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se
obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados
AiA→
MDI
7
Se aceptan leyes corruptas
12
Los resultados, aunque son
peligrosos, no son nefastos
3
Si los testigos no mienten, se obtienen
resultados nefastos y dignos de ser olvidados
Los testigos mienten y los resultados son
peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas
A
AiAd
AiA→
R
Resultados nefastos, dignos de ser olvidados
Se obtienen resultados nefastos Los resultados no
son nefastosLos resultados
son peligrosos
Contradicción
Los testigos mienten
Los testigos no dicen la verdad
Los testigos mienten y los resultados son peligrosos
9
10
11
13
14
Ai-Ad→
A A
AiAd
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Supóngase que [3 se aceptan leyes corruptas], ycomo se sabe que [1 cuando esto ocurre],resulta que [4 si los testigos no mientenentonces se obtienen resultados nefastos ydignos de ser olvidados].
Si se tuviese que [5 los testigos no mienten],utilizando el [4 último resultado] se infiere que,[6 se obtienen resultados nefastos y dignos deser olvidados], se afirma entonces que [7 seobtienen resultados nefastos], pero de la [2información inicial], se deduce que [8 losresultados no son nefastos], lo cual [9contradice] el [7 resultado previo], por lo tantose concluye que: [10 los testigos no dicen laverdad], es decir que [11 los testigos mienten].
Por [2 otro lado], se afirma que [12 Losresultados son peligrosos], lo cual considerando[11 la inferencia previa], implica que [13 lostestigos mienten y los resultados sonpeligrosos].Se ha probado de esta manera que: [14 lostestigos mienten y los resultados son peligrososcuando se aceptan leyes corruptas].
137Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Supóngase que [3 se aceptan leyes corruptas], y como se sabe que [1 cuando esto ocurre], resulta que [4 si los testigos no mientenentonces se obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados].
Si se tuviese que [5 los testigos no mienten], utilizando el [4 último resultado] se infiere que, [6 se obtienen resultados nefastos y dignosde ser olvidados], se afirma entonces que [7 se obtienen resultados nefastos], pero de la [2 información inicial], se deduce que [8 losresultados no son nefastos], lo cual [9 contradice] el [7 resultado previo], por lo tanto se concluye que: [10 los testigos no dicen laverdad], es decir que [11 los testigos mienten].
Por [2 otro lado], se afirma que [12 Los resultados son peligrosos], lo cual considerando [11 la inferencia previa], implica que [13 lostestigos mienten y los resultados son peligrosos].Se ha probado de esta manera que: [14 los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas].
138Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuando esto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.
Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultado se infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos, pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto se concluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.
Por otro lado, se afirma que Los resultados son peligrosos, lo cual considerando la inferencia previa, implica que los testigos mienten ylos resultados son peligrosos.Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.
139Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuando esto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.
Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultado se infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos, pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto, se concluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.
Por otro lado, se afirma que los resultados son peligrosos, lo cual considerando la inferencia previa, implica que los testigos mienten y losresultados son peligrosos.
Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.
[1] [Cuando se aceptan leyes corruptas, silos testigos no mienten, se obtienenresultados nefastos y dignos de serolvidados]. Pero [2] [los resultados, aunqueson peligrosos, no son nefastos].
Por lo tanto, [14] [los testigos mienten ylos resultados son peligrosos cuando seaceptan leyes corruptas].
140
Prueba de la corrección del argumento
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
141
Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuandoesto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.
Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultadose infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos,pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto, seconcluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.
Por otro lado, se afirma que los resultados son peligrosos, lo cualconsiderando la inferencia previa, implica que los testigos mienten ylos resultados son peligrosos.
Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y losresultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.
Prueba de la corrección del argumentoArgumentación Deductiva
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
[1] [Cuando se aceptan leyes corruptas, silos testigos no mienten, se obtienenresultados nefastos y dignos de serolvidados]. Pero [2] [los resultados, aunqueson peligrosos, no son nefastos].
Por lo tanto, [14] [los testigos mienten ylos resultados son peligrosos cuando seaceptan leyes corruptas].
142
Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuandoesto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.
Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultadose infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos,pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto, seconcluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.
Por otro lado, se afirma que los resultados son peligrosos, lo cualconsiderando la inferencia previa, implica que los testigos mienten ylos resultados son peligrosos.
Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y losresultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.
Prueba de la corrección del argumentoArgumentación Deductiva
Prueba formal
L: se aceptan las leyes corruptas.
M: los testigos mienten.
N: se obtienen resultados nefastos.
O: los resultados son dignos de ser olvidados.
P: los resultados son peligrosos.
Diagrama deductivo
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
143
Fin-!-FnFin-!-Fn
Semántica Sintaxis
Argumentación deductiva
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
144
Fin-!-Fn!
Agradecimiento
A mi esposa, Gloria.
Sus profundas intuiciones dan sentido, al arte de la Lógica.
Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT
145
!
Top Related